《用向量研究空间中线与面的关系》--研讨课学案
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。
用空间向量研究直线、平面的位置关系(第一课时)-高中数学获奖教案
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.能用向量表示空间中的点、直线和平面；2.理解平面的法向量的概念，会求法向量；3.经历用代数运算解决几何问题的过程，提升直观想象、数学运算素养．二、教学重难点1. 理解用位置向量与空间中的点建立对应关系，理解一个点和一个定方向唯一确定一条直线，一个定点和两个定方向确定一个平面，能推导出直线和平面向量表示式．2. 理解与平面垂直的直线的方向向量是平面的法向量，从而法向量不是唯一的，清楚在用待定系数法求法向量的坐标时，为什么只需要两个方程．3. 重点难点：空间中的点、直线和平面的向量表示.三、教学过程引言：我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．1.思考空间中点、直线和平面的向量表示问题1：如何用向量表示空间中的一个点？追问:取空间中一个定点O 为起点,空间中的向量与向量的终点间有怎样的关系？师生活动：教师引导学生类比平面中用向量表示点．设计意图：引发学生思考起点确定时，空间中任意一个点作为终点都可以得到一个空间向量，这种一一对应关系决定能用向量表示点P．问题2：我们知道，空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线l ．如何用向量表示直线l ？师生活动：教师在课件中给出图形，即点A 和直线l 的方向向量a ，并向学生阐明，用向量表示直线l ，就是用点A 和向量a 表示直线l 上的任意一点．学生观察图形，进行思考．OP追问：（1）P 是直线l上的任意一点，由方向向量的定义可知，怎样用a 来表示？（2）假设O 是空间任意一点，运用问题1中用位置向量表示点的方法，又可以怎样表示？师生活动：教师引导学生观察、讨论、分析．设计意图：教材第1节就给出了直线的方向向量的概念，根据空间向量数乘运算的意义，=ta （t ∈R ）．通过追问2，让学生得到，从而得出直线的向量表示式，进一步深化理解点的向量表示．同时应指出，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t，使．问题3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？追问：（1）我们知道，经过两条相交直线可以确定一个平面α，设这两条直线的交点为A ，方向向量为a 和b ，P 为平面α内任意一点，根据平面向量基本定理，如何表示？（2）取定空间任意一点O ，类似于问题2，你能得到平面ABC 的向量表示式吗？师生活动：教师展示图形，引导学生思考并进行演算．设计意图：根据平面向量基本定理，存在唯一实数对（x ，y ），使得．类比问题2的推导过程，学生容易得到平面的向量表示式，由学生自行推导，强调前后知识的联系，形成解决同类问题的思想方法．2.平面的法向量的概念及求法 AP AP AP AP OP OA =- OP OA t =+ a OP OA t =+ a AP AP x y =+ a b OP OA x AB y AC =++问题4：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？师生活动：教师展示图形，经过定点A 且垂直于l 的平面是唯一确定的，给出平面法向量的概念，即l ⊥α，l 的方向向量a 叫做α的法向量．对于第二个问题可进行如下追问．追问：（1）对于平面内任意一点P ，与a 有怎样的关系？可以用哪种运算来表示这种关系？（2）如果另有一条直线m ⊥α，在m上取向量b ，则b 与a 有什么关系？设计意图：让学生在思考中理解垂直关系可以用向量数量积为0来表示，为后面求平面的法向量提供依据．教师给出集合表示平面，加强知识间的联系，用集合的观点表示图形．例 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，M 是AB 中点，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC 1B 1的法向量．（2）求平面MCA 1的法向量．设计意图：第（1）问是通过定义法求法向量，第（2）问是用待定系数法求法向量，加深学生对法向量的概念理解，熟练空间直角坐标系和空间向量的坐标表示．问题5：如果设平面MCA 1的法向量为n =（x ，y ，z ），如何得到x 、y 、z 满足的方程？ 师生活动：学生通过观察结合本节课所学，可知平面MCA 1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算列出方程．追问：为什么只需用n 与两个不共线的向量数量积为0列方程组就可以？设计意图：让学生通过线面垂直的判定定理理解用待定系数法求法向量的过程．同时教师应指出方程组有无数个解，我们只需求出平面的一个法向量，求直线的方向向量也是如此． AP {}|0P AP ∙= a MC 1MA 1A C3.归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：（1）如何用向量表示空间中的点、直线和平面？（2）什么是平面的法向量，如何求平面法向量？（3）通过本节课对你今后解决立体几何问题有哪些启发？设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．布置作业：教科书习题1.4第1，2题．思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行、垂直关系，可以得到直线的方向向量和平面的法向量间的什么关系？4.当堂检测1．如图，在三棱锥A -BCD 中，E 是CD 的中点，点F 在AE 上，且EF =2FA ．设，，，求直线AE、BF 的方向向量．设计意图：考查学生用基底法求直线的方向向量.2．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AC =1，AA 1=2．以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC 1B 1的法向量；（2）求平面A 1BC 的法向量． 设计意图：考查学生用空间向量坐标运算求法向量. a =BC b =BD c =BA。
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的距离问题(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
课时教学设计用空间向量研究距离一、教学内容点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离。
二、教学目标2.1课前预习目标复习空间两点间的距离公式，向量夹角公式，向量投影概念及求法。
2.2课时目标（1）通过利用投影向量，勾股定理能够得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。
（2）通过点到直线的距离公式、点到平面的距离公式能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题，发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。
2.3内容层次能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离。
能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用。
提升学生直观想象和数学运算核心素养。
三、教学重点与难点重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．难点：利用投影向量统一研究空间距离问题.四、教学过程设计前面我们学习了用空间向量及其运算研究立体几何中点、直线、平面这些几何元素的平行、垂直的位置关系．除了上述平行、垂直这些特殊的位置关系外，立体几何中还经常需要研究距离、角度等度量问题．现在，我们仍然通过空间向量及其运算研究这些几何元素之间产生的距离与夹角等问题．进一步体会空间向量解决立体几何的向量法法。
距离是欧氏几何中最基本的度量，回顾立体几何的学习，我们发现空间中点、直线、平面之间的距离问题包括：两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离等．距离是这些几何要素之间最短的路径，除两点间距离外，其他距离都需要用垂直刻画．问题1：你能把这些空间中的距离问题归类吗？师生活动：首先学生思考讨论，教师引导得到结果，点到直线的距离、两条平行线之间的距离可以归结为一类，因为两条平行线之间的距离可以转化为一直线上的点到另一条直线的距离问题；其次，点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离可以归结为点（或直线上的点，或一平面上的点）到平面的距离．所有的距离问题，都可以归结为两点间的距离．追问：如何用空间向量研究距离？师生活动：学生思考讨论，类比平面向量的知识，距离可以通过向量的模获得．例如，空间两点间的距离可以转化为空间向量的模的计算．教师可进一步点拨，除两点间的距离外，其他距离问题都需要通过垂直来刻画，投影向量和勾股定理势必在这些距离的计算中发挥重要作用．设计意图:明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题问题2：如图，在空间中任取一点O ，作OM =a ，ON =b .（1）怎样表示向量b 方向上的单位向量u ？（2）如何作出向量a 在向量b 方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量u表示向量a 在向量b 方向上的投影向量及投影向量的模？师生活动：学生回忆已学的概念、讨论交流．给出结果预设的答案（1）||bu =b ； （2）过点M 作1MM 垂直于直线ON ，垂足为1M ，向量1OM 即为向量a 在向量b 方向上的投影向量；（3）1=cos =cos |)|(OM θθ|a |u |u u =a |u a u ，即1=()OM a u u ，1||=||OM a u .设计意图:投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.问题3：已知直线l的单位方向向量u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l的距离？师生活动：学生结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接AP，AQ.进而利用得到向量AP在直线直线l上的投影向量AQ，表示投影向量AQ，求||勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.预设的答案：如图，设AP =a ，则向量AP 在直线l 上的投影向量|cos |cos |()AQ PAQ PAQ =∠=∠=a |u a |u |u a u u .在Rt AQP △中，由勾股定理，得222||||)PQ AP AQ =-=a a u .设计意图：学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.追问1：若AP 与直线l 垂直，点P 到直线l 2)a u 吗？师生活动：学生思考后作答，若AP 与直线l 垂直，则0=a u ，2)||||PA PQ ==a u .追问2：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点P 以及直线l ，那么点A 应该如何确定？师生活动：学生思考后作答，点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点A 的变化而变化，故点A 可以是直线l 上的任意一点.追问3：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？师生活动：学生思考后作答，不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.设计意图：通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点P到直线l距离问题时，只需该点P和直线l上的任意一点A确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.师生活动：教师总结，要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点P到直线l距离问题时，只需直线l的方向向量及直线上l的任意一点A，这样得到参考向量AP或PA，再求得直线的单位方向向量带入公式即可.追问4：求点到直线距离的主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答，(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.问题4：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？2师生活动：教师引导学生分析，问题中条件是什么，如何利用条件实现问题转化，学生思考后作答，在其中一条直线上任取一点P，将求两条平行直线之间的距离转化为求点P到另一条直线的距离.设计意图：根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.问题5：已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点比点到直线距P作出平面α的垂线l，交平面α于点Q.类离的研究过程，如何用向量AP表示QP？追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定，确定一个平面的条件是什么？ 师生活动：由学生回答法向量追问2:你能类比求点到直线的距离的方法，利用向量投影求出点到平面的距离吗？师生活动：学生独立思考，然后分组讨论交流；教师巡视、点拨；学生分享研究成果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果，得出用空间向量求点到平面的距离的步骤第一步，确定平面α的法向量n ;第二步，选择“参考向量”AP ;第三步，确定“参考向量”AP 向法向量的n 的投影向量QP ;第四步，求投影向量QP 的模长，得到|||||||||cos |||||AP QP AP PAQ ⋅=∠=n n n n 设计意图 ：教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题6：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点P以及平面α，那么点A应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点P在平面α内的投影以及垂线段？师生活动：学生思考后作答，点A可以是平面α内的任意一点.不需要找出点P 在平面α内的投影以及垂线段.教师讲授：求解点P到平面α距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面α的法向量及平面α内的任意一点A，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.设计意图：类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.追问：如果直线l与平面α平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？师生活动：学生思考后作答，先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.设计意图：通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题7：求点到平面的距离主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答， (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.(1)求点B 到直线1AC 的距离；(2)求直线FC 到平面1AEC 的距离.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点A 在直线1AC 上，因此，可以选择AB 作为参考向量.事实上，可以选择直线1AC 上的任意一点和F 确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量1AEC 不唯一.解：以1D 为原点， 11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,1)A ，(1,1,1)B ，(0,1,1)C ，1(0,1,0)C ，1(1,,0)2E ，1(1,,1)2F ，所以(0,1,0)AB =，1(1,1,1)AC =--,1(0,,1)2AE =-,11(1,,0)2EC =-,1(1,,0)2FC =-,1(0,,0)2AF =.（1） 取(0,1,0)AB ==a ，1133||1,1,1)AC AC ==--u ，则 21=a ，3⋅=a u ．所以，点B 到直线1AC 2)13=-=a u ． (2) 因为11(1,,0)2FC EC ==-，所以1//FC EC ，又FC ⊄面1AEC ，1EC ⊂面1AEC ，所以//FC 平面1AEC ，所以点F 到平面1AEC 的距离，即为直线FC 到平面1AEC 的距离．设平面1AEC 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0.AE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩所以 2,.y z x z =⎧⎨=⎩取1z =，则1x =，2y =,所以，(1,2,1)=n 是平面1AEC 的一个法向量, 又因为1(0,,0)2AF=，所以点F到平面1AEC 的距离为 1|(0,,0)(1,2,1)|||||AF ⋅⋅==n n 即直线FC 到平面1AEC 的距离为6设计意图 ：通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问：求两种距离的步骤是怎样的？师生活动：学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.点P到直线l的距离：第一步：建系，在直线l上任取一点A (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量AP(或PA)”的坐标.第二步：依据图形先求出直线l的单位方向向量u.第三步：带入公式求解.点P到面α的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”AP；第二步：确定平面α的法向量n；第三步：带入公式求值.设计意图：总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 五、课堂检测与评价1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点A 到平面1B C 的距离等于_________；直线CD 到平面1AB 的距离等于________；平面1DA 到平面1CB 的距离等于__________．2．已知直线l 过定点(2,3,1)A ，且(0,1,1)=n 为其一个方向向量，则点()4,3,2P 到直线l 的距离为（ ） A ．322 B ．22 C ．102D ．2 3．已知平面α的一个法向量()2,2,1=--n ，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为（ ）A ．10B ．3C ．83D ．1034．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面1A DB 与平面11D CB 的距离．设计意图 ：作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.六、教学反思教学中主要突出了几个方面：一是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。
《用空间向量研究直线、平面的位置关系》课件与导学案
则 A(1, 0, 0) ， B(1, 2, 0) ， E (0, 0, 3) ， F (1, 2, 3) ， ∴ BE (1, 2, 3) ， AB (0, 2, 0) ，
实数对（x, y )，使得OP xa yb ，
这样点O与向量a , b 可以确定平面，
课堂探究
如下图，取定空间任意一点 O ，可以得到，空间一点 P 位于平
面ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使 = + + .
上式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可
设 n1=(x1,y1,z1)是平面 ADE 的法向量,
则 n1⊥,n1⊥,
1 = 0,
1 · = 21 = 0,
得
即
1 · = 21 + 1 = 0, 1 = -21 .
令 z1=2,则 y1=-1,
所以 n1=(0,-1,2).
因为1 ·n1=-2+2=0,所以1 ⊥n1.
法向量的平面完全确定，可以表示为集合 | · = 0 .
例题解析
例 1．已知长方体 ABCD-A 1B 1C1D1 中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M
为 AB 中点.以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、
z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
（1）求平面 BCC1B 1 的一个法向量．
从而 n
PQ n ( xu yv ) xn u yn v 0 .
所以，向量 n 也是平面 的法向量. 故
a
b
.
P
v
n
例题解析
高中数学教学备课教案立体几何中的空间向量与点线面的关系总结
高中数学教学备课教案立体几何中的空间向量与点线面的关系总结高中数学教学备课教案立体几何中的空间向量与点线面的关系总结一、概述在立体几何中，空间向量是一种重要的数学工具，用于描述空间中的点、线和面之间的关系。
通过对空间向量的研究和应用，可以帮助学生更好地理解和解决立体几何中的各种问题。
本文将总结空间向量与点线面的关系，为高中数学教学备课提供参考。
二、基本概念1. 空间向量空间向量是指在空间中具有大小和方向的矢量，可以表示为AB→，其中A和B为空间中的两个点，→表示方向。
空间向量可以通过坐标表示，一般表示为(a, b, c)或ai + bj + ck，其中a、b、c为实数。
2. 点的坐标在空间中，每个点都可以用坐标表示。
常用的表示方法有直角坐标和向量坐标两种。
直角坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z为实数，分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标。
向量坐标表示为ai + bj + ck，其中a、b、c为实数，表示该点与坐标原点的空间向量。
3. 向量的相等两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点相同。
即若AB→ = CD→，则A = C且B = D。
4. 向量的共线若两个非零向量的方向相同或相反，则称它们共线。
即若AB→ // CD→，则AB→和CD→共线。
5. 向量的夹角两个非零向量的夹角定义为它们所在直线的夹角。
常用的计算夹角的方法有向量内积法和向量模长法。
三、空间向量与点的关系1. 空间向量的加法若AB→和BC→是空间中的两个向量，那么它们的和可以表示为AB→ + BC→ = AC→。
即通过将向量的终点与起点相连，可以得到一个新的向量。
2. 点的坐标表示某点的坐标等于原点与该点所在的向量的坐标之和。
即若A为某点，且A = O + OA→，则A的坐标为(x, y, z) = (0, 0, 0) + (a, b, c)，即A的坐标为(a, b, c)。
这个性质对于求空间中任意两点之间的距离和中点等问题非常有用。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)(教学设计)-高二数学(选择性必修第一册)
我们知道面图形等是组成空间几何体的基本元素因此,为了用空间向量解决立体儿何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．
教师引导学生思考下列问题：
问题1：如何确定一个点在空间的位置？
思考：
如何用向量表示空间中的一个点．
如图1.4-1,在空间中,我们取一定点 作为基点,那么空间中任意一点 就可以用向量 来表示．我们把向量 称为点 的位置向量．
（2）蕴含的思想与方法
对于距离问题,由于前面已研究了两点间的距离,本单元利用向量投影统一研究其余距离问题,其中点到直线的距离,点到平面的距离是核心,其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对于角度问题,利用直线的方向向量和平面的法向量,统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角,进而利用向量的数量积解决问题.
（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题,体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.
三、单元教学问题诊断分析
1.
学生在“立体几何初步”的学习中,对于距离和夹角有了一定的认识,但缺乏整体性、系统性.在本章前面的学习中,也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题,但对于其中的向量方法体会还不够深刻,对于用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,也达不到熟练运用的程度,特别是在解决综合性问题时,常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.
（3）培育的数学核心素养
通过本单元求解距离和掩度的问题,可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题,从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性,培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.
用空间向量研究直线、平面的位置关系 高中数学获奖教案
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1..能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.3. 能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.二、教学重难点1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2.用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系三、教学过程1.创设情境，从图形中探究新知问题1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？观察下图回答。
【预设的答案】位置关系向量表示线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0线面垂直设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0【设计意图】类比直线、平面平行的向量表示，提出运用向量解空间中的垂直问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的平行问题的解法方法，类比学习用空间向量解决空间中的垂直问题，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想.热身活动1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )(4)若两平面α,β的法向量分别为u 1=(1,0,1),u 2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )【预设的答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√【设计意图】进一步将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言。
用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【学习目标】1. 空间中点、直线、平面的向量表示（1）点的向量表示在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP →来表示。
我们把向量OP →称为点P 的 。
(2)直线的向量表示(3)通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：2.在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)；(2)找出(求出)平面内的两个 的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组，取其中的 ，即得平面的一个法向量．3. 空间中直线、平面的平行设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔面面平行α∥β⇔μ∥v⇔4.设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，直线m的方向向量为b＝(a2，b2，c2)，平面α的法向量μ＝(a3，b3，c3)，平面β的法向量为v＝(a4，b4，c4)，则线线垂直l⊥m⇔⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v＝0⇔1.判断对错(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )(2)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.( )(3)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( )(4)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．( )(5)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．( )2．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( ) A．(2,2,6) B．(－1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1)3．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于( ) A．5 B．4 C．－4 D．－5【经典例题】题型一求平面的法向量[跟踪训练] 1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．题型二空间中直线、平面的平行问题例2 已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________．[跟踪训练] 2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.题型三空间中直线、平面的垂直问题[跟踪训练] 3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.【当堂达标】1．下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1523．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m)，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．6D ．104．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( )A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号)①AB →； ②AA 1→； ③B 1B →； ④A 1C 1→.6．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.7.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝2，CD ＝4，M 为CE 的中点．(1)求证：BM ∥平面ADEF ；(2)求证：BC ⊥平面BDE ；(3)证明平面BCE ⊥平面BDE.。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系教学设计
1.4.1⽤空间向量研究直线、平⾯的位置关系教学设计教材分析本节课选⾃《普通⾼中课程标准数学教科书-选择性必修第⼀册》（⼈教A版）第⼀章《空间向量与⽴体⼏何》，本节课主要学习⽤向量语⾔描述直线、平⾯的垂直关系并且⽤向量⽅法证明垂直问题。
本节课的学习，可以培养学⽣提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平⾯化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能⼒。
⼆、教学⽬标1、能⽤向量语⾔表述直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯的垂直关系；2、能⽤向量⽅法证明必修内容中有关直线、平⾯垂直关系的判定定理；3、能⽤向量⽅法证明空间中直线、平⾯的垂直关系。
三、学科素养1.逻辑推理：⽤向量描述垂直关系；2.数学运算：向量的加减数乘、数量积运算；3.直观想象：直线、平⾯的垂直关系。
四、教学重难点1.教学重点：⽤向量语⾔表述直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯的垂直关系；2.教学难点：⽤向量⽅法证明空间中直线、平⾯的垂直关系。
五、教学准备多媒体 PPT教学过程（⼀）复习回顾，温故知新1. 回顾前⾯所学的怎么⽤⽤向量语⾔描述线线、线⾯、⾯⾯平⾏关系？学⽣回答：1）线线平⾏1. 线⾯平⾏1. ⾯⾯平⾏设计本环节意图：帮助学⽣通过复习所学的内容，巩固加深理解，并且通过类⽐上节所学内容，对本节所学内容起到⼀个承上启下的作⽤，从⽽帮助学⽣建⽴起学习数学的信⼼，激发学⽣的学习兴趣。
情景导学思考：类似空间中直线、平⾯平⾏的向量表⽰，在直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯垂直关系中，直线的⽅向向量、平⾯的法向量之间有什么关系？带着这个思考问题，⾃⾏阅读教材，类⽐平⾏的学习⽅法去想⼀下怎么⽤向量的⽅法去描述垂直问题。
（⼩组讨论）设计本环节意图： 抛出问题，让学⽣主动思考，⾃觉去阅读教材，主动积极去解决问题，从⽽提升学⽣的逻辑推理的学科素养⽔平。
学习新知通过阅读课本学习，相信同学们对怎么⽤向量来描述空间中的垂直关系已经有了⼀定的认识，那么，现在请同学们⼀起来探讨⼀下下⾯的三个思考。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系+教学设计高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修一
教学设计课程基本信息学科 数学年级 高二级学期 秋季课题 用空间向量研究直线、平面的位置关系教科书书 名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册（A 版）教材 出版社：人民教育出版社教学目标1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系。
2. 能用向量方法计算或证明有关直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
教学内容教学重点：1. 理解并掌握研究直线、平面位置关系的向量方法。
教学难点：1. 建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。
2. 立体几何中的向量方法的灵活准确及恰当的运用。
教学过程一、复习引入方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直的位置关系。
二、问题探究 1. 线线平行b a b a l l λ=⇔⇔∥∥212. 线线垂直021=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a l l3. 线面平行()0=⋅⇔⊄⊥⇔n a l n a l αα∥4. 线面垂直n a n a l λα=⇔⇔⊥∥5. 面面平行m n m n λβα=⇔⇔∥∥6. 面面垂直0=⋅⇔⊥⇔⊥m n m n βα三、例题讲解思考：如何建系？需要找到什么向量？利用向量的什么关系来说明两条直线的位置关系？思考：需要找到什么向量？利用向量的什么关系来说明线面的平行关系？思考：需要找到什么向量？利用向量的什么关系来说明线面的垂直关系？四、课堂总结用空间向量研究直线与平面的位置关系五、课后练习备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
能用向量语言表述并判定空间中线与面的位置关系。
能用向量语言表述并判定空间中线与面的位置关系。
在空间几何中，线和面的位置关系是研究线与面的相交情况和线在面上的位置关系。
我们可以使用向量语言来描述和判断空间中线与面的位置关系。
为了方便描述和判断，我们可以将线和面的方程转化为向量方程。
一个线可以由一点和方向向量来表示，一个面可以由一个面上的点和法向量来表示。
假设我们要判断一条线与一个平面的位置关系，设该线的方程为: l: P(t) = P0 + td其中P(t)为位于线上的点，P0为线上的一个点，d为线的方向向量。
而平面的方程可设为:π: N · (X - A) = 0其中N为平面的法向量，A为平面上的一个点，X为平面上的任意点。
要判断线和平面的位置关系，可以分为以下几种情况：1.线与平面相交：如果存在一个点P(t)同时满足线方程和平面方程:N · (P(t) - A) = 0，那么线与平面相交。
2.线在平面上：如果线上的每一个点都满足平面的方程：N · (P(t) - A) = 0，那么线在平面上。
3.线与平面平行但不在平面上：如果线的方向向量与平面的法向量平行但不共线，即：d || N，但P0不在平面上，那么线与平面平行但不在平面上。
4.线与平面重合：如果线的方向向量与平面的法向量平行且共线，即：d || N，且P0在平面上，那么线与平面重合。
通过向量语言，我们可以通过求解线方程和平面方程的关系来判断线与平面的位置关系。
具体来说，我们可以将线方程代入平面方程，然后判断方程是否有解来得出以上四种情况。
举个例子来说明。
假设有一条线l，其方程为:l: P(t) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)同时有一个平面π，其方程为:π: 3x - 2y + z - 1 = 0我们可以将线的参数方程代入平面方程，得到:3(1 + 2t) - 2(2 + t) + (3 - t) - 1 = 0化简得:5t = -4解得t = -4/5将t带回线的方程，得到线与平面的交点为:P(-4/5) = (1, 2, 3) + (-4/5)(2, 1, -1) = (1 - 8/5, 2 -4/5, 3 + 4/5) = (-3/5, 6/5, 19/5)因此线l与平面π相交于点(-3/5, 6/5, 19/5)。
空间中的线面关系学案
淮安市新马高级中学2008-2009学年度第二学期高二数学教学案班级__________ 姓名__________3.2.2 空间线面关系的判定一、学习目标：1、能用向量语言表述线线、线面、面面的平行与垂直。
2、能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理。
3、能用向量方法判定空间线面的平行与垂直。
二、自主学习：（预习课本内容）12121212,e e n n l l αα1、设空间两条直线的方向向量分别为，，两个平面，的法向量分别为，，填下表：2e1n2、如何用向量方法去证明空间中的的线线平行、线面平行、面面平行？3、如何用向量方法去证明空间中的的线线垂直、线面垂直、面面垂直？ 三、典型例题例1、如图OB 是平面α的一条斜线,O 为斜足，AB α⊥,A 为垂足，CD α⊂CD OA ⊥ 求证：CD OB ⊥变式练习：B OD C Aα写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明。
例2、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
（直线与平面垂直的判定定理）例3、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，9030ACB BAC ∠=︒∠=︒11,BC A A == M 是棱1CC 的中点，求证：1A B AM ⊥'''''',''ABC A B C AA ABC A C AB BC AB -⊥⊥⊥在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证1：变式：1B 1B变式2: 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 与BD 得交点,G 为CC 1的中点,求证A 1O ⊥平面GBD四、必做题1l u z v z αα=、已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为（1，-3，），向量=（3，-2，1）与平面平行，则=_______2u v=______αβαβ、设=（3，4，-3），（5，-3，1）分别是平面、的法向量，则、的位置关系1111131,,______ABCD A BC D E F BD BD EF CF -、棱长为的正方体中，分别是的中点，则与的关系4a b c αβγαβγ=、已知（0，1，1），=（1，1，0），=（1,0,1）分别是平面、、的法向量，则、、三个平面中互相垂直的有_____对5、已知A(1,0,0),B(0,1,1),C(0,0,2),若DB AC,DC AB,则D 点坐标为_____6a=b x x ______αβαβ⊥=、已知平面和平面的法向量分别为（1，1，2），=（，-2，3），且，则7a a ,a a A AB AC ⊥⊥、已知（0，2，3），B(-2,1,6),C(1,-1,5),若则向量的坐标为______GBC !A !A111184ABCD A B C D M N AMN EFBD -11111111、正方体的边长为，、、E 、F 分别是棱A D 、A B 、D C 、B C 的中点。
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（ 1）1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.重点:用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 难点:用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系一、自主导学（ 一）空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示.我们把向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的位置向量.如图.2.空间直线的向量表示式如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP⃗⃗⃗⃗⃗ =t a ,即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t a , ① 或OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.3.空间平面的向量表示式如图,取定空间任意一点O ,空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ,y ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.平面的法向量如图,直线l ⊥α,取直线l 的方向向量a ,我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ,那么过点A ,且以向量a 为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0}.点睛:空间中,一个向量成为直线l 的方向向量,必须具备以下两个条件: ①是非零向量;②向量所在的直线与l 平行或重合. （ 二）、空间中直线、平面平行的向量表示点睛:1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点. 二、小试牛刀1.下列说法中正确的是( )A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的2.若直线l 过点A (-1,3,4),B (1,2,1),则直线l 的一个方向向量可以是( ) A.(-1,12,-32) B.(-1,-12,32) C.(1,12,32) D.(-23,13,1)3.若两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,1),则平面ABC 的一个法向量为( ) A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)4.若两条直线的方向向量分别是a =(2,4,-5),b =(-6,x ,y ),且两条直线平行,则x= ,y= .5.若平面β外的一条直线l 的方向向量是u =(-1,2,-3),平面β的法向量为n =(4,-1,-2),则l 与β的位置 关系是 .一、情境导学牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系教学设计高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册
课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA008 学科数学年级高二学期上学期课题用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）教科书书名：选择性必修第一册数学（A版）出版社：人教社出版日期：年月教学人员姓名单位授课教师李健北京景山学校指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理．教学重点：用向量方法解决空间图形的平行问题．教学难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题．教学过程时间教学环节主要师生活动上节课我们学习了如何用空间向量表示空间中的直线和平面，我们发现，直线的方向向量和平面的法向量是表示和确定空间中的直线和平面的关键量. 上学期，我们还学过空间中直线、平面的各种位置关系，你能用直线的方向向量、平面的法向量的位置关系刻画空间直线、平面的平行、垂直关系吗？进一步将立体几何与空间向量联系起来. 我们先看平行问题.问题1：由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？如图，设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量. 由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行. 所以l1//l2⇔u1//u2，而且由向量的共线定理可以得到121212////,.l lλλ⇔⇔∃∈=R使得u u u u问题2：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量有什么关系呢？如图，设u 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l α⊄.如果//l α，根据直线的方向向量和平面的法向量的定义可知，⊥u n ；反过来，如果⊥u n ，且l α⊄，那么//l α. 所以//l α⇔⊥u n . 由向量的数量积运算，可以得到//0.l α⇔⊥⇔⋅=u n u n问题3：由平面与平面的平行关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系呢？如图，设n 1，n 2分别是平面,αβ的法向量. 由法向量的定义可知，如果两个平面平行，那么它们的法向量一定平行；反过来，如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面也平行. 所以α//β⇔ n 1//n 2. 由共线向量定理，可以得到1212////,.αβλλ⇔⇔∃∈=R 使得n n n n下面我们看一个例题，这个例题是前面我们学习的一个判定定理，当时没有给出证明，例1证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，,,,//,//.a b a b P a b ββαα⊂⊂= 求证：//αβ.分析：证明两个平面平行，如果我们用两个平面平行的定义，就是要证明这两个平面没有公共点，要用反证法，有难度. 这也是前面学习时没有给出证明的原因. 今天，我们学习了用向量的位置关系刻画平面的位置关系，我们考虑用向的方法解决这个问题，从而完善立体几何定理的学习. 用向量法证明两个平面平行，就是要证明这两个平面的法向量平行，或者这两个平面是以同一个向量为法向量的. 下面我们就沿着这条思路证明这个定理.设平面α的法向量为n ，平面β内的两条相交直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，由已知条件可得//0,//0.a b αα⇒⊥⇒⋅=⇒⊥⇒⋅=u n u n v n v n即n 与平面β内的两个相交向量都垂直，由平面向量基本定理可知，平面β内的任意向量都可以由u ，v 的线性组合表示. 因此可以通过向量的运算证明n 与平面β内的任意一个向量都垂直，即n 也是平面β的法向量. 所以α//β.证明：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v .因为//,//a b αα，所以u ⊥n ，v ⊥n ， 所以0,0.⋅=⋅=u n v n因为,,a b a b P ββ⊂⊂=，所以对任意点Q β∈，由平面向量基本定理可知，存在,x y ∈R ，使得PQ x y =+u v .从而()0PQ x y x y ⋅=⋅+=⋅+⋅=n n u v n u n v . 即PQ ⊥n .又因为PQ 是平面β内的任意一个向量， 所以，向量n 也是平面β的法向量. 所以//αβ.例1小结：在解决问题过程中，通过向量运算，我们可以证明平面α的法向量与PQ 垂直，即与平面β内的任意一个向量都垂直. 所以，平面α的法向量也就是平面β的法向量. 这样，我们证明了这两个平面平行.在这个过程中，我们通过向量的运算，证明垂直关系. 由有限个垂直关系，得到直线与平面内所有的直线都垂直. 这是数学学习中常用的方法.向量法可以解决很多立体几何问题，我们再看一个问题. .例2：如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2. 线段B 1C 上是否存在点P ，使得A 1P //平面ACD 1？分析：问题是是否存在满足条件的点P ，如何找呢？P 在哪儿？ 根据题目条件，点P 是否在B 1C 上？那么，如何表示P ？一般情形下，我们假设线段B 1C 上存在点P ，使得A 1P //平面ACD 1.这样，根据向量共线定理，我们有存在λ∈R ，使得B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 如何确定λ?由条件“A 1P //面ACD 1”, 可得A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =0. 利用向量运算，确定与平面ACD 1的法向量的数量积等于0的向量. 进而求λ，如果λ存在，就说明存在点P .证明：在长方体中，由同一顶点出发的三条棱两两垂直，所以以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .，依题意，有A (3, 0, 0), C (0, 4, 0), D (0, 0, 2), 计算可得()()13,4,0,3,0,2AC AD =-=-.PD 1C 1B 1A 1DCBAA BC DA 1B 1C 1D 1xyz P设(),,x y z =n 是平面ACD 1的法向量. 则有10,0AC AD ⋅=⋅=n n ，所以340,320.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩ 所以2,31.2x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取z =6，则x =4，y =3.于是()4,3,6=n 是平面ACD 1的一个法向量. 又由于A 1 (3, 0, 2), C (0, 4, 0), B 1 (3, 4, 2), 所以()()1110,4,0,3,0,2A B BC ==--. 设点P 满足()11=01B P BC λλ≤≤，则()1=3,0,2B P λλ--.所以()1111=3,4,2A P A B B P λλ=+--.令10A P ⋅=n ，得1212120λλ-+-=，解得1=2λ. 所以，当111=2B P BC ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P //平面ACD 1. 例2小结：通过本道例题，我们初步体会了用向量法解决立体几何问题的步骤：（一）建系； （二）设点；（三）表示相关向量； （四）进行向量运算；（加减法运算、数乘运算、数量积运算） （五）把向量运算的结果“翻译”为几何结论.课堂小结： 知识内容：直线、平面的位置关系向量的位置关系向量的运算向量运算的坐标表示12//l l12//u u 12,λλ∃∈=R 使得u u111222x y z x y z ==//l α ⊥u n0⋅=u n121212++0x x y y z z =//αβ12//n n12,λλ∃∈=R 使得n n111222x y z x y z ==方法：我们通过例题，梳理了用向量法解决立体几何问题的步骤.在此过程中，提高了同学们数学运算、直观想象、逻辑推理等数学学科核心素养. 课后作业：1. 如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点. 直线AD 上是否存在点F ，使得AE //CF ?2. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF //平面ACD 1.FEABCDE FB 1ABCDC 1D 1A 1。
用空间向量研究直线、平面位置关系——空间直线、平面的平行 课件
A．l1∥l2 B．l1与l2相交 C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合
2．若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，
－6，3)，则 ( A )
A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
例题精讲
例1 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在 棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别 为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.
u l
则l∥α⇔u⊥n ⇔u·n＝0．
n
α
空间中直线、平面的平行
思考3：由平面与平面的平行关系，可以得到平面的法向量有什 么关系？
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2．
n1 α
n2
β
及时训练
1．若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－
ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位
置时，平面D1BQ∥平面PAO?
D1
C1
A1 P
B1 Q
D A
C O
B
例题精讲
例3：如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， △PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA， PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
Pห้องสมุดไป่ตู้
EF
A
D
G
B
C
例题精讲
变 式 ： 如 图 所 示 ， 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， O 为 底 面
2022年《1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系》优秀教案0
第一章空间向量与立体几何空间向量的应用用空间向量研究直线、平面的位置关系〔第一课时〕教学设计一、教学目标1 能用向量语言描述点、直线和平面；2 理解直线的方向向量和平面的法向量二、教学重难点1 教学重点理解直线的方向向量和平面的法向量2 教学难点建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题三、教学过程〔一〕新课导入我们已经学习了空间向量的相关概念及运算，那么空间向量有什么应用呢？本节我们将从空间中点、直线和平面的向量表示入手，研究空间向量在立体几何中的应用〔二〕探索新知问题1 如何用向量表示空间中的一个点？如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，的位置向量问题2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线，如何用向量表示直线？用向量表示直线，就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点如图，a是直线的方向向量，在直线上取，设为其上一点，点及直线的方向向量b表示，且一个实数t对应直线上唯一一个点是AB的中点，所以的坐标分别为因此设是平面的法向量，那么所以，所以取，那么于是是平面的一个法向量〔三〕课堂练习1假设点在直线上，那么直线一个方向向量为A B C D答案：A解析：由题意，可得直线的一个方向向量又，2如图，在空间直角坐标系中，为正方体，给出以下结论：①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为，③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为其中正确的有个个个个答案：C解析：；；直线平面，；点的坐标为，与平面不垂直，∴④3在中，，设是平面内任意一点〔1〕求平面的一个法向量；〔2〕求满足的关系式答案：〔1〕设平面的一个法向量，，，，令，那么，所以平面的一个法向量为〔2〕因为点是平面内任意一点，，，，故满足的关系式为〔四〕小结作业小结：1 直线的方向向量及其求法；2 平面的法向量及其求法作业：四、板书设计用空间向量研究直线、平面的位置关系〔第一课时〕1 直线的方向向量；2 平面的法向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问
题
组
问题一：
如何定义直线的方向向量？
问题二：
如何定义平面的法向量以及求解平面的法向量？
问题三：
如何利用直线的方向向量和平面的法向量来证明直线与平面平行、平面与平面平行？
问题四：
如何利用直线的方向向量和平面的法向量来证明直线与平面垂直、平面与平面垂直？
3、设平面 法向量为 ，平面 的分法向量为 ，若 ∥ ，则k=（）
A.2 B.-4 C.4 D.-2
4、在正方体 中，E、F分别是 、 的中点。求证：EF⊥平面
5、已知 ， ，若 ∥ ，则x=。
6、设 的方向向量为 的方向向量为 ，若 ⊥ ，则m =（）
A.1 B.2 C. D.3
提
高
训
练
在四棱锥 中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点。证明：EF∥平面SAD。
学法指导：请同学们用20分钟时间思考以上两个问题，在思考的过程中，注意结合图形以及直线直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理去综合分析。
当堂
检测
1、已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点 ， , ,直线BD∥CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标。
2、已知平面 经过三点 ，试求平面 的一个法向量。
1、没有解决的问题反馈：
2、自己提出的新问题：
高二年级数学导学案（选修2-1）
主备人
杨宇宁
成员
高二年级数学组
使用时间
课题
《用向量研究空间中线与面的位置关系》
课型
解决课
学
习
目
标
知识目标:
1、理解直线的方向向量与平面的法向量
2、掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系
能力目标:Leabharlann 培养学生的作图能力和空间想象能力；增强学生应用数学的意识
情感目标: