测控指导高中数学人教A版选修2-2课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
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高中数学新课标人教A版选修2-2《1.7.1定积分在几何中的应用》课件
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课堂讲练互第动二十六页，编辑活于星页期规一：范点训十九练分。
解 法一 设椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 围成的面积为 S，椭圆在第一象限内 围成图形的面积为 S1，则由对称性得 S＝4S1， 在第一象限内椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的方程可化为 y＝45 25－x2，椭圆在第一象限内围成的面积为
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课堂讲练互第动十九页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
[规范解答] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b. 又 f′(x)＝2x＋2，所以 a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 即 x2＋2x＋c＝0 有两个相等实根， 所以 Δ＝4－4c＝0，即 c＝1. 故 f(x)＝x2＋2x＋1.
交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得
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课堂讲练互第动九页，编辑于星活期一页：规点 十范九训分。练
不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．
法二 设椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 围成的面积为 S，椭圆在第一象限内围成 图形的面积为 S1，则由对称性得 S＝4S1， 令 x＝5 cos t，则当 x＝0 时，t＝π2； 当 x＝5 时，t＝0 在第一象限内椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的方程可化为 y＝45 25－x2＝4 sin t
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课堂讲练互第动十二页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
题型二 分割型图形面积的求解
【例 2】 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积． [思路探索] 可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区 间，然后分段利用公式求解． 解 法一 画出草图，如图所示．
高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版 选修22
b
①如图(1)所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 S＝a[f(x)－ g(x)]dx.
b
②如图(2)所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积 S＝af(x)dx ＋bagxdx＝ba[f(x)－g(x)]dx.
第九页，共44页。
第十页，共44页。
解由曲线所围的平面图形面积(miàn jī)的解题 步骤：
3．由直线 x＝－π3，x＝π3，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的 封闭图形的面积为________．
解析： 所求图形的面积是
答案： 3
第十八页，共44页。
4．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线(zhíxiàn)y＝x＋3所围成图 形的面积．
解析： 由yy＝＝xx2＋－32，x＋3， 解得 x＝0 或 x＝3.如图．
2
A．0 (x2－1)dx
2
B．|0 (x2－1)dx|
2
C．0|x2－1|dx
1
D．0(x2－1)dx＋21(x2－1)dx
第十四页，共44页。
解析： 分为两块，(0,1)为一块此时积分值为负，(1,2)对
应另一块，积分值为正，
1
2
2
∴有－ 0
(x2－1)dx＋1
(x2－1)dx＝0|x2－1|dx.
[问题2]
你能求出函数f(x)＝ 2cos
x，0≤x≤π2
的图象
与x轴所围成的封闭图形的面积吗．
[提示(tíshì)2] 能．画出函数f(x)的图象如图．
第六页，共44页。
0
S＝ (x＋2)dx＋ －2
2cos xdx
＝12x2＋2x| 0－2＋2sin x| ＝0－12×－22＋2×－2＋2sin π2－2sin 0 ＝2＋2＝4.
①如图(1)所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 S＝a[f(x)－ g(x)]dx.
b
②如图(2)所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积 S＝af(x)dx ＋bagxdx＝ba[f(x)－g(x)]dx.
第九页，共44页。
第十页，共44页。
解由曲线所围的平面图形面积(miàn jī)的解题 步骤：
3．由直线 x＝－π3，x＝π3，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的 封闭图形的面积为________．
解析： 所求图形的面积是
答案： 3
第十八页，共44页。
4．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线(zhíxiàn)y＝x＋3所围成图 形的面积．
解析： 由yy＝＝xx2＋－32，x＋3， 解得 x＝0 或 x＝3.如图．
2
A．0 (x2－1)dx
2
B．|0 (x2－1)dx|
2
C．0|x2－1|dx
1
D．0(x2－1)dx＋21(x2－1)dx
第十四页，共44页。
解析： 分为两块，(0,1)为一块此时积分值为负，(1,2)对
应另一块，积分值为正，
1
2
2
∴有－ 0
(x2－1)dx＋1
(x2－1)dx＝0|x2－1|dx.
[问题2]
你能求出函数f(x)＝ 2cos
x，0≤x≤π2
的图象
与x轴所围成的封闭图形的面积吗．
[提示(tíshì)2] 能．画出函数f(x)的图象如图．
第六页，共44页。
0
S＝ (x＋2)dx＋ －2
2cos xdx
＝12x2＋2x| 0－2＋2sin x| ＝0－12×－22＋2×－2＋2sin π2－2sin 0 ＝2＋2＝4.
高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解 方法一 如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析 解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320
高中数学 1.7.1定积分在几何中应用 新人教A版选修2-2
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
4 3 2 x 3 2|0 2 (2 3 2 x 3 2 1 2 x 2 pp t课4 件x )|8 2 1 3 6 6 3 4 2 3 6 1 8
三、小结
如何求在直角坐标系下平面图形的面积? 1.作图象 2.求交点 3.用定积分表示所求的面积 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
( 0 ,0 )( , 2 ,4 )( ,3 ,9 ).
y x2
0
A12
(x36xx2)dx
3
A20
(x2x36x)dx
yx36x
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
说明：
y x2
b
a f2(x)dx
b
a f1(x)dx
b
a [ f2(x) f1(x)]dx
ppt课件
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解
y y
x x2
x0及x
1
两曲线的交点 (0,0) (1,1)
S=S曲 边 梯 形 OABC-S曲 边 梯 形 OABD
1.7.1 定积分在几何中的应用
ppt课件
2.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
a bf(x ) d x a b F '(x ) d x F (x )|b a F ( b ) F (a )
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 3.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
数学选修2-2人教新课标A版1-7-1定积分在几何中的应用课件(17张)
b
b
b
(2) S a f (x)dx | a g(x)dx | a [ f (x) - g(x)]dx
四、新课讲解
例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或
x y
1 1
B
yy x
y2 x
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
y 定 -ax2 (a 0)
代抛物线上一点入方程
积 分 的 简 单 应 用
则有
- h -a(b)2 得 2
a
4h b2
所以抛物线方程为
y
-
4h b2
x2
于是，抛物线拱的面积为
2S
2s 2b2 h
b 2 0
(-
4h b2
x2
)dx
2
b 2
h
(-
S 8 2xdx - 8 (x - 4)dx 40 本题还有其他解法吗？
0
4
3
四、新课讲解
另解1：将所求平面图形的面
积分割成左右两个部分。
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
2xdx - (x - 4)dx] 4
22
4
3
22
8
3
1
8 40
x2
x 2 - (x - 4)
3
x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
oa c b x
高中数学选修2-2：1.7.1定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
考纲定位
重难突破
1.体会定积分在解决几何问题 重点：利用定积分求平面图形
中的作用．
的面积．
2．会通过定积分求由两条或 难点：准确认识平面图形的面
多条曲线围成的图形的面积. 积与定积分的关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
曲边梯形的面积等于 曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差 的定积分．
三、常见平面图形的面积计算 1．求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
bf(x)dx
图①中，f(x)>0，bf(x)dx>0，因此面积 S＝ a;0，bf(x)dx<0，因此面积 a
怎样求由多条曲线围成的较为复杂的图形的面积？ 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方 和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将 积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在 每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以 选 y 为积分变量，这时 y 为自变量，x 是函数，故应把函数表达式变形成用 y 表示 x 的形式．
图④中，f(x)>g(x)>0，面积 S＝
a
；
bf(x)dx＋b|g(x)|dx
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积 S＝
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
[双基自测]
1.用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( )
A.cf(x)dx a
B.cfxdx
1.7.1 定积分在几何中的应用
考纲定位
重难突破
1.体会定积分在解决几何问题 重点：利用定积分求平面图形
中的作用．
的面积．
2．会通过定积分求由两条或 难点：准确认识平面图形的面
多条曲线围成的图形的面积. 积与定积分的关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
曲边梯形的面积等于 曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差 的定积分．
三、常见平面图形的面积计算 1．求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
bf(x)dx
图①中，f(x)>0，bf(x)dx>0，因此面积 S＝ a;0，bf(x)dx<0，因此面积 a
怎样求由多条曲线围成的较为复杂的图形的面积？ 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方 和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将 积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在 每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以 选 y 为积分变量，这时 y 为自变量，x 是函数，故应把函数表达式变形成用 y 表示 x 的形式．
图④中，f(x)>g(x)>0，面积 S＝
a
；
bf(x)dx＋b|g(x)|dx
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积 S＝
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
[双基自测]
1.用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( )
A.cf(x)dx a
B.cfxdx
人教A版高中数学选修2-2课件1.7定积分的简单应用(27张PPT).pptx
b
W a F (x)dx
F
y F (x)
Oa
x
b
例1： 如图1.7 - 4, 在弹性限
度内 , 将一弹簧从平衡位置
拉到离平衡位置 l m 处, 求弹
力所作的功.
解 在弹性限度内,拉伸(或
Q
l
压缩) 弹簧所需的力Fx与
图1.7 - 4 F
弹簧 拉伸或压 缩 的长 度 x
成正比,即Fx kx,其中常
思考
定 如图, 一桥拱的形状为抛
积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b. 的
h
简 求证: 抛物线拱的面积 S 2 bh
b
单
3
应
用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
定
y -ax2 (a 0) 代抛物线上一点入方程
C t/s o 10 20 30 40 50 60
图1.7 - 3
解 由速度 时间曲线可知: v/m/s
3t,
0 t 10 ; 30 A
B
vt 30,
10 t 40; 20
10
-1.5t 90,40 t 60.
C t/s
因此汽车在这1min 行驶的路 o 10 20 30 40 50 60
程是 :
图1.7 - 3
S
10
3tdt
40
30dt
60
-
1.5t
90
dt
0
10
40
3 t2 2
10 0
30t 40 10
3 t2 4
60
90t 40
高中数学1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2_2
1 3 1 3 2 2 2π 4
= .
4 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
解:画出草图,如图所示.
x + y = 2, y = x, y = x, 解方程组 1 1 及 y = - 3 x, x + y = 2, y = - x 3 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以 S=
������(x)dx.
②如图 b,f(x)<0, ∴S=
������ a
������ a
������(x)dx < 0, =−
������ a
f (x)dx
������(x)dx.
③如图 c,当 a≤x<c 时,f(x)<0,
c a
������(x)dx < 0;
c 当 c<x≤b 时,f(x)>0,
1 0
x- - x
1
3 1 1 = x + x dx + 2-x + x dx 3 3 0 1 2 3 1 2 1 1 1 3 = x 2 + x |0 + 2x- x 2 + x 2 |1 3 6 2 6 2 1 1 2 3 = + + 2x- x |1 3 6 3 5 1 1 13 = +6− × 9−2+ = . 6 3 3 6
������(x)dx −
������ a
������(x)dx.
1.几种典型的平面图形面积的计算 剖析:(1)求由曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成的 平面图形的面积 S. ������ ①如图 a,f(x)>0, a ������(x)dx > 0,
= .
4 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
解:画出草图,如图所示.
x + y = 2, y = x, y = x, 解方程组 1 1 及 y = - 3 x, x + y = 2, y = - x 3 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以 S=
������(x)dx.
②如图 b,f(x)<0, ∴S=
������ a
������ a
������(x)dx < 0, =−
������ a
f (x)dx
������(x)dx.
③如图 c,当 a≤x<c 时,f(x)<0,
c a
������(x)dx < 0;
c 当 c<x≤b 时,f(x)>0,
1 0
x- - x
1
3 1 1 = x + x dx + 2-x + x dx 3 3 0 1 2 3 1 2 1 1 1 3 = x 2 + x |0 + 2x- x 2 + x 2 |1 3 6 2 6 2 1 1 2 3 = + + 2x- x |1 3 6 3 5 1 1 13 = +6− × 9−2+ = . 6 3 3 6
������(x)dx −
������ a
������(x)dx.
1.几种典型的平面图形面积的计算 剖析:(1)求由曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成的 平面图形的面积 S. ������ ①如图 a,f(x)>0, a ������(x)dx > 0,
高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用 新人教A版选修2-2
ppt课件
【易错剖析】复杂图形的面积的求解，合理分割 图形是关键，方法一中的分割是解本题较好的一 种方法．若不能抓住图形的特征，进行合理分割， 则会出现错解．
ppt课件
1．7.1 定积分在几何中的应用
ppt课件
研题型 学方 法
ppt课件
题型一 不分割图形求面积
ppt课件
规律方法：求不分割图形面积的一般步骤： (1)在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；(2)求 出直线与曲线交点的横坐标并确定积分上、下限；(3) 用定积分表示图形的面积；(4)求定积分进而得到图 形的面积．
ppt课件
ppt课件
题型二 分割图形求面积
ppt课件
ppt课件
规律方法：求两条曲线围成的平面图形的面积的步 骤是：①画图，确定图形范围；②求交点的横坐标， 确定积分上下限；③写出积分表达式；④用微积分 基本定理计算定积分．
ppt课件
对图形分割不合理致误
【易错剖析】复杂图形的面积的求解，合理分割 图形是关键，方法一中的分割是解本题较好的一 种方法．若不能抓住图形的特征，进行合理分割， 则会出现错解．
ppt课件
1．7.1 定积分在几何中的应用
ppt课件
研题型 学方 法
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题型一 不分割图形求面积
ppt课件
规律方法：求不分割图形面积的一般步骤： (1)在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；(2)求 出直线与曲线交点的横坐标并确定积分上、下限；(3) 用定积分表示图形的面积；(4)求定积分进而得到图 形的面积．
ppt课件
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题型二 分割图形求面积
ppt课件
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规律方法：求两条曲线围成的平面图形的面积的步 骤是：①画图，确定图形范围；②求交点的横坐标， 确定积分上下限；③写出积分表达式；④用微积分 基本定理计算定积分．
ppt课件
对图形分割不合理致误
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2-2课件
-4
代抛物线上一点
4, -4入方程，
y
0
4
4
x
(4, -4)
可求得抛物线方程为y - 1 x2 8 4
设抛物线拱的面积为S ,
S
4 -4
-
1 4
x2
-
-4dx
(-
1 12
x3
4x
)
4 -4
64 m2 3
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
S1
S2
0
4
8
y x-4
S S1 - S2
8 2xdx - 8 x - 4dx
0
4
40 3
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
返回
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
方法3
y 2x
(8, 4)
S
0
4
8
y x-4
取 y为积分变量，把函数 y x - 4变形
返回
五、总结 1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2-2课件
定积分 回归
两种思想
两个方法
12、 、S定微转数积积化形ab分分与结 f1的基化合(x)几本归的-何定的思f2 (意理思想x)义。想方dx求方法法。；
一个公式
简单应用
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
例3.计算由曲线 y 2x 和
y 2x
(8, 4)
直线 y x - 4以及x轴所围
成图形的面积 S。
代抛物线上一点
4, -4入方程，
y
0
4
4
x
(4, -4)
可求得抛物线方程为y - 1 x2 8 4
设抛物线拱的面积为S ,
S
4 -4
-
1 4
x2
-
-4dx
(-
1 12
x3
4x
)
4 -4
64 m2 3
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
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S1
S2
0
4
8
y x-4
S S1 - S2
8 2xdx - 8 x - 4dx
0
4
40 3
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方法3
y 2x
(8, 4)
S
0
4
8
y x-4
取 y为积分变量，把函数 y x - 4变形
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五、总结 1.7.1定积分在几何中的应用-人教版高中数学选修2-2课件
定积分 回归
两种思想
两个方法
12、 、S定微转数积积化形ab分分与结 f1的基化合(x)几本归的-何定的思f2 (意理思想x)义。想方dx求方法法。；
一个公式
简单应用
1.7.1定积分在几何中的应用-人教版 高中数 学选修2 -2课件
例3.计算由曲线 y 2x 和
y 2x
(8, 4)
直线 y x - 4以及x轴所围
成图形的面积 S。
定积分在几何中的应用课件(共42张PPT)高二下学期数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用
S=
1
(x
0
x2 )dx
(1 2
x2
1 3
x3)
1 0
1. 6
答案: 1
6
【解题策略】 求不分割图形面积的一般方法
【补偿训练】 如图所示,f(x)=1+sin x,则阴影部分的面积是________.
【解析】所求面积为
0
(1 sin
x)dx
(x
cos
x)
0
2.
答案:π+2
类型二 分割型图形面积的求解(直观想象、数学运算) 【典例】计算由直线y=x-4,曲线y= 2x 以及x轴所围图形的面积S. 【思路导引】根据已知方程画出所围图形,选择恰当的分割线,分别计算面积.
的面积为 S 2 1( 3 x x3)dx 0
2( 3 4
4
x3
1 4
x4)
1 0
1.
(4)√.利用定积分可得,阴影部分的面积S=
(ex
ex
)
1 0
e
1 e
2.
1(ex ex )dx 0
2.如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,那么这 个阴影区域的面积是 ( )
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
2.如图所示,求曲线y=x2和直线x=0,x=1及y= 1 所围成的图形(阴影部分)的面
4
积.
【解析】1.选D.由图形以及定积分的意义,得到所求阴影部分面积等价于
5
5
4
(sin
x
cos
x)dx
(cos
x
sin
x)
4
2
2.
4
2020版高中数学人教A版选修2-2课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
【跟踪训练】 如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC内,由曲线y= sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩 形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是 等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D.
4
【解析】选A.根据题意可知所投的点落在阴影部分的
S1=
t 0
(tx-x2)dx=1
6
t3,S2=
t2(x2-tx)dx=
8-2t+
3
1t3.
6
因为S1=S2,所以t=43
,点P的坐标为( 4，16).
39
(2)令S=S1+S2=16
t3+83
-2t+1 t3=1 t3-2t+ 8 ,
63
3
S′=t2-2,令S′=0得t2-2=0.
因为0<t<2,所以t= 2 ,因为0<t< 2时,S′<0; <t2<2 时,S′>0.
()
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
(2)求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点M(0,-3)和N(3,0) 处的两条切线所围成的图形的面积.
【解题指南】(1)一般情况下,定积分 fab(x)dx的几何
意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的 曲边梯形面积的代数和,其中在x轴上方的面积等于该 区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分 值的相反数,所以在用定积分求曲边梯形面积时,一定 要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.若是两个
解方程组
x x
y,
人教A版高中数学选修2-2课件1.7定积分在几何中的应用
①问沟中的水有多少立方米?
②若要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰
梯形的沟,使沟的底面与地面平行,则改挖后的
沟底宽为多少米时,所挖的土最少?
A
B
P
试证明: 圆锥体的体积是它的底面积和高的乘 积的三分之一.
1.思想方法: 数形结合及转化. 2.求解步骤:
①画草图; ②选择积分变量,被积函数及 积分上下限;
③选择积分变量,被积函数及 积分上下限,表示出面积; ④计算定积分.
①y=x2,y=2x+3 ②y=ex,y=e,y=0
③y=x3,y=2x
例2.计算由直线y=x－4,曲线y= 2x
以及x轴所围图形的面积S.
问题 有一条水沟,沟沿是两条长100米平行线段,
沟宽AB为2米,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一
段抛物线,抛物线的顶点为O,对称轴与地面垂直,
沟深1.5米,沟中水深1米.
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问题 有一条水沟,沟沿是两条长100米平行线段,
沟宽AB为2米,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一
段抛物线,抛物线的顶点为O,对称轴与地面垂直,
沟深1.5米,沟中水深1米.
①问沟中的水有多成截面为等腰
梯形的沟,使沟的底面与地面平行,则改挖后的
沟底宽为多少米时,所挖的土最少?
A
B
P
安徽省滁州市第二中学高二数学备课组 2014年12月30日
复习 如何用定积分表示下列图形的面积?
例1.计算由曲线:y2=x,y=x2 所围图形的面积S.
小结:求平面图形面积的步骤:
①画草图; ②确定被积函数,积分上下限; ③计算定积分.
练习1:求下列曲线围成的平面面积.
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)
A.
C. [������(x) − g(x)]dxD. [g(x) − ������(x)]dx 解析:由题图知当 x∈[a,b]时,f(x)>g(x), 故所求面积 S= 答案:C
������ a
������ a ������ a
������(x)dxB.
������ a
g(x)dx
������ a
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2.求曲边多边形的面积的步骤有哪些? 剖析:(1)画出图形,确定图形范围.即借助几何知识将所求图形的 面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题. (2)确定积分上、下限.即通过解方程组求出交点的横坐标,确定 积分上、下限. (3)确定被积函数,要特别注意分清被积函数的上、下位置. (4)写出平面图形面积的定积分表达式,运用微积分基本定理计算 定积分,从而求出平面图形的面积.
∴S=
������ a
������(x)dx.
②如图 b,f(x)<0, ∴S=
������ a
������ a
������(x)dx < 0, =−
������ a
f (x)dx
������(x)dx.
-7-
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③如图 c,当 a≤x<c 时,f(x)<0,
c a
������(x)dx < 0;
[������(x) − g(x)]dx.
-4-
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典例透析
a 0
a ������
������(x)dx =
2.曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系 a (1)如图①,阴影部分的面积为 S=− 0 g(x)dx +
a 0
[������ (x) − g(x)]dx.
1 3 1 3 2 2 2π 4
= .
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4 3
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解:画出草图,如图所示.
x + y = 2, y = x, y = x, 解方程组 1 1 及 y = - 3 x, x + y = 2, y = - x 3 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以 S=
������(x)dx −
������ a
������(x)dx.
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典例透析
1.几种典型的平面图形面积的计算 剖析:(1)求由曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成的 平面图形的面积 S. ������ ①如图 a,f(x)>0, a ������(x)dx > 0,
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不分割型图形面积的求解
【例 1】 求由抛物线 y=x2-4 与直线 y=-x+2 所围成图形的面积. 分析: 在平面直角坐 标系中作图 → 求抛物线与直线的交点 → 利用定积分 求面积 x = -3, x = 2, y = x 2 -4, 解: 由 得 或 y = 0, y=5 y = -x + 2, 所以直线 y=-x+2 与抛物线 y=x2-4 的交点为(-3,5)和(2,0).
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①如图 d,当 f(x)>g(x)>0 时,
S= a [������(x) − g(x)]dx. ②如图 e,当 f(x)>0,g(x)<0 时, S=
������ a ������
������(x)dx +
������ a g (x)dx
������
=
a
[������(x) − g(x)]dx.
������ 0
(2)如图②,阴影部分的面积为 S= [������ (x) − c(x)]dx. 所以,
[������(x) − g(x)]dx +
曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差的定积 .
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典例透析
【做一做 2】 用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是 (
)
A. B. C. D.
c a
c
������(x)dx
������ a c ������
a
f (x)dx
c ������ ������ a
������(x)dx + ������(x)dx −
������(x)dx ������(x)dx
c ������
解析:由定积分的几何意义知 S= 故选D. 答案:D
1.7.1
定积分在几何中的应用
-1-
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典例透析
1.体会定积分在解决几何问题中的作用. 2.会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.
-2-
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典例透析
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】 如图,阴影部分的面积为(
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典例透析
设所求图形的面积为 S,根据图形可得 S=
2)dx −
25 3
2 -3
(−x +
|2 -3 =
25 − 2
=
反思求不分割型图形面积的一般步骤如下:
125 . 6
2 -3
(x2 − 4)dx =
1 2 2x- x 2
|2 -3
−
1 3 x -4x 3
c 当 c<x≤b 时,f(x)>0,
∴S=
c
c
a
f (x)dx +
������
������ c
������ c
������(x)dx > 0,
������(x)dx
=− a ������(x)dx + c ������(x)dx. (2)由两条曲线 f(x)和 g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形 的面积 S.
同时,要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积: 定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是正的.
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典例透析
【变式训练 1】 已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围成的图形的面积为( ) A. 5 B. 3 3 π C. D. 解析:根据 f(x)的图象可设 f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0). 因为 f(x)的图象经过(0,1)点, 所以-a=1,即 a=-1. 所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2. 1 1 所以 S= -1 (1 − x2)dx = 2 0 (1 − x2)dx =2 x- x 3 |1 = 2 × 10 答案:B