2015上海高三一模计算题4
2015上海高考徐汇数学一模参考答案
解得： 4 < t < 5 ……………………..10’ (3) 由于 {d 2 n −1 }的序数列单调递减，因此 {d 2 n −1 }是递增数列，故 d 2 n +1
t 5 < ， 2 2
− d 2 n−1 > 0 ，于是
(d 2 n+1 − d 2 n ) + (d 2 n − d 2n−1 ) > 0 ，
!!! " !!! "
!!! " !!! "
⎣
⎦
（3） （解法一）由条件得，
y1 y2 1 = − 2 ，……………………..11’ x1 x2 a
2
平方得 x1 x2 = a y1 y2 = (a − x1 )(a − x2 ) ,
2 2 4 2 2 2 2 2 2
即 x1 + x2 = a ……………………..12’
4 1 ( −1) n + ⋅ n −1 ( n ∈ N * )……………………..18’ 3 3 2
即数列 {d n } 的通项公式为 d n =
4
在 ΔPOP 中， PP 3OP = 1 = 1
得 P ( ma − na, m + n ) ……………………..2’
1 = 1，即 m2 + n 2 = ……………………..4’ 2 !!! " !!! " （2）设 Q ( x, y )，则 QS ⋅ QR = ( 3a − x , − y ) ( − a − x , − y )
3 2
10.
π
6
12.
−3
13.
3
58024
二、选择题： （每题 5 分） 15. B 16. C 17. C 18. B
2015上海数学各区一模试题归类
2015 上海数学各区一模试题归类第一部分 选择题一、 二次函数1. （徐汇）将抛物线22y x =-向右平移一个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的表达式为（ ）A. 22(1)2y x =--+；B. 22(1)2y x =---；C. 22(1)2y x =-++；D. 22(1)2y x =-+-；2. （徐汇）已知二次函数222y ax x =-+（0a >），那么它的图像一定不经过（ ）A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限；3. （六区）将抛物线2(1)y x =-向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）A. 2(1)y x =+；B. 2(3)y x =-；C. 2(1)2y x =-+；D. 2(1)2y x =--；4. （六区）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h （米）和运行时间t （秒）的函数解析式为25101h t t =-++，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）A. 1米；B. 3米；C. 5米；D. 6米；5. （崇明）如果二次函数2y ax bx c =++的图像如图1-1-1，那么下列判断中，不正确的是（ ）A. 0a >B. 0b >C. 0c <D. 240b ac ->6. （崇明）将二次函数2x y =的图像向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图像的函数 表达式为（ ）A. 2(1)1y x =++B. 2(1)1y x =+-C. 2(1)1y x =-+D. 2(1)1y x =--7. （长宁）抛物线22212,2,2y x y x y x ==-=共有的性质是（ ） A. 开口向下; B. 对称轴是y 轴 C. 都有最低点 D. y 的值随x 的增大而减小8. （嘉定）对于抛物线2)2(-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 顶点坐标是)0,2(；B. 顶点坐标是)2,0(；C. 顶点坐标是)0,2(-；D. 顶点坐标是)2,0(-．9. （嘉定）已知二次函数bx ax y +=2的图像如图1-1-2所示，那么a 、b 的符号为（ ）A. 0>a ，0>b ；B. 0<a ，0>b ；C. 0>a ，0<b ；D. 0<a ，0<b ．1-1-1 y x O O xy 1-1-2O x yO x y O x y O x y 10.（奉贤）抛物线221x y -=的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(0，－2) ； B ． (0，2)； C ．(－2，0)； D ．(2，0)．11.（虹口）已知点，均在抛物线上，下列说法中，正确的是（ ）A ．若，则；B ．若，则；C ．若，则；D ．若，则．12.（虹口）二次函数（a 为常数）的图像如图1-1-3所示，则的取值范围为（ ）A ． ；B ．；C ． ；D ．．13.（金山）抛物线122+=x y 的顶点坐标是（ ）A. )1,2(；B. )1,0(；C. )0,1(；D. )2,1(． 14.（金山）已知反比例函数)0(≠=a xa y ，当0 x 时，它的图像y 随x 的增大而减小，那么二次函数 ax ax y -=2 的图像只可能是（ ）A. B. C. D.15.（闸北）在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是 （ ） A. 2x y =； B. 21xy =； C. 2kx y =； D. x k y 2=． 16.（普陀）如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图1-1-4，那么（） A. 0a <，0b >，0c >； B. 0a >，0b <，0c >；C. 0a >，0b <，0c <；D. 0a >，0b >，0c <；二、 比例线段1.（徐汇） 如图1-2-1，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果:BE BC =2:3，那么下列各式错误的是（ ）A. 2BE EC =；B. 13EC AD =；C. 23EF AE =；D. 23BF DF =； 2. （六区）如图1-2-2，已知AB ∥CD ∥EF ，:3:5AD AF =，12BE =，那么CE 的长等于（ ） A. 2； B. 4； C. 24； D. 365；FA CB E1-2-1 1-2-3B C D E y x O 1-1-4yx O3. （崇明）已知52a b =，那么下列等式中，不一定正确的是 （ ） A. 25a b = B. 52a b = C. 7a b += D. 72a b b += 4. （宝山）如图1-2-3，△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，下列判断错误 的是（ ）A. AD AE DB EC =；B. AD DE DB BC =；C. AD AE AB AC =；D. AD DE AB BC=； 5. （嘉定）如图1-2-4，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ， 2:1:=DO AO ，那么下列式子正确的是（ ）A. 2:1:=BC BO ；B. 1:2:=AB CD ；C. 2:1:=BC CO ；D. 1:3:=DO AD ．6. （奉贤）已知y x 23=，那么下列等式一定成立的是（ ）A ．3,2==y x ；B ．23=y x ；C ．32=y x ； D ．023=+y x ． 7. （闸北）如果点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长，交对边BC 于点D ，那么AG ︰AD 是（ ）A. 2︰3 ；B. 1︰2；C. 1︰3 ；D. 3︰4． 8. （闸北）已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，下列给出的条件中，不能判定DE ∥B C 的是（ ）A. BD ︰AB ＝ CE ︰AC ；B. DE ︰BC ＝ AB ︰AD ；C. AB ︰AC ＝ AD ︰A E ；D. AD ︰DB ＝ AE ︰EC ．9. （普陀）如图1-2-5，直线1l ∥2l ∥3l ，两直线AC 和DF 与1l ，2l ，3l 分别相交于点A 、B 、C 和 点D 、 E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（ ）A. AB DE BC EF =；B. AB DE AC DF =；C. AD BE BE CF =；D. EF BC FD CA=；三、 相似三角形1. （徐汇）如图1-3-1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）A B C D O 1-2-4 1-2-5 F E D C B A l 1l lA. BAC ADC ∠=∠；B. B ACD ∠=∠；C. 2AC AD BC =⋅；D. DC AB AC BC =； 2. （徐汇）如图1-3-2，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ， 如果:1:4AE EC =，那么:ADE BEC S S ∆∆=（ ）A. 1:24；B. 1:20；C. 1:18；D. 1:16；3. （六区）如图1-3-3，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2BC AD =，如果对角线AC 与BD 相交 于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作1S 、2S 、3S 、4S ，那么下列结论 中，不正确的是（ ）A. 13S S =；B. 242S S =；C. 212S S =；D. 1324S S S S ⋅=⋅；4. （崇明）如图1-3-4 ，点D 、E 、F 、G 为ABC ∆两边上的点，且DE FG BC ∥∥，若DE 、FG 将ABC∆的面积三等分，那么下列结论正确的是（ ）A. 14DE FG =B. 1DF EG FB GC ==C. 32AD FB =+D. 22AD DB = 5. （长宁）如果两个相似三角形的面积比是1:6，那么它们的相似比是（ ）A ．1:36 B.1:6 C. 1:3 D. 1: 66. （长宁）如图1-3-5，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DE M ∽△ABC （点D 和点A 对应，点B 和E 对应），则点M 对应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ）A. FB. GC. KD. H7. （虹口）如图1-3-6，∠BAD =∠CAE ，添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠B =∠D ； B ．∠C =∠AED ； C ．； D ．．8. （虹口）如图1-3-7，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若，则的值为（ ）A ．；B ．；C ．；D ．．9. （金山）已知ABC ∆∽DEF ∆，点A 、B 、C 对应点分别是D 、E 、F ，4:9:=DE AB ，那么1-3-1 A C B D A B C D E 1-3-2 1-3-3 S 3S 4S 2S 1O A C B D 1-3-4 A B C D E F G 1-3-5 A B C E D 1-3-6 AB C E D 1-3-7 ODEF ABC S S ∆∆:等于（ ）A. 3:2；B. 9:4；C. 16:81；D. 81:16．10.（闸北）如图1-3-8，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米． 他继续往前走3米到达点E 处（即CE ＝3米），测得自己影子EF 的长为2米．已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 是（ ）A. 4.5米；B. 6米；C. 7.2米；D. 8米．11.（普陀）用一个2倍放大镜照一个△ABC ，下面说法中错误的是（ ）A. △ABC 放大后，是原来的2倍；B. △ABC 放大后，各边长是原来的2倍；C. △ABC 放大后，周长是原来的2倍；D. △ABC 放大后，面积是原来的4倍；四、 直角三角形锐角比1. （徐汇）已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（ ） A. 7sin α； B. 7cos α； C. 7tan α； D. 7cot α；2. （六区）如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ）A. 都扩大到原来的2倍；B. 都缩小到原来的12； C. 都没有变化； D. 都不能确定；3. （六区）已知在△ABC 中，AB AC m ==，B α∠=，那么边BC 的长等于（ ）A. 2sin m α⋅；B. 2cos m α⋅；C. 2tan m α⋅；D. 2cot m α⋅； 4. （崇明）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中不一定 成立的是（ ）A. tan b a B =B. cos a c B =C. sin ac A = D. cos a b A =5. （宝山）如图1-4-1，在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，2AC =）A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. 2cot 2A =；D. 2tan 2A =；1-4-11-3-8 AD6. （长宁）在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，AC =3，BC =4，那么∠A 的余弦值等于（ ）A ．35 B. 45 C. 34 D. 437. （嘉定）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，下列等式中正确的是（ ）A. c a A =cos ；B. b c B =sin ；C. b a B =tan ；D. ab A =cot ． 8. （奉贤）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A ＝32； B ．tan A ＝12； C ．cos B ＝32； D ．tan B ＝3． 9. （奉贤）一斜坡长为10米，高度为1米，那么坡比为（ ）A ．1：3；B ．1：31； C ．1：10； D ．1：1010． 10.（虹口）在Rt △ABC 中，，AC=5，BC=13，那么的值是（ ）A ． ；B ．；C ．；D ．．11.（金山）在ABC Rt ∆中, ︒=∠90C ，3,5==BC AB ，那么A sin 的值等于（ ）A. 43；B. 34；C. 53；D. 54． 12.（闸北）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 与∠C 的对边分别是a 、b 和c ，那么下列关系中， 正确的是（ ）A. cos A ＝c a ；B. tan A ＝a b ；C. sin A ＝c a ；D. cot A ＝ba ． 13.（普陀）在Rt △ABC 中，已知90ACB ∠=︒，1BC =，2AB =，那么下列结论正确的是（ ）A. 3sin 2A =； B. 1tan 2A =； C. 3cos 2B =； D. 3cot 3B =；五、 平面向量1. （宝山）已知非零向量a 、b 、c ，下列命题中是假命题的是（ ）A. 如果2a b =，那么a ∥b ；B. 如果2a b =-，那么a ∥b ；C. 如果||||a b =，那么a ∥b ；D. 如果2a b =，2b c =，那么a ∥c ； 2. （嘉定）已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）A. a =b 2-；B. c a =，c b 3=；C. c b a =+2，c b a -=-；D. b a =．3. （虹口）如果，，且，那么与是（ ）A ．与是相等向量；B ．与是平行向量；C ．与方向相同，长度不同；D ．与方向相反，长度相同．4. （闸北）下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）A. AB ＝－BA ；B. ︱AB ︱＝︱BA ︱；C. AB ＋BC ＝AC ；D. ︱AB ＋BC ︱＝︱AB ︱＋︱BC |．5. （普陀）下列判断错误的是（ ）A. 00a =；B. 如果12a b =（b 为非零向量），那么a ∥b ； C. 设e 为单位向量，那么||1e =； D. 如果||||a b =，那么a b =或a b =-；六、 圆1. （崇明）下列说法正确的是 （ ）A. 相切两圆的连心线经过切点B. 长度相等的两条弧是等弧C. 平分弦的直径垂直于弦D. 相等的圆心角所对的弦相等2. （宝山）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（ ）A. 这两条弦所对的圆心角相等；B. 这两条线弦所对的弧相等；C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分；D. 这两条弦所对的弦心距相等；3. （宝山）已知圆O 半径为3，M 为直线AB 上一点，若3MO =，则直线AB 与圆O 的位置关系 为（ ）A. 相切；B. 相交；C. 相切或相离；D. 相切或相交；4. （长宁）已知两圆半径分别是3和4，若两圆内切，则两圆的圆心距为（ ）A. 1或7B. 1C. 7D. 25. （嘉定）在△ABC 中，︒=∠90C ，cm AC 3=，cm BC 4=．以点A 为圆心，半径为cm 3的圆记作 圆A ，以点B 为圆心，半径为cm 4的圆记作圆B ，则圆A 与圆B 的位置关系是（ ）A. 外离；B. 外切；C. 相交；D. 内切.6. （奉贤）在直角坐标平面中，M （2，0），圆M 的半径为4 ，点P （-2，3）与圆M 的位置关系是（ ）A ．点P 在圆内；B ．点P 在圆上；C ．点P 在圆外；D ．不能确定．7. （奉贤）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）A ．相等弦所对的弧相等；B ．相等弦所对的圆心角相等；C ．相等圆心角所对的弧相等；D ．相等圆心角所对的弦相等．8. （金山）正多边形的中心角是36º，那么这个正多边形的边数是（ ）A. 10；B. 8；C. 6；D. 5．9. （金山）已知⊙M 与⊙N 的半径分别为1和5，若两圆相切，那么这两圆的圆心距MN 的长等于（ ）A. 4；B. 6；C. 4或5；D. 4或610.（普陀）下列命题中，正确的个数是（ ）（1）三点确定一个圆； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等； （4）正五边形是轴对称图形；A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个；七、 综合1. （宝山）如图1-7-1边长为3的等边△ABC 中，D 为AB 的三等分点（12AD BD =），三角形边上的 动点E 从点A 出发，沿A C B →→的方向运动，到达点B 时停止，设点E 运动的路程为x ，2DE y =，则y 关于x 的函数图像大致为（ ）A. B. C. D. 2. （长宁）如图1-7-2，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动的 过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图 象大致为图中的( )A. B. C. D.第二部分 填空题一、 二次函数1. （徐汇）抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是 ；2. （徐汇）二次函数245y x x =--的图像的对称轴是直线 ；3. （徐汇）若点1(3,)A y -、2(0,)B y 是二次函数22(1)1y x =--图像上的两点，那么1y 与2y 的 大小关系是 （填12y y >，12y y =或12y y <）；4. （六区）二次函数2253y x x =--+的图像与y 轴的交点坐标为 ；5. （六区）如果抛物线2(3)5y a x =+-不经过第一象限，那么a 的取值范围是 ；6. （六区）已知二次函数的图像经过点(1,3)，对称轴为直线1x =-，由此可知这个二次函数的图像一 1-7-1A B C DE 1-7-2定经过除点(1,3)外的另一点，这点的坐标是 ； 7. （崇明）如果二次函数22(1)51y m x x m =-++-的图像经过原点，那么m = ；8. （崇明）抛物线221y x =-在y 轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）；9. （崇明）如果将抛物线23y x =平移，使平移后的抛物线顶点坐标为(2,2)，那么平移后的抛物线的表达 式为 ；10.（崇明）已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,5)A 、(4,5)B ，那么此抛物线的对称轴是 ；11.（宝山）抛物线2(3)4y x =--+的对称轴是 ；12.（宝山）不经过第二象限的抛物线2y ax bx c =++的开口方向向 ；13.（宝山）已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 为函数22(1)3y x =--+的图像上的两点，若121x x >>， 则1y 2y ；14.（长宁）抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是________；15.（长宁）抛物线223y x =-向左移动3个单位后所得抛物线解析式是________；16.（长宁）已知二次函数227y x x =+-的一个函数值是8，那么对应自变量x 的值是_________.17.（长宁）已知二次函数2(1)2y ax a x =-+-，当x >1时，y 的值随x 的增大而增大，当x <1时，y 的值 随x 的增大而减小，则实数a 的值为_________.18.（长宁）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长 率都是x ，则该厂今年第三月新品研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y =_________.19.（嘉定）如果函数2)1(x a y -=是二次函数，那么a 的取值范围是 ；20.（嘉定）在平面直角坐标系中，如果把抛物线22+=x y 向上平移2个单位，那么所得抛物线的 表达式为 ．21.（嘉定）已知抛物线122-+=x x y 的对称轴为l ，如果点)0,3(-M 与点N 关于这条对称轴l 对称， 那么点N 的坐标是 ．22.（嘉定）请写出一个经过点)1,0(，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的 表达式可以是 ．23.（奉贤）一个矩形的周长为16，设其一边的长为x ，面积为S ，则S 关于x 的函数解析式是 ；24.（奉贤）如果抛物线12-+=mx x y 的顶点横坐标为1,那么m 的值为 ；25.（奉贤）已知抛物线经过点(5,-3),其对称轴为直线x =4，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ；26.（奉贤）已知抛物线2)1(2++=x a y 过（0，y 1）、（3，y 2），若y 1> y 2,那么a 的取值范围是 ；27.（虹口）抛物线与y 轴交点的坐标为 ．28.（虹口）抛物线向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ．29.（虹口）若抛物线的对称轴是直线，则 .30.（虹口）请你写出一个．．b 的值，使得函数，在时，y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ▲ .31.（金山）将抛物线11-22+=）（x y 向上平移3个单位，那么平移后得到的抛物线的解析式是 32.（闸北）如果抛物线2)1(x m y -=的开口向上，那么m 的取值范围是 ．33.（闸北）将抛物线5)3(2+--=x y 向下平移6个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为 ．34.（闸北）已知抛物线经过A （0，－3）、B （2，－3）、C （4，5），判断点D （－2，5）是否在该抛物线 上．你的结论是： （填“是”或“否”）．35.（普陀）二次函数223y x x =--的图像与y 轴的交点坐标是 ；36.（普陀）如果将抛物线22y x =-平移，使顶点移到点(3,1)P -的位置，那么所得新抛物线的表达式 是 ；37.（普陀）用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x 厘米，面积为y 平 方厘米，写出y 关于x 的函数解析式： ；二、 比例线段1. （徐汇）如果53a b =，那么a b a b-+的值等于 ； 2. （徐汇）如图2-2-1，若1l ∥2l ∥3l ，如果6DE =，2EF =， 1.5BC =，那么AC = ；3. （徐汇）如图2-2-2，△ABC 中，90BAC ∠=︒，G 点是△ABC 的重心，如果4AG =，那么BC 的长为 ；4. （六区）已知4y =，那么22x y x y-=+； 5. （六区）已知线段4a cm =，9b cm =，那么线段a 、b 的比例中项等于cm ；6. （六区）如图2-2-3，已知,D E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，2AE =，3CE =， 2-2-2 2-2-3要使DE ∥AB ，那么:BC CD 应等于 ；7. （六区）已知点G 是面积为227cm 的△ABC 的重心，那么△AGC 的面积等于 ；8. （崇明）已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >，如果2AB =cm ，那么线段AP = cm ； 9. （崇明）如图2-2-4，已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，点G 为重心，GH BC ⊥，垂足为点H ， 那么GH = 10.（宝山）线段b 是线段a 和c 的比例中项，若1a =，2b =，则c = ； 11.（长宁）已知线段a =2c m ，c =8c m ，则线段a 、c 的比例中项是_________c m ；12.（嘉定）已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且1=a ，4=c ，那么=b ． 13.（奉贤）△ABC 中,∠C =90°,G 为其重心,若CG =2,那么AB = ；14.（奉贤）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形,叫做黄金矩形,从外形上看，它最具美感，现在要制 作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边长等于 厘米； 15.（虹口）若，则 .16.（虹口）如图2-2-5，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线、于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果 AD =6，DF =3，BC =5，那么BE = ． 17.（金山）已知23x y =，那么=+-y x yx ； 18.（金山）如图2-2-6，已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，若4=AD ,2=BD ，3=DE ，那么=BC19.（闸北）已知y x ＝25，则yyx -的值是 ． 20.（闸北）如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，那么APBP的比值是 ． 21.（闸北）如图2-2-7，在平行四边形ABC D 中，点E 在BC 边上，且CE ︰BC ＝2︰3，AC 与DE 相交于 点F ，若S △AFD ＝9，则S △EFC ＝ ．2-2-4 ABCH G·2-2-5B AC D EF2-2-6BCDE2-2-7A B CEF 2-2-822.（普陀）已知:5:2x y =，那么():x y y += ；23.（普陀）如图2-2-8，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ， 如果3AD =，4BD =，2AE =，那么AC = ；24.（普陀）已知线段MN 的长为2厘米，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长 是 厘米；三、 相似三角形1 . （徐汇）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ；2. （崇明）如果两个相似三角形的面积比为1:4，那么它们的周长比为 ；3. （宝山）两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为 ；4. （宝山）已知△ABC 的三边之比为2:3:4，若△DEF 与△ABC 相似，且△DEF 的最大边长为20， 则△DEF 的周长为 ；5. （宝山）如图2-3-1，D 为等边△ABC 边BC 上一点，60ADE ∠=︒，交AC 于E ，若2BD =，3CD =， 则CE = ；6. （长宁）如图2-3-2，已知AD 是△ABC 的中线，G 是△ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点E ，联 结DE ，则S △ABC ：S △GED 的值为_________.7. （嘉定）如果两个相似三角形的周长比为2:1，那么它们的对应中线的比为 ．8. （嘉定）如图2-3-3，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，射线AE 交DC 的延长线于F ，2=AB ，EC BE 3=，那么DF 的长为 ．9. （奉贤）如图2-3-4,P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,E 、F 分别为PB 、PC 的中点,若△PEF 的 面积为3,那么△PDC 与△P AB 的面积和等于 ；10.（虹口）如图2-3-5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点G 是△ABC 的重心，如果AC=， AG =2， 那么AB= ．11.（虹口）如图2-3-6，如果△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上）， 那么 的值为 ．C 2-3-5D A B G 2-3-4 2-3-1 B DE 2-3-2 GED C B A A C DE 2-3-3C A B2-3-6E DF C A B D F G2-3-712.（闸北）如图2-3-7，正方形DEFG 内接于Rt △ABC ，∠C ＝90°，AE ＝4，BF ＝9 ，则tan A ＝ ． 13.（闸北）如图2-3-8，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，点P 是AD 边上一点，联结PB 、PC ，且PD AP AB ⋅=2，则图中有 对相似三角形．14.（普陀）我们定义：如果一个图形上的点A '、B '、...、P '和另一个图形上的点A 、B 、...、P 分别 对应，且满足：（1）直线AA '、BB '、...、PP '都经过同一点O ；（2）...OA OB OP k OA OB OP'''====， 那么这两个图形叫做位似图形，点O 叫做位似中心，k 叫做位似比，如图2-3-9，在平面直角坐标系中， △ABC 和△A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且OB BB '=，如果点5(,3)2A ，那么点A '的坐标为 ；四、直角三角形锐角比1. （徐汇）计算：cot30sin60︒-︒= ；2. （徐汇）如图2-4-1是拦水坝的横断面，斜坡AB 的高度为6米，斜面的坡比为1:2， 则斜坡AB 的长为 米（保留根号）；3. （徐汇）如图2-4-2，已知4tan 3O =，点P 在边OA 上，5OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =， 如果2MN =，那么PM = ；4. （六区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果6AB =，2cos 3A =，那么AC = ； 5. （六区）如图2-4-3，当小杰沿着坡度1:5i =的坡面由B 到A 直行走了26米时，小杰实际上升的高度i = 1:2BDAEC2-4-1NPA M2-4-22-4-3ACB2-3-8ABDP2-3-9AC = 米（结论可保留根号）6. （六区）已知不等臂跷跷板AB 长为3米，当AB 的一端点A 碰到地面时（如图2-4-4），AB 与地面的夹角为30°；当AB 的另一端点B 碰到地面时（如图2），AB 与地面的夹角的正弦值为13，那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH = 米7. （崇明）某飞机的飞行高度为1500m ，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与这地面控制 点的距离为 m ．8. （崇明）如图2-4-5，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD 宽5米，坝高10米，斜坡CD 的坡角为45︒， 斜坡AB 的坡度1:1.5i =，那么坝底BC 的长度为 米．9. （宝山）在△ABC 中，3cot 3A =，3cos 2B =，那么C ∠= ； 10.（宝山）B 在A 北偏东30°方向（距A ）2千米处，C 在B 的正东方向（距B ）2千米处，则C 和A 之间的距离为 千米；11.（长宁）如图2-4-6所示，铁路的路基横断面都是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1:3，斜坡AB 的水平 宽度BE =33m ，则斜坡AB =_________m. 12.（嘉定）在△ABC 中，︒=∠90C ，1312sin =A ，12=BC ，那么=AC ． 13.（嘉定）小杰在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是︒36，那么点B 处的小丽看点A 处的小杰 的仰角是 度． 14.（奉贤）若α为锐角,已知cos α=21,那么tan α= ； 15.（虹口）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为， 那么= ．16.（虹口）如图2-4-7，在△ABC 中，AD ⊥BC ，sin B =，BC =13，AD =12，则tan C 的值 ． 17.（金山）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果4:3:=BC AC ，那么A cos 的值为 18.（金山）如图2-4-8，斜坡AB 的坡度3:1=i ，该斜坡的水平距离=AC 6米，那么斜坡AB 的长2-4-4BAHO BAHO2-4-5DAB C2-4-6C2-4-7DBA等于 米19.（金山）如图2-4-9，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,CD ⊥AB ，CD =4,A cos =32,那么BC = 20.（闸北）如果α是锐角，且tanα ＝cot20°，那么α＝ 度． 21.（闸北）计算：2sin60°＋tan45°＝ ．22.（闸北）如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是 ．（请写成1︰m 的形式）． 23.（普陀）在地面上离旗杆20米处的地方用测角仪器测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为 1.5米，那么旗杆的高为 米（用含α的三角比表示）；五、 平面向量1. （徐汇）如图2-5-1，正方形ABCD 被分割成9个全等的小正方形， P 、Q 是其中两个小正方形的 顶点，设AB a =，AD b =，则向量PQ = （用向量a 、b 来表示）；2. （六区）计算：33()22a ab -+-= ； 3. （长宁）计算：3()3a b a --=_________；4. （奉贤）若→a 与→e 方向相反且长度为3,那么→a = →e ；5. （虹口）如图2-5-2，在△ABC 中，DE ∥BC ， BD=2AD ，设，，用向量、表示 向量DE = ．6. （金山）计算：()+-b a 22________313=⎪⎭⎫⎝⎛-b a ；7. （金山）如图2-5-3, 在ABC ∆中，BE AD 、分别是边AC BC 、上的中线，BE AD 、相交于点G .设=AB a →,=AD b → ,那么=BE (用 a →、b →的 式子表示) 8. （普陀）计算：523()3a ab --= ；2-5-1BA BCDE2-5-22-4-8C 2-4-9B2-5-3DB六、 综合题（第18题）1. （徐汇）如图2-6-1，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，点M 、N 分别在边AB 、BC上，沿直线MN 将△ABC 折叠，点B 落在点P 处，如果AP ∥BC 且4AP =，那BN = ；2. （六区）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比；已知△ABC 在直角坐标平面内，点(0,1)A -，(3,2)B -，(0,2)C ，将△ABC 进行T-变换，T-变换中心为点A ，T-变换角为60°，T-变换比为23，那么经过T-变换后点C 所对应的点的坐标为 ；3. （崇明）如图2-6-2，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ， 点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，那么EBG ∆的周长是 cm4. （宝山）如图2-6-3直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2CD =，AB BC =，1AD =，动点M 、N 分 别在AB 边和BC 的延长线运动，而且AM CN =，联结AC 交MN 于E ，MH ⊥AC 于H ，则EH = ；5. （长宁）如图2-6-4，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到正方形'''AB C D .当两个正方形重叠部分 的面积是原正方形面积的14时，1sin '2B AD ∠ _________. 6. （嘉定）在△ABC 中，9=AB ，5=AC ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D （如图2-6-5）， △ABD 沿直线AD 翻折后，点B 落到点1B 处，如果BAC DC B ∠=∠211，那么=BD ． 7. （奉贤）已知在△ABC 中，∠C=90o ，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC 绕B 点旋转，点A 落到A ’，2-6-1PBA CMN2-6-2ABCDFG H QE2-6-3EDBC MH2-6-4D 'C 'B 'DCBAABCD2-6-5C2-6-6ABFE点C 落到C ’，若旋转后点C 的对应点C ’和点A 、点B 正好在同一直线上，那么∠A ’AC ’的正切值 等于 ；8. （虹口）如图2-6-6，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，联结DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ．若AB ＝5，AD ＝8，AE ＝4，则AF 的长为 ．9. （金山）如图2-6-7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,4=AC ，3=BC .将ABC ∆绕着点C 旋转︒90， 点A 、B 的对应点分别是D 、E ，那么ADE ∠tan 的值为10. （闸北）如图2-6-8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，线段D C 绕点D 逆时针旋转， 端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处．如果m DB AD =，n ECAE=．那么m 与n 满足的关系式是： m ＝ （用含n 的代数式表示m ）．11.（普陀）如图2-6-9，已知△ABC 中，AB AC =，tan 2B =，AD ⊥BC 于点D ，G 是△ABC 的 重心，将△ABC 绕着重心G 旋转，得到△111A B C ，并且点1B 在直线AD 上，联结1CC ，那么11tan CC B 的值等于 ；七、圆与正多边形1. （崇明）已知正六边形的半径为2cm ，那么这个正六边形的边心距为 cm ；2. （崇明）半径分别为8cm 与6cm 的1O 与2O 相交于A 、B 两点，圆心距O 1O 2的长为10cm ， 那么公共弦AB 的长为 cm ；3. （宝山）已知两圆半径分别为3和7，圆心距为d ，若两圆相离，则d 的取值范围是 ；4. （宝山）如图2-7-1，圆O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，6CD =径AB 的长为 ；2-7-1MOB CD N MO C BA2-7-22-7-3OAB2-6-7B C ABD E C2-6-82-7-42-6-95. （长宁）已知⊙P 在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P （-3,4），则坐标原点O 与⊙P 的位置位置 关系是_________.6. （长宁）如果圆心O 到直线l 的距离等于⊙O 的半径，那么直线l 和⊙O 的公共点有________个.7. （嘉定）正九边形的中心角等于 度；8. （嘉定）如图2-7-2，AB 、AC 都是圆O 的弦，AB OM ⊥，AC ON ⊥，垂足分别为点M 、N ， 如果6=BC ，那么=MN ．9. （奉贤）正n 边形的边长与半径的夹角为75°,那么n= ；10.（奉贤）已知圆A 与圆B 内切，AB =10，圆A 半径为4，那么圆B 的半径为 ； 11.（金山）已知⊙O 的半径为5，点A 在⊙O 外，那么线段OA 的的取值范围是 12.（金山）如图2-7-3，已知直线AB 与⊙O 相交于A 、B 两点， 30=∠OAB ，半径2=OA ， 那么弦AB =_________13.（金山）已知⊙A 与⊙B 的半径分别为3和2，若两圆相交，那么这两圆的圆心距AB 的取值 范围是14.（普陀）正八边形的中心角为 ；15.（普陀）如图2-7-4，已知圆O 的半径为5，圆O 的一条弦AB 长为8，那么以3为半径的同心圆与 弦AB 位置关系是 ；第三部分 基础解答题一、 二次函数1. （徐汇）已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）经过A 、B 、C 、D 四个点， 其中横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表： （1）求二次函数解析式； （2）求△ABD 的面积；2. （六区）已知在直角坐标平面内，抛物线26y x bx =++经过x 轴上两点,A B ，点B 的坐标为(3,0)， 与y 轴相交于点C ； （1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC 的面积；3. （宝山）已知一个二次函数的图像经过点(1,0)A 和点(0,6)B ，(4,6)C ，求这个抛物线的表达式 以及该抛物线的顶点坐标；4. （嘉定）已知二次函数)0(22≠+-=m n x mx y 的图像经过点)1,2(-和)2,1(-，求这个二次函数的 解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．5. （虹口）（1）求该二次函数的解析式；（2）用配方法求出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴．6. （金山）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向右平移2个单位得到抛物线1)3(2--=x a y ，且平移后的抛物线经过点)12(，A ． （1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y 轴的交点为B ，顶点为P ， 平移后抛物线的对称轴与x 轴交于点M ， 求BPM ∆的面积．xyO7. （闸北）已知二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A （0，4）和B （1，－2）．（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y ＝a （x ＋m ）2＋k 的形式； （2）写出该抛物线顶点C 的坐标，并求出△CAO 的面积．8. （普陀）如图，已知二次函数的图像与x 轴交于点(1,0)A 和点B ，与y 轴交于点(0,6)C ，对称轴为 直线2x =，求二次函数解析式并写出图像最低点坐标二、 比例线段1. （徐汇）MN 经过△ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM AN =，MC 交AB 于D ，NB 交AC 于E ； （1）求证：DE ∥BC ；（2）联结DE ，如果1DE =，3BC =，求MN 的长；三、 相似三角形1. （徐汇）已知菱形ABCD 中，8AB =，点G 是对角线BD 上一点，CG 交BA 的延长线于点F ；（1）求证：2AG GE GF =⋅； （2）如果12DG GB =，且AG BF ⊥，求cos F ；2. （六区）已知如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 至点F ， 使EF DE =，联结BF ，交边AC 于点G ，联结CF （1）求证：AE EGAC CG=； （2）如果2CF FG FB =⋅，求证：CG CE BC DE ⋅=⋅3. （崇明）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，2ABC C ∠=∠，E 与F 分别为边AD 与DC 上的两点，且有EBF C ∠=∠．（1）求证：::BE BF BD BC =；（2）当F 为DC 中点时，求:AE ED 的比值．4. （宝山）如图，D 为等边△ABC 边BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，若:2:1BD CD =，DE =23AE ；DABCEF5. （宝山）如图，正方形ABCD 中，（1）E 为边BC 的中点，AE 的垂直平分线分别交AB 、AE 、CD 于G 、F 、H ，求GFFH； （2）E 的位置改动为边BC 上一点，且BE k EC =，其他条件不变，求GFFH的值；6. （长宁）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，点G 在AD 上，过点G 作BC 的平行线分别与AB 、 AC 交于P 、Q 两点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，过点Q 作QF ⊥BC 于点F . 设AD =80，BC =120，当四 边形PEFQ 为正方形时，试求正方形的边长.7. （嘉定）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DAG BAC ∠=∠，BAD CDG ∠=∠． （1）求证：ACAGAB AD =； （2）当BC GC ⊥时，求证：︒=∠90BAC ．8. （奉贤）如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ，过D 作AC ∥DE 交BC 的延长线于点E ，且2CD AC DE =⋅FEDG C A E D BF1 2 G C A E FB（1）求证：∠DAC =∠DCE ；（2）若DE AC AD AB AD ⋅+⋅=2,求证：∠ACD =90o ．9. （虹口）如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，AE 分别交线段BD 、边BC 于点F 、G ，∠1=∠2， ．求证：．10.（虹口）如图，在Rt △CAB 与Rt △CEF 中，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE ，AC 与EF 相交于 点G ，BC =15，AC=20．（1）求证：∠CEF =∠CAF ； （2）若AE =7，求AF 的长．11.（金山）如图，ABC ∆中，PC 平分ACB ∠，PC PB = (1)求证：APC ∆∽ACB ∆；(2)若2=AP ，6=PC ，求AC 的长．ADE CBABCP12.（闸北）如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3， AB ＝CD ＝2，点E 在BC 边上， AE 与BD 交于点F ，∠BAE ＝∠DBC ， （1）求证：△ABE ∽△BCD ；（2）求tan ∠DBC 的值； （3）求线段BF 的长．13.（普陀）如图，已知在△ABC 中，90ACB ︒∠=，点D 在边BC 上，CE AB ⊥，CF AD ⊥，E 、F 分别是垂足（1）求证：2AC AF AD =⋅（2）联结EF ，求证：AE DB AD EF ⋅=⋅四、 直角三角形锐角比1. （徐汇）如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线 杆6米处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为23°，已知测角仪AB 的高为1.5米， 求拉线CE 的长； 【已知5sin 2313︒≈，12cos 2313︒≈，5tan 2312︒≈，结果保留根号】2. （六区）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ，小明在离旗杆下方大楼底部E 点24米 的点A 处放置一台测角仪，测角仪的高度AB 为1.5米，并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°， 上端D 的仰角为45°，求旗杆CD 的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）图8A BCDF3. （崇明）计算：2014cos301(cot 45)sin 60︒-+-︒+︒4. （六区）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：12可表示为1sin 30cos60tan 45sin 302=︒=︒=︒⋅︒=…；仿照上述材料，完成下列问题： （1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示32，即填空：32= = = =…； （2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空：1=5. （崇明）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，6CD =，3cos 5ADC ∠=，2tan 3B =．（1）求AC 和AB 的长； （2）求sin BAD ∠的值．6. （崇明）如图，轮船从港口A 出发，沿着南偏西15︒的方向航行了100海里到达B 处，再从B 处沿着北 偏东75︒的方向航行200海里到达了C 处． （1）求证：AC AB ⊥；（2）轮船沿着BC 方向继续航行去往港口D 处，已知港口D 位于港口A 的正东方向，求轮 船还需航行多少海里．DA BC北AB C东。
2015年上海市徐汇区高考物理一模试卷
2015年上海市徐汇区高考物理一模试卷一．单项选择题（共24分，每小题3分．每小题只有一个正确选项）1．(★★★★)下列物理量属于矢量的是（）A．电流强度B．电场强度C．电势能D．磁通量2．(★★★★)温度不同的两块金属接触，达到热平衡后，下列物理量数值相同的是（）A．内能B．分子势能C．分子平均动能D．热量3．(★★★★)一物体受到大小分别为 F 1、F 2、F 3的三个共点力的作用，其力的矢量关系如图所示，则它们的合力大小是（）A．2F1B．2F2C．2F3D．F1+F2+F34．(★★★★)一根条形磁铁自左向右穿过一个闭合线圈，则流过灵敏电流计的感应电流方向是（）A．始终由a流向bB．始终由b流向aC．先由a流向b，再由b流向aD．先由b流向a，再由a流向b5．(★★★★)在如图所示的逻辑电路中，当A端输入电信号为“0”，B端输入电信号为“0”时，在C和D端输出的电信号分别为（）A．1和0B．0和1C．1和1D．0和06．(★★★)如图，一轻弹簧上端固定，下端挂一个重为3N的钩码，现将钩码竖直向下拉2cm，然后由静止释放，已知弹簧每伸长1cm可提供1N的拉力，则钩码所受的最大回复力F及其振动的振幅A分别为（）A．F=2N，A=2cmB．F=5N，A=2cmC．F=2N，A=5cmD．F=5N，A=5cm7．(★★★)一列简谐横波沿x轴传播，图（a）是波源的振动图象，图（b）是t=0.15s时的波形图．则该波（）A．周期是0.15sB．波长是2mC．沿x轴负方向传播D．波速是10m/s8．(★★★)如图，A、B两物体叠放在一起，由静止释放后沿光滑斜面下滑，且始终保持相对静止，B上表面水平，则物体B的受力示意图是（）A．B．C．D．二．单项选择题（共24分，每小题3分．每小题只有一个正确选项）9．(★★★★)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时，假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（）A．距地面的高度变大B．向心加速度变大C．线速度变大D．角速度变大10．(★★★★)图中小孩正在荡秋千，当秋千离开最高点，向最低点运动的过程中，小孩的加速度方向可能是图中的（）A．a方向B．b方向C．c方向D．d方向11．(★★★★)一电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一初速度从图中A点沿图示方向进入电场，若粒子只受电场力作用，则从A点开始，（）A．无论正负，粒子总是做直线运动B．无论正负，粒子的电势能总是先变大C．无论正负，粒子的电势能总是先变小D．粒子的电势能的变化与粒子所带电的电性有关12．(★★★★)如图，粗细均匀的U型玻璃管开口竖直向下，左管插在水银槽中，管内外水银面高度差为h a．右管内有一段高度为h b的水银柱，右管口有一塞子K，拔掉塞子即可与外界大气连通，初始时h a＜h b，将塞子拔掉，稳定后两边水银柱高度分别变化了△h a、△h b，则（）A．左管内水面上升，右管内水银面下降，△h a＞△h bB．左管内水面上升，右管内水银面下降，△h a＜△h bC．左管内水面下降，右管内水银面上升，△h a＞△h bD．左管内水面下降，右管内水银面上升，△h a＜△h b13．(★★★★)在均匀介质中，各质点的平衡位置在同一水平直线上，相邻两质点的距离均为a，如图所示，振动从质点1开始向右传播，经过时间t，前11个质点第一次形成如图所示的波形，则此波的最大可能波速为（）A．10B．12C．16D．1714．(★★★★)如图，斜面C放置在水平面上，小物体B放置在C上，小球A用细线跨过光滑定滑轮与B相连，B与滑轮间的细线保持竖直方向．将A向左拉至一定高度（低于滑轮）由静止释放，使A在竖直平面内摆动，在A摆动过程中，B、C始终保持静止．则（）A．小物体B所受静摩擦力可能为零B．小物体B所受静摩擦力方向可能沿斜面向下C．斜面C对水平面的静摩擦力可能向右D．斜面C对水平面的压力可能等于B、C重力之和15．(★★★)如图，半径为R、圆心是O的光滑圆环固定在竖直平面内，OC水平，D是圆环最低点．质量为2m的小球A与质量为m的小球B套在圆环上，两球之间用轻杆相连．两球初始位置如图所示，由静止释放，当小球A运动至D点时，小球B的动能为（）A．mgRB．mgRC．mgRD．mgR16．(★★★)如图所示，固定于水平面上的金属架abcd处在竖直方向的匀强磁场中，初始时的磁感应强度为B 0．导体棒MN以恒定速度v向右运动，从图示位置开始计时，为使棒MN中不产生感应电流，磁感应强度B随时间t变化的示意图应为（）A．B．C．D．三．多项选择题（共20分，每小题5分．每小题有二个或三个正确选项．全选对的，得5分；选对但不全的，得2分；有选错或不答的，得0分）17．(★★★★)气体压强是由大量气体分子撞击器壁引起的．下列因素中，与气体压强大小有关的是（）A．容器壁的面积B．气体分子的数量C．气体分子的质量D．气体分子的运动速度大小18．(★★★★)一质量为2kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的s-t图象和y方向的v-t图象分别如图所示．则该质点（）A．初速度大小为3m/sB．所受的合外力为3NC．做匀变速曲线运动D．初速度方向与合外力方向垂直19．(★★★★)如图，一长为L的轻杆一端用光滑铰链与地面上的O点连接，另一端固定着质量为m的小球，小球靠在一表面光滑的立方体M的左侧，轻杆与水平地面成α角，M的右侧受到水平向左推力F的作用，整个装置处于静止状态．下列判断正确的是（）A．推力F的大小为mgtanαB．略微增大α角，若使系统仍保持静止，则轻杆对小球的作用力将减小C．撤去推力F，在小球和立方体分离前，若小球的速度大小为v1，立方体的速度大小为v2，则有v2=v1sinαD．撤去推力F后，小球在落地的瞬间和立方体分离20．(★★★)如图（a）所示电路中，R 2为一阻值非线性变化的滑动变阻器，移动滑片改变滑动变阻器接入电路中的长度x（x为图中a与触头之间的距离），得到如图（b）所示的定值电阻R 1两端的电压U 1与x的关系．a、b、c为滑动变阻器上等间距的三个点，当滑片从a移到b和从b移到c，电流表A的示数变化分别为△I ab和△I bc，电压表V 2的示数变化分别为△U ab和△U bc，电阻R 1的功率变化分别为△P 1ab和△P 1bc，电源的总功率变化分别为△P ab和△P bc，则（）A．△I ab=△I bc B．△U ab=△U bcC．△P1ab=△P1bc D．△P ab=△P bc四．填空题（共28分，每小题4分）21．(★★★★)当分子力表现为斥力时，分子力总是随着分子间距离的减小而增大；当分子力表现为引力时，分子势能总是随分子间距离的增大而增大．22．(★★★)如图，一匝数为n、边长为a的正方形线圈，左半部分处在方向垂直于线圈平面的磁场中．若在△t时间内，磁感应强度的大小由B均匀增大到2B，则在此过程中，线圈中的感应电动势为；若保持磁感强度的大小B不变，将线圈以垂直于磁场边界的恒定速度v拉出磁场区域，则在此过程中，线圈中的最大感应电动势为 nBav ．23．(★★★)将一小球从高处水平抛出，不计空气阻力，小球动能E k和抛出时间t之间的关系可用如图所示的E k-t 2图象表示．根据图象可知，小球的初速度大小为5 m/s．若增大小球的质量，则该图象的斜率将增大．（g取10m/s 2）24．(★★★)如图，半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，在O的正上方有一个小球以初速度v水平抛出．A为圆盘边缘上一点，小球抛出时，OA恰与v 的方向平行，若小球恰好直接落在A点，则小球抛出时距O的高度h= ，圆盘转动的角速度大小ω= （n=1、2、3…）．（重力加速度为g）25．(★★★)空间有一平行于x轴方向的静电场，如图所示为x轴上各点的电势φ随x的变化图象．一带电量为-q的粒子在电场中以x=0为中心、沿x轴在区间-x 0，x 0内做周期性运动．若图中φ0、d和x 0为已知量，则x=x 0处的电势大小为φ0；粒子运动过程中的最大动能为．26．(★★)如图所示，R 1=5Ω，R 2阻值未知，灯EL标有“3V 3W”字样，R 3是最大电阻是6Ω的滑动变阻器．P为滑片，电流表内阻不计，灯EL电阻不变．当P 滑到A时，灯EL正常发光；当P滑到B时，电源的输出功率为20W．则电源电动势为 12 V；当P滑到变阻器中点G时，电源内电路损耗功率为 2.56 W．27．(★★)如图，与水平地面成θ角的两根光滑平行金属导轨PQ、MN固定放置，导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下，两导轨间距为L．有两根质量均为m的金属棒a、b，先将a 棒垂直导轨放置，用跨过光滑定滑轮的细线与物块c连接，由静止释放c．此后某时刻，将b也垂直导轨放置，a、c此刻开始做匀速运动，且b棒恰好能在导轨上保持静止，则物块c的质量为 2msinθ．若在b棒放上导轨后，c下降的高度为h，则在此过程中回路消耗的电能等于 mghsinθ．（重力加速度为g）五．计算题（共54分）28．(★★★)如图，“T”形活塞将绝热气缸内的气体分隔成A、B两部分，活塞左右两侧截面积分别为S 1、S 2，活塞至气缸两端底部的距离均为L，气缸上有a、b、c三个小孔与大气连通，现将a、b两孔用细管（容积不计）连接．已知大气压强为P 0，环境温度为T 0，活塞与缸壁间无摩擦．（1）若用钉子将活塞固定，然后将缸内气体缓慢加热到T 1，求此时缸内气体的压强．（2）若气体温度仍为T 0，拔掉钉子，然后改变缸内气体温度，发现活塞向右缓慢移动了△L的距离（活塞移动过程中不会经过小孔），则气体温度是升高还是降低？变化了多少？29．(★★★)如图（a）所示，倾角为45o、高为h的斜面固定在水平地面上，小球从高为H（2h＞H＞h）的某处自由下落，与斜面碰撞（不计能量损失）后做平抛运动．（1）若小球做平抛运动后能直接落到水平地面上，求自由下落的起始点距斜面左端的水平距离x应满足的条件；（2）若测得x=1m时，小球平抛运动的水平射程s最大，且水平射程的平方s 2与x关系如图（b）所示，求斜面的高度h．30．(★★★)在光滑水平面上，有一个粗细均匀的单匝正方形闭合线框abcd，在水平外力的作用下，从静止开始沿垂直磁场边界方向做匀加速直线运动，穿过磁感应强度为B的匀强磁场，平行磁场区域的宽度大于线框边长，如图甲所示．测得线框中产生的感应电流i的大小和运动时间t的变化关系如图乙所示．已知图象中四段时间分别为△t 1、△t 2、△t 3、△t 4．求：（1）比较△t 1、△t 3两段时间内水平外力的大小；（2）若已知△t 2：△t 3：△t 4=2：2：1，则线框边长与磁场宽度比值为多少？（3）若bc边刚进入磁场时测得线框速度v，bc两点间电压U，求△t 2时间内，线框中的平均感应电动势．31．(★★★)在光滑水平面上固定一个内壁光滑的竖直圆筒S（右图为俯视图），圆筒半径为R=1m．一根长r=0.5m的绝缘细线一端固定于圆筒圆心O点，另一端系住一个质量为m=0.2kg、带电量为q=+5X10 -5C的小球．空间有一场强为E=4X10 4N/C的匀强电场，电场方向与水平面平行．将细线拉至与电场线平行，给小球大小为10m/s、方向垂直于电场线的初速度v 0．（1）求当小球转过90o时的速度大小；（2）若当小球转过90o时，细线突然断裂，小球继续运动，碰到圆筒后不反弹，碰撞后，小球垂直于碰撞切面方向的速度因能量损失减小为零，平行于碰撞切面方向的速度大小保持不变．之后小球沿圆筒内壁继续做圆周运动．求这一运动过程中的速度的最小值．（3）从初始位置开始，要使小球在运动过程中，细线始终保持不松弛，电场强度E的大小所需满足的条件．。
2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷及参考答案
上是减函数，那么称函数 y＝f（x）是区间 I 上“缓增函数”，区间 I 叫做“缓
增区间”，若函数 f（x）＝
是区间 I 上“缓增函数”，则“缓增区间”
I 为（ ）
A．[1，+∞） B．
C．[0，1]
D．
23．（3 分）设 θ 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 t，
的最
小值是 2，则（ ）
A．若 θ 确定，则 唯一确定
，且 a＝2b，则椭圆的标准方程为（ ）
A．
＝1 B．
＝1 C．
＝1 D．
＝1
【解答】解：∵a＝2b，椭圆的一个焦点为
，
∴设椭圆的标准方程为
．
3．（3 分）若关于 x，y 的方程 x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0 表示圆，则实数 m 的取值范
围是
．
4．（3 分）函数 y＝sinx﹣ cosx 的最大值为
．
5．（3 分）若
＝0，则正实数 x 的取值范围是
．
6．（3 分）已知一个关于 x，y 的二元线性方程组的增广矩阵是
，则 x+y
＝
．
7．（3 分）双曲线
B．若 θ 确定，则 唯一确定
C．若 确定，则 θ 唯一确定
D．若 确定，则 θ 唯一确定
24．（3 分）已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+mx﹣（2m+1）＝0 的两个实数根，则
经过两点 A（x1，x12），B（x2，x22）的直线与椭圆 + ＝1 公共点的个数
是（ ）
A．2
B．1
C．0
．
11．（3 分）如图，已知 PA⊥平面 ABC，AC⊥AB，AP＝BC＝2，∠CBA＝30°，
2015上海高三一模计算题3
2015上海高三一模计算题3 虹口30．（10分）如图（甲）所示，竖直放置的汽缸内壁光滑，横截面积为S =10-3m 2，活塞的质量为m =2kg ，厚度不计。
在A 、B 两处设有限制装置，使活塞只能在A 、B 之间运动，B 下方汽缸的容积为1.0×10-3m 3 ，A 、B 之间的容积为2.0×10-4m 3，外界大气压强p 0=1.0×105Pa 。
开始时活塞停在B 处，缸内气体的压强为0.9p 0，温度为27℃，现缓慢加热缸内气体，直至327℃。
求：（1）活塞刚离开B 处时气体的温度t 2； （2）缸内气体最后的压强；（3）在图（乙）中画出整个过程中的p -V 图线。
31．（12分）如图所示，光滑水平地面上有一质量M =5kg 、足够长的木板，以v 0=10m/s 的初速度沿水平地面向右运动。
在长木板的上方安装一个固定挡板PQ （挡板靠近但不接触长木板），当长木板的最右端到达挡板正下方时，立即将质量m =lkg 的小铁块贴着挡板的左侧无初速地放在长木板上，铁块与长木板之间的动摩擦因数μ=0.5。
当木板向右运动s =1m 时，又无初速地贴着挡板在第1个小铁块上放置第2个相同的小铁块，以后每当长木板向右运动s =1m 就在铁块的上方再放置一个相同的小铁块，直到长木板停止运动（放到木板上的各个铁块始终被挡板挡住而保持静止状态）。
求： （1）第1个铁块放上后，木板的加速度；（2）放置第3个铁块的瞬间，长木板的速度；（3）长木板上最终叠放了多少个铁块?32．（14分）如图（甲）所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN 、PQ 固定在同一水平面上，两导轨间的距离L =1m ，定值电阻R 1=6Ω，R 2=3Ω，导轨上放一质量为m =1kg 的金属杆，杆的电阻r =2Ω，导轨的电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B =0.8T 的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向下。
现用一拉力F 沿水平方向拉杆，使金属杆以一定的初速度开始运动。
松江区2015年高三一模数学试卷(文理合卷)含答案
f
(x)
log2
t
y 轴对
对
x
R
开始
a 5, S 1
a4 Y
S Sa
a a 1
恒成立，则 t
第7题
N 输出S
的取值范围为
2015.1
结束
g(x) f (x) loga (x 2)(a 1) 在区间 2,6恰有 3 个不同的零点，则 a 的取值范围是 ▲ ． 14．（理）在正项等比数列 an 中，已知 a1 a2015 1，若集合
D．7
17．设 P 是 ABC 所在平面内一点， BC BA 2BP 则
A． PA PB 0
B． PB PC 0
C． PC PA 0 D． PA PB PC 0
已知函数 f (x) a xb (a 0, a 1, b R) ． （1）若 f (x) 为偶函数，求 b 的值；
（2）若 f (x) 在区间2, 上是增函数，试求 a 、 b 应满足的条件．
21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细
通项公式；若不存在，请说明理由．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2015年上海市黄浦区高三一模数学试卷(文理合卷)WORD版含答案
word 可自由复制编辑黄浦区2014学年第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（文理合卷）2015年1月8日一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R ，集合{}1|||1|2A x x B x x ⎧⎫=<=>-⎨⎬⎩⎭，，则U (C )B A = ．2．函数()f x =的定义域是 ．3．已知直线12:30,:(1(110l x y l x y +-=++=，则直线1l 与2l 的夹角的大小是 ．4．若三阶行列式1302124121n m m n -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m+（其中i 是虚数单位，R m n ∈、）的值是 ．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 ． 6．若函数213()2xax af x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．（用数值表示）8．已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ ． 9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．10．若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0--，则该总体的标准差的点估计值是 ．11．已知 R,,m n m n αβαβ∈<<、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点，则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 ．（用符号<“”连接起来）word 可自由复制编辑12．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 ．（用数值作答）13．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=- . （理科）若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ． （文科）若(21)3A x +=，则实数x 的取值范围是 ．14．（理科）已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且2320a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,则角C 的大小是 ． （文科） 已知点P Q 、是ABC ∆所在平面上的两个定点，且满足0,PA PC +=2QA QB QC BC ++=，若||=||PQ BC λ，则正实数λ＝ ．二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直的 （ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 16．已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是（ ）． A ．12(0,0)(1,2)e e ==-， B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-， C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-， D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-，17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）．A ．4B ． 5C ． 6D ． 718．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()||z ||||||D z a b ==+，1212(,z )||z ||D z z =-．给出下列命题：① 对任意C z ∈，都有(z)0D >；② 若z 是复数z 的共轭复数，则()(z)D z D =恒成立； ③ 若12(z )(z )D D =12(z z C)∈、，则12z z =；④（理科）对任意123C z z ∈、z 、，结论131223(z ,z )(z ,z )(z ,z )D D D ≤+恒成立； （文科）对任意12C z ∈、z ，结论1221(z ,z )=(z ,z )D D 恒成立； 则其中真命题是（ ）．A ．①②③④B ．②③④C ．②④D ．②③word 可自由复制编辑P三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3A B A A B C ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．（1）求异面直线1EF AC 、所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）（理科）求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．（文科）求以E B F P 、、、为顶点的三棱锥的体积．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数101(),R 101xx g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D ； （2）（理科）设1()()h x f x x=-，若函数()y h x =在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线； 求证：函数()y h x =在区间(1,0)-内必有唯一的零点(假设为t )，且112t -<<-． （文科）设1()()h x f x x=-，试判断函数()y h x =在区间(1,0)-上的单调性，并说明你的理由．word 可自由复制编辑22．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 定义：若各项为正实数的数列{}n a满足*1N )n a n +∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”；已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上；（1）试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； （2）记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；（3）从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===；（理科）若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值．（文科）若数列{}n z 是首项为111()2m z -=，公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为13，求正整数k m 、的值．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=.直线l 是过点D 的任意一条直线．（1）求动点M 所在曲线C 的轨迹方程； （2）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且||GH =l 的方程； （3）（理科）若直线l 与曲线C 交于G H 、两点，与线段AB 交于点P （点P 不同于点O A B 、、），直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅是定值．（文科）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，求以||GH 的长为直径且经过坐标原点O 的圆的方程．word 可自由复制编辑黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文理合卷)参考答案和评分标准(2015年1月8日)一、填空题1．1(1,]2--； 2．(1,)+?； 3．3p ； 4．2； 5．212y x =；6．(,0]-?； 7．2425-； 8．2； 9．36p ； 10； 11．m n a b <<<； 12．234425； 13．(理)514x <≤；(文) 112x <≤； 14．(理)3p ；(文) 12．二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)联结AC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有AC EF .又1CAC ∠是直角三角形1ACC 的一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角. 由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5. (理) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等． ∴113P AEF AEF V S AA -∆=⋅．∵113322222AEF S AE BF ∆=⋅=⋅⋅=， ∴1113=4=2332P AEF AEF V S AA -∆=⋅⋅⋅． (文) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等． ∴113P EBF EBF V S AA -∆=⋅，113322222EBF S EB BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P EBF EBF V S AA -∆=⋅⋅⋅． 20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)∵()cos cos2R f x x x x x =-∈，，∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.word 可自由复制编辑(2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈. 又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B A C ππ=--=.∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=. 21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解(1)1012()1,R 101101x x x g x x -==-∈++，()1g x ∴<.又1011x +>，2211110101x∴->-=-++. 1()1g x ∴-<<. 由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y++==--.1()l g1xf x x+∴=-，(1,1)D =-. (理)证明 (2)由(1)可知，11111()()lg lg 11x x h x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x xh x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减.因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知，函数()y h x =在(1,0)-上单调递减，且在(1,0)-上的图像也是不间断的光滑曲线. 又199100100()2lg 30,()lg1992021009999h h -=-+<-=-+>->, 所以，函数()y h x =在区间(1,0)-上有且仅有唯一零点t ，且112t -<<-. (文) (2) 答：函数()y h x =在区间(1,0)-上单调递减. 理由：由(1)可知，11111()()lg lg 11x x h x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.word 可自由复制编辑对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x x h x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知， 函数()y h x =在(1,0)-上单调递减.22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．解(1)答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+. 又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列.证明(2)*1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==, ∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.(理)(3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 1116216312m k -∴=- ．化简，得116631622k m -+=． 若13m -≥，则1166316631663++16222828km k -+≤≤<.这是矛盾！12m ∴-≤. 又101m -=或时，116631622k m -+>, ∴ 12,3m m -==即. 166316,264,624kk k ∴=-==解得. 3,6.m k =⎧∴⎨=⎩(文) (3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数，word 可自由复制编辑11121312m k -∴=- ． 化简，得113122k m -+=． 若13m -≥，则1131313++1222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤. 又101m -=或时，113122k m -+>, ∴ 12,3m m -==即. 131,24,224kk k ∴=-==解得. 3,2.m k =⎧∴⎨=⎩23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解(1)依据题意，可得点(,)N y x . (,1),(,1)AN y x BN y x ∴=-=+．又212AN BN x ⋅=，222112y x x ∴+-=. ∴所求动点M 的轨迹方程为22:12x C y +=. (2) 若直线ly轴，则可求得|GH ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l 不平行于y 轴．设直线l 的斜率为k ，则:(1)l y k x =-． 由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=．设点1122(,)(,)H x y G x y 、，有212221224,212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩且0∆>恒成立(因点D 在椭圆内部)．又||2GH =2=，2=，解得k =．所以，所求直线:1)l y x =-． (理)证明(3)直线l 与线段AB 交于点P ，且与点O A B 、、不重合，∴直线l 的斜率k 满足：11,0k k -<<≠． 由(2)可得点(0,)P k -，可算得21212222,2121k k y y y y k k -+==-++．word 可自由复制编辑又直线121211:1,:1y y HA y x GB y x x x -+-=+=． 设点(,y )Q Q Q x ，则由11221111.y y x x y y x x -⎧-=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得12211111Q Q y y x y y x --=⋅++(此等式右边为正数). ∴101Q Q y y ->+，且222121212222112121(1)1()()1(1)1Q Q y y x y y y y y y x y y y y ---++=⋅=+++++=21+1k k ⎛⎫⎪-⎝⎭． ∴ 1111Q Q y k y k-+=+-，解得1Q y k =-. 1(0,)(,)1Q OP OQ k x k ∴⋅=-⋅-=为定值. (文) (3)当直线ly轴时，||GH =O 到圆心的距离为1.即点O 在圆外，不满足题意.∴满足题意的直线l 的斜率存在，设为k ，则:(1)l y k x =-.设点1122(,)(,)H x y G x y 、，由(2)知，212221224,2122.21k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩进一步可求得12221222,21.21k y y k k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩依据题意，有OG OH ⊥， 12120x x y y ∴+=， 即22222202121k k k k --+=++，解得k = ∴所求圆的半径1||25r GH ===，圆心为12124(,)(,2255x x y y ++=±. ∴所求圆的方程为：22418()(5525x y -+±=.。
2015届上海市奉贤区高三一模数学试卷
2014年奉贤区调研测试高三数学试卷时间120分钟 ，分值150 分 2015、1、8 命题者：王晓芸，唐仁兴，张海君一、填空题（每空正确3分，满分36分）1．已知全集U R =，集合{|21}P x x =-≥，则=P .2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = .3．设41:<≤x α，m x ≤:β，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是 .4．若双曲线122=-k y x 的一个焦点是(3,0)，则实数k = . 5．已知圆222:C x y r +=与直线34100x y -+=相切，则圆C 的半径r = .6．若i +1是实系数一元二次方程02=++q px x 的一个根，则=+q p .7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是 .8．函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x y 的反函数为 . 9．在ABC ∆中，已知14==，且ABC ∆的面积S =⋅的值为 .10．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则t a n ()αβ+= . 11．如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12．定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 .二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）13．正方体中两条面对角线的位置关系是 （ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行、相交、异面都有可能14．下列命题中正确的是（ ） A ．任意两复数均不能比较大小 B ．复数z 是实数的充要条件是z z =C ．复数z 是纯虚数的充要条件是0Imz =D ．1i +的共轭复数是1i -15．与函数y x =有相同图像的一个函数是 （ ）A ．y =B ．log (01)a x y a a a =>≠且C ．2x y x= D ．log (01)x a y a a a =>≠且 16．下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ）A ．cos y x = B ．2x y = C ．sin y x = D ．x y tan = 17．在空间中，设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊂≠，n β⊂≠，则下列命题正确的是 （ ）A ．若n m //，则βα//B ．若m 、n 异面，则α、β平行C ．若m 、n 相交，则α、β相交D ．若n m ⊥，则βα⊥18．设),(b a P 是函数3)(x x f =图像上任意一点，则下列各点中一定．．在该图像上的是 （ ） A ．),(1b a P - B ．),(2b a P -- C ．),(3b a P - D ．),(4b a P -19．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，则该椭圆的方程为 （ ） A ．13422=+y x B ．1322=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 20．在二项式()612+x 的展开式中，系数最大项的系数是 （ ）A ．20B ．160C ．240D ．19221．已知数列{}n a 的首项11a =，*13()n n a S n N +=∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．数列是{}n a 等比数列 B ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，，是等比数列C ．数列是{}n a 等差数列D ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，，是等差数列22．在A B C ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则角A 的取值范围是 （ ） A ．06π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．03π⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭23．对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若a 、b R +∈且1a b +=，则122a b --的上确界为 （ ）A ．92- B ．92 C ．41 D ．4- 24．定义两个实数间的一种新运算“*”：*lg(1010)x y x y =+，x 、y R ∈。
上海市浦东新区2015届高三一模数学试题【名师解析】
2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12个小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律不得分.1．（3分）不等式2x＞1的解为 {x|x＞0}． ．【考点】：指、对数不等式的解法．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据指数函数的单调性求解即可．【解析】：解：因为y=2x在R上是增函数，又2x＞1=20，所以x＞0．故答案为：{x|x＞0}．【点评】：本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．2．（3分）已知复数z满足z•（1+i）=2，其中为虚数单位，则z= 1﹣i ．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：计算题．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：∵复数z满足z•（1+i）=2，∴z（1+i）（1﹣i）=2（1﹣i），∴2z=2（1﹣i），化为z=1﹣i．故答案为1﹣i．【点评】：熟练掌握复数的运算法则设解题的关键．3．（3分）若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是 m＜5（或（﹣∞，5）） ．【考点】：二元二次方程表示圆的条件．【专题】：计算题．【分析】：根据圆的一般式方程x2+y2 +dx+ey+f=0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式4+16﹣4m＞0，求m的取值范围．【解析】：解：关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆时，应有4+16﹣4m＞0，解得 m＜5，故答案为：（﹣∞，5）．【点评】：本题考查二元二次方程表示圆的条件，x2+y2 +dx+ey+f=0表示圆的充要条件是：d2+e2﹣4f＞0．4．（3分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为 2 ．【考点】：两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：变形可得y=2（cossinx﹣sincosx）=2sin（x﹣），易得最值．【解析】：解：化简可得y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2（cossinx﹣sincosx）=2sin（x﹣）∴当sin（x﹣）=1时，原函数取最大值2故答案为：2【点评】：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．5．（3分）若=0，则实数x的取值范围是 [0，1） ．【考点】：极限及其运算．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：由题意分x=0与x＞0讨论即可．【解析】：解：∵=0，∴y=x n是减函数，故0＜x＜1；且当x=0时也成立；故实数x的取值范围是[0，1）；故答案为：[0，1）．【点评】：本题考查了导数的定义及指数函数的性质，属于基础题． 6．（3分）（2014•杨浦区三模）已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】：逆矩阵与二元一次方程组．【专题】：计算题．【分析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解xy，最后求x+y．【解析】：解由二元线性方程组的增广矩阵，可得到二元线性方程组的表达式，解得，所以x+y=6故答案为6．【点评】：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．7．（3分）（2013•虹口区一模）双曲线的两条渐近线的夹角大小等于 ．【考点】：双曲线的简单性质；两直线的夹角与到角问题．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的倾斜角，即可求出两条渐近线的夹角大小．【解析】：解：由双曲线可知双曲线的渐近线方程为y=x，两条渐近线的倾斜角分别为：30°、150°；所以两条渐近线的夹角为60°即．故答案为：．【点评】：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，渐近线的夹角的求法，求出渐近线方程以及倾斜角是解题的关键．8．（3分）已知y=f﹣1（x）是函数y=x3+a的反函数，且f﹣1（2）=1，则实数a= 1 ．【考点】：反函数．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由y=f﹣1（x）是函数y=x3+a的反函数且f﹣1（2）=1知2=13+a，从而解得．【解析】：解：∵f﹣1（2）=1，∴2=13+a，解得，a=1故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数的定义的应用，属于基础题．9．（3分）二项式的展开式中含x3项系数为 24 ．【考点】：二项式定理．【专题】：二项式定理．【分析】：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数．【解析】：解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•24﹣r•，令4﹣=3，求得r=2，故开式中含x3项系数为•22=24，故答案为：24．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．10．（3分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）＜f（3）的解为 （﹣1，2） ．【考点】：奇偶性与单调性的综合．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解析】：解：∵在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，∴不等式f（2x﹣1）＜f（3）等价为f（|2x﹣1|）＜f（3），即|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）【点评】：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11．（3分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为 arccos ．【考点】：异面直线及其所成的角．【专题】：计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角．本题中取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．再放入Rt△EFD中来求．【解析】：解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，ED=，cos．所以异面直线AC与ED所成的角为arccos．故答案为：arccos．【点评】：本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查运算能力，属于基础题．12．（3分）若直线l的方程为ax+by+c=0，（a，b不同时为零），则下列命题正确的是 （1）（2）（3） ．（1）以方程ax+by+c=0的解为坐标的点都在直线l上；（2）方程ax+by+c=0可以表示平面坐标系中的任意一条直线；（3）直线l的一个法向量为（a，b）；（4）直线l的倾斜角为．【考点】：直线的一般式方程．【专题】：直线与圆．【分析】：（1）根据方程的解与直线的坐标的关系即可得出；（2）方程ax+by+c=0为直线的一般式可以表示平面坐标系中的任意一条直线；（3）直线l的一个方向向量为（b，﹣a），可得直线l的一个法向量为（a，b）；（4）直线l的倾斜角为或π﹣arctan（）或．【解析】：解：直线l的方程为ax+by+c=0，（a，b不同时为零）．（1）以方程ax+by+c=0的解为坐标的点都在直线l上，正确；（2）方程ax+by+c=0可以表示平面坐标系中的任意一条直线，正确；（3）直线l的一个方向向量为（b，﹣a），可得直线l的一个法向量为（a，b），正确；（4）直线l的倾斜角为或π﹣arctan（）或，不正确．综上可得：只有（1）（2）（3）正确．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】：本题考查了直线l的方程为ax+by+c=0（a，b不同时为零）的意义、法向量与方向向量的关系、反三角函数，考查了推理能力，属于基础题．二、选择题（本大题共12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．（3分）设椭圆的一个焦点为，且a=2b，则椭圆的标准方程为（ ） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由已知可设椭圆的标准方程为，根据a，b，c之间的关系，可得椭圆的标准方程．【解析】：解：∵a=2b，椭圆的一个焦点为，∴设椭圆的标准方程为，∴a2﹣b2=3b2=3，故椭圆的标准方程为，故选：A【点评】：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，难度不大，属于基础题．14．（3分）用1、2、3、4、5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的概率为（ ） A．B．C．D．【考点】：等可能事件的概率．【专题】：计算题．【分析】：首先由排列公式可得全部三位数的个数，进而可得其中奇数的数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解析】：解：根据题意，用这5个数字，组成没有重复数字的三位数有A53=60个，其中奇数，即末尾为1、3、5的三位数有3×A42=36个，则奇数的概率P==；故选C．【点评】：本题考查等可能事件的概率的计算，是简单题，注意正确运用排列数公式计算即可．15．（3分）下列四个命题中，为真命题的是（ ） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣d C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则＜【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】： A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，可判断A；B，令a=3，b=2，c=2，d=0，可判断B；C，利用不等式的性质可判断C；D，令a=2＞﹣1=b，可判断D．【解析】：解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．【点评】：本题考查不等式的基本性质及应用，特值法是解决选择题的良好方法，属于中档题．16．（3分）某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状态，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（ ） A． 84 B． 78 C． 81 D． 96【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：根据分层抽样的定义建立比例关系即可．【解析】：解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480=1290，解得x=390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为人，故选：B【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据比例关系是解决本题的关键．17．（3分）（2010•湖北模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（ ） A． 10 B． 20 C． 25 D． 30【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：计算题．【分析】：由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解析】：解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．【点评】：本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用，是高考重点考查的内容．18．（3分）（2010•青浦区二模）“直线l垂直于△ABC的边AB，AC”是“直线l垂直于△ABC的边BC”的（ ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．即非充分也非必要条件【考点】：充要条件．【专题】：常规题型．【分析】：此题考查的是充要条件和立体几何知识的综合问题．在解答时，应先判断准谁是条件谁是结论，在由条件推结论和由结论推条件的过程当中判断好真假，然后即可获得结论．【解析】：解：设P：为“直线l垂直于△ABC的边AB，AC”，Q：为“直线l垂直于△ABC的边BC”．若P成立，则l⊥AB，l⊥AC，又∵AB∩AC=A，且AB、AC⊆面ABC，∴l⊥面ABC，又∵BC⊆面ABC∴l⊥BC，由P能推出Q．反之，若Q成立，由线面垂直的定义易知直线l不一定垂直于面ABC，所以直线l不一定垂直于△ABC的边AB，AC，故由Q推不出P．故选B．【点评】：此题考查的是充要条件和立体几何知识的综合问题．解答过程当中条件与结论的明确以及线面垂直知识的应用值得体会、总结、归难．19．（3分）函数f（x）=的零点个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：作函数f（x）=的图象，从而确定零点的个数．【解析】：解：作函数f（x）=的图象如下，故有两个零点，故选C．【点评】：本题考查了函数的零点与函数图象的关系应用，属于基础题．20．（3分）某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确到元）（ ） A．赚723元 B．赚145元 C．亏145元 D．亏723元【考点】：进行简单的演绎推理．【专题】：计算题；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】：由题意先求股票最后价值10×（1+5%）5×（1﹣4.9%）5≈10×0.99277=9.9277万元，从而求解．【解析】：解：由题意得，10×（1+5%）5×（1﹣4.9%）5≈10×0.99277=9.9277；故100000﹣99277=723；故股民亏723元；故选D．【点评】：本题考查了演绎推理的应用及函数在实际问题中的应用，属于基础题．21．（3分）已知数列{a n}的通项公式，则=（ ） A．﹣16096 B．﹣16104 C．﹣16112 D．﹣16120【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知条件利用二阶行列式的性质得原式为（a1a4﹣a2a3）+（a2a5﹣a3a4）+（a3a6﹣a4a5）+…+（a2012a2015﹣a2013a2014）=，由此能求出结果．【解析】：解：∵数列{a n}的通项公式，∴=（a1a4﹣a2a3）+（a2a5﹣a3a4）+（a3a6﹣a4a5）+…+（a2012a2015﹣a2013a2014）==（﹣8）×2012=﹣16096．故选：A．【点评】：本题考查列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二阶行列式的性质的合理运用．22．（3分）如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数f（x）=是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（ ） A． [1，+∞） B．C． [0，1] D．【考点】：函数单调性的判断与证明．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由题意，求f（x）=的增区间，再求y==x﹣1+的减函数，从而求缓增区间．【解析】：解：f（x）=在区间[1，+∞）上是增函数，y==x﹣1+，y′=﹣•=；故y==x﹣1+在[﹣，]上是减函数，故“缓增区间”I为[1，]；故选D．【点评】：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．23．（3分）设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值是2，则（ ） A．若θ确定，则唯一确定 B．若θ确定，则唯一确定 C．若确定，则θ唯一确定 D．若确定，则θ唯一确定【考点】：数量积表示两个向量的夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由题意可得=•t2﹣2•t+，它是关于变量t的一个二次函数，再利用二次函数的性质可得结论．【解析】：解：由题意可得=•t2﹣2•t+，它是关于变量t的一个二次函数，故当t===cosθ （其中，θ为、的夹角），取得最小值2，即||2sin2θ=2，故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B．【点评】：本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求向量的模的方法，属于基础题．24．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣（2m+1）=0的两个实数根，则经过两点A（x1，x12），B（x2，x22）的直线与椭圆+=1公共点的个数是（ ） A． 2 B． 1 C． 0 D．不确定【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：令m=0，求出x1，x2，进而求出A，B坐标，进而可分析出经过两点A（x1，x12），B（x2，x22）的直线与椭圆+=1公共点的个数，可得答案．【解析】：解：当m=0时，方程x2+mx﹣（2m+1）=0可化为：x2﹣1=0，故x1=﹣1，x2=1，故A，B两点的坐标为（﹣1，1），（1，1），此时A，B两点均在椭圆+=1内部，故直线AB与椭圆+=1有2个公共点，故选：A【点评】：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，本题为选择题，故可采用特殊值代入的方法求解．三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.25．（7分）已知函数y=lg的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），若B⊆A，求实数a的取值范围．【考点】：对数函数的定义域．【专题】：函数的性质及应用；集合．【分析】：根据题意，求出函数y的定义域集合A，利用集合的运算，列出不等式组，求出a的取值范围．【解析】：解：∵函数y=lg，∴＞0，等价于（1+x）（1﹣x）＞0；即（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1；∴函数y的定义域为集合A=（﹣1，1），又∵集合B=（a，a+1），且B⊆A，∴，解得﹣1≤a≤0；∴a的取值范围是[﹣1，0]．【点评】：本题考查了求对数函数的定义域的问题以及集合的简单运算问题，是基础题目．26．（8分）如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|=1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，求此圆锥的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知得扇形弧长l=2π，圆锥母线长为3，从而得到圆锥的高为2，由此能求出圆锥的体积．【解析】：解：∵圆锥SO的底面圆半径|OA|=1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，∴扇形弧长l=2π，∴圆锥母线长|SA|==3，∴圆锥的高|SO|==2，∴此圆锥的体积V===．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．27．（8分）已知直线y=x与抛物线y2=2px（p＞0）交于O，A两点（F为抛物线的焦点，O为坐标原点），若|AF|=17，求OA的垂直平分线的方程．【考点】：直线与圆锥曲线的关系．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求焦点F的坐标为（0.5p，0），再求得A坐标（4p，8p），从而有（4p﹣0.5p）2+（8p﹣0）2=AF2=172，可解得p的值，从而可求OA的垂直平分线的方程．【解析】：解：由题意可得：F（0.5p，0），由y=，得：x=2y，可得：y2=2px=2p•2y，∴可得：y=0.4p，x=0.8p，∴可得：A（4p，8p），∴（4p﹣0.5p）2+（8p﹣0）2=AF2=172，∴76.25p2=172，∵p＞0，∴可解得：p=，∴OA的垂直平分线的方程是：y﹣4p=﹣2•（x﹣2p），即y﹣=﹣2•（x﹣）．【点评】：本题考查抛物线的几何性质，考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生分析解决问题的能力，考查了转化思想．28．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，∠A的平分线为AD，若（1）当m=2时，求cosA的值；（2）当时，求实数m的取值范围．【考点】：平面向量的综合题．【专题】：计算题；解三角形；平面向量及应用．【分析】：（1）由题意得，=（+）；从而可得•（+）=2•；从而可得cosA==；（2）•=||•||cosA=，从而可得m==+=+；从而求取值范围．【解析】：解：（1）由题意得，=（+）；故•（+）=2•；故2=3•；故cosA==；（2）•=||•||cosA=；故m==+=+=+；∵，∴（）2∈（1，）；故1＜＜；在＜+＜2．【点评】：本题考查了平面向量的应用即解三角形的应用，属于中档题．29．（7分）在数列{a n}，{b n}中，a1=3，b1=5，a n+1=，b n+1=（n∈N*）（1）求数列{b n﹣a n}、{a n+b n}的通项公式．（2）设S n为数列{b n}的前n项的和，若对任意n∈N*，都有p（S n﹣4n）∈（[1，3]，求实数p的取值范围．【考点】：数列递推式；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）将已知的两个关系式相加和相减，即可得到{a n+b n}与{b n﹣a n}的递推式，从而求其通项；（2）根据第一问的结果可求出{b n}的通项，然后求和，然后利用不等式恒成立的思路求解．【解析】：解：（1）由a n+1=，b n+1=两式相减得：b n+1﹣a n+1=﹣=﹣（b n﹣a n），则{b n﹣a n}是以﹣为公比，b1﹣a1=5﹣3=2为首项的等比数列，则b n﹣a n=2×（﹣）n﹣1，由a n+1=，b n+1=两式相加得：，即a n+1+b n+1﹣8=（a n+b n﹣8），∵a1+b1﹣8=3+5﹣8=0，∴a2+b2﹣8=（a1+b1﹣8）=0，则a n+1+b n+1﹣8=（a n+b n﹣8）=0，即a n+b n=8，即数列{a n+b n}常数列，通项公式为a n+b n=8．（1）∵b n﹣a n=2×（﹣）n﹣1，a n+b n=8，∴解得b n=（﹣）n﹣1+4，则S n=+4n=﹣（﹣）n+4n，则S n﹣4n=﹣（﹣）n，由p（S n﹣4n）∈（[1，3]，∴1≤p（﹣（﹣）n）≤3，当n为偶数时，不等式等价为1≤p（﹣（）n）≤3，∵﹣（）n∈（0，），∴此时满足1≤p≤3，解得≤p≤，当为奇数式，不等式等价为1≤p（+（）n）≤3，即∵4≤8﹣（）n﹣3＜8，∴＜则，故．【点评】：本题主要考查数列通项公式的求解以及数列求和的应用，综合性较强，运算量较大．30．（12分）某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B．已知AB与地面所成角的大小为60°，点A在地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得达到最大值．【考点】：直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据正弦定理以及三角公式，将三角形的边长关系转化为角的关系，结合三角函数的辅助角公式即可得到结论．【解析】：解：∵AB与地面所成角的大小为60°，AH垂直于地面，BM 是地面上的直线，∴∠ABH=60°，∠ABM≥60°，∵，∴=====cotsinM+cosM≤cot30°sinM+cosM=sinM+cosM=2sin（M+30°），当∠M=∠B=60°时，达到最大值．即当M在BH的延长上，且BH=HM处，达到最大值．【点评】：本题主要考查空间正弦定理的应用以及三角函数的公式化简，综合性较强，难度较大．31．（12分）设函数f（x）=（0＜x）（1）设x＞0，y＞0，且x+y，试比较f（x+y）与f（x）的大小．（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由．①对任意x∈（0，]都有cosx＜f（x）＜1成立．②对任意x∈（0，）都有f（x）＜1﹣+﹣+﹣成立．③若关于x的不等式f（x）＜k在（0，]有解，则k的取值范围是（，+∞）．【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）求出函数f（x）=（0＜x）的导函数，结合当0＜x时，f′（x）＜0，可得f（x+y）＜f（x）；（2）由当x→0时，→cosx，结合f（x）≤f（），可判断①；根据1﹣+﹣+﹣≈cosx，可判断②；根据不等式f（x）＜k在（0，]有解，则k＞f（x）max，可判断③【解析】：解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）==当0＜x时，x﹣tanx＜0恒成立，故当0＜x时，f′（x）＜0，故函数f（x）为减函数，∵x＞0，y＞0，且x+y，∴0＜x＜x+y，∴f（x+y）＜f（x）（2）当x→0时，→cosx，由（1）得f（x）≤f（）=＜1，故①正确；1﹣+﹣+≈cosx，对任意x∈（0，）都有f（x）＞cos，故②错误；若不等式f（x）＜k在（0，]有解，则k＞f（x）max=，故k的取值范围是（，+∞），故③正确．【点评】：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用，涉及三角函数的泰勒展开式等高等数学的知识点，故难度较大，属于难题．32．（12分）已知三角形△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1）．（1）动点P在三角形△ABC的内部或边界上，且点P到三边AC，AB，BC的距离依次成等差数列，求点P的轨迹方程；（2）若0＜a≤b，直线l：y=ax+b将△ABC分割为面积相等的两部分，求实数b的取值范围．【考点】：轨迹方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）设P（x，y），由题意知，由此能求出点P的轨迹方程．（2）当b=a时，直线l的方程为y=a（x+1），过定点A（1，0），直线l 过三角形的重心（0，）；当b＞a时，令y=0，得x=﹣，故直线l与两边BC，AC分别相交，由面积之比等于相似比的平方，得b＞1﹣．由此能求出实数b的取值范围．【解析】：解：（1）设P（x，y），由题意知，∵x+y﹣1≥0，x+y﹣1≤0，y≥0，∴，整理，得y=（）．（2）当b=a时，直线l的方程为y=a（x+1），过定点A（1，0），由平面几何知识知直线l过三角形的重心（0，），∴b=a=；当b＞a时，令y=0，得x=﹣，故直线l与两边BC，AC分别相交，设其交点分别为D，E，当a不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b也不断减小，当DE∥AB时，△CDE∽△CBA，由面积之比等于相似比的平方，得b＞1﹣．综上，实数b的取值范围是（1﹣，）．【点评】：本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。
上海市徐汇、宝山、杨浦2015年高考模拟考数学试卷(理)及答案
y
3cos 4sin
(
为参数，
2
)的交点坐标是
．
8．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙
至多一人击中目标的概率为
．
B1
C1
1
2
a12 a22
a1i a2i
a1n a2n
A1
则平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的二面角的大小为
．
11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
a
，二项式
mx2
1 4 x 的展
开式中
x3
项的系数为
a 2
，则常数
m
．
12．设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， g(x) 是定义域为 R 的偶函数，若函数
f (x) g(x) 的值域为[1,3) ，则函数 f (x) g(x) 的值域为
9．矩阵 3
a32
a3i
a3n
中每一行都构成公比为
2
的等比数列，第
n an2 ani ann
B
C
i
列各元素之和为
Si
，则
lim
n
Sn n2 2n
．
A
10．如图所示：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB BC ， AB BC BB1 ,
点 O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁
的焊接点 A, B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为 C, D ．已知梯形的高是
2015上海高考徐汇一模数学试卷
2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin 5θ=−，则cos 2θ=__ ___．2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ．3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ．4．函数2()2(0)f x x x =−<的反函数1()f x −= ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x −=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为． 6．若正四棱柱1111ABCD A B C D −的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示） 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +−=∈，则{}n a 的通项公式为 ．8．若全集U R =，不等式11111x x+≥−的解集为A ，则U A C = ．9．已知圆22:(1)(1)2C x y −+−=，方向向量 d !"=(1,1)的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为 ．10．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与 BD 相交于O ，设 AB !"!!=a "， DC !"!!=b "，用 a !,b !表示 BO !"!!，则 BO !"!!= ．11．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像．若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ．12．已知函数f n (x )=1+12+(12)2+!+(12)n +n 2n 2+2015(x +1)，其中*n N ∈． 当 n =1, 2, 3, !时，()n f x 的零点依次记作 x 1, x 2, x 3, !，则lim n n x →∞= ．13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x x f x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ． 14．设集合A =x 1,x 2,x 3,!,x 10()|x i∈−1,0,1{},i =1,2,3,!,10{}，则集合A 中满足条件“1≤x 1+x 2+x 3+!+x 10≤9”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15． “14a ≥”是“实系数一元二次方程20x x a ++=有虚数根”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 16．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且α//m（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*()n N ∈，分别编号为 1,2,!,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为 1,2,!,m ．若1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）（A ）a 11+a 12+!+a 1m +a 21+a 22+!+a 2m （B ）a 11+a 21+!+a m 1+a 12+a 22+!+a m 2 （C ） a 11a 12+a 21a 22+!+a m 1a m 2 （D ）a 11a 21+a 12a 22+!+a 1m a 2m18．对于方程为||1x +||1y =1的曲线C 给出以下三个命题： （1）曲线C 关于原点中心对称；（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2． 其中正确的命题是（ ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=−+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ−f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()x x f x k k R −=+⋅∈．（1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2−∞上为减函数，求k 的取值范围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan 3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a −，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP !"!!=mOA !"!!+nOB !"!!，求22m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求 QS !"!!⋅QR !"!!的取值范围；（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN Δ的面积是否为定值，说明理由．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应．．的项数．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1． （1）写出公差为(0)d d≠的等差数列 a 1,a 2,!,a n 的序数列}{n p ；（2）若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是n n n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +−=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；（3）若有穷数列}{n d 满足11=d ，n n n d d )21(||1=−+*()n N ∈，且}{12−n d 的序数列单调递减，}{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．。
2015届上海市高考一模汇编 数列
2015届高中数学·一模汇编（专题：数列）2015届高中数学·一模汇编 数列一、填空题：1、计算2123+limn nn →+++∞…＝2、设无穷等比数列{}n a (*)n N ∈的公比12q =-,11a =，则2462lim()n n a a a a →∞++++=3、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++=4、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q =5、已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ 6、设数列}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d ，}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意n *N ∈，总存在m *N ∈，使得m n a S =．则=d _________．7、计算：112323lim ++∞→+-n n n n n = 8、已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n n n a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S 9、若1lim=+∞→an ann ，则常数=a10、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a = 11、已知1cos 22n n n a π=，则无穷数列{}n a 前n 项和的极限为 12、在正项等比数列{}n a 中，已知120115a a <=，若集合 12121110,t t A t a a a t N a a a *⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-++-≤∈⎨⎬ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则A 中元素个数为 13、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为14、已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++ ，其中*n N ∈．当1 2 3 n = ，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞=15、设集合(){}{}12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10iA x x x x x i =∈-= ，则集合A 中满足条件“1231019x x x x ≤++++≤ ”的元素个数为16、已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =______17、设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim18、已知数列{}n a 的前n 项和542n n S -=-⨯，则其通项公式为19、已知()214732lim6752n a n n n →∞++++-⎡⎤⎣⎦=-- ，则a =二、选择题：20、已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是 （ ） A ．若30a >，则20150a <； B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．21、若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,-n P P P ，记AC AP AP AP AP AB T n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，若给出四个数值:①429 ②1091 ③18197 ④33232，则n T 的值不可能的共有 （ ） )(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个 22、对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n nab ⎡⎤⎣⎦为区间套。
上海市青浦区2015届高三一模数学试题含答案
上海市青浦区2015届高三上学期期末学业质量调研测试（一模）数学试题Q.2015.01.05（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．若复数131iz i+=-（i 为虚数单位），则z 的值为_____________. 2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a = .3．9(1+展开式中有理项的个数．．是 . 4．直线:tan105l x y π+-=的倾斜角α= .5．已知函数2cos y x =与2sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ．6．平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为__ _ _ . 7．函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()121y f x -=-+的图像一定过点 .8. 已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若 ()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．9.抛物线28y x =的动弦AB 的长为6，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离是 .10．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有 种.11．已知1cos 22n n n a π=，则无穷数列{}n a 前n 项和的极限为 . 12.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为 ． 13. 设函数()y f x =在R 上有定义，对于任意给定正数M ，定义函数(),()(),()M f x f x Mf x M f x M ≤⎧=⎨>⎩，则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数2()2f x x =-，1M =，则(2)M f = .14.当x 和y 取遍所有实数时，22(,)(5cos )(sin )f x y x y x y m =+-+-≥恒成立，则m 的最小值为 .二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.已知1,2,()a b a a b ==⊥-且，则向量a 与向量b 的夹角为………（ ）.（A ）30 （B ）45 （C ） 90 （D ）13516.设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是…………………………………………………………………………………………（ ）. （A ）若,,a b a b αα⊥⊥⊄ ，则b //α （B ）若a //,ααβ⊥ ，则a β⊥ （C ）若,a βαβ⊥⊥ ，则a //α或 a α≠⊂ （D ）若,,a b a b αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥17．设,a b 为正实数，则“a b <”是“11a b a b-<-”成立的………………（ ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 18.设函数*()1,[,1),f x n x n n n N =-∈+∈，函数2()log g x x =，则方程()()f x g x =实数根的个数是……………………………………………………………………………（ ）. （A ）1个 （B ）2个 （C ） 3个 （D ）4个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.BD 1A B 1第21题图如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点.（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值； （2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，试在“8”字形曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，13,2a =数列{}n b 是等比数列，且11b a =，2334,b a b a =-=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，记点*(,),n n n Q b S n N ∈．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：点123n Q Q Q Q 、、、、、在同一直线l 上，并求出直线l 方程； （3）若1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立，求B A -的最小值． 23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.已知函数11()||||f x x x x x=+--. （1）作出函数()f x 的图像，并求当0x >时()xa f x >恒成立的a 取值范围； （2）关于x 的方程2()3()6(5)0kf x kf x k -+-=有解，求实数k 的取值范围； （3）关于x 的方程2()()0f x m f x n ++=（,m n R ∈）恰有6个不同的实数解，求m 的取值范围.参考答案及评分标准 2015.01说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1． 2. 6； 3． 5； 4． 45π；5．6π； 6． 7． ()1,3； 8.()2,+∞；9.98； 10． 180；11． 15-； 12. 3；13. 2-； 14. 8.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. B ；16. D ； 17． C ；18. B .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.19. 解（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得1B M 1分1111//A B C D ，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为1A M 和11A B 所成角 ………… 3分长方体1111ABCD A B C D -中，1111111A B B C A B B B ⊥⊥，，11A B ∴⊥面11B BCC ，111A B B M ∴⊥，故可得11B A M ∠为锐角且11111tan B M B A M B A ∠==…………………… 6分 （2）由题意，112BC B C ==，12C M =，14CC =2CM ∴=22211BB BM B M =+，190BMB ∴∠=，即1BM B M ⊥ ……………………………… 8分又由11A B ⊥面11B BCC 可得11A B BM ⊥ ………………………………………… 10分 故BM ⊥平面11A B M . ………………………………………………………………12分 （说明：建立空间直角坐标系的相应给分）20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分. 解：（1）由题设可知50A =，60b =， …………………… 2分又23T πω==，所以23ωπ=， …………………… 4分从而250sin()603y t πϕ=++， 再由题设知0t =时10y =，代入250sin()603y t πϕ=++，得sin 1ϕ=-，从而2πϕ=-， …………………… 6分因此，26050cos,(0)3y t t π=->. …………………… 8分 （2）要使点P 距离地面超过85米，则有26050cos853y t π=->，……… 8分第21题图即21cos32t π<- ，又202,(0)3t t ππ<<>解得224,(0)333t t πππ<<>， 即12t << …………………… 10分所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85米的时间有1分钟.…… 14分21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解（1）设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，在已知圆的方程中，令0y =，得240x -=，即2x =±，则双曲线的左、右顶点为()2,0A -、()2,0B ，于是2a =…………………… 2分令2y =，可得280x -=，解得x =±，即双曲线过点()2±，则228412b -=所以2b =，…………… 4分 所以所求双曲线方程为22144x y -=……………………6分 （2）由（1）得双曲线的两个焦点()1F -，()2F …………………… 7分当1290F PF ︒∠=时，设点(),P x y ， ①若点P 在双曲线上，得224x y -=， 由120FP F P ⋅=，得(222080x x yx y+-+=⇒-+=由2222480x y x y ⎧-=⎨-+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩((1234,,,P P P P …… 11分②若点P 在上半圆上，则()224402x y y y +--=≥，由120FP F P ⋅=，得(20x x y +-+=，由222244080x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩无解…………………… 13分 综上，满足条件的点有4个，分别为((1234,,,P P P P …………………… 14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分. 解（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题设可得21332122233303822q d q q d d d q ⎧⎧=-+=-⎪⎪=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪=-+=⎪⎪⎩⎩或因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以12q =-，即131()22n n b -=- ……………………………………………4分（2）113()3112(,)12222n n n n n n nnx Q b s Q y -⎧=-⨯-⎪⎪⨯⎨⎪=⎪⎩即为（(-)，1-(-)）,令得1-(-) 330x y -+=，即点123n Q Q Q Q 、、、、、，在同一条直线330x y -+=上。
上海市季高考数学模拟试卷四
2015年上海市春季高考模拟试卷四一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ．2、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 . 3、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:2:5A B C =，则最大角等于 ．4、已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．5、复数z 满足11z iii =+，则复数z 的模等于_______________．6、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ．7、抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a -=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中， 数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是 ．9、已知(12)nx -关于x 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 . 10、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题：1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ．C DBA第12题11、椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124F F =，则a 等于 ．12、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，0AC AD ⋅=u u u r u u u r ，0AD AB ⋅=u u u r u u u r，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 . 二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 与圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件14、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<15、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B -1 .C 1± .D 216、曲线)0(42≤--=x x y 的长度为（ ）A ．32πB ．23πC ．π2D ．π17、下列命题正确的是（ ） A ．若B A x Y ∈，则A x ∈且B x ∈B ．ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件 C ．若→→→→⋅=⋅c a b a ，则→→=c bD ．命题“若022=-x x ，则2=x ”的否命题是“若2≠x ，则022≠-x x ”18、下列命题中（ ）① 三点确定一个平面；② 若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③ 同时垂直于一条直线的两条直线平行；④ 底面边长为2，侧棱长为5的正四棱锥的表面积为12. 正确的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 319、在边长为１的正六边形654321A A A A A A 中，5331A A A A ⋅的值为（ ）．A . 23 .B 23-C . 233D .233- 20、已知数列}{n a 的各项均为正数，满足：对于所有*N ∈n ，有2)1(4+=n n a S ，其中n S表示数列}{n a 的前n 项和．则=∞→n n a nlim（ ）A ．0B ．1C ．21D ．221、函数)0,0)(cos(3πϕωϕω<<>+=x y 为奇函数，B A 、分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且4=AB ，则该函数的一条对称轴为（ ）．A .1=x .B 2=xC .2π=x D .π2=x22、函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211===ΛΛ，则n 的最大值等于（ ）.A 8 .B 9 .C 10 .D 1123、已知椭圆191622=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=；③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ）．A .0个.B 1个C .2个D .3个24、在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“φ”．定义如下：对于任意两个复数i 111b a z +=，i 222b a z +=（R ,,,2121∈b b a a ），21z z φ当且仅当“21a a >”或“21a a =且21b b >”．按上述定义的关系“φ”，给出如下四个命题： ①若21z z φ，则||||21z z >；②若21z z φ，32z z φ，则31z z φ；③若21z z φ，则，对于任意C ∈z ，z z z z ++21φ； ④对于复数0φz ，若21z z φ，则21zz zz φ.其中所有真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题 25、（本题满分7分） 已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．（1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程. 26、（本题满分7分） 证明下面两个命题：（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；（2）余弦定理：如右图，在ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，则A bc c b a cos 2222-+=．27、（本题满分8分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ． （1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角； （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．PgM AOB28、（本题满分13分）已知函数axxxf+-=22)(R)(∈x有最小值．（1）求实常数a的取值范围；（2）设)(xg为定义在R上的奇函数，且当0<x时，=)(xg)(xf，求)(xg的解析式．29、（本题满分12分）函数)(xfy=的定义域为R，若存在常数0>M，使得xMxf≥)(对一切实数x均成立，则称)(xf为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数xxf2)(=，3()g x x=是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若1)(2+=xxf是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．DCBAyxO30、（本题满分13分）椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，过1F 斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB，2BF 成等差数列．（1）求证：c b =；（2）设点)1,0(-P 在线段AB 的垂直平分线上，求椭圆C 的方程．31、（本题满分18分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h-=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．2015年春季高考模拟试卷四参考答案1、(1,2)-；2、4；3、 43π； 4、2()log f x x=； 5、5；6、3；7、 3π；8、710； 9、1； 10、1α，3α；11、31+； 12、2； 13-17ACBDB 18-24BBCAC CB25、解（1）1cos 23sin 22sin(2)16y x x a x a π=+++=+++．T π=.（2）)(x f 的最小值为0，所以210a -++= 故1=a所以函数2)62sin(2++=πx y 的最大值等于4()262x k k Z πππ+=+∈，即()26k x k Z ππ=+∈时函数有最大值或最小值， 故函数)(x f 的图象的对称轴方程为()26k x k Z ππ=+∈.26、证明一：（1）设长方形的长，宽分别为a ，b ，由题设b a +为常数由基本不等式2：≥+2ba ab ，可得：2)2(b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立，即当且仅当长方形为正方形时，面积ab 取得最大值2)2(b a +．证明二：（1）设长方形的周长为l ，长为x ，则宽为22x l -于是，长方形的面积16)4(2222l l x x l x S +--=-⋅=， 所以，当且仅当4l x =时，面积最大为162l ，此时，长方形的为4l，即为正方形D OCBAMP（2）证法一：2c BC =u u u r BC ⋅()()AC AB AC AB =-•-u u u r u u u r u u u r u u u r222AC AC AB AB =-•+u u u r u u u r u u u r u u u r 222cos AC AC AB A AB =-•+u u u r u u u r u u u r u u u r222cos b bc A c =-+． 故，2222cos a b c bc A =+-．证法二 已知ABC ∆中,,A B C 所对边分别为,,,a b c 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，2222)sin ()cos (||A b c A b BC a +-==A b c b cos 222-+=．故，2222cos a b c bc A =+-．证法三 过AB 边上的高CD ，则2222BD CD BC a +==22)cos ()sin (A a c A b -+=A b c b cos 222-+=．故，2222cos a b c bc A =+-．27、解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又226425PO =-=，5MD ∴=．又43OC OM ==，．//MD PO Q ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．Q //MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．当60MOC ∠=︒时，∴13MC =．65cos 13MD DMC MC ∠==，∴65arccos13DMC ∠=当120MOC ∠=︒时，∴37MC =．185cos 37MD DMC MC ∠==，∴185arccos37DMC ∠=综上异面直线MC 与PO 所成的角等于65arccos13或185arccos 37．（2）Q 三棱锥M ACO -的高为MD 且长为5，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒28、解：（1）⎩⎨⎧<+-≥-+=.2,4)2(,2,4)2()(x x a x x a x f 所以，当22≤≤-a 时，)(x f 有最小值，（2）由)(x g 为奇函数，有)0()0(g g -=-，得0)0(=g ．设0>x ，则0<-x ，由)(x g 为奇函数，得4)2()()(--=--=x a x g x g ． …4分所以，⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-=.0,4)2(,0,0,0,4)2()(x x a x x x a x g 29、（1）．222x x x=≥Q ，即对于一切实数x 使得()2f x x≥成立，x x f 2)(=“圆锥托底型”函数.对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当2M x =时，由322M M M≥，∴2MM ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型”函数．（2）Q 1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x+取得最小值2，∴2M ≤．而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．30、解：（1）由题设，得AB 22AF =2BF +，由椭圆定义AB 2AF +aBF 42=+，所以，a AB 34=．设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(1c F -，l ：c y x -=，代入椭圆C 的方程，整理得02)(42222=--+b cy b y b a ，（*）则]4)[(2)(2)()(212212212212212y y y y y y y y x x AB -+=-=-+-=[]22224222422222422222)(84)(2422ab a b b ac b b a b a b b a c b ⋅+=+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，于是有a b a b a ⋅+=222434，化简，得b a 2=，故，c b =．（2）由（1）有c b =，方程（*）可化为02322=--b by y 设AB 中点为),(00y x M ，则3)(21210b y y y =+=，又l M ∈，于是3200b c y x -=-=．由=PA PB知PM 为AB 的中垂线，1-=PM k ，由)1,0(-P ，得32131b b -+=-，解得3=b ，182=a ， 故，椭圆C 的方程为191822=+y x ．31、（1）由222202y kx bx pkx pb x py =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +设切线方程为y kx m =+，由222202y kx mx pkx pm x py =+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴．（2）Q 22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p -=． 232211122216ABC pk h S CD x x h pk b p ∆=⋅-=+-=．C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．（本小题也可以求21AB k h=+⋅，切点到直线l的距离222222181pk pk bh d kp k -+==++，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C hx x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CFB ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p ∆∆==⋅．记3116ABCh a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p ∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的无穷项和，此数列公比为14．所以封闭图形的面积3114131214a h S a p ===-。
上海市静安区2015届高三一模数学(文)试卷
上海市静安区2015届高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：=__________．2．已知集合M={y|y=2x，x≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N=__________．3．已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n=__________．4．一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有__________种不同结果（用数值作答）．5．不等式的解集是__________．6．设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=__________．7．已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是__________．8．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y=﹣2x （x≤0）上，则sin2α=__________．9．已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若=0，则t=__________．10．已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为__________（结果用反三角函数值表示）．11．已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β=__________．12．直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是__________．13．已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是__________．14．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是( )A．y=x﹣2B．C．D．16．已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件17．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )A．M B．N C．P D．Q18．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为( )A．1个B．4个C．7个D．8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．20．某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a=14，b=2.4，c=3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）．21．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2=1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．上海市静安区2015届高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：=．考点：极限及其运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：原式==．故答案为：．点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．已知集合M={y|y=2x，x≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N=（0，2）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的定义和对数函数的性质求解．解答：解：∵集合M={y|y=2x，x≥0}={y|y≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N=（0，2）．故答案为：（0，2）．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．3．已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n=2n2+n．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意代入等差数列的求和公式可得．解答：解：由题意可得a1=3，公差d=4，∴S n=na1+ d=3n+2n（n﹣1）=2n2+n故答案为：2n2+n．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．4．一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有45种不同结果（用数值作答）．考点：组合及组合数公式．专题：概率与统计．分析：由题意可得共有种不同结果．解答：解：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有=45种不同结果．故答案为：45．点评：本题考查了组合数的计算公式，属于基础题．5．不等式的解集是（，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：不等式即为或，分别求出它们，再求并集即可．解答：解：不等式即为或，即x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．点评：本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．6．设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=256．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值．解答：解：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256，故答案为：256．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．7．已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是3π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，计算出圆锥母线的长度，进而可得该圆锥的侧面积．解答：解：∵圆锥底面的半径r=1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，故圆锥的母线l满足：，解得：l=3，∴该圆锥的侧面积S=πrl=3π．故答案为：3π点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的侧面积，其中根据，求出圆锥的母线长度，是解答的关键．8．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y=﹣2x （x≤0）上，则sin2α=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题意根据任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，进而确定出sin2α的值．解答：解：根据题意得：tanα=﹣2，sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣2××=．故答案为：．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．9．已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若=0，则t=﹣2．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义，求得向量a，b的数量积，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到．解答：解：向量，的夹角为30°，，为单位向量，则有=||•||•cos30°==，由于，若=0，则t+（1﹣t）=0，即有t+1﹣t=0，解得，t=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．10．已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：两直线的夹角与到角问题．专题：直线与圆．分析：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，再利用两条直线的夹角公式求得这两条直线的夹角大小．解答：解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ=||=||=，∴θ=arctan，故答案为：．点评：本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数，属于基础题．11．已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β=﹣．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围解答：解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ=﹣3，tanαtanβ=4，tan（α+β）==又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ=﹣3，tanα•tanβ=4，∴α、β同为负角，∴α+β=﹣．故答案为﹣点评：此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意α，β的角度范围，这是本题容易出错的地方12．直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；kx﹣y+2k+1=0，则=1，由此能求出直线l的方程．解答：解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+2k+1=0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴=1，解得k=，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13．已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，设z=，则y=zx+2，将问题转化为求直线的斜率的范围，通过图象求出答案．解答：解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．点评：本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，考查了转化思想，是一道中档题．14．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是1＜S＜2．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：设等比数列的公比为q，则q＜0，由题意可得S==，可得＜0，从而可求S的范围解答：解：设等比数列的公比为q，则q＜0∵各项和为S，∴﹣1＜q＜0，∴S==＞1，∴＜0∴1＜S＜2故答案为：1＜S＜2点评：本题主要考查了无穷等比数列的各项和公式的应用，属于基础试题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是( )A．y=x﹣2B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由幂函数的奇偶性和单调性，以及定义，对选项加以判断，即可得到是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的函数．解答：解：对于A．有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C．有f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，则C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．故选D．点评：本题考查幂函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义和性质，属于基础题和易错题．16．已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据3（2k﹣3）+（k+2）k=0得出k=﹣9或k=1，分别判断当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，l1∥l2，根据充分必要条件的定义判断即可．解答：解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k=0k2+8k﹣9=0，k=﹣9或k=1，当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，∴l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了直线与直线平面的平行条件，充分必要条件的定义，属于中档题．17．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )A．M B．N C．P D．Q考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由图可知：z=3+i．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=3+i．∴复数====2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．18．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为( )A．1个B．4个C．7个D．8个考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：对于四点不共面时，画出对应的几何体，根据几何体和在平面两侧的点的个数分两类，结合图形进行解．解答：解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C点评：本题考查了空间四点问题，当不共面时构成三棱锥，由几何体的特征再分类讨论进行判断，考查了分类讨论思想和空间想象能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由正弦定理列出关系式，结合已知等式求出sinB的值，即可确定出B的度数；（2）由三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，即可确定出a+c的值．解答：解：（1）由正弦定理：=，得==，∴sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，∴ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a=14，b=2.4，c=3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）．考点：分段函数的应用；函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可知，这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，两者相加即是小明应付的车费；（2）分三种情况：前3公里、超过3公里而10公里以内、大于10公里，分别写出函数的表达式，最后用分段函数表示．解答：解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，总共收费14+12=26（元）故他应付出出租车费26元．（2）3公里以内价是a元，即0＜x≤3时，y=a（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y=a+（x﹣3）b=bx+a﹣3b（元）；大于10公里时，即x＞10时，收费y=a+7×b+（x﹣10）c=cx+a+7b﹣10c（元）．∴，点评：本题考点是分段函数的应用，分段模型是解决实际问题的很重要的函数模型，其特点是在不同的自变量取值范围内，函数解析式不同．21．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）判断出∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，求解得出异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2）BN=，运用，求解得出体积．解答：解：（1）∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点，且PM⊥平面ABCD，∴PM为△ADD1的中位线，得PM=1，又∵MN⊥BD，∴，∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，∴MN∥AC，又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，∴．即异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2），，代入数据得三棱锥P﹣BMN的体积为．点评：本题考查了空间直线的夹角问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．考点：函数奇偶性的性质；反函数．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；（2）根据反函数的定义，反解x，主要x的取值范围；（3）根据两函数在闭区间上分离的概念课求得解答：解：（1）∵，∴函数y=f（x）的定义域为R，又∵==0，∴函数y=f（x）是奇函数．（2）由，且当x→﹣∞时，，当x→+∞时，，得的值域为实数集．解得，x∈R．（3）在区间[1，2]上恒成立，即，即a x+a﹣x＞4在区间[1，2]上恒成立，令a x=t，∵a＞1，∴t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]上单调递增，∴，解得，∴．点评：本题主要考查函数的奇偶性、反函数以及新概念的题目．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2=1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．考点：数列递推式；数列的求和．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）直接利用n=1求出数列的首项．（2）利用递推关系式和叠乘法求数列的通项公式．（3）存在性问题的判断，先假设存在，然后利用函数的单调性判断存在有序实数对．解答：解：（1）因为，令n=1，得，所以a1=0；或者令n=2，得，所以：a1=0（2）当n≥2时，，，，推得，利用叠乘法求出数列a n=n﹣1又a2=1，a3=2a2=3，所以a n+1=n，当n=1，2时也成立，所以a n=n﹣1，（n∈N*）（3）假设存在正整数p，q使得b1，b p，b q成等比数列，则：lgb1，lgb p，lgb q成等差数列．则：①由于等式右边大于，故则：下面考察数列d的单调性．因为：故数列是单调递减数列．当p=2时，代入①式得：解得：q=3当故存在（p，q）为（2，3）使得b1，b p，b q成等比数列．点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式和叠乘法求数列的通项公式，利用函数的单调性判断存在性问题．属于中等题型．。
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2015上海高三一模计算题4青浦30．（12分）如图所示，长为31cm 、内径均匀的细玻璃管开口向上竖直放置，管内水银柱的上端正好与管口齐平，封闭气体的长为10cm ，温度为27℃，外界大气压强不变。
若把玻璃管在竖直平面内缓慢转至开口竖直向下，这时留在管内的水银柱长为15cm ，然后再缓慢转回到开口竖直向上，求： （1）大气压强0p 的值；（2）玻璃管重新回到开口竖直向上时空气柱的长度；（3）当管内气体温度缓慢升高到多少℃时，水银柱的上端恰好重新与管口齐平？31．（12分）质量分别为m 1和m 2的两个小物块用轻绳连接，m 1=4m 0，m 2=5 m 0。
绳跨过位于倾角α＝37︒的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴间的摩擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。
m 1悬空，m 2放在斜面上，m 2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端，用时为t 。
已知重力加速度为g ，sin370=0.6，cos370=0.8。
求：（1）将m 1和m 2位置互换，使m 2悬空，m 1放在斜面上，m 1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端，两次绳中拉力之比；（2）将m 1悬空，m 2放在斜面上，增加m 2的质量，使m 2从斜面顶端由静止开始运动至斜面底端的时间也为t ，m 2增加的质量。
m 2 m 1 α10cm31cm32．（12分）如图所示，绝缘的光滑水平桌面高为h ＝1.25m 、长为s ＝2m ，桌面上方有一个水平向左的匀强电场。
一个质量为m ＝2×10-3kg 、带电量为q ＝＋5.0×10-8C 的小物体自桌面的左端A 点以初速度v A ＝6m /s 向右滑行，离开桌子边缘B 后，落在水平地面上C 点。
C 点与B 点的水平距离x ＝1m ，不计空气阻力，取g ＝10m/s 2。
（1）小物体离开桌子边缘B 后经过多长时间落地？ （2）匀强电场E 多大？（3）为使小物体离开桌面边缘B 后水平距离加倍，即'2x x ，某同学认为应使小物体带电量减半，你同意他的想法吗？试通过计算验证你的结论。
33．（14分）如图甲所示，MN 、PQ 为间距L =0.5m 足够长的平行导轨，NQ ⊥MN ，导轨的电阻均不计。
导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ 间连接有一个R =4Ω的电阻。
有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B 0=1T 。
将一根质量为m =0.05kg 有一定阻值的金属棒ab 紧靠NQ 放置在导轨上，且与导轨接触良好。
现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd 处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q =0.2C ，且金属棒的加速度a 与速度v 的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ 平行。
（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。
求：（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ （2）cd 离NQ 的距离s（3）金属棒滑行至cd 处的过程中，电阻R 上产生的热量（4）若将金属棒滑行至cd 处的时刻记作t =0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B 应怎样随时间t 变化（写出B 与t 的关系式）。
kAE B Chxsv 0 q30．（12分）（1）(4分)p 1=p 0+21cmHg V 1=10S T 1=300Kp 2=p 0-15cmHg V 2=16S T 2=300Kp 1V 1=p 2V 2 p 0=75cmHg=1.0×105Pa（2）(4分)p 3=75+15=90cmHg V 3=LSp 1V 1=p 3V 3 L =10.67cm （3）（4分）p 4=p 3=90cmHg V 4=（31-15）S =16S T 3=300K4433T V T V =T 4=450K t =177℃ 31．（12分）（1）第一次：m 1：1111m g T m a -=，m 2：1221sin T m g m a α-⋅=， （2分）1111212112212sin sin m g T m m m g m m g T T m g m m m αα-+⋅=⇒=-⋅+， （2分） v /(m ·s -1)Oa /(m ·s -2) 22 图乙aMPB 0c图甲v /(m ·s -1)Oa /(m ·s -2)2 2 图乙第二次：m 2：2222m g T m a -=，m 1：2112sin T m g m a α-⋅=， （1分）2221212221112sin sin m g T m m m g m m g T T m g m m m αα-+⋅=⇒=-⋅+，所以：121TT =； （1分） （2）第一次：m 1：1111m g T m a -=，m 2：1221sin T m g m a α-⋅=，12112sin m g m g a m m α-⋅=+（2分）增加m 2的质量，m 2：''2323sin m g T m a α⋅-=，m 1：3113T m g m a -=，'213'12sin m g m ga m m α⋅-=+（1分）根据：212S at =，可得：''1221132'1221sin sin 10011o m g m g m g m g a a m m m m m m αα-⋅⋅-=⇒=⇒=++，（2分）'224511o m m m m ∆=-=。
（1分） 32．（12分）解：（1）（4分）设小物体离开桌子边缘B 点后经过时间t 落地，则212h gt =得 22 1.25s 0.5s 10h t g ⨯===（2）（4分）设小物体离开桌子边缘B 点时的速度为v B ，则1m/s 2m/s 0.5B x v t ===根据动能定理，有 222121A B mv mv qES -=-得 2232258()210(62)N/C 3.210N/C 22 5.0102A B m v v E qS ---⨯-===⨯⨯⨯⨯ （3）（4分）不同意。
要使水平射程加倍，必须使B 点水平速度加倍，即'24m/s B B v v ==根据动能定理，有2211222B Aq Es mv mv ''-=- 解得85''2235.010 3.21024m/s 42m/s 5.66m/s 210ABA qEs v v v m --⨯⨯⨯⨯=+=+=≈≠⨯所以说该同学认为应使小物体的小物体带电量减半的想法是错误的。
33. （14分） 解：（1）当v=0时，a=2m/s2 （1分）s i n c o s m g m g m a θμθ-= （1分） μ=0.5 （1分） （2）由图像可知：v m =2m/s 当金属棒达到稳定速度时，有0A F B I L = 0E B Lv = r R EI +=（1分） s i n c o s A m g F m g θμθ=+ （1分） Ω=1r （1分）r R nt r R t nIt q +∆=+∆∆==φφ)( （1分）m s 2= （1分） （3）02137cos 20-=--mv W mgs mgh F μ （1分）J 1.0==总Q W F （1分）J 08.054==总Q Q R （1分）（4）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流。
此时金属棒将沿导轨做匀加速运动。
sin cos mg mg ma θμθ-=()()22sin cos 100.60.50.8/2/a g m s m s θμθ=-=⨯-⨯= （1分）2012B Ls BL s vt at ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （1分）22022221t t att s s B B ++=++=υ （1分）松江30．楼梯口一倾斜的天花板与水平面成θ=370，一装潢工人手持木杆绑着刷子粉刷天花板。
工人所持木杆对刷子的作用力始终保持竖直向上，大小为F =10N ，刷子的质量为m =0.5kg ，刷子可视为质点。
刷子与板间的动摩擦因数为0.5，天花板长为L =4m ，取sin 370=0.6，试求：（1）刷子沿天花板向上运动时的加速度；（2）工人把刷子从天花板底端由静止开始推到顶端所用的时间。
31．如图，由U 形管和细管连接的玻璃泡A 、B 和C 浸泡在温度均为0 ℃的水槽中，B 的容积是A 的3倍。
阀门S 将A 和B 两部分隔开，A 内为真空，B 和C 内都充有气体。
U 形管内左边水银柱比右边的低60 mm 。
打开阀门S ，整个系统稳定后，U 形管内左右水银柱高度相等。
假设U 形管和细管中的气体体积远小于玻璃泡的容积。
(1)求玻璃泡C 中气体的压强？(以mmHg 为单位)； (2)将右侧水槽的水从0 ℃加热到一定温度时，U 形管内左右水银柱高度差又为60 mm ，求加热后右侧水槽的水温。
θ32．如图所示，相距为d 的平行金属板A 、B 竖直放置，在两板之间水平放置一绝缘平板。
有一质量m 、电荷量q (q ＞0)的小物块在与金属板A 相距l 处静止。
若某一时刻在金属板A 、B 间加一电压U AB ＝32mgdqμ-，小物块与金属板只发生了一次碰撞，碰撞后电荷量变为 －12q ，并以与碰前大小相等的速度反方向弹回。
已知小物块与绝缘平板间的动摩擦因数为μ，若不计小物块电荷量对电场的影响和碰撞时间。
则（1）小物块与金属板A 碰撞前瞬间的速度大小是多少？ （2）小物块碰撞后停在何位置？（3）若小物块与A 板碰后向右运动过程中，电量由－12q 随离A板距离均匀减小，且恰好回到出发位置，则静止时小物体的所带电荷量的大小为多少？33．如图所示,水平虚线L 1、L 2之间是匀强磁场,磁场方向水平向里，磁场高度为h 。
竖直平面内有一等腰梯形线框，底边水平，其上下边长之比为5:1，高为2h 。
现使线框AB 边在磁场边界L 1的上方h 高处由静止自由下落，当AB 边刚进入磁场时加速度恰好为0，在DC 边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动。
求:（1）在DC 边进入磁场前，线框做匀速运动时的速度与AB 边刚进入磁场时的速度比是多少？ ABdl电源h L 1B A CD（2）DC 边刚进入磁场时，线框加速度的大小为多少？（3）从线框开始下落到DC 边刚进入磁场的过程中，线框的机械能损失和重力做功之比？30. （１0分） 解：（1）以刷子为研究对象，受力分析如图 设向上推力为F ，滑动摩擦力为F f ，天花板对刷子的弹力为F N ， 由牛顿第二定律，得（F-mg ）sin 370-μ（F-mg ）cos 370=ma （3分） 代入数据，得a =2m/s 2 （2分）（2）由运动学公式，得221at L =（3分） 代入数据，得t =2s （2分）31．(12分)解： (1)在打开阀门S 前，两水槽水温均为T 0＝273 K ．设玻璃泡B 中气体的压强为p 1，体积为V B ，玻璃泡C 中气体的压强为p C ，依题意有p 1＝p C ＋Δp ① （1分）式中Δp ＝60 mmHg.打开阀门S 后，两水槽水温仍为T 0，设玻璃泡B 中气体的压强为p B .依题意有，p B ＝p C ② （1分） 玻璃泡A 和B 中气体的体积为V 2＝V A ＋V B ③ （1分） 根据玻意耳定律得p 1V B ＝p B V 2④ （2分） 联立①②③④式，并代入题给数据得p C ＝V BV A Δp ＝180 mmHg.⑤ （1分）(2)当右侧水槽的水温加热到T ′时，U 形管左右水银柱高度差为Δp ，玻璃泡C 中气体的压强为p ′C ＝p B ＋Δp ⑥（2分）玻璃泡C 中的气体体积不变，根据查理定律得 p C T 0＝p ′CT ′⑦（2分）联立②⑤⑥⑦式，并代入题给数据得 T ′＝364 K ．（2分）32．（14分）解：（1）加电压后，B 极板电势高于A 板，小物块在电场力作用与摩擦力共同作用下向A 板做匀加速直线运动。