芝诺悖论的极限分析
芝诺悖论的数学解释
芝诺悖论的数学解释
芝诺悖论是古希腊思想家芝诺所提出的一个著名的悖论。
这个悖论通过一个有
趣的思想实验，挑战了数学中的一些基本概念，如无限、无限分割以及运动的性质。
该悖论的思想实验是这样的：假设我们要在一个径长为1米的赛道上走到终点，按照常识我们认为只需要分别走过1/2米、1/4米、1/8米……这样依次走下去就能
抵达终点。
但是，芝诺通过一个巧妙的推理来证明，按照这种方式，我们将永远走不到终点。
首先，假设我们已经达到了终点，也就是说，我们已经走过了完整的1米。
然后，我们回想一下之前的分割方式，我们每一次都是走过当前剩余距离的一半。
所以，在到达终点之前，我们还要走过剩下的1/2米、1/4米、1/8米......以此类推。
这个过程应该是无限的，因为我们可以不断把剩余的距离继续一分为二。
但是，无限是一个没有终点的概念，我们永远也无法真正走完所有的无限个分割。
这个悖论揭示了数学中无限性的一些非直觉的性质。
它告诉我们，我们虽然可
以一直不断地将距离分成更小的部分，但是有时候，在无限性面前，我们无法到达预定的目标。
换句话说，即使我们可能无限地将一条线段分割得越来越小，但它不能无限地延伸下去。
在这个例子中，我们永远无法走完所有的分割，即使我们看起来在不断前进。
芝诺悖论在古希腊时期引起了强烈的讨论和思考，对于当时的数学和哲学有着
深远的影响。
通过这种思考悖论，我们可以更好地理解无限性和运动的性质，并且对我们对数学和现实世界的理解带来了新的启示。
关于“芝诺悖论”的一些思考
关于“芝诺悖论”的一些思考王玉峰北京大学哲学系现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的。
[1]这些芝诺“悖论”长久以来就引起了人们的广泛兴趣，其中尤以关于所谓运动的那四个悖论最为著名。
而芝诺反对运动的那些论证其原著已经佚失，现有资料来自亚里士多德在《物理学》中的论述，主要是该书第六卷第九章。
[2]根据亚里士多德的记载，这四个所谓关于运动的悖论分别是：两分法，阿喀琉斯，飞矢不动和运动场。
[3]亚里士多德在其《物理学》中分别反驳了芝诺，指出了芝诺的这些“悖论”都是“错误”的。
后来的大多数学者们基本上是继承了亚里士多德的看法，而近代以来也有一些数学家和逻辑学家们借助于当时的数学和逻辑学成就，主要是微积分理论，来试图“解决”这些“悖论”。
表面上看来，这些学者们似乎是“解决”了这些“悖论”，可是带有悖谬性的是，正是通过这些“悖论”的“解决”，芝诺由一个哲学家变成了一个没有常识的人。
而在本文中，笔者则通过对芝诺关于所谓运动的这四个“悖论”的重新诠释，来试图恢复芝诺作为一个严肃的哲学家的本来面目。
根据这四个悖论的内容，我把它们分成两组来分别加以论述，那就是两分法和阿喀琉斯一组，飞矢不动和运动场一组。
我将表明芝诺的这两组悖论分别是针对当时在数学和物理学中流行的错误“前提”的，所以他的这些“悖论”没有什么所谓的“逻辑”错误。
（一）两分法与阿喀琉斯根据亚里士多德的记载，所谓的“两分法”是指，一个位移的事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，可是这种一再二分的一半是为数无限的，因此不可能走完为数无限的路程，因此运动不存在。
[4]有人认为这和中国古代哲学中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的道理是一样的。
[5]而“阿喀琉斯”的悖论意思是说：“一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人。
因为追赶的人必须首先跑到被追的人的出发点，因此走的慢的人必然永远领先。
从芝诺悖论到无穷小分析
从芝诺悖论到无穷小分析前言：这是本人第一次写科普，解释可能并不很形象。
建议知识水平在初中以上的读者阅读（高中水平以下的建议先阅读后面的注释[0]）。
本人水平有限，如有错误，欢迎各位指正。
一、“可望不可即”——芝诺之惑一只运动速度为10米每秒的兔子与一只运动速度1米每秒的乌龟同向而行。
开始时，乌龟在兔子前方9米处。
问：何时兔子追上乌龟？[1]这道题即使是小学四五年级的学生应该也能立即答出“一秒”的答案来的。
然而，我们“聪明的”古希腊哲学家芝诺却为这个问题头疼不已。
他在脑中模拟，想：兔子在追上乌龟之前，先要抵达两者原距离的一半处，而此时乌龟已经向前走了一段距离，接下来，兔子又要先到两者第二次距离的一半处，这时乌龟又向前走了一段，如此往复，兔子永远也无法追上乌龟。
[2]芝诺的做法似乎无可非议，可问题在哪呢？有人认为，时空并非无限可分，存在某种最小单元[3]，因此，他的“如此往复”，必将终止于某一阶段。
那么，假如我们暂时抛却这个瑕疵，假设时空是无限可分的，芝诺的推理就对了吗？聪明的读者也许很快就会注意到：无穷的过程是否需要无限的时间？这便是这个问题的关键。
[4][5]为了避免文章中出现许多公式与符号，我们将这个问题简化成另一个等价的问题上：“永远无法抵达的终点”：当乌龟正为自己的秘术沾沾自喜时，却发现自己永远也抵达不了一米前的终点。
他首先要抵达终点的一半处，然后要抵达剩余路程的一半处，如此往复，自己永远也到达不了终点的地方。
再强化一点，将终点无限移近，那他甚至无法起动。
[6]果真如此吗？答案当然是否定的。
对于每一段，乌龟所花的时间分别是1111 ,,,, 24816乌龟所花的总时间111124816t=++++有一点级数知识的读者当然知道求解，但我这里要提供一个小学生也能看懂的办法[7]：111111111()248162224811111()224821111248++++=+⨯+++⇒⨯+++=⇒+++= 当然，更聪明的读者也许会说：在空间上，1111,,,,24816这些距离都是从1m 中分割出来的，而且除此之外也没有剩下的[8]，那它们的总和自然也是1。
古希腊哲学家芝诺德四大数学悖论
古希腊哲学家芝诺德四大数学悖论古希腊哲学家芝诺的四大数学悖论 1，二分法悖论:任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB 中点E。
依此类推。
这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。
所以，该物体永远也到不了终点B。
不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。
因为在进行后半段路程之前，必须先完成前半段路程，而在此之前又必须先完成前1/4路程......因此，物体根本不能开始运动，因为它被道路无限分割阻碍着。
2,阿基里斯追龟悖论:如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。
乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点A。
但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。
而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点...........依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。
3、飞矢不动悖论:任何一个东西呆在一个地方那不叫运动，可是飞动着的箭在任何一个时刻不也是呆在一个地方吗,既然飞矢在任何一个时刻都能呆在一个地方，那飞矢当然是不动的。
4、运动场悖论: 芝诺提出这一悖论可能是针对时间存在着最小单位一说,现在的普朗克—惠勒时间 Planck-Wheeler time)。
对此，他做出如下论证:设想有三列实体，最初它们首尾对齐。
设想在最小时间单元内，C列不动，A列向左移动一位，B列向右移动一位。
相对B而言，A移动了两位。
就是说，我们应该有一个能让B相对于A移动一位的时间。
自然，这时间是单元时间的一半，但单元时间是假定不可分的，那么这两个时间就是相同的了，即最小时间单元与他的一半相等。
芝诺悖论二分法解释
芝诺悖论二分法解释
芝诺悖论是一个著名的哲学难题，涉及到无限分割的概念，常用的例子是“阿基里斯与乌龟赛跑”。
其中，阿基里斯每次前进一半的路程，而乌龟每次前进一小段距离。
根据常理，阿基里斯应该能追上乌龟，但是实际上无论他怎么努力，都追不上乌龟。
这似乎与我们的感性认识相悖，因此被称为“悖论”。
解决这个悖论的一种方法是运用“二分法”，即将距离无限分割成无数个小段，在每个小段内分别比较阿基里斯和乌龟的位置。
这样，我们就可以发现，在每个小段内，阿基里斯都能比乌龟快一些，因此他最终一定能赶上乌龟。
这种解释方式虽然可以解决芝诺悖论，但也暴露了哲学思辨的深度和难度。
无限分割的概念难以用常规的数学方法进行处理，而需要运用哲学上的抽象思维和逻辑推理。
这也使得芝诺悖论成为了哲学领域里的一个经典问题，对于我们深入理解世界和思考人生意义有着重要的启示作用。
- 1 -。
震惊：无穷带来的各种悖论
震惊：无穷带来的各种悖论“无穷”是一个非常神奇的东西。
一旦考虑到了无穷，就会出现各种不可思议的事情。
本文列举几个最有趣的无穷悖论，大家来体验一次前所未有的“头脑风暴”吧。
芝诺悖论（Zeno'sparadoxes）芝诺悖论是由古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出的一组悖论。
其中的几个悖论还可以在亚里士多德（Aristotle）的《物理学》（Physics）一书中找到。
最有名的是以下两个。
阿基里斯与乌龟的悖论（AchillesandthetortoiseParadox）：在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。
因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。
如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。
二分法悖论（DichotomyParadox）：运动是不可能的。
你要到达终点，必须首先到达全程的1/2处；而要到达1/2处，必须要先到1/4处每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。
其实，你根本连动都动不了，运动是不可能的。
罗素（BertrandRussell）曾经说过，这组悖论“为从他那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间以及无限的理论提供了土壤”。
阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德（AlfredNorthWhitehead）这样形容芝诺：“知道芝诺的人没有一个不想去否定他的，所有人都认为这么做是值得的”，可见争议之大。
无数热爱思考的人也被这些悖论吸引，试图给这些出人意料的结论以合理的解释。
当古希腊哲学家第欧根尼（Diogenes）听到芝诺的“运动是不可能的”这个命题时，他开始四处走动，以证明芝诺的荒谬，可他并没有指出命题的证明错在哪里。
亚里士多德对阿基里斯悖论的解释是：当追赶者与被追者之间的距离越来越小时，追赶所需的时间也越来越小。
他说，无限个越来越小的数加起来的和是有限的，所以可以在有限的时间追上。
从极限角度解释芝诺悖论
芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一系列关于运动和数学的悖论。
其中最著名的是“阿基米德螺旋”和“追不上的乌龟”。
这些悖论看似矛盾，但实际上反映了古希腊哲学家对数学和物理学的深刻思考。
从极限角度解释芝诺悖论，我们可以将芝诺悖论转化为数学问题。
例如，芝诺悖论中的“追不上的乌龟”可以转化为无穷级数的形式。
这个级数收敛于0,但芝诺悖论表明它永远不会完全收敛。
这反映了芝诺悖论的本质:看似无限接近，却永远不能到达。
此外，从极限角度解释芝诺悖论还可以让我们更好地理解数学中的极限概念。
极限是数学中非常重要的一个概念，它描述了函数在趋近于某个点时的行为。
在芝诺悖论中，极限的概念被用来描述物体在趋近于无限接近的速度下，最终仍然无法追上物体的情况。
总之，从极限角度解释芝诺悖论可以帮助我们更好地理解这个著名的哲学悖论，同时也有助于我们更好地理解数学中的极限概念。
从极限角度解释芝诺悖论
从极限角度解释芝诺悖论题目：从极限角度解释芝诺悖论【导言】在古希腊数学史上，芝诺的悖论被视为数理逻辑领域中的一颗明珠。
它通过对质疑动态和时间的无限分割，挑战了人们对真实世界的直观理解。
本文将以极限的观点，解读芝诺悖论并探讨其含义。
【正文】1. 芝诺悖论的起源芝诺悖论起源于古希腊数学家芝诺提出的一系列非常反直觉的思维实验。
其中最著名的是“亚基里斯赛跑”和“阿喀琉斯之舟”两个悖论。
在亚基里斯赛跑中，亚基里斯每次都会落后于乌龟一点点，因此他永远都赶不上乌龟；而在阿喀琉斯之舟中，阿喀琉斯每次射箭之前，船总是移动到了箭射到的位置，所以他永远无法将箭射中目标。
2. 极限的观点要理解芝诺悖论，我们需要引入“极限”的概念。
极限是用来描述趋近于某个特定值或状态时的无限过程。
当我们观察运动变化或无限分割时，极限的思想可以帮助我们解释一些看似矛盾的现象。
3. 亚基里斯赛跑的极限分析在亚基里斯赛跑中，亚基里斯每次都会离乌龟更近一点，但永远不会赶上它。
然而，如果我们用极限的观点来看待这个过程，我们会发现每次迭代，亚基里斯离乌龟的距离会趋向于无穷小，但他永远不会达到乌龟的位置。
4. 阿喀琉斯之舟的极限分析在阿喀琉斯之舟中，船总是在阿喀琉斯射箭之前移动到箭射到的位置。
尽管看起来这种情况下箭无法射中目标，然而通过极限的思考，我们可以认识到，船的移动速度趋近于零、而箭射出的速度是有限的，所以当阿喀琉斯射箭的瞬间到来时，箭射中目标成为可能。
5. 芝诺悖论的启示芝诺悖论通过思考动态过程中的无限分割，揭示了我们的感官和直觉不能完全捕捉到真实世界的特性。
在现代数学中，通过引入极限、序列和无穷的概念，我们能够正式地处理芝诺悖论中的矛盾，并将其应用于数学推理中。
【总结】芝诺悖论作为古希腊数学史上的一颗明珠，挑战了人们对真实世界的直观理解。
通过极限的观点，我们可以解释亚基里斯赛跑和阿喀琉斯之舟这两个悖论，并在这个过程中进一步理解动态过程中的无限分割。
由a点到b点_芝诺悖论_二分法_概述说明以及解释
由a点到b点芝诺悖论二分法概述说明以及解释1. 引言:1.1 概述:在数学研究和推理过程中，常常会遇到一些看似简单却又充满深刻哲学意味的问题。
本文将介绍由a点到b点的路径上所涉及的芝诺悖论和二分法，通过对这两个概念的探讨，旨在揭示数学思维中的一些独特之处。
1.2 芝诺悖论:芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一个引人注目的问题，即“亚基里斯与乌龟”悖论。
虽然看似简单，但在实际计算中却存在着无限缩减距离、无限分割时间等颇具深意的问题。
我们将详细解释这个看似难以理解的悖论。
1.3 二分法:二分法是一种数学工具和思维方式，通过不断将整体分割为两部分，逐步求解目标问题。
在数值计算、搜索算法等领域广泛应用。
我们将介绍二分法的基本原理与应用，并结合实际案例展示其强大影响力和作用。
2. 点a到点b的表述:2.1 起始点a: 在数学和几何中，起始点a通常被认为是一个给定的位置或数值，用来表示某个过程或问题的起始状态或条件。
在本文中，起始点a将被假设为一个具体的初始位置或数值，用于描述从点a到点b的运动或变化过程。
2.2 终点b: 终点b是指从起始点a经过一系列步骤或操作后所到达的最终位置或结果。
在许多情况下，终点b代表了问题的解决方案、目标实现或过程结束的状态。
在我们探讨由起始点a到达终点b的过程中，终点b将被描述为一个具体而清晰的标记。
2.3 中间过程描述: 从起始点a到终点b往往需要经历一系列连续且有序的步骤和转换。
这些中间过程可能包括计算、移动、分割、逼近等操作，其中二分法作为一种有效且常用的方法，在该过程中发挥着重要作用。
通过详细描述这些中间过程，我们可以更好地理解并掌握由起始点a到达终点b的整个演变过程。
3. 芝诺悖论解释:3.1 定义和由来芝诺悖论是古希腊数学家芝诺提出的一种悖论，也被称为“亚基连多洛斯之箭”或“飞越者难题”。
这个悖论主要涉及到运动和时间的问题，表达了一个看似合理但却带有矛盾的思考方式。
芝诺悖论最简单解释
芝诺悖论最简单解释
芝诺悖论最简单解释
芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一种悖论，它表明了人类思维的局限性。
芝诺悖论的核心思想是：无限可分割的空间，无法被穿越。
这个悖论的简单解释如下：
假设有一个人要从点A走到点B，他必须先走到A的一半，然后再走到剩下一半的一半，再走到剩下一半的一半的一半……如此无限分割下去，他永远也无法到达点B。
因为每次走的距离都是有限的，但是分割的次数是无限的，所以他永远也无法到达终点。
这个悖论的实际应用非常广泛，例如在数学中，它可以用来证明一些定理，如无理数的存在性。
在物理学中，它可以用来解释一些现象，如光的传播和量子力学中的测量问题。
然而，芝诺悖论也引发了一些哲学上的思考。
它表明了人类思维的局限性，我们无法理解无限的概念。
同时，它也挑战了我们对时间和空间的认识，我们是否能够穿越无限的时间和空间？
总之，芝诺悖论是一个非常有趣的哲学问题，它挑战了我们对世界的
认识和理解。
虽然它看起来很抽象，但是它的实际应用非常广泛，我们可以从中学到很多有用的知识。
芝诺的二分法悖论该怎么理解？
芝诺的二分法悖论是一个古老的哲学悖论，在数学和哲学领域都有广泛的应用。
这个悖论的核心是，无论你如何分割一个线段，都可以继续无限地分割下去，直到分割成无限小的部分，这种无限的分割导致了一些奇怪的结果，比如说两个长度相等的线段，分割成无限小的部分后，它们的长度可能会不同。
这个悖论的一个经典例子是阿喀琉斯和乌龟的竞赛。
在这个竞赛中，阿喀琉斯要追上一只乌龟，但是在每个时刻，阿喀琉斯只能跑到乌龟当前所在位置的一半。
如果我们按照这个规则一直分割下去，那么阿喀琉斯永远也无法追上乌龟，因为每次跑的距离都是乌龟的一半，而乌龟也在不断地向前移动。
这个悖论的意义在于，它揭示了无限分割的局限性。
尽管我们可以一直分割下去，但是我们永远也无法得到一个完美的结果，因为这个过程是无限的，而我们的认知和计算能力是有限的。
这也是为什么在数学和哲学领域中，我们需要对无限分割进行一些限制和约束，以确保我们得到的结果是有意义的。
在数学中，我们通过引入极限的概念来解决无限分割的问题。
极限是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解无限分割的结果，并且在微积分和数学分析等领域中有广泛的应用。
在哲学中，芝诺的二分法悖论也引发了许多关于无限和有限的讨论，这些讨论对于我们理解世界的本质和限制也有一定的启示作用。
芝诺的二分法悖论揭示了无限分割的局限性，它提醒我们应该对无限分割进行适当的限制和约束，以确保我们得到的结果是有意义的。
这个悖论在数学和哲学领域中都有广泛的应用，它让我们更好地理解世界的本质和限制，也让我们更加谦逊地面对我们的认知和计算能力的局限性。
芝诺的二分法悖论揭示了无限分割的局限性，无论我们如何分割一个线段，都可以继续无限地分割下去，这种无限的分割导致了一些奇怪的结果。
这个悖论在数学和哲学领域中都有广泛的应用，它提醒我们应该对无限分割进行适当的限制和约束，以确保我们得到的结果是有意义的。
无限分割的局限性也让我们更加谦逊地面对我们的认知和计算能力的局限性。
芝诺悖论的极限分析
芝诺悖论的极限分析学生姓名：王慧文指导教师：岳进摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。
其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。
在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。
在哲学方面违反了辩证法的客观性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。
同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。
关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断引言：数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
运动只是假象，不动不变才是真实。
假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。
因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。
本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。
1、悖论对数学产生的作用1.1从悖论说起什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。
简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
阿基里斯追不上乌龟
一、芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛 中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面 追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须 到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已 经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里 斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已 经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样， 乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造 出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但时间的流 动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，加起来也 只是个常数而已——1秒。这就就是说：“芝诺悖论根本不存在。”
“芝诺时间”
第7讲芝诺悖论有限与无限
22
但康托不同意这一观点，他很愿意把 这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实 体。这就是实无限的观点。
康托的工作是划时代的，对现代数学产生了 巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔， 却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和 待遇都不太好。
17
2. 数学中的无限在生活中的反映
1 ）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）
2 ）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
18
3 ） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形
的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。 规则图形的面积→不规则图形的面积？
4
二、芝诺悖论
芝诺（前 490 ？—前 430 ？）是（南意 大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企 图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可 分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只 是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖 论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角 度看其中的一个悖论。
9
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
1
2
3
4
┅
k┅
↓↓ ↓ ↓┅
↓┅
2
46Biblioteka 8┅2k ┅
空下了奇数号房间
10
3. 客满后又来了一万个旅游团，每个
团中都有无穷个客人
1
2
3
4
┅
↓↓↓ ↓┅
10001 20002 30003 40004 ┅
k
┅
↓┅
10001×k ┅
芝诺悖论错在哪里
芝诺悖论错在哪里
时空是否可以无限分割芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时
间测度。
原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。
如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。
人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。
芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。
用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。
例如，当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面。
但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟，那么他跑完BC
只要6秒钟，跑完CD只需0.6秒，实际上，他只需要11/9分钟就可以追上乌龟了。
因此，芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。
在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。
这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。
芝诺悖论无穷级数解释
芝诺悖论无穷级数解释芝诺（zenoofelea）辩论（argument）——从量子的角度能得到完善的解决。
这里用无穷级数做些解释。
阿基里斯与乌龟接力赛问题：古希腊神话中善走的英雄阿基里斯和乌龟的接力赛，如果先使乌龟跳跃1000米后，再使阿基里斯回去冲乌龟，那么阿基里斯不可能将冲上乌龟。
芝诺辩论：因为在赛跑中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！从逻辑上谈上述辩论没任何问题，但似乎不合乎现实！无穷级数分析：设立乌龟的出发点为a1,阿基里斯的起跑点为a0，两者的间距为s1，乌龟的速度为v，阿基里斯的速度就是乌龟的100倍，即为100v.因为乌龟爬行到a2的时间与阿基里斯到达a1的时间相等，所以s2ss1，即s2 1.v100v100以此类推，sn1sn2s,sn n1，所以1001001sn100阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为：n1s1s s1s2s3sn21s1s11001s11001s110031s1100n1n123111s1110010010011001n11100100s1lim s1.n991100因此，从表面来看，阿基里斯在追上乌龟的过程中总走不回去，但模型分析排序所述当阿基里斯追到离起点100s1处时，已经追赶上了乌龟。
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芝诺悖论逐个解
芝诺悖论逐个解芝诺悖论逐个解李泽健摘要：芝诺悖论的实质是⼀种逻辑⽭盾，它暴露出的是还原论思想的缺陷，它揭⽰了还原论思想所包含的⽭盾，反映了还原论在运动和时空认识上存在的误区。
由于现代科学体系是在还原论思想的基础上建⽴起来的，所以现有的理论根本破解不了它，⼀切想⽤现有的理论体系去破解它的努⼒都只能是缘⽊求鱼。
芝诺悖论、恩格斯对运动的解释、克拉底鲁的“⼈连⼀次也不能踏进同⼀条河流”、相对论和量⼦⼒学与经典⼒学的⽭盾，等等，这些问题的实质都是⼀样的，只有⽤整体论的思想才能给它们以合理的解释。
关键词：还原论整体论运动时空芝诺悖论芝诺悖论是古希腊数学家芝诺提出来的⼀系列关于运动和多是不可能的哲学悖论，⽬前为我们⼤家所熟悉的主要有四个：飞⽮不动、阿基⾥斯追龟、游⾏队伍悖论、两分法悖论等等。
可以这样说，两千多年来⼈们对芝诺悖论⼏乎是束⼿⽆策的，尽管这期间⼈们也提出了各种各样的破解⽅法，但是到了最后还是发现并没有真正破解芝诺悖论。
在这⾥我们不⼀⼀列举这些破解⽅法，⽽只是介绍其中的两种⽅法：⼀种数学⽅法和⼀种哲学解释。
微积分能够破解飞⽮不动悖论吗？在证明飞⽮不动悖论的诸多⽅法中，最典型的⼀种就是微积分。
有许多⼈认为微积分已经破解了飞⽮不动悖论。
但事实果真是这样的吗？让我们来仔细分析⼀下⼀位⽹友所谓的证明：“所谓‘运动’（注：指机械运动），通常的理解是说物体在⼀定的时间间隔内有位移，所以必须要有⼀个时间间隔才能判断物体是否运动，单纯的⼀个‘时刻’，这是不能作为判断物体运动与否的依据的。
但是，通过建⽴极限概念，则可以判断物体在某时刻是否运动。
可以⽤数学语⾔表述如下：物体在某⼀时刻t，到另⼀时刻（t+△t），在这⼀时间间隔△t内的位移为△s，△s/△t谓之平均速度，当△t趋于0，就得到了物体在时刻t的即时速度。
如果即时速度不为0，则表明该物体在该时刻是运动的；如果为0，则表明该物体在该时刻是静⽌的。
”上⾯这种证明⽅法的核⼼是：运动物体在每个时刻都有瞬时速度，因为瞬时速度不为0，所以物体在每个时刻都是运动的。
试从高等数学角度探讨芝诺悖论
试从高等数学角度探讨芝诺悖论摘要：古希腊哲学家爱利亚的芝诺曾为了给巴门尼德的存在论辩护，提出了四个著名的悖论。
两千多年来，这四个悖论引起了无数学者的争论。
其中大部分是从哲学角度对其作出解释或反驳，笔者试图从近代数学（微分、积分、极限）的角度，来探讨芝诺的飞矢不动悖论。
关键词：芝诺悖论、微积分、飞矢不动、极限1.芝诺悖论的提出巴门尼德的本体论转向使同时代尚处于直观阶段的希腊人难以容忍：“存在”怎么可能是唯一的、不动的呢？因此其哲学理论一直不被当时的哲人接受。
他的弟子爱利亚的芝诺并没有提出什么独特的哲学理论，但是在全力为老师的存在论的辩护中，为逻辑学留下得意的一笔，同时也是哲学论证发展的里程碑。
芝诺的悖论(paradox)其实都运用了我们所说的反证法，他首先假设“多”和“运动”的存在，然后根据逻辑推出不合理的结论，从而反对“多”和“运动”，也就是维护了巴门尼德的“存在”的“唯一”和“不动”。
无论是亚里士多德的记述还是芝诺的残篇，其表述都带着20多个世纪以前希腊人的含混，我们可以用浅白的语言归纳一下他反对存在运动的几个悖论：最著名的是“阿基里斯追不上龟”。
阿基里斯前面不远有一只乌龟，他和乌龟同时向前跑，每当乌龟向前爬动一段距离，阿基里斯才追到乌龟刚才的出发点，所以，阿基里斯永远都只能追到乌龟的前一刻的出发点，永远追不上乌龟。
其次是“飞矢不动”。
飞矢（箭）在空中飞行是由无数个时间无限小的瞬间组成的，而在这无限小的时间里，飞矢的移动距离只能为0，最终这些为0的移动叠加的结果也是0。
所以飞矢不动。
在反对运动上，芝诺还有“二分法”和“运动场”的论证，前者和阿基里斯追不上龟相似，后者具有明显的诡辩（或者用简单的近代物理中的相对运动原理，即可消解之，本文不表）。
2.传统对芝诺悖论的解释和批驳传统思想家对芝诺悖论的解释，多从哲学角度出发。
第一，从独断论的角度出发。
例如阿里士多德认为芝诺是错的，因为“时间并不是由不可分的瞬间组成的”。
芝诺悖论的认识
芝诺悖论的认识芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一个著名的逻辑悖论。
它通过一个巧妙的思维实验，揭示了时间和空间的悖论，给人们的思维带来了极大的困惑。
这个悖论的思考实验是这样的：假设有一条无限长的赛道，在这条赛道上，静止不动的阿基里斯要追赶一只悖论乌龟。
为了给乌龟一个机会，阿基里斯必须先给乌龟一个领先的位置。
假设乌龟在起跑线上跑了10米，阿基里斯开始追赶。
然而，在阿基里斯追上乌龟之前，乌龟又向前移动了1米。
当阿基里斯再次追赶时，乌龟又向前移动了0.1米。
如此循环下去，无论阿基里斯多快，乌龟总能在阿基里斯追上之前，再向前移动一段距离。
因此，阿基里斯永远也追不上乌龟。
这个思维实验看似简单，但却引发了人们对时间和空间的思考。
按照常理，阿基里斯追得越来越近，最终应该能追上乌龟。
然而，芝诺悖论却告诉我们，无论阿基里斯多么努力，乌龟总能再向前移动一段距离，导致阿基里斯永远也无法追上乌龟。
这个悖论揭示了时间和空间的一种奇特性质。
在这个实验中，无论阿基里斯多么努力，他总是无法追上乌龟。
这种情况下，时间和空间被划分成了无数个无限小的部分，无论阿基里斯运动多快，乌龟总能在阿基里斯接近的同时再向前移动一段距离。
这种无限分割的过程，使得阿基里斯永远也无法追上乌龟。
这个悖论引发了人们对运动和空间的思考。
传统上，人们认为时间和空间是连续的，可以被无限分割。
然而，芝诺悖论却告诉我们，即使是无限小的分割，也可以导致无法追上的结果。
这对我们对运动和空间的理解提出了挑战。
芝诺悖论的出现让人们意识到，人类的思维有时会陷入矛盾和困惑之中。
我们常常通过逻辑和推理来解决问题，但有时候，逻辑自身却会出现悖论。
这让我们反思思维的局限性和不完备性，也提醒我们在思考问题时要多角度、多维度地思考，不仅仅局限在传统的逻辑框架中。
在面对芝诺悖论时，我们不应该陷入无限循环的思维中。
相反，我们应该意识到人类思维的局限性，尝试从不同的角度去思考问题，以寻找可能的解决方法。
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芝诺悖论的极限分析学生姓名：王慧文指导教师：岳进摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。
其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。
在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。
在哲学方面违反了辩证法的客观性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。
同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。
关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断引言：数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
运动只是假象，不动不变才是真实。
假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。
因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。
本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。
1、悖论对数学产生的作用1.1从悖论说起什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。
简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。
悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础之中深刻地揭露出该理论体系中的无法回避的矛盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。
1.2数学悖论及其引发的是三次数学危机数学悖论作为悖论的一种，主要产生在数学研究中。
数学悖论，是指在数学领域中既有数学规范中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾能够在新的数学规范中得到解决。
数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。
这些矛盾促使数学的大发展，数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的。
1.2.1第一次数学危机的产生及其影响希帕索斯悖论导致数学史上的第一次危机。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯发现等腰直角三角形一斜边与直角边的比不能归结为整数或整数之比[2]，这一发现严重地触犯了毕达哥拉斯学派的信条，在当时它直接导致了认识上的危机，希帕索斯的这个发现史称希帕索斯悖论，从而引发了数学史上的第一次危机。
在那以前，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为在当时占统治地位的数学规范，希帕索斯发现的无理数，披露了原有数认识，学规范的局限性，由此看来，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误造成的。
希帕索斯的发现，促使人们对无理数的认识，也告诉人们直觉和经验不一定是对的，而推理和证明才是可靠的。
但是，由于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派及此后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，从而开始了几何优先发展的时期，在此后多年，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。
1.2.2第二次数学危机的产生及其影响第二次数学危机主要涉及微积分理论，而其理论基础是建立在无穷小分析之上的在实际应用中，无穷小分析必须既是零，又不是零，以求速度为例，瞬时速度是△s/△t，当△t变成零时的值。
△t既等于零又不等于零,当时的英国大主教对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击，他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的结果实际上是依靠双重错误得到不科学却正确的结果这是因为错误互相抵偿的缘故在数学史上，称之为贝克莱悖论[3]。
这一悖论的发现，导致了数学史上的第二次危机，引起人们对微积分基础理论的争论。
贝克莱悖论提出以后许多著名数学家试图把微积分重新建立在可靠的基础之上，法国数学家柯西建立起以极限为基础的现代微积分体系，但柯西的体系仍有尚待改进处，比如他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西，缺乏实数理论，法国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，首次用-εδ方法叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续导数、和积分等，建立了该学科的严格体系。
1.2.3三次数学危机的产生及其响严格的实数理论和极限理论的建立，上述两次数学危机得到了解决，但是，由于严格的实数理论和极限理论都是以集合论为基础的，因而由集合论悖论所导致的第三次危机可以看作是前两次危机的继续与深化，它所涉及的问题比前两次更为广泛，因而危机感也更为深刻。
1902年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872－1970）宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性史称罗素悖论，罗素悖论的发现，从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性，于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机[4]。
为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力，由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派，以布劳威尔为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派，这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段，三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支证明论等的形成上。
由上述数学悖论所引起的数学史上的三次危机，都是数学深入发展的结果，许多数学家为消除危机作了不懈的努力，这些努力促进了数学的发展，促进了数学基础的研究，对数学悖论的认识实际上是对数学这一科学历史局限性的认识，因而解决数学悖论的过程则是发展认识并超载这种历史局限性的过程，正如黑格尔所说：“矛盾正是对知性的局限性的超越和这种局限性的消解”。
在数学和逻辑史上，每一次悖论的发现和相对解决，都推进了数学和逻辑的发展。
2、芝诺悖论的内容及实质2.1二分法芝诺说:“运动没有真理性,运动者在到达目标以前必须走过空间一半。
”一半的空间又有其一半,所以运动者首先又须到达这一半的一半,如此类推,以至无穷。
这就使得运动者甚至连动都不能动。
任何人当然都可以一言不发地站起来走来走去,用行动来宣布运动是真实存在。
悖论是以空间的无限可分为基础的。
用现在的数学概念来解说,则悖论中对空间“一半一半”地分割如此进行下去,会在靠近物体的出发点处得到一个以零为极限的“无穷小量”。
于是悖论中包含的矛盾可以表述为:一方面我们要求分割得到的无穷小量能够达到零,好让运动从它的起点开始,换句话说,只有这个无穷小量最终达到了零,我们才会认为运动在一瞬间开始时不是在做“跳跃”(意味着速度无穷大);另一方面我们又要求这个无穷小量不能达到零,否则,无穷多个零怎么能构成有限的长度?这种自相矛盾的境地,就是我们承认空间无限可分产生的悖论。
2.2阿基里斯两个物体朝着同一方向运动,其中一个运动得较慢,但是走在前面,另一个运动得较快,追赶着前面的物体。
芝诺说:“那走得慢的物体永远不会为那走得较快的追赶上。
”因为当第二个到达第一个的出发点的时候,第一个已经前进了,留下一段新的空间,这又需要第二个花费一定分时间才能走过,依此类推,以至无穷。
这个论证通常被说成是阿基里斯追赶乌龟的赛跑。
这样就会出现与第一个悖论中类似的矛盾:一方面我们要求这个无穷小量达到零,好让阿基里斯追上目标;另一方面我们又要求这个无穷小量不能为零,否则无穷多个零怎么能够组成一段时间呢?因此可以从根本上被归结为同样一个问题:无穷小量到底能不能等于零?这也是数学史上长期争论的的重大基础理论问题。
“因此首先我们且承认点和瞬间,并与这个较简单的或至少熟悉的假设和联系来考察这些问题”[5]。
3、芝诺悖论的辨析3.1芝诺二分法悖论的数学极限辨析运动着的物体要到达终点，首先必须经过路途的一半，为此它又必须先走完这一半的一半，以此类推，以至无穷。
假如承认有运动，这运动着的物体连一个点也不能越过。
这个论证过程可以还原如下：（1）任何运动都是从一个地点到达另外一个地点；因此，如果证明了不可能从任何一个地点到达另外一个地点，那就证明了不可能有运动。
（2）如果一个地点与另外一个地点之间的距离是无穷的，那就不可能从一个地点到达另外一个地点。
（3）以上两点结合证明，如果任何一个地点与另外一个地点之间的距离都是无穷的，那就不可能有运动。
（4）任何两地点间的距离都总是可以无穷地分解下去，也就是可以分为无穷多个无穷小的距离，这个事实说明，任何一个地点与另外一个地点之间的距离都是无穷的。
（5）以上两点结合，得出最终结论，运动总不可能。
的确，表面上每一个步骤都可接受，似乎都是正确的。
假若接受了（4），即所有的距离都是“无穷”的，那么“有穷”的距离就不存在了，即根据我们千百次的反复经验凝结而成的常识，难道任何情况下都不可能走完？而如果走完是可能的，那我们还可能同时接受（2）么？假如接受了（2），即“无穷”的距离都不可能走完，那么像“半寸”、“一尺”、“两米”这类有着确定数量和确定度量单位的距离，我们还能够真心诚意地把它们归入“无穷”距离这个范畴中去么？如果不可能归入，那么我们还可能同时接受（4）么？可见，按照我们的“常识”，（2）与（4）想要同时成立，它们中的“无穷”概念就不可能是同一的，因此，如果我们居然认为它们两者的结合可以推出确定的结论，那么必然违反同一律；而要不违反同一律，我们就必须承认它们两者之一不可接受。
既然一个论证中至少有一个不可或缺的前提，因为与我们的客观经验不符而不被我们认可。
在常识中，我们有“无穷是走不完的”这样的说法，也有“一个距离无论长短，都可以不断分解为无穷多个无穷小的距离”这样的想法。
并且，两者中的“无穷”，单纯地看数量，也都并非一个确定的数值，芝诺正是利用这一点，故意完成他那表面上看起来完美无缺的论证。
其实，深入下去就会发现，常识的两个说法中，“无穷”有着根本的差异。
实际上，关于无穷小量在19世纪由柯西等数学家解决：无穷小量自身不为零，但其极限为零[6]。
我们知道长跑家匀速从一点出发跑到另一点，跑完全程。
首先，他要跑完路程的前一半，再跑剩下一段的前一半，再跑剩下的前一半的一半，以致无穷。
假设所需的时间为：+24816T T T T T ++++这个加法不可完结，无穷个数相加，长跑家永远跑不到终点，但实际经验告诉我们，若等速行进，设跑一半路程的时间为T ，则跑完全程需要2T 时间。