北师大九上第7讲 一元二次方程的解法公式法
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
北师大版初三数学上册一元二次方程解法7
4.3 用一元二次方程解决问题(1)学习目标1、通过对实际问题的分析，进一步理解一元二次方程是刻画客观世界的有效模型2、经历用决实际问题的过程，知道解应用问题的一般步骤和关键所在，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性。
学习重、难点重点：用一元二次方程解“组织旅游”问题难点：分析问题寻找等量关系学习过程：一、学前准备：1、我们以前列一元一次方程还是列分式方程解应用题的关键是什么？2、你能列方程解决下列问题吗？(1)、一个正方体的表面积是216 cm 1 2，求这个正方体的棱长?1 、已知两个数的和等于12,积等于32,求这两个数。
分析：可设其中一个数为X,由“和等于12”列代数式表示另一个数为“ 12 x”，再由“积等于32”列出方程_______________________ , _____________ 从而求出这两O若人数不超过30人，则总费用不超过30X 800=24000< 28000,所以人数应超过30人且设为x人，因此实际人均费用二__________________________ ，由此可以列出方程：_______________________________________________________(2)、一个直角三角形的面积是24 cm 2,两条直角边的差是2 cm,求两条直角边长？二、探索新知：(请仔细阅读课本P94 P95页，完成下列问题)：个数_________ 。
___2 、某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10,但人均旅游费用不得低于500元。
甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？分析：首先应得到总费用是28000,即有等量关系：请写出解题过程：注：解出来的解要检验，必须符合实际意义且要符合条件中的“人均旅游费用不得低于500元”归纳：列一元二次方程解应用题的一般步骤：三、变式题：根据例2该旅行社广告的收费标准，甲公司又组织第二批员工到龙湾风景区旅游，并支付给旅行社29250元，求该公司第二批参加旅游的员工人数。
北师大版九年级上册数学《用公式法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件
（3） ( x - 2 ) ( 3x - 5 ) = 1 ；（4） 0.2x2 + 5 =
3 2
x
；
解：（3）将方程化为一般形式，得 3x2-11x+9=0
a = 3，b = -11，c = 9.
∵ b2 - 4ac = (-11)2 - 4×3×9= 13 > 0，
∴
x
(11) 23
13 11 13 ，
7. 长方体木箱的高是 8 dm，长比宽多 5 dm，体积是 528 dm3，求这个木箱的长和宽.【选自教材
解: 设这个木箱的宽是 x dm． x(5＋x)×8＝528，解得 x1＝－11 (舍去)，x2＝6． 所以，这个木箱的宽是 6 dm，长是 11 dm．
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
a = 2，b = -15，c = 50.
∵ b2 - 4ac = (-15)2 - 4×2×50= -175 < 0，
∴ 方程没有实数根.
6. 《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广
六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”
大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对
探究新知
用配方法解方程：ax2+bx+c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0） 方程两边都除以 a，得 x2 b x + c 0
aa
配方，得 x2 b x + ( b )2 ( b )2 + c 0
a 2a 2a a
移项，得
(x
+
b 2a
)2
b2 4ac 4a 2
0
(x
+
b )2 2a
北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法-公式法》教学课件
4
4
x1
-3，x2
1 2
求根公式 ：x= -b b2 4ac 2a
（a≠0， b2-4ac≥0）
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
a=1 b=4 c= -2 ∴ b2-4ac=42-4×1×（-2）=24
x -4 24 -2 6
4
2
x1
-2+ 2
6 ，x2
原方程无实数根
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0
x
9 4
2
17 16
.
4．变形：方程左 分解因式，右边合
并同类;
x 9 17 . 44
5．开方：根据平 方根意义，方程两
边开平方;
x 9 17 . 44
6．求解：解一元 一次方程;
x1
9
4
17
；x2
9
4
17
.
7．定解：写出原 方程的解．
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 吗？
二、用配方法解一元二次方程：
(1).2x2 4x 1 0 (2).3x2 12x 1 0 3
公式法
一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）
当b2 4ac 0时,它的根是 : x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
北师大版九年级上册数学用公式法求解一元二次方程教案
九年级数学上册教案吧斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋2．3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程1．理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2．会用公式法解一元二次方程；(重点)3．会用根的判别式b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，且b 2－4ac ≥0，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是__________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8，因为b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.故答案分别为3x 2－7x －8＝0，3，－7，－8，7±1456.方法总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0; (2)2x 2＋3x ＋3＝0； (3)x 2－2x ＋1＝0.解析：先确定a ，b ，c 及b 2－4ac 的值，再代入公式求解即可． 解：(1)－3x 2－5x ＋2＝0，3x 2＋5x －2＝0. ∵a ＝3，b ＝5，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x ＝－5±492×3＝－5±76，∴x 1＝13，x 2＝－2；(2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝3，∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0， ∴原方程没有实数根；(3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴x ＝2±02×1＝2±02，∴x 1＝x 2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a ，b ，c 的值，再求出b 2－4ac 的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式【类型一】 用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x 2＋x ＝1，下列判断正确的是( ) A ．该方程有两个相等的实数根 B ．该方程有两个不相等的实数根 C ．该方程无实数根D ．该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x 2＋x －1＝0.∵b 2－4ac ＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．【类型二】 根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0，有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k >－1B ．k >－1且k ≠0C ．k <1D ．k <1且k ≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，同时要求二次项系数不为0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2－4·k ·（－1）>0，k ≠0.解得k >－1且k ≠0，故选B.易错提醒：利用b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.【类型三】 根的判别式与三角形的综合应用已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，当m >0时，关于x 的一元二次方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )－2m ax ＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC 的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a ，b ，c 之间的关系，即可判定△ABC 的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(b ＋c )x 2－2m ax ＋(c －b )m ＝0. ∵原方程有两个相等的实数根，∴(－2m a )2－4(b ＋c )(c －b )m ＝0， 即4m (a 2＋b 2－c 2)＝0.又∵m ≠0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2.根据勾股定理的逆定理可知△ABC 为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计用公式法解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a（a ≠0，b 2－4ac ≥0）用公式法解一元二次 方程的一般步骤⎩⎪⎨⎪⎧①化为一般形式②确定a ，b ，c 的值③求出b 2－4ac④利用求根公式求解一元二次方程根的判别式经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0） 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-76x=-16配方，得：x2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512x1=512+712=7512+=1x2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1x 2 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+ba x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b aca - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba =±2a即∴x 1x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x -1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x -2）（3x -5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=(4)422242--±±±==⨯∴x 1=22，x 2=22（2）将方程化为一般形式3x 2-5x -2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±=x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--±=⨯∴x 1x 2 （3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习教材P 43 随堂练习 四、应用拓展 例．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x++（m -2）x -1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=(1)13224--±=⨯x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m -2）=2m -1=-1≠0 所以m=0满足题意． 当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m -2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x -2x -1=0， 解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x -1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=- 1时，其一元一次方程的根为x=-13． 五、归纳小结 本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业1．教材P 43 习题2.5 1、2 2．选用作业设计: 一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．x=32-± B ．x=32± C ．x=32-± D ．x=32±2x 2=0的根是（ ）．A ．x 1，x 2；B ．x 1=6，x 2；C ．x 1，x 2；D ．x 1=x 2= 3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或2 二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．3．若关于x 的一元二次方程（m -1）x 2+x+m 2+2m -3=0有一根为0，则m 的值是_____． 三、综合提高题1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax -b 2+a 2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-ba，x 1·x 2=c a；（2） 求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值． 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时， 那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10 元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（ 用A 表示）（2。
北师大版初中数学九年级上册知识讲解 (教学资料 第7讲 一元二次方程的解法(二)公式法,因式分解法(基础)
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x 2+3x+1=0； (2)； (3) 2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．240b ac ∆=->1,2x =240b ac ∆=-=1,22bx a =-240b ac ∆=-<2241x x =-22410x x -+=2a =4b =-1c =224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>41222x ±==±⨯112x =+212x =-(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x= ∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程：（2018•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∵b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∵x==， ∴x 1=，x 2=． 2．用公式法解下列方程：(1) （2018•武汉模拟）2x 2+x=2； (2) （2018秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ； （3）（2018•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∵a=2，b=1，c=﹣2，∵x===，∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∵b 2﹣4ac=36+24=60＞0， ∵x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.24b ac -24b ac-x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： ； 【答案】解：移项，得．∵ ，，，，∴ ，∴ ，．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2019•沈阳）一元二次方程x 2﹣4x=12的根是（ ）A ．x 1=2，x 2=﹣6B ．x 1=﹣2，x 2=6C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6D ．x 1=2，x 2=6 【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【答案】B 【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0， 分解因式得：（x +2）（x ﹣6）=0， 解得：x 1=﹣2，x 2=6，故选B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即，∴ ． 240b ac -≥2221x x +=22210x x +-=2a =2b =1c =-224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>21222x -±-±==⨯1x=2x =(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-2(23)0x +=1232x x ==-(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 . 5．探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题 1．（2019•厦门）方程x 2﹣2x=0的根是（ ）11x =22x =-3(21)42x x x +=+1212,23x x =-=A ．x 1=x 2=0B ．x 1=x 2=2C ．x 1=0，x 2=2D ．x 1=0，x 2=﹣22．方程的解是( )A ．B ．C ．，D ．，3．一元二次方程的解是( )A ．；B ．；C ．；D ．； 4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝76．已知，则的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2018•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足，则________．12．（2019•随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2﹣8x +15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．三、解答题 13．（2018秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法） （2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法） （3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14. 用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(1)2x x -=1x =-2x =-11x =-22x =11x =22x =-2340x x +-=11x =24x =-11x =-24x =11x =-24x =-11x =24x =210x x --=3222012x x -++2222()(1)2x y x y ++-=22x y +=(2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．(3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C【解析】解：x 2﹣2x=0，x （x ﹣2）=0，解得：x 1=0，x 2=2．故选：C ． 2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0. 3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝0 4.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6， ∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ； 【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ ，6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ ．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．24b ac -15x =27x =322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=9．【答案】；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2．12.【答案】19或21或23．【解析】由方程x 2﹣8x +15=0得：（x ﹣3）（x ﹣5）=0， ∴x ﹣3=0或x ﹣5=0， 解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21； 当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去； 当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19； 综上，该等腰三角形的周长为19或21或23. 三、解答题 13. 【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0， （x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14. 【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0， ∴ ，．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当时，，；2320x x -+=18x =22x =-1y =-211x +=-1x =-当时，，． ∴ 原方程的解为，． 15.【解析】(2)①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．(3)，①当原方程有两个不相等的实数根时，，即且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即； ③当原方程没有实数根时， ，即．2y =-212x +=-32x =-11x =-232x =-240b ac ->240b ac -=240b ac -<242015b ac m -=-2420150b ac m -=->34m >34m =2420150b ac m -=-<34m <。
北师大版九年级数学上册用用公式法求解一元二次方程课件
2、求出 b2 4ac 的值， 特别注意:当 b2 4ac 0 时无解;
3、代入求根公式 :
x b
b2 4ac ,
2a
4、写出方程的解： x1、x2 .
学习是件很愉快的事
b b2 4ac
x
2a
例1 解方程：x2-7x-18=0
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵ b 2 - 4a c =(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
独立
作业
知识的升华
根据题意，列出方程：
1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸, 两相去适一丈.问户高,广各几何.”
大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少?
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
当 b 2 4ac 0时 ,
x b b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
ax2+bx+c=0(a≠0)
两边都除以a
移项
配方
如果 b2-4ac≥0
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : x2 9 x 4 0. 2
x2 9 x 4.
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
9
2 x
9
2
9
2
4.
x
2
新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT).ppt
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
11．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同 样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方 米，则修建的路宽应为多少米？
解：设道路宽为x米，由题意得，(30－x)·(20－x)＝551， 解得x1＝1，x2＝49(舍)．答：修建的道路应为1米
12．(2014·荆门)已知 α 是一元二次方程 x2－x－1＝0 较大的
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/312021/1/31Sunday, January 31, 2021
×2 2＝32.
∴x＝－b±
2ba2－4ac＝－4
3± 22
32＝－
6±2，∴x1＝－
6＋
2，x2＝－ 6－2.
请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，
并写出正确的结果． 解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式，c
应为－2 2，结果是 x＝－ 6±2 2
17．已知关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相 等实根，求（a－2）ab22＋b2－4的值．
解：∵b2－4a＝0，∴原式＝a2－4a＋ab42＋b2－4＝aab22＝ba2＝4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法
【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程
，当
时，
.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：
． ①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当
时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程
的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出
的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若
，则原方程无实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 类型一、公式法解一元二次方程
1.用公式法解下列方程．
(1) x 2+3x+1=0； (2)； (3) 2x 2
+3x-1=0．
2
241x x =-
举一反三：
【变式】用公式法解方程：x 2﹣3x ﹣2=0．
2．用公式法解下列方程：
(1) 2x 2+x=2； (2)3x 2﹣6x ﹣2=0 ； （3）x 2﹣3x ﹣7=0．
举一反三：
【变式】用公式法解下列方程： ；
类型二、因式分解法解一元二次方程
3．一元二次方程x 2﹣4x=12的根是（ ）
A ．x 1=2，x 2=﹣6
B ．x 1=﹣2，x 2=6
C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6
D ．x 1=2，x 2=6
4．解下列一元二次方程：
(1)(2x+1)2
+4(2x+1)+4＝0； (2)．
【变式】（1）（x+8）2
-5(x+8)+6=0
（2）
2
221x x +=(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-3(21)42x x x +=+
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）
【巩固练习】 一、选择题
1.方程x 2﹣2x=0的根是（ ） A ．x 1=x 2=0 B ．x 1=x 2=2 C ．x 1=0，x 2=2 D ．x 1=0，x 2=﹣2
2．方程的解是( )
A ．
B ．
C ．，
D ．， 3．一元二次方程的解是( )
A ．；
B ．；
C ．；
D ．； 4.方程x 2
-5x-6＝0的两根为( )
A ．6和1
B ．6和-1
C ．2和3
D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )
A ．x ＝5
B ．x ＝5或x ＝6
C ．x ＝7
D ．x ＝5或x ＝7 6．已知，则的值为 ( )
A ． 2011
B ．2012
C ． 2013
D ．2014 二、填空题
7．方程x 2
+x ＝0的解是___ _____；
8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．
9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．
10．若方程x 2
-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足，则________．
12．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2﹣8x +15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
三、解答题 13．解方程
（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法） （2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法） （3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）
14. 用因式分解法解方程
（1）x 2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2
+3(2x+1)+2＝0．
(1)2x x -=1x =-2x =-11x =-22x =11x =22x =-2
340x x +-=11x =24x =-11x =-24x =11x =-24x =-11x =24x =210x x --=32
22012x x -++2
2
2
2
()(1)2x y x y ++-=2
2
x y +=
15．(1)利用求根公式完成下表：
(2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．
当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2
+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．
2
4b ac -。