2014年全国高中数学青年教师展评课：三次函数的图象和性质课件
三次函数的图像和性质
三次函数的图像和性质 知识回顾：定义：形如()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的函数叫做三次函数；定义域：R ；值域：R ；图像：对称性：中心对称图形，对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3；三次多项式因式分解：()()()32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++方法一：试根，待定系数因式分解；方法二：代数基本定理：d s a r i i ,，则多项式的所有有理数根一定在ii r s 中取得；典例1：三次函数单调区间和极值 1. 已知函数()1223-+-=x x x x f（1）求函数的单调区间和极值；（2）判断函数的零点个数；典例2：三次函数的零点问题1. 已知函数()λ--+-=1223x x x x f ，若函数存在三个零点，则实数λ的取值范围 ；2. 已知奇函数()x f 是R 的单调函数，若函数()()213--++=x f x f y λ至少有两个零点，求实数a 的取值范围．变式训练：设函数()a ax x x x f ++-=2331有三个零点，求实数a 的取值范围．典例3：三次函数的切线问题1. 设函数()()1,3+==x x g x x f λ（1）若曲线()x g与函数()x f 的图像相切，求实数λ的值； （2）若()()x g x f =有三个根，求实数λ的值；2. 已知函数()x x x f 323-=． （1）求()x f 的对称中心以及对称中心处的切线方程；（2）若过点()t P,1存在3条直线与曲线()x f 相切，求实数t 的取值范围； （3）讨论过点()()R n m n m ∈,,,存在几条直线与曲线()x f 相切；经验分享：一般的三次函数的切线条数有如下规律：三次函数()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像和其相应过对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3的切线l 将平面分为如下四个区域：（1）过区域①，③内的点可作3条与曲线()x f 相切的直线； （2）过曲线()x f 或直线l 上且不在O 处的点可作2条与曲线()x f 相切的直线；（3）过O 或区域②，④内的点可作1条与曲线()x f 相切的直线；•O ② ③④ O •①② ④。
2014年全国高中数学青年教师展评课：三次函数的图象和性质教学设计(青海西宁五中郭占禄)
“三次函数的图象与性质”教学设计青海西宁五中郭占禄2014/10/23“三次函数的图象与性质”教学设计一、教学内容解析：三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。
三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。
因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。
但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。
本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。
同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。
基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：重点：（1）探究系数a,b,c,d的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律；（2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。
难点：根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。
二、教学目标设置：根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标：1、知识与能力：①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。
②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。
③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。
2、过程与方法：通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。
2014年全国高中数学青年教师展评课：三次函数的图象和性质课件(青海西宁五中郭占禄)
f ( x ) 3 ax 2 bx c 0 的解 f ( x) f (x ) f ( x) f (x )
极大值
21
b b 3ac b b 3ac f (x x1) 极小值 f3(ax2 ) , x2 f ( x) 极大值 3a f ( x 2 )
欢迎光临指导
青海省西宁市第五中学：郭占禄
西宁市第五中学
一、设置情景、导入新课
同学们，我们已学过二次函数的定义，那么你能类比二次 函数定义给出三次函数的定义吗？ 形如： y ax3 是三次函数. 定义域：
bx cx d (a 0)
2
的函数
R
二次函数
思考：三次函数的导函数是什么？ 导函数是： f ( x) 3ax2 2bx c
3 2
西宁市第五中学
五、本课小结
1、主要知识点：
利用几何画板探究了三次函数的图像及其性质：
（单调性和极值）
2、本节课渗透了哪些数学思想和方法： 数形结合,函数与方程，
分类讨论，类比思想 。
西宁市第五中学
数学日记
______年____月____日 学习课题_____________ 知识归纳与整理： ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 数学思想和方法： ____________________________________________________ 写给老师的话：(对老师说说你的收获与困惑) 星期_________天气________ 自我评价______________
高中数学：三次函数图像与性质
三次函数的图像和性质设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ；性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值； 性质三：单调性和图象。
（1）当a>0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）① 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1x ，2x ，f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图1,2：② 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）=0，即b 2-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2x ，f （x ）没有极值点，图像如图3,4：图1 图2 图3 图4 图5 图6 ③ 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）＜0，即b 2-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，图像如图5,6：（2）当a ＜0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）① 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1x ，2x ，f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图7,8：图7 图8 图9 图10 图11 图12② 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）=0，即b 2-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2x ，f （x ）没有极值点，图像如图9,10：③ 当Δ=4b 2-12ac=4（b 2-3ac ）＜0，即b 2-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，图像如图11，12：性质四：三次方程f （x ）=0的实根个数对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，(1) 当b 2-3ac >0，其导数f ′（x ）=0有两个解 ， ，原方程有两个极值。
2014年全国高中数学青年教师展评课：函数的单调性课件(新疆奎屯三中王丽)
作业布置：
1.习题1.3第1、2题。
2.归纳以下函数的单调性。
y kx b(k 0) y ax2 bx c(a 0) 1 y x
3.预习作业： 你知道二次函数的最值吗？最值的含义是什么？ 你知道什么样的函数存在最值吗？
课件使用说明：
2 y x 1.第三页请链接几何画板，动态演示 的图 像变化趋势与函数值y随自变量x的变化情况。
于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2
所以函数 f x
2 1在( ,0)上是减函数。 x
思考：对于定义域 I内某个区间D上的任意两个 自变量x1 , x2 , 当x1 x2时,以下条件能判断 f ( x)的 单调性吗？ (1)(x1 x2 )[ f ( x1 ) f ( x2 )] 0; (2)(x1 x2 )[ f ( x1 ) f ( x2 )] 0; ( x1 x2 ) (3) 0; f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 x2 ) (4) 0. f ( x2 ) f ( x1 )
且x1 x2 ,
2 f ( x) 1 x
在
(,0)
证明：设x1 , x2是（- ， 0）上的任意两个自变量 ,
2 2 2 2 则f ( x1 ) f ( x2 ) （ 1 ） （ 1 ） x1 x2 x1 x2 2( x2 x1 ) x1 x2
由x1 x2 0, 得x1 x2 0, x2 x1 0
(2)列出一些自变量x的值，计算相应 的 y值，观察 y值随x的增大如何变化。
y 值随 你能将“ x 的变化”与“图像 的变化”结合起来吗？
y
yx
2
导数之三次函数图像与性质ppt
5 5 ， 极小值-1， 当 a 或 a 1 时 27 27
函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 只有一个交点， 所以当 a ( ，
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
本课小结
3
几何画板
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x2 x x1
f ( x) ax bx cx d (a 0)
1 )上 3
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
方法二： 将 f ( x ) 与 x 轴交点问题转化为函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 的 交点个数问题
y=-a
y
5 27
x
-1
易求函数 g ( x ) x 3 x 2 x 的极大值
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
例 3 设 a 为实数，函数 f ( x ) x 3 x 2 x a 。 （Ⅰ）求 f ( x ) 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x )与x 轴仅有一个交点。
解法分析：
1 5 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 3 27
三次函数图像与性质
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>0
三次函数的像与性质
三次函数的像与性质三次函数是一类常见的函数，它的函数表达式为y=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c和d为任意常数且a≠0。
本文将围绕三次函数的像与性质展开探讨。
一、三次函数的像三次函数的像指的是函数的取值范围，也称为函数的值域。
为了确定三次函数的像，我们可以通过观察函数的图像或分析函数的性质来进行推导。
1. 函数的图像三次函数的图像通常呈现出一种特定的形状，称为“S”型曲线。
具体的形状取决于各个常数的取值。
我们可以通过观察图像来判断函数的像。
2. 函数的性质三次函数具有以下性质，利用这些性质可以推导出函数的像。
a) 当x趋于正无穷大或负无穷大时，函数的值也趋于正无穷大或负无穷大。
因此，三次函数的像可以包括整个实数范围。
b) 当x的取值范围有限时，函数的值也有上下界，即函数的像为一个闭区间。
c) 如果三次函数的a>0，则函数的图像开口向上，最低点为极小值，函数像的下界为最低点的纵坐标。
如果a<0，则函数的图像开口向下，最高点为极大值，函数像的上界为最高点的纵坐标。
二、三次函数的性质除了像，三次函数还具有一些其他的性质，我们来一一探讨。
1. 奇函数和偶函数根据三次函数的定义，当a和b为奇数次幂的系数，而c和d为偶数次幂的系数时，三次函数为奇函数。
如果a、b、c和d都为偶数次幂的系数，三次函数为偶函数。
2. 对称轴三次函数的对称轴可以通过研究函数的导数来确定。
当函数的导数存在一个实数根时，该实数即为对称轴的横坐标。
3. 极值点三次函数一般存在一个极小值或极大值点。
极值点的纵坐标即为函数的最值。
通过求导并令导数为零，可以求解极值点的横坐标。
4. 零点三次函数一般存在一个或多个零点。
通过令函数的值为零，可以解得方程来求解零点。
5. 渐近线三次函数可以有水平、垂直和斜率为有理数的斜渐近线。
求解这些渐近线的方法是求取函数的极限。
综上所述，三次函数的像可以是整个实数范围或者是一个闭区间，取决于函数的性质和常数的取值。
全国高中数学青教师展评课：三次函数的图象和性质课件(内蒙古呼和浩特一中黄昌武)
x (, 2) 2 (2,1) 1 (1, )
y' 0 0 y 21 6
所以：当 x 2 时， f (x) 取极大值，极大值为21 当 x 1 时， f (x) 取极小值，极小值为 6
单 调性
极值
最值
例、已知函数 y 2x3 3x2 12x 1 ，（3）求函
数在 [0, 2] 上的最值.
x 0 (0,1) 1 (1, 2)
2
y'
0
y 1 6
5
所以：当 x 2 时， f (x) 取最大值，最大值为5 当 x 1 时， f (x) 取最小值，最小值为 6
单 调性
极值
零点
例、已知函数 y 2x3 3x2 12x 1 ，（4）根
据前面得到的单调性和极值你能画出函数的草图 吗？
一次函数： y kx b(k 0) 二次函数： y ax2 bx c(a 0) 反比例函数：y k (k 0)
x 指数函数： y ax (a 0, a 1)
对数函数： y loga x(a 0, a 1)
定义域 值域 单调性
奇偶性
幂函数： y x
对称性
思考
求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的极值.
讨论函数的单调性.
解： Q y 1 x3 ax2 3a2x 1
x y ' 3 2 2ax 3a2 =(x 3a)(x a)
(1)当a 0时，f (x)在(, 3a)和(a, )上单调递增；
在(3a, a)上单调递减.
(2)当a 0时，f '(x) 0，则f (x)在R上单调递增.
在(1 1 a, 1+ 1+a)上单调递减.
三次函数的图像和性质(用)
目录
• 引言 • 三次函数的图像 • 三次函数的性质 • 三次函数的应用 • 结论
01
引言
主题介绍
三次函数是数学中一类重要的函数， 其一般形式为 $y=ax^3+bx^2+cx+d$。
三次函数的图像和性质在数学、物理 、工程等多个领域都有广泛的应用。
研究目的
研究三次函数的图像和性质，旨在深入理解其数学特性，并探索其在解决实际问 题中的应用。
通过研究三次函数的图像和性质，可以更好地理解其导数、极值、拐点等概念， 为解决实际问题提供数学工具。
研究意义
研究三次函数的图像和性质有 助于推动数学理论的发展，丰
富数学学科的知识体系。
三次函数在实际问题中的应 用广泛，研究其图像和性质 有助于解决工程、物理、经
济等领域的问题。
通过研究三次函数的图像和性 质，可以培养数学思维和解决 实际问题的能力，提高数学素
单调递减
如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在 某区间内单调递减。
单调性判断
可以通过求导数并判断导数的正负来判断函数的单调 性。
极值点
1 2
极大值点
函数在该点左侧单调递增，右侧单调递减的点。
极小值点
函数在该点左侧单调递减，右侧单调递增的点。
3
极值点判断
通过求函数的导数并令其为0，然后判断函数在 极值点左右两侧的增减性来判定极值点的类型。
在物理领域的应用
振动分析
三次函数可以描述物体振动的规律，如弹簧振荡、 电磁振荡等。
弹性力学
在弹性力学中，三次函数可以用来描述物体的形 变和应力分布。
流体力学
在流体力学中，三次函数可以用来描述流体运动 的规律。
高中数学同步教学课件 三次函数的性质：单调区间和极值
(2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π].
因为 f(x)＝12x＋sin x，
所以 f′(x)＝12＋cos x，令 f′(x)＝0， 又 x∈[0,2π]，解得 x＝23π或 x＝43π.
因为
f(0)＝0，f(2π)＝π，f
23π＝π3＋
23，f
43π＝23π－
3 2.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
1234
4.函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是__－__e12____.
由题意知f′(x)＝(x＋2)ex， 当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 因此当x＝－2时，函数有最小值， 最小值为 f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－e12.
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思感悟
求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大者是最大值，最小 者是最小值.
四
随堂演练
1.下列结论正确的是 A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
√D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则 A.－3是函数y＝f(x)的极大值点
三次函数的图象与性质
问题4
已知函数f ( x) x ax bx 1(a, b R )
3 2
当a 0, b 1时,过点P(2,m)存在三条直线 与函数y=f ( x)的图象相切，求实数m 的取值 范围.
解：f ( x) x 3 x 1, f ' ( x) 3x 2 1, 设切点为(x0 , x03 x0 1) 切线方程为：y-x03 x0 -1=(3x0 2 1)(x x0） 由于切线过点（ P 2，m), 得：2 x03 6 x0 2 1+m=0 令g ( x) 2 x 3 6 x 2 1+m, g ' ( x) 6 x 2 12 x 6 x( x 2), 存在三条切线说明函数y=g ( x)有三个不同的零点， 从而g(0)g (2) 0 即(m+1)(m-7)<0 解得 1 m 7.
问题6
已知函数f ( x) x 3 ax 2 bx 1(a, b R ) 2 2 3 ，a 若3, f ( x), f ' ( x)这两个函数的 若b= a + 且 9 a 7 所有极值之和不小于- ，求实数a 的取值范围. 2
解：f( x) x 3 a 2 bx 1, f ' ( x) 3 x 2 2ax b,
问题5
已知函数f ( x) x 3 ax 2 bx 1(a, b R ) 2 3 若g( x) x x 2 b 1，记h( x)=f ( x) g ( x)， 3 当a 2时，函数y=h( x)有且只有一个零点， 求实数b的取值范围.
1 3 解：h( x) x x 2 bx b, h ' ( x) x 2 2 x b, 3 (1)当b ≥ 1时， ≤ 0，f ( x)在（-， +）单调递增，满足条件； （2）当b<1时， 0，设 h ' ( x) 0的两个根为x1 , x2 , 则 x1 1 1 b , x2 =1+ 1 b， h( x) 0只有一个根需要h( x1 )h( x2 ) 0 1 3 2 h( x1 ) （1 1 b） （1 1 b） （ b 1 1 b） b 3 1 3 2 h( x2 ) （1+ 1 b） （1+ 1 b） （ b 1+ 1 b） b 3
三次函数的图像和性质
取值范围为
A.-1，2
B-，-1 2，
C.-1，2
D.-，-1 2，
本课小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质
2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题； (3) 研究恒成立问题
3、思想方法： 数形结合,转化思想
a>o
y
0
o
x
y
图
象 0
o
x
0
y
o
x
a<0
y
o
x
y
o
x
y
o
x
引例1: 初识三次函数的图象
(1)试确定函数f (x) x3 3x
的单调区间，并在同一坐标系中画出 此函数与它的导函数图象
(2)若函数为f ( x) x3或 f ( x) 1 x3 x2 2x 1,图象又会如何？
研究三次函数的重要性
三次函数 已经成为中学阶段一个重要的函 数，在最近几年高考和一些重大考试中频繁 出现有关它的单独命题。2009年高考中， 浙江卷文15、湖南理13、全国1 文11、全国1 文 20、全国Ⅱ文 22、四川文20、重庆文 20 、湖南文 21、陕西文21、天津文 21中都 出现了这个函数的单独命题，还有以压轴题 的形式出现，更应该引起我们的重视。单调 性、求最值、方程的根等最能反映这个函数 的特性。
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
无极x0 值 (-∞,+∞)
想一想:
a 0时 f (x) ax3 bx2 cx d 的图象和性质又会如何 呢？
展示
总结: a 0时
Δ>0
三次函数PPT 演示文稿
例4. 已知曲线C: y=4ax3+x, 过点Q(0,-1)作C的切线 l, 切点为P. (1) 求证：不论a怎样变化, 点P总在一条定直线上; (2) 若a>0, 过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T, 求|OT|的最小值(O为原点). (1)切点Ｐ总在直线y=x+1/2上 (2)|OT|的最小值为2+ 6.
△>0 a≤0 △>0
a>0
a<0
a>0
a<0
f(x)=0有且仅有一个实根， f(x)的极大值小于0或极小值大于 y=f(x）与x轴有且仅有一个 0 f(x)=0有且仅有一个实根。 f(x)的极大值等于0或极小值等于 交点。
f(x)的极大值大于0且极小值小于 0 ，f(x)=0有且仅有三个不等实 根。y=f(x）与x轴有且仅有三个 交点。
综上所述 a 的取值范围为 ，5
3
2
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
导 数 及 其 应 用
函数的 单调性
极值与 最 值 切线 问题
三次函数 的图象
三 次 函 数
三次函数 的性质 与三次方 程的关系
导 数
课 堂 小 结
感悟数学
发现数学
应用数学
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
思考题：
例3．设a为实数,函数f(x）=x3-x2-x+a (1) 求f(x)的极值. (2) 当a在什么范围内取值时, 曲线y=f(x)与x轴仅 有一个交点.
(1)f(x)的极大值是f(-1/3)=5/27+5, 极小值是 f(1)=a-1. (2)当a (-∞,-5/27)U(1,+∞)时, 曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.
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y kx b(k 0)
定义域
y ax2 bx c(a 0)
k 反比例函数： y (k 0) x
指数函数： y a x (a 0, a 1)
对数函数： 幂函数：
值域
单调性 奇偶性 对称性
y loga x(a 0, a 1)
例、已知函数 y 2 x3 3x2 12 x 1 ，（6）请问 函数与 y a 有几个交点？
(, 6) (21, )
1个交点 2个交点
x
-2 1
{6, 21}
(6, 21)
3个交点
1 3 2 2 f ( x ) x ax 3 a x 1 练习、若函数 3 讨论函数的单调性.
y x
思考
3 2 f ( x ) 2 x 3 x 12x 1 的极值. 求函数
函数 y ax bx cx d 的性质
3 2
三次函数
f ( x) 2x 3x 12x 1 的图象
3 2
思考、如果没有没有计算机辅助工具，那么
三次函数的性质如何研究呢？
f ( x) 2x 3x 12x 1
3 2
单 调性
函数 y a
x
3
b x cx d (a 0) 的单调性
2
利用导数工具来研究. 依据： x (a, b), f '( x) 0 f ( x)在(a, b)上单调递增
x (a, b), f '( x) 0 f ( x)在(a, b)上单调递减
单 调性 例、已知函数 y 2 x 3x 12 x 1 ，（1）求函 数的单调区间.
3 2
单 调性
极值
例、已知函数 y 2 x3 3x2 12 x 1 ，（2）求函 数的极值.
x
y' y
(, 2) 2
(2,1)
1
(1, )
x 2
当
0
0
6
所以：当
时， f ( x ) 取最大值，最大值为5 时， f ( x ) 取最小值，最小值为 6
x 1
单 调性
极值
零点
例、已知函数 y 2 x3 3x2 12 x 1 ，（4）根 据前面得到的单调性和极值你能画出函数的草图 吗？
x
-2 1
（5）请问函数有几个零点？
单 调性
极值
零点
3
2
件下是奇函数？当它不是奇函数时它有对称性吗？试验证你的结论.
1 3 2 练习、（14广东文）若函数 y x x ax 1 3
讨论函数的单调性.
1 3 2 解： y x x ax 1 3
y ' x2 2 x a
(1)当 0即a 1时，
4 4a
(3)当a 0时，f ( x)在(, a)和(3a, )上单调递增； 的图象可以得到函数的哪些性质？
2、知道函数的哪些性质我可以画出函数的草图？
课后作业
1、已知函数
（ A）
y
x
3
a x bx c 下列结论中错误的是
2
解：
y ' x 2ax 3a =(x 3a)(x a)
1 3 2 2 y x ax 3a x 1 32 2
(1)当a 0时，f ( x)在(, 3a)和(a, )上单调递增； 在(3a, a)上单调递减.
(2)当a 0时，f '( x) 0，则f ( x)在R上单调递增.
21
所以：当
时， f ( x ) 取极大值，极大值为21 时， f ( x ) 取极小值，极小值为 6
x 1
单 调性
极值
最值
例、已知函数 y 2 x3 3x2 12 x 1 ，（3）求函 数在 [0, 2] 上的最值.
x
y' y
0
(0,1)
1
(1, 2)
2
1
当
0
6
5
x2
f ( x)在(, 1 1 a )和(1+ 1+a , )上单调递增； 在(1 1 a , 1+ 1+a )上单调递减.
(2)当 0即a 1时， f '( x) 0， 则f ( x)在R上单调递增.
xα∈R,f(xα)=0
（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减 （D）若x0是f（x）的极值点，则
3 y x ax 2、已知函数
f ' x0 0
在R上单调递增，则
a
的取值
范围是（
3、探究：函数
）
y a x b x cx d (a 0)在什么条