2019版一轮优化探究文数第五章第一节平面向量的概念及其线性运算练习

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(北京专用)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算夯基提能作业本文

第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.已知O,A,B是同一平面内的三个点,直线AB上有一点C满足2+=0,则=( )A.2-B.-+2C.-D.-+2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向3.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对4.若||=||=|-|=2,则|+|= .5.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y= .6.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.其中正确命题的个数为.7.如图,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.8.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t,使C,D,E三点在同一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.B组提升题组9.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°10.如图,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,若=λ+μ(λ、μ∈R),则等于( )A. B. C. D.211.(2015北京朝阳期末)点O在△ABC的内部,且满足+2+4=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比是( )A. B.3 C. D.212.(2015北京丰台二模)已知梯形ABCD中,AD=DC=CB=AB,P是BC边上一点,且=x+y.当P是BC 边的中点时,x+y= ;当P在BC边上运动时,x+y的最大值是.13.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.(1)用a,b表示向量,,,,;(2)求证:B,E,F三点共线.14.已知P为△ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a、b表示向量、.答案精解精析A组基础题组1.A 依题意,得=+=+2=+2(-),所以=2-,故选A.2.D ∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),即ka+b=λ(a-b),∴∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.3.C 由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.4.答案2解析∵||=||=|-|=2,∴△ABC是边长为2的正三角形,∴|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,∴|+|=2.5.答案;-解析由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下:则有=(+),所以=-=(+)-=-,又因为=x+y,所以x=,y=-.6.答案 3解析=a,=b,=+=-a-b,故①错;=+=a+b,故②正确;=(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确;∴++=-b-a+a+b+b-a=0,故④正确.∴正确命题为②③④.7.解析∵=-=a-b,∴===a-b,∴=+=a+b.∵=a+b,∴=+=+==a+b,∴=-=a+b-a-b=a-b.综上,=a+b,=a+b,=a-b.8.解析存在.理由:由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a,b不共线,所以有解得t=.故存在实数t=,使C,D,E三点在同一条直线上.B组提升题组9.A 由++=0得,+=,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故∠BAC=30°.10.D 过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知,∠COD=30°,∠OCD=90°,∴OD=2CD,又由题意知=λ,=μ,∴λ||=2μ||,即λ=2μ,故=2.11.A 设=,=2,=4,则有++=0,所以O为△A'B'C'的重心,由重心的性质知,S△A'OB'=S△A'OC'=S△B'OC',设为S,由=,=2,知S△AOB=S.同理,S△AOC=S,S△BOC=S.而S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=S,所以=·=,故选A.12.答案;解析当P是BC边的中点时,易知=+,所以x+y=+=.当P在BC边上运动时,=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ=(1-λ)+λ=+(1-λ)=x+y,所以即x+=1,所以x+y=1+,又易知y∈[0,1],所以当y=1时,x+y取得最大值,最大值为.13.解析(1)延长AD到G,使=,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,所以=a+b.==(a+b),==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).(2)证明:由(1)可知=,又因为,有公共点B,所以B,E,F三点共线.14.解析∵=-=-a,=-=-b,3+4+5=0, ∴3+4(-a)+5(-b)=0,∴=a+ b.设=t(t∈R),则=ta+tb.①又设=k(k∈R),由=-=b-a,得=k(b-a). 而=+=a+,∴=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②由①②得解得t=.代入①得=a+b.∴=a+b,=a+b.。

2019高考数学一轮复习第五章 1-第一节平面向量的概念及其线性运算

AD的中点,若 AO

=λ AB

+μ BC
,其中,λ,μ∈R,则λ+μ等于
(
)
A.1 B. 1 C. 1 D. 2
2
3
3
(2)在△ABC中,点M,N满足 AM

=2 MC

, BN

= NC
.若 MN

=x AB

+y AC
,则x=
,y=
.
考点突破
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答案 (1)D (2) 1 ;- 1
小叫做向量的③ 长度 (或④ 模 )
响
零向量长度为⑤ 0 的向量;其方向是任意的单位向量长度等于⑦ 1个单位的向量
记作⑥ 0 非零向量a的单位向量为± | aa |
平行向量方向⑧ 相同或⑨ 相反的非零向量
0与任意向量平行或共线
共线向量 ⑩ 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
|| b
b
|,
不是a=b的充要条件.
⑤不正确.若b=0,则a与c不一定共线.
考点突破
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规律总结理解向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.
栏目索引
第一节平面向量的概念及其线性运算
教材研读
总纲目录
1.向量的有关概念 2.向量的线性运算 3.共线向量定理
考点突破
考点一平面向量的有关概念

2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：5-1 平面向

第五章平面向量命题探究解答过程答案:A解析:(解法一)如图,以A 为原点,以AB,AD 所在直线为x,y 轴建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2).动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上,设圆的半径为r, ∵BC=2,CD=1,∴BD==, ∴BC ·CD=BD ·r,∴r=, ∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=, 设点P 的坐标为. ∵=λ+μ,∴=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ), ∴cos θ+1=λ,sin θ+2=2μ,∴λ+μ=cos θ+sin θ+2=sin(θ+φ)+2,其中tan φ=2. ∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴1≤λ+μ≤3,故λ+μ的最大值为3,故选A.(解法二)分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上, ∴可设P . 则=(0,-1),=(-2,0),=. 又=λ+μ,∴λ=-sin θ+1,μ=-cos θ+1,∴λ+μ=2-sin θ-cos θ=2-sin(θ+φ), 其中tan φ=,∴(λ+μ)max =3§5.1平面向量的基本概念与线性运算考纲解读分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.五年高考考点一平面向量的基本概念与线性运算1.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-答案A2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B3.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=.答案2考点二向量的共线问题1.(2013陕西,3,5分)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=. 答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一平面向量的基本概念与线性运算1.(2018辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC中,G为重心,记a=,b=,则=()A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b答案A2.(2017山西大学附中期中,6)如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a+b+c可表示为()A.3e1-2e2B.-3e1-3e2C.3e1+2e2D.2e1+3e2答案C3.(2017河北石家庄二中联考,7)M是△ABC所在平面内一点,++=0,D为AC中点,则的值为()A. B. C.1D.2答案B4.(人教A必4,二,2-2A,12,变式)已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m,使得+=m成立,则m=()A.2B.3C.4D.5答案B考点二向量的共线问题5.(2016河南安阳二模,5)向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为()A. B.C. D.答案A6.(2018北师大附中期中,13)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若∥a,则点B 的坐标为.答案(-3,-6)7.(2017江西九校12月联考,14)已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),且=3,则||=.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,8)P是△ABC所在平面上的一点,满足++=2,若S△ABC=6,则△PAB的面积为()A.2B.3C.4D.8答案A2.(2017湖北宜昌一中月考,9)已知O为△ABC的外心,D,E分别为AB,AC的中点,||=16,||=10.若=x+y,且32x+25y=25,则||=()A.8B.10C.12D.14答案B3.(2017安徽皖智教育月考,8)在矩形ABCD中,AB=,BC=,P为矩形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为()A. B. C. D.答案B4.(2016广东茂名二模,9)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是()A.24B.8C.D.答案B5.(2016河南中原名校3月联考,8)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=()A.-B.-C.-+D.-+答案CC组2016—2018年模拟·方法题组方法1平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法1.(2018吉林长春模拟,6)D为三角形ABC所在平面内一点,且=+,则=()A. B. C. D.答案B2.(2017安徽池州模拟,7)梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,AC交BD于O点,过O点的直线分别交AD、BC于E、F点,=m,=n,则+=()A.2B.C.1D.答案B3.(2016河南开封二模,14)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|a-b|=|a+b-c|=1,则|c|的最大值M=.答案+1方法2向量共线问题的解决方法4.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=,b=(cosα,1),且a∥b,则cos2α=()A. B.- C. D.-答案C5.(2017湖北恩施月考,14)设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量=2e1+tan α·e2,=e1-e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则=.答案06.(2016天津和平二模,11)在△ABC中,过中线AD的中点E作一条直线分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y(x>0,y>0),则4x+y的最小值为.答案。

2019届人教A版(文科数学) 平面向量的概念及其线性运算单元测试

2019届人教版高考（文）数一轮复习针对训练（24）平面向量的概念及其线性运算一、选择题1.已知AM 是ABC ∆的边BC 上的中线,若AB a =uu u r r 、AC b =uuu r r ,则AM uuu r 等于( )A. ()12a b -r r B. ()12a b --r r C. ()12a b +r r D. ()12a b -+r r 2.若,,O E F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )A. EF OF OE =+B. EF OF OE =-C. EF OF OE =-+D. EF OF OE =--3.已知O 、A 、B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB += ,则OC 等于( )A. 2OA OB -B. 2OA OB -+C. 2133OA OB -D. 1233OA OB -+ 4.,a b为非零向量,且a b a b +=+ ,则( )A. a b ,且a 与b 方向相同B. ,a b 是共线向量且方向相反C. a b =-D. ,a b 无论什么关系均可5.点P 满足向量2OP OA OB =- 则点P 与AB 的位置关系是( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 延长线上C.点P 在线段AB 反向延长线上D.点P 在直线AB 外6.若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线,则m 的值为( ) A.12B. 12- C. 2-D. 2 7.已知向量a 、b 不共线,若2AB a b =+ ,4BC a b =-- ,53CD a b =-- ,则四边形ABCD 是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形8.已知向量()()()1,2,1,0,3,4a b c ===若 λ为实数(),//a b c λ+,则λ等于( )A.14B. 12C. 1D. 2 二、填空题9.在ABC ∆中,已知D 是AB 边上一点,若12,3AD DB CD CA CB λ==+ ,则λ= . 10.在矩形ABCD 中, 2,,AB BC M N =分别是AB 和CD 的中点,在以A B C D M N ,,,,,为起点和终点的所有向量中,相等的非零向量共有对.三、解答题11.设,a b 是不共线的两个非零向量.1.若2,3,3OA a b OB a b OC a b =-=+=- ,求证: ,,A B C 三点共线2.若,23,2AB a b BC a b CD a kb =+=-=- ,且,,A C D 三点共线,求k 的值.参考答案一、选择题1.答案：C解析：以,AB AC uuu r uuu r 为邻边作平行四边形ABDC ,则AD AB AC a b =+=+uuu r uu u r uuu r r r ,因为M 是BC 中点,所以M 是AD 的中点, 则()1122AM AD a b ==+uuu r uuu r r r ,故选C. 2.答案：B解析：∵O,E,F 是不共线的任意三点,∴OE EF OF += ,由此可以推出EF OF OE =- .3.答案：A解析：由题意20AC CB += 得点A 是BC 的中点,则2OC OA AC OA BA OA OA OB OA OB =+=+=+-=- ,故选A .考点:向量的运算.4.答案：A 解析：由不等式a b a b +≤+ 取等号时的条件可知.5.答案：C 解析：∴点P 在线段AB 反向延长线上,故应选C6.答案：A 解析：由23213(2)32m --+=---得12m = 7.答案：A解析：8.答案：B解析：二、填空题23由2AD DB = ,得2212()3333CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+ ,结合,12,.33CD CA CB λλ=+= . 10.答案：24解析：三、解答题11.答案：1.证明: 2AB OB OA a b =-=+ ,2AC OC OA a b =-=-- ,所以AC AB =- ,又因为A 为公共点,所以,,A B C 三点共线2. ()()2332,AC AB BC a b a b a b =+=++-=- 因为,,A C D 三点共线,所以AC 与CD 共线.从而存在实数λ使AC CD λ= ,即()322,a b a kb λ-=-得32{2k λλ=-=-解得34,,23k λ==所以4.3k = 解析：。

【苏教版】2019版高考数学文科一轮复习优化探究练习第五章平面向量的数量积及平面向量应用举例含解析

一、填空题1．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为________．解析：AB →＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB →⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案：－12．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 的形状是________．解析：AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，知AB →·AC →＝0，故△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形3．设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且|AB →|＝3，|AC →|＝1，则AD →·(AB →－AC →)的值是________．解析：由已知，D 为BC 的中点，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝1.答案：14．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 是实数，则|a －t b |的最小值为________．解析：因为|a －t b |＝(a －t b )2＝|a |2＋|t b |2－2t a ·b ＝1＋t 2－2ta ·b ，而a ·b ＝(cos 55°，sin 55°)·(cos 25°，sin 25°)＝cos 55°×cos 25°＋sin 55°×sin 25°＝cos (55°－25°)＝32，所以|a －t b |＝1＋t 2－2t a ·b ＝t 2－3t ＋1＝ (t －32)2＋14，故|a －t b |的最小值为12.答案：125．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是________．解析：a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－23，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝6×(－23)＝－4.答案：－46．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：a ·b ＝(i －2j )·(i ＋λj )＝1－2λ>0，λ<12，又a 、b 同向共线时，a ·b >0，∴a ＝kb (k >0)，i －2j ＝k (i ＋λj )，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，－2＝kλ，∴λ＝－2，∴a 、b 夹角为锐角的λ的取值范围是 (－∞，－2)∪(－2，12)．答案：(－∞，－2)∪(－2，12)7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析：由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝(AB →)2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.答案： 28．已知单位向量a ，b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |(k >0)，则a ·b 的最小值为________．解析：把|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方并化简得a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )≥12(∵k >0)．故a ·b 的最小值为12.答案：129．已知△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析：由已知得(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.答案：3二、解答题10．已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a |2＋|b |2的值；(2)若a ⊥b ，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a ∥b .解析：(1)因为|a |＝cos 2(λθ)＋cos 2[(10－λ)θ]， |b |＝sin 2[(10－λ)θ]＋sin 2(λθ)，所以|a |2＋|b |2＝2.(2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin (10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin (10－λ)θ＝cos λπ20·sin λπ20－cos(π2－λπ20)·sin(π2－λπ20)＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，所以a ∥b .11．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的范围．解析：由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，得(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0，即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12，当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，但此时夹角不是钝角，2te 1＋7e 2与e 1＋te 2反向．设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ7＝λt λ<0，∴⎩⎨⎧ λ＝－14t ＝－142 .因此所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin 2x ，1－cos 2x )，c ＝(0,1)，x ∈(0，π)．(1)向量a ，b 是否共线？并说明理由；(2)求函数f (x )＝|b |－(a ＋b )·c 的最大值．解析：(1)b ＝(sin 2x,1－cos 2x )＝(2sin x cos x,2sin 2x )＝2sin x(cos x，sin x)＝2sin x·a，且|a|＝1，即a≠0. ∴a与b共线．(2)f(x)＝|b|－(a＋b)·c＝2sin x－(cos x＋sin 2x,1－cos 2x＋sin x)·(0,1)＝2sin x－1＋cos 2x－sin x＝sin x－1＋1－2sin2x＝－2sin2x＋sin x＝－2(sin x－14)2＋18，∴当sin x＝14时，f(x)有最大值18.。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第五章第一节平面向量的概念及其线性运算含解析

一、填空题1．已知△ABC 和点M 满足＋＋＝0.若存在实数m 使得＋＝m 成立，则MA → MB → MC → AB → AC → AM → m ＝________.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连结AM 并延长交BC 于D ，则＝，AM → 23AD → 因为AD 为中线，则＋＝2＝3，AB → AC → AD → AM → 所以m ＝3.答案：32．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，C A 的中点，则＋＋＝________.AD → BE → CF → 解析：∵＝，∴＋＝＋＝＝，得＋AD → DB → AD → BE → DB → BE → DE → FC → AD → ＋＝0(或＋＋＝＋＋＝＋＝0)．BE → CF → AD → BE → CF → AD → DF → CF → AF → CF → 答案：03．如图，命题：点P ，Q 是线段AB 的三等分点，则有＋OP → ＝OQ → OA → ＋，把此命题推广，设点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的OB → n 等分点(n ≥3)，则有1＋2＋…＋n －1＝________(＋)．OA → OA → OA → OA → OB → 解析：当n ＝3时，则应填1,当n ＝4时，1＋2＋3＝3＋＋＋＝3＋＝3＋(－)＝(OA → OA → OA → OA → 14AB → 24AB → 34AB → OA → 32AB → OA → 32OB → OA → 32＋)，由归纳推理知填.OA → OB → n －12答案：n －124．已知a ，b 是不共线的向量，若＝λ1a ＋b ，＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共AB → AC → 线的充要条件为________．解析：A 、B 、C 三点共线⇔∥⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1.AB → AC → 答案：λ1λ2－1＝05．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足＝＋λ(＋)，OP → OA → AB → AC → λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．解析：由题意得，＝λ(＋)，令＋＝，则AD 与BC 互相平分，又＝λ，AP → AB → AC → AB → AC → AD → AP → AD → 即P 点在直线AD 上，而AD 在BC 边的中线上，所以P 点的轨迹必经过△ABC 的重心．答案：重6．a ，b 是两个不共线的向量，若＝2a ＋kb ，＝a ＋b ，＝2a －b ，且A 、B 、D 三点共AB → CB → CD → 线，则实数k 的值等于________．解析：由于A 、B 、D 三点共线，故∥，又＝2a ＋kb ，＝－＝a －2b ，故由AB → BD → AB → BD → CD → CB → 2a ＋kb ＝λ(a －2b )可解得k ＝－4.答案：－47．已知两个不共线的向量，的夹角为θ，且||＝3.若点M 在直线OB 上，且|＋|OA → OB → OA → OA → OM → 的最小值为，则θ的值为________．32解析：如图作向量＝，则＋＝，其中点N 在直线AC 上变化，AN → OM → OA → OM → ON → 显然当ON ⊥AC 时，即点N 到达H 时，||有最小值，且ON → ∠OAH ＝θ，从而sin θ＝＝，故θ＝或θ＝(根据对称性可知钝角也可以)．32312π65π6答案：或ππ6568．已知O 是正三角形ABC 内部的一点，＋2＋3＝0，则△OAB 的面积与△OAC 的OA → OB → OC →面积比值是________．解析：分别延长OB 到B 1，OC 到C 1，使＝2，＝3，故＋＋＝0，OB 1→ OB → OC 1→ OC → OA → OB 1→ OC 1→ 所以O 为△AB 1C 1的重心，则S △OAB 1＝S △OAC 1，＝＝.S △OABS △OAC S △OAB 12S △OAC 1332答案：329．若＝a ，＝b ，下列向量中能表示∠AOB 平分线上的向量的是________．OA → OB → OM → ①＋ ②λ(＋)，λ由确定a |a |b|b |a |a |b |b |OM → ③ ④λ()，λ由确定a ＋b|a ＋b ||b |a ＋|a |b |a |＋|b |OM → 解析：由平面几何知识知∠AOB 的平分线可视为以OA ，OB 所在线段为邻边的菱形的对角线OM 所在的直线，故＝λ(＋)，其中λ由确定．OM → a |a |b |b |OM → 答案：②二、解答题10．如图所示，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD 且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知＝a ，＝b ，试用a ，b 表示和.AB → AD → BC → MN → 解析：连结CN ，N 是AB 的中点，∵DC ∥AB ，且DC ＝AN ，∴四边形ANCD 是平行四行形，则＝－＝－b .CN → AD → 又＋＋＝0，且＝a ，CN → NB → BC → AB → ∴＝－－＝－a ＋b ，BC → NB → CN → 12＝－＝＋＝a －b .MN → CN → CM → CN → 12AN → 1411．设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且＝－2i ＋mj ，＝nOA → OB → i ＋j ，＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值．OC → 解析：＝－＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ，AB → OB → OA → ＝－＝(5－n )i ＋(－2)j .BC → OC → OB → ∵点A 、B 、C 在同一条直线上，∴∥，AB → BC → 即＝λ，AB → BC → ∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i ＋(－2)j ]，∴Error!，解得Error!或Error!.12．如图，在△OAB 中，＝，＝，AD 与BC 交于点M ，OC → 14OA → OD → 12OB → 设＝a ，OA → ＝b .OB → (1)用a 、b 表示；OM → (2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设＝p ，＝q ，求证：＋＝1.OE → OA → OF → OB → 17p 37q 解析：(1)设＝m a ＋n b ，则OM → ＝(m －1)a ＋n b ，＝－a ＋b .AM → AD → 12∵点A 、M 、D 共线，∴与共线，AM → AD → ∴＝，∴m ＋2n ＝1.①m －1－1n12而＝－＝(m －)a ＋n b ，CM → OM → OC → 14＝－a ＋b .CB → 14∵C 、M 、B 共线，∴与共线，CM → CB → ∴＝，∴4m ＋n ＝1.②m －14－14n 1联立①②可得m ＝，n ＝，1737∴＝a ＋b .OM → 1737(2)证明：＝(－p )a ＋b ，＝－p a ＋q b ，EM → 1737EF → ∵与共线，∴＝，EF → EM → 17－p －p 37q ∴q －pq ＝－p ，即＋＝1.173717p 37q。

2019届高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算练习.doc

2019届高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算练习一、选择题1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案 C2．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ②在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；③在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ④在△ABC 中，AB →－AC →＝BC →. A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析 ①是真命题．因为(a －b )＋(b －a ) ＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b ) ＝(a －a )＋(b －b )＝0；所以a －b 与b －a 是相反向量．②真命题．因为AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0；所以命题成立．③假命题．因为AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →，所以(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0，所以该命题不成立． ④假命题．因为AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →，所以该命题不成立，故选A. 答案 A3．如图，在△ABC 中，|BA →|＝|BC →|，延长CB 到D ，使AC →⊥AD →，若AD →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析由题意可知，B 是DC 中点，故AB →＝12(AC →＋AD →)，即AD →＝2AB →－AC →，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.答案 C4．设a ，b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析将|a ＋b |＝|a |－|b |两边都平方得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a |·|b |，∴2a ·b ＝－2|a |·|b |⇒2|a |·|b |cos θ＝－2|a |·|b |，∴cos θ＝－1，即a 与b 共线，故选C. 答案 C5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析由OA →＋OB →＋CO →＝0得OA →＋OB →＝OC →，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故∠CAB ＝30°.答案 A6．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0，3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →. 因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12，故选C.答案 C二、填空题7．(2015·重庆模拟)若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．解析因为AB →＝3a ，CD →＝－5a ，所以AB →＝－35CD →，AB →，CD →共线，所以AB ，CD 平行且不相等，又有|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABCD 为等腰梯形．答案等腰梯形8．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.解析由a ∥b ，得sin2θ＝cos 2θ，即2sin θcos θ＝cos 2θ，因为0<θ<π2，所以cos θ≠0，整理得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12.答案 129．已知向量c ＝a |a |＋b|b |，其中a ，b 均为非零向量，则|c |的取值范围是________．解析a |a |与b|b |均为单位向量，当它们共线同向时，|c |取最大值2，当它们共线反向时，|c |取最小值0，故|c |的取值范围是[0,2]．答案 [0,2]三、解答题10．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解 (1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b . AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )． BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，因为有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．11．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由．解由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b .整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．培优演练1．(2015·山东烟台期末)如图，O 为线段A 0A 2 013外一点，若A 0，A 1，A 2，A 3，…，A 2 013中任意相邻两点的距离相等，OA 0＝a ，OA 2 013＝b ，用a ，b 表示OA 0→＋OA 1→＋OA 2→＋…＋OA 2 013，其结果为( )A ．1 006(a ＋b )B ．1 007(a ＋b )C ．2 012(a ＋b )D ．2 014(a ＋b )解析设A 0A 2 013的中点为A ，则A 也是A 1A 2 012，…，A 1 006A 1 007的中点，由向量的中点公式可得OA 0→＋OA 2013＝2OA →＝a ＋b ，同理可得OA 1→＋OA 2 012＝OA 2→＋OA 2 011＝…＝OA 1 006＋OA 1 007＝a ＋b ，故OA 0→＋OA 1→＋OA 2→＋OA 3→＋…＋OA 2 013＝1 007×2OA →＝1 007(a ＋b )，选B. 答案 B2．(2014·浙江卷)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y .设a ，b为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min{|a ＋b |，|a －b |}与min{|a |，|b |}的大小关系不确定，故A ，B 选项错误．当a ，b 中有零向量时，显然max{|a ＋b |2，|a －b |2}＝|a |2＋|b |2成立．由于|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉，|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos 〈a ，b 〉．若a ≠0，b ≠0，则当0°≤〈a ，b 〉<90°时，显然|a ＋b |2>|a －b |2，且|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当〈a ，b 〉＝90°时，显然|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2；当90°<〈a ，b 〉≤180°时，显然|a ＋b |2<|a －b |2，而|a －b |2>|a |2＋|b |2.故总有max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2成立，故选D.答案 D3．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹所过的定点为________．解析依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ，得OP →－OA →＝λ(a ＋b )，即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于点M ，则AP →＝λAD →，所以A ，P ，D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点M . 答案边BC 的中点4．(2014·温州十校期末)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，求|CO →|的最小值．解 ∵CO →＝xCA →＋yCB →，∴CO →＝x (OA →－OC →)＋y (OB →－OC →)＝xOA →＋yOB →－(x ＋y )OC →，∵x ＋y ＝1，∴xOA →＋yOB →＝0，∴A ，O ，B 三点共线，f (m )＝|CA →－mCB →|＝ CA →－mCB →2＝|CA →|2＋m 2|CB →|2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ，当m ＝cos ∠ACB 时，f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，即cos 2∠ACB －2cos 2∠ACB ＋1＝34，∵∠ACB 为钝角，∴cos ∠ACB ＝－12，∴∠ACB ＝120°，∠B ＝∠A ＝30°，∴|CO →|的最小值为12.。

2019版一轮优化探究理数练习：第五章第一节平面向量的概念及其线性运算

一、填空题1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连结AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3. 答案：32．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AD →＋BE →＋CF →＝________.解析：∵AD →＝DB →，∴AD →＋BE →＝DB →＋BE →＝DE →＝FC →，得AD →＋BE →＋CF →＝0(或AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋CF →＝AF →＋CF →＝0)．答案：03．如图，命题：点P ，Q 是线段AB 的三等分点，则有OP →＋OQ →＝OA →＋OB →，把此命题推广，设点A 1，A 2， A 3，…，A n －1是AB 的n 等分点(n ≥3)，则有OA →1＋OA →2＋…＋OA →n －1＝________(OA →＋OB →)．解析：当n ＝3时，则应填1,当n ＝4时，OA →1＋OA →2＋OA →3＝3OA →＋14AB →＋24AB →＋34AB →＝3OA →＋32AB →＝3OA →＋32(OB →－OA →)＝32(OA →＋OB →)，由归纳推理知填n －12. 答案：n －124．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为________．解析：A 、B 、C 三点共线⇔AB →∥AC →⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1. 答案：λ1λ2－1＝05．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．解析：由题意得，AP →＝λ(AB →＋AC →)，令AB →＋AC →＝AD →，则AD 与BC 互相平分，又AP →＝λAD →，即P 点在直线AD 上，而AD 在BC 边的中线上，所以P 点的轨迹必经过△ABC 的重心．答案：重6．a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋kb ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值等于________．解析：由于A 、B 、D 三点共线，故AB →∥BD →，又AB →＝2a ＋kb ，BD →＝CD →－CB →＝a －2b ，故由2a ＋kb ＝λ(a －2b )可解得k ＝－4. 答案：－47．已知两个不共线的向量OA →，OB →的夹角为θ，且|OA →|＝3.若点M 在直线OB 上，且|OA →＋OM →|的最小值为32，则θ的值为________．解析：如图作向量AN →＝OM →，则OA →＋OM →＝ON →，其中点N 在直线AC 上变化，显然当ON ⊥AC 时，即点N 到达H 时，|ON →|有最小值，且∠OAH ＝θ，从而sin θ＝323＝12，故θ＝π6或θ＝5π6(根据对称性可知钝角也可以)．答案：π6或56π8．已知O 是正三角形ABC 内部的一点，OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△OAB 的面积与△OAC 的面积比值是________．解析：分别延长OB 到B 1，OC 到C 1，使OB 1→＝2OB →，OC 1→＝3OC →，故OA →＋OB 1→＋OC 1→＝0，所以O 为△AB 1C 1的重心，则S △OAB 1＝S △OAC 1，S △OAB S △OAC ＝S △OAB 12S △OAC 13＝32.答案：329．若OA →＝a ，OB →＝b ，下列向量中能表示∠AOB 平分线上的向量OM →的是________． ①a |a |＋b|b | ②λ(a |a |＋b |b |)，λ由OM →确定 ③a ＋b |a ＋b |④λ(|b |a ＋|a |b |a |＋|b |)，λ由OM →确定解析：由平面几何知识知∠AOB 的平分线可视为以OA ，OB 所在线段为邻边的菱形的对角线OM 所在的直线，故OM →＝λ(a |a |＋b |b |)，其中λ由OM →确定．答案：② 二、解答题10．如图所示，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD 且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解析：连结CN ，N 是AB 的中点， ∵DC ∥AB ，且DC ＝AN ，∴四边形ANCD 是平行四行形，则CN →＝－AD →＝－b .又CN →＋NB →＋BC →＝0，且AB →＝a ， ∴BC →＝－NB →－CN →＝－12a ＋b ， MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝14a －b .11．设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA →＝－2i ＋mj ，OB →＝n i ＋j ，OC →＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值．解析：AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ， BC →＝OC →－OB →＝(5－n )i ＋(－2)j .∵点A 、B 、C 在同一条直线上，∴AB →∥BC →，即AB →＝λBC →，∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i ＋(－2)j ]，∴⎩⎨⎧n ＋2＝λ(5－n )1－m ＝－2λm ＝2n，解得⎩⎨⎧m ＝6n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝32.12．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a 、b 表示OM →；(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求证：17p ＋37q ＝1. 解析：(1)设OM →＝m a ＋n b ，则 AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线， ∴m －1－1＝n 12，∴m ＋2n ＝1.① 而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋n b ， CB →＝－14a ＋b .∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →共线， ∴m －14－14＝n1，∴4m ＋n ＝1.② 联立①②可得m ＝17，n ＝37， ∴OM →＝17a ＋37b .(2)证明：EM →＝(17－p )a ＋37b ，EF →＝－p a ＋q b ， ∵EF →与EM →共线，∴17－p －p ＝37q ，∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q ＝1.。

2019一轮复习高考调研-全套复习课件和练习5-1

助【答案】 (1)不正确 (2)正确 (3)不正确 (4)不正确 (5)不正确餐
授探究1 本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗
人
忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理
以渔
中、生活中的模型进行类比和联想，引导学生在理解的基础上加以记忆．
思考题1 判断下列命题是否正确，不正确的说明理由．
行四边形，则AB∥DC且A→B与→ DC方向相同．因此→c可以不共线．
课时作业
高三数学（人教版）
高考调研 ·新课标高考总复习
第五章 ·第1课时
课 (4)不正确，当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b. 前自 (5)不正确．
自助
G→C＝0.
餐
求证：G 为△ABC 的重心．
授人
【证明】取 BC 的中点 D，则G→B＋G→C＝2→ GD
以渔
又∵G→A＋G→B＋G→C＝0
∴G→A＝－2G→D
∴A、G、D 三点共线，且|G→A|＝2|G→D|，
∴G 为△ABC 的重心．
课时作业
高三数学（人教版）
高考调研 ·新课标高考总复习
渔
称为 A→B 的模，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位长度
的向量，叫做单位向量．
3．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．规定：0与任何
向量平行，平行向量也叫做共线向量．
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.
课时
作
业
高三数学（人教版）
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

浙江专版2019版高考数学一轮复习学案：第五章平面向量+Word版含答案

第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念平行四边形法则向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa. [小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a|＝|b|，则a ＝b C ．若|a|＝|b|，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a|＝|b|答案：D2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案：D3．若D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD ―→等于( ) A ．－BC ―→＋12BA ―→B ．－BC ―→－12 BA ―→C ．BC ―→ －12BA ―→D ．BC ―→＋12 BA ―→答案：A4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a)共线，则λ＝________. 答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b|＝|a|＋|b|，则p 是q 的________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p ⇒q . 若|a ＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要考点一平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 和b 不共线，则a 和b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C 选项A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B 中零向量与任意向量共线，故a ，b 都是非零向量，故正确；选项C 中是共线向量，故错误；选项D 中既然方向相反就一定不相等，故正确．3．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c.②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a ＝b ，故|a|＝|b|且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第3题易混淆有关概念．考点二向量的线性运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B ．34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→.3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )·AC ―→，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：选 D 设CO ―→＝y BC ―→，∵AO ―→＝AC ―→＋CO ―→＝AC ―→＋y BC ―→＝AC ―→＋y (AC ―→－AB ―→)＝－y AB ―→＋(1＋y ) AC ―→，∵BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.2．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB ―→. ∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b)，即k a ＋b ＝λa ＋λk b.∴(k －λ)a ＝(λk －1)b. ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB ―→＝e 1＋me 2，AC ―→＝ne 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1解析：选A 因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB ―→＝λAC ―→，所以有e 1＋me 2＝n λe 1＋λe 2，由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝n λ，m ＝λ，所以mn ＝1.2．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b.(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b)，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b)，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a)．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→，故λ＝2. 2．在△ABC 中，AD ―→＝2DC ―→，BA ―→＝a ，BD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝32a －12bD ．c ＝32b －12a解析：选D 依题意得BD ―→－BA ―→＝2(BC ―→－BD ―→)，即BC ―→＝32BD ―→－12BA ―→＝32b －12a.3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b)＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.答案：135．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b.答案：b －a －a －b二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ，b ，且AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－5a ＋6b ，CD ―→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝3a ＋6b ＝3AB ―→.因为AB ―→与AD ―→有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋λ－b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b.由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3.如图，已知|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，OA ―→与OB ―→的夹角为120°，OC ―→与OA ―→的夹角为30°，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，则λμ等于( )A.32B ．233C.12D ．2解析：选D 过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于点D .由题意可知，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴OD ＝2CD ，又∵OD ―→＝λOA ―→，DC ―→＝μOB ―→，∴λ|OA ―→|＝2μ|OB ―→|，即λ＝2μ，故λμ＝2.4．(2018·遂昌期初)已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a ，t b ，13(a ＋b)三向量的终点在同一直线上，则实数t 的值为( )A ．2B ．1 C.23D.12解析：选D 由题可设13(a ＋b)＝λa ＋μt b ，因为a ，t b ，13(a ＋b)三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以13＝λ，μ＝23，所以13＝23t ，解得t ＝12.5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，又OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，∴OD ―→＝－OC ―→，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4. 6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→，得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b)，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a ＋b)－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b.答案：－14a ＋14b7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2.答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b)＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④. 答案：39．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2 e 1－8 e 2，CB ―→＝e 1＋3 e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3 e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2 e 1－e 2)－(e 1＋3 e 2)＝e 1－4 e 2， ∵AB ―→＝2 e 1－8 e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4 e 2，∵BF ―→＝3 e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R)，即3 e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.10．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ―→＋4BP ―→ ＋5CP ―→＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，用a ，b 表示向量AP ―→，AD ―→.解：∵BP ―→＝AP ―→－AB ―→＝AP ―→－a ，CP ―→＝AP ―→－AC ―→＝AP ―→－b ，又3AP ―→＋4BP ―→＋5CP ―→＝0，∴3AP ―→＋4(AP ―→－a)＋5(AP ―→－b)＝0，∴AP ―→＝13a ＋512b.设AD ―→＝t AP ―→ (t ∈R)，则AD ―→＝13t a ＋512t b.①又设BD ―→＝k BC ―→ (k ∈R)，由BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ，得BD ―→＝k (b －a)．而AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝a ＋BD ―→. ∴AD ―→＝a ＋k (b －a)＝(1－k )a ＋k b.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①得AD ―→＝49a ＋59b.∴AP ―→＝13a ＋512b ，AD ―→＝49a ＋59b.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AF ―→＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 解析：选C 令BF ―→＝λBE ―→，则AF ―→＝AC ―→＋BF ―→＝AB ―→＋λBE ―→＝AB ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AC ―→－AC ―→ ＝(1－λ)AB ―→＋12λAC ―→；令CF ―→＝μCD ―→，则AF ―→＝AC ―→＋CF ―→＝AC ―→＋μCD ―→＝AC ―→＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ―→－AC ―→ ＝12μAB―→＋(1－μ)AC ―→.由对应系数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以AF ―→＝13AB ―→＋13AC ―→.故选C.2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2. ∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 3．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [小题体验]1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b.解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n B ．因为a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2 e 2)＋n (－e 1＋e)＝(m －n ) e 1＋(2m ＋n ) e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －134．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b)∥c ，则m ＝________. 答案：－11．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题纠偏]1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1 e 1＋λ2 e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：02．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.答案：－3考点一平面向量基本定理及其应用基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.如图，在三角形ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 解析：选D ∵在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，∴AE ―→＝12AC ―→.∵O 是BE 边的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －163．(易错题)如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ，BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b.∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b.综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第3题．考点二平面向量的坐标运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A.2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ―→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN ―→＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三平面向量共线的坐标表示重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[由题悟法]向量共线的充要条件 (1)a ∥b ⇔a ＝λb(b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．(2018·丽水质检)已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,1)，若(a ＋b)∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选A 因为a ＝(1，－2)，b ＝(x,1)，所以a ＋b ＝(x ＋1，－1)．因为(a ＋b)∥b ，所以x ＋1－(－x )＝2x ＋1＝0，解得x ＝－12.2．(2018·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________.解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0. 答案：03．设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb(λ<0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a|＝5λ2＝25，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)4．若三点A (2,2)，B (a ,0)，C (0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．解析：AB ―→＝(a －2，－2)，AC ―→＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案：12一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选 B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→，∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1.故选A.3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13. 4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b)，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：125．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·温州十校联考)已知a ＝(－3,1)，b ＝(－1,2)，则3a －2b ＝( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1)D ．(7，－1)解析：选B 由题可得，3a －2b ＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)． 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于( ) A.36 B ．34C.33D.32解析：选C 由m ∥n ，得(3b －c )cos A －a cos C ＝0，再由正弦定理得 3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B ·cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝33. 3．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12a x 与线段AB 交于点C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a等于( )A ．2B ．1 C.45D.53解析：选A 设C (x ，y )，则AC ―→＝(x －7，y －1)，CB ―→＝(1－x,4－y )，∵AC ―→＝2CB ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝－x ，y －1＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.4．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( )A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：选B 设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)， ∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5. 又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.故选B.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12b B ．12a ＋14b C.23a ＋13b D.13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b.∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13， ∴|DF |＝13|AB |.∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 BD ―→－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 AC ―→ ＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ，∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．解析：k a ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.因为c ＝x a ＋y b ，所以(3,2)＝(x －2y,3x ＋y )，即x －2y ＝3,3x ＋y ＝2，解得x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.答案：－1 07．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠18.给定两个长度为1的平面向量OA ―→和OB ―→，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动．若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，其中x ，y ∈R ，则x ＋y的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，OA ―→的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则可知A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设C (cos α，sin α)⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.答案：29．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c)∥(2b －a)，求实数k .解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13 b －a ＝16b －a ，CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16 b －a ＝a －23b. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．设OP ―→＝x OA ―→，OQ ―→＝y OB ―→，则1x ＋1y＝________.解析：∵点P ，G ，Q 在一条直线上， ∴PG ―→＝λPQ ―→ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤λ≤23.∴OG ―→＝OP ―→＋PG ―→＝OP ―→＋λPQ ―→＝OP ―→＋λ(OQ ―→－OP ―→) ＝(1－λ)OP ―→＋λOQ ―→＝(1－λ)x OA ―→＋λy OB ―→，① 又∵G 是△OAB 的重心， ∴OG ―→＝23OM ―→＝23×12(OA ―→＋OB ―→)＝13OA ―→＋13OB ―→.② 而OA ―→，OB ―→不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＝13，λy ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3.答案：32．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3―→＝λA 1A 2―→ (λ∈R)，A 1A 4―→＝μA 1A 2―→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：选D 根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c ＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d ＝μ.根据1λ＋1μ＝2，得1c ＋1d ＝2.线段AB 的方程是y ＝0，x ∈[0,1]．若C 是线段AB 的中点，则c ＝12，代入1c ＋1d＝2得，1d＝0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 上，则0< c ≤1,0<d ≤1，此时1c ≥1，1d ≥1，1c ＋1d ≥2，若等号成立，则只能c ＝d ＝1，根据定义，C ，D 是两个不同的点，矛盾，故选项C 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，即c >1，d >1，则1c ＋1d <2，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c <0，d <0，则1c ＋1d是负值，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c >1，d <0，则1c<1，1d <0，此时1c ＋1d <1，与1c ＋1d＝2矛盾，故选项D 的说法是正确的．3．已知三点A (a ,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2.(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )，由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→，所以－a (2－b )－2 b ＝0，即2(a ＋b )＝a b ，因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝a b ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b· a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b· c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22[小题体验]1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案：D2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝_____.答案：－103．(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(t a＋b)，则实数t的值为________．解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(t a ＋b)，则a ·(t a ＋b)＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5. 答案：－54．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b.若b ·c ＝0，则t ＝________. 解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b ·c ＝0，得b ·[t a ＋(1－t )b]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：25．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ―→·BD ―→＝________.解析：选向量的基底为AB ―→，AD ―→，则BD ―→＝AD ―→－AB ―→，AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→，所以AE ―→·BD―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AB ―→ ·(AD ―→－AB ―→)＝2.答案：21．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c(a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b<0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b. 4．在用|a|＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏]1．若a ，b 是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：①a ·b ＝0；②a ＋b ＝a －b ；③|a ＋b|＝|a －b|；④a 2＋b 2＝(a ＋b)2.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为a ，b 是两个互相垂直的非零向量，所以a ·b ＝0；所以(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2；(a －b)2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2；所以(a ＋b)2＝(a －b)2，即|a ＋b|＝|a －b|.故①③④是正确的，②是错误的．2．(2016·北京高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．解析：由题意得|a|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2， a ·b ＝1×3＋3×1＝2 3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6.答案：π6考点一平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3.2．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ―→·CD ―→＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 解析：选D 由已知条件得BD ―→·CD ―→＝BD ―→·BA ―→＝3a ·ac os 30°＝32a 2，故选D.3．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a ·b ＝________；(2a －b )·(a ＋b)＝__________.解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a|＝－2＋－2＝210，又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a |·|b |·c os 60°＝210×10×12＝10.(2a －b )·(a ＋b)＝2a 2＋a ·b －b 2＝80＋10－10＝80. 答案：10 804.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，则AB ―→·AD ―→＝________.解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→)＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|c os 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|c os 45° ＝22×2×22＋22×1×22＝6. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)，D (－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)， ∴AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6. 答案：6[谨记通法]向量数量积的2种运算方法[锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直；(4)与最值、范围有关问题．[题点全练]角度一：平面向量的模1．已知 e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12.若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b|＝________.解析：法一：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|c1，e 2＝12，∴1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°.由b ·e 1＝1，得|b||e 1|c os 30°＝1，∴|b|＝132＝233.法二：由题可得，不妨设e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，b ＝(x ，y )．因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以x ＝1，12x ＋32y ＝1，解得y ＝33.所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，所以|b|＝ 1＋13＝233. 答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2018·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a ⊥(a －b)，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b)，∴a ·(a －b)＝a 2－a ·b ＝1－2c a ，b ＝0，∴c a ，b ＝22，∴a ，b ＝π4. 3．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：∵e 1，e 2的模为1，且其夹角θ＝2π3.∴a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋e 1·e 2－2k e 1·e 2－2e 22 ＝k ＋(1－2k )cos 2π3－2＝2k －52.又∵a ·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝54.答案：54角度三：平面向量的垂直4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m＋n)，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94解析：选B ∵n⊥(t m ＋n)，∴n ·(t m ＋n)＝0，即t m ·n ＋| n |2＝0，∴t|m || n |cos 〈m ，n 〉＋| n |2＝0. 又4|m|＝3| n |，∴t ×34|n|2×13＋| n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.5．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b|＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解：(1)证明：由题意得|a －b|2＝2，即(a －b)2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b.(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.角度四：与最值、范围有关问题6．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )。

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一、填空题
1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝________.
解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连结AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3. 答案：3
2．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，C A 的中
点，则AD →＋BE →＋CF →
＝________.
解析：∵AD →＝DB →，∴AD →＋BE →＝DB →＋BE →＝DE →＝FC →，得AD →＋BE →
＋CF →＝0(或AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋CF →＝AF →＋CF →
＝0)．答案：0
3．如图，命题：点P ，Q 是线段AB 的三等分点，则有OP →＋OQ →
＝OA →＋OB →
，把此命题推广，设点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB
的n 等分点(n ≥3)，则有OA →1＋OA →2＋…＋OA →n －1＝________(OA →＋OB →
)．解析：当n ＝3时，则应填1,
当n ＝4时，OA →1＋OA →2＋OA →3＝3OA →＋14AB →＋24AB →＋34AB →＝3OA →＋32AB →＝3OA →＋32(OB →
－OA →)＝32(OA →＋OB →
)，由归纳推理知填n －12. 答案：n －12
4．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →
＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、
B 、
C 三点共线的充要条件为________．
解析：A 、B 、C 三点共线⇔AB →∥AC →
⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1. 答案：λ1λ2－1＝0
5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →
＋λ(AB →＋AC →
)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．解析：由题意得，AP →＝λ(AB →＋AC →)，令AB →＋AC →＝AD →
，则AD 与BC 互相平分，又AP →＝λAD →
，即P 点在直线AD 上，而AD 在BC 边的中线上，所以P 点的轨迹必经过△ABC 的重心．答案：重
6．a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋kb ，CB →＝a ＋b ，CD →
＝2a －b ，且A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值等于________．
解析：由于A 、B 、D 三点共线，故AB →∥BD →，又AB →＝2a ＋kb ，BD →＝CD →－CB →
＝a －2b ，故由2a ＋kb ＝λ(a －2b )可解得k ＝－4. 答案：－4
7．已知两个不共线的向量OA →，OB →的夹角为θ，且|OA →
|＝3.若点M 在直线OB 上，且|OA →＋OM →
|的最小值为32，则θ的值为________．
解析：如图作向量AN →＝OM →，则OA →＋OM →＝ON →
，其中点N 在直线AC 上变化，显然当ON ⊥AC 时，即点N 到达H 时，|ON →
|有最小值，且∠OAH ＝θ，从而sin θ＝3
23＝12，故θ＝π6或θ＝
5π
6(根据对称性可知钝角也可以)．答案：π6或5
6π
8．已知O 是正三角形ABC 内部的一点，OA →＋2OB →＋3OC →
＝0，则△OAB 的面积与△OAC 的面积比值是________．
解析：分别延长OB 到B 1，OC 到C 1，使OB 1→＝2OB →，OC 1→＝3OC →，故OA →＋OB 1→
＋OC 1→
＝0，所以O 为△AB 1C 1的重心，则S △OAB 1＝S △OAC 1，S △OAB S △OAC ＝S △OAB 1
2S △OAC 1
3＝32.
答案：32
9．若OA →＝a ，OB →＝b ，下列向量中能表示∠AOB 平分线上的向量OM →
的是________． ①a |a |＋b
|b | ②λ(a |a |＋b |b |)，λ由OM →
确定 ③a ＋b |a ＋b |
④λ(
|b |a ＋|a |b |a |＋|b |
)，λ由OM →
确定
解析：由平面几何知识知∠AOB 的平分线可视为以OA ，OB 所在线段为邻边的菱形的对角线OM 所在的直线，故OM →＝λ(a |a |＋b |b |)，其中λ由OM →
确定．答案：② 二、解答题
10．如图所示，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD 且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →
＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.
解析：连结CN ，N 是AB 的中点， ∵DC ∥AB ，且DC ＝AN ， ∴四边形ANCD 是平行四行形，则CN →＝－AD →
＝－b .
又CN →＋NB →＋BC →＝0，且AB →
＝a ， ∴BC →＝－NB →－CN →
＝－12a ＋b ， MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝1
4a －b .
11．设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA →
＝－2
i
＋mj ，OB →＝n i ＋j ，OC →
＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值．
解析：AB →＝OB →－OA →
＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ， BC →＝OC →－OB →
＝(5－n )i ＋(－2)j .
∵点A 、B 、C 在同一条直线上，∴AB →∥BC →
，即AB →＝λBC →，
∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i ＋(－2)j ]，
∴⎩⎨⎧
n ＋2＝λ(5－n )1－m ＝－2λm ＝2n
，解得⎩⎨⎧
m ＝6
n ＝3或⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝3n ＝3
2.
12．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →
，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →
＝b . (1)用a 、b 表示OM →
；
(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设 OE →
＝pOA →，OF →＝qOB →
，求证：17p ＋37q ＝1. 解析：(1)设OM →
＝m a ＋n b ，则 AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →
＝－a ＋12b . ∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →
共线， ∴m －1－1＝n 1
2，∴m ＋2n ＝1.① 而CM →＝OM →－OC →
＝(m －14)a ＋n b ， CB →
＝－14a ＋b .
∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →
共线，
∴m －14
－14＝n
1，∴4m ＋n ＝1.② 联立①②可得m ＝17，n ＝3
7， ∴OM →＝1
7a ＋37b .
(2)证明：EM →＝(17－p )a ＋37b ，EF →
＝－p a ＋q b ， ∵EF →与EM →
共线，∴17－p －p ＝37q ，
∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋3
7q ＝1.。

2019版一轮优化探究文数第五章 第一节 平面向量的概念及其线性运算练习

(北京专用)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算夯基提能作业本文

2019高考数学一轮复习 第五章 1-第一节 平面向量的概念及其线性运算