数理统计方法题解4-2
数理统计习题答案-2
数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本的联合分布律. n X X X ,,,12 解:()的分布律为：即X P X ~,λ ()!k e P X k k λλ-==, 0,1,2,,,n k =n X X X ,,,12 的联合分布律为：()n n P X x X x X x ===,,,1122 = ()()()n n P X x P X x P X x === 1122=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n x x xe x x x n-+++!!!1212, n i n x i 0,1,2,,,1,2,, ==2. 设总体X 服从()0,1N 分布，试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：，即()~0,1X N X 分布密度为：()2221x p x e -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x x x p x p112*(),,...=22222221212121n x x x eee --⋅-πππ=()}212exp{122∑=--n i i x n π x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,μσN 分布,试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：()2~,μσX N ，即X 分布密度为：()p x =()}2exp{2122σμπσ--x ，∞<<∞-xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x xx p x p 112*,,...)(=)()}21exp{121222∑-⋅⋅-=-ni i n n x μσπσ, x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设53.2,51.3,54.5,47.8,50.954321=====x x x x x()257.7151=∑=i ix，()51.54251==∑=i ix x(3) ss =()2512512xx xnx i ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)=2s ()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6) =s s *ss n 11-=6.4955(7)=2.5486; (8)*s cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数.(10)中位数为=51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2. 3x2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为,频数依次为,129,,,x x x 129,,,n n n +=++=912n n n n 100,()=∑=911i i in x 3950;()=+=∑=911912i i in xn n x 39.5;()()-=-==∑∑==29129123ss n x x n xnx i i ii i i 210039.5166300-⨯=10275;()==s ss 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()93742或众数是()50,210=n ;中位数为39.523742=+;()11极差为:62-22=40;()4783,0.7568,12612512分位数为+++=+++=∴n n n n n n .3.略.4. 设是一组实数，a 和是任意非零实数，n x x x ,,,12 b bx ay i i -=(i n 1,, =)，x 、y 分别为、的均值， =i x i y 2xs ∑-iixn(x 2)1，=2ys 1n(y y i i-)∑2，试证明：① b x a y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b x a ny ny 1111= ()∑=-ni i x a bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i x na nb 11= b x a -;②=2y s 1n∑-ii y y 2()=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b x a b x a n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n 121=221x s b .1.求分位数（1），（2）()820.05x ()1220.95x 。
概率论与数理统计4-2 方差
X
,
为X的 标准化 变量
E ( X ), D( X )。 X 1 * ) E( X ) 0 解 E( X ) E( X 2 * * 2 * 2 E[( ) ] D( X ) E([ X ] ) [ E( X )] 1 1 2 D( X ) 1 E[( X ) ] 2
推论
若 X i (i 1, 2,...n)相互独立，则有： D( X 1 X 2 ... X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) ... D( X n ) 进一步有：D( Ci X i ) [C D( X i )]
i 1 i 1 2 i n n
4. D(X)=0
P{X= C}=1 , 这里C=E(X)
下面我们的举例说明方差性质应用 .
例7 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 解
X~B(n,p), 则X表示n重努里试验中的
“成功” 次数 .
1 如第i次试验成功 i=1,2，…，n 若设 X i 0 如第i次试验失败
则X
1 fZ ( z) e 3 2
( z 5)2 18
.
四、切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) 2 , 则对于任意正数 ，有不等式
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
P{| X E ( X ) | } 2 2 或 P{| X E ( X ) | } 1 2 由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则
b 2
2
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12
数理统计方法4-2
4.2.4 两个总体，方差未知但相等时，均值是否相等的检验问题 设总体 ξ～),(211σμN ，η～),(222σμN ，其中 1σ，2σ 都未知，但已知21σσ=，（m X X X ,,,21 ） ，（n Y Y Y ,,,21 ）分别是 ξ，η 的样本，两个样本相互独立，要检验0H ：21μμ=。
分析推导因为 ξ～),(211σμN ，η～),(222σμN ，而且21σσ=，由2.5节的定理2.12可知，这时有nm S Y X w11)()(21+---μμ～)2(-+n m t ，其中，Y X ,是ηξ,的样本均值，2*)1(*)1(22-+-+-=n m S n S m S y x w ， 2*x S ，2*yS 是ηξ,的修正样本方差 。
取一个统计量 nm S Y X T w11+-==nm S Y X w11)()(21+---μμnm S w1121+-+μμ 。
若0H ：21μμ=为真，则01121=+-nm S wμμ ，显然有nm S Y X T w11+-==nm S Y X w11)()(21+---μμ～)2(-+n m t 。
若0H ：21μμ=不真，则01121≠+-nm S wμμ，即T 这个随机变量，等于一个服从)2(-+n m t 分布的随机变量，再加上一个不等于0的项，所以，这时统计量T 的分布，相对于)2(-+n m t 分布来说，峰值位置会有一个向左或向右的偏移。
因此可得到检验方法如下： 从样本求出统计量nm S Y X T w11+-=的值。
对于给定的显著水平α，查书后附录中t 分布的分位数表，可求得分位数)2(21-+-n m t α，使得21)}2({21αα-=-+≤-n m t T P ，即使得 αα=-+>-)}2({21n m t T P 。
将统计量T 的值与分位数作比较，当)2(21-+>-n m t T α 时拒绝0H ，否则接受 0H 。
概率论与数理统计：习题4解答
P118习题41. 设随机变量X 的分布律为求2(),(2),()E X E X D X + 分析：用公式(())()iiiE g X g x p =∑计算解答：31111()0121424i ii E X x p ===⋅+⋅+⋅=∑ 32222211117(2)(2)(02)(12)(22)4242i i i E X x p =+=+=+⋅++⋅++⋅=∑由于32222211113()0124242ii i E X xp ===⋅+⋅+⋅=∑因此22231()()()122D XE X E X =-=-= 注：也可以先计算2()E X ，再由22(2)()2E X E X +=+和22()()()D X E X E X =-计算后两者2. 把4个球随机地投入4个盒子中，设X 表示空盒子的个数，求(),()E X D X 解答：（先计算X 的分布律：确定X 可取得值及取每个值的概率） X 可取的值为0,1,2,3443216{0}464P X ⨯⨯⨯=== 31243442136{1}464C C C P X ⨯⨯⨯⨯=== （先从4个盒子中选3个放球，剩下一个盒子空着；再从选中的3个盒子中选一个盒子放两个球；再决定4个球中哪两个放入这个盒子；最后将剩下两个球放入剩下两个盒子里）213242444(1)21{2}464C C C C P X ⨯⨯⨯+===（先从4个盒子中选2个放球，剩下两个盒子空着；在这两个盒子中放球时，分两种情况：一个盒子放3个另一个放1个，两个盒子各放2个。
第一种情况时，先选一个盒子放三个球，再决定哪3个球放入这个盒子，剩下一个球放入另一个盒子；第二种情况时，选2个球放入第一个盒子，剩下两个只能放入第二个盒子）1441{3}464C P X ===因此X 的分布律为从而()01236464646464E X =⋅+⋅+⋅+⋅= 由于22222636211129()01236464646464E X =⋅+⋅+⋅+⋅= 因此222129811695()()()()0.413864644096D XE X E X =-=-=≈3. 设随机变量X 的密度函数为2(1)01()0x x f x else -<<⎧=⎨⎩ 求(),()E X D X 分析：用公式(())()()E g X g x f x dx +∞-∞=⎰计算解答：11001()()()2(1)3E X xf x dx xf x dx x x dx +∞-∞===-=⎰⎰⎰由于112222001()()()2(1)6E X x f x dx x f x dx x x dx +∞-∞===-=⎰⎰⎰因此222111()()()()6318D XE X E X =-=-=4. 设随机变量X 的密度函数为110()1010x x f x x x else +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩求(),()E X D X解答：011011()()(1)(1)066E X xf x dx x x dx x x dx +∞-∞-==++-=-+=⎰⎰⎰由于0122221111()()(1)(1)12126E X x f x dx x x dx x x dx +∞-∞-==++-=+=⎰⎰⎰ 因此()22211()()()066D XE X E X =-=-=5. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，求2()E X解答：由题意知，~(10,0.4)X B因此()100.44E X =⨯=，()100.40.6 2.4D X =⨯⨯= 从而()222()()() 2.4418.4E X D X E X =+=+=6. 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，求(32)E X - 解答：由于~(2)X P ，因此()2E X = 从而(32)3()23224E X E X -=-=⨯-=7. 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，一周5个工作日。
西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所 至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形 独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形 独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似 二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n
概率论与数理统计-第4章-第2讲-随机变量函数的数学期望
02 典型例题
应用 设市场上对某种产品每年需求量为X 吨 ，其中X ~ U [200,400],
每出售一吨可赚300元 , 售不出去，则每吨需保管费100元，问应
该组织多少货源, 才能使平均利润最大？
f
X
(
x)
1 200
,
0,
200 x 400, 其它
解 设组织n吨货源, 利润为 Y，
Y
因此只要掌握了期望的计算，所有的数字特征计算都解决了！
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
01 随机变量函数的数学期望
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1, 2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i 1 E(Y ) g(xi ) pi i 1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
若广义积分 g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
例 设风速V是一个随机变量，它服从（0，a）上的均匀分布，而飞 机某部位受到的压力F是风速V 的函数：
F kV 2
（常数k > 0），求F 的数学期望.
01 随机变量函数的数学期望
如何计算随机变量函数的数学期望?
一种方法是: 因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它 的分布可以由X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就 可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
xf (x, y)dxdy
0
0
dx
2xdy 1
1 x1
3
E(3X 2Y )
(3x 2 y) f (x, y)dxdy
0
0
《概率论与数理统计》第4章作业题
补充作业
设 X 的方差为2.5, 试估计 P{ | X- E(X) | 7.5 } 的值.
解
利用切比雪夫不等式
P{| X E( X ) | 7.5} 2 7.5 1 22.5 0.0444.
2.5
第四章
第四章
Z 2 ~ N (80, 1525) ， Z1 ~ N (2080, 652) ，
P{X Y } 0.9793, X Y ~ N (1360, 1525) ， P{X Y 1400} 1 P{X Y 1400}
1400 1360 1 Φ 1525
X~N(720,302),Y~N(640,252), 求Z1=2X+Y, Z2=X-Y
的分布，并求概率P{X>Y},P{X+Y>1400}.
第四章
由数学期望的性质知，
1 E(Y) E(2X1 - X 2 3X 3 - X 4 ) 2
1 2E(X1 ) - E(X) 2 3E(X 3 ) - E(X 4 ) 2 1 2 1 - 2 3 3 - 4 7 2 又因为 X1 , X 2 , X3 , X 4 , 相互独立，则由方差的性质知 1 D(Y) D(2X1 - X 2 3X 3 - X 4 ) 4D(X1 ) D(X2 ) 2 1 9D(X3 ) D(X4 ) 37.25 4
12(b a)
x
3
|
b a
12
(b 2 ab a 2 )
第四章
4-22 （1）设随机变量X1, X2, X3, X4 相互独立，
且有E(Xi)=i，D(Xi)=5-i，i=1,2,3,4. 设Y=
概率论与数理统计4(2)
概率论与数理统计（经管类）-阶段测评4（2）1.单选题1.1 5.0假设检验时，若增加样本容量，则犯两类错误的概率（）您没有作答∙ a不变∙ b都减小∙ c都增大∙ d一个增大一个减小见教材第八章两类错误的介绍。
1.2 5.0设总体$X~N(mu,sigma^(2))$，$X_(1),…,X_(20)$为来自总体$X$的样本，则$sum_(i=1)^(20)(X_(i)-mu)^(2)/sigma^(2)$服从参数为（）的$chi^(2)$分布。
您没有作答∙ a$19$∙ b$20$∙ c$21$$22$根据教材137页定义6-6得参数为$20$1.3 5.0设$hattheta$是未知参数$theta$的一个估计量，若$E(hattheta)=$（），则$hattheta$是$theta$的无偏估计。
您没有作答∙ a$theta$∙ b$2theta$∙ c$3theta$∙ d$4theta$根据教材153页定义7-3得$E(hattheta)=theta$1.4 5.0设$X_(1),X_(2),…X_(n)$为正态总体$N(mu,sigma^(2))$的样本，记$S^(2)=1/(n-1)sum_(i=1)^(n)(x_(i)-barx)^(2)$，则下列选项中正确的是（）您没有作答∙ a$((n-1)S^(2))/sigma^(2)~chi^(2)(n-1)$∙ b$((n-1)S^(2))/sigma^(2)~chi^(2)(n)$∙ c$(n-1)S^(2)~chi^(2)(n-1)$$S^(2)/sigma^(2)~chi^(2)(n-1)$教材140页的定理6-41.5 5.0设总体$X~N(mu,sigma^(2)),X_(1),X_(2),…,X_(n)$为来自总体$X$的样本，$mu,sigma^(2)$均未知，则$sigma^(2)$的无偏估计是（）您没有作答∙ a$1/(n-1)sum_(i=1)^(n)(X_(i)-barX)^(2)$∙ b$1/(n-1)sum_(i=1)^(n)(X_(i)-mu)^(2)$∙ c$1/nsum_(i=1)^(n)(X_(i)-barX)^(2)$∙ d$1/(n+1)sum_(i=1)^(n)(X_(i)-mu)^(2)$135页定理6-2的证明中找到：$E(sum_(i=1)^(n)(x_(i)-barx)^(2))=(n-1)sigma^(2)$ 将上式两边除以$n$，即得$ES_(n)^(2)=(n-1)/nsigma^(2)stackrel(->)(n->oo)sigma^(2)$1.6 5.0设总体$X$服从正态分布$N(mu,sigma^(2))$，$X_(1),X_(2),…,X_(n)$为来自该总体的一个样本，令$U=(sqrt(n)(barX-mu))/sigma$，则$D(U)=$（）您没有作答∙ a$1$∙ b$2$∙ c$3$∙ d$4$利用教材134定理6-1知$barX~N(mu,sigma^(2)/n)$，将其标准化则为$U=(sqrt(n)(barX-mu))/sigma$知$U~N(0,1)$，则$D(U)=1$1.7 5.0设$x_(1),x_(2),…,x_(25)$来自总体$X$的一个样本，$X~N(mu,5^(2))$，则$mu$的置信度为$0.90$的置信区间长度为（）。
数理统计课后题标准答案
Z1 Z12 2 N (0,1), 1 (1) 3 3 Z2 X 4 X 5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2 3 Z22 N (0,1), 3
2
2 (1)
2
且与 相互独立。由 分布可加性，
1 (2), c 3
2
Z12 Z 2 2 1 2 1 2 ( Z1 Z 2 ) Y 3 3 3 3
e x , x 0
0, x 0
（
x
0
1
）
Ex
xf ( x)dx xe
0
dx
x
用样本 x 估计Ex，则有 x
1
1 ＾ ,
12.设母体X具有几何分布,它的分布列为 P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,… 先用矩法求 p 的估计量 , 再求 p 的最大似然估 计. 解 :( 1)矩法估计
3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求E X 和 X 1 1 1 D 。 x p( ), E x E ( xi ) Exi n n i n i n 解：
1 1 Dx D( xi ) 2 n i n 1 Dxi 2 Dx n i n i
i i i i
2 1 1 c 而sx 2 ( xi x) 2 (a cyi a c y ) 2 ( yi y ) 2 c 2 s y 2 n i n i n i
2. 在五块条件基本相同的田地上种植某种 农作物，亩产量分别为 92 ， 94 ， 103 ， 105 ， 106（单位：斤），求子样平均数和子样方 差。 解：作变换
发电厂电气部分第四章习题解答
第四章电气主接线4—1 对电气主接线的基本要求是什么?答：对电气主接线的基本要求是：可靠性、灵活性和经济性.其中保证供电可靠是电气主接线最基本的要求。
灵活性包括：操作、调度、扩建的方便性。
经济性包括：节省一次投资，占地面积小，电能损耗少。
4-2 隔离开关与断路器的区别何在？对它们的操作程序应遵循哪些重要原则？答：断路器具有专用灭弧装置，可以开断或闭合负荷电流和开断短路电流,故用来作为接通和切断电路的控制电器.而隔离开关没有灭弧装置,其开合电流极小，只能用来做设备停用后退出工作时断开电路。
4—3 防止隔离开关误操作通常采用哪些措施？答：为了防止隔离开关误操作,除严格按照规章实行操作票制度外，还应在隔离开关和相应的断路器之间加装电磁闭锁和机械闭锁装置或电脑钥匙。
4-4 主母线和旁路母线各起什么作用?设置专用旁路断路器和以母联断路器或者分段断路器兼作旁路断路器，各有什么特点？检修出线断路器时,如何操作？答：主母线主要用来汇集电能和分配电能。
旁路母线主要用与配电装置检修短路器时不致中断回路而设计的。
设置旁路短路器极大的提高了可靠性。
而分段短路器兼旁路短路器的连接和母联短路器兼旁路断路器的接线,可以减少设备,节省投资。
当出线和短路器需要检修时，先合上旁路短路器，检查旁路母线是否完好,如果旁路母线有故障，旁路断路器在合上后会自动断开,就不能使用旁路母线。
如果旁路母线完好，旁路断路器在合上就不会断开,先合上出线的旁路隔离开关，然后断开出线的断路器，再断开两侧的隔离开关，有旁路短路器代替断路器工作，便可对短路器进行检修。
4-5 发电机—变压器单元接线中,在发电机和双绕作变压器之间通常不装设断路器，有何利弊？答：发电机和双绕组变压器之间通常不装设断路器，避免了由于额定电流或短路电流过大，使得在选择出口断路器时，受到制造条件或价格等原因造成的困难。
但是，变压器或者厂用变压器发生故障时,除了跳主变压器高压侧出口断路器外，还需跳发电机磁场开关，若磁场开关拒跳,则会出现严重的后果，而当发电机定子绕组本身发生故障时,若变压吕高压侧失灵跳闸，则造成发电机和主变压器严重损坏.并且发电机一旦故障跳闸，机组将面临厂用电中断的威胁。
概率论与数理统计c4_2
2
f x dx
2013-7-3
1
x E X f x dx 2
2
D X
2
18
方 差 Chebyshev不 等 式 若 随 机 变 量 的 方 差 X 存 在 ， X D
则 0有
P X E X D X
DX np p 1
证明
m 3 . X ~ N ,
2
X m DX 2 则E
D(X)=p(1-p)
4.两点分布 5.均匀分布
E(X)=p
E(X)=(b+a)/2 D(X)=(b-a)2/12
6.指数分布 E(X)=λ-1 D(X)= λ-2
2013-7-3 2
方 例 4.2.1 练 习 例 4.2.2
方
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
差
解 ： X ,Y ~ N 0 ,1 由E X
2
2
求 E X
2
Y
2
, DX
2
2
Y
2
D X E X 1 同理 E Y 1 E X Y 2 DX E X E X
2
2
2
4
2
2
2 又 X ,Y相互独立
n n n D X i D X i 2 E X i E X i X j E X j i 1 i 1 i 1
j i
若X1,X2,….,Xn 相互独立，则
n n D X i D X i i 1 i 1
1 f p 在p 2 取最大值
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X 的分布律，并求)(X E ．Have a good time解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X 的所有可能取值为1，4，有41)1(==X P ，43)4(==X P ，从而413434411)(=⋅+⋅=X E ．2．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求)(Y E ．解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为1，4，样本空间Ω由13个字母组成，即共有13个样本点，则131)1(==Y P ，1312)4(==Y P ，从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E ．3．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X (元)，则X 的所有可能取值为6，8.4，4，2，由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元)．4．设随机变量X 具有分布：51)(==k X P ，5,4,3,2,1=k ，求)(X E ，)(2X E 及2)2(+X E ．解：3)54321(51)(=++++=X E ，11)54321(51)(222222=++++=X E ，274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E ．5．设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=， ,2,1=k ，问X 是否有数学期望．解：因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散，所以X 的数学期望不存在．6．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D ．解：因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数，所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ，2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ，故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D ．7．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他．,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D ．解：1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，61)]([)()(22=-=X E X E X D ．8．设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差．解：由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ．9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m ，又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即X Y +=350，求场地面积的数学期望．解：设场地面积为S ，则2Y S =，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+，故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E ．10．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好．解：44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ，44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ，)()(Y E X E =，但)()(Y D X D <，故A 机床加工质量较好．11．设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=，由此得出)()()(Y D X D XY D ≥．证：22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=．因为)(X D ，)(Y D ，2)]([X E ，2)]([Y E 非负，所以)()()(Y D X D XY D ≥．12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他．,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ，15.0)(=X D ，求a ，b ，c ．解：c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102，c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-，⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ，解之得12=a ，12-=b ，3=c ．13．设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ；(2)设XYZ =，求)(Z E ；(3)设2)(Y X Z -=，求)(Z E ．解：(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ，0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ，(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+，(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+．14．设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ，)(Y E ，)(Y X E +及)(22Y X E +．解：⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ．15．),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布，求)(X E ，)23(Y X E -及)(XY E ．解：由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他．,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy ．16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=．1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明：随机变量X 与Y 不相关，也不相互独立．证：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ，同理，0)(=Y E ，⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故随机变量X 与Y 不相关．当11≤≤-x 时，ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2x x x f X π同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故随机变量X 与Y 不相互独立．17．设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(21x x x f x ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求：(1))(21X X E +及)32(221X X E -；(2)又设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E ．解：由题可知1X ～)2(E ，2X ～)4(E ，则21)(1=X E ，41)(2=X E ，161)(2=X D ，81)]([)()(22222=+=X E X D X E ．(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ，85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E ．(2)81)()()(2121==X E X E X X E ．18．(1)设1X ，2X ，3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布，求)51(41∑=k k kX D ；(2)已知随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为4.0，求Y X U 23+=的方差．解：(1)由题易得121)(=i X D ，)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=．(2)由已知25)(=X D ，36)(=Y D ，4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ，得12),cov(=Y X ，)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D ．19．一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)．解：引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车．，在第站有人下车；，在第i i X i 01，10,,2,1 =i ．易知1021X X X X +++= ．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0，在第i 站有人下车的概率为209.01-，也就是209.0)0(==i X P ，209.01)1(-==i X P ，10,,2,1 =i ．由此209.01)(-=i X E ，10,,2,1 =i ．进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次)．20．将n 只球(1～n 号)随机地放进n 只盒子(1～n 号)中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E ．解：引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子．号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1，n i ,,2,1 =，则n X X X X +++= 21，显然n X P i 1)1(==，则nX P i 11)0(-==，n i ,,2,1 =，从而nX E i 1)(=，n i ,,2,1 =，于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E ．21．设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．证：0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ，5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ，0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+，所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故X 与Y 不相关．易知25.025.00)2(=+=-=X P ，5.0025.025.00)1(=+++==Y P ，0)1,2(==-=Y X P ，有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ，故X 与Y 不相互独立．22．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，)(XY E ，),cov(Y X 及XY ρ．解：127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，得127)(=Y E ，14411)(=Y D ，31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ．23．设X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，且X ，Y 相互独立．求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α，β是不为0的常数)．解：由题可知μ==)()(Y E X E ，2)()(σ==Y D X D ，则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ，2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ，μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ，μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ，222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ，)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ，222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ，22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z ．24．设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ，XY ρ和)32(Y X D -；11(2)X 与Y 是否独立？解：(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，125)(=Y E ，14411)(=Y D ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ，)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D ．(2)当10≤≤x 时，x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(x x x f X 同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 与Y 不相互独立．。
(完整word版)研究生应用数理统计基础庄楚强何春雄编制课后答案
研究生 习题2：2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2χ分布。
2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η所以)1,0(~31N η ，)1,0(~32N η)2(~)(3133222212221χηηηη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由于 2221ηηη+= 因此 当 31=c 时，)2(~2χηc 。
2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2N 的一个样本，求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ 。
（参考数据：）2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(21021N ξξξξΛ=， 所以)1,0(~3.0N ξ，即有)10(~3.021012χξ∑=⎪⎭⎫⎝⎛i i所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=10122163.0i i P ξ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-=2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{}20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样本均值。
（参考数据：）2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212(-Φ--Φ=)21()21(-Φ-Φ= 1)21(2-Φ=3830.016915.02=-⋅=由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~2111621N -=-ξξ{}20≤≤ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=21122112110ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-⋅=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2N ξ， 所以)1,0(~2801002080N -=-ξξ所以 {}380>-ξP {}3801≤--=ξP ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=232801ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤--=23280231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-=2-25. 设总体ξ的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它102)(x x x p取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求：（1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21)3(ξP 。
高等数学练习答案4-2
习题4-2 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx : (1) dx = d (ax ); 解dx = a 1d (ax ). (2) dx = d (7x -3); 解dx = 71 d (7x -3). (3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21d (x 2). (4) xd x = d (5x 22); 解x d x = 101 d (5x 2). (5))1( 2x d xdx -=; 解 )1( 21 2x d xdx --=. (6)x 33dx = d (3x 44-2);解x 3dx = 121 d (3x 4-2). (7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x). (8))1( 22xxed dxe --+=; 解 )1( 2 22xx e d dx e --+-=. (9))23(cos 23sin x d xdx =; 解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=. (10)|)|ln 5( x d xdx =; 解 |)|ln 5( 51 x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx -=; 解 |)|ln 53( 51 x d xdx --=. (12))3(arctan 912x d xdx=+; 解 )3(arctan 31 912x dx dx =+. (13))arctan 1( 12x d x dx -=-; 解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-. (14))1( 122x d xxdx-=-. 解)1( )1( 122x d x xdx --=-. 2. 求下列不定积分(其中a , b , w , j 均为常数): (1)òdt e t 5; 解 C e x d e dt e x x t +==òò55551551. (2)ò-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-òò433)23(81)23()23(21)23(. (3)ò-dx x211; 解 C x x d x dx x +--=---=-òò|21|ln 21)21(21121211. (4)ò-332x dx; 解 C x C x x d x xdx+--=+-×-=---=-òò-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)ò-dx e ax bx )(sin ; 解 C be ax a b x d e b ax d ax a dx e ax b xb x b x +--=-=-òòòcos 1)()(sin 1)(sin . (6)òdt tt sin ; 解òò+-==C t t d t dt ttcos 2sin 2sin . (7)ò×xdx x 210sec tan ; 解 ò×xdx x 210sec tan C x x xd +==ò1110tan 111tan tan . (8)òx x x dxln ln ln ; 解 C x x d xx d x x x x x dx +===òòò|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln . (9)ò+×+dx xx x 2211tan ; 解 ò+×+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=òòC x x d x ++-=++-=ò|1cos |ln 1cos 1cos 1222. (10)òx x dx cos sin ; 解 C x x d xdxxxx x dx +===òòò|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)ò-+dx ee xx 1; 解 ò-+dx ee xx 1C e de e dx e e x x x x x +=+=+=òòarctan 11122. (12)ò-dx xe x 2; 解 .21)(212222C ex d e dx xexxx+-=--=---òò(13)ò×dx x x )cos(2; 解 C x x d x dx x x +==×òò)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)ò-dx xx 232; 解 C x C x x d x dx x x +--=+--=---=-òò-2212221223231)32(31)32()32(6132. (15)ò-dx xx 4313; 解 òò+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443. (16)ò++dt t t ))sin((cos 2j w j w ; 解 Ct t d t dt t t ++-=++-=++òò)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322jw w j w j w wj w j w . (17)òdx xx 3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--òò2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)ò-+dx x x xx 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+òò C x x x x d x x +-=--=ò-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin . (19)ò--dx xx 2491; 解 dx xx dx x dx x x òòò---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=òòC x x +-+=2494132arcsin 21. (20)ò+dx x x 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x++-=+-=+=+òòò)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)ò-dx x 1212; 解òòò+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212òò++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221. (22)ò-+dx x x )2)(1(1; 解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+òò|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)òxdx 3cos ; 解 C x x x d x x d x xdx +-=-==òòò3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos . (24)ò+dt t )(cos 2j w ; 解 Ct t dt t dt t +++=++=+òò)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2jw wj w j w . (25)òxdx x 3cos 2sin ; 解 òxdx x 3cos 2sin Cx x dx x x ++-=-=òcos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)òdx xx 2cos cos ; 解 C x x dx x x dx x x ++=+=òò21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos . (27)òxdx x 7sin 5sin ; 解 Cx x dx x x xdx x++-=--=òò2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)òxdx x sec tan 3; 解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223òòò=×= Cx x x d x +-=-=òsec sec 31sec)1(sec 32. (29)ò-dx x x2arccos 2110; 解 C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-òòò10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2. (30)ò+dx x x x )1(arctan ; 解 C x x d x x d x xdx x x x +==+=+òòò2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan . (31)ò-221)(arcsin xx dx; 解 C xx d x x x dx+-==-òòarcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222. (32)ò+dx x x x2)ln (ln 1; 解 C x x x x d x x dx x x x +-==+òòln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)òdxxx x sin cos tan ln ; 解 òòò=×=x dxx xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==ò2)tan (ln 21tan ln tan ln . (34)ò-dx xa x 222(a >0); 解 òòòò-===-dt tadt t atdt a t a ta t a x dx x a x 22cos 1sincos cos sin sin 22222222令, C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)ò-12x x dx ; 解 C x C t dt tdt t t t t x x x dx +=+==××=-òòò1arccos tan sec tan sec 1sec 12令. 或 C x x d x dx x x x x dx +=--=-=-òòò1arccos 111111112222. (36)ò+32)1(x dx; 解 C t tdt t d t tx x dx +==+=+òòòsin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12. -dx x 92--d t dx x 229sec 99x -92ò+xdx 21; x x t tdt t x x+-=+-+=+òò)22)1111221令ò-+211x dx; òò-+-+=-+t t x )2sec 21)cos 11cos cos 11sin 1122令x t+-+-+-+211sin tan ò-+21x x . òòò+-++=×+=-+dt tt t t x x cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=òò|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212. 。
数理统计方法题解4-2
4.11 设锰的熔化点（单位：︒C ）服从正态分布。
进行5次试验，测得锰的熔化点如下：1269 ，1271 ，1256 ，1265 ，1254 。
是否可以认为锰的熔化点显著高于1250︒C ？（显著水平05.0=α）解 设锰的熔化点ξ～),(2σμN ，问题相当于要检验0H ：1250≤μ（1H ：1250>μ ）。
5=n ，1263=X ，64853.7*=S ，8006.3564853.712501263*=-=-=n S X T μ。
对05.0=α，查 t 分布表，可得 1318.2)4()1(95.01==--t n t α 。
因为 1318.28006.3>=T ，所以拒绝 0H ：1250≤μ ，接受 1H ：1250>μ 。
可认为锰的熔化点显著高于1250︒C 。
4.12 某种导线的电阻（单位：Ω）服从正态分布，按照规定，电阻的标准差不得超过0.005 。
今在一批导线中任取9根，测得修正样本标准差 =*S 0.007 ，这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，是否显著地偏大？（显著水平05.0=α）解 设导线电阻ξ～),(2σμN ，问题相当于要检验0H ：005.0≤σ（1H ：005.0>σ ）。
222*)1(σχS n -=68.15005.0007.0)19(22=⨯-=。
对05.0=α，查 2χ 分布表，可得507.15)8()1(295.021==--χχαn 。
因为507.1568.152>=χ，所以拒绝 0H ：005.0≤σ ，接受1H ：005.0>σ 。
这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，显著地偏大。
4.13 某厂从用旧工艺和新工艺生产的灯泡中，各取10只进行寿命试验，测得旧工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2460小时，修正样本标准差为56小时；新工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2550小时，修正样本标准差为48小时。
数理统计2-4
一 次序统计量
次序统计量及其分布
设 X 1 , X 2 , , X n 是从总体 X 中抽取的一个样本， 记 x1 , x2 ,, xn 为样本的一个观测值，将观测值的各 个分量按由小到大的递增序列重新排列为
x(1) x(2)
x( n) .
当 X 1 , X 2 , , X n 取值为 x1 , x2 ,, xn 时 , 定义 X ( k ) 取 值为 x( k ) (k 1, 2, , n), 由此得到的 ( X (1) , X (2) , , X ( n ) ) 称为 样本 X 1 , X 2 , , X n 的次序统计量。
定理
证明
次序统计量是充分统计量。
当给定 X (1) x(1) ,
, X ( n ) x( n ) 时，由于X , X ,, X 1 2 n
1 n!
独立同分布， 所以
P( X i1 x(1) , , X in x( n) )
此条件分布与总体分布无关，故次序统计量是充分统计量。
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定理 设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)),
X 1 , X 2 ,, X n 为样本，则第 k 个次序统计量X ( k ) 的分布
密度为
n! f X ( k ) ( x) [ F ( x)]k 1[1 F ( x)]nk f ( x), k 1,2, , n. (k 1)!(n k )!
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显然有
X (1) X (2)
X ( n)
X i 称为最小次序统计量， 其中 X (1) min 它的值 x(1) 是样本 1i n
概率论与数理统计Ch4-2
概率论与数理统计Ch4-2§4.2 方差和矩一. 方差的定义和性质定义4.2.1 设X是随机变量，若2)(EX X E -存在，则称它为随机变量X 的方差，记为DX 。
方差的算术根DX 称为标准差（或均方差，或根方差）.若已知随机变量X 的分布列为,...,2,1),(===i x X P p i i则由（4.1.4）知2)(EX X E DX -==∑∞=-12)(i ii p EX x (4.2.1)若已知随机变量X 的分布密度为)(x p ，则由（4.1.5）知2)(EX X E DX -==?∞∞--dxx p EX x )()(2(4.2.2)在计算DX 时，有时用下面的公式比较方便：22)(EX EXDX -= (4.2.3)事实上，由数学期望的性质有222()[X 2()]D X E X EX E XEX EX =-=-+=2222)()(2EX EXEX EXEX EX-=+-例4.2.1 设X 服从0-1分布，试求DX 。
解X的分布列为-p p101，10,1<<=+p q p利用（4.1.9），有pq p EX=?+?=22201 由前面知p EX =，因此由（4.2.3）得pqp p pp EX EXDX =-=-=-=)1()(222例4.2.2 设),(~p n B X ，试求DX.解 X 的分布列为2,1,0,)1()(=-===-k p p C k X P p kn kkn k同理可得∑?=∑?==----=-nk kn k k n nk kn k knqpC k np qEX1111022=∑?+-=---111)1(n k k n k k n qp C k np=[]?∑++?-=----10111n k n k n k k n q p q p C k np =[]11)p -(n +np又np EX =，因此得[]npqp np np p n np EXDX =-=-+-=-=)1()(1)1((EX)222由于二项分布由两参数n 和p 所决定（亦即，p n ,给定后，二项分布唯一地确定），而由上面结论可知，当EX 和DX 的值给定后，p n ,便唯一地确定。
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4.11 设锰的熔化点（单位：︒C ）服从正态分布。
进行5次试验，测得锰的熔化点如下：1269 ，1271 ，1256 ，1265 ，1254 。
是否可以认为锰的熔化点显著高于1250︒C ？（显著水平05.0=α）解 设锰的熔化点ξ～),(2σμN ，问题相当于要检验0H ：1250≤μ（1H ：1250>μ ）。
5=n ，1263=X ，64853.7*=S ，8006.3564853.712501263*=-=-=n S X T μ。
对05.0=α，查 t 分布表，可得 1318.2)4()1(95.01==--t n t α 。
因为 1318.28006.3>=T ，所以拒绝 0H ：1250≤μ ，接受 1H ：1250>μ 。
可认为锰的熔化点显著高于1250︒C 。
4.12 某种导线的电阻（单位：Ω）服从正态分布，按照规定，电阻的标准差不得超过0.005 。
今在一批导线中任取9根，测得修正样本标准差 =*S 0.007 ，这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，是否显著地偏大？（显著水平05.0=α）解 设导线电阻ξ～),(2σμN ，问题相当于要检验0H ：005.0≤σ（1H ：005.0>σ ）。
222*)1(σχS n -=68.15005.0007.0)19(22=⨯-=。
对05.0=α，查 2χ 分布表，可得507.15)8()1(295.021==--χχαn 。
因为507.1568.152>=χ，所以拒绝 0H ：005.0≤σ ，接受1H ：005.0>σ 。
这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，显著地偏大。
4.13 某厂从用旧工艺和新工艺生产的灯泡中，各取10只进行寿命试验，测得旧工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2460小时，修正样本标准差为56小时；新工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2550小时，修正样本标准差为48小时。
设新、旧工艺生产的灯泡寿命都服从正态分布，而且方差相等。
问：能否认为采用新工艺后，灯泡的平均寿命有显著的提高？（显著水平05.0=α）解 设旧工艺生产的灯泡寿命和新工艺生产的灯泡寿命分别为总体 ξ～),(211σμN 和 η～),(222σμN ，其中21σσ=。
问题相当于要检验 0H ：21μμ≥（1H ：21μμ<）。
10=m ，2460=X ，56*=x S ，10=n ，2550=Y ，48*=y S ，1536.522101048)110(56)110(2*)1(*)1(2222=-+⨯-+⨯-=-+-+-=n m S n S m S y x w ，859.31011011536.522550246011-=+⨯-=+-=nm S Y X T w。
对05.0=α，查t 分布表可得 7431.1)18()2(95.01==-+-t n m t α 。
因为7431.1859.3-<-=T ，所以拒绝 0H ：21μμ≥ ，接受1H ：21μμ< 。
可以认为采用新工艺后，灯泡的平均寿命有显著的提高。
4.14 甲、乙两台车床生产的滚珠的直径（单位：mm ）都服从正态分布，现从两台车床生产问：乙车床产品的方差是否显著地小于甲车床产品的方差？（显著水平05.0=α）解 设甲乙两台车床生产的滚珠的直径分别为 ξ～),(211σμN 和 η～),(222σμN 。
问题相当于要检验 0H ：2221σσ≤（1H ：2221σσ> ） 。
8=m ， 0955357.0*2=x S ；9=n ， 0261111.0*2=y S 。
66.30261111.00955357.0**22===y x S S F 。
对05.0=α，查F 分布表，可得50.3)8,7()1,1(95.01==---F n m F α。
因为50.366.3>=F ，拒绝 0H ：2221σσ≤ ，接受1H ：2221σσ> 。
可认为乙车床产品的方差显著地小于甲车床产品的方差。
4.15 一颗六面体的骰子掷了300次，出现各种点数的频数统计如下：是否可以认为这颗骰子是均匀的？（显著水平05.0=α）解 骰子掷出的点数可以看作是一个总体 ξ ，问题相当于要检验假设0H ：ξ～61}{==k P ξ，6,5,4,3,2,1=k 。
作分点 5.65.55.45.35.25.15.0<<<<<<， 把ξ的取值范围分成下列6个区间]5.0,5.0(+-k k ，6,5,4,3,2,1=k 。
0H 为真时，ξ落在各区间中的概率为61}{}5.05.0{===+≤<-=k P k k P p k ξξ ，6,5,4,3,2,1=k 。
n p n nrk kk-=∑=1221χ96.8300)614161666145615661496143(3001222222=-+++++=。
对显著水平05.0=α，95.01=-α,自由度5161=-=-r ，查 2χ 分布表，可得070.11)5()1(295.021==--χχαr 。
因为070.1196.82<=χ，所以接受 0H ，可以认为这颗骰子是均匀的。
4.16 在圆周率 π=3.1415926535… 的前800位小数中，数字0，1，2，…，9出现的频数统计如下：是否可以认为各种数字出现的可能性是相同的？（显著水平05.0=α） 解 设 ξ 是在圆周率小数中出现的数字，问题相当于要检验0H ：ξ～101}{==k P ξ，9,,1,0 =k 。
作分点 5.95.85.75.65.55.45.35.25.15.05.0<<<<<<<<<<-，把 ξ 的取值范围分成10个区间：]5.0,5.0(+-k k ，9,,1,0 =k 。
0H 为真时，ξ 落在各区间中的概率为：}5.05.0{+≤<-=k k P p k ξ=101}{==k P ξ，9,,1,0 =k 。
2χn p n nk kk-=∑=921125.5800)10191101831019210174(80012222=-++++=。
对显著水平 05.0=α，95.01=-α, 自由度 91101=-=-r ，查 2χ 分布表，可得)1(21--r αχ919.16)9(295.0==χ。
因为919.16125.52<=χ，所以接受 0H ，可以认为各种数字出现的可能性是相同的。
问：是否可以认为电话的来到时刻 ξ 服从]24,0[上的均匀分布？（显著水平05.0=α）解 问题相当于要检验假设 0H ：ξ～)24,0(U 。
作分点 24151290<<<<， 把 ξ 的取值范围分成下列4个区间]9,0(，]12,9(，]15,12(，]24,15( 。
0H ：ξ～)24,0(U 为真时，ξ落在各区间中的概率为832492409}90{1==-=≤<=ξP p ，8124324912}129{2==-=≤<=ξP p ，81243241215}1512{3==-=≤<=ξP p ，83249241524}2415{4==-=≤<=ξP p 。
n p n nrk kk-=∑=1221χ73640)8319881121113283189(64012222=-+++⨯=。
对显著水平05.0=α，31=-r ,查2χ分布表，可得815.7)3()1(295.021==--χχαr 。
因为815.7732>=χ，所以拒绝 0H ：ξ～)24,0(U ，不能认为电话的来到时刻服从]24,0[上的均匀分布。
4.18 一个四面体的骰子，四面分别涂上红、黄、蓝、白四种颜色，任意抛掷，直到白色一面朝下为止，记录下所需的抛掷次数，做这样的试验200次，得到结果如下：问：是否可以认为这颗四面体骰子是均匀的？（显著水平05.0=α） 解 如果四面体骰子是均匀的，则每次抛掷，得到白色一面朝下的概率为41=p 。
设ξ是连续抛掷，直到白色一面朝下为止，记录下的抛掷次数，则ξ应该服从几何分布)41(g ：41)43()1(}{11⨯=-==--k k p p k P ξ ， ,3,2,1=k 。
所以，问题相当于要检验假设 0H ：ξ～)41(g 。
作分点 +∞<<<<<5.45.35.25.15.0， 把 ξ 的取值范围分成下列5个区间]5.1,5.0(，]5.2,5.1(，]5.3,5.2(，]5.4,5.3(，),5.4(∞+ 。
0H ：ξ～41)43(}{1⨯==-k k P ξ ， ,3,2,1=k 为真时，ξ落在各区间中的概率为 4141)43(}1{}5.15.0{01=⨯===≤<=ξξP P p ，16341)43(}2{}5.25.1{12=⨯===≤<=ξξP P p ， 64941)43(}3{}5.35.2{23=⨯===≤<=ξξP P p ， 2562741)43(}4{}5.45.3{34=⨯===≤<=ξξP P p ， 432151}5.4{p p p p P p ----=+∞<<=ξ2568125627649163411=----= 。
n p n nrk kk-=∑=1221χ216.18200)2568136256272864932163484156(200122222=-++++⨯=。
对显著水平05.0=α，41=-r ,查2χ分布表，可得488.9)4()1(295.021==--χχαr 。
因为488.9216.182>=χ，所以拒绝 0H ：ξ～)41(g ，不能认为这颗四面体骰子是均匀的。