第1章集合代数(新)

第1章集合代数集合论是一门研究数学基础的学科，它试图从一个比―数‖更简单的概念——集合(sets)出发，定义数及其运算，进而发展到整个数学。

集合理论产生于16世纪末。

当时，只是由于微积分学的需要，人们仅对数集进行研究。

19世纪末，康托尔（Georg Cantor 1845一1918年，德国数学家）对任意对象的集合进行了系统的研究。

康托尔被公认为集合理论的创始人。

人们称康托尔开创的集合理论为朴素集合论，因为他没有对集合论作完全公理化的描述，从而导致了理论的不一致（产生了悖论）。

为弥补朴素集合理论的不足，20世纪初出现了各种公理化集合论体系，为数学奠定了一个良好的基础。

更有意义的是，从此集合基本概念不断深入人心，被广泛地应用于数学理论和其他学科的基础研究和实际应用中。

基于本书的教学目的，以―集合代数‖为标题的本章，主要讨论集合基本概念和集合运算。

它与第二章在一起，被视为全书学习所必备的最基本的数学知识和工具，在以后讨论的内容中将不断地运用它们。

本章将涉及集合论的几个基本原理，但不介绍公理化的集合论体系。

事实上，集合不仅可用来表示数及其运算，更可以用于非数值信息及离散结构的表示和处理。

像数据的删节、插入、排序，数据间关系的描述，数据的组织和查询都很难用传统的数值计算来处理，但可以用集合运算来表示。

集合论被广泛应用于计算机科学技术中，如数据结构、操作系统、数据库、编译原理、形式语言、程序设计、人工智能等，这也是本章介绍集合论基础知识的目的之一。

1.1 集合的概念与表示1.1.1集合及其元素在中学的数学课程中,读者对集合及其元素的意义已经有所了解,因此，下面只做些简要的回顾。

集合是由确定的、互相区别的、并作整体识别的一些对象组成的总体。

严格地说这不是集合的定义，因为“总体”只是“集合”一词的同义反复。

实际上，在集合论中，集合是一个不作定义的原始概念（就像几何学中的点、线、面等概念一样）。

不过，上述关于集合概念的描述，有益于对它的内涵和外延作直观的理解和认识。

它的实质蕴涵于下文对它的数学描述中。

例1.1（1）“北京大学全体学生”为一集合，组成这一集合的对象是北京大学的学生。

（2）“全体正整数”为一集合，其组成对象是正整数。

（3）“本书中所有汉字”的集合，其组成对象是本书中的不同汉字。

（4）“获1988年诺贝尔文学奖的作家”构成一个集合，尽管它只有一个对象——埃及作家纳吉布•马夫兹。

“获2002年诺贝尔生理学或医学奖的科学家”构成一个集合，它包括英国科学家悉尼•布雷内,美国科学家罗伯特•霍维茨,英国科学家约翰•苏尔斯顿三名成员。

（5）“解放军理工大学所有学员队”的集合，其组成对象是学员队，而不是学员，因为集合中对象是整体识别的，尽管学员队又是学员的集合。

（6）“好书的全体”不构成集合，因为难以对每一本书的好坏作出确定的判断。

（7）“方程x(x2-2x+1)=0的所有根”组成一个集合，它只有一个对象0和一个（而不是两个）对象1，因为集合中对象是相互区别的。

（8）“方程x2 +x+1=0的根”组成一个集合。

当讨论复数域时，它由两个对象组成；而在实数域上讨论时，它不含有任何对象，是一个空的集合，一个特定的集合。

组成集合的对象称为集合的成员或元素（members）。

请注意，这里“对象”的概念是相当普遍的，可以是任何具体的或抽象的客体，还可以又是集合，因为人们有时以集合为其讨论的对象，而又需涉及它们的一个总体——以集合为其元素的集合。

例如，例1.1（5）的集合，以学员队集体为其元素；又如集合{1,{1,2},{1},2}，数1，2是它的成员，集合{1}和{1,2}也是它的成员。

因此，尽管集合与其成员是两个截然不同的概念，但一个集合完全可以成为另一个集合的元素。

因此必须注意，a不同于{a}，前者为一对象a，后者为仅含该对象a的单元素集合；同样，{a}不同于{{a}}，{{a}}是仅含{a}的单元素集。

通常用大写拉丁字母A，B，C等表示集合，用小写字母a,b,c等表示集合的元素。

但是，由上可知，这种表示形式不是绝对的。

a作为A的元素时，并不排斥a作为集合的可能性。

同样，集合A也可能是别的集合的元素。

元素对于集合的隶属关系是集合理论的另一基本概念。

当对象a是集合A的成员时，称a属于A，记为a∈A当对象a不是集合A的成员时，称a不属于A，记为a∉A对任何对象a和任何集合A，或者a∈A或者a∉A,两者恰居其一。

这正是集合论对其元素的“确定性”要求。

1.1.2集合的表示集合的表示方式主要有以下三种：（l）列举法：表示一个集合A时，将A中元素—一列举，或列出足够多的元素以反映A 中成员的特征，其表示形如A＝｛a1,a2,…,a n｝或A=｛a1,a2,a3,…｝（2）描述法；表示一个集合A时，将A中元素的特征用一个性质来描述，其表示形式如A =｛x | P(x)｝或A =｛x : P(x)｝其中P(x)表示“x满足性质P”或“x具有性质P”。

A =｛x | P(x)｝或A =｛x : P(x)｝的意义是：集合A由且仅由满足性质P的那些对象所组成，也就是说a∈A 当且仅当a满足性质P（或P(a)真）例题1.1中的集合都是采用这种方式表示的。

（3）归纳法：将在1.3节中详细介绍。

例1.2以下是常常要用到的一些集合以及它们的表示。

（1）{0,l}＝{x∣x＝0或x＝l}（2）自然数集合N = {0,1,2,3,…} = {x∣x是自然数}正整数集合I+ = {1,2,3,…} = {x∣x是正整数}（3）整数集合I ＝{…,-2,-l,0,l,2,…} =｛x∣x是正整数,或零,或负整数｝（4）偶整数集合E = {…,-4,-2,0,2,4,…}＝{x∣x是偶数}= {x∣x∈I且2|x} (2|x表示2整除x)（5）前n个自然数的集合N n＝{0,1,2,…,n-1}＝{ x∣ x∈N且0≤x＜n}（6）前n个自然数集合的集合= {{0},{0,1},{0,1,2},…}= {x∣x= N n且n∈I+}= { N n∣n∈ I+}定义1.1 没有任何元素的特定集合称为空集，记为∅，即∅＝{}＝{x∣P(x)恒假}；由研究对象全体组成的集合称为全集，记为U，即U = {x∣ P(x)恒真}定义 1.2空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集（finite sets），否则称为无限集（infinite sets ）。

有限集合中成员的个数称为集合的基数（cardinatity ）（无限集合的成员个数，即无限集合的基数概念将在以后详细讨论）。

集合A 的基数表示为 |A |。

例1.3 在例1.2中（l ）（5）是有限集，其它为无限集。

|{0,1}|=2，| ∅ |＝0，|{∅}| = 1。

有些常用的集合通常用特定字母符号来表示。

如：N 表示所有自然数组成的集合，I 表示所有整数组成的集合，Q 表示所有有理数组成的集合，R 表示所有实数组成的集合，C 表示所有复数组成的集合，Q +表示所有正有理数组成的集合，R -表示所有负实数组成的集合，N n 表示前n 个自然数的集合等等。

1.1.3 外延性公理与子集合外延性公理是用于规定集合相等意义的重要约定,是描述集合实质的核心原理。

外延性公理（extensionality axiom ）：集合A 和集合B 相等，当且仅当它们具有相同的元素。

也就是说，对任意集合A,B ，A=B 当且仅当属于A 的元素也属于B ；反之,属于B 的元素也属于A 。

例1.4 根据外延性公理，{0,l}＝{l,0}＝{x ∣x(x 2 - 2x ＋l)＝0} = {x ⎢x ＝1或x ＝0}因此，外延性公理事实上也确认了集合成员的“相异性”、“无序性”，及集合表示形式的多样性。

定义1.3 集合A 称为集合B 的子集合（或子集，subsets ），如果A 的每一个元素都是B 的元素，即，若元素x 属于A ，那么x 也属于B 。

A 是B 的子集，表示为A ⊆B （或B ⊇A ），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）。

A 不是B 的子集用A ⊄B 来表示。

集合之间的子集关系或包含关系是集合之间最重要的关系之一。

读者必须彻底弄清集合之间的子集关系和元素与集合之间的隶属关系这两个完全不同的概念。

例1.5 {a ，b} ⊆ {a ，c ，b ，d}，{a ，b ，c} ⊆ {a ，b ，c}，{a} ⊆ {a ，b}，但a ⊄{a ，b}，只有a ∈ {a ，b} 。

注意，存在这样两个集合，其中一个既是另一个的子集、又是它的元素。

例如，{l }∈ {1，{l }}，且{1}⊆ {1，{l }}。

关于子集关系我们有以下定理和定义。

定理1.1对任意集合A ，B ，A ＝B 当且仅当A ⊆ B 且B ⊆ A 。

特别地，对任意集合A ，A ⊆ A 。

证.由外延性公理和子集定义立即可得。

定理1.2 对任意集合A ，A ⊆U 。

此定理显然成立。

定理1.3 设A ，B ，C 为任意集合，若A ⊆ B , B ⊆ C ，则A ⊆ C 。

证.设x 为A 中任一元素．由于A ⊆ B ，因此x ∈B ；又因为B ⊆ C ，故x ∈C 。

这就是说，A 的所有元素都是C 的成员，故A ⊆ C 。

定理1.4 对任何集合A ，∅ ⊆ A 。

证. 假设∅ ⊄ A ，即∅不是集合A 的子集，于是有元素x ∈∅，但x ∉A ，而x ∈∅与∅的定义矛盾，因此∅ ⊆ A 。

定理1.5 空集是唯一的。

证. 设有空集∅1, ∅ 2．据定理1.4，应有∅1 ⊆ ∅2和∅2 ⊆ ∅1，从而由定理1.1知∅1= ∅2。

定理1.6 设 A 为一有限集合，n A =，那么 A 的子集个数为n2。

证. 集合A 的子集有：没有元素的子集 ∅，计0n C 个（0n C ＝1）；恰含A 中一个元素的子集，计1n C 个；恰含A 中两个元素的子集，计2n C 个；…；恰含A 中n 个元素的子集，计n n C 个。

因此A 的子集个数为0n C +1n C ＋…＋n n C =n2 设集合A = {1,∅,{1,3}}, 则A 有32= 8个子集，分别为：∅，{1}，{∅}，{{1,3}}，{1,∅}，{1,{1,3}}，{∅,{1,3}}和{1,∅,{1,3}}。

定义1.4 集合 A 称为集合 B 的真子集，如果A ⊆B 且A ≠ B 。

“A 是B 的真子集”记为A ⊂B 。

显然，空集 ∅ 是所有非空集合的真子集。

练习1.11、选择题(1) 可称为集合的是（ ）A. 某本书中第k 页上文字的全体。

B. 很大的数的全体。

C. 比复数1+i 大的数的全体。

D. 接近于0的数的全体。

(2) 不能称为集合的是（ ）A. 大于1、小于60的整数的全体。