概率统计期末试卷

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概率论与数理统计》期末考试试题及解答

概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。

解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。

(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题(每小题3分，共15分）1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。

答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。

2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。

答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________。

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选择题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( )(A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（）3311()()()()328168A B C D(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a 成立的是( ) （A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-adx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F(5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记5011,50i i X X ==∑ 则 50211()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2,)50N (B) 2(,4)50N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填空题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P(2) 设随机变量X 有密度⎩⎨⎧<<=其它010,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=>的常数a =(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P (4)设()221xx f x -+-=，则EX = , DX =(5)设总体~(,9)X N μ，已知样本容量为25，样本均值x m =；记0.1u a =，0.05u b =；()0.124t c =，()0.125t d =；()0.0524t l =，()0.0525t k =，则μ的置信度为0.9的置信区间为三、解答题（共60分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.3、(10分)设随机变量X 服从参数2λ=的指数分布，证明：21XY e-=-服从()0,1上的均匀分布。

概率论与数理统计期末试卷与答案(最新5)

概率论与数理统计期末试卷及答案一、填空题：1、一袋中有50个球，其中20个红球，30个白球，现两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到白球的概率为 3/5 。

2、设P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2，那么()P AB = 2/3 。

3、若随机变量X 的概率密度为2(),11,f x Ax x =-<<那么A= 3/2 。

4、若二维随机变量（X,Y ）在以原点为圆心的单位圆内的概率密度函数是1/π，其它区域都是0，那么221()2P X Y +<= 1/2 。

5、掷n 枚骰子，记所得点数之和为X ，则EX = 3.5n 。

6、若X ，Y ，Z 两两不相关，且DX=DY=DZ=2，则D(X+Y+Z) = 6 。

7、若随机变量12,,,n X X X 相互独立且同分布于标准正态分布N(0,1)，那么它们的平方和22212n X X X +++服从的分布是2()n χ。

8、设A n 是n 次相互独立的试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对任意的0>ε,lim {||}An n p n→+∞-≥ε= 0 。

9、设总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，样本为12,,,n X X X ，设00:H =μμ，10:H <μμ，则拒绝域为z α<-。

10、设总体X 服从区间[1,a ]上的均匀分布，其中a 是未知参数。

若有一个来自这个总体的样本2, 1.8, 2.7, 1.9, 2.2, 那么参数a 的极大似然估计值a = 12max{,,,} 2.7n x x x =。

二、选择题1、设10张奖券只有一张中奖，现有10个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是（ A ）（A ）每个人中奖的概率相同；（B ）第一个人比第十个人中奖的概率大；（C ）第一个人没有中奖，而第二个人中奖的概率是1/9；（D ）每个人是否中奖是相互独立的 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且21(,)X N μσ，22(,)Y N μσ，则X Y -服从的分布是（ B ）（A ）212(,)N -μμσ；（B ）212(,2)N -μμσ；（C ）212(,)N +μμσ；（D ）212(,2)N +μμσ3、设事件A 、B 互斥，且()0P A >，()0P B >，则下列式子成立的是（ D ）（A ）(|)()P A B P A =；（B ）(|)0P B A >；（C ）(|)()P A B P B =；（D ）(|)0P B A =；4、设随机变量X 与Y 独立同分布，P(X= -1) = P(Y= -1) =1/2，P(X= 1) = P(Y= 1) =1/2，则下列成立的是（ A ）（A ）()1/2P X Y ==；（B ）()1P X Y ==；（C ）(0)1/4P X Y +==；（D ）(1)1/4P XY ==；5、有10张奖券，其中8张2元，2张5元。

《概率论与数理统计期末试题》(最终版本+最新考研题目)

班级姓名班内序号习题一样本空间、随机事件、概率一、填空题．1．设,,A B C 为三事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件．（1）A 发生，B 与C 不发生：（2）A 与B 都发生，而C 不发生：（3）,,A B C 中至少有一个发生：（4）,,A B C 都不发生：（5）,,A B C 中不多于一个发生：（6）,,A B C 中不多于两个发生：（7）,,A B C 中至少有两个发生：2．设,A B 为两随机事件且3()7P AB =，4()()7P A P B ==，则()P A B ⋃=3．设A B ⊃，(),()P A p P B q ==，则()P A B -=4．判断下列命题的正误．（1）()A B AB B ⋃=⋃ （）（2）AB A B =⋃ （）（3）若,,AB C A BC φφ=⊂=且则（）（4）若B A A B A ⊂⋃=，则（）二、计算题．1．写出下列随机试验的样本空间Ω和下列事件所包含的样本点．（1）掷一颗骰子，出现奇数点．（2）掷两颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点”2．设,A B 为两事件且()0.6,()0.7P A P B ==，问（1）在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下()P AB 取到最小值，最小值是多少？3．设,,A B C 为三事件，且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====， 1()8P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率．4．设,A B 为两事件，且()0.7,()0.3P A P A B =-=，求()P AB ．班级姓名班内序号习题二古典概型一、填空题．1．已知6只产品中有两只次品，在其中任取两只，则两只都是正品的概率是2．设一同学书桌上放着9本书，其中有3本英语书，现随机取两本，取到的全是英语书的概率为3 ．在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连续抽取7张进行排列，则排列结果为ability的概率为二、计算题．1．对一个5人学习小组考虑生日问题：（1）求5个人的生日都在星期日的概率；（2）求5个人的生日都不在星期日的概率；（3）求5个人的生日不都在星期日的概率．2．从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？3．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率． (2) 求最大号码为5的概率．4．随机地向半圆0)y a <<为正常数内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率是多少？班级姓名班内序号习题三条件概率、全概率公式一、计算题．1．设()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===，求()P B A B ⋃．2．已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品．3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，问他拨号不超过3次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？4．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？5．有两箱同种类的零件．第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品．今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取1只，作不放回抽样．求（1）第一次取到的零件是一等品的概率．（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．班级姓名班内序号习题四独立性一、填空题．1．假设,A B 是两个相互独立的事件，()0.7,()0.3P A B P A ⋃==，则()P B =2．某人向同一目标重复射击，每次命中率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第二次命中的概率为二、计算题．1．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,,534，问三人中至少有一个能将密码译出的概率是多少？2．袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？3．甲、乙、丙3人独立地向飞机射击，设击中的概率分别是0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率．4．证明：若()()P A B P A B =，则,A B 相互独立．（提示：()()()P AB P A P AB =-）班级姓名班内序号习题五离散型随机变量及其分布律1．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示3只求中的最大号码，写出随机变量X的分布律．2．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为=-<<．1(01)q p p（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律．（此时称X服从以p为参数的几何分布）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律．（此时称Y服从以,r p为参数的巴斯卡分布）3．设离散型随机变量X 的分布律为：{},(1,2,3,)kP X k b k λ===L 且0b >，求λ的值．4．设随机变量X 服从泊松分布，且满足{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率．班级姓名班内序号习题六分布函数与连续型随机变量（一）1．将一枚硬币连抛2次，以X表示正面朝上的次数，写出X的分布律和分布函数，并画出分布函数的图形．2．以X表示某商店从早晨开始营业起到直到第一个顾客到达的等待时间（以分钟计），X的分布函数是0.41,0(),0,0xXe xF xx-⎧->=⎨≤⎩求下述概率：（1）{3}P至多分钟；（2）{}P至少4分钟；（3）{3}P分钟至4分钟之间；（4）{3}} P至多分钟或至少4分钟；（5）{ 2.5}P恰好分钟3．设连续型随机变量X 的分布函数为：,0(),(0)0,0x A Be x F x x λλ-⎧+≥=>⎨<⎩（1）求常数,A B ；（2）求{2},{3}P X P X ≤>；（3）求密度函数()f x4．已知随机变量X 的密度函数为：(),()xf x Ae x -=-∞<<+∞求：（1）常数A 的值；（2）{01}P x <<（3）()F x班级姓名班内序号习题七连续型随机变量（二）一、填空题．1．设随机变量X 服从指数分布，其密度函数为：,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，含有变量a 的二次方程220a a X ++=有实根的概率为 2．记z α为标准正态随机变量的上α分位点，则0.01z = ， 0.003z = ，0.997z = ．二、计算题．1．某种型号的器件的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度：21000,1000()0,x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩其它现有一大批此种器件（设各器件损坏是否相互独立），任取5只，问其中至少有一只寿命大于1500小时的概率是多少？2．设2~(3,2)X N ，求（1）{25}P X <≤，{2}P X >（2）确定c 使得{}{}P X c P X c >=≤（3）设d 满足{}0.9P X d >≥，问d 至多为多少？3．设随机变量X Y 与均服从正态分布，且2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，试比较以下12p p 和的大小．12{4},{5}p P X p P Y μμ=≤-=≥+4．设随机变量2~(,)X N μσ，试问：随着σ的增大，概率{}P X μσ-<是如何变化的？班级姓名班内序号习题八随机变量函数的分布1．设随机变量X 的分布律为：求2Y X =的分布律．2．设随机变量X 服从（0，1）上均匀分布．（1）求XY e =的概率密度．（2）求2ln Y X =-的概率密度．3．设~(0,1)X N ，求Y X =的概率密度．4．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,xx f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度．5．设随机变量X 服从参数为12的指数分布，证明：21X Y e -=-在区间（0，1）上的均匀分布．班级姓名班内序号习题九二维随机变量和边缘分布一、填空题．1．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为2(,)(arctan )(arctan ),(,)22x F x y A B y x y R π=++∈则常数A = B =2．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)F x y ，则{,}P a X b Y d <≤≤=二、计算题．1．箱子中装有12只开关，其中2只次品，取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样（2）不放回抽样，我们定义随机变量,X Y 如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取的是正品若第一次取的是次品 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取的是正品若第二次取的是次品试分别就（1）（2）两种情况，写出,X Y 的联合分布律．2．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 (6),02,24(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它（1）确定常数k ；（2）求{1,3}P X Y <<；（3）求{ 1.5}P X <；（4）求{4}P X Y +≤．3．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 ,0(,)0,y e x yf x y -⎧<<=⎨⎩其它（1）求随机变量X 的密度()X f x ；（2）求{1}P X Y +≤．班级姓名班内序号习题十条件分布、相互独立的随机变量1．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下：(1)求X Y 和的边缘分布；(2)求在0.4Y =的条件下X 的分布律；(3){50.4}P X Y ≥=；（4）判断X Y 和是否相互独立．2．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：1,,01(,)0,y x x f x y ⎧<<<=⎨⎩其它（1）求条件概率密度(),()Y X X Y f y x f x y ；（2）判断X Y 和是否相互独立．3．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：2221,1(,)40,x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（1）求边缘概率密度；（2）判断X Y和是否相互独立．4．在（0，1）上随机取两个数，求这两个数之差的绝对值小于12的概率．5．设X Y和是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为：21,0 ()20,0yYe yf yy-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（1）求X Y和的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为220a Xa Y ++=，试求a 有实根的概率．6*．设随机变量X Y 和相互独立，下表列出随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X Y 和的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处．班级姓名班内序号习题十一随机变量函数的分布一、填空题．1、设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间（0，3）上的均匀分布，则{max(,)1}P X Y ≤=2、设X Y 与为两个随机变量，且3{0,0},7P X Y ≥≥=4{0}{0},7P X P Y ≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=二、计算题1．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它， ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它求随机变量Z X Y =+的概率密度．2．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：,0()0,0x X e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，,0(),(,0)0,0y Y e y f y y μμμλ-⎧>=>⎨≤⎩为常数引入随机变量 1,0,X YZ X Y ≤⎧=⎨>⎩，（1）求条件概率密度()X Y f x y ；（2）求Z 的分布律和分布函数．3．设某种型号的电子元件的寿命（于小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机地取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率．4．设X Y 与相互独立，1{},(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为 1,01()0,Y y f y ≤≤⎛=⎝其它，记Z X Y =+，（1）求1{0}2P Z X ≤=；（2）用全概率公式计算{ 1.4}P Z ≤5．设随机变量,X Y 相互独立，且服从同一分布．试证明： 22{min(,)}[{}][{}]P a X Y b P X a P X b <≤=>->班级姓名班内序号习题十二数学期望一、填空题．1．X 服从参数为1的指数分布，则2(23)XE X e-+=2．~(1)X π，则{2()}P X E X ==二、计算题．1．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次．每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备．以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X ．（设各产品是否为次品是相互独立的）2．设随机变量X Y 与的联合概率分布如下：求()E X ，()E Y ，()E XY ．3．设(,)X Y 的概率密度为： 212,01(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X ，()E Y ，()E XY ，22()E X Y +．4．将n 只球（1~n 号）随机地放进n 只盒子（1~n 号）中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求()E X ．班级姓名班内序号习题十三方差一、填空题．1．设~(,)X b n p ，则()E X = ，()D X = 2．设~()X πλ，则()E X = ，()D X = 3．设~(,)X U a b ，则()E X = ，()D X =4．设X 服从参数为θ的指数分布，则()E X = ，()D X = 5．设2~(,)X N μσ，则()E X = ，()D X = 6．已知随机变量~(3,1),~(2,1)X N Y N -，且,X Y 相互独立，27Z X Y =-+，则~Z二、计算题．1．设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有(),()5,i i E X i D X i ==-(1,2,3,4)i =．设12341232Y X X X X =-+-，求(),()E Y D Y ．2．卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X （以公斤计）服从2(50,2.5)N ，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05．3．设随机变量,X Y 相互独立，且~(6,16),~(1,9)X N Y N ，求（1）{}P X Y >，（2）{7}P X Y +>4．设X 为随机变量，C 为常数，证明2(){()}D X E X C ≤-．班级姓名班内序号习题十四协方差与相关系数一、填空题．1．设()1,()1,()1,()2,(,)1E X D X E Y D Y Cov X Y =-====，则(34)E X Y += ，(34)D X Y -= 2．设()2,()3,(,)1D X D Y Cov X Y ===-，则(321,43)Cov X Y X Y -++-=3．设~(0,1),~(1,4)X N Y N ，1xy ρ=，则{21}P Y X =+=4．设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X Y 和相互独立的充要条件是ρ=二、计算题．1．设随机变量(,)X Y 具有概率密度：1(),02,02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ，()E Y ，(,),,().XY Cov X Y D X Y ρ+2．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：221,1(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，试验证X Y 和是不相关的，但X Y 和不是相互独立的．3．设(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()X Y D X D Y σσ==，证明当222/X Y a σσ=时随机变量W X aY X aY =-=+与V 相互独立．班级姓名班内序号习题十五大数定律与中心极限定理一、填空题．1．设随机变量X 具有2(),()E X D X μσ==，则有切比雪夫不等式，有{3}P X μσ-≥≤2．设12,,,,n X X X L L 相互独立同分布，且()n E X =0，则1lim {}ni n i P X n →∞=<=∑二、计算题．1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数．设所有舍入误差是独立的且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布．（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？2．设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9，以95%概率估计，在一次行动中，至少有多少人能够进入？3．在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费，求：（1）保险公司没有利润的概率为多大？（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？4．一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？班级姓名班内序号习题十六样本及抽样分布（一）一、填空题．1．设12,,,n X X X L 为来自总体2(0,)N σ的样本，且随机变量221()~(1)ni i Y C X χ==∑，则常数C =2．设1234(,,,)X X X X 取自正态总体2~(0,2)X N 的样本，且22123411(2)(34)20100Y X X X X =-+-，则，~Y 分布．二、计算题．1．在总体2(52,3)N 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率．2．求总体(20,3)N 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率．3．设1210,,,X X X L 为2(0,0.3)N 的一个样本，求1021{ 1.44}ii P X=>∑．4．设总体2~()X n χ，1210,,,X X X L 是来自X 的样本，求2(),(),()E X D X E S ．班级姓名班内序号习题十七样本及抽样分布（二）二、填空题．1．设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，则22221()(1)~ni i X X n S σσ=--=∑分布，221()~ni i X μσ=-∑分布．2．记()t n α为t 分布的上α分位点，则0.995(29)t = 3．已知~(),X t n 则2~X 分布．二、解答题．1．设总体~(1,)X B p ，12,,,n X X X L 是来自X 的样本．（1）求12(,,,)n X X X L 的分布律；（2）求1nii X=∑的分布律；（3）求2(),(),()E X D X E S ．2．设在总体2(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，这里2,μσ均为未知．（1）求222{ 2.041},S P S σ≤其中为样本方差；（2）求2()D S3．设总体2~(,)X N μσ，1234,,,X X X X 为来自X 的样本，Y =~(2).Y t班级姓名班内序号习题十八点估计1．设12,,,n X X X L 为总体X 的一个样本，X 的密度函数为：1,01(),(0)0,x f x θ≤≤=>⎝其它，求θ的矩估计和最大似然估计．2．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为 2()2,(;)0,x e x f x θθθ--⎧>=⎨⎩其它其中0θ>为未知参数，又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．3．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本，且~()X πλ．求{0}P X =的最大似然估计．4．设总体X 具有分布律（如下表）其中(01)θθ<<为未知参数．已知取得了样本值1231,2,1x x x ===．试求θ的矩估计值和最大似然估计值．班级姓名班内序号习题十九估计量的评价标准一、填空题．1．设12,,,n X X X L 是来自总体(,)B n p 的样本，若2X kS +为2np 的无偏估计，则k =2．设12,,,n X X X L 是来自总体2(,)N μσ的样本，若21()n i i aX μ=-∑和21()n i i b X X =-∑都是2σ的无偏估计，则a = ，b = 二、解答题．1．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本，设2(),()E X D X μσ==（1）确定常数c 使1211()n i i i cX X -+=-∑为2σ的无偏估计；（2）确定常数c 使22()X cS -为2μ的无偏估计．2．设1234,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布总体的样本．其中θ未知．设有估计量： 1123411()()63T X X X X =+++， 212341(234)5T X X X X =+++， 312341()4T X X X X =+++ （1）指出中哪几个是θ的无偏估计量；（2）在上述θ的无偏估计量中指出哪一个较为有效．3．设ˆθ是参数θ的无偏估计，且有ˆ()0D θ>，试证^22ˆ()θθ=不是2θ的无偏估计．班级姓名班内序号习题二十正态总体均值与方差的区间估计1．设总体~(,8)X N μ，1236(,,,)X X X L 为其简单随机样本，[1,1]X X -+是μ的一个置信区间，求该置信区间的置信水平．2．设某种油漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）分别为： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.3设干燥时间总体服从正态分布2(,)N μσ，求μ的置信水平为0.95的置信区间．（1）若由以往的经验知σ=0.6（小时）；（2）若σ为未知．3．随机地取某种炮弹9发做实验，得炮口速度的样本标准差11(/)S m s =，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信水平为0.95的置信区间．4．研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05/cm s ，取样本容量为1220n n ==，得燃烧率的样本均值分别为1218/,24/x cm s x cm s ==，求两燃烧率总体均值差12μμ-的置信水平为0.99的置信区间．5．设2~(,)X N μσ，2σ已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信水平为1α-，且置信区间的长度不大于L ？班级姓名班内序号习题二十一单侧置信区间1．为研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行使到磨损为止，所行使的路程为1216,,,X X X L ，假设这些数据来自正态总体2(,)N μσ，其中2,μσ未知，计算得出41117,1347X S ==，试求：（1）求μ的置信水平为0.95的单侧置信下限；（2）求方差2σ的置信水平为0.95的单侧置信上限．2．设两位化验员,A B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为220.5419,0.6065A B S S ==．设22,A B σσ分别为,A B 所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，（1）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的置信区间；（2）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的单侧置信上限．班级姓名班内序号习题二十二假设检验一、填空题．1．在假设检验中，0H 表示原假设，1H 为备择假设，则犯第一类错误指的是不真，接受；犯第二类错误指的是不真，接受．2．设12(,,,)n X X X L 为来自正态总体2(,)N μσ的样本，2σ已知，现要检验假设00:H μμ=，则应选取的统计量是；当0H 成立时，该统计量服从分布．3．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加．二、计算题．1．已知某炼钢厂铁水含碳量服从正态分布2(4.55,0.108)N ，现在测定了9种铁水，其平均含碳量4.84．若估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（0.05α=）？2．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩仍为70分？（给出检验过程）3．要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时。

概率论与数理统计期末考试试题及答案

)B=________________.从中任取律为(,8),P则(2,8)内服布,则分布律,X是来自正态总体9服从的分布是本题12分件产品中有件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放件进行检验四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y Xa 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立为什么五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、 3、2156311C C C 或411或 4、1 5、13 6、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N - 二、解设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ========.... 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=............. 7分(2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯===.......................... 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知 340391()21224x f x dx kxdx dx k +∞-∞⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 故16k =. ................................................. 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612x xF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰; 当34x ≤<时,320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰; 当4x ≥时, 34031()()2162x tF x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰; 故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩............................. 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭...................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知01.0.20.10.10.21a +++++= 故0.3a = ................................................... 4分 (2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3Xp (6)分120.40.6Y p (8)分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠==所以X 与Y 不相互独立. ..................................... 12分五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (6)分 122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ ...................... 9分221()()[()].6D X E X E X =-= ................................... 12分一、 ...................................................... 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：没有任何人的生日在同一个月份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= ,1、 ..............................................................................................(12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1） ...........................................................................................1/4(,)0,x y ϕ⎧=⎨⎩求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） ........................................................................................... 问X 与Y 是否独立是否相关计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

概率论与数理统计期末考试试卷

一、填空题：（每题3分，共30分.请把答案填在题中横线上.）1．设C B A ,,是三个随机事件，则事件“C B A ,,不同时发生”可以表示为： .2. 三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一个人能将此密码译出的概率是____________.3．设离散型随机变量X 的分布函数为()F x ,则{}P a X b <≤= .4．设X 的概率密度函数是{}111()10.520x f x P X ⎧-<<⎪=-<<=⎨⎪⎩，则其它 . 5．若(2,4)X N ，令__________Y =,则(0,1)Y N . 6. 设随机变量X 的方差()D X 存在，则[]()D X '= .7．已知随机变量X 有2(),()E X D X μσ==，根据契比雪夫不等式，则{}3P X μσ-<≥ .8．已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则()D X = .9．设12,,n X X X 是来自总体X 的样本，则11ni i X X n ==∑，2S = .10．评价估计量的标准有无偏性、有效性和 .1．用3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率.2．已知随机变量X 的分布律为1240.50.30.2Xp ⎛⎫⎪⎝⎭，求()F x 及{}1 2.5P X -<<.3．设连续型随机变量X 的分布函数为20()0xA Be x F x -⎧+>=⎨⎩其它，试求：（1）A 、B 的值;（2）概率密度函数()f x .4. 已知随机变量X 、Y 相互独立，二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布如下，请将表内空白处填入适当的数.试卷装订线5. 袋中有2只黑球，2只白球，3只红球，从中任取2只，用ξ表示取到黑球的只数，以η表示取到白球的只数（1）求(,)ξη的联合分布律; （2）求(2)P ξη+≥，22(1)P ξη+≤.6．设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有(),()5,1,2,3,4i i E X i D X i i ==-=，设12341232Y X X X X =-+-，求 1(),(),X YE Y D Y ρ.三、应用题（每题8分，共16分)1．设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏开灯的概率是0.8，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在7900与8100之间的概率.2．一个车间生产铁钉，从某天的产品里随机抽取9个，量得结果如下（单位：毫米）： 215,0.09x s ==，已知铁钉长度服从正态分布，求平均长度的双侧置信区间（0.05α=）. 以下数据有可能在计算过程中要用到 0.025(2.5)0.9938,(8) 2.306t Φ==测验题（一）一、填空1、设123,,A A A 是三个事件，则这三个事件中至少有两个发生的事件是。

(完整版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发B A ,5.0)()(=+B P A P B A ,生的概率为__________.答案：0.3解：3.0)(=+A B A P 即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P.9.0)(1)((=-==AB P AB P B A P 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.X )2(4)1(==≤X P X P ==)3(X P 答案：161-e 解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由知 λλλλλ---=+e e e 22)2(4)1(==≤X P X P即 0122=--λλ 解得，故1=λ161)3(-==e X P 3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率X )2,0(2X Y =)4,0(密度为_________.=)(y fY答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则Y (),Y F y X ()F x ()X f x2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为，所以，即~(0,2)XU (0X F =()Y X F y F =故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在上函数严格单调，反函数为(0,2)2y x=()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则YX,λ2)1(-=>eXP=λ_________，=_________.}1),{min(≤YXP答案：，2λ=-4{min(,)1}1eP X Y≤=-解答：，故2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>.41e-=-5．设总体的概率密度为X.⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,1,)1()(xxxfθθ1->θ是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.nXXX,,,21Xθ答案：1111lnniixnθ==-∑解答：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnn i niL x x x x xθθθθθ==+=+∏1ln ln(1)lnniiL n xθθ==++∑1lnln01niid L nxdθθ==++∑@解似然方程得的极大似然估计为θ.1111ln ni i x n θ==-∑二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是,,A B C ,A B （A ）若，则与也独立.()1P C =AC BC （B ）若，则与也独立.()1P C =A C B （C ）若，则与也独立.()0P C =A C B （D ）若，则与也独立.（）C B ⊂A C 答案：（D ）. 解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量的分布函数为，则的值为~(0,1),X N X ()x Φ(||2)P X > （A ）. （B ）.2[1(2)]-Φ2(2)1Φ- （C ）. （D ）.（）2(2)-Φ12(2)-Φ 答案：（A ）解答：所以~(0,1)X N (||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤应选（A ）.1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是X Y （A ）与独立. （B ）.X Y ()D X Y DX DY -=+ （C ）.（D ）.（）()D X Y DX DY -=-()D XY DXDY =解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，）应选（B ）.4．设离散型随机变量和的联合概率分布为X Y (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若独立，则的值为,X Y ,αβ （A ）. （A ）.21,99αβ==12,99αβ== （C ）（D ）.（）11,66αβ==51,1818αβ==解答：若独立则有,X Y(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+， ∴29α=19β=故应选（A ）.5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中X 12,,,,n X X X μ X 正确的是（A ）是的无偏估计量.（B ）是的极大似然估计量.1X μ1X μ （C ）是的相合（一致）估计量. （D ）不是的估计量. （）1X μ1X μ 答案：（A ）解答：，所以是的无偏估计，应选（A ）.1EX μ=1X μ三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’A =‘任取一产品确是合格品’B =则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（2） .()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，X求的分布列、分布函数、数学期望和方差.X解：的概率分布为X3323()(()0,1,2,3.55k k kP X k C k -===即01232754368125125125125XP的分布函数为X0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯= .231835525DX =⨯⨯=五、（10分）设二维随机变量在区域上服从(,)X Y {(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概(,)X Y X Z X Y =+率密度.（1）的概率密度为(,)X Y 2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx+∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当或时0z <1z >()0Z f z =时 01z ≤≤00()222zzZ f z dx x z===⎰故的概率密度为Z 2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.的分布函数为Z200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰ 或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相X Y 互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域2(0,2)N 22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.Z =1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰22222880111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰；2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰ （2）22818x y EZ E edxdyπ+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r drπθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ），今抽取容量为16的2~(,)X N μσ样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信10x =20.16s =μ区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.20:0.1H σ≤ （附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）的置信度为下的置信区间为μ1α- /2/2(((X t n X t n αα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α=====所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）μ （2）的拒绝域为.20:0.1H σ≤22(1)n αχχ≥- ，221515 1.6240.1S χ==⨯=20.05(15)24.996χ= 因为，所以接受.220.052424.996(15)χχ=<=0H 《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B 题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分一、单项选择题(每题3分共18分)（1）.0)(,0)(;;0)(0)();(( ).,0)(=>===A B P A P (D)B A (C)B P A P (B)B A (A)AB P B A 则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）设随机变量X 其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4则（）。

概率统计期末必考题1

第一章一、填空题1.已知()0.4,()0.3,()0.5P A P B P A B ==⋃=，则__()P A B =． 2.已知()0.7,()0.3,()0.5P A P A B P B =-==，则__(A )P B =． 3.设()0.5P A =，()=0.2P AB ，则()P B A =.4. 已知__11(),()43P A P B A ==，则()P AB =． 5.已知111(),(),()432P A P B A P A B ===，则,A B 至少有一个发生的概率为.6. 设__()0.9,()0.95,(A)0.85P A P B P B ===，则__()P A B =. 7.已知,A B 相互独立，且()0.4,()0.7P A P A B =⋃=，则()P B =.8. 设,,A B C 为随机事件,,A C 互不相容，11(),()23P AB P C ==，则__()P AB C =_____.9. 假设随机事件,A B 相互独立，且()()1P A P B a ==-，7()9P A B ⋃=，则a =．10. 两两独立的三个事件,,A B C 满足条件：1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，且9()16P A B C ⋃⋃=，则(A )P =．二、选择题1．已知__()0.9,()0.95,()0.85P A P B P B A ===，则()P AB =（）． (A) 0.085 (B) 0.865 (C) 0.065 (D) 0.0352. 从一批由7件正品、3件次品组成的产品中任取3件产品，则其中恰有1件次品的概率为（）．(A)2140 (B) 2040 (C) 1940 (D) 11403．已知__111(),(),()243P A P B P A B ===，则()P AB =（）．(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 154. 从装有3个白球、7个黑球的袋子中不放回的抽取，每次随机抽取一个，则第二次抽到白球的概率为（）．(A)710 (B) 310 (C) 38 (D) 585. 若,,A B C 两两独立，则下列式子不正确的是（）．(A) ()()()P AB P A P B = (B) ()()()P AC P A P C =(C) ()()()P BC P B P C = (D)()()()()P ABC P A P B P C = 6．n 个签中有()m m n ≤个标有“中”，无放回的依次随机抽取，则第(1)j j n ≤≤次抽到“中”的概率为（）． (A)1n (B) mn(C) 与j 有关 (D) 以上都不对三、计算题1. 已知____()0.3,()0.4,()0.5P A P B P A B ===，求条件概率__()P B A B ⋃2.某保险公司把火灾保险的客户分为“易发”和“偶发”两类．该公司的统计资料表明，“易发”客户占30%，一年内索赔的概率为10%，“偶发”客户占70%，一年内索赔的概率为2%．假设现有一客户向保险公司索赔，试分别求该客户为“易发”和“偶发”客户的概率．3.在回答有A B C D 、、、四个选项的选择题时，只有一个答案是正确的。

概率论和数理统计期末考试题及答案

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ），D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。

则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分）设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。

《概率统计》期末考试题(有答案)

《概率论》期末 A 卷考试题一填空题(每小题 2分，共20 分)1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，则目标被击中的概率为（）.2．设()0.3,()0.6P A P AB ==，则()P AB =( ).3．设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ，则=a （），()6P X π>=（）.4．设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布，则=-)1(2X E ( ).5．若随机变量X的概率密度为236()x X p x -=，则(2)D X -=（）6．设Y X 与相互独立同服从区间 (1,6)上的均匀分布，=≥)3),(max(Y X P （）.7．设二维随机变量（X,Y ）的联合分布律为X Y 12 •i p0 a 12161131b 则 ( ), ( ).a b ==8．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(2y x ae y x f yx ，则=a （）9．若随机变量X 与Y 满足关系23X Y =-，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（）. 10.设二维随机变量)0,4,3,2,1(~),(N Y X ，则=-)52(Y X D （）.二．选择题（每小题 2分，共10 分)1．设当事件C B 和同时发生时事件A 也发生，则有（）.)()()(1)()()()(1)()()()()()()(C B P A P d C P B P A P c C P B P A P b BC P A P a =-+≤-+≥=2．假设事件B A 和满足1)|(=B A P ，则（）. (a ) B 是必然事件（b ）0)(=-A B P (c)B A ⊂ (d ) 0)|(=B A P 3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ).(a )sin 0()20 x x p x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它 (b) ⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x p(c) sin 0()0 x x p x π<<⎧=⎨⎩，，其它(d) ⎩⎨⎧<<=其它103)(2x x x p4．设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布，则概率==)(EX X P （）.112211() ()2 () ()222a eb ec ede ----5．若二维随机变量（X,Y ）在区域{(,)/01,01}D x y x y =<<<<服从均匀分布，则1()2P X Y X ≥>=（）. 111() 1 () () ()428a b c d三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分）1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5：3：2, 已知三车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。

概率论与数理统计》期末考试试题及解答

答案：
解答：
似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
.
2、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是
（A）若，则与也独立.
（B）若，则与也独立.
（C）若，则与也独立.
（D）若，则与也独立.（）
答案：（D）.
解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.
九、(10分)设二维随机变量的联合密度函数为
求：（1）；（2）求 , 的边缘密度;（3）判断与是否相互独立
十、(8分)．设随机变量（）的联合密度函数为
求 ,进一步判别与是否不相关。
十一、(7分).设是来自总体的一个简单随机样本，总体的密度函数为
求的矩估计量。
十二、（5分）总体测得样本容量为100的样本均值，求的
数学期望的置信度等于的置信区间。（
一、单项选择题：（15分）
1、D
2、D
3、B
4、A
5、C
二、填空题：（12分）
1、 ;
2、-1
3、更
4、， ;
三、（7分）
解：
四、（9分）
解：（1）由
得
（2）
（3）
五、（6分）
六、（8分）
解：设用表示乙箱中次品件数，则的分布律为
的分布函பைடு நூலகம் 为
七、（7分）
解:
‘任取一产品确是合格品’
则（1）
（2） .
4、（12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，

概率论与数理统计期末考试试题(答案)

B的意思是与事件B发生但事件A B的定义可知。

与事件B B(是不可能事件(B) 是可能事件1 (D) 是必然事件，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则(B) 自由度为答：填0.18, 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6⨯0.3=0.18。

2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。

3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____ 答：填0.25或14，由古典概型计算得所求概率为31053210.254C ⨯⨯==。

4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它则P {X ≤1.5}=_______答：填0.875，因P {X ≤1.5} 1.50()d 0.875f x x ==⎰。

5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (X +Y )=__________答：填4.5，因E (X )=5⨯0.5=2.5, E (Y )=2, E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2.5+2=4.56. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝________答：填0.4，因为总体X 的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。

三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。

由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。

（10分）解：设从甲袋取到白球的事件为A ，从乙袋取到白球的事件为B ，则根据全概率公式有()()(|)()(|)211150.417323412P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯== 四、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。

概率论与数理统计期末考试试卷答案

数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A ）=0.5，P （B)=0.6，P (B |A ）=0.8，则P （A+B ）=__ 0。

7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 .4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN .7、已知随机向量(X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X ）=34.8、随机变量X 的数学期望μ=EX ,方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+;)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N （－2，4),Y ~N （3,9）,且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N （-2, 25）。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A ）=0。

4, P (B ）=0。

3, P （A ∪B ）=0。

6，则P (B A ）=_0.3__。

2、设X ~B (2，p ),Y ~B （3,p ）,且P {X ≥ 1｝=95，则P {Y ≥ 1｝=2719.3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2，则E （Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2］上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y ）= 4/3 。

《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案

四、计算题
1、（10分）甲箱中有个红球，个黑球，乙箱中有个黑球，个红球，先从甲箱中随机地取出一球放入乙箱。混合后，再从乙箱取出一球，
（1）求从乙箱中取出的球是红球的概率；
（2）若已知从乙箱取出的是红球，求从甲箱中取出的是黑球的概率；
2、（8分）设二维随机变量的联合概率密度为：
求关于的边缘概率密度，并判断是否相互独立？
7、（8分）设有一种含有特殊润滑油的容器，随机抽取9个容器，测其容器容量的样本均值为10.06升，样本标准差为0.246升，在水平下，试检验这种容器的平均容量是否为10升？假设容量的分布为正态分布。
（，）
第二套
一、判断题（2分 5）
1、设，是两事件，则。（）
2、若是离散型随机变量，则随机变量的取值个数一定为无限个。（）
2、（8分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：
求边缘概率密度，并判断与是否相互独立？
3、（8分）设随机变量的分布函数为：
求：（1）的值；
（2）落在及内的概率；
4、（8分）设随机变量在服从均匀分布，求的概率密度；
5、（10分）设及为分布中的样本的样本均值和样本方差，求（）
第一套
一、判断题（2分 5）
1、设，是两事件，则。（）
2、若随机变量的取值个数为无限个，则一定是连续型随机变量。（）
3、与独立，则。（）
4、若与不独立，则。（）
5、若服从二维正态分布，与不相关与与相互独立等价。（）
二、选择题（3分 5）
1、对于任意两个事件和（）
5、袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（）

经济学院统计专业概率统计期末考试试卷1

以下解题过程可能需要用到以下数据：正态分布的上α分位点：0.025z ＝1.96，0.05z ＝1.645。

t 分布的上α分位点：)8(025.0t ＝2.3060，)8(05.0t ＝1.8595， t 0.025 (18 ) = 2.101，t 0.05 (18 ) = 1.734。

F 分布的上α分位点：F 0.975 ( 9，9 ) = 0.248 ，F 0.025 ( 9，9 ) = 4.026 。

一、填空题（共26分）。

1. 若12,,,n X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则在样本容量趋于无穷大时，统计量211ni iX n=∑依概率收敛于。

2. 设1215,,,X X X 是来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，若随机变量()22110221115++=++X X Y c X X 服从F 分布，则实数c ＝，此F 分布的自由度为（，）。

3. 若12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，则()21ni i E X X=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ 。

4. 设随机变量)(~m t X ，对给定的α(0<α<1)，数()t m α满足{}()P X t m αα>=，若{}P X x α<=，则x= 。

5. 若显著性平为α的假设检验问题0010::H H θθθθ≤↔>的拒绝域为02θ≤，则参数θ的置信水平为1-α的单则置信区间为。

6. 若1216,,,X X X 是来自正态总体(,1)N θ的简单随机样本，则假设检验问题01:0:0H H θθ≤↔>的拒绝域{}0.49C x =≥的显著性水平为，在*0.49θ=处的功效为。

7. 为检验一粒骰子是否均匀，进行n 次投掷试验，记i f 为n 次试验中出现点数为i 的次数()1,,6i=，则检验零假设“0:H 骰子是均匀的”的2χ统计量26216i i f n nχ==-∑的极限分布为 ( 需写出自由度 ) 。

《概率论与数理统计》期末考试题及答案

西南石油大学《概率论与数理统计》期末考试题及答案一、填空题(每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92， P （B ） = 0。

93, P(B ｜A ) = 0.85，则P （A|B ) = 。

P （ A ∪B) = 。

2、设事件A 与B 独立,A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ;没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则常数A= , 分布函数F （x ）= ，概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X ～ B （2，p ）、Y~ B （1，p ），若{1}5/9P X ≥=,则p = ，若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、（12分）设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1){|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、（12分）设随机变量（X,Y ）的密度函数为1） 1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2）问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ二、应用题（20分)1、(10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5,1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。