流体运动学

过 流 断 面
流 体 力 学
3.元流和总流 元流是过流断面无限小的流束．几何特征与流线相同。 由于元流的过流断面无限小，断面上各点的运动参数如z(位臵 高度)、 u (流速)、p(压强)均相同。
总流是过流断面为有限大小的流束，是由无数元流构成的， 断面上各点的运动参数—般情况下不相同。
3.2.4 流量、断面平均流速
或物理量的时变导数为零
A 0 t
实际工程中，多数系统正常运行时是恒定流，或虽然是非恒 定流，但运动参数随时间的变化缓慢，仍可近似按恒定流处理。
流 体 力 学
2．一维（元）、二维（元）和三维（元）流动 以空间为标准，若各空间点上的运动参数(主要是速度) u u ( x, y, z, t ) ，流动是三元 是三个空间坐标和时间变量的函数， 流动。 若各空间点上的速度皆平行于某一平面，且运动参数在该平
质点位臵是 t 的函数，对 t 求导可得速度和加速度：
x u x t 速度: u y 加速度: y t z u z t
u x 2 x 2 ax t t u y 2 y 2 ax t t u z 2 z 2 az t t
欧拉法
同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单 直接反映参数的空间分布 适合描述流体元的运动变形特性
拉格朗日观点是重要的
a, b, c , t-----拉格朗日变数
流体力学最常用的解析方法
x, y, z , t-----欧拉变数
流 体 力 学
3.1.3 流体质点的加速度，质点导数
欧拉法的速度场表达式为
流 体 力 学
第三章
§3.1 流体运动的描述 §3.2 欧拉法的基本概 念 §3.3 连续性方程 §3.4 流体微团运动分 析
流体运动学
流 体 力 学
§3.1 流体运动的描述 3.1.1．拉格朗日法
拉格朗日法 从流体质点的运动着手,描述每一个 流体质点自始至终的运动过程.如果知道了所有流 体质点的运动规律,那么整个流体的运动规律也就 清楚了。是质点--时间描述法。 z t 质点运动 的轨迹
流 体 力 学
加速度在空间坐标x，y，z方向的分量为
u x u x u x u x ax ux uy uz t x y z u y u y u y u y ay ux uy uz t x y z u z u z u z u z az ux uy uz t x y z
xy c1c2eat at c1c2 c
与流线方程相同，表明恒定流动流线和迹线在几何上 一致，两者相重合。
流 体 力 学
例 已知平面流动 ux x t 解 由式
dx dy ux u y
uy y t
求 t = 0 时，过点 M (-1，-1) 的流线。
得
y x
dx dy x t y t
流 体 力 学
描述流体运动数学方法的分类与对比
1.分类 描述方法 当地法 2.比较 欧拉法 参数分布：B = B（x, y, z, t） 随体法 拉格朗日法 质点轨迹： r (a,b,c,t ) r
•
拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性
面的垂直方向无变化，令z轴垂直于该平面，则 u z＝0 ，
u x u y 0 ， 运动参数只是两个空间坐标(x，y)和时间变量的 z z
函数 u
u ( x, y, t )，这样的流动是二元流动。如水流绕过很长
y
的圆柱体，忽略两端的影响，流动可简化为二元流动。
x
流 体 力 学
y
dx dy kx ky
o

x, y
x
积分上式的流线方程为
xy c
双曲流线
如图所示，该流动的流线为一族等角双曲线。
流 体 力 学
(2)由迹线的微分方程的
dx dy dt kx ky
积分得迹线方程
x c1e at at y c2 e
改写上式
流 体 力 学
4.脉线
脉线的概念：
相继通过一空间点的流体质点连成的线（动画中黑线为脉线）。
流 体 力 学
[例题]已知速度场为
u x kx u y ky ( y 0) 其中k为常数，试求流线方程和迹线方程。 uz 0
[解]根据 u z 0 及 y 0 可知流体运动仅限于 xoy 的上半平面。
1.流线的概念 某一瞬时在流场中绘出的空间 曲线，在这条曲线上所有质点的速 度矢量都和该曲线相切，则此曲线 称为流线。
z
o
x
1
2
4 3
y
流线的性质： (1)在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变 化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相 重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和 迹线不相重合。
流 体 力 学
流经弯道的流线
流 体 力 学
绕过机翼剖面的流线
流 体 力 学
绕叶片的流线
绕突然缩小管道的流线
流 体 力 学
2.流线方程
设流线上一点的速度矢量为u u x i u y j u z k , 流线上的微元线段矢量 ds dxi dyj dzk , 根据流线定义，可得用矢量表示的微分方 程为
u u( x, y, z, t )
上式中x，y，z是流体质点在 t 时刻的运动坐标，即是时间 变量 t 的函数。因此，根据复合函数求导法则，并考虑到
dx dy dz ux , u y , uz dt dt dt
可得加速度的矢量形式
du u u dx u dy u dz a dt t x dt y dt z dt u u u u ux uy uz t x y z
H
ux x
苦水箱有来水补充，水位H保持不变，质点的速度不随 时间变化，当地加速度 的加速度 ax u x
u x 。 x u x 0，但仍有迁移加速度，该质点 t
流 体 力 学
若出水管是等直径的直管，且
水位H保持不变，则管内流动的
水质点，既无当地加速度，也无 迁移加速度， x a
H
ux
上式还可以表示为
算子
du u a u u dt t i j k x y z
流 体 力 学
加速度的组成

u 当地加速度 ：表示通过固定空间点的流体质点 t 速度随时间的变化。是由场的不恒定性引起的。 迁移加速度 u u：表示流体质点所在空间位置 的变化所引起的速度变化率。是由场的不均匀性 引起的。
便可得迹线方程
dx dy dz dt ux u y uz
流线和迹线是两个不同的概念，但在恒定流中，流线不随 时间变化，通过同一点的流线和迹线在几何上是一致的，两者 重合；非恒定流，一般情况下流线和迹线不重合，个别情况， 流场速度方向不随时间变化，只是速度大小随时间变化，这时 流线和迹线仍相重合。
§3.2 欧拉法的基本概念 3.2.1 流动的分类
1．恒定流和非恒定流 以时间为标准，若各空间点上的运动要素(速度、压强、 密度等)皆不随时间变化，这样的流动是恒定硫，反之是非 恒定流。对于恒定流，流场方程为
u u ( x, y , z ) p p ( x, y , z ) ( x, y , z )
拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，物理概念 清晰，但是，由于流体质点的运动轨迹极其复杂，应 用这种方法描述流体运动，在数学上存在困难，在实 用上也不需要了解质点运动的全过程。在工程流体力 学中很少采用拉格朗日法。
流 体 力 学
3.1.2．欧拉(Euler)法
欧拉法以以考察不同流体质点通过固定空间点的运 动情况来了解整个流动空间内的流动情况,即着眼于各 种运动要素的场分布。流场法,是空间--时间描述法。
0。
dA A u A dt t
A 的 时 变 导 数
A 的 位 变 导 数
欧拉法描述质点的运动，质点 的物理量，不论是矢量还是标量， 对时间的变化率称为该物理量的随 体导数或质点导数，其表达式如物 理量 A A( x, y, z, t ) 的随体导数
流 体 力 学
充满流体的流管称为流束
dA2
A2
L
dA 1
A1
流管
流束和总流
流 体 力 学
由于流线不能相交，所以各个时刻，流体质点只能在流管内 部或沿流管表面流动，而不能穿越流管，故流管仿佛就是一根真 实的管子。 2、过流断面 在流束上作出的与流线正交的横断面是过流断面，也称 为过水断面。 过流断面并不都是平面，只有在流线相互平行的均匀流 段、过流断面才是平面。
积分后得到：
ln x t ln y t ln c
( x t )( y t ) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
流 体 力 学
3.2.3 流管、过流断面、元流和总流
1、流管、流束 在流场中任取不与流线重合的封闭曲线，过曲线 上各点作流线，所构成的管状表面称为流管。
流 体 力 学
3．均匀流和非均匀流 若质点的迁移加速度为零，即
u u 0
流动是均匀流，反之是非均匀流。在上一节列举的水箱出流 的例子中，等直径直管内的流动是均匀流；变直径管道内的 流动是非均匀流；水位H保持不变的等直径直管内的流动是 恒定均匀流。
流 体 力 学
3.2.2.流线
1.流量 单位时间通过某一过流断面的流体量，称为该断面的流 量。若通过的量以体积计量就是体积流量，简称流量；若 通过的量以质量计量，则称为质量流量。 如以dA表示过流断面的微元面积，u表示该点的速度，则 体积流量
u ds 0
若写成投影形式，则为
dx dy dz ux x, y, z, t u y x, y, z, t uz x, y, z, t
z
ds
u
o
x
M
y
流 体 力 学
3.迹线方程 迹线的概念 ：流体质点在某一时候的运动轨迹称为迹线。 由运动方程
dx u x dt dy u y dt dz u z dt
H ux x
水箱里的水经收缩管流出，苦水箱无来水补充，水位H逐渐降 低，管轴线上质点的速度随时间减小，当地加速度
u 为正值。所以该质点的加速度 ux x x
u x 为负值。 t
同时管道收缩，质点的速度随迁移而增大，故有迁移加速度
u x。 u x ax ux t x
流 体 力 学

x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
r0
b x
t0
r
c
a
z x
y
y
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位臵坐标。
a, b, c ,t --- 称为拉格朗日变数。
流 体 力 学
ux ux ( x, y, z, t ) u y u y ( x, y, z, t )
p p( x, y, z, t )
x, y, z，t--欧拉变数
uz uz ( x, y, z, t )源自文库
( x, y, z, t )
欧拉法广泛用于描述流体运动，例如气象预报，就是由 设在各地的气象台（站)在规定的同一时间进行观测，并把 观测到的气象资料汇总，绘制成该时刻的天气图，据此作出 预报，这样的方法，实为欧拉法。
流 体 力 学
(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情 况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大的那 些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一 点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称驻点，速度为 无穷大的点称为奇点。 (3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。 (4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏 的地方，表示该处的流速较小。