2015高中数学 1.6.2.1直线与平面垂直的性质 课件 (北师大版必修2)

【规范解答】取AB的中点G,连接FG、GC.
∵F为BE的中点, ∴FG∥AE且 FG 1 AE a,
2
而AE⊥平面ABC, ∴FG⊥平面ABC. 又∵CD⊥平面ABC, ∴FG∥CD且FG=CD=a. ∴四边形CDFG为平行四边形. 于是DF∥CG. 故DF∥平面ABC.
由线面垂直证明线线垂直 空间中证明线线垂直的方法
2
∴在Rt△ECD中, ED EC2 CD2 122 52 13. 答案：13
4.地面上有两根旗杆，底端相距a米，它们的高分别是b米
和c米(b＞c)，则它们顶端的距离为___________.
【解析】如图，由于两旗杆都与地面垂
直，故两旗杆AD与BC平行，且四边形
ABCD是直角梯形，AD=c，BC=b,过D作 DE⊥BC于E，则DE=a,CE=b-c,
2.线面垂直与平行的相互转化
(1)空间中直线与直线垂直，直线与平面垂直，直线与平面
平行，直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行
的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平 行，最终达到目的. (2)转化关系
“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下 是可以相互转化的.
【例3】(2010·安徽高考)如图，在 多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正 方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,
外一条直线的平行线垂直.
【规范解答】在平面OAB内过O点作 ON⊥OA交AB于N,连接NC. 在等腰△AOB中，∠AOB=120°,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
在Rt△AON中，∠OAN=30°,
ON 1 AN,在△ONB中∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO， 2 1 NB ON AN. 2
线面垂直性质定理的应用
1.平面内证明线线平行的方法
(1)两条直线被第三条直线所截，若同位角相等(或内错角 相等或同旁内角互补)，则两直线平行. (2)三角形中位线、梯形中位线的性质. (3)平行四边形对边平行的性质. (4)平行线分线段成比例定理.
2.空间中证明线线平行的方法 (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行， 那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线 平行. (3)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个
∵B1E⊥平面ABF，∴B1E⊥AF, ∴B1E⊥BF′，DF=CF′. 在正方形BB1C1C中， 由B1E⊥BF′得CE=C1F′=1-CF′, ∴CE+CF′=1，即CE+DF=1.
二、填空题(每题4分，共8分) 5.(2011·洛阳高一检测)如图，AB 是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、 B的点，PA垂直于⊙O所在的平面， AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.因此 __________⊥平面PBC.(请填图上 的一条直线)
与α平行，故③错误.
答案：①
3.在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC=6，BC=8，EC⊥平 面ABC，且EC=12，则ED=__________.
【解析】∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥CD.
∵在Rt△ABC中， AC=6，BC=8,∴AB=10.
又∵D是斜边AB的中点， CD 1 AB 5,
求证：AE⊥SB. 【审题指导】证明本题的关键是要分析出由SA⊥平面ABCD 及ABCD是正方形可证BC⊥平面SAB.
【规范解答】∵SA⊥平面ABCD，BC
平面ABCD，
∴SA⊥BC.
又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB， 又∵AE 平面SAB，∴BC⊥AE. 平面AEFG，∴SC⊥AE.
【典例】(12分)图1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的主视图和左视图如图2所示. (1)证明：AD⊥平面PBC； (2)在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求 此时PQ的长.
【审题指导】(1)由主视图和左视图可知PA=AC=4，D为PC的中 点，进一步可得AD⊥PC.另一方面可通过证BC⊥平面PAC，得 BC⊥AD;(2)将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理求解 .
(1)共面直线垂直的证明方法：
①利用等腰三角形“三线合一”的性质证明.即等腰三角形
底边上的中线(或顶角平分线)是底边上的高.
②利用矩形的四个角是直角证明. ③利用菱形的对角线互相垂直平分证明. ④利用直径所对的圆周角是直角证明. ⑤利用勾股定理的逆定理证明.
(2)异面直线垂直的证明方法： ①作异面直线所成的角，并计算其为90°. ②转化为证明线面垂直.也就是说，要证明线线垂直只要证 明其中一条直线垂直于经过另外一条直线的平面即可.其证 明过程通常如下：
【解析】选B.因为BD⊥平面AA1C1C，CE CE⊥BD.
2.若a，b表示直线，α 表示平面，下列说法正确的序号是 __________. ①若a⊥α ，b∥α ,则a⊥b； ②若a⊥α ，a⊥b,则b∥α ； ③若a∥α ，a⊥b,则b⊥α .
【解析】由线面垂直的性质知①正确.②中b可能满足
b α,故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能
【解析】选B.A正确,若m∥n，m⊥α，则n与平面α内的任
意一条直线垂直，故n⊥α.B错误， 应该是当m∥α，
α∩β=n，且m β时，m∥n. C正确，如图所示，过m作
平面γ和平面δ，可证γ与α、β的交线都与m垂直，又都 在同一平面内，故平行.同理δ与α、β的交线也互相平行， 所以α∥β.D正确.
4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是BC， DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则E、F满足的条件一定是 ( )
A CE D1F
(B)CE+DF=1 (C)CE+D1F=1
1 2
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(D)E、F在棱BC、DD1上的任意位置
【解析】选B.在平面BB1C1C内作BF′∥AF交CC1于点F′.
平面相交，那么它们的交线平行.
(4)线面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，
那么这两条直线平行.
【例1】如图所示，△ABC是正三角 形，AE和CD都垂直于平面ABC，且 AE=AB=2a，CD=a，F为BE中点. 求证：DF∥平面ABC. 【审题指导】要证DF∥平面ABC，关键是在平面ABC内找到 一条直线与DF平行，结合题目条件，可以利用作辅助线构 造平行四边形的方法找这条直线.
∵平面AEFA1∩平面A1B1C1D1=A1F,
平面AEFA1∩平面ABCD=AE. 平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴A1F∥AE, ∴四边形AEFA1为平行四边形， ∴ A 1F AE.
一、选择题(每题4分，共16分)
1.已知α ，β 是平面，m，n是直线，则下列说法中不正确
的是(
)
(A)若m∥n，m⊥α ，则n⊥α (B)若m∥α ，α ∩β =n，则m∥n (C)若m⊥α ，m⊥β ，则α ∥β (D)若m⊥α ，m β ，则α ⊥β
又∵AB=3AQ,∴Q为AN的中点.在△CAN中， ∵P，Q分别为AC，AN的中点，∴CN∥PQ. 由ON⊥OA，OC⊥OA知OA⊥平面ONC，
又∵NC
平面ONC，∴OA⊥NC，
由CN∥PQ知PQ⊥OA.
【例】如图所示，四边形ABCD为正方形，
SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面
分别交SB、SC、SD于点E、F、G.
接EG、GH，由于H为BC的中点，故GH
又∵EF
1 2
1 2
AB.
AB，∴GH
EF,
∴四边形EFHG为平行四边形. ∴EG∥FH，而EG ∴FH∥平面EDB. 平面EDB，FH 平面EDB.
(2)由四边形ABCD为正方形知AB⊥BC，
又∵EF∥AB，∴EF⊥BC，而EF⊥FB，且BC∩FB=B， ∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. ∵BF=FC，H为BC的中点， ∴FH⊥BC,且BC∩AB=B, ∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC. 又∵FH∥EG，∴AC⊥EG. 又∵AC⊥BD，且EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.
又PA⊥平面ABC，AQ
∴在Rt△PAQ中，
平面ABC，∴PA⊥AQ，
PQ AP 2 AQ2 4 2. „„„„„„„„„„„„„12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直
于( (A)AC (C)A1D1 ) (B)BD (D)A1A 平面AA1C1C，所以
DC a 2 b c
2
答案： a 2 b c 2
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1， 且EF⊥平面ABCD，求证A1F AE.
【证明】如图所示，由长方体的性质可知， AA1⊥平面ABCD. 又∵EF⊥平面ABCD， ∴EF∥AA1，故EF与AA1确定一个平面AEFA1.
2. 点A、B在平面α 的同侧，点C 是线段AB的中点，过A、B、C三点
分别作AA1,BB1,CC1与平面α 垂直，
垂足分别为A1,B1,C1，若AA1=3,
CC1=5，则BB1=(
(A)1 (C)1或7
)
(B)7 (D)8
【解析】选B.∵AA1⊥α,BB1⊥α,CC1⊥α,
∴AA1∥BB1∥CC1. 又AA1=3,CC1=5, ∴CC1是梯形AA1B1B的中位线，
【规范解答】(1)因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
∴BC⊥AD. „„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4， D为PC的中点，∴AD⊥PC，∵BC∩PC=C. „„„„„4分 ∴AD⊥平面PBC. „„„„„„„„„„„„„„„5分