【倒计时一日一总结】2014届中考倒计30日回扣押题：11(含思路点拨+完美解答+考点延伸)

如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC 于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
图1
思路点拨
1．把△ACG 分割成以GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于AD ．
2．用含有t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．
3．构造以C 、Q 、E 、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在． 满分解答
（1）A (1, 4)．因为抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋4，
代入点C (3, 0)，可得a ＝－1． 所以抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3．
（2）因为PE //BC ，所以2AP AB PE BC ==．因此1122
PE AP t ==． 所以点E 的横坐标为112
t +．X k B 1 . c o m 将112
x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－(x －1)2＋4＝2144t -． 所以点G 的纵坐标为2144t -．于是得到2211(4)(4)44
GE t t t t =---=-+． 因此
22111()(2)1244
ACG AGE CGE S S S GE AF DF t t t ∆∆∆=+=+=-+=--+．
（3）2013t =
或20t =- 考点伸展
第（3）题的解题思路是这样的：
因为FE //QC ，FE ＝QC ，所以四边形FECQ 是平行四边形．再构造点F 关于PE 轴对称的点H ′，那么四边形EH ′CQ 也是平行四边形．
再根据FQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，根据EQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形EH ′CQ 是否为菱形． 1(1,4)2E t t +-，1(1,4)2
F t +，(3,)Q t ，(3,0)C ． 如图2，当FQ ＝CQ 时，FQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(4)2
t t t -+-=．
整理，得240800t t -+=．解得120t =-220t =+（舍去）．
如图3，当EQ ＝CQ 时，EQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(42)2
t t t -+-=． 整理，得213728000t t -+=．(1320)(40)0t t --=．所以12013
t =
，240t =（舍去）．。