2一般的一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式

一般的一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式 知识与方法

1，配完全平方

利用两数和（差）的平方公式，把二次三项式（含二次项和一次项）通过添项或拆项配成完全平方公式。

例：填空：（1）++x x 62

_____=（x+ ____）2

（1）x x -22+_______ =2(x-_____)2 2,用配方法解一元二次方程

用配方法解方程()002

≠=++a c bx ax 的一般步骤是： 1，通过移项，两边同除以二次项系数，将原方程变形为q px x =+2

（p, q 是已知数）形式； 2，通过方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，将方程q px x =+2的左边配成一个关于x 的完全平方式，方程化为q p p x +⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+2222； 3，当022≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛q p 时，再利用开平方法解方程； 当022

〈+⎪⎭

⎫ ⎝⎛q p 时，原方程无实数解。 例：用配方法求解下列一元二次方程：

（1）442+=x x （2）0262=-+x x

3，用公式法求解一元二次方程

在解一元二次方程时，要把方程化为一般式。

知道一元二次方程的求根公式是用配方法对一元二次方程一般式()002

≠=++a c bx ax 求解得到的。

当042

〉-ac b 时，a ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=；

当042=-ac b a

b x x 221-==； 当042〈-a

c b 时，方程无实数解。 例：用公式法求解下列一元二次方程：

（1）()242t t =+ ； （2）()()06110122

=+---x x

4，正确选择合理的方法进行求解一元二次方程

求解一元二次方程的方法一般有四种，遇到具体问题时，我们要合理地选择适当的方法进行求解。

例：用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）()()()0133213=+--+x x x x ； （2）02391692

=--x x

（3）09964122=--x x ； （4）()09122

=--x ；

（5）0101962

=++x x

拓展与提高

1，换元法思想在解方程中的应用:

(1)在某些特殊高次方程的求解中的应用 (2)在某些分式方程求解中的应用

例：(1)解方程：0932162

4=--x x (2)解方程：()()()()1204321=++++x x x x

（3）已知关于x 的方程112122=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++

x x x x ，求11++x x 的值。

巩固练习

一，填空题

1，()()[]2210+=++x x x ， ()()[]224

3-=+-y y y 2，用配方法解一元二次方程时，一般将方程变形为q px x =+2，方程两边同时加上_______，

已达到配平方的目的，此时当__________时，方程有解。

3，运用公式法解一元二次方程时，先把方程化为一般形式__________，接着确定a, b, c 的值，然后求出__________的值判断方程解的情况，若有解，则利用__________求根。 4，若()532

=-x ，则x 的值为__________ 5，方程()002≠=++a c bx ax ，若c=0，一般选用__________法求解，此时方程必有一根

为__________ ，另一根为__________。

6，当x=__________时，代数式422

+-x x 是x+1的2倍。

7，方程()147332=-y 的解是__________ 8，方程()()72372-=-x x x 的解是__________

9，方程的222

=+x x 的解是__________

10,方程04522

=--x x 的解是__________

11，关于x 的方程x m x 42=+中，ac b 42-=__________

12，关于y 的方程032=++m y y 有一根是1-=y ，则另一根是__________

13，三个连续正整数的平方和正好是50，则这三个数是__________

14，方程()()631=++x x 的解是__________

15，01.021.009.02=+-y y 与0102192=+-y y 的解________（填“相同”或“不相同”） 二，选择题

16，一元二次方程02=++c bx ax 一定有解的条件是（ ）

A.0,0,0>>>c b a

B.0,0,0<<

C.a,c 异号

D.b=0 17,方程02=+b ax 有实数根的条件是（ ）

A.0

B.0,0>≠b a

C.0,0<≠b a

D.0>ab 18，一元二次方程)0(02<=+-q q px x 的两根是（ ） A.242q p p -± B.242q p p -±- C.2

42q p p +±- D.无解 19，把方程

05312=--x x 化成()n m x =+2的形式得（ ） A.227232=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x B.464232=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C.429232=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x D.451232=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x 20.一元二次方程02

=++c bx ax 有两个根互为相反数，则满足的条件是（ ）

A.0,0,0≠≥=a ac b

B.0,0,0≠≤=a ac b

C.0,0=≠bc a

D.0,0>=ac b

三，简答题

21，解方程：

（1）0562=-+x x （用配方法） （2）23156x x =+（用配方法）