中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析

中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析
一、选择题
1．图中不能证明勾股定理的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )
A ．121
B ．110
C ．100
D ．90
3．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )
A ．2
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( )
A ．2n ﹣2
B ．2n ﹣1
C ．2n
D ．2n+1
5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2
a b +值为（ ）
A ．25
B ．9
C ．13
D ．169
7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ）
A ．6
B ．2
C ．8
D ．10
8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A ．1
B ．2021
C ．2020
D ．2019
9．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )
A ．1和2之间
B ．2和3之间
C ．3和4之间
D ．4和5之间
10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）
A ．3
B ．5
C ．4.2
D ．4
二、填空题
11．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．
12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是
_____．
13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________.
14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.
15．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.
16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．
17．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．
18．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．
①线段OA 的取值范围是______________；
②若BD -AC =1，则AC •BD = _________．
19．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.
20．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2
． 三、解答题
21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．
()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；
()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12
BE CF AB +=．
()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的
延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．
（1）求BF 的长；
（2）求CE 的长．
23．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？
分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．
感悟与应用：
（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，
①求证：180B D ∠+∠=︒；
②求AB 的长．
24．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．
（1）求证：AE ＝BD ；
（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；
（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．
25．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．
（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；
（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；
（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．
26．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．
(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；
②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；
(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．
27．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.
小明为解决上面的问题作了如下思考：
作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.
请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.
（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.
28．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4，
（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
图1 图2 备用图
29．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，
①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；
②求证：BD2+CD2＝2AD2；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．
30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．
【详解】
解：A 选项不能证明勾股定理；
B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142
a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ；
C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()221122
22
a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式
222112222
c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ． 故选：A ．
【点睛】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．
2．B
解析：B
【分析】
延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形． 90CBF ∠=︒，
90ABC OBF ∴∠+∠=︒， 又直角ABC ∆中，90ABC ACB ∠+∠=︒，
OBF ACB ∴∠=∠，
在OBF ∆和ACB ∆中，
BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()OBF ACB AAS ∴∆≅∆，
AC OB =∴，
同理：ACB PGC ∆≅∆，
PC AB ∴=，
OA AP ∴=，
所以，矩形AOLP 是正方形，
边长347AO AB AC =+=+=，
所以，3710KL =+=，4711LM =+=，
因此，矩形KLMJ 的面积为1011110⨯=，
故选B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，由角平分线的性质得到OD=OE=OF ，根据勾股定理求出BC 的长，易得四边形ADFO 为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.
【详解】
解：过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，
∵BO,CO 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线，
所以OD=OE=OF ，
又BO=BO,
∴△BDO ≌△BEO,∴BE=BD.
同理可得，CE=CF.
又四边形ADOE 为矩形，∴四边形ADOE 为正方形.
∴AD=AF.
∵在Rt △ABC 中，AB=6，AC=8，∴BC=10.
∴AD+BD=6①,
AF+FC=8②，
BE+CE=BD+CF=10③，
①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14，
∴AD=2.
故选：B.
【点睛】
此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．
4．A
解析：A
【分析】
连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答.
【详解】
解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形
121111222
ABC S -∆∴=⨯⨯== ， ∴2222AC 112,AD (2)(2)2=+==+=
2232
12212:2122122
AACD ADE S S --∆∴====⨯⨯== ∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ，
故答案为A.
【点睛】
本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.
5．D
解析：D
【解析】
分析：由四边形ABCD 与四边形EFGC 都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE 与三角形DCG 全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG ,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO ,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD 为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解：①∵四边形ABCD 和EFGC 都为正方形，
∴CB=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE ，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE 和△DCG 中，CB ＝CD ，∠BCE ＝∠DCG ，CE ＝CG ，
∴△BCE ≌△DCG ，
∴BE=DG ，
故结论①正确.
②如图所示，设BE 交DC 于点M ，交DG 于点O.
由①可知，△BCE ≌△DCG ，
∴∠CBE=∠CDG ，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO ，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC ，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO ， ∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE ⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD 、EG ，
由②知，BE ⊥DG ，
则在Rt △ODE 中，DE 2=OD 2+OE 2，
在Rt △BOG 中，BG 2=OG 2+OB 2，
在Rt △OBD 中，BD 2=OD 2+OB 2，
在Rt △OEG 中，EG 2=OE 2+OG 2，
∴DE 2+BG 2=(OD 2+OE 2)+(OB 2+OG 2)=(OD 2+OB 2)+(OE 2+OG 2)=BD 2+EG 2.
在Rt △BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2=2a 2，
在Rt △CEG 中，EG 2=CG 2+CE 2=2b 2，
∴BG 2+DE 2=2a 2+2b 2.
故③结论正确.
故选：D.
点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
6．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2222a b a ab b +=++即可求解．
【详解】
根据勾股定理可得2213a b +=， 四个直角三角形的面积是：14131122
ab ⨯=-=，即212ab =，
则()2
222131225a b a ab b +=++=+=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键． 7．A
解析：A
【分析】
设CF=x ，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x ，再由AB 2+AC 2=BC 2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．
【详解】
设CF=x ，则AC=x+2，
∵正方形ADOF 的边长是2，BD=4，△BDO ≌△BEO ，△CEO ≌△CFO ，
∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF=2，
∴AB=6，BC=6+x ，
∵∠A=90°，
∴AB 2+AC 2=BC 2，
∴62+（x+2）2=（x+4）2，
解得：x=6，
即CF=6，
故选：A ．
【点睛】
考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x ，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．
8．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：由题意得，正方形A 的面积为1，
由勾股定理得，正方形B 的面积+正方形C 的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
9．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理求出AB 的长，再根据无理数的估算即可求得答案.
【详解】
由作法过程可知，OA=2，AB=3，
∵∠OAB=90°，
∴22222313OA AB +=+=，
∴P 13 ∵91316< ∴3134<<，
即点P 所表示的数介于3和4之间，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键.
10．C
解析：C
【分析】
根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
【详解】
设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，
由勾股定理可得：222=OA OB AB +
即：()2
224=10x x +-，
解得：x ＝4.2
故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．
故答案选：C ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．
二、填空题
11．48
【分析】
用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．
【详解】
解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，
则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()2
23S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，
∴()()22
22144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=
2233144a b +=
2248a b +=，
∴248S =．
故答案是：48．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
12．（0，21009）
【解析】
【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．
【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，
∴OA 12，OA 2=2）2，…，OA 2018=2）2018，
∵A 1、A 2、…，每8个一循环，
∵2018=252×8+2
∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=()20182=21009， 故答案为（0，21009）. 【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．
13．1425+或825+
【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．
【详解】
解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=
22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=
2222543AC AD -=-=，
∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；
如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，
∴BC=253-， ∴△ABC 的周长为：65253825++=+
综合上述，△ABC 的周长为：145+85+
故答案为：145+825+
【点睛】
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 14．12
【分析】
延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=
+=，可得AB=BE-AE.
【详解】
如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.
因为三角形COA 是等腰直角三角形
所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°
因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，
所以∠BAO+∠BCO=180°,
又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE
所以∆BCO ≅∠EAO
所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA
所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°
所以三角形BOE 是等腰直角三角形
所以()()222210210220BO EO +=
+=
所以AB=BE-AE=20-8=12
故答案为：12
【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.
15．5
【分析】
设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值
【详解】
如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10
设绳索x 尺，则OA=OB=x
∴OC=x+1-5=x-4
在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2
∴222
(4)10x x =-+
得x=14.5（尺）
故填14.5 ,
【点睛】
此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 16．258
【分析】
先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】
∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴2222AB +BC =3+4=5；
∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ，
∴FA=12AC=52
，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ，
∴△AFD ∽△CBA ， ∴AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258
． 【点睛】
本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
17．4或2510
【分析】
分三种情况讨论：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ；③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ．分别画图，并求出BD ．
【详解】
①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，如图1．
∵∠DAC =90°，且AD =AC ，
∴BD =BA +AD =2+2=4；
②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°．
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=2
2
2
2
⨯=．
在Rt△BAC中，BC22
22
=+=22，∴BD2222
2222
BE DE（）（）
=+=++= 25；
③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．
∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，
∴AD=DC=AC sin45°=2
2
2
2
⨯=．
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°．
又∵在Rt△ABC中，BC22
22
=+=22，
∴BD2222
22210
BC CD
=+=+=
（）（）．
故BD的长等于4或510．
故答案为4或510．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，
18．①1＜OA＜4．②67
2
．
【解析】
(1)由三角形边的性质5-3<2OA<5+3,
1＜OA＜4.
(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,
由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()2
4CE +， ()()22
2225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，
2AC ∴+ 2BD
=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，
BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672.
19．169
【解析】
解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；
∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即
∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169． 故答案为：169．
点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
20．8或10或12或
253
【详解】
解：①如图1：
当BC=CD=3m 时，AB=AD=5m ，AC ⊥BD ，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×6×4=12（m2）；
②如图2：
当AC=CD=4m时，AC⊥CB，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×4×4=8（m2）；
③如图3：
当AD=BD时，设AD=BD=xm，
在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，
由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，
解得x=25
6
，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
BD·AC=
1
2
×
25
6
×4=
25
3
（m2）；
④如图4，
延长BC到D，使BD=AB=5m，故CD=2m，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
BD·AC=
1
2
×5×4=10（m2）；
综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m 2或12m 2或10m 2或253m 2． 点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．
三、解答题
21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）()23y x =-
【分析】
（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；
（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM ＝3BM ，进而可得BE +CF ＝3（BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．
【详解】
解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4．
∵点D 是线段BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝12
BC ＝2． ∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，
∴∠AED ＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，
∴∠BED ＝90°，∴∠BDE =30°，
∴BE ＝12
BD ＝1；
（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，
则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°．
∵∠A ＝60°，
∴∠MDN ＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF ＝120°，
∴∠MDE ＝∠NDF ．
在△MBD 和△NCD 中，
∵∠BMD ＝∠CND ，∠B ＝∠C ，BD =CD ，
∴△MBD ≌△NCD （AAS ），
∴BM ＝CN ，DM ＝DN ．
在△EMD 和△FND 中，
∵∠EMD ＝∠FND ，DM ＝DN ，∠MDE ＝∠NDF ，
∴△EMD ≌△FND （ASA ），
∴EM ＝FN ，
∴BE +CF ＝BM +EM +CN －FN ＝BM +CN ＝2BM ＝BD ＝12BC ＝12
AB ；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．
∵DN ＝FN ，
∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，
∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，
BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，
在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，
∴DM ＝22=3BD BM BM -，
∴()3x y x y +=-，整理，得()
23y x =-．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；
（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10，
又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：，
故BF的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，
又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，
∴FE=DE=8-x，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
CF+CE=EF，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：222
∴222
4+x=(8-x)，解得：x=3，
故CE的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
23．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14
【分析】
（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；
（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；
②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）BC−AC＝AD．
理由如下：如图（a ），在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠ACD ＝∠ECD ，
又CD ＝CD ，
∴△ACD ≌△ECD （SAS ），
∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，
∴∠CED ＝2∠CBA ，
∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，
∴∠CBA ＝∠BDE ，
∴DE ＝BE ，
∴AD ＝BE ，
∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，
∴BC−AC ＝AD ．
（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，
∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC ＝∠MAC ，
∵AC ＝AC ，
∴△ADC ≌△AMC （SAS ），
∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，
∵CD ＝BC ＝12，
∴CM ＝CB ，
∴∠B ＝∠CMB ，
∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，
∴∠B ＋∠D ＝180°；
②设BN ＝a ，
过点C 作CN ⊥AB 于点N ，
∵CB ＝CM ＝12，
∴BN ＝MN ＝a ，
在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，
在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝
， 则2222
1216(8)a a --+＝
， 解得：a ＝3，
即BN ＝MN ＝3，
则AB＝8+3+3=14，
∴AB=14．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．24．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；
（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.
【详解】
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，
∴BD2+AD2＝ED2，
∵ED2CD，
∴BD2+AD2＝2CD2，
（3）解：连接EF，设BD＝x，
∵BD ：AF ＝1：22，则AF ＝22x ，
∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，
∴DF ＝EF ，
由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，
EF ＝22AF AE +＝22(22)x x +＝3x ，
∵AE 2+AD 2＝2CD 2，
∴222(223)2(36)x x x ++=+，
解得x ＝1，
∴AB ＝22+4．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.
25．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．
【分析】
（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】
解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．
当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；
当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；
当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°； 第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，
当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时
1809014522
A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°， 综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1
452α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．
【点睛】
本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．
26．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得CF=CD ，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明
△ACD ≌△BCF ；
②连接EF ，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE ≌△FCE 得到EF=DE 即可证明；
（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD ，DE ，BE 之间的关系．
【详解】
解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD ，∠DCF=90°
∵∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF
又∵AC=BC
∴△ACD ≌△BCF
②证明：连接EF ，
由①知△ACD ≌△BCF
∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD ，BF=AD
∴∠EBF=90°
∴EF2=BE2+BF2，
∴EF2=BE2+AD2
又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°
∴∠FCE=∠DCE=45°
又∵CD=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE
∴EF=DE
∴DE2= AD2+BE2
⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD
理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD
∵AC=BC，∠ACB=60°
∴∠CAB=∠CBA =60°
∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°
∴BG=1
2
BF，
3
∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°
∵CD=CF，CE=CE
∴△ECF≌△ECD
∴EF=ED
在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2
又∵EG=EB+BG
∴EG=EB+1
2 BF，
∴EF2=（EB+1
2
BF）2+
3
）2
∴DE2=（EB+1
2
AD）2+
3
）2
∴DE2=EB2+AD2+EB·AD
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．
27．（1）证明见解析；（2）21.
【分析】
（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；
（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，
∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴A′点落在CB 上
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，
∴A′D=A′B ，
∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.
（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．
∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，
∵AC 平分∠BAD ，。