初一数学动点问题集锦91335精编版.doc
初一数学动点问题例题集
初一数学动点问题集锦1、如图，ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．〔1〕如果点P 在线段上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段上由C 点向A 点运动．①假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？〔2〕假设点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：〔1〕①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米，∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =． 又∵AB AC =，P∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△．〔4分〕 ②∵P Q v v ≠，∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，那么45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间秒， ∴厘米/秒．〔7分〕〔2〕设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得， 解得秒．∴点P 共运动了厘米． ∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．〔12分〕2、直线与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停顿．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．〔1〕直接写出A B 、两点的坐标；〔2〕设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；〔3〕当时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．解〔1〕A 〔8，0〕B 〔0，6〕 1分 〔2〕86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=〔秒〕 ∴点P 的速度是〔单位/秒〕 1分当P 在线段OB 上运动〔或03t ≤≤〕时，2OQ t OP t ==，2S t = 1分 当P在线段BA上运动〔或38t <≤〕时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由，得， 1分21324255S OQ PD t t∴=⨯=-+1分〔自变量取值范围写对给1分，否那么不给分．〕 〔3〕 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P 〔0，k 〕是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.〔1〕连结，假设，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；〔2〕当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：〔1〕⊙P与x轴相切.∵直线－2x－8与x轴交于A〔4，0〕，与y轴交于B〔0，－8〕，∴4，8.由题意，－k，∴8.在△中，k2+42=(8)2，∴－3，∴等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.〔2〕设⊙P与直线l交于C，D两点，连结，当圆心P在线段上时,作⊥于E.∵△为正三角形，∴1232，3，∴33 2.∵∠∠90°，∠∠，∴△∽△，∴，∴∴8PO BO PB =-=∴， ∴.当圆心P 在线段延长线上时,同理可得P(0,－8)，－8，－8－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形是菱形，点A 的坐标为〔－3，4〕，点C 在x 轴的正半轴上，直线交y 轴于点M ，边交y 轴于点H ．〔1〕求直线的解析式；〔2〕连接，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△的面积为S 〔S ≠0〕，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式〔要求写出自变量t 的取值范围〕；〔3〕在〔2〕的条件下，当 t 为何值时，∠与∠互为余角，并求此时直线与直线所夹锐角的正切值．解：BEQDA C图165在△中，∠90°， = 3， = 5．点P从点C出发沿以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿返回；点Q从点A出发沿以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，保持垂直平分，且交于点D ，交折线于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停顿运动，点P 也随之停顿．设点P 、Q 运动的时间是t 秒〔t ＞0〕．〔1〕当t = 2时， = ，点Q 到的距离是； 〔2〕在点P 从C 向A 运动的过程中，求△的面积S 与 t 的函数关系式；〔不必写出t 的取值范围〕〔3〕在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形能否成 为直角梯形？假设能，求t 的值．假设不能，请说明理由； 〔4〕当经过点C 时，请直接写出t 的值．解：〔1〕1，85；〔2〕作⊥于点F ，如图3， = t ，∴3AP t =-．由△∽△，4BC ==，得45QF t =．∴45QF t=． ∴14(3)25S t t=-⋅， 即22655S t t=-+． 〔3〕能．①当∥时，如图4．∵⊥，∴⊥，四边形是直角梯形． 此时∠90°．图4由△ ∽△，得AQ APAC AB =， 即335t t -=．解得98t =．②如图5，当∥时，⊥，四边形是直角梯形． 此时∠ =90°． 由△ ∽△，得AQ APAB AC =，即353t t -=．解得158t =．〔4〕52t =或4514t =．①点P 由C 向A 运动，经过点C ． 连接，作⊥于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =②点P 由A 向C 运动，经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】图5图76如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开场，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．〔1〕①当α=度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α=度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为； 〔2〕当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解〔1〕①30，1；②60，； ……………………4分〔2〕当∠α=900时，四边形是菱形. ∵∠α=∠900，∴.∵, ∴四边形是平行四边形. ……………………6分在△中，∠900，∠6002, ∴∠300. ∴3∴3 . (8)分O EC DA α lO C〔备用在△中，∠300，∴2. ∴2. ∴.又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 ……………………10分7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．〔1〕求BC 的长．〔2〕当MN AB ∥时，求t 的值．〔3〕试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：〔1〕如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，那么四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==． 2cos 454242BK AB =︒==2分CM在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC =∴43310BC BK KH HC =++=++= 3分〔2〕如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，那么四边形ADGB是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△ ∴ 5分 即解得， 6分〔3〕分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-〔图①〕 ADCBKH〔图②〕AD CBGMN∴ 7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中， 又在Rt DHC △中， ∴ 解得 8分 解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△ ∴ 即 ∴ 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点. 解法一：〔方法同②中解法一〕132cos 1025tFC C MC t ===-解得AD CBMN〔图③〕 〔图④〕 AD CBM N H E〔图⑤〕A D CBH NM F解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴ 即 ∴综上所述，当、或时，MNC △为等腰三角形 9分8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.〔1〕求点E 到BC 的距离；〔2〕点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时〔如图2〕，PMN △的形状是否发生改变？假设不变，求出PMN △的周长；假设改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时〔如图3〕，是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？假设存在，请求出所有满足要求的x 的值；假设不存在，请说明理由.AD E BF CAD E BFCA D E BFC 图1 图2ADE B FC P N M图3A D EBF CP N M〔第25解〔1〕如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分 ∵E 为AB 的中点， ∴在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC3分〔2〕①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴∴3cos302MH PM =︒=．那么35422NH MN MH =-=-=．图1A D EB F CG图2A DE BF CPN MG H在Rt PNH △中，PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． 6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，那么MR NR =． 类似①，∴23MN MR ==． 7分∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===--=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 那么120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．图3A DE B FC PN M图4A DEB FC P M N图5A D EB FC MN GGRG综上所述，当2x =或4或(53时，PMN △为等腰三角形．10分9如图①，正方形中，点A 、B 的坐标分别为〔0，10〕，〔8，4〕，点C 在第一象限．动点P 在正方形的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以一样速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停顿运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边上运动时，点Q 的横坐标x 〔长度单位〕关于运动时间t 〔秒〕的函数图象如图②所示，请写出点Q 开场运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在〔1〕中当t 为何值时，△的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，与能否相等，假设能，写出所有符合条件的t 的值；假设不能，请说明理由．解：〔1〕Q 〔1，0〕 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． 2分〔2〕过点B 作⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，那么BF ＝8，4OF BE ==．∴1046AF =-=．在△中，10AB =3过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△≌△．∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为〔14，12〕． 4分〔3〕过点P 作⊥y 轴于点M ，⊥x 轴于点N ， 那么△∽△． ∴AP AM MPAB AF BF ==．1068t AM MP ∴==． ∴3455AM t PM t ==，．∴3410,55PN OM t ON PM t==-==． 设△的面积为S 〔平方单位〕∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-〔0≤t ≤10〕 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分． ∵310a =-<0 ∴当时，△的面积最大． 6分此时P的坐标为〔9415，5310〕．7分〔4〕当53t =或29513t =时，与相等． 9分10数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点E 是边的中点．90AEF ∠=，且交正方形外角DCG ∠的平行线于点F ，求证：．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取的中点M ，连接，那么，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此根底上，同学们作了进一步的研究：〔1〕小颖提出：如图2，如果把“点E 是边的中点〞改为“点E 是边上〔除B ，C 外〕的任意一点〞，其它条件不变，那么结论“〞仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；〔2〕小华提出：如图3，点E 是的延长线上〔除C 点外〕的任意一点，其他条件不变，结论“〞仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：〔1〕正确．〔1分〕A DFC GE B 图1ADFC GE B 图2 A D FC GE B图3证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．〔2分〕BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△〔〕．〔5分〕AE EF ∴=．〔6分〕〔2〕正确．〔7分〕证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ．〔8分〕BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠． ANE ECF ∴△≌△〔〕．〔10分〕AE EF ∴=．〔11分〕11一个直角三角形纸片OAB ，其中ADFC GE B MA D FC GE BN9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．〔Ⅰ〕假设折叠后使点B 与点A 重合，求点C〔Ⅱ〕假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x y 的取值范围；〔Ⅲ〕假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．解〔Ⅰ〕如图①，折叠后点B 那么ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 那么4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得. ∴点C 的坐标为.4分〔Ⅱ〕如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',那么B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 那么4B C BC OB OC y '==-=-， 在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B COC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即 6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴解析式()02x ≤≤为所求. ∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为.7分〔Ⅲ〕如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥.那么OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有，得2OC OB ''=. 9分 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，那么02OC x =.由〔Ⅱ〕的结论，得，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016. 10分12问题解决ABCD EF M N如图〔1〕，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C ，D 重合〕，压平后得到折痕MN ．当时，求AM BN的值．类比归纳在图〔1〕中，假设那么AM BN 的值等于；假设那么AM BN的值等于；假设〔n 为整数〕，那么AM BN的值等于．〔用含n 的式子表示〕联系拓广如图〔2〕，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E〔不与点C D ，重合〕，压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC mCD n =>=，，那么AMBN的值等于．〔用含m n ，的式子表示〕解：方法一：如图〔1-1〕，连接BM EM BE ，，．方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不图NA CDE FMN图ABCD EF M由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，那么NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得，即 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．5分设AM y =，那么2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得即 6分 ∴ 7分方法二：同方法一， 3分如图〔1－2〕，过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．∴NG CD BC ==．N 图ACD EF M G同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． BCE △与NGM △中∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分∴ 7分 类比归纳25〔或410〕；917； 10分联系拓广 12分。
初一数学动点问题集锦
1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1,3，点Ｐ为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点Ａ、点B的距离相等,求点P对应的数；⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为５？若存在,请求出x的值。
若不存在，请说明理由？⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P点到点A、点B的距离相等？2.数轴上A点对应的数为－5,Ｂ点在A点右边,电子蚂蚁甲、乙在Ｂ分别以分别以２个单位/秒、1个单位／秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在Ａ以3个单位／秒的速度向右运动。
（1)若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求Ｃ点表示的数；B－5（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙,求B点表示的数；AB-5(3)在(２）的条件下,设它们同时出发的时间为t秒,是否存在t的值,使丙到乙的距离是丙到甲的距离的２倍?若存在，求出t值;若不存在，说明理由。
AB-5３.已知数轴上有顺次三点Ａ, B, C。
其中A的坐标为-20．C点坐标为４０,一电子蚂蚁甲从C点出发，以每秒２个单位的速度向左移动。
(1)当电子蚂蚁走到BC的中点D处时,它离Ａ,B两处的距离之和是多少?（2)这只电子蚂蚁甲由D点走到BA的中点E 处时,需要几秒钟?(3)当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C出发,向左移动,速度为秒3个单位长度,如果两只电子蚂蚁相遇时离B点５个单位长度,求B点的坐标４.如图，已知Ａ、Ｂ分别为数轴上两点,Ａ点对应的数为—２0，B点对应的数为１00。
⑴求AB中点M对应的数;⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发,以6个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Ｑ恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；⑶若当电子蚂蚁P 从Ｂ点出发时，以6个单位／秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求Ｄ点对应的数。
初一数学动点问题例题集
初一数学动点问题集锦1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米，∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． （4分） ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒，∴515443Q CQ v t===厘米/秒．（7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒．∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． （12分） 2、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6） 1分 （2）86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒）1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 1分21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA ，若PA=PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y=－2x －8与x 轴交于A （4，0）， 与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k ， ∴PB=PA=8+k.在Rt △AOP 中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E.∵△PCD 为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，∴.∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，∴2,AO PE AB PB PB =，∴PB∴8PO BO PB =-=-∴8)P -，∴8k -.当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P(0,－8)，∴k=－8，∴当－8或k=－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC ==，得45QF t=．∴45QF t =．∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t=-+． （3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°．P图4由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=，即335t t -=． 解得98t =．②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=，即353t t-=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =．①点P 由C 向A 运动，DE经过点C ． 连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长图5（备用图）为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴. ∴AO=12AC .……………………8分在Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分7如图，在梯形ABCD中，354245A D B CAD C A BB====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==． 2cos 454242BK AB =︒== 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC = ∴43310BC BK KH HC =++=++= 3分CM（图①）ADCBK H（图②）ADCBG MN（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG = 5分 即10257t t -=解得，5017t =6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -= 解得258t =8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC = 即553t t -=∴258t =8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==ADCBMN（图③）（图④）AD CBM NH E解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC = 即1102235tt-= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 9分8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.（图⑤）ADCBH NMF①当点N在线段AD上时（如图2），P M N△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.A DE BFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DE BFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分 ∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． 6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角形．图1A D EBF CG图2A D E BFCPNMG H当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． 7分∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==． 此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． 10分9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． 2分（2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==．∴1046AF =-=． 在Rt △AFB中，10AB =过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△ABF ≌△BCH ．∴6,8BH AF CH BF ====．∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MPAB AF BF ==．1068t A M M P∴==．∴3455AM t PM t==，．∴3410,55PN OM t ON PM t==-==． 设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． 6分此时P的坐标为（9415，5310）． 7分（4） 当 53t =或29513t =时，OP 与PQ 相等． 9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFGB 图1ADF GB 图2 ADFC GB图3解：（1）正确． （1分）证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． （2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． （5分）AE EF ∴=． （6分）（2）正确． （7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ． （8分）BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． （10分） AE EF ∴=． （11分）A D F CGBM ADFGBN11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+， 即2128y x =-+6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. ∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤.7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB ''=，得2OC OB ''=. 9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016. 10分12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN 的值等方法指导：为了求得AMBN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（1）A BCDEFMN于 ．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E（不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．图（2）ABCD EF MN 图（1-1）A BCEFM由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴90AD C ABB CCD D A∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =．3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=， ∴2222AM AB DM DE +=+．5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+． 解得14y =，即14AM =．6分 ∴15AM BN =． 7分 方法二：同方法一，54BN =．3分 如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．A DFMG∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，．在BCE △与NGM △中90E B CM N G B CN G C N G M ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分 ∴15AM BN =． 7分 类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ 10分联系拓广2222211n m n n m -++ 12分。
(完整版)初一数学动点问题例题集
初一数学动点问题集锦1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵厘米，∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． （4分） ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒，∴515443QCQvt===厘米/秒．（7分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104x x=+⨯，解得803x=秒．∴点P共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．（12分）2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 1分 21324255S OQ PD t t∴=⨯=-+ 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA ，若PA=PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，∴PE=33.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴332,45AO PEAB PB PB=即，∴315 PB=∴3158PO BO PB=-=，∴3158)P-，∴3158k-.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－315－8)，∴k=－315－8，∴当k=315－8或k=－315－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：5在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．ACBPQED图16（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC =，得45QF t =．∴45QF t=． ∴14(3)25S t t=-⋅， 即22655S t t=-+． （3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB =， 即335t t -=． 解得98t =．②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得 AQ APAB AC =， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =．P图4①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--． 由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴3∴AO=12AC 3……………………8分AC (E ) BPQD图6GA C (E )B PQD图7GOE CDAα lOCA（备用图）在Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==． 2cos 454242BK AB =︒== 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC =∴43310BC BK KH HC =++=++= 3分C（图①）A DCB K H（图②）A DCBG MN（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG =5分 即10257t t -= 解得，5017t =6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t =7分ADCB MN（图③）（图④）A D CBM NH E②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -= 解得258t =8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC EC DC HC =即553t t -= ∴258t =8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，（图⑤）ADCBH N MF∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC =即1102235tt-= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 9分8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分 ∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM ==A D EB FC 图4（备用） ADE BF C 图5（备用） A D E BF C 图1 图2 ADE BF C P NM图3 A D E BFCP N M （第25题） 图1A D EBF CGA D EBF CPNMG H∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． 7分∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(53时，PMN △为等腰三角形． 10分 9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． 2分（2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，228610AB =+ 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分A B CDEF G H M N PQOxy（3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MPAB AF BF ==． 1068t AM MP ∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t==-==． 设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． 6分此时P 的坐标为（9415，5310） ． 7分（4） 当53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． 9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A D F C G EB 图1 A D FC G E B 图2A D F C GB 图3解：（1）正确． （1分）证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． （2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． （5分）AE EF ∴=． （6分） （2）正确． （7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ． （8分）BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠． ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． （10分）AE EF ∴=． （11分）11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如A DF C GBM ADFGE BN图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ 6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. ∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤. 7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB ''=，得2OC OB ''=. 9分 在Rt B OC ''△中， 设()00OB x x ''=>，则2OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，21∴点C 的坐标为()016.10分12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN 的值等于 ．（用含n的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC mCD n =>=，，则AMBN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2）ABCD EFM图（1）A BCDEFMN N 图（1-1）A BCDEFM22由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+． 解得14y =，即14AM =．6分 ∴15AM BN =．7分方法二：同方法一，54BN =．3分 如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．N图（1-2）A BC DEFMG23∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分 ∴15AM BN =． 7分类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ 10分联系拓广2222211n m n n m -++ 12分。
(完整word版)初一动点问题.docx
线段与角的动点专项1．如图，射线OM 上有三点A、 B、C，满足 OA＝ 20cm， AB＝ 60cm， BC＝ 10cm（如图所示），点 P 从点 O 出发，沿 OM 方向以 1cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段CO 上向点 O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当 P 运动到线段AB 上且 PA＝ 2PB 时，点 Q 运动到的位置恰好是线段OC 的三等分点，求点 Q 的运动速度；（2）若点 Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q 两点相距 70cm？2．如图，直线l 上依次有三个点O， A， B，OA＝ 40cm， OB＝ 160cm．（1）若点 P 从点 O 出发，沿OA 方向以 4cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点 B 出发，沿BO 方向匀速运动，两点同时出发①若点 Q 运动速度为1cm/s，则经过t 秒后 P， Q 两点之间的距离为cm（用含 t 的式子表示）②若点 Q 运动到恰好是线段AB 的中点位置时，点P 恰好满足PA＝ 2PB，求点 Q 的运动速度．（2）若两点 P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取 OQ 和 BP 的中点 M，N，求的值．3．如图，射线OM 上有三点A、 B、C，满足 OA＝ 60cm， AB＝ 60cm， BC＝ 10cm（如图所示），点 P 从点 O 出发，沿OM 方向以 1cm/秒的速度匀速运动．（1）当点 P 运动到 AB 的中点时，所用的时间为秒．（2）若另有一动点Q 同时从点 C 出发在线段CO 上向点 O 匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、 Q 两点相距30cm？4．如图，在数轴上点A表示的数是﹣ 3，点 B 在点 A 的右侧，且到点A 的距离是18；点 C在点 A 与点 B 之间，且到点 B 的距离是到点 A 距离的 2 倍．（1）点 B 表示的数是；点C表示的数是；（2）若点 P 从点 A 出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点 B 出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P 与点 Q 之间的距离为6？（3）在（ 2）的条件下，若点P 与点 C 之间的距离表示为PC，点 Q 与点 B 之间的距离表示为 QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝ 4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．5．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．（1）如图①，若∠ AOB＝ 155°，求∠ AOD、∠ BOC、∠ DOC 的度数．（2）如图①，你发现∠ AOD 与∠ BOC 的大小有何关系？∠AOB 与∠ DOC 有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图②，当△ AOC 与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．6．以直线AB 上点 O 为端点作射线OC，使∠ BOC ＝60°，将直角△DOE 的直角顶点放在点 O 处．（1）如图 1，若直角△ DOE 的边 OD 放在射线OB 上，则∠ COE ＝；（2）如图 2，将直角△ DOE 绕点 O 按逆时针方向转动，使得OE 平分∠ AOC，说明 OD 所在射线是∠ BOC 的平分线；（3）如图 3，将直角△ DOE 绕点 O 按逆时针方向转动，使得∠C OD ＝∠ AOE．求∠ BOD的度数．7．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠ BOC ＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠ BOC 的内部，且恰好平分∠ BOC，问：此时直线ON 是否平分∠ AOC ？请直接写出结论：直线ON（平分或不平分）∠AOC．（2）将图 1 中的三角板绕点O 以每秒 5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则 t 的值为．（直接写出结果）（3）将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转，请探究：当ON 始终在∠ AOC 的内部时（如图3），∠ AOM 与∠ NOC 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．9．已知∠ AOC ＝ 40°，∠ BOD ＝30°，∠ AOC 和∠ BOD 均可绕点O 进行旋转，点M， O，N 在同一条直线上，OP 是∠ COD 的平分线．（1）如图 1，当点 A 与点 M 重合，点 B 与点 N 重合，且射线OC 和射线 OD 在直线 MN 的同侧时，求∠BOP 的余角的度数；（2）在（ 1）的基础上，若∠BOD 从 ON 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为5° /s，同时∠ AOC 从 OM 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为3° /s，如图 2 所示，当旋转6s 时，求∠ DOP 的度数．10．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点O 作射线 OC，将一直角三角形的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠ BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线 ON 是否平分∠ AOC？请说明理由；（2）若∠ BOC＝ 120°．将图 1 中的三角板绕点 O 按每秒 6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则 t 的值为（直接写出结果）；（3）在（ 2）的条件下，将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使 ON 在∠ AOC 的内部，请探究：∠AOM 与∠ NOC 之间的数量关系，并说明理由．11．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点O 作射线 OC，使∠ AOC：∠ BOC＝ 2： 1，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 在直线 AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 2 的位置，使得 OM 落在射线OA 上，此时 ON 旋转的角度为°；（2）继续将图 2 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 3 的位置，使得 OM 在∠ BOC的内部，则∠BON﹣∠ COM ＝°；（3）在上述直角三角板从图 1 旋转到图 3 的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠ BOC的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为秒，简要说明理由．。
(完整word版)七年级动点问题(已整理)
七年级数学上册动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-12 或12，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K 和点C所对应的数。
2、动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．①3、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？4、数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？②5、在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D 点处相遇，求D点所表示的数6、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
初一数学动点问题集锦91335精编版
七年级数学|一册动点问题J.如J5L有一数啪总点为点九所对应的数足-1 11.点氐沿数轴旬腿半題亀过厚曲割这点耳一“ 0 ]（1）如聲“4=0陽那么点刖劇对应的粒是卄么？（2）从点儿到达直已所用时间是J甘，求谨点眄延功理庚.⑶从点舟沿散输匀的f棒绘过点H到达盘G所用时何姐9杪，且心曲X井册求点起和点匚所对咸的数.X幼点A从IS点山发向数掂负方向逗欢.倒时.动程賦IS点川灰向药抽正力向远动•'杪JC,爾点拒挣15中单隹艮度.己知动从U的速度比呈匕4 I速廃律柱：隼位乩度附、CD求II俩个利点运动时速度•井菇樹袖上标出舟、R两点从原点姑屋运创3秒时的忡骨：（2） A. U两成从（1＞叩的怦宜同时问賀馳员方向隹腐’儿杪后鳳広恰阳处祂西十动点正咿间；（3）桂4〉中A、比附点堆绩同时向数辅负力向运功时，另一琲点C同吋从R点愷fit出規向巾运动. 当谱河A吕文即勇网闻H点远动.J3fJ H点启立即返冋I'd A戊运恣加此掏氐SfUB追上A时,C 心即停止迄功-芥点t，强K復呛的逋虔旬速运血那么点J从开始刑停止运乩运功的路円址滋少单也悅度.] I I I I I I I 1 I ]-S •爵-4-202 4 e 8 ID L2X已知数轴卜商点亠H对应的救分5M为亠斗AP为独轴上动规其对应的数为阳A 0 P B___ 1 ・」丄壽丄 1 .CD Z5点P刹点片点U的囲离相答"求点『对网的敎；-* 7 0（1J数紬上雄停亓宦点丿・使点P现点碁A It的肿离之和为做黒亦在.诸求山板的血占卒赤在，趙卿理由；（站点仁成円廿別凶2个单忖氏度阱r I个单荷K;度份的速摩向右运叨，同时点Ptu牛单荷庄度r 另的fitt 从Q点fil左运动.当週劉A时” j&Pi即以同样的速度向右运功・茄不降堆征返于点A万点R 之血「举斗曲人与点B亞作时，点F斯经过的总跨程挺芳少？4,數轴上两牛痕点仏U所对应的数为•权4, A, B两曲各自収一定的禮吱在上运幼，且九点的辿功廛A , 日腹舟工牛单捉励” F o 5—1（1）J5,A. 11M点同时山笈和向南叶，夜廉血处相過.来口方的込动連厦‘⑵氐H两点口"）中的連廉同时出发.向罐軸记方向远咖几杪钟时厲肴轴距&个单恒吒厦：（3＞九H两点以（1）中的速度同肘出离简叢轴負力冋运朗'与此;同时.C点执愿序山展作同力问的运越，口在运功过程中，B： CA=h 2t若下秒聊后.「停酹在心处，求此时II血的ftffl?5,在数轴上，盘A表常的址是-轴，点B表水的数是（1）求食B中点所取示的数,（2）Si电丫击陀"•・以点H山笈・以4个单检毎杪的述度向左运戒.同时另一兇电沪冑蛀叭从A点出笈以&个单槎毎穆的連度阿右运功・假设它扪在C点处柯遇.求C总庚袁朮的數.（段涌只电于玄雄用C虑处铝遇后・甥续对血製运刚胯力向远血・勻电于冑雄nl m 庞此时，何堪于肓茲“赴在什忝悅悄『E *探电于育竝血从H血fifctll左向右运功的同叭电于宵蛙M也向右远亦傀设它们在D虛St相遇" 术。
初一数学动点问题例题集(最新整理)
初一数学动点问题集锦1、如图，已知中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为ABC △AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，∴5BD =厘米．又∵厘米，∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，，∴PC BD =．又∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△．（4分）②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒，∴515443Q CQ v t===厘米/秒．（7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒．∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．（12分）2、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6）1分（2）86OA OB == ，10AB ∴= 点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒）1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t==，2S t =1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=，1分21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，3分3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA ，若PA=PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，∴.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴,AO PEAB PB∴PB =∴8PO BO PB =-=∴8)P -，∴8k =.当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P(0,－8)，∴k=8，∴当8或k=－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：5在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻A图16以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC ==，得45QF t =．∴45QF t=． ∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t=-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．图4由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=，即335t t -=． 解得98t =．②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=，即353t t-=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =．①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α=度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长A图5AA AA（备用图）为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB,∴四边形EDBC 是平行四边形.……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴.∴AO=12AC.……………………8分在Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==．1分在Rt ABK △中，sin 454AK AB =︒==Acos 454BK AB =︒==A 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++=3分C（图①）CBH（图②）CBG M（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥∴MN DG ∥∴3BG AD ==∴1037GC =-=4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，．∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠又C C =∠∠∴MNC GDC△∽△∴CN CMCD CG =5分即10257t t -=解得，5017t =6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t =7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t =8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，∴NEC DHC△∽△∴NC ECDC HC =即553t t -=∴258t =8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==CBM（图③）（图④）CBM H解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，∴MFC DHC△∽△∴FC MCHC DC =即1102235tt-=∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形9分8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.（图⑤）CB①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.BC图4（备用）BC图5（备用）BC图1图2B C M 图3BCM （第25解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠．2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥．∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==．4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM ==∴3cos302MH PM =︒=A ．则35422NH MN MH =-=-=在Rt PNH △中，PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．图1B C图2BC当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==．7分∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．8分图3BCM图4BC图5BP ）CMG当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠，∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan 301MC PM =︒=A ．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形．10分9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0）1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度．2分（2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==．∴1046AF =-=． 在Rt △AFB中，10AB ==过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ．∴6,8BH AF CH BF ====．∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分（3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MPAB AF BF ==．1068t AM MP∴==．∴3455AM t PM t==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10）5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大．6分此时P的坐标为（9415，5310）．7分（4） 当53t =或29513t =时，OP 与PQ 相等．9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A图1A图2A图3解：（1）正确．（1分）证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠= °，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）．（5分）AE EF ∴=．（6分）（2）正确．（7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．（8分）BN BE ∴=．45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．（10分）AE EF ∴=．（11分）A AN11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y （Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-.于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，.4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△.由题设OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤.7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥.则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠ ，，有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB ''=，得2OC OB ''=.9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+ ，∴点C的坐标为()016-.10分12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN 的值等图（1）BN于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E（不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，则AMBN 的值等于．（用含m n ，解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．图（2）BCD 图（1-1）B由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，．1分∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-． 在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =．3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=，222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+． 解得14y =，即14AM =．6分 ∴15AM BN =．7分 方法二：同方法一，54BN =3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN == ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠ ，°，． 在BCE △与NGM △中 90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分∵114AM AG MG AM =--=5，=46分∴15AM BN =7分类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+10分联系拓广2222211n m n n m -++12分。
初一数学动点问题集锦91335精编版
3 ，求代数式 213 a
2
b
6cd
3m2
m
的值。 3．已知 x
1 1
3
5
1 1 2 ，求代数式 x1999 2 12
2 x1998
3 x1997
1998x 2 1999x 的
值。
2x
4．当
y
3 时，求代数式
2x
y
x y 的值。
xy
2x 2y 6x 3y
5．已知 2 x2 3 y 7 的值是 8，则 4 x2 6 y 9 的值？
2、 设 a+b+c=3m,求证 :(m-a) 3+(m-b) 3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
11
7．已知
1
，求 b
a
的值。
a b ab a b
6ax 3 8．不论 x 取何值，分式
2bx2
2
8x c 1 的值恒为一个常数，求
a 、 b 、 c 的值。
3x 2x 4
x
9．若
10．已知代数式 3x 2 2 x 6 的值为 8，求代数式 3 x2 x 1 的值。 2
11．已知 x 1 ， y 2 ，求代数式 3x2 xy y2 的值。
1．已知 a 3b ， c a ，求 a b c 的值。
2
abc
2. 已知 x y z 且 xy yz zx 99 ，求 2x2 12y 2 9 z2 的值。 312
C 点相遇，
⑶若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁
Q
恰好从 A 点出发， 以 4 个单位 /秒的速度也向左运动， 设两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点相遇，
初一数学动点问题集锦
七年级数学上册动点问题K如图.有一数轴1ft点为O,点A所对应的数足・1 12,点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B.・1 0 1（1）如果OA=OB・那么点B所对应的数忌什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度.（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C.所用时间是9秒，且KC=KA r分别求点K和点（:所对应的数・2、动点A从原点山发向数轴负方向运动•同时.动点B也从原点山发向数轴正方向运动.3杪后，网点相呼15个单位K度.己知动点A、B的速度比是4 4.（速度单位：单位K度/秒）（1）求山两个动点运动的速度.并在数轴上你山A、B两点从原点111发运初3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位盘同时向数轴负方向运动.儿秒后原点恰好处在两个动点正中何；（3）在（2）中A. B两点维续同时向数轴负方向运动时.另一动点C同时从B点位胃出发向A运动，当逊到A后•立即返冋向B点运动.遇到B点后立即返冋向A点运动，如此往返，N到Bit上A时.C &即停止运动.若点C 以20单位长度/杪的速度匀速运动，那么点「从开始到停止运动.运动的路程杲多少单位KA.11111111111 --8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 123、已知数轴上两点A、B对应的数分别为」、3,点P为数轴上动点，其对应的数为x.A O p B（1）US点P到点、点B的原离相等，求点P对应的数：~-2 0~ j—3（2）数轴上是否存在I 使点P到点A、点B的呼离之和为6?若存在，请求出覧的值；若不存在，说明理由；（3）点入虑B分別以2个单位K度/分、I个单位K度/分的速度向右运动•同时点P以6个单位K度/ 分的速度从O点向左运幼.当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动.并不停地往返于点人与点B 之间，求当点A与点B正合时，点P所经过的总路程是多少？4.数轴上两个顾点A、B所对应的数为・8、4, A. B两点冬口以一定的速度在上运动，且A点的运动速A B发为2个卑位/杪.=1 O 4 —（1）点A、B两点同时出发相向而行・在原点处相遇.求B点的运动速度：（2） A. B两点以（1）中的速度同时11J发，向数轴正方向运动.几抄钟时两者相距6个单位K度；（3） A. B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动•与此同时.C点从原点山发作同力向的运动，且在运动过程中，始终有「B： CA=I： 2,若干秒钟后，（:停留在・10处，求此时B点的位潼？5.在数轴上，点A表示的数足・30,点B麦示的数是170.（1）求人、B中点所农示的数.（2）-・只电了肓蛙m.从Zi B lh发.以J个单位每秒的速度向左运动.河时另••只电了古itm从A点山发以6个单位每秒的速度向右运动.假设它们在C点处相遇.求C点所表尔的数.（3）两只电子育蛙在C点处相遇后.矫续向原来运动的力向运动.当电子育蛙m处在A点处时•何电子青娃n处在什么位饯？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时.电子青蛙n也向右运幼.假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数6.己知数轴上有A、B. C三点，分別代表一24. -10. 10,两只电子蚂蚊甲.乙分别从入C网点何时相向而行.甲的速度为4个单位/秒・⑴何多少秒后，甲B、(:的距离和为40个单位？(2)若乙的速度为6个单位/秒，两只电了妈蚊甲、乙分别从A. C两点同时相向而行.问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？(3応(1X2)的条f|几出甲到入B. C的竝离和为40个单位时.甲调头返回.问甲.乙还能在数轴上相遇吗？若能.求山相遇点：若不能，请说明理由.7、已知数轴上两点A. B对应的数分別为_1, 3,点P为数轴上一动点，其对应的数为x.(1序点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数*(2威轴上是否存衽点P.使点P到点A、点B的护离之和为5?廿存在.请求lilxM值.若不存在，请说明理由？⑶当点P以每分钟一个单位K度的速度从O点向左运动时.点A以每分钟5个单位K度向左运动.点B 一每分仲20个单位尺度向左运动.问它们同时山发・儿分钟后P点到点入点B的距离相等？8、如图1.已知数轴上有三点A. Ik C, AIUI2AC,点C对应的数是200.(1)若81=3(10,求点A对应的数：(2)如图2,在(1)的条件下.动点P、Q分别从A、('两点同时115发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位K度每权5单位K度毎穆、2单位K度毎秒，点M为线段PR的中点.点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN (不考电点R与点Q相遇之后的情形)；(3)如图3. (1)的条件下.若点取D对应的数分別为・8(仏()•动血P. Q分别从积D两点同时山发向左运动.点P、Q的速度分别为1"单位K度每秒■ 5单位K度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过桎中，32QC .AM的值是否发生变化？若不变，求Jttfi；若不变•请说谢理由.,B c一 h 一e ■■…•• r m P R Q 200-800 0 200® 1092 图J9. 数轴上点A对应的数是・1. B点对应的数是1. 一只小虫甲从点B出发沿若数轴的正力向以每秒J个单位的速度爬行至C点.再立即返冋到A点，共用了4杪钟・(1)求点C对应的数：(2)若小虫甲返回到A点后再作如下运动：第1次向右爬行2个单位•第2次向左爬行J个单位•第3 次向右爬行6个单位.第4次向左爬行8个单位•…依次规律爬下去，求它第10次爬行所停在点所对应旳数：(3)若小虫甲返回到A后继续沿若数轴的负方向以每秒』个单位的速度爬行.这时另一小虫乙从点C出发沿弗数轴的负力向以每秒7个单位的速度爬行.设甲小虫对应的点为E点，乙小虫对应的点为F点. 设点A. E. F、B 所对应的数分别是xA. xE. xF. xB,当运动时间(不超过1秒时，则下列结论' ①xA"Eld“*F1・lxF・hBI不变：®I X A.X E|.I X E.X FI+I X F.X BI不变：英中只有一个结论止滩，请你选择山止确的结论.并求山其定值.10. 思考下列问题并祚横找上填上答案.思考下列问趣并在横线上填上答案.(1) ___________________________________________ 数轴上義乐・3的点勾汲不4的点相距个单位.(2)数轴上表示2的点先向右移动2个单位•再向左移动5个单位•嚴后到达的点表示的数是______________ ・(3)数轴上若点A农示的数足2,点B与点A的距离为3,则点B农示的数足_____________ •(4)若I M・3H2. lb+217,且数取b在数轴上表示的数分别足点A、点B,则A、B两点间的最大距离是____ •堀小护离______________ .(5)ft轴上点A农乐&点B发不・8・点C祎点A与点B之间・A点以每秒(L5个单位的速度向左运动. 点B以每秒1.5个单位的速度向右运动.点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰疑点A后立即返回向左运动•碰到点B后又立即返回向右运动.碰到点A后又立即返回旬左运动•… 三个点问时开始运动. 经过秒三个点聚于一点，这一点表示的数绘_________ •点C在整个运动过程中，移动了______ 个单位.11. 已知数轴上两点A. B对应的数分别为・1、3,数轴上一动点P对应的数为心（1）若点P到点A.点B的距离柿等.求点P对应的数：（2）当点!＞以每分钟I个单位K度的速度从＜）点向左运动时，点A以每分钟5个单位K度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位K度的速度向左运动•何几分钟时点P到点A,点B的距离相等.A O p B-2 -1 0 * 312. 妇图.在射线OM上有三点A、B. G 满足（）z\=20cm. AB=6（km f BC=1（km （如图所示）.点P 从点O出发，沿OM力向以IcmA的速度匀速运幼.点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运劝（点Q运动到点O时停止运动〉.两点同时出发.（1）当PA=2PB时，点Q运动剑的位置恰好足钱段AB的•:彎分点，求点Q的运动速度.（2）若点Q运动速度为3«nA・经过多K时间P、Q两点相距70on・（3）十点P运动到域段AB J：时.分别取OP和AB的中血取F.求OB-AP/EF的值.0 A B~C~M13. 甲.乙物体分别从相距九米的两处同时相向运动.甲第1分钟走2X＞以后毎分钟比前I分钟多走1X＞乙毎分钟走5米.（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对力超点后立即折返.甲继续每分钟比前1分钟多走I米，乙继续每分钟走5米. 那么开始运动几分钟后第一相遇？A B14. 如图.线段AB=20cm. p Q（D点P沿线段AB自A点向B点以2厘杓秒运动，同时点Q沿战段DA自B点向A点以3厘#/秒运动，儿秒钟后.P. Q两点相遇？如图.已知数轴上A. B两点所表示的数分别为・2和乩（1）求线段AB的Kt~4 O 5 »（2）若P为射线BA±的一点（点P不与A、B两点重合.M为PA的中点.N为PB的中点.当点P 在射线BA±运动时：MN的长度是否发生改变？若不变，请你画111图形.并求111线段、的长：若改变. 请说明理由.15、已知：如图1, “足定IC线段AB±一定点，C. D两点分別从M. BIH发以lcm/s. 3cm/、的速度沿直线BA向左运动・运动方向如箭头所示（T在线段AM ±, D在找段BM±）（1）若AB^lUom 当点C、I）运动了如求AC+MD的值.（2）若点C、D运动时.总有MD=3AC,玄接填空：AM= ______ AB.（3丿在（2）的条件下.N是宜线AB±—点.且/\N-BN=MN,求MNz\B的值.图1 團216、如图.P是定尺找段AB上一点.C、D两点分别从P、B山发以1cm/s、2cm/y的速度沿宜找AB向左运动（C在线段AP上.D在线段BP±）DAP乏BCD 求找段"的K已知线段 \B-nn綾段 Cl)AB ±运动(A 4 H 左仙 O'l 。
初一数学动点问题例题集
初一数学动点问题集锦1、如图，已知ABC △中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在的哪条边上相遇？解：（1）①∵秒， ∴厘米，∵厘米，点为的中点， ∴厘米． 又∵厘米， ∴厘米， ∴． 又∵， ∴，∴． （4分）B P②∵，∴，又∵，，则，∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．（7分）（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．∴点共运动了厘米．∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．（12分）2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形解（1）A（8，0）B（0，6） 1分（2）点由到的时间是（秒）点的速度是（单位/秒）1分当在线段上运动（或0）时，1分当在线段上运动（或）时，,如图，作于点，由，得， 1分1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）1分3分3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，∴PE=.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴，∴∴，∴，∴.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，∴k=－－8，∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．解：5在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成ACP图16为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．解：（1）1，；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴． 由△AQF ∽△ABC ，， 得．∴． ∴，即．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC ，得，即． 解得．②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得 ， 即． 解得． （4）或．①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．ACP图4ACP图5A A由，得，解得．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． ，】6如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．（1）①当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；②当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由． 解（1）①30，1；②60，； ……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC ∵CE ……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC=2.AA （备用图）AO== . ……………………8分在Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分7如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．（1）求的长． （2）当时，求的值．（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形 ∴ 1分 在中， 2分在中，由勾股定理得， ∴ 3分CB M（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴ ∴ 4分由题意知，当、运动到秒时， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 5分 即解得， 6分（3）分三种情况讨论：（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMN①当时，如图③，即 ∴ 7分②当时，如图④，过作于 解法一：由等腰三角形三线合一性质得 在中， 又在中， ∴ 解得 8分 解法二： ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 8分③当时，如图⑤，过作于点. 解法一：（方法同②中解法一）ADCBMN（图③）（图④）AD CBMNH EADCBH NMF解得 解法二： ∵ ∴ ∴ 即 ∴综上所述，当、或时，为等腰三角形 9分8如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，. （1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.A DADA D E BF C图1图2A D EB FC PNM图3AD EBFCPNM（第25题）解（1）如图1，过点作于点 1分 ∵为的中点， ∴在中，∴ 2分∴即点到的距离为 3分（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变． ∵∴ ∵∴， 同理 4分如图2，过点作于，∵ ∴ ∴ ∴ 则 在中，∴的周长= 6分②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形． 当时，如图3，作于，则 类似①， ∴ 7分∵是等边三角形，∴图1AD E B F CG图2A D EB F CPNMG H此时， 8分当时，如图4，这时此时， 当时，如图5， 则又 ∴因此点与重合，为直角三角形． ∴ 此时，综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 10分9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标（长度单位）关于运图3A D E BFCPN M图4AD EB F CPM N 图5A D EB F （P ） CMN GGRG动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．解：（1）（1，0）1分点P运动速度每秒钟1个单位长度．2分（2）过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．∴．在Rt△AFB中， 3分过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．∵∴△ABF≌△BCH．∴．∴．∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，则△APM∽△ABF．∴．．∴．∴．设△OPQ的面积为（平方单位）∴（0≤≤10）5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵<0 ∴当时，△OPQ的面积最大．6分此时P的坐标为（，）．7分（4）当或时， OP与PQ相等．9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A DFC GEB图1A DFC GEB图2A DFC GEB图3解：（1）正确．（1分）证明：在上取一点，使，连接．（2分）．，．是外角平分线，，．．，，．（ASA）．（5分）．（6分）（2）正确．（7分）证明：在的延长线上取一点．使，连接．（8分）．．四边形是正方形，．．．（ASA）．（10分）．（11分）A DFC GEBMA DFC GEBN11已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．则.设点的坐标为. 则.于是.在中，由勾股定理，得，即，解得.点的坐标为. 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点落在边上的点为,则.由题设，则，在中，由勾股定理，得.，即6分由点在边上，有，解析式为所求.当时，随的增大而减小，的取值范围为. 7分（Ⅲ）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.则.又，有..有，得. 9分在中，设，则.由（Ⅱ）的结论，得， 解得.点的坐标为. 10分 12问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．类比归纳在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）方法指导：为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2 图（2）NABCD EF M图（1）A BCDEFMN解：方法一：如图（1-1），连接．由题设，得四边形和四边形关于直线对称． ∴垂直平分．∴ 1分 ∵四边形是正方形，∴ ∵设则 在中，．∴解得，即 3分 在和在中， ，N图（1-1）A BCEFM5分 设则∴ 解得即 6分 ∴ 7分方法二：同方法一， 3分如图（1－2），过点做交于点，连接∵∴四边形是平行四边形． ∴同理，四边形也是平行四边形．∴ ∵ 在与中N图（1-2）A BCDEFMG∴５分∵6分∴7分类比归纳（或）；；10分联系拓广12分。
初一数学动点题集锦
1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。
若不存在，请说明理由？⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？2.数轴上A点对应的数为－5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动。
（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；A B－5（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B点表示的数；A B－5（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。
A B－53.已知数轴上有顺次三点A, B, C。
其中A的坐标为-20.C点坐标为40，一电子蚂蚁甲从C点出发，以每秒2个单位的速度向左移动。
（1）当电子蚂蚁走到BC的中点D处时，它离A,B两处的距离之和是多少？（2）这只电子蚂蚁甲由D点走到BA的中点E 处时，需要几秒钟？（3）当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C出发，向左移动，速度为秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B点5个单位长度，求B点的坐标4.如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。
⑴求AB中点M对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。
初一数学动点题集锦
初一数学动点题集锦1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数。
答：根据题意，P点到A、B两点距离相等，即PA=PB，因此P点在AB中垂线上，所以x=1.⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。
若不存在，请说明理由？答：存在。
由于AB的长度为4，所以PA+PB=5时，P点在AB上离A点2个单位长度处，因此x=-3或x=5.不存在其他解。
⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？答：设P点到O点的距离为d，则P点到A、B两点的距离分别为d+1和d+3.由于P点向左运动，A、B两点向左运动，因此P点到A、B两点的距离差会不断缩小，当P点到达A、B两点之间垂线的交点时，两点的距离差最小，此时P点到A、B两点的距离相等。
设此时P点到垂线交点的距离为x，则有：d+1-x=5t（t为时间，单位为分钟）d+3-x=20t2.数轴上A点对应的数为-5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动。
1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；答：由于丙以3个单位/秒的速度向右运动，因此5秒后到达的位置与A点距离为15个单位长度，即C点对应的数为-20.2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B点表示的数；答：设它们同时出发的时间为t秒，则甲、乙、丙三点的位置分别为：甲：B点左侧2t个单位长度___：B点左侧t个单位长度丙：A点右侧3t个单位长度当丙在遇到甲后1秒遇到乙时，有：2t+3=3t-1t=4因此它们同时出发的时间为4秒，B点对应的数为-2.3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。
初一数学动点问题例题集
初一数学动点问题集锦 【1 】1.如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点． （1）假如点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点活动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点活动．①若点Q 的活动速度与点P 的活动速度相等,经由1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请解释来由;②若点Q 的活动速度与点P 的活动速度不相等,当点Q 的活动速度为若干时,可以或许使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的活动速度从点C 动身,点P 以本来的活动速度从点B 同时动身,都逆时针沿ABC △三边活动,求经由多长时光点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==⨯=厘米, ∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点, ∴5BD =厘米． 又∵厘米,∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，, ∴PC BD =． 又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠,∴BPD CQP △≌△．（4分） ②∵P Qv v ≠,∴BP CQ ≠,又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====，,∴点P,点Q活动的时光433BPt==秒,∴515443QCQvt===厘米/秒．（7分）（2）设经由x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意,得153210 4x x=+⨯,解得803x=秒．∴点P共活动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+,∴点P.点Q在AB边上相遇,∴经由803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．（12分）2.直线364y x=-+与坐标轴分离交于A B、两点,动点P Q、同时从O点动身,同时到达A点,活动停滞．点Q沿线段OA活动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O→B→A活动．（1）直接写出A B、两点的坐标;（2）设点Q的活动时光为t秒,OPQ△的面积为S,求出S与t之间的函数关系式; 485S=（2）86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时光是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 1分当P 在线段OB 上活动（或03t ≤≤）时,2OQ t OP t ==，2S t = 1分当P 在线段BA 上活动（或38t <≤）时,6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图,作PD OA ⊥于点D ,由PD AP BO AB =,得4865tPD -=, 1分21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ 1分（自变量取值规模写对给1分,不然不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 3分 3如图,在平面直角坐标系中,直线l ：y=－2x －8分离与x 轴,y 轴订交于A,B 两点,点P （0,k ）是y 轴的负半轴上的一个动点,以P 为圆心,3为半径作⊙P.（1）贯穿连接PA,若PA=PB,试断定⊙P 与x 轴的地位关系,并解释来由;（2）当k 为何值时,以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为极点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y=－2x －8与x 轴交于A （4,0）, 与y 轴交于B （0,－8）,∴OA=4,OB=8.由题意,OP=－k,∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,∴k=－3,∴OP等于⊙P的半径,∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C,D两点,贯穿连接PC,PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形,∴DE=12CD=32,PD=3,∴PE=33.∵∠AOB=∠PEB=90°,∠ABO=∠PBE,∴△AOB∽△PEB,∴332,45AO PEAB PB PB =即,∴315 PB=∴3158PO BO PB=-=,∴3158) P-,∴3158 k=.当圆心P在线段OB延伸线上时,同理可得P(0,－315－8),∴k=－315－8,∴当k=3152－8或k=－3152－8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A 的坐标为（－3,4）,点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式;（2）衔接BM,如图2,动点P从点A动身,沿折线ABC偏向以2个单位／秒的速度向终点C匀速活动,设△PMB的面积为S（S≠0）,点P的活动时光为t秒,求S与t之间的函数关系式（请求写出自变量t的取值规模）;（3）在（2）的前提下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：B 5在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5．点P从点C动身沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速活动,到达点AE后连忙以本来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 动身沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速活动．陪同着P.Q 的活动,DE 保持垂直等分PQ,且交PQ 于点D,交折线QB-BC-CP 于点E ．点P.Q 同时动身,当点Q 到达点B 时停滞活动,点P 也随之停滞．设点P.Q 活动的时光是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是; （2）在点P 从C 向A 活动的进程中,求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式;（不必写出t 的取值规模）（3）在点E 从B 向C 活动的进程中,四边形QBED 可否成 为直角梯形？若能,求t 的值．若不克不及,请解释来由; （4）当DE 经由点C 时,请直接写出t 的值．解：（1）1,85;（2）作QF ⊥AC 于点F,如图3, AQ = CP= t,∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC,4BC ==,得45QF t =．∴45QF t=． ∴14(3)25S t t =-⋅,即22655S t t=-+． （3）能．①当DE ∥QB 时,如图4．∵DE ⊥PQ,∴PQ ⊥QB,四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC,得AQ APAC AB =, 即335t t -=．解得98t =． ②如图5,当PQ ∥BC 时,DE ⊥BC,四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°．P图4P由△AQP ∽△ABC,得AQ APAB AC =, 即353t t -=．解得158t =． （4）52t =或4514t =．①点P 由C 向A 活动,DE 经由点C ． 衔接QC,作QG ⊥BC 于点G,如图6．PC t =,222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =,得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--,解得52t =． ②点P 由A 向C 活动,DE 经由点C,如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--,4514t =】6如图,在Rt ABC△中,9060ACB B ∠=∠=°，°,2BC =．点O 是AC 的中点,过点O 的直线l 从与AC 重合的地位开端,绕点O 作逆时针扭转,交AB边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ,设直线l 的扭转角为α．（1）①当α=度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为;②当α=度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为; （2）当90α=°时,断定四边形EDBC 是否为菱形,并解释来由． 解（1）①30,1;②60,1.5; ……………………4分 （2）当∠α=900时,四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED.∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2,OE CDAα lOCA（备用图）∴∠A=300. ∴∴AO=12AC. ……………………8分在Rt △AOD 中,∠A=300,∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形,∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分 7如图,在梯形ABCD 中,3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点动身沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 活动;动点N 同时从C 点动身沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 活动．设活动的时光为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时,求t 的值．（3）试探讨：t 为何值时,MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①,过A .D 分离作AK BC ⊥于K ,DH BC ⊥于H ,则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． 1分在Rt ABK △中,sin 4542AK AB =︒==． 2cos 454242BK AB =︒==2分在Rt CDH △中,由勾股定理得,3HC == CM∴43310BC BK KH HC =++=++=3分（2）如图②,过D 作DG AB ∥交BC 于G 点,则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-=4分由题意知,当M .N 活动到t 秒时,102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG =5分即10257t t -= 解得,5017t =6分（3）分三种情形评论辩论： ①当NC MC =时,如图③,即102t t =-∴103t =7分 （图①） ADCB KH（图②）ADCBG MN解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中,5cos EC t c NC t -== 又在Rt DHC △中,3cos 5CH c CD ==∴535t t-= 解得258t =8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC = 即553t t -=∴258t =8分③当MN MC =时,如图⑤,过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（办法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t = 解法二：（图⑤）ADCBH N MF∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC = 即1102235tt-= ∴6017t =综上所述,当103t =.258t =或6017t =时,MNC △为等腰三角形 9分8如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,E 是AB 的中点,过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，,60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离;（2）点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ,过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ,贯穿连接PN ,设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2）,PMN △的外形是否产生转变？若不变,求出PMN △的周长;若转变,请解释来由;②当点N 在线段DC 上时（如图3）,是否消失点P ,使PMN △为等腰三角形？若消失,请求出所有知足请求的x 的值;若不消失,请解释来由. 解（1）如图1,过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分 ∵E 为AB 的中点, ∴122BE AB ==．在Rt EBG △中,60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． 2分A DE BF C图1图2A D EBF C PNM 图3 A D EBFC PNM 图1A D EB F CG∴112BG BE EG ====，即点E 到BC3分（2）①当点N 在线段AD 上活动时,PMN △的外形不产生转变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =,PM EG == 同理4MN AB ==． 4分如图2,过点P 作PH MN ⊥于H ,∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中,PN ===∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． 6分②当点N 在线段DC 上活动时,PMN △的外形产生转变,但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时,如图3,作PR MN ⊥于R ,则MR NR =．相似①,32MR =．∴23MN MR ==． 7分∵MNC △是等边三角形,∴3MC MN ==．图2A D E BFCPNMG H此时,6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． 8分当MP MN =时,如图4,这时MC MN MP === 此时,615x EP GM ===-= 当NP NM =时,如图5,30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．是以点P 与F 重合,PMC △为直角三角形．∴tan301MC PM =︒=．此时,6114x EP GM ===--=． 综上所述,当2x =或4或(5时,PMN △为等腰三角形． 10分9如图①,正方形 ABCD 中,点A.B 的坐标分离为（0,10）,（8,4）,点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 动身沿A→B→C→D 匀速活动,同时动点Q 以雷同速度在x 轴正半轴上活动,当P 点到达D 点时,两点同时停滞活动, 设活动的时光为t 秒．(1)当P 点在边AB 上活动时,点Q 的横坐标x （长度单位）关于活动时光t （秒）的函数图象如图②所示,请写出点Q 开端活动时的坐标及点P 活动速度; (2)求正方形边长及极点C 的坐标;(3)在（1）中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标;图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG(4)假如点P.Q 保持原速度不变,当点P 沿A→B→C→D 匀速活动时,OP 与PQ 可否相等,若能,写出所有相符前提的t 的值;若不克不及,请解释来由．解：（1）Q （1,0）1分点P 活动速度每秒钟1个单位长度．2分（2）过点B 作BF ⊥y轴于点F ,BE ⊥x 轴于点E ,则BF ＝8,4OF BE ==．∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中,228610AB =+= 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,与FB 的延伸线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14,12）． 4分 （3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M,PN ⊥x 轴于点N, 则△APM ∽△ABF ．∴AP AM MPAB AF BF ==．1068t AM MP ∴==． ∴3455AM t PM t ==，．∴3410,55PN OM t ON PM t==-==． 设△OPQ 的面积为S （平地契位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） 5分 解释:未注明自变量的取值规模不扣分．AB CDEF G H M NPQ Oxy∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时,△OPQ 的面积最大． 6分此时P 的坐标为（9415,5310）．7分（4）当53t =或29513t =时, OP 与PQ 相等． 9分10数学课上,张先生出示了问题：如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F,求证：AE=EF ． 经由思虑,小明展现了一种准确的解题思绪：取AB 的中点M,衔接ME,则AM=EC,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =．在此基本上,同窗们作了进一步的研讨：（1）小颖提出：如图2,假如把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B,C 外）的随意率性一点”,其它前提不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你以为小颖的不雅点准确吗？假如准确,写出证实进程;假如不准确,请解释来由;（2）小华提出：如图3,点E 是BC 的延伸线上（除C 点外）的随意率性一点,其他前提不变,结论“AE=EF”仍然成立．你以为小华的不雅点准确吗？假如准确,写出证实进程;假如不准确,请解释来由．解：（1）准确．（1分）证实：在AB 上取一点M ,使AM EC =,衔接ME ．（2分） BM BE ∴=．45BME ∴∠=°,135AME ∴∠=°． CF 是外角等分线, 45DCF ∴∠=°, 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．ADF CG E B 图1 ADFC G E B 图2 ADFC G E B 图3 A DF CGEBM90AEB BAE ∠+∠=°,90AEB CEF ∠+∠=°,∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）．（5分）AE EF ∴=．（6分）（2）准确．（7分）证实：在BA 的延伸线上取一点N ． 使AN CE =,衔接NE ．（8分）BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形,AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．（10分）AE EF ∴=．（11分）11已知一个直角三角形纸片OAB ,个中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB 交于点C ,与边AB 交于点D ． ADFGE BN解（Ⅰ）如图①,折叠后点B 与点A 重合, 则ACD BCD △≌△. 设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中,由勾股定理,得222AC OC OA =+,即()22242m m -=+,解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 4分（Ⅱ）如图②,折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△.由题设OB x OC y '==，,则4B C BC OB OC y '==-=-,在Rt B OC '△中,由勾股定理,得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+,即2128y x =-+ 6分由点B '在边OA 上,有02x ≤≤,∴解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. ∴当02x ≤≤时,y 随x 的增大而减小,y ∴的取值规模为322y ≤≤.7分（Ⅲ）如图③,折叠后点B 落在OA 边上的点为B '',且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，,有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OC OA OB ''=,得2OC OB ''=. 9分 在Rt B OC ''△中, 设()00OB x x ''=>,则2OC x =.由（Ⅱ）的结论,得2001228x x =-+,解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C 的坐标为()016.10分12问题解决如图（1）,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E（不与点C ,D 重合）,压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时,求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中,若13CE CD =，则AM BN 的值等于;若14CE CD =，则AM BN 的值等于;若1CE CD n =（n为整数）,则AMBN 的值等于．（用含n 的式子暗示）接洽拓广如图（2）,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合）,办法指点：为了求得AMBN的值,可先求BN .AM 的长,无妨设：AB =2 图（1）A BCDEFMN压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN 的值等于．（用含m n ，的式子暗示）解：办法一：如图（1-1）,衔接BM EM BE ，，．由题设,得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直等分BE ．∴BM EM BN EN ==，． 1分∵四边形ABCD 是正方形,∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中,222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =,即54BN =． 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中,222AM AB BM +=, 222DM DE EM +=,∴2222AM AB DM DE +=+． 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+． 解得14y =，即14AM =．6分 ∴15AM BN=． 7分 办法二：同办法一,54BN =．3分 如图（1－2）,过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ,衔接BE ．N图（1-1） A BCE FM第21页，共21页 ∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理,四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． 在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 6分 ∴15AM BN =． 7分 类比归纳25（或410）;917;()2211n n -+10分接洽拓广 2222211n m n n m -++ 12分N 图（1-2） A B C D E F M G。
初一数学动点问题集锦精编版
七年级数学卜•册动点问题I、如辄有数轴曲点为小点丸所对应的数12：点A汨数牠匀速平穆经过痕点刘达点Ik-1 0 1（i＞ in^UA-oR.那仏点it所对应的鬣超朴么？（“从点A到达点H所用时间是3柱.求谟点陆运动連度，R和点（：所对应的（3）从点A沿議轴匀連乎移经过点K別达点4.\所用时间是¥穆,且KC=KAR分別求点SU2、动点"从原点山发向数轴負方向运珈冋叭动点B也从庫点II嚷向数轴正力何运珈3杪同啊点相即沽牛单橙艮度.己知功点入”的連度tt是I; 4.（速度单也单检艮度瞎）（订求山网个动贞运劝的逸度.井在数轴上标山氣B赐成从扯点出笈运胡3穆时的也置：（2＞A. R曲点从（I）叩的位賓同吋向融紬負力向远动.儿社后原点恰軒处花甬牛幼点正中间；（3）在（2）中A. n网虑继绫同时向数轴负方向运功时，另一功点f同时从您点悅置出笈向A运动. 当遇到A后，立即逐冋网U点远瑕b遇到H点后必即班懈向A点迄治如此往込斤列U追上儿时，＜上即停止迄动.若点「一N以加单拉KIV秒的速度勺速运动，那久点「从开始對停止运动，运动的跻利是聊少单哑罠度.1 I j 1 I 1 I r I 1 I-5 -6 *4 -2 0 2 4 9 9 tO 12氣已抑救轴」两盘九、H对应的数分别为-1、岛点P为数轴上-动点’其对闷的救为“•（I） JfjAiP到盘A P点B的胚翦招等,求曲V謝应的St； ~-- -f 0一1 ~5 *C2）數轴上是吉宓点V.便点P到点氛点B的毕离2和为硏甘存在.请求出x的值：曲不存心，说明理由t （3）点触点H分別以2个单检险度册、I个单枪K劇分的速度向右运弥同时点P以6个单谊氏曲分的連度从。
点向左运功.当遇到冉吋』点P立即以同样的辿度向右运如并耶停地往施于点「勺点H 之風求步虑A 匂点E正合时，点F所经过的兑鬲程是多少？4,議轴上两&歲点人、H所对应的數为.亂4,A. U两点呂宜□-宦的速度在上运功，且A点的运动速廈为工6聲也/杪.-aCl）A'A A. H两点问时山蛊相向Mr在臣点处相遇.求H点的电剧連晚t（2）A, BR点以（I》中的建度同时出玻.向册轴正力向运前，儿杪钟时两者粕距令个单惊K復；（3） A. R两点以t1＞中的速度祠时出发，向数轴负方向运理h勺此同时，T点从痕点山贯柞同力向的运动，且在运动过利屮，嫦终冇「创＜A=I：2,若干杪钟后，丁停跑在•讪处’求此时B点的检養T灵在議轴上，点氏去示的数址-测，点曲巻示的爺捷疗山（1）J R A.li中点所匪示前数.（2）H电子从点RfllSb臥』牛单宛毎秒的速度向左运底.问肘列识电f^Mn.从■止山覆以妨小单忖毎社的锤度向右运勒h试设它＜1在（：点处梱遇，求亡点所表小的数.CO啟蛇电子宵雑圧厂点赴和1届辯策向圖来运功的力向远執肖电子WKm处衽A点处时，何电子育雄n 处衽什么拉骨？U）如果电子宵蛙m从IS点处出发向右毘动的同时，电于青蛙"也向打运动*假设匂忖在卩点处相驚* 求D 点所麦示的暫氛已知通轴上育儿、B，V三点，份别黄友一M，—1U. 1眞rtHtUYm甲、乙分別賦儿、匸舸点问时相向屮的遽度为4个单忖丿秒*口）问多少秒后，甲刮緘队匸的距离和为艸个单隹？⑵兀乙的速度为6牛单创锹沁只电了鸭蚁孔石分别从N.L两点同肘相向而疔.问甲、乙在数柚上的厠个戌榨過？⑶在HX即的条U N 晋甲到九悅匚的曲离和为赫子单检叭甲谓头返回.问中.乙it能在数轴上相遇呜了若聽求山相追直主若不驰.诸说明理由.7.已知敷釉上两点入R对应怖戟分别为一1・為点P为畫釉上一动戌.其对应的敷为"U席点P到点九点B的艮禺相曙.求点P对应的数*⑵散柚上崔酋石在点巴使点P刮点仏点H的丽离之和AST 如札请甜IH的血輕不靑在，请说明理由？⑶卅戊P叹毎分钟一于单榔K燃的遼攬从U血向Zr运功时.戊岛叹强分种區个单驱糧向左运刪.点H —毎分钟却于单怕氏度向左运型・问它町同时山发，儿分饼后F蘇到点N、点B的胜离相普？氛如图1*已知散输上有二處A、Ik Cr AB_l2kCn点:匚对应曲数是2删一⑴若BC5.茨点A MB的輙＜1）如RI2’在（1》的条件下，动虫P* Q分别以九「两点同时山扯向左运动+同时动点R从轟点出號向右运动.点P* 4 R的谨度分別为W卑鳌K廈梅秒，§胡恆反度梅杪-2申位氏业毎杪，点M为红段PH餉中止，点闯为變段RQ的中点，多少秒时恰好淌足卅K=4lUi （不考恵点H与直Q相送之JG的特形）；（弟如图爲（I）的松ft下，若廉哄D对应的報分别为制旳、0.初点卩、Q分別从贾。
(完整版)初一年级数轴上的动点问题汇编
完美 WORD 格式资料数轴上的动点问题最新版A 、B 对应的数分别为-1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为 X 。
P ,使点P 在点A 、点B 的距离之和为5 ?若存在，请求出 x 的值，若不存在,(2)当点P 以每分钟1个单位长度的速度从 O 点向左运动时，点 A 以每分钟5个单位长度的速度向 左运动，点B 以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟时点P 到点A 、点B 的距离相等？(3)如图，若点P 从B 点出发向左运动(只在线段 AB 上运动)，M 为AP 的中点，N 为PB 的中点, 点P 在运动的过程中，线段 MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图 形，并求出MN 的长。
A O P B-* ------• ---- • ----- • ----- >_«——• •-3-2-10123A B -» ---- « ----- • ------ • ------ ■ ---- • ----- «--3 -2 -1 0 1 23(1) 写出数轴上点 A 、C 表示的数;2 .如图，A 、B 、C 是数轴上的三点, O 是原点， BO=3 , AB=2BO , 5AO=3CO1.如图，已知数轴上两点(1 )数轴上是否存在点请说明理由；(2) 点P、Q 分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，2且CN= — CQ .设运动的时间为t (t> 0)秒.①数轴上点M、N表示的数分别是 (用含t的式3子表示)；②t为何值时，M、N两点到原点O的距离相等? ____________I .A 3 O1 C3•如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应数a、b、c、d，且满足a、b是方程|x 9 1的两根(a b ), (c 16)2与d 20互为相反数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1.已知数轴上两点A、 B 对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点P 对应的数；⑵数轴上是否存在点P，使点 P 到点 A 、点 B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值。
若不存在，请说明理由？⑶当点 P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度向左运动，点 B 以每分钟20 个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点 A 、点 B 的距离相等？2. 数轴上 A 点对应的数为－5，B 点在 A 点右边，电子蚂蚁甲、乙在 B 分别以分别以 2 个单位/ 秒、 1 个单位 / 秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在 A 以 3 个单位 / 秒的速度向右运动。
（ 1）若电子蚂蚁丙经过 5 秒运动到C点，求 C点表示的数；A B－ 5（ 2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后 1 秒遇到乙，求 B 点表示的数；A B－ 5（ 3）在（ 2）的条件下，设它们同时出发的时间为t 秒，是否存在t 的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的 2 倍？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由。
A B－53. 已知数轴上有顺次三点 A, B, C 。
其中 A 的坐标为 -20.C 点坐标为 40，一电子蚂蚁甲从 C 点出发，以每秒 2个单位的速度向左移动。
（1）当电子蚂蚁走到 BC的中点 D 处时，它离 A,B 两处的距离之和是多少？（2）这只电子蚂蚁甲由 D点走到 BA的中点 E 处时，需要几秒钟？（ 3）当电子蚂蚁甲从 E 点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点 C 出发，向左移动，速度为秒 3 个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离 B 点 5 个单位长度，求 B 点的坐标4.如图，已知 A 、 B 分别为数轴上两点， A 点对应的数为— 20， B 点对应的数为 100。
⑴求 AB 中点 M 对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁P 从 B 点出发，以 6 个单位 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位 /秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，求 C 点对应的数；⑶若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从 A 点出发，以 4 个单位 /秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点相遇，求 D 点对应的数。
5. 已知数轴上有 A 、B 、C 三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为 4 个单位 /秒。
⑴问多少秒后，甲到 A 、 B、 C 的距离和为40 个单位？⑵若乙的速度为 6 个单位 /秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A 、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下，当甲到 A 、 B、 C 的距离和为40 个单位时，甲调头返回。
问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。
6.动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动， 3秒后，两点相距15 个单位长度。
已知动点 A ， B 的速度比为1： 4（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A ，B 两点从原点出发运动3 秒时的位置；(2)若 A,B 两点从 (1)标出的位置同时出发 ,按原速度向数轴负方向运动 ,求几秒钟后原点恰好在两个动点之的正中间 ?(3) 当 A,B 两点从 (1)标出的的位置出发向负方向运动时 ,另一动点 C 也也同时从 B 点的位置出发向 A运动 ,当遇到 A 后立即返回向 B 运动 ,遇到 B 到又立即返回向 A 运动 ,如此往返 ,直到B 追上 A 时 ,C 立即停止运动 .若点 C 一直以 20 单位长度 /秒的速度匀速运动,求点 C 一共运动了多少个单位长度。
1 直接代入法：当x 2, y 1时，求代数式1x2 xy y 2 1 的值。
2 22 已知 x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的有理数，求代数式 2 x3 5 x2 y 3xy2 15 y3的值。
3．已知x1 131 3x1998 x1997 x 1 的值。
2 6 ，求代数式 x19994 整体代入法：已知2ab 5，求代数式22a b 3 a b 的值。
a b a b 2a b5变形代入法：当x 7时，代数式 ax3 bx 5 的值为7 x 7时，代数式 ax3 bx 5；当的值为多少？6已知当 x 5 时，代数式ax2bx 5 的值是 10，求x 5 时，代数式ax2bx 5 的值。
1．已知a b 3，b c 2；求代数式 a c 23a 1 3c 的值。
2.已知 a ，b 互为相反数， c ， d 互为倒数， m 3 ，求代数式 213 a 23m 2 mb6cd的值。
．已知 x111 15的2 ，求代数式x1999 2x 199819971998x 21999x 32 123x3值。
4．当2xy 3 时，求代数式 2 xy xy的值。
x y2x 2 y 6 x 3 y5．已知 2 x 2 3 y 7 的值是 8，则 4 x 26 y 9 的值？6．已知当 x2 3 bx 7 的值是 5，那么当 x2 时，求代数式 ax3时，代数式 ax bx 7 的值。
7．已知 a 为 3 的倒数， b 为最小的正整数，求代数式a b 22 a b3 的值。
8．已知ab3 ，试求代数式 2ab5 a b 的值。
a b a bab9．已知当 x2时，代数式 ax 3 bx 1的值为 5.求 x 2 时，代数式 ax 3 bx 1的值。
10．已知代数式 3x22 x6 的值为 8，求代数式 3x 2x 1 的值。
211．已知 x 1， y 2 ，求代数式 3x 2 xy y 2 的值。
1．已知 a3b ， ca，求 a b c 的值。
2a b c2. 已知xy z且 xy yz zx 99 ，求 2x 2 12y 2 9 z 2 的值。
31 23 已知 a b c0 ，求 a11 b 11 c11 的值。
b c c aa b4 已知11 2 ，求 3a 4ab3b的值。
a b 2a 3ab 2b1．已知 a 3b, c2a ，求代数式 a bc的值。
3a b cx y z 2z 10 ，求 2 x 5 yz 的值。
2．若4，且 4x 5 y353．已知 11 2 ，求代数式 3x 2 xy3y的值。
xy 5x 3xy 5y．已知 3x 1 7 a x 7a x 6a x 5a xa，试求 a a6 a5a1a 的值。
4765175．已知 1 22 ，求 4 x 3xy2 y的值。
x y4x 8xy2 yy z y z 12 ，试求 2x3y 4 z 的值。
6．若 x，且 x237．代数式 18x y2 ）的最大值是（A ． 17B ． 18C ． 1000D ．无法确定1.已知 x 11，y 1 1，求代数式 z1的值。
yzxx y z ，求 xy z 的值。
2．若b cc aa b例 1、（整体代入法）已知a 有理数，且a 3+a 2+a+1=0, 求 1+a+a 2+a 3+⋯ +a 2001 的 。
一（迎春杯初中一年 第八届 ）若b 2,c3, 则ab ______abb c例 2、（将条件式 形后代入化 ）已知a+b+c=0, 求 (a+b)(b+c)(c+a)+abc 的 。
一 、当 a= 0.2,b=0.04 ，求代数式7271() 。
2b)1 ab(a (a b 0.16)47372例 3、已知 x 2+4x=1, 求代数式 x 5+6x 4+7x 3 4x 2 8x+1 的 。
一 、( 北京初二数学2的根 , 求2a 55a 4 2a 3 8a 2 ) 如果 a 是 x -3x+1=0 a21的 .例 4、已知 x,y,z 是有理数，且 x=8 y,z 2=xy 16，求 x,y,z 的 。
一 ：1、 已知 a+b+c=3,(a 1) 3+(b 1)3 +(c 1) 3=0,且 a=2,求 a 2+b 2+c 2 的 。
2、 若x y z , 求 x+y+z 的 .a bb cc a1、如 ，将 （ 1）中 a b 的矩形剪去一些小矩形得 （ 2）， （ 3），分 求出各 形的周 ，其中 EF=c 。
2、（ x-3 ）5=ax 5+bx 4+cx 3+dx 2+ex+f ，则 a+b+c+d+e+f=______, b+c+d+e=_____.2、 设 a+b+c=3m,求证 :(m-a) 3+(m-b) 3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.7．已知 11 1 ，求b a的值。
a b a b a b8x 取何值，分式 6ax 3 2bx 28x c 1的值恒为一个常数，求a 、b 、c 的值。
．不论3x 2 2x49．若xy z，那么 x的值是多少？z x z x y yy z10．已知 x 2 3y 22 xy ， x 0， y0 ，求x 2 y的值。
x y11．已知x2 ，求x 2 的值。
2 x 1x 4x 2x112．已知 abc1a bc 的值。
，求b 1 ca cab a 1 bc 113．已知 a bc 0 ，求证： a(11) b(1 1)c(1 1) 3 0b c c a a b1. 如图： AB ∥ CD ，直线 交 AB 、CD 分别于点 E 、F ，点 M 在 EF 上， N 是直线 CD 上的一个动点（点 N 不与 F 重合）（1）当点 N 在射线 FC 上运动时，，说明理由？（2）当点 N在射线 FD上运动时，与有什么关系？并说明理由.2.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）∠ ABE=15°，∠ BAD=40°，求∠ BED的度数；（2）在△ BED中作 BD边上的高；(3 ）若△ ABC的面积为 40，BD=5，则点 E 到 BC边的距离为多少？4.如图，三角形 ABC 中， A 、 B、 C三点坐标分别为（ 0，0）、（4，1）、（ 1，3），⑴求三角形 ABC的面积；⑵若 B、 C点坐标不变， A 点坐标变为（— 1，—1），画出草图并求出三角形 ABC 的面积yC5.如图，△ ABC 中，点 D 在 AB 上， AD= 1AB．点 E 在 BC 上， BE =1BC．点 F 在 AC 上， CF3 4 1B A o 1x=1CA．已知阴影部分（即△ DEF）的面积是 25cm2．则△ ABC 的面积为 _______ 5cm2． ( 写出简要推理 ) A7. 小明和小亮两个人做加法，小明将其中一个加数后面多写了一个0 ，得和为1080，小亮将同一个加数后面少写了一个0 ，所得和为90．求原来的两个加数．8. 某工程由甲乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲乙两队共8700 元；乙丙两队合做10 天完成，厂家需付乙丙两队共9500元；甲丙两队合做 5 天完成全部工程的2，厂家需付甲丙两3队共 5500元．（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若要求不超过15天完成全啊工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？9. 4x 3 y 7二元一次方程组( k 的解 x，y 的值相等，求 k．kx 1) y 3211. 若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m－1) x＞n．2x y 13m, 12. 已知方程组x 2 y 1 m ①的解满足x＋ y＜ 0，求 m 的取值范围．②13. 10 k k (x 5)当 2(k 3) 时，求关于 x 的不等式x k 的解集．3 415. 关于 x 的不等式组x a 0,5 个，求 a 的取值范围．3 2x的整数解共有116. x m n ，求不等式 mx n 0 的解集。