复变函数同步辅导及习题全解-西安交大版下

对所有的(!和函数存在&!其次证明对所有的(!和函数 7$(&
满足所给的方程)而这一点 只 需 要 利 用 幂 级 数 的 逐 项 求 导 性
#" (
#" (
因此!复数列极限的性 质 也 与 实 数 列 极 限 的 性 质 相 似!并 且 可
将复数列极限的计算问题转化为实数列极限的计算问题)
$)复 数 项 级 数
$!&复 数 项 级 数 敛 散 性 与 和 的 定 义 形 式 上 也 与 实 数 项 级 数 的 相
应概念相同)
(
# $$&复数项级数 !#$!# % "# #$&#&收 敛 的 充 要 条 件 是 级 数 #%!
#%!
#%!
(
#4#(# 绝对收敛)
#%!
$$&当,(,"/ 时!由于,(*,"/!故对于满足条件,(,"/
的点( 而言!级数
(
(
(
# # # .4#(#." .4#.,(,# " .4#.,/,#
#%*
#%*
#%*
(
# " .4#.,(*,# #%*
(
(
(
# # # 而 .4#.,(*,# 收敛)所以 .4#(?.收敛!从而 7?(# 绝
# 在收敛圆内可逐项积分!即
) #) # ( ’$(&>( % *
( #%*
(
"#(#>( "
*
#%(*#"-#!(#-!!.(.& /!
其中!( 为收敛圆中任意一点)
三 !泰 勒 "B8<%C5#级 数
!)泰 勒 展 开 定 理
如果函数’$(&在圆域((.!(&/ 内 解 析!那 么 在 此 圆 内 ’$(& 可以展开成幂级数*
$(&在点! 解析等价 于’$(&在! 的 邻 域 内 可 以 展 开 成 幂 级 数
#(
#%*
’$##&-$!&$(,!&#!
$)函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 的 方 法
直 接 法 $直 接 用 泰 勒 定 理 &与 间 接 法 )所 谓 间 接 法 就 是 根 据 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 的 惟 一 性 !利 用 一 些 已 知 函 数 的 幂 级 数 展 开 式
+如!.!(!3(!D&?(!:CD(!%?$!#(&!$!#(&!$! 为 复 数&等 函 数 的 (#"% (
第四章!级!数
幂 级 数 展 开 式 ,!通 过 对 幂 级 数 进 行 变 量 代 换 !四 则 运 算 和 分 析 运 算 $逐 项 求 导 !逐 项 积 分 等 &!求 出 所 给 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 )
$ &$ & 解题过程!$!&由于!#"$!.#!$&3$%# " !.#!$ :CD#%Hale Waihona Puke Baidu#&D&?#% !
所以
"#"$!.#!$&:CD#% !!!&#"$!.#!$&D&?#%
从而有%&’"#"!!%&’&# "*!因%&’"# "!%*!故 该 级 数 发
#" (
#" (
#" (
散)
$$&显 然%&’!# "*)但 是 !由 于 #" (
典型例题与解题技巧
$例!%!考察下列级数是否收敛. 是否绝对收敛.
(#"& (
!! 复变函数同步辅导及习题全解
#$ & # (
$!&
#%!
!.#!$
3$%#
’! !
(
$$&
#%!
!-
$,$&$#-! ’ #
#(
$+&
#%!
#$ H$
$!-$$&#’
#(
$@&
$!-$&#
#
!
#%! $$:CD$#
解 题 分 析 ! 此 题 考 察 级 数 收 敛 /发 散 /绝 对 收 敛 的 判 别 方 法 !
和性质 )
$)洛 朗 展 开 定 理
在圆环0&((.!(&/$0**!/+ # (&内 解 析 的 函 数 ’$(&必 可 展 开 成 如 下 的 双 边 幂 级 数 $称 为 洛 朗 级 数 &
其中
(
# ’$(&" +#$(,!&# #%,(
, +#
%
! $%$
$(’,$(!& &#-!>($# %*!3!!3$!%&
# ’$(&%
( #%*
’$##&-$!&$(,!&#
而且展开式是惟一的)
应该指出!如果’$(&在点! 解析!那么使’$(&在! 的泰勒展开
式成立的圆域半径等 于 点! 到’$(&的 奇 点 之 间 的 最 短 距 离)
此外幂级数 的 和 函 数 在 收 敛 圆 周 上 至 少 有 一 个 奇 点)函 数 ’
/"
! 3
)
$+&柯 西 . 阿 达 玛 $789:;<)=8>8’85>&定 理
若%&’ ?" (
!?(+#("3%*!则
/"
!3)
当 3"* 时 !/" ( ’当 3" ( 时 !/"*)
$@&设&是’$(&的奇点中距离" 最近的一个奇点!则
(
# .",&.% / 即为 +#$(,"&# 的收敛半径) #%*
(
# 称 / 为幂级数 (# 的收 敛 半 径!.(.% / 为 收 敛 圆)在 #%* (
# !" 两种情形中!我们也称 (# 的收敛半径为*和 () #%* (
# 综上!我们有*幂级数 +#(# 在收敛圆.(.%/ 内不仅收 #%*
敛而且绝对收敛!在收敛圆外发 散!在 收 敛 圆 .(.% / 上
敛散性)
二 !幂 级 数
!)函 数 项 级 数 与 幂 级 数
设"’#$(&#为定义在区域 ) 内的复函数列 表达式
(
#’#$(&"’!$(&#’$$(&# % #’#$(&# %
#%!
称为复变函数项级数!
*#$(&"’!$(&#’$$(&# %’#$(& 称为级数部分和) 若(*$)!极 限%&’*#$(*&"*$(*&存 在!则 称 函 数 项 级 数 在 点
#" (
(* 收敛)*$(*&称为它的和)如果级数在 ) 内处处收 敛!那 么 它 的和一定是( 的一个函数*$(&
*$(&"’!$(&#’$$(&# % #’#$(&# %
(
# -$(&称为级数 ’#$(&的和函数)当 #%! ’#$(&"+#.!$(."&#.!
或
时 !函 数 项 级 数 为
’#$(&"+#.!(#.!
(
#"#+1$(&,#)
#%*
$+&分 析 运 算 性 质
(
# 设幂级数 "#(# 的收敛半径为/ %*!则 #%*
(#"$ (
!! 复变函数同步辅导及习题全解
(
# ! 它的和函数’$(&" "#(# 是收敛圆.(.&/ 内的解 #%*
析函数’
" 在收敛圆内可逐项求导!即
(
# ’2$(&" #"#(#,! #%* ""! -$"$(-+"+($ - % -#"#(#,! - %!.(.&/’
第四章
!
级!数
内容提要
一 !复 数 项 级 数
!
!!复 数 列 的 极 限
复数列极限与 实 数 列 极 限 的 定 义 形 式 上 相 同!复 数 列 ""##"
"!# #$"##$#"!!$!% % &收 敛 于 复 数""!#$" 的 充 要 条 件 为
%&’!# "!!! !%&’"# "")
#%!
#%!
(
(
# # 绝对收敛的充要条件是 "# 与 &# 同时绝对收敛)
#%!
#%!
结论$$&与$+&将 判 定 复 数 项 级 数 敛 散 性 问 题 转 化 为 判 定
实数项级数的敛散性问题)因 此 可 以 用 实 数 项 级 数 的 各 种
收敛准则$例如!比值法与根 值 法 等&来 判 定 复 数 项 级 数 的
+)幂 级 数 的 运 算 性 质
$!&代 数 运 算 性 质
(
(
# # 设幂级数 "#(# 与 &#(# 的收敛半径分别为/! 与/$!令
#%*
#%*
/ " ’&?$/!!/$&!则当,(,& / 时!
(
(
(
# # # $!"# -"&#&(# "! "#(# -" &#(#$线性运算&
#%*
#%*
!#
" !#
$.$&$#-! #
" !.
$.!&#$ #
(
(
(
(
# # # # 级数 "# #%!
"
#%!
! #
发散!级数 &#
#%!
"
#%!
$.!&#
! #
收敛!
故原级数必发散)
$+&由于很难分离出!#"#H#$$!#$&&# 的 实 部 与 虚 部!故 采
$ & 用绝对收敛准则)易见(!#("#$
则不一定)
$/ 收敛半径的求法
(
# 设 幂级数 +#$(,"&# 的和函数为’$(&!其收敛半径为/!我 #%*
们有
$!&比 值 法 $012%3’4356&
(#"" (
第四章!级!数
若%&’ #" (
+##! +#
"#%*!则 /"#!)
$$&根 值 法 $789:;<&
若%&’ #" (
!#(+#("3%*!则
四!洛朗"E8953?6#级数
(
# !)双边幂级数 +#!(,!"# #%,(
双边幂级数的收敛域为圆环5&.F,%,& G!其内外半径5与
(
(
# # G 可分别由幂级数 :.?$F.%&.? 与 :?$F.%&? 的收敛半径
?"*
?"*
来确定!在 收敛 圆环 内!双 边幂 级 数 具 有与幂 级 数 一 样 的 运 算
故知原级数绝对收敛)
(#"’ (
第四章!级!数
(
# $例$%! 设 4#(# 的收敛半径为/ ’*!并且在收敛圆 周 上 一 点 绝 #%! 对 收 敛 )试 证 明 这 个 级 数 对 于 所 有 的 点($.(.+ /&为 绝 对
收敛)
分析!此题需分情况讨论)
证明!$!&当(((&/ 时!设(* 是圆周((("/ 上一点!((*("/!且 在
#%*
#%*
#"*
对收敛)
$例+%! 设 5 为非负整数!试证对所有的(!幂级数
(
!# #
(#
#
- #%!#- $5 -6&
6"!
(#"( (
!! 复变函数同步辅导及习题全解
的和函数 7$(&满足如下微分方程
(>>($7$ #$!#5&>>7(.7"*
分析 ! 按题意!首先要验证所给幂级数的收敛半径/ "#($以保证
!
#
!且
!H
%&’
#
!(!#("%&’
!##$
(
!
"
!
&!
#" (
#" (
!H !H
根据正项 级 数 的 根 值 法!故 知 原 级 数 收 敛!而 且 绝 对 收
敛)
$@&由 于(!#("
$!#$&#
#
$$:CD$#
"$#$0$#:0$;#"3##$3.#
$ &3#
!而
级
数##("!3$# 是一收敛的等比级数!根据正项级数的 比 较 准 则!
(
(
(
# # # "# 与 &# 同 时 收 敛’级 数 !# 收 敛 的 必 要 条 件 是
#%!
#%!
#%!
%&’!# "*)
#" (
(#"! (
第四章!级!数
(
(
(
# # # $+&若级数 ,!#,收敛!则称 !# 绝对收敛)若级数 !# 绝
#%!
#%!
#%!
(
(
# # 对收敛!则 级 数 !# 收 敛 $称 之 为 绝 对 收 敛 准 则&’ !#
&
& 为圆环内绕! 的任何一条正向简单闭曲线!并且展开式是惟
一的!
+!函 数 展 开 成 洛 朗 级 数 的 方 法
洛 朗 级 数 是 泰 勒 级 数 的 推 广 !圆 环 内 解 析 函 数 展 开 成 洛 朗 级 数 的一般方法并不 是 按 照 上 面 公 式 计 算 洛 朗 系 数+# 进 行!而 主 要 是 根 据 洛 朗 级 数 展 开 式 的 惟 一 性 !利 用 已 知 的 幂 级 数 展 开 式 去求所需要的洛朗展开式!
(
(
# # (* 点 4#(# 绝对收敛!即级数 ,4#,(,(*,# 收敛)
#%!
#%!
由于,(,& /!所以,(0(*,&!)于是有
(
(
# # ,4#(#," ,4#,(,(#,
#%!
#%!
(
# " ,4#,(,(*.#(,(0(*,# #%!
(
# + ,4#,(,(*.# #%!
(
(
# # 由于 ,4#,(,(*.# 收敛!所以 .4#(#.收敛)故得级数
#%*
#%*
对收敛 ))) 阿贝尔定理)
(
# $$&若 +#(# 在(! %*点发散’则必在圆.(.’.(!.外发散) #%* (
# $+&任何幂级数 +#(# 必出现且只出现以下三种情形之一* #%* ! 仅 在("* 收 敛 ’
"在 整 个( 平面收敛 ’
#存在 /’*!当(((&/ 时收敛!当(((’/ 时发散)
#%*
(
(
(
$# &$# & # "#(#
&#(# " $"#&*-"#,!&!- % -"*&#&(#$乘
#%*
#%*
#%*
积运算&
$$&复 合 运 算 性 质
(
# 设 当.$.&0时!’$$&" "#$#!当,(,&/ 时!$"A$(& #%*
解 析 且 ,A$(&,& 0!则 当 .(.& / 时!’+1$(&,"
(#"# (
!! 复变函数同步辅导及习题全解
(
#+#$(,"&# "+* -+!$(,"&-+$$(,"&$ - %
#%*
! -+#$(,"&# - %
或
(
#+#(# "+* -+!(-+$($ - % -+#(# - %
#%*
这种级数称为幂级数!其中" 为定复数)
(
(
# # $!&若 +#(# 在(* %*点收敛!则 +#(# 在.(.&.(*.内绝