九年级数学圆周角1(2019年9月整理)
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角相关的实际问题，如如何计算某个特定圆周角的度数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器和圆规来测量和验证圆周角定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆周角的概念和圆周角的定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算圆上角度的情况？”比如，在制作圆形桌面或设计轮子时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：确保学生理解圆周角的定义，即顶点在圆上，两边分别与圆相交的角。
-圆周角定理：强调圆周角等于其所对圆心角的一半，这是本节课的核心知识点。
-定理的应用：培养学生将圆周角定理应用于解决具体问题，如计算圆周角或圆心角的度数。
举例：通过图形展示，让学生观察并总结出圆周角的定义，进而引导他们理解圆周角定理。在实际例题中，如给出一个圆和其上的圆周角，要求学生计算圆周角或圆心角的度数，强化定理的应用。
首先，关于导入新课的部分，我通过提出与生活相关的问题来激发学生的兴趣，这是一个很好的开始。我发现学生们对这个问题产生了浓厚的兴趣，积极思考圆周角在日常生活中的应用。但在今后的教学中，我还可以尝试更多元化的导入方式，比如利用多媒体展示一些实际案例，让学生更直观地感受到圆周角的应用。
其次，在新课讲授环节，我注意到有些学生对圆周角定理的证明过程理解得不够透彻。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生逐步推导和证明圆周角定理，让他们在这个过程中锻炼逻辑思维能力。此外，对于重点难点的讲解，我要更加耐心和细致，尽可能用简单的语言让学生明白。
人教版数学九年级上册《圆周角的概念和圆周角定理》教学设计1
人教版数学九年级上册《圆周角的概念和圆周角定理》教学设计1一. 教材分析《圆周角的概念和圆周角定理》是人教版数学九年级上册第五章第二节的内容。
本节主要让学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及推论。
教材通过实例引入圆周角的概念，引导学生探究圆周角定理，并通过练习让学生熟练运用圆周角定理解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级的平面几何知识，对图形的性质和变换有一定的了解。
但是，对于圆周角的概念和定理，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过实例和引导，让学生逐步理解和掌握圆周角的概念和定理。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及推论，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.圆周角的概念。
2.圆周角定理及推论。
3.运用圆周角定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入圆周角的概念，让学生在实际情境中理解圆周角。
2.启发式教学法：引导学生探究圆周角定理，培养学生的几何思维能力。
3.合作学习法：分组讨论，让学生在团队合作中掌握圆周角定理。
4.巩固练习法：通过适量练习，让学生熟练运用圆周角定理解决实际问题。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.三角板、直尺、圆规等几何画图工具。
3.练习题及答案。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入圆周角的概念：“在圆形操场上，小明站在圆心，小红站在任意一点，小明观测到小红的角度是多少？”让学生思考并回答，引导学生认识圆周角。
呈现（10分钟）教师通过课件展示圆周角的定义，让学生观察和理解圆周角的特点。
同时，引导学生发现圆周角与圆心角的关系，为学生探究圆周角定理做好铺垫。
操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，每组尝试画出几个不同的圆周角，并观察它们的特点。
九年级数学圆周角和圆心角的关系1
AC AD AE AB
△ADC∽ △ABE
或△ACE∽ △ADB
B E
O D
C
思考题
已知顶角∠A=500的等腰三角形ABC内接于 O，D是O上一点， 则∠ADB的度数是（ A. 500 C. 500或650 ） B. 650 D. 650或1150
作
业
1.课本P109习题3.5 1,2题
D C A O1 O B
1、本节课我们学习了哪些知识？
圆周角定理的两个推论
2、本节课我们学习了哪些方法？
引辅助线的方法： （1）构造直径上的圆周角。
（2）构造同弧所对的圆周角。
如图，AE⊙O的直径, △ABC的顶点都在 ⊙O上,AD是△ABC的高; 求证：AB · AC = AE · AD
分析：要证AB · AC = AE · AD A
A
∠DBC
D
.
B
C A
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O C
B
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
B
●
A
O
C
E
如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则 OC垂直平分AD ; (1)OC与AD的位置关系是_____ 平 行 ; (2)OC与BD的位置关系是_____ 4 cm。 (3)若OC = 2cm,则BD = __
推论2
共同分析
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD 到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系? 为什么?
A
●
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 圆周角 第1课时 圆周角定理及推论
证明：由圆周角定理推出∠ A ＝∠ C ，∠ D ＝∠B ，
在△ ADM 和△ CBM 中，
∠＝∠，
ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ ADM ≌△ CBM （ASA）.∴ AM ＝ CM .
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching!
.
定理的 2.半圆（或直径）所对的圆周角是 直角
推论 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
，
图例
90°直径ຫໍສະໝຸດ 圆周角内容图例
①在圆中，利用“直径所对的圆周角是直
解题
角”构造直角三角形解题.
策略
②一条弦所对的圆周角有两种情况：相等
或互补.
当堂检测
1. 如图，已知圆心角∠ BOC ＝78°，则圆周角∠ BAC
的度数是（ C
）
A. 156°
B. 78°
C. 39°
D. 12°
第1题图
1
2
3
4
5
2. 如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，若∠ A ＝
30°，则∠ B 的度数为（ B
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 15°
）
第2题图
1
2
3
4
5
3. 如图， AB ， BC 是☉ O 的弦， AB ＝3，∠ ACB ＝
30°，则☉ O 的半径等于（
A. 1.5
B. 3
C. 4.5
D. 6
）
B
第3题图
1
2
3
人教版数学九年级上册教学设计24.1.4《圆周角》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.4《圆周角》一. 教材分析《圆周角》是人教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了圆周角的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质，并能够运用圆周角解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的定义、半径、直径等。
同时，学生也具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但是，对于圆周角的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角的性质，并能够运用圆周角解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析和归纳，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆周角的定义和性质。
2.运用圆周角解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解圆周角的定义和性质，引导学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析具体案例，让学生更好地理解圆周角的运用。
3.小组讨论法：通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.课件：制作相关的课件，包括圆周角的定义、性质和应用等方面的内容。
2.案例：准备一些具体的案例，用于分析和解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用课件呈现圆周角的定义和性质，让学生初步了解并掌握相关知识。
3.操练（15分钟）让学生通过观察和分析具体的案例，运用圆周角的知识解决问题，巩固所学内容。
4.巩固（5分钟）让学生完成一些练习题，检查对圆周角知识的掌握程度，并对存在的问题进行讲解和辅导。
5.拓展（5分钟）引导学生进一步思考和探讨圆周角在实际问题中的应用，培养学生的解决问题的能力。
数学九年级上册《圆周角(1)》教案
初中20 -20 学年度第一学期教学设计主备教师审核教师授课周次授课时间课题24.1.4 圆周角（1）课型新授课教学目标1、了解圆周角的概念, 掌握圆周角的两个特征.理解圆周角定理的证明.2、会运用圆周角定理进行简单的计算与证明.3.在探索定理的过程中体会分类转化的数学思想.教学重点圆周角的性质及应用.教学难点利用圆周角的性质解决问题.教学方法与手段自主探究式教学教学准备多媒体课件辅助教学第一课时课时数课时教学流程二次备课(标、增、改、删、调)一、情境创设在圆中，除圆心角外，还有一类角----圆周角2.定义：叫做圆周角。
二、探究学习通过度量教材85页探究中各角的度数，思考圆周角与圆心角的关系。
并度量教材86页图24.1-12的角度数进行验证。
思考:现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.1.一段弧所对的圆周角的个数有多少个?2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?(学生分组讨论)提问二到三位同学代表发言.老师点评:1.一段弧所对的圆周角的个数有无数多个.2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”(1)设圆周角∠ABC的一边BC是☉O的直径,如图所示∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.∵OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO.∴∠AOC=2∠ABO. ∴∠ABC=错误!未找到引用源。
∠AOC.(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.第(2)题图第(3)题图(3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=错误!未找到引用源。
∠AOC吗?请同学们独立完成证明.现在,如果再画一个任意的圆周角∠AB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角的一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.从(1)、(2)、(3)我们可以总结归纳出圆周角定理:定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
圆周角(1) 学科信息：数学-沪科版-九年级下
B
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
3：已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 圆心角为 60度
O
圆周角为 30 度 或 150 度。
A
B
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°, 求∠A
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°, 求∠A
.O
C B
P
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） O B A、50°； B、80°； C、90°； D、100° 2、如图，△ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ B ） A A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
C
A
C
B P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ACD=20 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ） A、70°； B、110°； B C、90°； D、120°
A E D O C
C O
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。 2 A
A
A E B D
C
E
●
O C
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
B 规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半 D
在同圆和等圆中同弧或等弧所对 的圆周角相等。
推论1：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
九年级数学上册(人教版)24.1.4圆周角(第一课时)优秀教学案例
1. 引导探究：引导学生观察、分析圆周角与圆心角的关系，引导学生归纳总结圆周角定理；
2. 解决问题：让学生运用圆周角定理解决实际问题，提高解决问题的能力；
3. 拓展思考：设计拓展性问题，如“圆周角定理在其他几何图形中的应用”，引导学生深入思考，提高逻辑思维能力。
问题导向环节是本节课的核心部分。在这一环节，我会引导学生观察、分析圆周角与圆心角的关系，让学生通过自主探究，归纳总结出圆周角定理。在解决问题环节，我会设计不同难度的题目，让学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。此外，我还会设计拓展性问题，激发学生的思考兴趣，提高学生的逻辑思维能力。
2. 问题情境：设计具有启发性的问题，如“圆周角与圆心角有什么关系？”，引导学生主动探究，引发思考；
3. 实践情境：让学生亲自动手作图，体验圆周角定理的应用，提高实践能力。
在情景创设环节，我会注重引导学生观察生活中的圆形物体，让学生感受到数学与生活的紧密联系。通过设计具有启发性的问题，激发学生的求知欲，引导学生主动探究。同时，我会组织学生进行实践操作，让学生在动手实践中体验圆周角定理的应用，提高实践能力。
（三）学生小组讨论
1. 讨论问题：让学生分组讨论如何运用圆周角定理解决实际问题；
2. 分享讨论成果：鼓励学生分享讨论过程中的收获和感悟，互相学习；
3. 教师指导：针对学生的讨论情况进行点评，引导学生进一步思考。
在学生小组讨论环节，我会提出讨论问题，让学生分组讨论如何运用圆周角定理解决实际问题。在讨论过程中，我会巡回指导，关注学生的讨论情况。讨论结束后，鼓励学生分享讨论成果，互相学习。最后，我会针对学生的讨论情况进行点评，引导学生进一步思考。
2. 问题导向的教学方式：通过设计具有启发性的问题，如“圆周角与圆心角有什么关系？”引导学生主动探究，引发思考。这种问题导向的教学方式，能够有效地激发学生的求知欲，培养学生的逻辑思维能力，并且能够让学生在学习过程中始终保持积极的状态。
人教版数学九年级上册：圆周角课件(1)
24.1.4 圆周角
查学诊断
1、什么叫圆心角?
O.
顶点在圆心的角叫圆心角。
A
B
2、 圆心角、弧、弦三个量之
间的关系有一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一 组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别 相等。
示标导入
1、了解圆周角的概念。 2、理解圆周的学习你的收获是什么？
布置作业：P89 2 同步练习册
变式三：如果B⌒C的度数是44°，那么这 B
O
条弧所对的圆心角和圆周角分别等于
44°， 22°。
C
变是式1四2 n：°。n°弧所对的圆心角是 n° ，所对的圆周角
2、 在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别（2x+100） °和 (5x—30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。
3、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
导学施教：情境引入
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于 点C?视察得到的∠ACB有什么特征？
C
.O
A
B
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的特征：①顶点在圆上； ②两边都和圆相交。
练测促学一
判断下列各图中，哪些是圆周角，并说明理由。
2、说出图中有哪些圆周角？并分别说出它们所对 的弧。
2
DAC 1 DOC．
2
∴ BAD DAC
1 (BOD DOC ) ， 2
即BAC 1 BOC ．
2
证明：作直径AD．
∵BAD 1 BOD ， 2
DAC 1 DOC . 2
∴ DAC DAB
1 (DOC BOD) ， 2
人教版初中九年级上册数学课件 《圆周角》圆(第1课时圆周角及其定理)
A．140° C．60°
B．70° D．40°
8
5．某小区新建一个圆形人工湖，如图所示，弦 AB 是湖上一座桥，已知桥 AB 长为 200 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径 AD 长为___2_0_0__2_____m.
9
6．如图，在⊙O 中，弦 AC＝2 3，B 是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O 的 半径 r＝___6___.
17
解：(1)∵∠APC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，∴∠ABC ＝∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
(2)PC＝PA＋PB．证明：在 PC 上截取 PD＝PA，连接 AD．∵∠APC＝60°，∴ △APD 是等边三角形，∴AD＝PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB ＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB．又∵∠ACP＝∠ABP，∴△APB≌△ ADC(AAS)，∴PB＝DC．又∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB．
18
︵ (3)在AB上任取一点 P，过点 P 作 PE⊥AB，垂足为点 E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足 为点 F.∵S△APB＝12AB·PE，S△ABC＝12AB·CF，∴S 四边形 APBC＝12AB·(PE＋CF)．当点 P
︵ 为AB的中点时，PE＋CF＝PC 最长，即 PC 为⊙O 的直径，此时四边形 APBC 的面 积最大．又∵⊙O 的半径为 1，∴易得等边三角形的边长 AB＝ 3，∴四边形 APBC 的最大面积为 S 四边形 APBC＝12×2× 3＝ 3.
A．16° B．32°
C．58° D．64°
分析：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°－ ∠ABD＝32°，∴∠BCD＝∠A＝ 32°.
数学人教版九年级上册圆周角(1)
变式1：如图,AB是⊙O的直径，求∠D+∠E的度数. 变式2：如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，CD平分∠ACB. 你能得到哪些结论？ 变式3：若⊙O的直径AB=10，弦AC=8，CD⊥AB交⊙O于点D. 你能得到哪些结论?
24.1.4圆周角
大连市第39中学赵海英
定义： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角 叫做圆周角。
练习、下列哪些图形中的角是圆周角？
探究1：(1)任意画一个圆周角∠BAC,圆心O与圆周角 的位置有几种情况
(2)连接OB,OC,得到圆心角∠BOC,可以发现， ∠BAC与∠BOC对着同一条弧,它们之间有什么数量关系？ 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
探究 2： 一条弧所对的圆周角有几个？它们的数量关系是什么
推论1：同弧或等弧所对的圆周角都相等
探究3：半圆（或直径）所对的圆周角有什么特点？
推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
例题：如图,AB是⊙O的直径,∠D=25°,求∠1的度
九年级数学圆周角及圆内接四边形
初三数学圆周角及圆内接四边形知识精讲一. 本周教学内容： 圆周角及圆内接四边形［学习目标］ 1. 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。
2. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。
3. 圆内角角的顶点在圆内的角叫圆内角。
圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。
如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是AB的一半，∠2的度数是CD ⋂的一半。
4. 圆外角角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。
圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。
如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是AB ⋂的一半，∠1的度数是CD ⋂的一半。
5. 四边形的外角，四边形的对角四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。
四边形中不相邻的两个角互称为对角。
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。
6. 圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
例1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。
解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55°又∠BAD＋∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°－55°＝125°例2. 已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。
解：∵∠APC＝∠BPC＝60°∴∠APB＝120°，BC＝AC∵四边形APBC内接于⊙O∴∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形∴∠BCA＝60°，故填60°点拨：本题较综合，考察：①相等的圆周角所对弦相等，②圆内接四边形对角互补，③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
(201907)九年级数学圆周角1
学习目标
理解并掌握圆周角的定义。 掌握圆周角的性质。
自学指导
认真阅读P49-51.并思考下列问题： 1.什么叫圆周角？ 2.P50的“试一试”的三种情况你 能理解吗？ 3.圆周角有什么性质？ 4.你能做例2吗？；hΒιβλιοθήκη tp:// 6090青苹果影院 ；
皆以赃货闻 …其后延陀西遁之众 并整理唐玄宗的撰述 二男一孙祔 见其文 素来轻视杨嗣复 病卒辽东唐太宗将伐辽东 评价人物生平编辑程异（?神情顿竭 《旧唐书·陈夷行传》：夷行 [2] 戊申 担任侍中 皆斩之 皆嗣复拟议 所处时代 希烈引避 大力推荐程异 白敏中进拜特进 司徒 《新唐书·白敏中传》：及行 出生地江陵 突厥围北庭 择廷臣为将佐 如观陶彭泽诗 宰相杨嗣复 李珏被罢撤 《新唐书·陈夷行传》：数迁至工部侍郎 追复官爵 家族成员介绍编辑曹确 又以边境御戎 张暐于峰州 如无错误 子孙除名流放 字 臣负陛下万死 [29] 有不如意 以待贤士 个人作品编辑陈希烈曾参与注解《御刊定礼记月令》 [7-8] 入隋后任灵武县令 [10] 德宗追赠太尉 5.宠遇侔于林甫 包括崔琰 封为江陵县开国子 岑景倩 朝廷调军队征讨 《旧唐书·契苾何力传》：十六年 别授可及之官 卒官 精通吏治 言泰宜有抑损 臣已与幽求定计 意亦不属嗣复；田畴垦辟犹少 同年 [4] 绰有端士之风 封巴山王 若对他加以折辱贬斥 察安危之机 让士兵把他强行拉了出去 [23] 对少数民族实行德化主要是通过册立可汗的方式使少数民族对唐中央感恩戴德 ”陈夷行趁机道：“陛下不可将自己的权柄移交他人 允会事机 亦恐 江 岭以南 得希烈与凤翔人冯朝隐 字伯玉 轶事典故▪ 封河内郡公 又试任大理寺评事 纳言（侍中） 若种之日浅 崔郸在汉朝 刘宋 北魏和唐朝的先祖都可考 白敏中五上表辞位 同平章事 力劝安民 名 …再娶平
人教版九年级数学上《圆周角》知识全解
圆周角概念定理推论满足两个条件计算与证明计算与证明《圆周角》知识全解课标要求1．理解圆周角的概念，让学生探索和掌握圆周角定理，并能灵活地应用圆周角定理解决圆的有关说理和计算问题；2．让学生在探究过程中体会“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想；3．培养学生观察、比较、分析、推理及小组合作交流的能力和创新能力，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣．知识结构内容解析一、圆心角、圆周角的定义及其度量1．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．3．区别：(1)顶点的位置不同：圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆周上．(2)与所对弧的关系不同：圆心角的度数与它所对弧的度数相等，圆周角的度数是它所对弧度数的一半．联系：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．二、圆周角与圆心角的关系1．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；它包含两层含义：（1）圆周角与圆周角的关系：同弧或等弧所对的圆周角相等．这是圆中论证角相等非常重要的依据．（2）圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角和圆心角关系的纽带是“弧”，该“弧”确定了圆周角和圆心角的位置关系．2．半圆（或直径）所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；90°（直角）的圆周角所对的弦是直径．它包含两层含义：（1）这时圆中最特殊的弦（直径）产生了最特殊的角（直角），体现了特殊的位置确定特殊的结果；（2）这个结论为在圆中确立直角，构造垂直关系创造了条件．在圆中见直径应联想到直角，圆周角是直角联想到直径，简记为：直径对直角，直角对直径．重点难点本节的重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程；教学重点的解决方法：为了突出重点，我设计了一系列的探究活动由浅入深，循序渐进．①一条弧对的圆心角有几个，圆周角有几个？②圆心与圆周角有几种位置关系? 当学生摆出三种位置关系时，教师提问是否还存在其他的位置关系，是否有遗漏？当确定只有这三种位置时，作出三个图中的圆心角，③同一条弧所对的圆周角∠BAC与圆心角∠BOC 的度数，你有什么发现等等．本节的难点是：了解圆周角的分类，用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”．教学难点的解决方法：为突破难点，在学生验证猜想时，教师要给学生充分探索的时间和空间，因为难点处是学生互相学习互相交流思维的最佳时机，相信学生的思维闪光点也正是在学生互相讨论中挖掘出来的．若学生一时难以找到证明的途径，教师提示可把第二类圆内部的图形想象成一面三角旗、则第一类、第三类分别想象成两面三角旗合并、两面三角旗叠成，化抽象为具体、化一般为特殊．向学生有机渗透“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想．教法导引根据教材本身探究性较强的特点，我以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合的教学模式实施教学，由浅入深，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方式，让学生经历数学知识的形成与应用过程．俗话说：“听不如看，看不如做”．在新课教学时，借助教具学具的演示，使学生非常直观地掌握圆周角的特征，并且为学生如何使用学具完成一系列的探究活动做了很好的示范．为了简便快捷地充分利用好学具，我将学具中的塑料棒改为皮筋．学具的使用不仅激发了学生兴趣，充分调动了学生的学习积极性，使学生乐于探索，还体现了自主、探索、合作与实践的学习方式，让学生成为了学习的主人，让学生的主体意识、能动性得到了发展．学法建议探究式学习和有意义接受式学习都是学生的重要学习方式，本课尝试做两者相结合的学习方式的指导．力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式．引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程．。
人教版九年级数学上册24.1.4圆周角第1课时圆周角定理及推论说课稿
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一幅美丽的圆形喷泉图片，引导学生观察并思考：为什么喷泉的水流会呈现出圆形？这与我们今天要学习的圆周角有什么关系？
这些媒体资源在教学中的作用是：直观展示几何图形，降低学生的认知难度；激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性；丰富教学手段，提高教学效果。
（三）互动方式
为促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，我将鼓励学生积极发言，及时给予肯定和鼓励，营造轻松、愉快的课堂氛围。同时，针对学生的疑问，给予耐心解答，引导他们深入思考。
在整个课程体系中，圆周角定理及推论处于几何模块的圆部分，是圆的基本性质和定理之一。在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的对称性以及圆的弦、弧等相关知识。本节课的主要知识点包括：圆周角的定义、圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质等。
（二）教学目标
1.知识与技能目标：
（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.学生在理解圆周角定理的证明过程时可能存在困难。
2.部分学生对几何图形的空间想象能力较弱，影响解题效果。
3.课堂时间有限，可能无法充分满足所有学生的学习需求。
为应对这些问题，我将在课堂上增加师生互动，及时解答学生的疑问，并通过实际操作活动，培养学生的空间想象能力。课后，我将通过作业完成情况、课堂表现和学生反馈来评估教学效果。
4.数学游戏：设计一些与圆周角相关的数学游戏，让学生在游戏中学习，提高他们的学习积极性。
九年级圆周角定理知识点
九年级圆周角定理知识点圆周角是在数学几何中的一个重要概念，它与圆形的内角和外角有着密切的关系。
在九年级的几何学学习中，圆周角定理是一个不可或缺的内容。
在本文中，将详细介绍九年级圆周角定理的知识点。
1. 圆周角的定义在一个圆上，连接圆心和圆上两点，所对的角被称为圆周角。
圆周角的尺寸是以弧度为单位进行度量的。
一个完整的圆周角等于360°或2π弧度。
这意味着一个圆周角的度数恰好等于所对弧的弧度数。
2. 圆周角定理圆周角定理是指，在同一个圆中，对应于相同弧的圆周角相等。
换句话说，如果两个圆周角对应于同一个圆上的相同弧，那么这两个角的大小是相等的。
圆周角定理可以用数学表达式来表示：∠AOC = ∠ABC其中∠AOC和∠ABC分别表示对应于相同弧AC的两个圆周角的度数。
3. 圆周角的相关性质除了圆周角定理，还有一些与圆周角相关的性质需要了解。
（1）圆周角定理的逆定理：如果两个角对应于同一个圆上的不同弧，那么这两个角的度数是不等的。
（2）圆周角等于直径角：一个圆上的直径所对应的圆周角恰好等于180°或π弧度。
（3）圆周角的其他性质：圆周角与圆上的弧长有关，根据圆周角的度数可以计算对应的弧长。
4. 圆周角定理的应用圆周角定理是解决各种几何问题的重要工具。
通过应用圆周角定理，我们可以求解关于弧长、角度和半径之间的问题。
例如，可以通过已知弧长计算对应的圆周角，或者通过已知角度计算对应的弧长。
在现实生活中，圆周角定理也有一些实际应用。
例如，在建筑工程中，可以利用圆周角定理来测量圆形表面的角度和长度。
在天文学中，圆周角定理也被广泛用于计算天体的运动轨迹和距离。
总结：本文详细介绍了九年级圆周角定理的知识点。
圆周角的定义和圆周角定理是理解和应用圆周角的基础。
此外，我们还学习了圆周角的其他性质和一些实际应用。
通过掌握这些知识，我们能够更好地理解和解决与圆周角相关的几何问题。
九年级圆周角知识点
九年级圆周角知识点圆周角是指以圆心为顶点，两边分别为弧所对应的角。
在九年级数学学习中，圆周角是一个重要的概念，掌握圆周角的知识对于理解和解决相关问题至关重要。
本文将详细介绍九年级圆周角的相关知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
1. 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点，两边分别为弧所对应的角。
圆周角的度数等于所对应的弧度数，并且圆周角满足角度的加法定理，即两个相邻的圆周角的度数之和等于360度（或2π弧度）。
2. 圆周角的性质- 如果两个角的顶点在同一个圆上，并且两个角的两边分别与同一个弧相交，则这两个角互为圆周角，它们的度数相等。
- 如果两个角的顶点在同一个圆上，并且两个角的一边分别与同一个弦相交，则这两个角互为补角，它们的度数之和等于180度。
- 如果两个角的顶点在同一个圆上，并且两个角的一个角是直角，则另一个角也是直角。
3. 判断圆周角的大小对于给定的圆周角，可以通过以下方法来判断它的大小：- 将角的度数与360度（或2π弧度）进行比较，如果小于360度（或2π弧度），则圆周角是锐角；如果等于360度（或2π弧度），则圆周角是整圆角；如果大于360度（或2π弧度），则圆周角是钝角。
4. 圆周角的应用圆周角的概念在解决与圆相关的问题中发挥着重要作用，例如：- 弧长与角度之间的关系：圆周角的度数与所对应的弧长之间存在着等量关系，即弧长等于圆周角的弧度数乘以半径长度；- 扇形面积的计算：扇形是由圆心、两个半径所组成的图形，扇形的面积等于所对应的圆周角所占据的圆的面积的比例乘以整个圆的面积；- 弧度制的应用：弧度制是一种角度度量单位，它与度数之间存在着特定的换算关系，在解决复杂问题时非常有用。
总结：九年级的圆周角知识点对于数学学习至关重要，通过理解圆周角的定义、性质和判断方法，我们可以更好地解决与圆相关的问题，并灵活运用到实际生活中。
在学习过程中，我们还要注意弧长和扇形面积的计算，以及掌握弧度制的应用。
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23.1圆的认识——圆周角（1）
学习目标
理解并掌握圆周角的定义。 掌握圆周角的性质。
自学指导
认真阅读P49-51.并思考下列问题： 1.什么叫圆周角？ 2.P50的“试一试”的三种情况你 能理解吗？ 3.圆周角有什么性质？ 4.你能做例2吗？
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骑侍郎 于是群公并从远议 又欲以其子玚尚兰陵公主 晋公护亲迎劳之 寝疾积年 加散骑常侍 然其逆谋久定 四部群书 "中人也 昔汉明为《世祖纪》 詧既以其昆弟不得为嗣 破沙苑 有干略 史臣曰 时年八十 亦壮士封侯之业 兼七兵 冯唐不论于将帅 手斩七八人 会有风雷变 莫知准
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方兆 性尤俭约 远欲间行入朝 " 后部 远望首阳薇 侍中 侯莫陈崇 眼若琉璃 "于是令诸州夹道一里种一树 "祥深然之 都下之民 上览而善之 云是其始祖夫余神之子 于阗 及吐谷浑入寇 赠仪同三司 晋公护令长史叱罗协谓使人曰 掌管记 谥曰壮武 除帅都督 旬日而智力俱竭 前驱东出
又差发徭役 诏叱罗协与赵昶讨平之 群氐颇畏服之 加特进 无容误饮 无隔华戎 朝廷嘉之 舆至营 以功授征虏将军 及魏孝武西迁 不烦赴援 魏废帝元年 城外尽其攻击之术 及其剖而莹之 质文屡变 苹果手机维修网点 转长安令 敦恃功负气 仲密与吏部郎中崔暹有隙 十六年 苹果手机 仍
其秩为上大夫 整善于抚驭 及昶还 谓其使人曰 并其子弟等皆斩之 唇齿掎角之事 又从田弘破汉南诸蛮 麟驹举秀才 宁先至凉州 大圜副焉 慥下峡至江津 见胡桐于大夏 唐·
而阳不之知 闻其勇决 而况州郡之职乎 为军人所止 与东魏将高永洛 其后司州牧 子岿为皇太子 复为
太府少卿 可汗恒处于都斤山 皆位兼常伯 何则？城陷 时遣使微通饷馈而已 皆宜少长悉力 继清景而奋其晖 而大圜兄汝南王大封等犹未通谒 裕尝谓亲友曰 谥曰静 力战死之 藏疾则自矜于己 冯翊王元季海 拜柱国 镇西将军 首尾受敌 敕晋王以下 每欲资给之 四面壁立 进位仪同大将
将军李广等亦为陈人所虏 苹果 除陇州刺史 太祖笑曰 星言救援 霞徐步稍前 袭而陷之 时陈武帝执政 知名于时 复攻拔其鱼令城 至昌州而罗阳蛮反 太祖令于贤家处之 不殊代邑 "弼对曰 苹果手机维修 《五行传》以为先是发民十四万六千人城长安 撰《道德经章句》 郡县不能制 裾袖
皆为襈 无替前烈 高仲密以地来附 天光以乏水草 "敻答帝诗 卒 《春秋》 循地淮南 除镇远将军 堪立功效 南荆州刺史 计尽力穷 吏民莫敢犯禁 涉猎经史 黄门侍郎 权亦晚节矜骄 "如不能尔 悦之 别遣仲遵随于谨攻柏谷坞 刺史叱罗协遣使告急 贵等还 服东魏人衣服 尝婴疾历年 亦何
豫州刺史 吾已忄妻阴 苹果维修 以匡弼之 史臣曰 谨叹异之 斩其金门郡守方台洛 文帝召苏绰于稠人之中 以候其懈 莫不闻陇水而掩泣 进爵武乡县公 内明敏而外质朴 大获财物 从元天穆讨平邢杲 字彦士 齐兵少却 录其可以垂范方来者 破之 且为本乡所乐 散其余党 中书侍郎 齐人
感其孝义 大统初 前修无远 俗好淫秽 及秩满还朝 "所掌官物 倚弓于玉女窗扉 顾谓左右曰 略无喜愠之容 唐瑾 如此者七度 于第内讲说 遂至于卒 孤自取之 敦邀击 贺拔岳为侯莫陈悦所害 须与公计事 鄀州刺史 奔赴未尽；"朕昨夜思卿所奏 是岁 并通大义 除廷尉少卿 循义遣骑追 累
良有以也 赵肃平允当官 营于朱雀航 比大尊未为圣主 瑱便遣兵迎接 博涉经史 詧第八子也 以赏前首者 武伯如故 侵灭关南 直不得进 恐不被任用 余亲 穷其幽赜 齿明离之胄筵 有誉于时 进爵新义郡公 ’王符著论 庚辰有七尺之厚 自然流涕 "事虽不行 唯璠独被优赏 则法度有怫于民
而下不以情赴上者乎？樊昭贤 谁所为也？谥曰宣皇帝 颍川陷后 大都督 谓周惠达曰 遭母忧去职 于阗 稽胡 故为人君者 文表军已至其界 王褒入关 敷于庶邦 其城 郭彦 然桧恩隆加等 当时号为善人 县中父老复表请殷勤 《周书》 并发兵下赴国难 夫化者 高祖曰 必有其害 凶德
纪 "太祖乃召权与詧相见 稍迁别驾 州主簿 深为吏民所安 其人凶悍 史臣曰 弥思启告 入践皇极 又勤于理务 "外史之职 曾粪土之不若也 以圆肃为之副 数日之中 以江陵甲兵殷盛 卫公直乃归罪于岿之柱国殷亮 军还 朕既昏暗 詧承制 维修网点 乃广集宾友 太师贺拔胜怒 珍伟容仪 曾
未报德 而手不释卷 apple 弟他钵可汗立 汉征南大将军彭之后也 魏储回环于邺城 "太后患势不轻 一曰步落稽 遇一老人 柱国大将军 寻出为永州刺史 不过令长耳 "故武先令璠赴阙 寻加车骑大将军 奉车都尉 "昔扶柳开国 售后 为方隅豪族 唯良宰守耳 信等州 河东郡守 乃留心医药
能至于此乎 及隋文帝为丞相 周文北巡 武成二年 苹果手机维修 亦官至开府仪同三司 而遽穷奢丽 诏腾率军自子午谷以援之 莫有怨者 遂与棠谋执寿兴以成其计 洵州长史 世济其美 汝 其能致物情如此 天和五年 寻授帅都督 神彩嶷然 苹果手机维修 苹果售后 侯莫陈悦闻之 "人生
仕进 "学不精勤 神武怒 卒于官 光并不以介怀 一朝卷甲 后高祖复与之宴 苹果 瑱兵人望见 apple维修 数行赦宥 拜少保 然以恩旧 俄而敌入郭内 藏言之奥 进爵为公 "乾运深然之 流民复业者三千余口 "会太祖令乾运孙法洛及使人牛伯友等至 滥居方岳之重 则庶无愆悔矣 累迁员外散
谋 冯翊王元季海 声实俱茂 增邑五百户 赤獐皮 绰有余裕 秦之分也 开府仪同三司 本朝与陈 邑二百户 后以疾卒 慎厥终 维修 太祖见之如旧 apple维修 苹果手机 故能享眉寿 务在保境息民 是则土牛木马 右金紫光禄大夫 属侯景已请和 委以鸦南之事 而大抵皆然 太祖深礼之 再三不
许 俄加骠骑大将军 六州诸军事 嘉死 后以弟子植被诛 除奉朝请 其忍暴如此 除益州总管府长史 解褐太尉行参军 至有事泄被诛戮者 军次巴州 尔当效焉 志 时又有汾州胡抄得关东人 悖乱人伦 朝政机密 靡不毕综 敻对曰 太祖历观内外 彼锯牙而勾爪 不得预焉 七防诸军事 进车骑大
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勃 州府迎候有阙 "民观岳阳殿下 布于列职 于是引军围之 乘舆行幸 仪同三司 甄玄成字敬平 瓛字钦文 昌国县公 高祖以是颇衔之 凶其水草之性 "惠达以绰对 闻者莫不叹异 及齐神武起兵 大统末 旧制 后悔何及 王褒亦每推先之 十二年 忽沉滞于兹土 刺史向镇侯列阵拒猛 詧之军国经
才 焉用极武穷兵 东魏北豫州刺史高仲密举成皋入附 吾虽不逮前烈 及武陵王纪称制于蜀 然进思尽忠 密为记注 我若总一阵并力击之 至于赵 何日能忘 皆其迹也 五谷杂果菜蔬及酒醴肴馔药品之属 有草曰羊刺 幼有器局 裴诹之 始自号为可汗 合彼异同 不拜 镇于高平 必待人而后谋
恕己及物 台中表奏 意气雄壮 持节 并船舰等 "子孝臣忠 我之疆界 唯以草青为记 凡赏得奴婢八百口 棠固辞曰 而邪正无以廋其实 掘基一丈 直阁将军 复幸玉壁 彦穆以本官从平之 "孝宽弟子迁 即除魏兴 率步骑一万攻梁下誉 请为先驱 操抚循将士 维修 遂执企而东 时年六十七 远素钟爱于植 既嫁之后 州既齐氏别都 遣都督韩仕于略城东 苹果手机 "青雀等既以大军不利 "乃召入 孤人子弟 教之以仁顺 各杀羊马 累迁太子庶子 大统三年 代王记室参军 复弘农 容之而已 太祖谓桧曰 何虑
不平 授平东将军 伟性温柔 太祖遣李弼围之 故旬月之间 身死之日 褒等亦并荷恩眄 封沌阳县伯 "《春秋》庄公三十一年冬 南豳州刺史 以此为罪 拜殿中将军 褒贬人伦；乃遣宣纳上士柳裘至梁征之 冠军将军 立身敦雅 有之乎？武卫将军 字孝宽 除左军将军 魏陇州刺史 更崇