直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质
直角三角形的性质直角三角形是一个特殊的三角形，其中一个角度是90度，另外两个角度分别是锐角和钝角。
本文将讨论直角三角形的性质，包括三边关系、勾股定理以及一些有用的定理和公式。
一、三边关系在直角三角形中，三条边之间有一些特殊的关系。
首先，斜边是直角三角形中最长的边，且是两个直角边的弦。
其次，直角边与斜边之间的关系可以用勾股定理来描述。
二、勾股定理勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
根据定理的表达式，我们可以通过已知两边的长度来计算第三边的长度，并验证是否为直角三角形。
具体表达式如下：c^2 = a^2 + b^2其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示直角边的长度。
勾股定理不仅可以用来计算直角三角形的边长，还可以用于解决一些几何问题，例如确定两点之间的距离或计算桥梁的斜度等。
三、直角三角形的特殊性质除了三边关系和勾股定理外，直角三角形还有一些有用的特殊性质。
下面列举几个常见的性质。
1. 直角三角形的两个锐角，它们的和为90度。
这是直角三角形的定义性质，使得直角三角形在几何中具有独特的地位。
2. 直角三角形的两个直角边的长度可以互相转化。
例如，如果已知一个直角三角形的直角边长度为a和b，那么可以通过勾股定理计算出斜边的长度c。
如果我们交换a和b的值，斜边的长度c不会改变，这是由于平方和函数的性质决定的。
3. 直角三角形的一条内心连线将直角均分。
内心是直角三角形内切圆的圆心，内心连线将直角一分为二，且与直角边垂直相交。
4. 直角三角形的高是斜边上的高线，从直角顶点到斜边上某一点的垂线。
斜边上的任意一点到直角顶点的距离就是直角三角形的高。
四、实际应用直角三角形的性质在实际中具有广泛的应用。
例如，测量建筑物的高度或距离时，可以利用直角三角形来解决。
通过测量建筑物与地面的距离以及观察角度，可以使用三角函数计算出建筑物的高度。
此外，直角三角形的性质还在工程学、物理学、导航以及图形学等领域有着重要的应用。
18-直角三角形性质及全等判定 - 教师版
教师姓名学生姓名年级上课时间学科数学课题名称直角三角形性质及全等判定待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一1、直角三角形全等的判定（1）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简称“H.L”定理）．（2）判定两个直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．知识点二2、直角三角形的性质：（1）定理1：直角三角形的两个锐角互余；（2）定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒．Ⅱ知识精析二、直角三角形的性质（一）典例分析、学一学例2-1如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，联结PQ、DE．问题1：求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；问题2：如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明。
答案：（1）证明：联结PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴PE=12 BF．同理：PD=12 BF，∴PD=PE∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，联结PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：联结PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证：QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．例2-2如图，在等边△ABC 中，AB=4，点P 是线段AB 上任意一点（不包括端点），过P 作PE ⊥BC 于E ；过E 作EF ⊥AC 于F ；过F 作FQ ⊥AB 于Q ．问题1：设BP=x ，AQ=y ，用含x 的式子填空， EC= ， AF= ，写出求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； 问题2：当AQ=1.2时，求BP 的长度；问题3：当BP 的长度等于多少时，点P 与点Q 重合？答案：问题1： EC =4-12x ，AF =2+14x ， y 与x 之间的函数关系式为y =1+18x ；（0<x <4）问题2：当AQ =1.2时，即y =1.2时，1.2=1+18x ，解得x =1.6，∴当AQ =1.2时，求BP 的长度为1.6； 问题3：∵点P 与点Q 重合，∴x +y =4，∴x +1+18x =4，解得x =83， ∴当BP 的长度等于83时，点P 与点Q 重合． 例2-3如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是△ABC 内的一点，且1PB =，2PC =，3PA =，求BPC ∠的度数．答案：135提示：旋转三角形APC例2-4如图在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，DA DB =，E 、F 分别在AC 和BC 上，且ED ⊥DF ． 求证：222EF AE BF =+．提示：倍长FD ，将三条线段转化到一直角三角形中.FEDBACⅢ课堂测评1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点, AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F.求证：△ACE≌△CBF.证明:∵AE⊥CD∴∠AEC=90°,∴∠ACE+∠CAE=90°(直角三角形两个锐角互余)∵∠ACE+∠BCF=90°∴∠CAE=∠BCF (等角的余角相等)∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC=∠BFC =90°.在△ACE与△CBF中，∠CAE=∠BCF，AEC=∠BFC，AC=BC∴△ACE≌△CBF(AAS)2.如图，已知在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE．求证：∠B＝2∠BCE．证明:联结DE.∵AD⊥BC,AE=BE,∴DE=BE,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)∴∠B=∠BDE.(等边对等角)∵CD=BE,∴CD=DE,(等量代换) ∴∠DEC=∠DCE.(等边对等角)∵∠EDB=∠DEC+∠BCE,(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.)∴∠EDB=2∠BCE.(等式性质)∵∠B=∠EDB, ∴∠B=2∠BCE. (等量代换)3.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。
11-直角三角形性质与判定
题型一：直角三角形两锐角互余【例1】在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；【例2】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高．(1)写出图中与∠B互余的角；(2)图中互余的角有几对，请你一一写出来．题型二：直角三角形斜边中线等于斜边的一半【例3】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E,F是AB边的中点．求证：EF∥AC．【例4】如图，已知∠C =90°，∠A=38°，点D是AB的中点，CF=AD，求∠E的度数．题型三：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半【例5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高．写出图中线段间存在2倍关系的等式．【例6】如图，AD ∥BC,AD =12BC,CE 垂直平分AB ，垂足为E ．求证：∠1=∠2=∠3．【巩固练习】 填空题：1．在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠B =0'7413，则∠C=_____________________. 2．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，则图中相等的锐角是____________________.3． 在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥ AC ，∠C=30°,AB=4，则DC=___________. 4．等腰三角形顶角的平分线的长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角等于__________. 5．直角三角形斜边上的中线等于3. 5cm ，斜边上的高等于2.4cm ，则这个直角三角形的面积等于__________________2cm ． 解答题：1．在△ABC 中，AB=AC=10，∠BAD=∠DAC=60°，BD=53.求：ABC S ∆．2．已知，如图在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，M 、N 分别是BD 、CE 的中点．求证：MN ⊥ CE3.已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长4.已知：等边△ABC 中， D 为BC 边上的中点，DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41=.∆中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，4．如图，在ABCEF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G，求证：BF=CG。
直角三角形的性质与判定教案
直角三角形的性质与判定教案直角三角形是指其中一个内角为90°的三角形。
在本教案中，我们将学习直角三角形的性质与判定方法。
通过本教案，我们将了解到直角三角形的特点以及如何利用这些特点进行判定。
一、直角三角形的性质1. 边长关系：在直角三角形中，直角边是相对于直角的两条边。
我们可以使用勾股定理来描述直角三角形的边长关系。
根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
即，设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c，那么有a² + b²= c²。
2. 角度关系：在直角三角形中，直角为90°，而其余两个角的和为90°。
即，设直角三角形的一个角为α，另一个角为β，那么有α + β = 90°。
二、直角三角形的判定方法根据直角三角形的性质，我们可以通过以下方法来判定一个三角形是否为直角三角形：1. 根据边长关系判定：若一个三角形的三条边满足勾股定理中的等式关系，即a² + b² = c²或c² = a² + b²，则该三角形是直角三角形。
例如，若一个三角形的边长为3、4、5，则满足3² + 4² = 5²，因此该三角形是直角三角形。
2. 根据角度关系判定：若一个三角形的一个角为90°，则该三角形是直角三角形。
例如，若一个三角形的一个角为90°，另一个角度为45°，则这个三角形是直角三角形，因为90° + 45° = 135°。
3. 综合判定：在某些情况下，我们可以综合使用边长关系和角度关系来判定直角三角形。
例如，若一个三角形的两条边长为5和12，并且夹角为90°，则这个三角形是直角三角形。
因为5² + 12² = 13²，同时夹角为90°。
直角三角形常考的10个易错点浅析
直角三角形常考的10个易错点浅析1. 直角三角形的性质性质1：直角三角形两锐角互余.性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质3：直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半.2. 直角三角形的判定判定1：有两个角互余的三角形是直角三角形.判定2：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形.3. 直角三角形的性质勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么222c b a =+.4. 直角三角形的判定勾股定理逆定理：如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.5. 直角三角形全等的判断：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“H L ”）6. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.7. 角平分线的性质定理的逆定理：角平分线性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 易错点1 忽略了运用直角三角形的性质的前提条件在运用直角三角形的性质时，它的前提是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，那么这些性质就不存在了，所以运用时要注意前提条件。
例题1 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，∠A =60°，则∠BCD 的度数为（ ）A .30°B .60°C .90°D .无法确定【错解】B【错因】在本题中没有指明△ABC 是直角三角形，故不能利用直角三角形的性质进行计算。
错解中想当然地认为△ABC 是直角三角形，然后利用了直角三角形的性质，进而造成错解。
【正解】D例题2 如图，在△ABC 中，∠ABC =75°，从顶点B 引射线BD 与CA 交于D 点，使∠CDB =30°，BD =AD 。
求证：AD =2BC 。
【错解】在△BCD 中，∵∠CDB =30°，∴BC =12BD 。
∵BD =AD ，∴BC =12AD ，即AD =2BC 【错因】在本题中没有指明∠C =90O，故不能直接利用直角三角形的性质进行计算。
直角三角形的判定和性质
等腰直角三角形的面积可以通 过其直角边计算，面积=1/2 * a * a = 1/2 * a^2。
30°-60°-90°的直角三角形
30°-60°-90°的直角三角形是具有30°和60°锐角的直角三角形，其中30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即c=2a，其中c为斜边，a为30°角所 对的直角边。
直角三角形中的三个角满足三角形内角和定理，即三角形的 三个内角之和等于180度。
直角三角形中的边长关系
直角三角形中，斜边是直角边中最长的一边，且斜边上的 中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即勾 股定理。
直角三角形的中线性质
直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 直角三角形的中线性质还包括，中线与直角相对的边平行且等于该边的一半。
04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形
直角三角形的判定和性质
目 录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的性质 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的特殊情况
01
直角三角形的定义
定义
01
直角三角形是有一个角为90度的 三角形。
02
在直角三角形中，斜边是最长的 一边，两个锐角的角度之和为90 度。
直角三角形的表示方法
运动学
在描述物体的运动轨迹时，我们经常需要使用直角三角形来计算角度、速度和加速度等物 理量。例如，在抛体运动中，我们可以使用直角三角形来计算物体的射程和仰角。
(完整版)直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE：例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.B MC【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)∴△ABF,△DCE 是直角三角形∵BE=CF(已知)∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.求证:AN 平分∠BAC.(7分)BA21N MCB A E FC B AEF C D11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)B AE F D12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)BAE CD13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)C14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)B AE MFC D直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.【典型例题讲解】例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。
湘教版数学八年级下册_《直角三角形的性质和判定》要点及典例分析
直角三角形的性质和判定
一、知识要点解析:
1.直角三角形的判定:
(1)定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
(2)定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.当然后面学了勾股定理后还可以运用勾股定理的逆定理进行判定.
注意:判定直角三角形要灵活运用定义和定理,根据具体题目具体分析.
2.直角三角形的性质:
(1)直角三角形的两个锐角互余。
（2）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
二.典例分析
例1、在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点. 如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请证明△OMN是直角三角形.
分析:要证明△OMN是直角三角形,只要证明∠MON=900即可.
证明：连接OA。
AN=BM，OA=OB，∠OAC=∠B=45°
△OAN≌△OBM,得ON=OM，∠AON=∠BOM
又∠AOM+∠BOM=90°
所以∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.
所以△OMN是直角三角形.
专项练习：
1、若一个三角形三内角之比为1:2:3,则该三角形一定是( )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
2、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边上的中线的长是（）
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
参考答案:
1.B
2.A。
直角三角形全等的判定方法及性质
直角三角形全等的判定方法及性
质
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1、全等角形面积和周长相等。
2.全等角对应边的高度相等。
3、全等角形的对应边相等。
4.全等角对应边的中线相等。
5.全等角对应的角的角函数值相等。
6、全等角形的对应角相等。
7.能够完全重合的顶点称为对应顶点。
8.全等角对应的角的平分线相等。
1.2.1直角三角形的性质与判定
没有逆定理
辨一辨
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理。 × （2）每个命题都有逆命题。 √ （3）假命题没有逆命题。 × （4）真命题的逆命题是真命题。 ×
总结：1、所有的命题都有逆命题，但不一定是真命题 2、不是所有定理都有逆定理
3．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠A＝40°，
假命题 真命题
(4)在一个三角形中，等角对等边。
真命题
在一个三角形中，等边对等角。
真命题
(5)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的
交通工具。
真命题
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。 假命题
一个命题经证明是真命题，就可称为定理；
定理：两直线平行，内错角相等。
请说出其逆命题，并判断是真命题还是假命题：
A
B
1.具有等腰三角形的所有性质
2.具有直角三角形的所有性质
∠C=90°，∠A=∠B=45°
命题
条件
结论
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 两直线平行
⑶如果a＝b，那么a2＝b2。
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
a2＝b2
a＝b
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关 系？命题⑶与命题⑷呢？
1.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°
的斜坡，从Ａ滑至Ｂ．已知AB=200m，你知道这
名滑雪运动员的高度下降了多少ｍ吗？ A
B
30o
DC
2.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠C=30°，
AD⊥AB,且AD=5cm,则CD,BD的长分别是多少？
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
直角三角形的定义是什么？
直角三角形的定义是什么？
定义
有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形.
性质
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质.
直角三角形的性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半；
（4）在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°；（5）在直角三角形中,两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a^2＋b^2=c^2 (勾股定理)；（6）直角三角形斜边上的高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上的中线等于该直角三角形内切圆半径. 判定
直角三角形的判定：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；
（2）一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；
（3）若a^2＋b^2=c^2,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形（勾股定理的逆定理）；（4）若三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；（5）两个锐角互余的三角形是直角三角形.圆的定义:在平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
直角三角形
教学内容知识点讲解/梳理知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的性质定理2、定理：1、直角三角形的两个锐角互余。
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1. 在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为____。
考点：直角三角形的性质，三角形内角和。
分析：利用直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，即可算出。
解答：解：根据直角三角形性质，两个锐角互余；题目已知条件已经给出其中一个锐角为52°，即：90°-52°=48°点评：熟悉掌握直角三角形的性质，是解题的关键。
例2、在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
考点：直角三角形的性质，等腰三角形的性质。
分析：利用直角、等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半和等腰三角形两底角相等，即可算出。
解答：解：因为△ABC为直角三角形，并且CE为斜边AB的中线，根据直角三角形性质可得，CE=AE=BE。
∴△ACE和△CBE是等腰三角形，即∠A=∠ACE；又∵∠A=35°，∠ECB=∠B,则∠AEC=110°，而∠AEC=∠ECB+∠B 即∠ECB=55°。
点评：熟悉掌握直角三角形和等腰三角形的性质，是解题的关键。
即时训练：1、已知，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B=；2、在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A与∠B；3、在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是三角形。
4.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A=（）A.66°B.36°C.56°D.46° 5.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，CD ＝4 cm ，则AB ＝________cm.。
1.2.1直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质和判定
勾股定理逆定理
结论
直角三角形的性质定理：
直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. a2+ b2 = c2
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三 角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角 边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为 弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.
图1-15
练习
在Rt△ABC中，∠C= 90°.
（1） 已知a = 25，b = 15，求c； （2） 已知a = 5，c = 9，求b； （3） 已知b = 5，c=15，求a.
b 2 14 ；（3） a 10 2 . 答：（1）c= 5 34 ；（2）
动脑筋
如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC 靠在 墙上，使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5m，准备在 墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，发现高度不够， 于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处. 那么，梯子顶端是否往上移动0.5m 呢？
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由已知得AB=30×
40 （海里）， 20 60
在Rt△CBD中，∠BCD=30°，
∴ BD =
∴ CD =
1 2
BC =
2
1 2
×20 = 10 （海里） .
2
CB - BD =
20 - 10
2
2
D
= 10 （海里） 3 > 10 （海里） .
因CD距离不在以点C为中心，周围10 海里范围内， 所以轮船不会触礁.
1.2直角三角形的性质和判定
说一说
如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等 于多少呢？
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定直角三角形的性质：1、直角三角形的两个锐角互为余角。
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
4、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形的判定：判定1、有一个角为90°的三角形是直角三角形。
补充内容：直角三角形（right triangle）是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。
其符合勾股定理，具有一些特殊性质和判定方法。
直角三角形分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（特殊情况)在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。
直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。
若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为°。
两直角边相等，两锐角为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径r。
等腰直角三角形的边角之间的关系：（1）三角形三内角和等于°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
（3）三角形的一外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。
（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。
（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）。
（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
直角三角形的所有性质
直角三角形的所有性质
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外
心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab=ch．
性质5：直角三角形垂心位于直角顶点．
性质6：直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半，即r ＝a+b-c/2
性质7：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项．
性质8：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的
比例中项．由此，直角三角形两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比．
性质9：含30°的直角三角形三边之比为1：√3：2
性质10：含45°角的直角三角形三边之比为1：1：√2。
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反思小结
∗ 今天这堂课学了什么内容？ 今天这堂课学了什么内容？
• 1、直角三角形的性质 、 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 在直角三角形中， • 2、直角三角形的判定 、 有两个角互余的三角形是直角三角形
本次课程结束
A
C
B
自主探究
1、在△ABC中∠A=20°, ∠B=70°,则∠A+∠B= 、 中 ° °则 ∠ △ABC是 三角形。 是 三角形。 2、在△ABC中∠A=30°, ∠B=60°,则∠A+∠B= 、 中 ° °则 ∠ △ABC是 三角形。 是 三角形。 ° ∠C=__ , ° ∠C=__,
3、通过1、2的练习，我们发现在△ABC中如果∠A+∠B= 、通过 、 的练习 我们发现在△ 的练习， 中如果∠ ∠ 中如果 那么这个△ 三角形。 那么这个△ABC是 是 三角形。 A 4、小结： 、小结有两个角互余的三角形是直角三角形 ：
所以 CD= （ ） 因为∠A+∠ 因为∠A+∠B= 1+∠ ∠1+∠2= 所以 = （ 所以 CD= 即 CD=BD=AD Rt△ CD 是 Rt△ABC 斜边的中线 所以 CD= AB
1 2
D
）
1 2
C B
5、归纳 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 、 6、你还有什么发现？ 、你还有什么发现？
°，
C
B
动手操作、探究
1、按要求作图：画一个Rt△ABC，作出斜边 的中线 。 、按要求作图：画一个 △ 的中线CD。 ，作出斜边AB的中线 2、量一量线段 的长度。 、量一量线段AD, BD, CD, AB的长度。 的长度 3、你的猜想是： 、你的猜想是： 4、验证： 作 ∠BCD=∠B 、验证： BCD=∠ A
A
ABDΒιβλιοθήκη CB巩固提高
1、一块三角形铁片，其中一个角断掉了 ∠A=55°∠B=35° 这块三 角形铁片是 三角形
A A D (1) B (2) C B
2、在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，AB=10cm，则CD=___AD=_____ BD=____ 3、在Rt△ABC中, CD是斜边AB的中线，CD=4cm，则AB=_____ 4、在△ABC中，CD是AB的中线且CD= AB，那么这个三角形是（ A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 ）
直角三角形的性质和判定
制作人:网岭镇中学 易冬朝
课前检测
1、在Rt△ABC中 , ∠C=90°, ∠A=40° , 则∠B=—— 、 △ 中 ° ° 2、在Rt△ABC中 , ∠C=90°, ∠A=35°, 则∠B=—— 、 △ 中 ° ° 3、你发现：在Rt△ABC中 , ∠C=90°, 则∠A+∠B=—— 、你发现： △ 中 ° ∠ 4、你总结：在直角三角形中，两个锐角—— 、你总结：在直角三角形中，两个锐角
合作讨论
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证 这个三角 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证:这个三角 形是直角三角形 讨论：1、结合图形说出题中的已知和求证 2、要证明△ABC是直角三角形要用什么定理？ 已知： 是 的边AB上的中线 已知：CD是△ABC的边 上的中线，且CD= 的边 上的中线， 求证： 求证：△ABC是直角三角形 是直角三角形