双因子方差分析例子
6-2交互作用双因子方差分析解读
三、离差平方和的分解
记
1 r s t x xijk rst i 1 j 1 k 1
称为样本总平均；
1 t xij xijk t k 1
xi 1 s t xijk st j 1 k 1
称为水平组合 Ai , B j 下的样本均值； 称为水平 Ai 下的样本均值； 称为水平 B j 下的样本均值。
r r r i 1
s
0
i 1
s
i 1
s
ij uij ui u j u uij ui su i su i 0
j 1 j 1 j 1
所以，如果 H 02 成立，那么因素 B 各效应的水平皆为零； 如果 H 03 成立，那么 ij 0
2 i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1 r s t
i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1
可以验证上式右边所有的交叉乘积项皆为零 记
SE
SA
2
xijk xij
r s t
2
2
xi x
i 1 j 1 k 1 r s t i 1 j 1 k 1 r s t
rs t 1 2 S A B r 1s 1 ~ F r 1s 1, rs t 1 2 S E rs t 1
2
SB
s 1
，可得 若控制犯第一类错误的概率不超过
x 2 s1 , x 2 s 2 , , x 2 st
……
x r11 , x r12 , , x r1t
……
x r 21 , x r 22 , , x r 2 t
……
x rs 1 , x rs 2 , , x rst
双因子方差分析例子
【双因素方差分析例题】下表数据是在4个地区种植的3种松树的直径.试对松树的直径数据进行种树与地区的双因素方差分析？模型识别树种和地区是对松树的直径都有可能产生影响的两个因子，并且二者之间还有可能产生交互作用，即有可能出现某个地区最适合(不适合)某种松树的生长情况.地区因子有4个水平，树种因子有三个水平，在每一个水平下分别抽取了5个样本.我们先利用MATLAB提供的命令anova2()来对本题作双因子方差分析.再用单因子方差分析确定其它问题.MATLAB数据处理clearA=[23 15 26 13 21 25 20 21 16 18 21 17 16 24 27 14 11 19 20 24]; B=[28 22 25 19 26 30 26 26 20 28 19 24 19 25 29 17 21 18 26 23]; C=[18 10 12 22 13 15 21 22 14 12 23 25 19 13 22 18 12 23 22 19]; X=[A',B',C'];⑴双因子方差分析reps=5;[p,Table]=anova2(X,reps,'off')p =0.0004 0.3996 0.4156Table ='Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F''Columns' [ 352.5333] [ 2] [176.2667] [9.1369] [4.3408e-004] 'Rows' [ 58.0500] [ 3] [ 19.3500] [1.0030] [ 0.3996]'Interaction'[ 119.6000] [ 6] [ 19.9333] [1.0333] [ 0.4156]'Error' [ 926.0000] [48] [ 19.2917] [] []'Total' [1.4562e+003][59] [] [] []双因子方差分析结果说明：我们看到返回向量p有3个元素，分别表示输入矩阵X的列、行及交互作用的均值相等的最小显著性概率，由于X的列表示树种方面的因素，行表示地区方面的因素，所以根据这3个概率值我们可以知道：树种因素方面的差异显著，地区之间的差异和交互作用的影响不显著(没有某种树特别适合在某地区种植).接下来对树种进一步作单因子方差分析.⑵单因子方差分析[p，anovatab，stats]=anova1(X，[]，'on')p =3.7071e-004anovatab ='Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' 'Columns' [352.5333] [2] [176.2667] [9.1036] [3.7071e-004] 'Error' [1.1036e+003] [57] [ 19.3623] [] []'Total' [1.4562e+003] [59] [] [] []stats =gnames: [3x1 char]n: [20 20 20]source: 'anova1'means: [19.5500 23.5500 17.7500]df: 57s: 4.4003图三种松树直径的box图单因子方差分析结果说明：单因子方差分析进一步确认了树种之间的差异是显著的，由box图可以看出树种B的平均直径最大，故可认为树种B最好.实际上，作多重比较得出的结论更细腻、丰富一些.。
因子分析：双因子方差分析
方差分析：无重复双因素分析 SUMMARY 行 1 行 2 行 3 行 4 列 列 列 列 列 1 2 3 4 5 观测数 5 5 5 5 4 4 4 4 4 求和 172.5 174 166.1 141.7 125.8 128.2 131.9 134.6 133.8 平均 34.5 34.8 33.22 28.34 方差 2.095 2.485 3.732 1.783
31.45 2.67 32.05 15.31667 32.975 13.9425 33.65 12.36333 33.45 9.35
方差分析 差异源 SS 因素B 134.6455 因素A 14.098 误差 26.282 总计 175.0255
df
MS F P-value F crit 3 44.88183 20.49243 5.16E-05 3.490295 4 3.5245 1.609238 0.235断：对因素Ａ，按第一自由度为４，第二自由度为１２，差Ｆ F0.05 ( 4,2) 3.26 FA 1.61 3.26 分布表，相应于α＝０.０５的临界值 为 , ， , 不能拒绝原假设，说明地块的不同对小麦收获量没有显著影响。对于 F0.01(3,12) 6 F .9 6 B 20 因素Ｂ，按第一自由度３，第二自有度１２查 F分表，相应于α=0.01的 临界值为 ,而 ,说明小麦品种的不同对收获 量有显著影响。
四种小麦在不同地块收获量表 单位：斤 地块A A1 A2 A3 A4 Ｂ１ Ｂ２ 品种Ｂ Ｂ３ Ｂ４ 32.3 33.2 30.8 29.5 34 33.6 34.4 26.2 34.7 36.8 32.3 28.1 36 34.3 35.8 28.5
A5 35.5 36.1 32.8 29.4
因子分析双因子方差分析
因子分析双因子方差分析双因子方差分析是一种统计方法，用于研究两个或更多个因素对一些变量的影响。
在双因子方差分析中，变量被分解为与两个或更多个因素相关的部分和与这些因素无关的部分。
这种分析可以帮助我们了解不同因素对变量的影响程度，进而做出更准确的推断和预测。
双因子方差分析可以分为两种类型：全因子方差分析和简化因子方差分析。
全因子方差分析是指在研究中同时考虑到所有的因素和其之间的相互作用对变量的影响。
简化因子方差分析是指只考虑其中一个或几个因素对变量的影响，忽略其他因素的影响。
在进行双因子方差分析时，我们首先要根据实验设计确定不同因素的水平以及这些因素之间的组合情况。
然后，我们需要根据所收集的数据计算不同因素水平和组合的均值和方差。
接下来，我们可以通过计算SS （sum of squares）来分解总方差，以了解不同因素和其交互作用对总方差的贡献程度。
最后，我们可以通过计算F值来检验不同因素和交互作用的显著性。
双因子方差分析的一个重要应用是在实验研究中，特别是在比较不同因素对一些测量指标的影响时。
通过双因子方差分析，我们可以确定哪个因素对测量指标有显著影响，并且可以检验不同因素和其交互作用的效应是否显著。
这对于有针对性地设计实验和解释实验结果非常重要。
双因子方差分析的一个例子是研究两种不同的肥料类型（因素A）和两个不同的灌溉方法（因素B）对植物生长的影响。
研究者可以将试验区域分为四个组合条件：肥料A+灌溉方法1、肥料A+灌溉方法2、肥料B+灌溉方法1和肥料B+灌溉方法2、然后，他们可以测量每个试验组的植物生长情况，并进行双因子方差分析来确定肥料类型和灌溉方法对植物生长的影响，以及是否存在交互作用。
总之，双因子方差分析是一种非常有用的统计方法，可以帮助我们了解不同因素对变量的影响程度，并且可以检验不同因素和其交互作用的显著性。
通过双因子方差分析，我们可以做出更准确的推断和预测，并且有针对性地设计实验和解释实验结果。
多元统计分析-不考虑交互作用的双因子方差分析
不考虑交互作用的双因子方差分析多元统计分析生命科学学院农业生物环境与能源工程为了考察蒸馏水的pH值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中自蛋白与球蛋白的影响，对蒸馏水的pH值(A)取了4个不同水平，对硫酸铜的浓度(B)取了3个不同水平，在不同水平组合(A i，B j)下各测一次白蛋白与球蛋白之比，其结果列于下表中，试在α=0.05显著性水平下检验两个因子对化验结果有无显著差异。
表1 在不同水平组合测得的白蛋白与球蛋白之比数据解：第一步：定义一个分组变量为group2(即在Variable View 中“name”列中的第一行输入group2，并设置“Decimals”的值为O)，该变量表示因子B的3个不同水平，其值1，2，3分别表示B1，B2，B3。
定义一个变量为data(即在VariableView 中“name”列中的第二行输入data)，定义另一个分组变量为group1(即在Variable View 中“name”列的第三行输入groupl，并设置“Decimals”的值为O)，该变量表示因子A的四个不同水平，其值1，2，3，4分别表示A1，A2，A3，A 4。
按照列的顺序(即先输入A1列的数据，然后输入A2列的数据，依此类推)依次输入SPSS(在Data View 中的“data”列中输入表中的12个数据。
输入后的数据如图1所示)。
图1第二步：在菜单上选择Analyze→General Linear Models→Univariate单击，出现Univariate框，将data选入Dependent Variable框，将groupl，group2选入Fixed Factor(s)框。
单击“Model”按钮，选择Custom，将groupl，group2选人Model，在Build Term (s)中选择Main effects，单击“Continue”按钮。
第三步：单击“OK”按钮，得出如下结果。
6-2交互作用双因子方差分析解析
无交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素 B的效应之间是相 互独立的，不存 在相互关系
有交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素B 的结合会产生出一 种新的效应
二、数据结构
r 个不同的水平 A1 , , Ar ， 设因素A 有
s 个不同的水平 B1 , , Bs ， 因素B 有
现对因素A 、B 的每一种不同的水平组合: Ai , B j i 1,2, , r ; j 1,2, , s 都安排t t 2 次试验（称为等重复试验） ，假 定各次试验是相互独立的，得到如下试验结 果：
ij相互独立同分布N (0, 2 )
1 r s 记：u uij ——理论总均值 rs i 1 j 1
1 s 记：ui uij —因素A在i水平下的理论平均 s j 1
1 r 记：u j uij —因素B在j水平下的理论平均 r i 1
uij u ui u u j u uij ui u j u
显然
记：i = ui u
记： j = u j u
它是水平 它是水平 Ai 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平 Ai 下的效应；
Bj
记：rij uij ui u j u uij u i j
所以 r ij
是总效应 uij u 减去 Ai 的效应 i 后的剩余部分，称为水平组合 Ai , B j 的交互效应。
u ij u （视为总效应）是由如下四部分组成：
Ai 下的效应 i ； （1）水平 j ； （2）水平B j 下的效应 A , B ij （3）水平组合 i j 的交互效应 ； ij （4）随机因素引起的随机波动 .
4-两因子方差分析
5.07 4.13
3.21 3.50
3.17 2.47 3.07
Hale Waihona Puke 3.75 2.84 3.10
2.50 3.09 1.99
2.65 2.90 2.42
2.62 2.75 2.37
1
6.17 4.07
5.12
3.78 4.22
5.31 3.92 4.78 4.64 5.26 3.78
3.75 3.63 3.51 5.22 4.35 5.23
i 1 j 1 p 1 r c
r
c
m
2
SS I m ( y ij . y i .. - y. j . y )
i 1 j 1 r
2
SS A cm ( y i .. y )
i 1
2
SS B rm ( y. j . y )
j 1
c
2
定理2 在双因子方差分析模型 中，有
故在不存在交互作用的 前提下，考察 因子的各个水平 A 均值是否一致，等价于 检验 H 0 A : a i . 0, i 1, , r vs H 1 A : 至少有一个 i . 不为0 a
(3)B因子各水平对结果的影 响有无显著差别
同理在不存在交互作用 的前提下，考察 因子的各个 B 水平均值是否一致，等 价于检验 H 0 B : a. j 0, j 1, , c vs H 1 A : 至少有一个 . j 不为0 a
3.46 3.78 5.13 4.12
2.75 2.70 3.13 2.86
3.70 3.90 4.18 3.91
分析
毒素C对肺活量影响严重，毒 A对三个工厂的 素
工人作用不同三种毒素对工厂 的肺活量影响顺序是 . 1 C，B，A，而工厂3的肺活量影响顺序是 ，A，B， C 故可能存在交互作用 .
多元统计分析-不考虑交互作用的双因子方差分析
不考虑交互作用的双因子方差分析多元统计分析生命科学学院农业生物环境与能源工程为了考察蒸馏水的pH直和硫酸铜溶液浓度对化验血清中自蛋白与球蛋白的影响，对蒸馏水的pH直（A）取了4个不同水平，对硫酸铜的浓度（B）取了3个不同水平，在不同水平组合（A i，B）下各测一次白蛋白与球蛋白之比，其结果列于下表中，试在0=0.05显著性水平下检验两个因子对化验结果有无显著差异。
解:第一步：定义一个分组变量为group2（即在Variable View 中“ name列中的第一行输入group2，并设置“ Decimals ”的值为O）,该变量表示因子B的3个不同水平，其值1, 2, 3分别表示B, B2, R。
定义一个变量为data（即在Variable View中“name列中的第二行输入data），定义另一个分组变量为group1（即在Variable View 中“name列的第三行输入groupl，并设置“ Decimals” 的值为0）,该变量表示因子A的四个不同水平，其值1, 2, 3, 4分别表示A, A, A3, A o按照列的顺序（即先输入A 列的数据，然后输入A列的数据，依此类推）依次输入SPSS在Data View中的“data”列中输入表中的12个数据。
输入后的数据如图1所示）o图1第二步：在菜单上选择 An alyze — Gen eral Lin ear Models — Uni variate 单击， 出现 Uni variate 框，将 data 选入 Depe ndent Variable 框，将 groupl , group2 选入 Fixed Factor(s) 框。
单击“ Model ” 按钮，选择 Custom,将groupl , group2 选人 Model ，在 Build Term (s)中选择 Ma in effects ，单击“ Co ntinue ” 按钮。
双因子方差分析[1]
![双因子方差分析[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/1b3c6d5f763231126fdb114c.png)
上面我们讨论了单因子试验中的方差分 析，但在实际问题中，更多出现的却是 多因素试验，往往需要同时研究几种因 素对试验结果的影响，比如农业生产中 需要同时研究肥料和种子品种对农作物 产量的影响。这样的问题就存在两个因 子：一个因子是肥料的种类，一个因子 是种子的品种。
它们两者同时影响着农作物的产量。我们 希望通过试验选取使产量达到最高的肥料 种类和种子品种。由于有两个因子的影响， 就产生一个新问题：不同种类的肥料和不 同品种的种子对产量的联合影响不一定是 它们分别对产量影响的迭加，也就是说肥 料类型和种子品种要搭配得当才能得到最 高产量，这类各因子的不同水平的搭配所 产生的影响在统计学中称为交互作用。各 因子间是否存在交互作用是多因子方差分 析中产生的新问题。
ESe (r 1)(s 1) 2
因此在H01和H02为真时，
SA , SB r 1 s 1
分别是σ2的无偏估计，为此构造统计量
FA
Se
SA (r
(r 1) 1)(s 1)
~
F ((r
1),(r
1)(s 1))
FB
Se
SB (r
(s 1) 1)(s 1)
~
F((s 1),(r 1)(s 1))
变一下，令
1 rs
r i1
s
ij ,
j 1
称为一般平均。
i.
1 s
s j 1
ij
,
i 1,2,,r
. j
1 r
r i1
ij
,
j 1,2, s
i i. , i 1r , 称i为因子A的第i个水平的效应。
j . j , j 1s , 称 j为因子B的第j个水平的效应。
§7.4双因子试验的方差分析(共31张PPT)
ijk ~ N (0, 2 ),各ijk独立，
i 1,..., r, j 1,..., s, k 1,...,t.
r
s
r
s
交互效应模型
i
i1
0,
j 1
j
0，（）ij
i1
0,
（）ij
j 1
0.
,i , j（, ）ij , 2均未知.
假分 设别
H 01
: 1
2
r 0, H11 :1,...,r不全为零,
ij ~ N (0, 2 ), 各ij独立，
i 1,..., r, j 1,..., s.
r
s
i 0, j 0.
i 1
j 1
,i , j , 2均未知.
分别检验(jiǎnyàn)
假设
H01 :1 2
r 0, H11 :1,...,r不全为零,
H02 : 1 2
s
0, H12
FA
MS A MSE
SB
s 1
MSB
SB
s 1
FB
MSB MSE
SE (r 1)(s 1)MSE SE (r 1)(s 1)
ST rs 1
12
第十二页，共三十一页。
例2 假定对3个小麦品种(pǐnzhǒng)和3块试验地块进行区
组设计试验，得到如下的数据：
rs
Xij2 816759
表 小麦品种(pǐnzhǒng)区组试验数据i1 j1
ij , 2均为未知参数.
记
1 rs
r i1
s
ij , ——总平均（一般平均）
j 1
i•
1 s
s
ij , i
双因子方差分析范文
双因子方差分析范文1.设置假设：确定双因子方差分析的零假设和备择假设。
通常，零假设是两个因素之间没有交互作用，并且它们对因变量的影响没有显著差异。
2. 计算总平方和：计算每个观测值与整体平均值之间的差异，然后将这些差异平方求和。
这个求和得到的值被称为总平方和（Total Sum of Squares, SS-T）。
3. 计算处理组平方和：计算每个因素和其水平之间的平方和，得到的值被称为处理组平方和（Between-Group Sum of Squares, SS-B）。
它反映了因素的主效应。
4. 计算误差平方和：计算每个观测值与其所在处理组的平均值之间的差异，然后将这些差异平方求和。
这个求和得到的值被称为误差平方和（Within-Group Sum of Squares, SS-W）。
它反映了每个处理组内的随机变异。
5. 计算交互作用平方和：计算两个因素交互作用效应的平方和，得到的值被称为交互作用平方和（Interaction Sum of Squares, SS-I）。
6. 计算均方：将处理组平方和、误差平方和和交互作用平方和依次除以相应的自由度，得到的值被称为均方（Mean Square, MS-B, MS-W, MS-I）。
7.计算F值：将均方（MS-B,MS-W,MS-I）之间的比值作为F值，用于检验每个因素和交互作用效应的显著性。
8.假设检验：根据F分布表，确定每个因素和交互作用平方和的显著性水平。
9.结果解释：根据显著性水平，确定每个因素和交互作用在因变量上的影响。
如果一些因素或交互作用显著，则说明这个因素对因变量具有显著影响。
总结起来，双因子方差分析是一种重要的统计方法，在许多领域（如实验设计、社会科学和医学研究）中得到广泛应用。
它能够帮助研究者确定两个或多个因素对一些连续变量的主效应和交互效应，并确定它们之间是否存在显著差异。
双因素方差分析法非常好的具体实例35页文档
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
双因子方差分析
双因子方差分析一、数据为了帮助一家企业确定各地区牛排的订货量，节约成本。
现就其不同地区的几家连锁店在同一段时间内不同价格的牛排销售量进行调查，调查所得数据如下：二、计算这里研究的是无交互作用的方差分析模型。
这个模型要检验的假设有两个：若检验结果拒绝 （或 ），则认为因子A （或因子B ）的不同水平对结果有显著影响。
若二者均不拒绝，那就说明因子A 与因子B 的不同水平组合对结果无显著影响。
0:2101====r H ααα 0:2102====r H βββ 01H 02H计算表 r=5 s=4 n=rs=202175477利用上述结果计算各偏差平方和，得： 217544-215788.05=7888.95，1721 2961841 1739 3024121 1685 2839225 142420277761356 1321 1357 1273 12626569108529631838736 1745041 1841449 1620529 15926448638399.iy .2iyjy .2.jy =∑∑ijij y =∑ii y 2.=∑jjy 2.=∑∑ijij y 27888.95215788.05-217544==T S方差分析表三、结论由于所以，在显著水平下，因子A 的不同水平对结果没有显著影响，因子B 的不同水平对结果又显著影响。
即地区对牛排的销售没有显著影响，而价格对牛排的销售具有显著影响，因此，在牛排订货时，应注意不同价格牛排的订货数量，节约成本。
7.287255.130047.201195.7888=--=e S 26.3)12,4(2.1095.0=<F 49.3)12,3( 18.1195.0=>F 05.0=α。
双因子方差分析[1]
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由上述计算可得
1 ST yij ( yij ) 2 46.29 38.52 7.77 n i j i 1 j 1
2 r s
1 r 2 1 r s 1 2 S A yi. ( yij ) 131.43 38.52 5.29 s i1 n i1 j 1 3 1 s 2 1 1 2 S B y. j ( yij ) 162.92 38.52 2.22 r j 1 n i j 4 S e ST S A S B 0.26
A 因 子
y.2 …… y.s
1 ij , rs i 1 j 1 1 s i. ij , s j 1
这里仍假定yij是独立地取自分布为N(μij,σ2)的正态母体的 子样。为研究问题方便，仍如单因子方差分析一样把参数改 变一下，令 r s
称为一般平均。 i 1,2,, r
其中
S e ( yijk yij. )
FB ~ F (2,6)
查表得F1 F0.95 (2,6) 5.1
因
FA F1 (3,6)
FB F1 (2,6)
故拒绝H01,H02认为因子A、B对化验结果都有显著 影响
2、具有交互效应的二因子方差分析 在这种情形下，用前面的记号，因为两因子A 与B存在交互效应 会有μij≠μ+αi+βj 记γij=μij-μ-αi-βj 称它为因子A的第i个水平和因子B的第j个水平 的交互效应，其满足关系式：
.yr11,……yr1t yr21,……yr2t
… … y1s1,……y1st … y2s1,……y2st … … … … yrs1,……yrst …
实验5——双因素方差分析(无重复)
将所有数据输在第一列，并命名为“含量比 ”，将所对应的因素A的水平数输在第二列，命名 为“PH值”，将所对应的因素B的水平数输在第 三列，命名为“浓度”。
3. SPSS程序选项
1）Analyze=>General Linear Model=>Univariate
Si g. .975 .592 .217 .975 .579 .174 .592 .579 .604 .217 .174 .604
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
-2.865
3.732
-2.179
4.245
-1.173
4.706
-3.732
5）单击Continue，返回上一级菜单，单击Option，选择 需显示描述性统计量及方差齐性检验，单击Continue返回上 一级菜单单击OK。
主 要 结 果：
1）描述性统计量
Descriptiv e Statistics
Dep endent Vari abl e : 含 量 比
ph 值 1
浓度 1
2.222
T o ta l
46.290
df 3 2
12
Mean Square 1.763 1.111
F 40.948 25.800
Si g. .000 .001
PA 0.000 0.05, 拒绝原假设，认为因素A对指标有影响 PB 0.001 0.05, 拒绝原假设，认为因素B对指标有影响
4）PH值多重比较
蒸
A1
馏
A2
水
A3
交互作用双因子方差分析
双因 素方 差分 析的 类型
无交互作用的 双因素方差分析
有交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素 B的效应之间是相 互独立的，不存在 相互关系
假定因素A和因素B 的结合会产生出一 种新的效应
二、数据结构
设因素 A 有r 个不同的水平A1,, Ar ， 因素B 有s 个不同的水平B1,, Bs ，
i1
i1
s
s
ij uij ui u j u =0
j 1
j 1
因此，要鉴别因素 A 是否对结果有显著影响，只
需鉴别因素 A 水平的改变是否导致试验结果的明显变
化，这等价于检验因素A 各水平的效应是否相等，即
检验假设
H01 : 1 2 r 是否成立。
ST 2
SE2
SA2
SB2
S2 A B
（6.31）
r s t
下面分析 S E 2
xijk xij 2
i1 j1 k 1
在i 、 j 给定时，t 个数据 xijk （ k 1,2,,t ）与其
t
平均值 xij 的偏差平方和 xijk xij 2 纯粹是由随机因
……
xrs1 , xrs2 , , xrst
在水平组合Ai , B j 下的t 次试验，由于所有可控制
因素均没有发生变化，试验结果 xij1 , xij 2 ,, xijt 的差异
纯粹是由随机因素引起的，故可将数据 xij1 , xij 2 ,, xijt
看成是来自正态总体
X ij ~ N uij , 2
第二节 双因素方差分析
双因素方差分析的类型 数据结构 离差平方和的分解 应用实例
双因子方差分析（ＰＤＦ）
２ 双因子方差分析２．１ 双因子试验当试验条件中涉及到两个因子时，就称为双因子试验。
设A 为一个因子，有I 个水平：A i , I i ,,1L =；B 为另一个因子，有J 个水平：B j , J j ,,1L =。
在设计试验方案时，一个重要问题是如何将两个因子的水平搭配起来。
首先，可以考虑每个因子（A 或B ）的不同水平对试验结果分别会有影响。
其次，两个因子不同的水平组合会有特殊的影响（并不是两个因子水平分别影响的简单叠加）。
在这种情况下，为对各种可能的结果作全面考察，应该对两个因子所有可能的水平组合作试验。
这样的试验就是双因子交叉分组试验。
交叉分组试验是最常见的一种双因子试验。
将A 因子的任一水平A i 与B 因子的任一水平B j 搭配，则总共有I J 种组合：(A i ,B j ), I i ,,1L =; J j ,,1L =.在所有这I J 种组合上至少各作一次试验。
例如，假定要在一些试验小区内试验三个小麦品种（分别记为A1、A2和A3）和两种肥料（分别记为B1、B2），在同一个小区上只种一个品种，同时只施一种肥料。
这样，“品种”和“肥料”就构成两个因子，前者有三个水平，后者有两个水平。
这两个因子的所有可能的水平组合共有623=×种：(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2)。
如果在每种水平组合上作相同次数的试验（run ），则整个试验方案称为是“均衡的”。
与单因子试验的情况不同，在双因子交叉分组试验中，若试验方案不均衡，则方差分析会变得比较困难，我们在以后的章节中再来讨论这个问题。
对于均衡的试验，为保证能分析随机误差，在每个水平组合上应作多于一次的试验，称为“有重复”的。
如果在每个水平组合上只作一次的试验，则称为“无重复”的。
对于无重复的交叉分组试验，只有在模型简化之后，才能留有“自由度”来分析误差。
另一种双因子试验的水平组合方式是“嵌套分组”，有时也会遇到。
双因素方差分析实例
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某葡萄酒企业有化验员3人，担任葡萄酒酒精度检验 (jiǎnyàn)。每人从B1到B10 10个贮酒罐随机抽样1次进行检验 (jiǎnyàn)，检验(jiǎnyàn)结果如表所示，试分析3名化验员的 化验技术有无差异，以及每罐葡萄酒的酒精度有无差异。
A3
11.61 10.75 12.40 12.41 10.72 13.10 13.58 12.88 11.46 12.94
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❖ 因素(yīn sù)“酒 罐号”有10个酒罐， 每个酒罐抽取3个样 品，“化验员”有3 名，每名化验员抽 取10个样品，每个 酒罐抽取样品1个。
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❖ 每个酒罐葡萄酒的平均(píngjūn)酒精度和平均(píngjūn)数的标准差
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❖ B2与B5、B1与B9，B4与B3、B8与B4、B3、B10与B8差异不显著 (xiǎnzhù)；
❖ 不同贮酒罐内葡萄酒的酒精度均差异显著(xiǎnzhù)。
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双因素(yīn sù)方差分析（有重 复）
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为了提高某产品的得率，研究了 提取温度（A）和提取时间（B）对产 品得率的影响。提取温度（A）有3个 水平，A1为80℃、A2为90℃、A3为 100℃；提取时间B有3个水平，B1为 40min，B2为30min，B3为20min，共 组成9个水平处理组合，每个水平组 合含3个重复。实验(shíyàn)结果如 表所示，试分析提取温度和提取时间 对该产品得率的影响。
贮酒罐编号
化验
员
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
A1
11.71 10.81 12.39 12.56 10.64 13.26 13.34 12.67 11.27 12.68
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收稿日期: 2007- 11-02 作者简介: 叶红卫( 1979- ) , 男, 广东龙川人, 广东省河源职业技术学院教育系. 应用SPSS 进行双因子方差分析叶红卫, 朱蓝辉( 河源职业技术学院教育系, 广东河源517000) 摘要: 通过用统计软件SPSS 对两个实例进行双因子方差分析, 一个是不考虑交互作用的双因子方差分析, 另一个是考虑交互作用的双因子方差分析. 给出了用统计软件SPSS 进行双因子方差分析的详细步骤和对得到的结果进行了分析, 并指出了用SPSS 进行双因子方差分析时应注意的问题. 关键词: 显著水平; 变量; 方差分析中图分类号: O 2121 6 文献标识码: A 文章编号: 1673-1492 ( 2008) 02-0063-03 Using SPSS to Make Double Factor Variance Analysis YE H ong-wei, ZHU Lan-hui( Depar tment of Education, Heyuan Polytechnical College, Heyuan 517000, Guangdong, China) Abstract: This paper shows t he det ailed process of the double f act or var iance analysis in two examples using SPSS. Bet ween t he t wo examples, one is analyzed in no regarding of the int eract ion of t he double fact or variance; t he ot her is analyzed in regarding of t he int eraction of the double f act or variance. It also point s out t he aspect s t hat should be paid at tention t o when using SPSS t o make t he double f act or variance analysis. Key words: remarkable level; variable;variance analysis 1 引言方差分析广泛用在各种论文的数据分析和处理中, 那么, 如何进行方差分析呢, 下面通过两个具体的实例来介绍应用统计软件SPSS 进行双因子方差分析, 为了方便起见, 称在试验中变化的因素为因子, 用A, B, C ,表示, 因子在试验中所取的不同状态称为水平, 因子A 的r 个水平用A1 , A2 , ,, Ar 表示. 2 用SPSS 进行双因子方差分析 21 1 不考虑交互作用的双因子方差分析例1 为了考察蒸馏水的pH 值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响, 对蒸馏水的pH 值( A) 取了4 个不同水平, 对硫酸铜的浓度( B) 取了3 个不同水平, 在不同水平组合( Ai , Bj ) 下各测一次白蛋白与球蛋白之比, 其结果列于下表中, 试在A= 01 05 显著性水平下检验两个因子对化验结果有无显著差异. [ 1] 表1 在不同水平组合测得的白蛋白与球蛋白之比数据A1 A2 A3 A4 B1 31 5 21 6 21 0 11 4 B2 21 3 21 0 11 5 01 8 B3 21 0 11 9 11 2 01 3 # 63 # 第24 卷第2 期2008 年4 月河北北方学院学报( 自然科学版) Jour nal of Hebei North University ( Nat ur al Science Edition) Vol 1 24 No1 2 Apr1 2008 第一步: 定义一个分组变量为group2 ( 即在Var iable View 中/ name0列中的第一行输入group2, 并设置/ Decimals0 的值为0) , 该变量表示因子B 的3 个不同水平, 其值1, 2, 3 分别表示B1 , B2 , B3 . 定义一个变量为dat a ( 即在Variable View中/ name0 列中的第二行输入data) , 定义另一个分组变量为group1 ( 即在Variable View 中/ name0 列的第三行输入group1, 并设置/ Decimals0 的值为0) , 该变量表示因子A 的四个不同水平, 其值1, 2, 3, 4 分别表示A1 , A2 , A3 , A4 . 按照列的顺序( 即先输入A1 列的数据, 然后输入A2 例的数据, 依此类推) 依次输入SPSS ( 在Data View 中的/ dat a0 列中输入表中的12 个数据. 输入后的数据如图1 中的( 1) 所示) . 第二步: 在菜单上选择Analyze yGeneral Linear Models yUnivariat e 单击, 出现Univariat e 框, 将dat a 选入Dependent Variable 框, 将group1, group2 选入Fixed Fact or ( s) 框. 单击/ Model0 按钮, 选择Cust om, 将gr oup1, group2 选入Model, 在Build Term ( s) 中选择Main ef fect s, 单击/ Cont inue0 按钮. 第三步: 单击/ OK0 按钮, 得出如下结果. 表2 SPSS 得到的双因子方差分析结果数据( 不考虑交互作用) Source Type I II Sum of Squares df Mean Square F Sig. Cor rected Model 71 511 ( a) 5 11 502 341 889 01 000 Intercept 381 521 1 381 521 8941 677 01 000 Group2 21 222 2 11 111 251 800 01 001 Group1 51 289 3 11 763 401 948 01 000 Er ror 01 258 6 01 043 T otal 461 290 12 Cor rected Total 71 769 11 注: a. R Squared = 01 967 ( Adjust ed R Squared = 01 939) 第四步: 结果分析: 从上表可知, group1 和group2 的p 值均小于01 05, 所以, A= 01 05 在显著性水平下, 因子 A 的不同水平及因子B 的不同水平都对化验结果有显著影响. 21 2 考虑交互作用的双因子方差分析例2 在某化工生产中为了提高收率. 选了3 种不同浓度, 4 种不同温度做试验, 在同一浓度与温度组合下各做两次试验,其收率数据如下表所列( 数据均减去75) , A= 01 05 试在显著性水平下检验不同浓度、不同温度以及它们间的交互作用对收率有无显著影响. [ 1] 表3 两次实验的收率数据表B ( 温度) A ( 浓度) B1 B2 B3 B4 A1 141 10 111 11 131 90 101 12 ( 24) ( 22) ( 22) ( 22) A2 91 70 101 80 71 11 61 10 ( 16) ( 18) ( 18) ( 16) A3 51 11 131 14 121 13 141 10 ( 16) ( 27) ( 26) ( 24) 第一步: 定义一个分组变量为group1 ( 即在Var iable View 中/ name0 列中的第一行输入group1, 并设置/ Decimals0 的值为0) , 该变量表示因子 A 的 3 个不同水平, 其值1, 2, 3 分别表示A1 , A2 , A3 . 定义一个变量为data ( 即在Variable View 中/ name0 列中的第二行输入dat a) , 定义另一个分组变量为group2 ( 即在Variable View 中/ name0 列中的第三行输入group2, 并设置/ Decimals0 的值为0) , 该变量表示因子 B 的四个不同水平, 其值1, 2, 3, 4 分别表示B1 , B2 , B3 , B4 . 按照行的顺序( 即先输入A1 行的数据, 然后输入A2 行的数据, 依此类推) 依次输入SPSS ( 在Dat a View 中的/data0 列中输入表中的24 个数据, 输入后的数据如图1 中的( 2) 所示) . 第二步: 在菜单上选择Analyze yGeneral Linear Models yUnivariat e 单击, 出现Univariat e 框, 将# 64 # 2008 年4 月河北北方学院学报( 自然科学版) 第2 期dat a 选入Dependent Variable 框, 将group1, group2 选入Fixed Fact or ( s) 框. 单击/ Model0 按钮, 选择Ful l f act orial, 单击/ Cont inue0 按钮. 第三步: 单击/ OK0 按钮, 得出如下结果. 表4 SPSS 得到的双因子方差分析结果数据( 考虑交互作用) Source Type III Sum of Squares df Mean Squar e F Sig. Corr ect ed Model 821 833 ( a) 11 71 530 11 390 01 290 Int ercept 2 6041 167 1 2 6041 167 4801 769 01 000 Gr oup1 441 333 2 221 167 41 092 01 044 Gr oup2 111 500 3 31 833 01 708 01 566 Gr oup1* Gr oup2 271 000 6 41 500 01 831 01 568 Error 651 000 12 51 417 Total 2 7521 000 24 Corr ect ed Total 1471 833 23 注: a. R Squared = 01 560 ( Adjust ed R Squared = 01 157) 第四步: 结果分析从上表可知, group2 和group1 * group2 的p 值均大于01 05, 只有group1 的p 值小于01 05 所以, 在A= 01 05 显著性水平下, 因子A 是显著的, 即浓度不同将对收率产生显著影响; 而温度及交互作用的影响都不显著[ 7] . group2 dat a group1 1 31 50 1 2 21 30 1 3 21 00 1 1 21 60 2 2 21 00 2 3 11 90 2 1 21 00 32 11 503 3 11 20 3 1 11 404 2 01 80 4 3 01 30 4 ( 1) group1 dat a group2 1 141 00 1 1 101 00 1 1 111 00 2 1 111 00 2 1 131 00 3 1 91 00 3 1 101 00 4 1 121 00 4 2 91 00 1 2 71 00 1 2 101 00 2 2 81 00 2 2 71 00 3 2 111 00 3 2 61 00 4 2 101 00 4 3 51 00 1 3 111 00 1 3 131 00 2 3 141 00 2 3 121 00 3 3 131 00 3 3 141 00 4 3 101 00 4 ( 2) 图1 输入的数据在SPSS 中的视图 3 结论用SPSS 统计软件进行方差分析是非常简便和快捷的, 但是, 要注意SPSS 进行方差分析时, 对数据的输入的格式是有要求的, 一般来说, 定义的分组变量主要是用来表示因子的不同水平. [ 2] 如果输入的数据的格式不对, 那么将得不到正确的结果.所以, 在用SPSS 进行方差分析时要注意到这一点. 参考文献: [ 1] 魏宗舒. 概率论与数理统计教程[ M] . 北京: 高等教育出版社, 2002. 380-391 [ 2] 余建英, 何旭宏. 数据统计分析与SPSS 应用[ M] . 北京: 人民邮电出版社, 2003. 56-62 [ 3] 李爱军, 刘兵. 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