江西省信丰中学高中数学必修五：等差数列的前n项和
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和公式的
等差数列前n项和公式是数学中重要的知识点，在学习过程中很容易被忽视，但它却能帮助我们简化许多复杂的计算过程。
那么，等差数列前n项和公式是什么呢？
等差数列前n项和公式，指的是，若给定等差数列：a1，a2，a3，……，an，其中每一项与前一项的差均相等，则前n项之和可表示为：Sn=a1+a2+a3+…+an=n(a1+an)/2，其中a1为等差数列中的第一项，an 为等差数列中的第n项。
要加以应用，就需要知道等差数列中每一项的值。
一般来说，等差数列中的每一项可用一个公式来表示，an=a1+(n-1)d，其中a1为等差数列中的第一项，d为等差数列中每一项与前一项的差值，n为项数。
利用这两个公式，我们就可以计算出等差数列的前n项和。
例如，有一个等差数列：4，7，10，13，16，其中每项与前项之差为3，要计算其前5项之和，则可以按照以下步骤操作：
1. 用第一个公式求出an=16，a1=4，n=5，d=3；
2. 用第二个公式计算Sn=5(4+16)/2=70；
以上就是等差数列前n项和的计算过程。
如果要计算等差数列前n项和的值，只需要按照以上方法，求出an和a1，n，d的值，即可轻松求出。
等差数列前n项和公式是数学知识中重要的内容，它不仅可以简化计算过程，而且可以给我们带来更多的想象空间，让我们更好地理解数学知识。
高二数学必修五 2.3等差数列的前n项和(一)
又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
n(a1 an ) 2Sn n(a1 an ) 即S n 2
等差数列的 前n项和等 等差数列的前n项和的公式： 于首末两项 的和与项数 n(a1 an ) 乘积的一半。
求和公式
可知三 求一
d a n a n 1
an a1 d n1
an am d nm
4. 等差中项 ab A a , A, b 成等差数列. 2 5. 等差数列的性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq.
(m，n，p，q∈N)
6. 数列的前n项和：
a1 a2 a3 an
类型 1 与等差数列前 n 项和 Sn 有关的基本运算 [典例 1] 在等差数列{an}中． 5 3 (1)a1＝ ，an＝－ ，Sn＝－5，求 n 和 d； 6 2 (2)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d； (3)已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1 和 n.
2 的通项公式，这个数列是等差数列吗?如果是，它的 首项与公差分别是什么？
n（n 1) Sn na1 d 2
an a 1 ( n 1)d
结论：知 三 求 二
【课中导学】
（2） a1 10 ， d 4 ， Sn 54 ，求 n ； （3） S5 25 ， S10 100 ，求 a1 及 d 。
例 1.已知等差数列 {an } 中， （1） a1 75 ， a7 105, 求 S7 ；
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2). 2. 等差数列通项公式： (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). d a n a n1 (2) an＝am＋(n－m)d .
高中数学必修5：等差数列的前n项和公式的巧记及其性质
2．已知等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n等于 ()
A．51
B．50
C．49
D．48
解析： 由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 得 n×50＋n×n2－1×(－2)＝0 即 n2－51n＝0 ∴n＝0(舍去)或 n＝51.故选 A.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19 的值为________．
Sn=na1＋nn2－1d
等差数列的前n项和
已知量 首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和 公式
Sn＝
na1＋an 2
Sn＝ na1＋nn－ 2 1d
Sn与梯形面积
a1
n
a1
n
an
an
补成平形四边形
Sn
a1
an
与 梯
n
Sn
形
an
a1
面
积
Sn
(a1
an ) n 2
分割成一个平行四边形和一个三角形
若某个数列的前n项和Sn 可以表示成 Sn An2 Bn ， 则这个数列是等差数列.
等差数列的Sn的性质
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
Sn n
d
d
2
n (a1
) 2
{ Sn } 是一个等差数列，公差为 d .
n
2
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大 值．
由题目可获取以下主要信息： ①{an}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9. 解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使
[题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和 Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an ，Sn中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式 联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方 法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体 思想的运用．
等差数列的前N项和公式
等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。
前N项和指的是数列前N项之和。
首先，我们来推导等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。
根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。
我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。
因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。
为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。
假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。
首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。
等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。
通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。
在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。
方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。
这个方法适用于所有的等差数列。
高中数学必修五教案：2等差数列的前n项和
集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日等差数列前n 项和公式的基本运算在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8； (2)已知a 2＋a 4＝485，求S 5.【思路探究】 (1)能否把已知条件写成关于a 1，d 的方程组并求出a 1，d 进而解出a 8的值？(2)能否使用等差数列的下标和性质求出a 1＋a 5？可以求S 5的值吗？等差数列中(1)已知首项、末项与项数求前n 项和时一般用公式S n ＝n a 1＋a n2，由于a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…，故解决本类问题常用到等差数列的“下标和”性质．(2)通项公式与前n 项和公式中涉及到a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，已知其中的三个可求其余两个量，即“知三求二”，体现了方程思想的应用．(1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 15＝40，求S 17；(2)在等差数列{a n }中，已知a 3＝16，S 20＝20，若S n ＝110，求n .一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息． (1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h ，这支车队当天一共行驶了多少路程？ 【思路探究】 (1)各车辆行驶的时间是否构成等差数列？(2)最后一辆车行驶的时间是这个数列的第几项？(3)所有车行驶的总时间该如何计算？【自主解答】 由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min ，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝240，公差d ＝－10，则a n ＝240－10(n －1)＝－10n ＋250. (1)因为a 15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min. (2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240＋1002×15＝2 550 min ＝852h ，所以这支车队当天一共行驶的路程为852×60＝2 550 (km)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝，2n ，n∴数列{a n }不是等差数列． 小结1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n a 1＋a 22较好，若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋n n －2d 较好．3．已知数列的前n 项和S n ，可以求通项公式a n 为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
等差数列前N项和公式及应用
等差数列前N项和公式及应用等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中常见的数列类型之一、它是指一个数列中的每个数字相对前一个数字的差值都相等的数列。
等差数列的常用形式为：a，a + d，a + 2d，a + 3d，...，a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的前N项和（Sn）公式如下：Sn=n/2*(2a+(n-1)d)这个公式可以通过对等差数列进行求和的过程来推导得出。
首先将等差数列反向排列并与原等差数列相加，可以得到和为S=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n-1)d)。
在这个和中，每一个等差数列的相邻项之和都等于首项与末项之和，即a+(a+(n-1)d)=2a+(n-1)d。
由于等差数列中共有n个等差数列，所以S=n*(2a+(n-1)d)/2，即Sn=n/2*(2a+(n-1)d)。
应用方面，等差数列的前N项和公式有广泛的实际应用。
以下是一些常见的应用场景：1.等差数列求和问题当我们知道了等差数列的首项、公差和项数，可以利用前N项和公式快速计算出该等差数列的和。
这种方法比逐个累加更为高效，并且能够在不知道等差数列的每一项是多少的情况下求和。
2.金融计算在金融领域，等差数列的前N项和公式常常用于计算复利。
复利是指在每一期利息计算的基础上再次计算利息。
如果每期的增长或衰减量是固定的（即等差数列），可以利用前N项和公式快速计算出复利的总金额。
3.时间与距离的关系在日常生活中，很多问题涉及到时间与距离的关系，如汽车行驶的速度问题。
如果我们知道汽车每小时行驶的距离是固定的（即等差数列），可以通过前N项和公式快速计算出在任意给定的时间内汽车行驶的总距离。
4.等差数列模型等差数列的前N项和公式可以用于建立数学模型，研究各种现象的规律性和变化趋势。
例如，经济学家可以利用等差数列模型来研究人口增长、经济增长以及资源等问题。
总结起来，等差数列的前N项和公式是数学中重要的工具之一，具有广泛的应用。
高中数学必修五-等差数列的前n项和
等差数列的前n项和知识集结知识元等差数列的前n项和知识讲解1．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n 项的值．【考点点评】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．例题精讲等差数列的前n项和例1.已知数列{a n}的前n项和公式是则（）A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为4的等差数列D．不是等差数列例2.已知等差数列{a n}的前n项和S n有最大值，且，则满足S n>0的最大正整数n的值为（）A．6B．7C．11D．12例3.S n为等差数列{a n}的前n项和，若S17=17，则a9=（）A．1B．2C．3D．4当堂练习单选题练习1.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若且S n有最小值，则使前n项和S n>0成立的最小自然数n为（）A．4038B．4039C．4040D．4041练习2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a8=0，S11=33，则公差d的值为（）A．1B．2C．3D．4练习3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2018>0，S2019<0，那么此数列中绝对值最小的项为（）A．a1008B．a1009C．a1010D．a1011练习4.在等差数列{a n}中，a1=-2018，其前n项和为S n，若=5，则S2019的值等于（）A．0B．-2018C．-2019D．-2017练习5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S m-1=16，S m=25，a1=1（m≥2，且m∈N），则m的值是（）A．4B．5C．6D．7练习6.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S2+S4=3S3，a1=2，则a6=（）A．-13B．-12C．12D．13填空题练习1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=8，a1=2，则S5-S3=____练习2.数列{a n}共有k项（k为定值），它的前n项和为S n=3n2-2n（n≤k，n∈N*），现从这k项中抽取某一项（不含首项和末项），余下的k-1项的平均值为103，则k=____．练习3.在等差数列{a n}中，公差d>0，a1+a6=14，a2a5=40，则数列{a n}的前9项之和等于____．练习4.某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数前一排多两个座位，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有座位_____个．解答题练习1.'已知等差数列{a n}满足a6=13，a2+a4=14，设{a n}的前n项和为S n．求{a n}的通项公式及S n．'练习2.'（2017秋∙韩城市校级月考）在等差数列中，a10=23，a25=-22，（1）该数列第几项开始为负；（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．'。
等差数列前N项和说课稿
3．类比联想，解决问题
方法2：
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) Sn an (an d ) (an 2d )
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。 本节课的教学内容是等差数列的前 n项和公式及其简单 应用。它与前面学过的等差数列的定义、通项公式、性 质有着密切的联系；同时，又为后面学习等比数列前 n 项和、数列求和等内容作好准备。因此，本节课既是本 章的重点也是教材的重点。
10
优秀课件，精彩无限！
1．创设情境，提出问题
•源于历史，富有人文气息.激发学习兴趣. •图中算数，形象直观，启迪思路
11
优秀课件，精彩无限！
2．启发引导，探索发现
问题1：
1 2 3
100 ?
50 51 101
由学生答出结果：
1 100 101, 2 99 101,3 98 101,
新课标人教A版必修五第二章
等差数列的前n项和 （第一课时）
1
优秀课件，精彩无限！
等差数列的前n项和
一、教材分析 二、教法分析 三、学法分析 四、教学过程
2
优秀课件，精彩无限！
一、教材分析
1. 教材的地位和作用 2. 教学目标
3. 教学重点、难点
3
优秀课件，精彩无限！
一、教材分析
1．从在教材中的地位与作用来看
于是，所求和是
100 101 5050 2
高斯算法：采用首尾配对的方法求和
12
优秀课件，精彩无限！
2．启发引导，探索发现
问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 即 1 2 3
高三数学必修五等差数列的前n项和知识点总结
高三数学必修五《等差数列的前n项和》知识点总结一、等差数列及前n项和知识点汇总.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d.3.等差中项如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+d.若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.S2n-1=an.若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中.注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立;通项公式法：验证an=pn+q;前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.一、等差数列及前n项和知识点汇总.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d.3.等差中项如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+d.若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.S2n-1=an.若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中.注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立;通项公式法：验证an=pn+q;前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.一、等差数列及前n项和知识点汇总.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d.3.等差中项如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+d.若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.S2n-1=an.若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;若n为奇数，则S奇-S偶=a中.注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，①Sn=an+an-1+…+a1，②①+②得：Sn=n/2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立;通项公式法：验证an=pn+q;前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.。
高中数学必修五：等差数列求前n和 (最全整理)含解析
第二章等差数列前n 和（最全整理）含解析第1课时基础巩固一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2[答案] A[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝4a 3a 7＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝4a 1＋8d a 1＋6d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10d ＝－2. ∴a 9＝a 1＋8d ＝－6.2．四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0[答案] A [解析] ∵a 2a 3＝，∴a 1＋d a 1＋2d ＝13，∴d ＝－2a 1. 又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，∴d ＝8.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝( ) A ．168 B ．156 C ．152 D ．286[答案] D[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝87d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝286.4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 000[答案] C[解析] 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100(c 1＋c 100)2＝100×(40＋139)2＝8950.5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] C[解析] 设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30， ∴5d ＝15，∴d ＝3.6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12[答案] A [解析]S 13S 9＝13a 79a 5＝139×913＝1，故选A ． 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________. [答案] －5n 2＋n2[解析] ∵a n ＝－5n ＋2， ∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)，∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7)＝－5(n ≥2)． ∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列． ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－5n －1)2＝－5n 2＋n 2.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. [答案] 24[解析] ∵S 9＝9·(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16， ∴a 1＋4d ＝8，又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24. 三、解答题9．已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和D ． [解析] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝－5，解得n ＝15，n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.10．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值． [解析] (1)设公差为d ， 则a 20－a 10＝10d ＝20， ∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30， ∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋22)2＝n 2＋11n ＝242， ∴n 2＋11n －242＝0， ∴n ＝11.能力提升一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15[答案] C[解析] ∵a 2＋a 4＋a 15＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7为常数，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7为常数．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 [答案] C[解析] ∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4， ∴2(10－2)＝2＋S 6－10，∴S 6＝24.3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A ．310B ．13C ．18D ．19[答案] A[解析] 据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列． 设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ， ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ，∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ， ∴S 6S 12＝3k 10k ＝310. 4．(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 本题考查数列的前n 项和S n 与通项a n 的关系及等差数列的定义． S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1. S m ＝a 1m ＋m (m －1)2·1＝0，①a m ＝a 1＋(m －1)·1＝2， ∴a 1＝3－m .②②代入①得3m －m 2＋m 22－m2＝0，∴m ＝0(舍去)，m ＝5，故选C ． 二、填空题5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.[答案] 100[解析] ∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线， ∴a 1＋a 200＝1，∴S 200＝200×(a 1＋a 200)2＝100.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则S 3等于________． [答案] 14[解析] 对于S n ＝2a n －2，当n ＝1时，有a 1＝2a 1－2，解得a 1＝2；当n ＝2时，有S 2＝2a 2－2，即a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 2＝a 1＋2＝4；当n ＝3时，有S 3＝2a 3－2，即a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－2，所以a 3＝a 2＋a 1＋2，又a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝8，所以S 3＝2a 3－2＝14.三、解答题7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则 S n ＝na 1＋n (n －1)2D ．由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①得，a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110.8．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S nn }的前n 项和，求数列{S nn}的前n 项和T n .[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n ＝na 1＋12n (n －1)D ．∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列{S n n }是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝14n 2－94n .2.3 第2课时基础巩固一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若d ＝3，S 4＝20，则S 6＝( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ．48[答案] D[解析] 由S 4＝20,4a 1＋6d ＝20，解得a 1＝12⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 [答案] B[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B ．3.13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( ) A ．415B ．215C ．1415D ．715[答案] B[解析] 原式＝12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(113－115)＝12(13－115)＝215，故选B ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100[答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15∴5(a 1＋5)2＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101.故选A ．5．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 解法一：∵a 1>0，S 4＝S 8，∴d <0，且a 1＝112d ，∴a n ＝－112d ＋(n －1)d ＝nd －132d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，得⎩⎨⎧nd －132d ≥0(n ＋1)d －132d <0，∴512<n ≤612，∴n ＝6，解法二：∵a 1>0，S 4＝S 8， ∴d <0且a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0， ∴a 6＋a 7＝0，∴a 6>0，a 7<0， ∴前六项之和S 6取最大值．6．设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值[答案] C[解析] 由S 5<S 6知a 6>0，由S 6＝S 7知a 7＝0，由S 7>S 8知a 8<0，C 选项S 9>S 5即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7＋a 8>0，显然错误． 二、填空题7．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________. [答案] 25[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2， ∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝25.8．(2014·北京理，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[答案] 8[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n 项和．由等差数列的性质，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9，于是有a 8>0，a 8＋a 9<0，故a 9<0，故S 8>S 7，S 9<S 8，S 8为{a n }的前n 项和S n 中的最大值，等差数列{a n }中首项a 1>0公差d <0，{a n }是一个递减的等差数列，前n 项和有最大值，a 1<0，公差d >0，{a n }是一个递增的等差数列，前n 项和有最小值．三、解答题9．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取最大值的n 的值．[解析] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋11.(2)由(1)知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， ∴a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)∵a n ＝2n ＋1， ∴a 2n －1＝4n (n ＋1)，∴b n ＝14n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).能力提升一、选择题1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9[答案] C[解析] a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115， 由a n <180得n <13且n ∈N *， 由n 边形内角和定理得，(n －2)×180＝n ×120＋n (n －1)2×5.解得n ＝16或n ＝9 ∵n <13，∴n ＝9.2．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 [答案] B[解析] ∵S n 有最大值，∴a 1>0，d <0， ∵a 11a 10<－1， ∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0， ∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，故选B ．3．等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11[答案] D[解析] S 11＝5×11＝55＝11a 1＋11×102d ＝55d －55， ∴d ＝2，S 11－x ＝4×10＝40，∴x ＝15，又a 1＝－5，由a k ＝－5＋2(k －1)＝15得k ＝11.4．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5，又∵a 1·a 2·a 3＝105，∴a 1a 3＝21，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0得n ≤4，∴选A ．二、填空题5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案] 110[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为D ．a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，2a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20. ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110. 6．等差数列{a n }中，d <0，若|a 3|＝|a 9|，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n 的值为______________．[答案] 5或6[解析] ∵a 1＋a 11＝a 3＋a 9＝0，∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0， 根据二次函数图象的性质，由于n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时S n 取最大值．三、解答题7．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差以及项数．[解析] 解法1：设此数列的首项a 1，公差d ，项数2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＝24S 偶＝30a 2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧S 偶－S 奇＝6，a 2k －a 1＝212， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ kd ＝6，(2k －1)d ＝212，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝4，d ＝32. 由S 奇＝k 2(a 1＋a 2k －1)＝24，可得a 1＝32. ∴此数列的首项为32，公差为32，项数为8. 解法二：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＝24，S 偶＝30，a 2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12k (a 1＋a 2k －1)＝24，12k (a 2＋a 2k )＝30，(2k －1)d ＝212，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k [a 1＋(k －1)d ]＝24，k (a 1＋kd )＝30，(2k －1)d ＝212，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32，d ＝32，k ＝4.∴此数列的首项为32，公差为32，项数为8. 8．设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．[解析] (1)依题意⎩⎨⎧ S12＝12a 1＋12×112d >0S 13＝13a 1＋13×122d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③将③分别代入②①，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >03＋d <0，解得－247<d <－3. (2)由d <0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得 a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．。
高一数学必修5系列教案：2.3等差数列前n项和
(1) (2) an 2
an a1
∴（ 1）+（2）可得： 2 Sn n(a1 an )
∴S n
n ( a1 a n ) 2
公式变形： 将 an a1 (n 1)d 代入可得： S n
na 1
n (n 1) d 2
【 设计意图 】学生在前面的探究基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一
把“全等三角形 ”倒置，与原图构成平行四边形。 平行四
边形中的每行宝石的个数均为 21 个，共 21 行。 有什么启发 ？
1 + 2+3+
…… +20 +21
21 + 20 + 19 +
…… + 2 +1
S21=1+2+3+…+21=（21+1）× 21÷2=231
这个方法也很好，那么项数为偶数这个方法还行吗？ 探索与发现 2：第 5 层到 12 层一共有多少颗圆宝石？ 学生探究的同时通过动画演示帮助学生思考刚才的方法是否同样可行？请同学 们自主探究一下（老师演示动画帮助学生）
础。
至此同学们已经掌握了倒序相加法，相信大家可以推导更一般的等差数列前
n
项和公式了。
问题 3：对于一般的等差数列 {a n} 首项为 a1，公差为 d，如何推导它的前 n 项和
sn 公式呢？
即求 sn =a1+a2+a3+…… +an=
Sn a1 a2 Sn a n an 1
a1 an a 2
an a1
市中小学建成不同标准的校园网 .
据测算 ,2001 年该市用于 “校校通 ”工程的
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之差都相等。
求等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。
本文将着重介绍等差数列的概念、求解前n项和的公式以及实际应用。
一、等差数列的概念等差数列又称为等差数列，是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母d表示公差，n表示项数。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
举个例子，如果一个等差数列的首项为1，公差为2，那么该数列的前几项分别为1, 3, 5, 7, 9...二、等差数列前n项和的求解求解等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。
对于首项为a、公差为d的等差数列，前n项和Sn可以通过以下公式来计算：Sn = (n/2)(a + an) = (n/2)(2a + (n-1)d)其中Sn表示前n项和，n表示项数，a表示首项，d表示公差。
例如，求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，可以使用上述公式进行计算：Sn = (3/2)(1 + 5) = 3*(6/2) = 9因此，等差数列1, 3, 5的前3项和为9。
三、等差数列前n项和的实际应用等差数列的前n项和在实际应用中有着广泛的用途。
以下是几个常见的应用场景：1. 金融投资：在金融投资中，等差数列的前n项和可以用来计算投资利息或回报。
假设每年的回报率为r%，首次投资金额为a元，那么第n年的总金额为Sn = a*(1+r)^n。
其中，(1+r)^n是一个公差为r的等比数列，可以将其转换为等差数列，并使用前n项和公式进行计算。
2. 资源分配：在资源分配问题中，等差数列的前n项和可以用来计算每个参与者的分配数量。
假设有n个参与者，资源总量为Sn，按比例进行分配，那么每个参与者的分配数量为an = Sn*(a1/a)。
其中a1为首项，a为总和。
3. 时间管理：在时间管理中，等差数列的前n项和可以用来计算每个任务的时间分配。
高中数学必修5等差数列的前n项和
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
2
思维探究
学
而
思
a n 与 S n 的关系的应用
[探究问题]
1 ．若数列{a n }的前 n 项和为 S n，则关系式 a n ＝S n－S n －1 的使用条件是
提示：对所有数列都有 S n＝a1＋a2＋…an－1＋an，S n－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n ≥2)．因此，当 n ≥2 时，有
S 1，n ＝1，
a n ＝S n －S n－1；当
n
＝1
时，有
a1＝S 1.所以
an
与
Sn
的关系为
a
n
＝ S
n
－S
n
－1
，n
≥2 .
当 a1 也适合 an 时，则通项公式要统一用一个解析式 an＝f(n )(n ∈N *)来表示．
思维探究
学
而
思
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
思维探究
学
而
思
2 000 [假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往
2
×d ＝20，即 4× ＋ 2
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和在数学的世界里，等差数列是一个非常重要的概念。
而等差数列的前 n 项和，更是我们研究等差数列时必不可少的一部分。
首先，让我们来明确一下什么是等差数列。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
比如说，1，3，5，7，9 就是一个公差为 2 的等差数列。
那么，等差数列的前 n 项和到底怎么求呢？我们先来看一个简单的例子。
假设有一个等差数列：2，5，8，11，14 。
我们想求它的前 5 项和。
一种直观的方法是把这 5 个数一个一个加起来：2 ＋ 5 ＋ 8 ＋ 11 ＋14 ＝ 40 。
但如果数列的项数很多，这样一个一个加就太麻烦了。
这时候，我们就需要一个通用的公式来帮助我们快速求出等差数列的前n 项和。
这个公式就是：＄S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_n)｝｛2}＄，其中＄S_n$ 表示前 n 项和，＄n$ 是项数，＄a_1$ 是首项，＄a_n$ 是第 n 项。
我们来解释一下这个公式是怎么来的。
假设这个等差数列的公差为＄d$ ，那么第 n 项＄a_n$ 就可以表示为＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$ 。
我们把前 n 项和＄S_n$ 写出来：＄S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_{n 1} ＋ a_n$ 。
然后，我们再把这个式子倒过来写一遍：＄S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1}＋ a_{n 2} ＋＼cdots ＋ a_2 ＋ a_1$ 。
把这两个式子相加，得到：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋（a_3 ＋ a_{n 2}）＋＼cdots ＋（a_{n 1} ＋ a_2) ＋（a_n ＋ a_1)＼＼2S_n&＝n(a_1 ＋ a_n)＼＼S_n&＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼end{align}＼有了这个公式，我们求等差数列的前 n 项和就方便多了。
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n（n 1) S n na1 d 2
n（a1 an ) 2
26 (14 .5 32 ) an a (n 1604 .5 . 1)d 2
等差数列的前n) Sn n（ a a ) 1 n 2 S n n (1 n) n(n 1) 2 Sn .
简记作：
an
复习数列的有关概念2 如果数列 an 的第n项 an 与n之间的关
系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做 这个数列的通项公式。
Sn a1 a2 a3 an1 an 叫做数列 an 的前n项和。
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
等差数列的前n项和例题3
例6 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求 证它们的比是3：4：5. 证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列， 它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0) 由勾股定理，得到
(a d ) a (a d )
n（a1 an ) Sn 2
(2)a1 100 , d 2, n 50;
(4)a1 14.5, d 0.7, an 32.
32 14.5 n 1 26, S 26 0.7
50 （50 1) S50 50 100 (2) 2550 2 2 3 Sn (3) a1 , an , n 14; 3 2 14 [2 / 3 (3 / 2)] 35 S14 . 2 6
2 2
3. 求自然数中前n个偶数的和.
n ( 2 2n) Sn n(n 1). 2
等差数列的的作业
P47习题十七： 8,12,13
祝同学们学习愉快， 人人成绩优异！
100 2 100 n 14 7 7
将它们从小到大列出，得
7, 2 7, 3 7, 4 7,
即
,
14 7,
n（a1 an ) Sn 2
7，14，21，28，…，98 这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
14 (7 98) S14 735 . 2
等差数列的 前n项和
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a1 表示，
第2项用 a2 表示，…， 第n项用 an 表示，…， 数列的一般形式可以写成： a1 , a2 , a3 , …， an , …，
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an1 an d (是与n无关的数或式子）
等差数列
an a1 (n 1)d
an 的通项公式为
S120 120 (1 120 ) 7260 . 2
n
n（a1 an ) Sn 2
答：V形架上共放着7260支铅笔.
等差数列的前n项和例题2 例2 求集合 M m | m 7n, n N , 且m 100
的元素个数，并求这些元素的和. 解： 7 n 所以集合M中的元素共有14个.
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ] Sn an (an d ) (an 2d ) [an (n 1)d ]
n个 2S n （a1 an ) （a1 an ) （a1 an )
当d≠0时，这是关于n的 一个一次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。 ab
A
2
等差数列的前n项和公式的推导
由等差数列
Sn a1 a2 a3 an1 an
a1 , a2 , a3 , an , …，
…，
的前n项和 得
等差数列的前n项和例题1
例1 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔， 且自下而上各层的铅笔数组成等差数 列，记为 a
a1 1, a120 120, n 120
2 2
2
解得
a 4d
3d, 4d, 5d,
从而这三边的长是
因此，这三条边的长的比是3：4：5
等差数列的前n项和练习1 1. 根据下列条件，求相应的等差数列 an 的 S n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10 10 (5 95) 500 . 2
n（a1 an )
n（a1 an ) Sn 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n（a1 an ) Sn 2
an a1 ( n 1) d
n（n 1) d S n na1 2 n （ n 1 ) a1 an ( n 1) d d S n na n 2