5-1数列的概念

1.(文)(2011·沈阳六校模考)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12[答案] D[解析] 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1－(－1)n ×(－1)1－(－1)＝(－1)n －12，选D.[点评] 直接检验，S 1＝－1，排除B ，C ；S 3＝－1，排除A ，故选D.(理)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝12n －1 n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝12n ＋1 n ≥2[答案] D[解析] a 1＝S 1＝4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝⎩⎨⎧4 n ＝12n ＋1 n ≥2.2．(2011·许昌月考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 [答案] A[解析] a n ＝23－2a n ＋3，∵n ∈N *，∴a n 随n 的增大而增大，故选A.[点评] 上面解答过程利用了反比例函数y ＝－1x 的单调性，也可以直接验证a n ＋1－a n >0.3．(文)设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }中的最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818 D ．109[答案] B[解析] ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋8658， ∴当n ＝7时，a n 最大．a 7＝108.(理)如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈R)且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2012)f (2011)等于( ) A ．2007 B ．2008 C ．2010 D ．2012[答案] D[解析]令a＝n，b＝1，f(n＋1)＝f(n)·f(1)，∴f(n＋1)f(n)＝f(1)＝2，∴f(2)f(1)＋…＋f(2012)f(2011)＝2×1006＝2012.4．(文)(2011·惠州二模，天津南开中学月考)已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第60个数对是()A．(5,5) B．(5,6)C．(5,7) D．(5,8)[答案] C[解析]根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，(1,11)为第56项，因此第60项为(5,7)．(理)将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是() A．34950B．35000C．35010D．35050[答案] A[解析]由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)992＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.5．(2011·太原模拟)已知正数数列{a n}对任意p，q∈N*，都有a p ＋q＝a p·a q，若a2＝4，则a9＝()A ．256B ．512C ．1024D ．502 [答案] B[解析] 依题意得a 2＝a 1·a 1＝4，a 1＝2(a 1＝－2舍去)，a 4＝a 2·a 2＝16，a 8＝a 4·a 4＝16×16＝256，a 9＝a 1·a 8＝2×256＝512，故选B.6．(2010·石狮石光华侨联合中学模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，且1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．28 B ．33 C.133 D.128 [答案] D[解析] ∵1a n ＋1－1a n＝3，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列，∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝13n －2，∴a 10＝128.7．(2011·合肥三检)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 16＝________.[答案] 12[解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.8．(2011·吉林部分中学质量检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．[答案] a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2.1.由1开始的奇数列，按下列方法分组：(1)，(3,5)，(7,9,11)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )A ．n 2－nB ．n 2－n ＋1C ．n 2＋nD ．n 2＋n ＋1[答案] B[解析] 前n －1组共有1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)2个奇数，故第n 组的首项为2×n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋1. [点评] 可直接验证，第2组的首项为3，将n ＝2代入可知A 、C 、D 都不对，故选B.2．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n 的代数式表示)()A．4n B．4n＋1C．4n－3 D．4n＋8[答案] D[解析]第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.3．(文)设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2(a n－1)，则a3＝() A．8B．4C．2D．1[答案] A[解析]由S1＝2(a1－1)得a1＝2；由S2＝2(a2－1)得a2＝4.由S3＝2(a3－1)得，a3＝8.(理)(2011·三亚联考)已知数列{a n}的通项公式为a n＝log3nn＋1(n∈N*)，设其前n项和为S n，则使S n<－4成立的最小自然数n等于()A．83 B．82C．81 D．80[答案] C[解析]∵a n＝log3nn＋1＝log3n－log3(n＋1)，∵S n＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.4．(文)在数列{a n }中，已知a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ∈N ＋，n ≥2)，若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →，满足OC →＝a 1005OA →＋a 1006OB →，三点A 、B 、C 共线，且直线不过O 点，则S 2010等于( )A ．1005B ．1006C ．2010D ．2011 [答案] A[解析] 由条件知{a n }成等差数列， ∵A 、B 、C 共线，∴a 1005＋a 1006＝1，∴S 2010＝2010(a 1＋a 2010)2＝1005(a 1005＋a 1006)＝1005.(理)(2011·太原模考)设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n (n －43)B ．n (n －34)C ．n (n －23)D ．n (n －12)[答案] A[解析] 设P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，则P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是以2为公差的等差数列．又a 1＋2a 2＝3，所以a 1＝－13，所以S n ＝n (n －43)，选A.5．(2010·河东区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对于所有n∈N *，S n ＝a 1(3n －1)2，且a 4＝54，则a 1＝______.[答案] 2[解析] a 4＝S 4－S 3＝40a 1－13a 1＝27a 1＝54， ∴a 1＝2.6．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.[解析](1)由已知得⎩⎨⎧2S n ＝3a n －32S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，故a n ＝3a n －1(n ≥2)． 故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3.∴a n ＝3n . (2)证明：b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1<1.7．(文)(2010·福建文)数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值． [解析] (1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)又a 1＝13，故a n ＝(13)n(n ∈N *)从而S n ＝13×[1－(13)n]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *)(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. (理)(2010·吉林市质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值． [解析] (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0. ∴a n ＋1a n＝13 (n ≥2)．又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1(n为正整数)(2)由(1)知，∴S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有 k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ， ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N *)，则a 5等于( ) A.25 B.13 C.23 D.12 [答案] B[解析] 由a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2得，a 2＝23，a 3＝12，a 4＝25，a 5＝13.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1(n ≥2)，则a n ＝( )A ．3×2n －1B ．3×21－nC ．3×2nD ．3×2－n[答案] B [解析] 4(S n －S n －1)＝4a n ＝6a n －a n －1，∴a n a n －1＝12(n ≥2)，∴a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝3×21－n . 3．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[分析] 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．[解析] 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.4．(2010·烟台模拟)若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n (0≤a n <12)2a n －1(12≤a n <1)，且a 1＝67，则a 2011的值为( )A.67B.57C.37D.17[答案] A[解析] 由a 1＝67∈[12，1)知，a 2＝2×67－1＝57；由57∈[12，1)知，a 3＝2×57－1＝37；由37∈[0，12)知，a 4＝2×37＝67；…于是可知，数列{a n }是周期为3的数列，∴a 2011＝a 1＝67.故选A. [点评] 根据数列的通项公式求数列的某些特定项，一般需要研究数列的周期性，因此求解这类问题时，首先列举数列的前若干项，发现数列的周期性，再利用周期性求解．5．如图所示的程序框图，如果输入值为2010，则输出值为________．[答案] －4[解析]此程序框图计算数列{a n}的第n项，并输出，其中a1＝1，a2＝5，a n＋2＝a n＋1－a n依次计算可得数列的项为：1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，故该数列周期为6，又2010＝335×6，∴a2010＝a6＝－4.6．(2010·山东济宁模拟)已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2011项之和S2011等于________．[答案]2008[解析]由题意a n＋1＋a n－1＝a n(n≥2)，a n＋a n＋2＝a n＋1，两式相加得a n＋2＝－a n－1，∴a n＋3＝－a n，∴a n＋6＝a n，即{a n}是以6为周期的数列．∵2011＝335×6＋1，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，∴a1＋a2＋…＋a2011＝335×0＋a1＝2008.。