高数第二讲
专升本高数知识点.
第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。
偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=βαlim，则α是比β高阶的无穷小量。
（2）若c βα=lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=βαlim，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=βαlim ，则α与β是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。
4、两个重要极限 （1）100==→→xxx x x x sin lim sin lim使用方法：拼凑[][][][][][]000==→→sin lim sin lim，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→10111)(lim lim[][][]e =+→11)(lim使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、()() ⎝⎛>∞<==∞→m n m n m n ba X Q x P mn x ,,,lim00()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。
m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。
7、左右极限左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0A x f x f A x f x x x x xx ===+-→→→)(lim )(lim )(lim 000充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
高数一、二学习资料大全
《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第二章上课资料
第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义 定义：若极限()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，此极限值称为函数()y f x =在点0x 处的导数。
记为： ()0f x '、0x x y ='、0x x dy dx =、()0x x df x dx = （或极限()()lim 000x x f x f x x x →--存在也可）()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆单侧导数：左导数：()()lim 000x f x x f x x-∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x -→--存在，则称左导数存在，记为：()0f x -'。
右导数：()()lim 000x f x x f x x+∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x +→--存在，则称右导数存在，记为：()0f x +'。
【例1】（89一）已知()32f '=，则【例2】（87二）设()f x 在x a =处可导，则（A ）()f a '. （B ）()2f a '.（C ）0. （D ）()2f a '.【例3】（89二）设()()()()12f x x x x x n =+++，则()0f '= .（C）可导，但导数不连续. （D）可导，但导数连续.处的（A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在.（C）左导数不存在，但右导数存在.（D）左、右导数都不存在.【例7】（96二）设函数()f x在区间(,)-δδ内有定是()f x的（A）间断点. （B）连续而不可导的点. （C）可导的点，且()00f'=.（D）可导的点，且()00f'≠.【例8】（90三）设函数()f x 对任意的x 均满足等式()()1f x af x +=，且有()0f b '=，其中a 、b 为非零常数，则（A ）()f x 在1x =处不可导.（B ）()f x 在1x =处可导，且()1f a '=.（C ）()f x 在1x =处可导，且()1f b '=.（D ）()f x 在1x =处可导，()1f ab '=.二、导数的几何意义和物理意义导数的几何意义： 切线的斜率为：()()tan lim 00x x f x f x k x x →-==-α， ()()00f x f x x x --导数的物理意义：某变量对时间t 的变化率，常见的有速度和加速度。
江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则第二讲：连续,导数、微分
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1;
在(0,)上, ymax ymin 1.
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) C [a , b], 则 1 , 2 [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
第二讲：连续、导数、微分
1函数的连续性 2 导数的概念 3函数微分
lim f ( x) A f ( x0 0) f ( x0 0) A. (1) x x
0
(2) 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
(3) 函数 f ( x )在点x 处可导 左导数 f ( x ) 和右 0 0
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x 0 ) 内有定义, 如果
人教版高数选修4-4第2讲：参数方程(学生版)
参数方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()x f ty g t=⎧⎨=⎩所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()x f ty g t=⎧⎨=⎩叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t=⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.三．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则yx 的取值范围为______.练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.练习1：已知圆C 的参数方程为cos 1,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P (4,4)与圆C 上的点的最远距离是______.例5：已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数，a ＞0，b ＞0)化为普通方程．类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8：(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21B ．221C.29D ．2293.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t－e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为5.(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个．6．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 8.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3)B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π22．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP的斜率为( )A.33B. 3C.332D.2396.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.7.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________．8.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655D ．011．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．12.在平面直角坐标系xOy中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．13.(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．14.(2014·辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．课程顾问签字： 教学主管签字：。
安徽专升本 高数讲义 第二章导数与微分第四讲
4
(2) y x e x x e x
e x xe x 1 x e x
y 1 x e x 1 x e x
e x (1 x )e x 2 x e x
(3) y arctan x
x
y e x sin( x y ) x
x x y e y e cos( x y ) x y 1
y e x y e x cos( x y) x y 1
y e x y e x cos( x y ) y cos( x y ) 1
1 1 x2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2
2. 设
y a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an , 求y ( n ) .
解 y' na0 x n 1 (n 1)a1 x n 2 (n 2)a2 x n 3 an 1 ,
y 0 2e0 cos0 2
作
业
一、计算下列各函数的二阶导数：
1. 2 x3 x 4 y x
2. y x arctan x
1 1 1 3. y x 3 3 3 1 3 x 3 3 x 3 9 x 二、计算下列各函数的n 阶导数：
可导，并且：
y f ( u( x )) f ( u) u( x )
隐含数求导法则:
（ 1） 方程两边关于 x 求导，求导过程中把 y 看作
中间变量，得到一个关于 y的方程。
(2) 从上述方程中解出 y
北师大版高数选修23第2讲：排列组合
排列组合__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.(2)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.○4根据定义区分排列问题、组合问题.2.排列数与组合数：(1)排列数的定义:一般地，我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫A表示.做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mn(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nn A n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)mnA n n n n m =---+L (1)(2)(1)()21()21n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅L L L !.()!n n m =-所以!.()!mn n A n m =-(3)组合数公式:!.!()!m n n C m n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.mn mn nC C -=性质2：11.m mm n n n C C C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关. (2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b -=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A ={a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ [解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2m A B.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A + 例4：计算98100C [答案] 98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++[答案] 原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +==类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A ⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A ⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A -⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C +36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880C C A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336C C A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( ) A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( )A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( ) A.36 B.120 C.720 D.140 [答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( ) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 [答案] C５.若266,xC C =则x 的值是( ) A.2B.4C.4或2D.0[答案] C ６.1171010r r C C +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574C C C ++ B.222574C C C C.222574A A A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种B.180种C.270种D.540种[答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( ) A.10人 B.8人 C.6人 D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A A B.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A A B.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种. [答案] 864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案] 3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案] 1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案] 140能力提升1.(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案] B2.(2014四川卷)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案] B3.（2014辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案] Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】 ９６6.(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案] ３６7.(2015上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A ⋅=个.方程更有实根，必须满足240.b ac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222A A +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222A A A ++=18个.课程顾问签字： 教学主管签字：。
高数讲义第二节二重积分的计算(一)
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
高数第二讲(清华版)
1
第二讲
函数极限
一、函数极限
二、函数极限的性质 三、函数极限的运算法则
四、两个重要极限
五、无穷小量与无穷大量
2019/3/7 2
极限的重要性 （1） 极限是一种思想方法
从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续
（2）极限是一种概念
微积分中许多概念是用极限定义的
（3） 极限是一种计算方法
x x0
x
即存在 即存在 M M 0和 0 和 0 N , 使当 0, 使当 0 xx x0 N 时 ,时, 就有 f( xM ) 就有 f ( x) . M.
2019/3/7 13
性质3:（保号性） 设 lim f ( x ) A 存在
(1) 如果A 0, 则 0, 使当 0 x x0 时, 就有f ( x ) 0. ( 2) 如果 0, 使当0 x x0 时,
2
都是 x 0 时的无穷小量. 1 x , e , arctanx 2 x 2 x 时的无穷小量.
2019/3/7
都是
22
定义2： 在某个变化过程中,绝对值无限 变大的函数,称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）。 G 0, 0, 使当 0 x x0 时,
2019/3/7 27
（三）三个重要关系 1.（无穷小与无穷大） 若在自变量的某一个变 化过程中 , f ( x ) 是无穷大, 则在这个变化过程中 , 1 是无穷小. f ( x) 2.（极限与无穷小） l i m f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
x ห้องสมุดไป่ตู้x
(1) l i m[c f ( x )] c A
大学数学(高数微积分)专题五第2讲椭圆双曲线(课堂讲义)
热点分类突破
(2)设∠F1PF2＝θ，
本
由||PPFF11||－ ＝4|P|PFF2|2＝| 2a，
得|PF1|＝83a， |PF2|＝23a，
讲 栏 目
由余弦定理得cos θ＝17a82－a2 9c2＝187－98e2.
开
关 ∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤187－98e2<1，
|x|≥a
本
讲 栏
几
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
目 开
何 对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关 性 焦点
(±c,0)
x≥0
(0,0) 关于x轴对称
(p2，0)
质
长轴长2a，短轴 实轴长2a，
轴
长2b
虚轴长2b
主干知识梳理
几 离心率 e＝ac＝
1－ba22 e＝ac＝
1＋ba22 e＝1
本
3 2.
热点分类突破
∴|AC|＝|y2－y1|＝ 3.
因此菱形的面积S＝12|OB|·|AC|＝12×2× 3＝ 3.
(2)假设四边形OABC为菱形．
讲 栏 目
又 x1＋x2＝－43m，x1x2＝2m23－2，
开 关
∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝2m23－2－4m3 2＋m2＝m23－2.
又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ， ∴P→F·M→Q＝0，
热点分类突破
又P→F＝(1－x1，－y1)，M→Q＝(x2，y2－1)， ∴P→F·M→Q＝x2＋y1－x1x2－y1y2 ＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y2
5
邓正华高数基础02第二讲 导数及其应用
简单.
例
1.设，则 .
【100!】
2.设恒成立，则 .
【】
3.设在有定义，，且，有，求.
【】
解，
，
，又， 故. 问题8 如何求函数的阶导数？ 答 求阶导数的方法有 ⑴归纳法 依次求出，等，观察其规律，写出； ⑵分解法 将函数分解为某些简单函数之和； ⑶用莱布尼茨公式求乘积的阶导数； ⑷用泰勒公式求. 例 1.设，求.【】 2.设，求.【】 问题9 如何判别函数的单调性？
11.讨论曲线与的交点个数. 解 【零点个数问题，讨论方程根的个数】 令， 令，， 当时，，递减，只有惟一零点， 故只有惟一驻点，在，上单调， 又，，， 当，即时，方程无实根，当，即时，方程有惟一实根，当，即时， 方程有两个实根. 故当时，两条曲线无交点，当时，两条曲线有一个交点，当时，两 条曲线有两个交点. 12.在区间内，方程有几个实根？ 证 【零点个数问题】 令，此函数为偶函数且时，故只要讨论在内有几个实根. 时，，
答 根据函数单调性判别法知，函数单调区间的分界点是其导函数
的零点（称为函数的驻点）或者导数不存在的点.
判别函数单调性的步骤是：
⑴求出函数的驻点和不可导点；
⑵用这些点将函数的定义域分成若干小区间；
⑶确定各小区间上导数的符号（列表）；
⑷判别函数在各小区间上的单调性. 例 1.证明在上单调增加. 2.设在上二次可导且，,证明在上单调减少. 问题10 如何求函数的极值？
⑴若在上连续，则求出函数在驻点，不可导点、端点处的函数值，
其中最大（小）的为最大（小）值.
⑵若在区间内可导且只有惟一极值，则极小值就是最小值，极大值
就是最大值.
注 实际问题根据题意判别. 例 1.在抛物线上的第一象限部分求一点，过点作切线，使该切线与坐
第2讲 三角函数的图象及性质
结合正弦函数、余弦函数的图象,同时注意考虑所有可能情况,避免漏解.
(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.
核心题型突破 栏目索引
解析
(1)由图象可得A=2,
T 4
=
3
-
12
=
2
4ω
,则ω=2,所以f(x)=2sin
2x
3
.
(2)令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得-5 +kπ≤x≤ +k高π考,k导∈航Z,
即g(x)在
4
,
3
4
上的值域为
3 2
,
3
.
核心题型突破 栏目索引 高考导航
核心题型突破 栏目索引
题型二 由三角函数的局部图象求解析式并研究其性质
例2
(2018江苏扬州中学阶段测试)已知函数f(x)=Asin
ω高x考导3航(A>0,ω>0)的
部分图象如图所示.
(1)求A和ω的值;
(2)求函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间;
=cos 2x-
3
sin
2x+2=2cos
2x
3
+2,当2x+
3
=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+
3
(k∈Z)
时,f(x)取得最小值0.
此时,自变量x的取值集合为
x
|
x
k
π 3
,
k
Z.
(2)因为f(x)=2cos
2x
3
+2,
令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ(k∈Z),
大学数学高数微积分第九章欧几里得空间第二节课件课堂讲义
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法. 当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交
基. 假设 n - m = k 时定理成立，也就是说，可以
找到向量 1 , 2 , … , s , 使得
1 , 2 , … , m , 1 , 2 , … , s
+ xi+1(i , i+1) + … + xn(i , n ) = xi(i , i ) = xi .
证毕
性质 3 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
且
那么
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
= y1 1 + y2 2 + … + yn n ，
( , ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = XTY . (2)
若请本若本本请想若请单节若想节本请若单本节本结想请单内若击想结请节本内若单想击请节请内若若本请结单若本节本束击请容本想若返结本请本单内请束节若容想若击若返本结单请内请单想节容想束击想单节节内返已本本单结想节请回节束若单击容节单想返内想已结本回想击节束单容本若请本结若内单击本返结已结内内击回结容击节束堂请结内内单想按返已击本若结回内击结容结束本请堂按若本结返节想击已内本单束容节堂回若想请击返束束容本容结束若按返返请若本内若本已单束请容课结本回结击钮返容堂本束请按想返请节容钮束已束单本请课内想结本节回返结本束已击容堂若课按想单内返回结节本本本已已请钮束单想回回堂想已节击容想本若束结按!单束节,回返.节本钮课已单结单内.回击本结已堂容束单节按堂,结回束结内返想,钮已课本结!内击回堂按结容结节堂束击.单按结课想结返本堂结内已结按钮内束击按内堂.回击束,!击结容!按返已本堂束课结课内束钮击按结.回束容结,束容堂课束返按束钮!返内课已本束钮结击堂,回.课束束容结束容钮容课返按返本返已束回结堂钮,课!,容.束钮束按返已束本本已!课,!回回钮.,容束结.课堂按,返!!本已已已,束本本.!回结回堂钮回束课按.本已,.钮结回堂!堂结按,按.本,已!束钮课!结结回堂结堂堂按束按课.按,钮!堂结.!束课按钮课束堂钮结.束,束课按钮束课钮课,!钮.!课束,.钮课!,.束.,,!钮.!,!,.!!,. .!
高数讲义系列之二
高数讲义系列之二高数讲义系列之二第二章极限与连续2．1数列的极限1、数列：按照某一规律排列的无穷多个数，叫无穷数列，记为｛a n｝=a1,a2,a3…a n…,其中每一个数叫做数列的项，第n项a n叫数列的通项。
2、观察一组数列，当项数n无限增大时，a n是否无限趋近于一个常数①0，1/2，1/22…1/2n-1… 该数列数值越来越趋近于0，极限等于0②1,-1/2,1/3,-1/4…(-1)n+11/n…该数列数值越来越趋近于0，极限等于0③1,1/2,2/3,3/4…n/n+1…该数列数值越来越趋近于1，极限等于1④1,-1,1,-1…(-1)n+1…该数列数值越来越趋近的数不唯一，极限不存在⑤1,3,5,7…2n-1…该数列数值越来越趋近无穷大，极限不存在（或∞）3、数列极限的定义：对于数列｛a n｝，当项数n趋近无穷大时（n→∞），若通项a n无限接近于一个确定的常数A（a n→A），则A是｛a n｝的极限。
记为：lim a n = A 含义是：n→∞，a n→A注意：①极限是一个常数，极限是A，并不表示取到了A，而是无限趋近于A。
②极限不存在有两种情况：1）无穷大2）不唯一③常数的极限在任何情况下都等于常数本身。
④若极限存在，则数列收敛，若极限不存在，则数列发散。
4、几个常用极限①n→∞, q n→0 (|q|<1)，即-1与1之间的数乘无穷大次方趋近于0②n→∞,a开n次方→1 （a>0），即大于0的数开无穷次方趋近于1③n→∞，a→a，即常数的极限在任何情况下都等于常数本身。
作业：习题2-1（P21）：1、22．2 数项级数的基本概念1、数项级数的定义：给定一个数列：｛u n｝=u1,u2,u3…u n…,将所有项相加：∑u n= u1+u2+u3+…+u n+…形成的式子叫数项无穷级数，简称级数，u n是一般项或通项。
2、级数与数列的区别与联系：①数列关注的是某一项的值，级数关注的是所有项的和。
考研高数总复习专题五第2讲椭圆双曲线(讲义)
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解析
(1)在△ABF中，由余弦定理得
|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|· |BF|cos∠ABF， ∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6， 从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF. 本 1 讲 栏 ∴c＝|OF|＝2|AB|＝5，
目 开 关
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考点三
本 讲 栏 目 开 关
直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 例3 已知椭圆C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的 a b 2 离心率e＝ ，点F为椭圆的右焦点, 2 点A、B分别为椭圆的左、右顶点， → → 点M为椭圆的上顶点，且满足MF· FB＝ 2－1. (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F 恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存 在，请说明理由．
本 讲 栏 目 开 关
2xB＝xA－2， ∴ 2yB＝yA
2 yA＝8xA， 与 2 yB＝8xB，
联立可得A(4,4 2)，B(1,2 2)． 4 2－2 2 2 2 ∴kAB＝ ＝ 3 . 4－1
答案 (1)3
2 2 (2) 3
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(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理
2 2m2－2 4m2 m －2 2 ＝ － ＋m ＝ . 3 3 3
又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ， → → ∴PF· MQ＝0，
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→ ＝(1－x ，－y )，MQ → ＝(x ，y －1)， 又PF 1 1 2 2
→ → ∴PF· MQ＝x2＋y1－x1x2－y1y2 ＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y2
本 讲 栏 目 开 关
考研高数总复习第一章多项式第二节(讲义)
由以上证明还看出，多项式乘积的首项系数就 等于因子首项系数的乘积.
显然，上面得出的结果都可以推广到多个多项 式的情形. 下面来讨论多项式的运算所满足的规律.
三、多项式的运算规律
1. 加法交换律
f (x ) + g (x ) = g (x ) + f (x ) .
2. 加法结合律
( f (x ) + g (x ) ) + h (x ) = f (x ) + ( g (x ) + h (x ) ) .
系数
在数域 P 中的一元多项式，或者简称为数域 P
上的一元多项式.
在多项式
i 次项的 中，aixi 称为
i 次项，a 称为
i
系数.
以后我们用 f (x) , g(x) , … 或 f , g ,
… 等来代表多项式.
注意
的形式表达式.
我们这儿定义的多项式是符号或文字
当这符号是未知数时，它是中学所
看应用需要，这个符号还可以 为了能统一研究未知数和其他
相等，记为
f (x) = g(x) .
系数全为零的多项式称为
零多项式，记为 0 .
在
式 (1) 的 (1) 的
中，如果 an 0，那么 anxn 称为多项
称为
首项，a
n
首项系数，n 称为多项式
次数.
零多项式是唯一不定义次数的多项式.
多项式 f (x) 的次数记为 ( f (x ) ) .
二、多项式的运算
第二节
一元多项式
主要内容
定义
多项式的运算 多项式的运算规律
一、定义
在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给 定的数域 P 作为基础. 我们有 设 x 是一个符号(或称文字)
高数 第二章 习题课二
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式 例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证： 令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e
在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因 中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。 解 方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式 例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,
考研高数习题集上
上册目 录第一讲: 极限与连续 (2)单元一: 未定型极限(1)……………………………………………………………………………2 单元二: 未定型极限(2)……………………………………………………………………………3 单元三: 未定型极限(3)……………………………………………………………………………4 单元四: 未定型极限(4)(含()xaf t dt) (6)单元五: 特殊求极限法........................................................................................7 单元六: 无穷小比较............................................................................................9 单元七: 函数连续性..........................................................................................10 单元八: 渐近线讨论..........................................................................................12 单元九: 介值定理 (13)第二讲: 导数和应用 (14)单元一: 定义求导............................................................................................14 单元二: 公式与法则.........................................................................................16 单元三: 特殊求导法.........................................................................................18 单元四: 斜率与切线.........................................................................................20 单元五: 单调性与极值......................................................................................20 单元六: 单调性应用.........................................................................................23 单元七: 二阶导应用.........................................................................................26 单元八: 中值定理............................................................................................28 单元九: 泰勒公式.. (30)第三讲: 一元积分学 (32)单元一: 原函数与不定积分.................................................................................32 单元二: 定积分性质..........................................................................................35 单元三: 定积分计算..........................................................................................36 单元四: 定积分几何应用....................................................................................39 单元五: 定积分物理应用 (41)第四讲: 微分方程 (43)单元一: 一阶方程.............................................................................................43 单元二: 可降阶方程..........................................................................................44 单元三: 高阶线性方程.......................................................................................45 单元四: 应用方程 (46)第一讲: 极限与连续单元一: 未定型极限(1)1. 若 2lim ()4x f x →=, 则: [D ]:(2)4A f =; :(2)4B f ≠; 0:(2)D x U ∈时()4f x <; 0:(2)D x U ∈时,3()5f x <<2. (1)lim[coscos cos]242n n x x x →∞ [sin sin lim 2sin 2n n nx x x x →∞=] (2)lim 1nxnxn x ee →∞++; [01,0201x x x x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩]3. (1)lim x →+∞;[lim1x =](2)lim )x x x →-∞[lim5]x =-(3)x →∞[1112lim lim (0())3515x x x x x x x →∞→∞=-+=]4. 设()f x 是多项式, 且320()2()lim2,lim 3x x f x x f x x x→∞→-==, 求()f x . [32()223f x xx x =++] 5. lim ()]0,(0)x kx d a →+∞+=>,求,k d 与,,a b c 的关系.[22lim0,x k d =∴==]6. 02lim []x x x x→, 其中: (1)3x →; (2)x →∞; (3)2x →[(1)32lim []0x x x→=; (2)(),()0f f -∞=+∞+∞=; (3)(2)2,(2)0f f -=+=]7. 222lim 22x x ax b x x →++=--,求:,a b . 2(2)(4)[lim ,2,8](2)(1)x x x a b x x →-+=∴==--+ 8. 1111()arctan 1xxe f x x e +=-, 求: 0lim ()x f x → [(0)(0)2f f π-=+=]1. 求极限:(1)∞(1)()tan 2lim sin x x x π→. [1] (2)321lim (1)x x x→-∞+[0] (3)()tan 21lim 2x x x π→-[2e π] (4)csc 03lim()2xx x ex→-+[1e -] (5)210sin lim()x x x x→[16e -] (6)()1lim ln x e x e x -→ [1e e ] (7)()21lim cos sin x x x x x →+ [12e ] (8)210ln lim()ln x x x x a x a b x b →-- [221(ln ln )2a b e -](9)1cotlim (1)xxx e -→+∞+ [lim01xx xe ee →+∞==](10)110(1)lim[]xx x x e →+ [11ln(1)122001ln(1)1lim [1]lim ;2x xx x x x e e x x +--→→+--==-]2. ,,0K L λ>, 求: 10lim[(1)]xxxx KL λλ---→+-[11[(1)(1)][ln (1)ln ]10lim x x K L x k x L xxx eeK L λλλλλλλλ----+--------→==]3.求极限(对比)(1)134lim()2x xxx →+ [3ln34ln 4ln(34)ln 23400lim lim x x x x x xxx x ee++-+→→=== (2)134lim ()2x x x x →+∞+ [3ln34ln 4ln(34)ln 234lim lim 4x x xx x xxx x e e++-+→+∞→+∞===]4.求极限 (1)lim(cossin )n n x x n n λ→∞+; [1lim (cos sin 1)lim [0()];x n n x x x n n x e n n n nλλλλ→∞→∞+-=+=](2)21lim(tan )n n n n→∞ [13e ](3)lim(1n n →∞+ [lim lim 1x x →+∞→+∞==](4)sin 0lim(cot)xx →+ [sin lncot 00lim 1x xx ee →+==]1. 254lim1sinx x x x →∞- [54lim 5x x x →∞-=]2. 求极限:0()0(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ [2013sin cos3lim 22x x x x x →+=] (2)11limln x x x x x →-ln 1111[lim lim 1]ln ln x x x x x x e x x x x→→--== (3)21limln cot(1)x x x →⋅- [2211ln 11limlim 112x x x x x x →→-==--] (4)4lim tan 2tan()4x x x ππ→-414[lim ]cos 22x xx ππ→-=(5)1ln cos(1)lim1sin2x x xπ→-- [2ln cos cos 14limlim1sin(1)1cos22t t t t t tπππ→→-==--+-](6)22arctan(2)lim sin 3x x x xπ→- [2200arctan(2)222lim lim lim sin 3sin 3(2)sin 33x t t x x t t x t t ππππ→→→-===+](7)220ln(1)ln(1)lim sec cos x x x x x x x →+++-+- [2420ln(1)lim 1x x x x →++=](8)21(1lim (1)x x →- [2211(1)1lim 6(1)6x x x →-=-](9)20limx x → [201sin cos 1lim 22x x x x x →+-=]3. 求极限(洛必达法则):(1)0tan sin lim sin x x xx x→--[3] (2)03ln 31lim1cos x x x x →---2[ln 3] (3)30arctan limln(1)x x x x →-+1[]3- (4)30sin(sin )lim x x x x →-1[]3(5)202lim x x →1[]4(6)211000lim x x e x --→[0](7)()lim0x ax a a x a x a→->-[(ln 1)]a a a - (8)10(1)limxx x e x →+-[]2e- (9)0ln sin 5limln sin 2x x x→+[1] (10)20ln limln(sin )x x x →+1[]2 (11)20ln ln lim()x x x a b a b x x →---221[(ln ln )]2a b - (12)3012cos lim[()1]3xx x x →+-3002cos sin 1[lim ln()lim )]32(2cos )6x x x x x x x x →→+-==-+ 4. 求极限(对比)(1)011lim ln x x e x x →-; [00111lim()lim 1(1)2x x x xx x x e xe e e x x e →→-+-==--] (2)11lim ln x x e x x→+∞- [11lim ()lim 11(1)x x x xx x x e xe e e x x e →+∞→+∞-+-==--] 5. lim[(2)ln(2)2(1)ln(1)ln ]x x x x x x x →+∞++-+++[11lim[(2)ln(1)ln(1)]11011x x x x x →+∞+++-=-=++] 6. 求极限(泰勒公式)(1)222012lim (cos )sin x x x e x x →--[112-] (2)24261cos 12limx x x exx -→-+[7360](3)21lim[ln(1)]x x x x →∞-+1[]2(4)2201lim[()ln(1)]x a a ax x x →--+ [22a ]7. 已知: 220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=, 求: ,a b [2222010()52lim 2,1,2x x x x ax bx a b x →-+--===-]单元四: 未定型极限(4)(含()xaf t dt ⎰)1. 求极限: (1)2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰(2)1121cos 2lim4n n t dt n t→∞⎰120cos 21[lim ]44x x t x dt t →+==⎰(3)sin 0tan 00limx x →+⎰⎰0[lim1]x →=2.设21()(1),(0)2x t xf x x t =+>⎰, 求1lim ()sin n f n n →∞.[()limx f x x→+∞==3. ()f x 在[0,)+∞上连续, lim ()0x f x A →+∞=≠, 证明: 1lim()n f nx dx A →∞=⎰.[0()()limlimlim ()nxn x x f t dt f t dt f x A nx→∞→+∞→+∞====⎰⎰]4. 设2()()xax F x f t dt x a =-⎰,其中()f x 为连续函数()0a ≠,则()lim x a F x →= [B ] ()A 2a ; ()B ()2a f a ; ()C 0; ()D 不存在5.()f x 连续,(0)1f =,求220(()limln(1)x x x f t dt x x →+-+⎰.[2222220200()2()2()2()1limlim 363x x x f t dt x f x x f x xf x x x →+→++-==⎰] 6. ()f x 连续,证明:01lim [()()]xah f t h f t dt h →+-⎰()()f x f a =-[01lim [()()]()()x ha h x a h f t dt f t dt f x f a h++→-=-⎰⎰]单元五: 特殊求极限法 1. 求: lim n n x →∞(1)n x =[2009n x ≤≤](2)[]n n b x a n =; [({})n n n b n bx a a n a n -≤≤] (3)()11111nn x n n n n =-+⋅⋅⋅+-++ [10n x n≤≤] (4)2!n n x n = [40nx n ≤≤](5))n x n =+ [20!n n x n ≤≤](6)21(!)n n x n =[1n x ≤≤]2. 设lim 0n n x a →∞=>, 求: lim !n n n x n →∞ [(1)0()!!nnn x a n N n n +<<>] 3. {}n a 非负不增,1n n a ∞=∑发散, 证明: 2421321lim1nn n a a a a a a →∞-+++=+++[35211321113211321132111n n n n n n a a a a a a a x a a a a a a a a a +----++++++-≤≤≤=+++++++++]4. 1()n n a +∞=为单调递增正数列, 证明: 112lim[]lim nnn n nn n n a a a a →∞→∞+++=.[n n n a x ≤] 5. (),()[,]f x g x C a b ∈,且()0,()f x g x >非负,求:lim(ban g x →∞⎰[(),()()]b bn aaN f x M g x dx x g x dx ≤≤≤≤6. 设非负连续函数()f x 在[0,)+∞上单调递减,11()()(1,2,3,)nnn k a f k f x dx n ==-=∑⎰,证明数列{}n a 的极限存在 11[()()0nn n n a a f n f x dx ---=-≤⎰,()n a f n ≥]7. 设1111,11n n n x x x x--==++()2,3,n =, 证明数列{}n x 极限存在,并求此极限.[21231,()1,'()0,21(1)nx x x f x f x x x x =>=+=>++, 且2n x <, 1lim 2n n x →∞+=]8. 设222111(1)(1)(1)(2,3,)23n a n n =+++=, 证明: {}n a 收敛. [法(1)221ln(1)n n ∞=+∑收敛; 法(2)444222111(1)(1)(1)123,21111(1)(1)(1)232n n n a a n n n---=≤<+---] 9. 11n a a+==求: lim n n a →∞.[法(1):准则13,1n n n a a a +<=>; 法(2):11124233nn a +++=→]10. 设11112,(),(1,2,3,)2n n na a a n a +==+=, 证明: lim n n a →∞存在, 并求出其极限a .[21111511,1,(1)()042nn n n n n n a a a a a a a a a +--=<≥-=--<,11(),12a a a a=+=] 11. 设1(1)n x n +≥, 证明: lim n n x →∞存在, 并求出其极限a , 其中: (1)若110x = [,0,lim 3n n n n x x x →∞≥=](2)若10x =[,3,lim 3n n n n x x x →∞≤=]12. (1)lim (sinx →+∞[lim cos 0x ξ→+∞==](2)2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+- [22lim11()x x x θ→+∞=++] 13. (1))()n[1ln(1)4x dxe e+⎰==] (2)lim n n →∞ [1ln 1xdx e e⎰==] 14. 1sin lim nn i in i n nπ→∞=+∑. [1011112sin sin ,lim sin 1n n nn n i i i i x x xdx n n n n ππππ→∞==≤≤==+∑∑⎰]单元六: 无穷小比较1. 当 x →∞ 时, 变量是21x 的( D )无穷小. :A 高阶; :B 同阶不等价; :C 等价; :D 低价.2. 当0x →时,()232x xf x =+-是x 的什么无穷小？[0232limln 6x x x x→+-=同阶不等价]3. 当0x →时, cos x 2x 的什么无穷小?[00x →=, 高阶] 4. 当0x →时,1ln x是x 的什么无穷小？ [01limln x x x →=∞,低价] 5. 当n →∞时, 1(1)ne n+-是1n的什么无穷小? [11(1)[ln(1)1]2n ee e n n n n+-=+--,同阶不等价]6. 当0x +→时, x μ, 求: μ[8]7. 当0x +→时,比较无穷小:2230cos ,,xx t dt t dt αβγ===⎰⎰的阶[22'cos 1,'2tan 2,'sin 22x xx xx x xxαβγ===232,,34x x x βγα]8. 当0x →时, tan xx ee -是x 的几阶无穷小?[222(tan )'sec 1tan x x x xx -=-=, tan tan 31(1)tan 3x x x x x e e e e x xx ----] 9. 当0x →时,111(1)1xx x-+--是x 的几阶无穷小? [3ln(1)1ln(1)12x x x x ++--] 10. 当0x →时,()?n f x kx , 其中: ()f x =(1)22ln(2)?xx e + [22212x x e x +-](2)ln(1arctan )?xt dt +⎰[2012xtdtx ⎰](3)20arctan()xt x dt-⎰? 223001[arctan ]3xxt dtt dtx ⎰⎰ (4)2ln(1)?x x x ++-; [2222211()()22x x x x x o x x =+-+-+](5)3sin()?x x x +- [3333315()()3!6x x x x x o x x =+-+-+]?[22221111111211(2)()(2)1(3)()(3)()222232332x x x x o x x =+-+⋅------⋅--+] 11. f 有连续导数,且0()lim 0x f x a x→=≠,当0x →时,20()()()x F x x t f t dt =-⎰?'()?F x[2200'()'()2()()(),lim xx F x F x xf t dt x f x xf x a x→=+-=-⎰,3()3ax F x -,2'()F x ax -]12.()f x 在 0x = 的某邻域内具有一阶连续导数, 且 (0)0,'(0)0f f ≠≠, 若:()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小, 求: ,a b . [(0)(1)(0)0,'(0)(2)'(0)02,1]F a b f F a b f a b =+-==+=⇒==-13. 设,αβ为无穷小, 且αβ≠, (1)证明:()()ln 1ln 1αβαβ+-+-;()()[ln 1ln 1ln(1)]1αβαβαββ-+-+=+-+ (2)问:()()ln 1ln 1αβαβ++++?()()[ln 1ln 1αβαβαβ+++++, 否]单元七: 函数连续性1. 设()f x 和()g x 在(,)-∞+∞内有定义,()f x 为连续函数,且()0,()f x g x ≠有间断点, 则 必有间断点的函数是: []D:A [()]g f x ; :B 2[()]g x ; :C [()]f g x ; :D ()()g x f x 2. 考察函数连续性:(1)11()1x xf x e-=-;[(1)0lim ()0x f x x →=∞⇒=无穷; (2)(1)0,(1)11f f x -=+=⇒=跳跃](2)21()(1)arctan1f x x x =+- [(1)1lim ()01x f x x →-=⇒=-可去; (2)(1),(1)1f f x ππ-=+=-⇒=跳跃]3. 设()31x x f x -+=写出连续区间; (2)确定间断点,并判别其类型.[(1)[1,3),(3,4]-; (2)316lim ()37x f x x →=-⇒=可去] 4. 求tan()4()(1)xx f x x π-=+在(0,2)π内的间断点, 并判别类型[(1)37,44x ππ=可去; (2)5,44x ππ=第二类] 5. ()ln x bb pa qa x b f x x b a a x b ⎧+≠⎪=-⎨⎪=⎩,确定,p q ,使()f x 在x b =处连续.[0,ln ln ,1,1bbp q pa a a a p q +==∴==-] 6. 考察()f x 在0x =处为何种间断点, 其中()f x : (1)[]()x xf x e-= [(0)0,(0)10f f x -=+=⇒=跳跃](2)1()[]1f x x=+ [(0)1,(0)00f f x -=+=⇒=跳跃] (3)1()[]1f x x=+ [0lim ()0,(0)10x f x f x →==⇒=可去]7. 设221(),,()2(1),251135xx x x f x g x x x x x x x ≤⎧≤⎧⎪==-<≤⎨⎨>-⎩⎪+>⎩, 考察[()]f g x 的连续性. [()g x 连续, ()11g x x =⇒=时, [()]f g x 为跳跃间断点]8. 求2(1)()lim 1n n x f x nx →∞-=+的间断点, 并判别类型. [1,0(),000x f x x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩无穷]单元八: 渐近线讨论1. 求曲线1()ln()(0)f x x e x x=+>的渐近线. [0()11lim (),lim ()0,lim1,lim[()]x x x x f x f x f x a b f x x y x x e e→+∞→+→+∞→+∞=∞====-=⇒=+]2. 求曲线ln ()312xf x x x=++的渐近线方程. [(1)0;(2)31x y x ==+]3. 考察下列函数曲线的渐近线.(1)1sin y x x = [1y =] (2)1cos y x x= [y x =](3)1(1)cos y x x=+ [1y x =+](4)(y x=+ [12y x =+](5)1xy xe = [1y x =+]4. 已知1lim[(1)]0xx x ax b x→∞+--=, 求: ,a b .[1011(1)lim(1);lim[(1)]lim2txxx x t t e ea eb x ex xxt →∞→∞→+-=+==+-==-]单元九: 介值定理1. ()f x 在[0,)+∞上连续, 且()()11,lim 02x f x f x dx x→+∞<-=⎰, 证明: ()0,ξ∃∈+∞, 使:()0f ξξ+=.[()()F x f x x =+,(1)()1110[0,1],()0F x dx x F x <⇒∃∈∍<⎰,(2)()22lim11,()0x F x x F x x→+∞=⇒∃>∍>,(0,),()0F ξξ∴∃∈+∞∍=]2. ()y f x =在[0,1]上非负连续,(1)证明:0(0,1)x ∃∈,使在0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面 积等于在0[,1]x 上以()y f x =为曲边的梯形面积 (2)又若()f x 在(0,1)内可导,且2()'()f x f x x>-, 则证明(1)中的0x 是唯一的 [(1)1()()(),(0)0,(1)0xx xf x f t dt Φ=-Φ<Φ>⎰, (2)'()2()'()0x f x xf x Φ=+>]3. ()f x 在[0,1]上连续, 非负, 且(0)(1)0f f ==, 证明: (01),[0,1]l l ξ∀<<∃∈,使得:()()f f l ξξ=+[()()()(0)(),(1)(1)F x f x f x l F f l F l f l =-+⇒=--=-异号()0F ξ⇒=]4. 若()f x 在[,]a b 上连续, ,0m n ≥, 证明: [,]a b ξ∃∈, 使得:()()()()m n f mf a nf b ξ+=+[min max ()()mf a nf b f f m n+≤≤+]第二讲: 导数和应用单元一: 定义求导1. 设(0)1,'(0)2f f ==-, 求: 0()cos 1limx f x x x→- [0[()cos ]'2x f x x ===-][0()(cos 1)()(0)lim 10'(0)2x f x x f x f f x→-+-=⨯+=-]2. 设()f x 可导, ()()01,'00f f =≠, 求: 0(sin )1limln ()x f x f x →-(sin )(0)0sin [lim1]sin 0ln ()ln (0)x f x f x xx f x f x→--⨯⨯=--3. 设()limx af x b A x a →-=-, 求: sin ()sin limx a f x bx a→--. [sin ()sin ()limcos ()x a f x b f x bA b f x b x a→--⨯=--]4. 设(1)(),'(0)(,0)f x af x f b a b +==≠, 求: '(1)f . [00(1)(1)[()(0)]'(1)limlim x x f x f a f x f f ab x x→→+--===] 5. 设(1)3(1)8(1sin )f x f x x x +--=+, 并且()f x 可导, 求'(1)f .08(1sin )(1)3(1)[(1)0,'(1)3'(1)limlim 8,'(1)2]x x x x f x f x f f f f x x→→++--=+==== 6. ()y y x =满足:ln[tan()]()y x x x o x ∆=+∆∆+∆, 求:',"y y . [01'limln(tan ),"sin cos x y y x y x x x∆→∆===∆] 7. 若()y f x =在0x x =处有:122(1)1()y x x =+-+, 则在0x x =处有:?dy = [011'lim ,22x y y dy dx x →===] 8. 求()'f a ,其中()f x 分别为:(1)()()()f x x a x ϕ=-,ϕ连续; [()()lim()x a x a x a x aϕϕ→-=-](2)()()f x x a x ϕ=-,ϕ连续,()0a ϕ=; [()lim0x ax a x x aϕ→-=-](3)2()()()f x x a x ϕ=-,ϕ有界. [2()()lim0x a x a x x aϕ→-=-]9. ()2a xf x -=, 求: '()f a . [''()ln 2,()ln 2,'()f a f a f a -+=-=不存在]10.(),()f x g x 在(,)-∞+∞上满足: (1)()()()()()f x y f x g y g x f y +=+ (2)(0)0,(0)1,'(0)1,'(0)0f g f g ====, 证明: '()()f x g x =. [0()()'()lim()'(0)()'(0)()x f x x f x f x f x g g x f g x x∆→+∆-===+=∆]11. 问()f x 在0x =处是否连续?可导?(1)1,0()10,0x xx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩ [''(0)1,(0)0f f -+==](2)20()(),0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 有界 [''(0)(0)'(0)0f f f -+===] (3)212,0()00x x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩[22102'(0)lim lim 02xt x t t f x -→→∞===](4)1()cos ,0()00g x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 且(0)'(0)0g g ==.[01()cos'(0)lim 0x g x x f x →==] 12. 奇函数()f x 在0x =处可导,问:(sin )(),0()00x x f x x F x xx +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处是否连续? 可导? [20(sin )()(0)0,'(0)lim2'(0)x x x f x f F f x→+===] 13. 设21cos ,0()00x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩且()f x 在0x =处可导,令()[()]F x f x ϕ=,求'(0)F [(0)0,'(0)0,'(0)'[(0)]'(0)'(0)00]F f f ϕϕϕϕ====⋅= 14. 设函数()x ϕ在(,)-∞+∞上连续, 又()cos ()f x x ϕ=,'()sin ()f x x ϕ=, 证明: 对满 足()x n ϕπ≠的一切x , '()1x ϕ=-.0cos ()cos ()['()limsin ()'()]x x x x f x x x xϕϕϕϕ→+-==-⋅15. 考察函数1arctan ,0()00x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性,可导性,以和'()f x 的连续性. [20011'(0)limarctan ,'()arctan (0),lim '()'(0)212x x x f f x x f x f x x x ππ→→===-≠==+]16. 若()f x 有连续的导数,且(0)0f =,设201()0()0xtf t dt x F x x cx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰,确定常数c ,使()F x 连续,并问此时'()F x 是否连续?[203()2()'(0)'(0)lim (0)0,'(0),'(),lim '()33xx x x f x tf t dtf f F c F F x F x x →→-=====⎰]单元二: 公式与法则 1. 设32()32x y f x -=+,且2'()arctan f x x =,求:x dy dx =. [232123'()32(32)4x x f x x π=-=⨯=++] 2.()f x 在1x =处具有连续导数, 且'(1)2f =,求0limx df dx→+.[0lim 1x f →+-=-]3.f 可导,()(0)(1)2,'(0)'(1)1,()(ln )f x f f f f F x e f x ==-==-=,求:1()x dF x =[()21'(ln )('()(ln )),f x x f x dF ef x f x dx dF e dx x-==+=] 4. 求'y:(1)lnx e y = [221'12(1)e x y x x x +=+-++](2)y =[211'cot ]12x x e y e x x =++-] (3)()()12x x y x --= [(1)(2)(1)(2)'[(23)ln ]x x x x y xx x x----=-+](4)y =[11sin '[]24(cos )x y x x x -=++]5. 求'y:(1)y =[2221'2]y y x a == (2)2()bx y ay e dy +=⎰[222()(),'b xt b x a x a xy e dt y e e ++++==-⎰](3)ln(1)y x =+[1,01'1,01x x y x x ⎧<⎪⎪-=⎨⎪>⎪+⎩] (4)2(())y f x x x ϕ=++,求'y [22''(())[1(12)'()]y f x x x x x x ϕϕ=+++++] 6.ln()0(),,(0)0xx e x f x a a x +>⎧=>⎨≤⎩,求a .使'(0)f 存在.[''1(0)(0)1,(0),(0)ln ,f f f f a a e+-+=-====7. 选定参数,A C , 使立方抛物线:()()()y A x a x b x C =---,()a x b ≤≤与曲线12(),()k x a x a y k x b x b -<⎧=⎨->⎩ 光滑连接起来. [1212212,()k k k b k aA C a b k k ++==-+] [''''12(),()()();()()(),()f a k f a A a b a C f b A b a b C f b k -+-+==--=--=]8.()12(1)()lim 1n x n x n x e ax bf x e --→∞++=+, 问,a b 为何值时,()f x 可导, 并求'()f x21211[()(1),1,2,1,'(),]2121ax b x x f x a b x a b f x x x x x +<⎧⎪≤⎧⎪=++===-=⎨⎨>⎩⎪>⎪⎩9. (1)22sin y x x =,求()100x y=.[8810(10)812210!(),(0)45228!28!y x y⨯=-+=-=-⨯⨯](2)3()1x f x x=-,求(5)(0)f . [5(5)(),(0)5!120f x x f =++==](3)sin 0(),01xx f x x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩, 求"(0)f ; [211()1,"(0)3!3f x x f =-+=-](4)1,0()10x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩, 求:()(0)n f . [()11(),(0)(1)!1n n f x x f n n =++=++]10.(1)2cos 3y x =, 求(1)nn d y n dx ≥ [()6cos(6)12(1cos6),22n n n x y x y π+=+=](2)23()(1)(1)(1)f x x x x =---,求1'''()x f x =322[(1)(1)(1),"'6(1)(1),"'(1)36]f x x x x f x x x f =-+++=-++++=-(3)5()1x f x x =-, 求: (5)()f x .[432(5)615!()1()1(1)f x x x x x f x x x =+++++⇒=---] 11. 设()arctan f x x =, 证明: (1)2()(1)()(1)2()(1)()0(1)n n n fx x nxf x n n f n +-+++-=≥.[22()(1)'()1,[(1)'()]0n x f x x f x +=+=]单元三: 特殊求导法 1. 210yyt e e dt x +--=⎰确定()y y x =, 证明: ()y x 单调,并求'(0)y[211'0,;0,0,'(0)2y yy y x y y e e =>===+] 2. 设521y x x =++, 求其反函数()x y ϕ=的导数1y d dyϕ=[40101111,0,='522x y x d y x dyy x ϕ=======+] 3. ()y y x =由方程 33y y x +=确定, 求 '()y x . [211''33y x y ==+] 4. (cos )(sin )ϕθθϕ=,求:,d d d d θϕϕθ. [ln cos tan lnsin cot d d d d θϕϕθθϕθθϕϕ-=+] 5.3yxx y +=, 求: '(1)y . [11ln 1,2,2(1ln 2)ln y x y x dy yx y y x y dx x x xy--+===-=-++] 6.()y y x =由方程 30xy e x y -+=确定, 求 0x dy =[2020,1,()30,3xy x x y e ydx xdy dx y dy dy dx ===-+-+==] 7. 2()()yf x xf y x +=, f :可导, 求dydx. [2()'()()'()dy x f y yf x dx f x xf y --=+]8. 已知t y te x =+, 而 t 是由方程 2221y t x +-= 所确定的,x y 的函数, 求:dy dx. [(1)(1),(1)t ttdy t e dt dx dy t t xe dx t t yeydy tdt xdx ⎧=++++=⎨++=+=⎩] 9.()F x 可导单调,'()0F x ≠,(0)0F =,由()()()F xy F x F y =+⇒()y y x =,求x dy dx=[0,0!'()()'()'(),0x y F xy ydx xdy F x dx F y dy dx dy ==+=++=,1x dy dx==-]10. 设函数 ()y y x = 由等式 tan()y x y =+所确定, 求: 22d ydx。
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y log 1 x
a
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设函数y f ( x )，x D, 值域为R f 对于y R f ，
说明
(1).互为反函数的两个函数 定义域, 值域互换.
(2). f 1[ f ( x )] x, x D; f [ f 1 ( y )] y, y f D.
yuanshujuan1980@
yuanshujuan1980@
4.现代函数概念——集合论下的函数 1914年豪斯道夫用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开 了意义不明确的“变量”、“对应”概念。 库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使 豪斯道夫的定义很严谨了。 1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，
注:定义域是自变量所能取的使算式有意义的 一切实数值.
例如， y 4 x 2
例如， y 1 4 x2
D : [ 2 , 2]
D : ( 2, 2 )
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函数常用的表示法有三种：解析法、列表法和图形法．
解析法
y = f (x)
因变量
法则 如函数
例2
x 求 y arcsin lg 定义域D 10
x 1 1 l g 10 x 0
x l g 10 1 解 : x 0 10
x 0 D {x 1 x 10
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存在唯一的x D，使f ( x ) y，那么就确定了以y为自 变量的函数, 记作x f 1 ( y ).称为函数y f ( x )的反函数 f ( x ), y x D的反函数 记作：y f 1 ( x ), ( x f ( D))
y f ( x)
因变量 自变量
数集D叫做这个函数的定义域
函数值全体组成的数集 f D { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
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函数的两个要素
(
定义域、对应法则
x
y
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量
(
)
因变量
2.指数函数
y ax
(a 0, a 1)
y ex
1 x y( ) a
y ax
(a 1)
(0,1)
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3.对数函数
y loga x (a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
图形法的优点是直观、通俗、容易比较
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3. 如果自变量在定义域内
任取一个数值时，对应的 函数值总是只有一个，这 种函数叫做单值函数，否 则叫做多值函数．
y
W
y
( x, y)
x
例如，x y a ．
2 2 2
o
x
D
定义:
点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为 函数y f ( x )的图形.
例
证明f ( x ) 1 ln x是严格单调函数
证 : f ( x)的定义域为 ,) (0
任取x1 , x2 (0,),不妨设 1 x2 , x
x2 有 f ( x2 ) f ( x1 ) ln ln1 0 x1
从而 f ( x1 ) f ( x2 )
由x1 , x2的 选 取 的 任 意 性 知 : f ( x ) (0, )
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例1 求y
ln x 1 2x 1
的定义域
x 1 0 解 2 x 1 0
x 1 1 x 2
1 定 义 域 为 X ( ,1) (1,) 2
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三、具有某些特性的函数
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界 .
y M y=f(x) o -M x 有界 X M y
x0
o
-M X 无界
x
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2．函数的单调性:
1 x 100}
特殊函数展示
符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
1
y
o
-1
x
x sgn x x
符号函数的定义域是实数集，值域{-1，0，1}
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取整函数
y [x]
I
x
(2)
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
x
I
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
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g( x )
o
x
o
x
yuanshujuan1980@
分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如, 2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y 2x 1
x0 x0
y x2 1
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高等数学
函数的概念 特殊函数 函数的特性描述
函 数
复合函数和初等函数
yuanshujuan1980@
前言
函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，
纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合 代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新 的思想，从而推动了整个数学的发展。
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1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
德国
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
yuanshujuan1980@
取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x)
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x)
g( x )
yuanshujuan1980@
习题：
2x 的反函数. 例1: 求y x 2 1 2x y x (1 y)2 x y 解： 由 得 2 1
y x log2 , (0 y 1) 1 y
x 反函数 y log 2 1 x
( x ( 0 ,1))
自变量
y
1 9 x
2
的定义域为
D {x 3 x 3}
1 f D y y 3
，
值域为
解析法的优点是便于数学上的分析和计算．
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列表法
下表列出了在上午10:00到中午12:00每隔
20min测得的气温数据，由此可以观察出这段时间
y
反函数y f 1 ( x )
Q ( b, a )
直接函数y f ( x )
o
P (a , b)
x
(3).直接函数与反函数的图形关于直 y x 对称.
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求反函数的步骤： １．反解 y f ( x ) ； ２．判断定义域； ３．换字母．
内气温（单位：oC）的变化规律．
时刻t
气温T
10:00
10:20
10:40
11:00 11:20 11:40 12:00
18
18
18.5
19
20
21
23
列表法的优点是直观、精确．
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图形法
通过心电图的比较，医生可以诊断出该人 是否患有心脏病． 健康人的心电图 病人的心电图
[ x]表示不超过x的最大整数。
[0.5] 0, [2.1] 2, [2.1] 3, [0.5] 1
y
y 4 3 2 1 o
1 1
0
1
x
-4 -3 -2 -1
1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
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狄利克雷函数
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证完
证明单调性的方法：
(一)对x1 , x2 X , 证f ( x1 ) f ( x2 ) 0
f ( x1 ) ? (二)对x1 , x2 X , 证 1 f ( x2 )
?
练习: 证明 e (0,) y
x
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总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数 记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
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案例
案例1 [气温与时间的关系]
我们知道，一天的气温随着时间的 变化而变化．如何准确地表示气温与 时间之间的变化关系呢？
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五 复合函数初等函数
基本初等函数 复合函数、初等函数
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一、基本初等函数
1. 幂函数
y x
(是常数)