高二数学B数列、等差数列(一)教师版

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高二数学数列公式

高二数学数列公式高二数学的数列这部分，那公式可真是不少，也挺重要。

就拿等差数列和等比数列来说，这里面的公式就像是一把把解题的钥匙。

咱们先来说说等差数列。

等差数列的通项公式是$a_n = a_1 + (n -1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。

这个公式就像是一个神奇的密码，能让我们通过已知的首项、公差和项数，算出任意一项的值。

比如说，有一个等差数列，首项是 2，公差是 3，要算第 10 项，那就是$a_{10} = 2 + (10 - 1)×3 = 2 + 27 = 29$，是不是很简单？还有等差数列的前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，这也是个很实用的宝贝。

我记得有一次给学生讲这个公式的时候，有个学生一脸懵，怎么都理解不了。

我就给他举了个例子，说假如你每天存 1 块钱，第一天存 1 块，第二天存 2 块，第三天存 3 块，一直存到第 10 天，那你一共存了多少钱？我们就可以用这个公式来算，首项$a_1$是 1，第 10 项$a_{10}$是 10，项数$n$是 10，那一共存的钱就是$S_{10} = \frac{10×(1 + 10)}{2} = 55$块。

这孩子一下子就明白了，眼睛都亮了起来。

等比数列也有它的通项公式$a_n = a_1q^{n - 1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比。

比如一个等比数列，首项是 3，公比是 2，要算第 5 项，那就是$a_{5} = 3×2^{5 - 1} = 3×2^4 = 48$。

等比数列的前$n$项和公式就稍微复杂点，当$q≠1$时，$S_n =\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$。

这个公式的理解和运用，对于一些同学来说可能有点难度。

但只要多做几道题，多琢磨琢磨，也能掌握。

在做题的时候，经常会遇到需要判断一个数列是等差数列还是等比数列的情况。

高二数学第一讲等差数列

高二数学第一讲等差数列数学讲义一、知识梳理1、等差数列的定义：数列{an}满足：anan1d(n≥2,nN某)（d是与n 的取值的常数）；2、等差数列的通项公式：（1）ana1d；（2）anamd(n,mN)；3、等差中项：三个数a,A,b组成等差数列，A叫做a,b的等差中项，且A=；4、等差数列前n项和的公式：Sn＝；5、等差数列{an}的常用性质：（1）数列{an}是等差数列，则数列{anp}、{pan}（p是常数）都是等差数列；（2）在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k为等差数列，公差为kd（3）若mnpq，则特别地当pq2m时，（4）Sn,S2nSn,S3nS2n仍是等差数列，其公差为（5）两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等差数列anS2n1．bnT2n1二、典例研习类型一、等差数列的判断与证明例1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bnSn(nN)，求证：数列{bn}是等差数列n-1-变式1、已知数列{an}中，a11，an1an(nN某)2an11（1）求证数列为等差数列；an（2）求数列{an}的通项公式方法点拨：等差数列的判定方法：①定义法：即证明an1and（d是常数，nN某）。

②中项公式法：即证明2an1anan2(nN某)。

类型二、等差数列的基本运算例2、已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a97,S20155，求：a11及S10变式2、（1）已知{an}为等差数列，且a72a41，a30，则公差d（）11B．C．D．2221（2）若数列{an}为等差数列，公差为，且S100145，则a2a4a100的值为（）2A．2A．60B．85C．1452D．其它值项重要的量，是解题的关键。

②等差数列{an}中，当项数为2n(nN)时，有SaS偶S奇nd,偶n1；S奇an-2-类型三、等差数列性质的运用例3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n。

高中数学第二章数列2.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版必修5

【导学号：18082024】
第二十三页，共42页。
【解】由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11，即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
第三十一页，共42页。
法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7，得aa25＝＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
第十九页，共42页。
【自主解答】由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
第九页，共42页。
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15

4.2.1 等差数列(1)(人教A高中数学版选择性必修第二册)(解析版)

课时同步练4.2.1 等差数列（1）一、单选题1．等差数列{}n a 中,a 3=7,a 9=19,则a 5= （）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【详细解析】由于a 3=7,a 9=19则93532,2741193a a d a a d -==∴=+=+=-. 故选B.2．已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,则8a 的值是（）A ．4B ．16C ．2D ．8【答案】D【详细解析】由等差数列的性质可知,a 7+a 9=2a 8=16 ∴a 8=8 故选D ．3．若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+,则此数列是（）A ．公差为2的等差数列B ．公差为5的等差数列C ．首项为5的等差数列D ．公差为n 的等差数列【答案】A【详细解析】25n a n =+是关于n 的一次函数,其中n 的系数即公差, 故选A ．4．方程x 2－8x ＋1＝0的两个根的等差中项为（）A ．12B ．4CD ．8【答案】B【详细解析】∵在等差数列{a n }中,方程x 2﹣8x+1=0的两根之和为8, 由等差数列的性质得等差中项为4．故选B ．5．首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是（）A ．83d >B ．3d <C ．833d ≤< D ．833d <≤ 【答案】D【详细解析】设数列为{a n }公差为d ,则a 1=-24; a 10=a 1+9d ＞0; 即9d ＞24,所以d ＞83而a 9=a 1+8d ≤0; 即d ≤3 所以83＜d ≤3 故选D6．设{}n a 是公差d 为正数的等差数列,若123a +a +a 15=,123a a a 80=,则111213a +a +a 等于（）A ．120B ．105C ．90D ．75【答案】B【详细解析】依题意有()()111111215280a a d a d a a d a d ++++=⎧⎨++=⎩,解得12,3a d ==, ()()11121312133113233105a a a a a d ++==+=+=,故选B.7．下列数列中,不是等差数列的是（）A ．1,4,7,10B ．lg2,lg4,lg8,lg16C ．54322,2,2,2D ．10,8,6,4,2【答案】C【详细解析】根据等差数列的定义,可得:A 中,满足13n n a a +-= （常数）,所以是等差数列;B 中,lg 4lg 2lg8lg 4lg16lg8lg 2---=-= （常数）,所以是等差数列;C 中,因为453423222222-≠--≠,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列;D 中,满足12n n a a +-=- （常数）,所以是等差数列. 故选C.8．在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7＝39,a 2+a 5+a 8＝33,则a 3+a 6+a 9的值为（）A ．30B ．27C ．24D ．21【答案】B【详细解析】【详解】因为1474339a a a a ++==,所以413a =. 因为2585333a a a a ++==,所以511a =. 所以542d a a =-=-.659a d a =+=3696327a a a a ++==.故选B9．在等差数列{}n a 中,3645a a a +=+,且2a 不大于1,则8a 的取值范围为（）A ．(],9-∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞D ．()9,+∞【答案】B【详细解析】3642535a a a a d +=+⇒+=,所以8226109a a d a =+=-≥, 故选B.10．等差数列10,3,7,2--⋅⋅⋅的第1n +项是（）A ．72n -B ．()712n -+C ．712n -+D ．()712n -- 【答案】A【详细解析】由题,等差数列{}n a ,10a =,21173022a a d -=--=-=, ()()177711222n a a n d n n ∴=+-=--=-+ ()17771222n a n n +∴=-++=-故选A11．若每一项都是整数的等差数列的首项为41,从第8项开始为负值,则公差d 为（）A ．417d <-B ．不小于-6的任意实数C ．-6D ．414167d -<-【答案】C 【详细解析】41(1)n a n d =+-∴8417a d =+,7416a d =+令780,0a a ≥<解得414167d -<-,又d Z ∈, 所以6d =-. 故选C.12．已知函数()()()cos 0,2f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ,且方程()f x m =有两个不同的实根34,x x .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m 的值为（）A ．12B ．12-CD ．【答案】D【详细解析】根据题意可知,由于函数()()cos ,0,2f x x x π=∈有两个不同的零点123,22x x ππ==,而对于方程()f x m =有两个不同的实根34,x x ,那么可知,两个根x 3、x 4只能分布在x 1、x 2的中间或两侧,若x 3、x 4只能分布在x 1、x 2的中间,则公差d =32233πππ-=32233πππ-=,故x 3、x 4分别为57,66ππ,此时可求得m =cos 56π=若x 3、x 4只能分布在x 1、x 2的两侧,则公差d =322πππ-= 故x 3、x 4分别为5,22ππ-,故可知不合题意, 故选D二、填空题13．从等差数列84,80,76,…的第____项开始,以后各项均为负值．【答案】23【详细解析】由题意可知,等差数列84,80,76,…的首项为184a =,公差为80844d =-=-,所以该数列的通项公式为1(1)844(1)884n a a n d n n =+-=--=-,令0n a =,得22n =,所以该数列从第23项开始,以后各项均为负值. 故填2314．在等差数列{}n a 中,已知37a =,526a a =+,则6a =______。

高考数学-等差数列、等比数列与数列求和(教师版)

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【高考命题】一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n（4）{}n a 为等差数列，公差为d ，则11n n a a += 【小测】1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.解析设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 11－q 51－q·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－251－4＝－11.3．(2012·无锡市第一学期期末考试)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________.解析设等比数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由2S 9＝S 3＋S 6得2·a 11－q 91－q＝a 11－q 31－q＋a 11－q 61－q，所以2q 9＝q 3＋q 6，即1＋q 3＝2q 6.由于a 2＋a 5＝2a m ，所以a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q m －1，即1＋q 3＝2q m －2，所以m －2＝6，所以m ＝8.4．数列{a n }是等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________.解析由题意，可知数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11a 10＜－1，所以a 10＞0，a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19.【考点1】等差数列与等比数列的综合【例1】 (2011·江西卷)(1)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，求a 的值；(2)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ，b 2＝2＋aq ，b 3＝3＋aq 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，即aq 2－4aq ＋3a －1＝0.*由a ＞0得，Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程*有两个不同的实根．再由{a n }唯一，知方程*必有一根为0，将q ＝0代入方程*得a ＝13.(2)假设存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．设{a n }的公比为q 1，{b n }的公比为q 2，则b 2－a 2＝b 1q 2－a 1q 1，b 3－a 3＝b 1q 22－a 1q 21，b 4－a 4＝b 1q 32－a 1q 31. 由b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成等差数列，得 ⎩⎨⎧2b 1q 2－a 1q 1＝b 1－a 1＋b 1q 22－a 1q 21，2b 1q 22－a 1q 21＝b 1q 2－a 1q 1＋b 1q 32－a 1q 31，即⎩⎨⎧b 1(q 2－1)2－a 1(q 1－1)2＝0， ①b 1q 2(q 2－1)2－a 1q 1(q 1－1)2＝0. ②①×q 2－②得a 1(q 1－q 2)(q 1－1)2＝0，由a 1≠0得q 1＝q 2或q 1＝1.(ⅰ)当q 1＝q 2时，由①②得b 1＝a 1或q 1＝q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾． (ⅱ)当q 1＝1时，由①②得b 1＝0或q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．综上所述，不存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．[方法总结] 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【变式】 (2012·苏州市自主学习调查)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在曲线(x ＋1)2＝4y 上．(1)求数列{a n }的通项公式；第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和．解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. [方法总结] 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．【变式】在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n n ＋12n ＋1＝n2.∴b n ＝2a n ·a n ＋1＝2n 2·n ＋12＝8nn ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝8nn ＋1. 【考点4】错位相减法求和【例4】设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .审题视点 (1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法．解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，① ∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n . (2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④ ④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )，即2S n ＝n ·3n ＋1－31－3n 1－3，∴S n ＝2n －13n ＋14＋34.[方法总结] 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．【变式】 (2011·辽宁卷)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)n2n －1.即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5，∴a 5＝q 5＝25＝32， ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n .4．(2012·重庆卷)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12，得⎩⎨⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)得S n ＝na 1＋a n 2＝n2＋2n 2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1·S k ＋2，即(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，也即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)．7．(2012·常州一中期中)已知数列{a n }与{2a n ＋3}均为等比数列，且a 1＝1，则a 168＝________.解析设{a n }公比为q ，a n ＝a 1q n －1＝q n －1，则2a 1＋3,2a 2＋3,2a 3＋3也为等比数列， ∴5,2q ＋3,2q 2＋3也为等比数列，则(2q ＋3)2＝5(2q 2＋3)，∴q ＝1，从而a n ＝1为常数列，∴a 168＝1.10．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.13(4n－1)． 14.(2012·盐城市二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m 15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．解析由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.11。

《等差数列》的教学设计(最新整理)

《等差数列》的教学设计一．设计思想数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。

基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。

在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。

这正是新课程所倡导的数学理念。

本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

二．教材分析高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。

研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。

在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

同时也是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

三．学情分析学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。

他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

高中数学等差数列教案大全

高中数学等差数列教案大全等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

接下来是小编为大家整理的高中数学等差数列教案大全，希望大家喜欢!高中数学等差数列教案大全一“等差数列”教学设计一、教学内容分析等差数列是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面，?数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

二、教学目标1、通过本节课的学习使学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列。

2、引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。

3、在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

三、教学重难点重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

四、学习者分析普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。

他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。

但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

高中数学等差数列说课稿(通用8篇)

高中数学等差数列说课稿〔通用8篇〕高中数学等差数列说课稿〔通用8篇〕高中数学等差数列说课稿篇1一、教材分析^p1、教材的地位和作用：《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的根底上，对数列的知识进一步深化和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习比照的根据。

2、教学目的根据教学大纲的要求和学生的实际程度，确定了本次课的教学目的a知识与技能：理解并掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

培养学生观察、分析^p 、归纳、推理的才能；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移才能；通过阶梯性练习，进步学生分析^p 问题和解决问题的才能。

b.过程与方法：在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深化的理解不完全归纳法。

c.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探究、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析^p 、擅长总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：①等差数列的通项公式的推导②用数学思想解决实际问题二、学情教法分析^p ：对于高一学生，知识经历已较为丰富，具备了一定的抽象思维才能和演绎推理才能，所以我本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学理论活动，以独立考虑和互相交流的形式，在教师的指导下发现、分析^p 和解决问题。

学生在初中时只是简单的接触过等差数列，详细的公式还不会用，因些在公式应用上加强学生的理解三、学法分析^p ：在引导分析^p 时，留出学生的考虑空间，让学生去联想、探究，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

天津市第一中学高二数学上学期教学案：等差数列和等比数列(pdf版)

高二数学第一学期第一周
等差数列和等比数列
一、数列的基本概念
1. 数列的有关概念
概念含义
数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数
数列的通项数列{a n}的第n项a n
通项公式数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和
2. 数列的表示方法
列表法列表格表示n与a n的对应关系
图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中
公式法通项
公式
把数列的通项使用公式表示的方法递推
公式
使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和
a n＋1＝f(a n，a n－1)等表示数列的方法。

高中数学第1章数列 2.1 等差数列第2课时等差数列的性质教案高二数学教案

第2课时等差数列的性质阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题(1)等差数列的图像由a n＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像由a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d＞0时，{a n}为递增数列，如图(甲)所示．当d＜0时，{a n}为递减数列，如图(乙)所示．当d＝0时，{a n}为常数列，如图(丙)所示．甲乙丙思考：(1)等差数列{a n}中，a3＝4，a4＝2，则数列{a n}是递增数列，还是递减数列？[提示] 因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{a n}是递减数列．(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？[提示] 等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率．2．等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项．思考：(1)若A 是a 与b 的等差中项，如何用a 和b 表示A?[提示] A ＝a ＋b 2.(2)若数列{a n }中，a n 是a n －1和a n ＋1的等差中项，那么数列{a n }是等差数列吗？为什么？[提示] 是．因为a n 是a n －1和a n ＋1的等差中项，所以a n －1，a n ，a n ＋1成等差数列，故a n －a n －1＝a n ＋1－a n ，由等差数列的定义知数列{a n }是等差数列．1．等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则数列5a 1,5a 2,5a 3，…，5a n 是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为5d 的等差数列C ．非等差数列D ．以上都不对B [由等差数列的定义知a n －a n －1＝d ，所以5a n －5a n －1＝5(a n －a n －1)＝5d ，故选B ．]2．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 7＝18，则公差为( )A ．3B ．13C ．－3D ．－13A [a 7－a 2＝5d ，即5d ＝15，d ＝3.]3．2＋1和2－1的等差中项为________．2 [2＋1＋2－12＝ 2.] 4．等差数列{a n }中，a 3＝1，则a 2＋a 3＋a 4＝________. 3 [a 2＋a 3＋a 4＝(a 2＋a 4)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝3.]等差数列的性质【例1】 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8；(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值．[解] (1)法一：(通项公式法)根据等差数列的通项公式，得 a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13. ∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23. 法二：(等差数列性质法)根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13， ∴a 4＋a 8＝2a 6＝23. (2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)，∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.等差数列性质的应用解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2ω，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a ω(m ，n ，p ，q ，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．1．在公差为d 的等差数列{a n }中．(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d .[解] 法一：(1)化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48，即4(a 1＋12d )＝48.∴4a 13＝48.∴a 13＝12.(2)化成a 1和d 的方程组如下：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝34，a 1＋d ·a 1＋4d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝16，d ＝－3.∴d ＝3或－3.法二：(1)由等差数列性质知a 2＋a 24＝a 3＋a 23，又a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，∴a 3＋a 23＝24＝2a 13，∴a 13＝12.(2)由等差数列性质知，a 2＋a 5＝a 3＋a 4，又a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， ∴a 2＋a 5＝17.又∵a 2·a 5＝52，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝13，a 5＝4，∴d ＝13－45－2＝3或d ＝4－135－2＝－3. 等差中项及其应用a ＋b 也成等差数列．[证明] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以(b ＋c )＋(a ＋b )＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c )＋c ＝2(a ＋c )，所以b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列．判断一个数列是等差数列的方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．(2)通项法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．(3)等差中项法：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．2．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．[证明] 因为1a ，1b ，1c成等差数列，所以2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )．因为b ＋c a ＋a ＋b c ＝c b ＋c ＋a a ＋b ac ＝c 2＋a 2＋b a ＋c ac＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2a ＋c 2b a ＋c ＝2a ＋c b，所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c成等差数列．等差数列性质的综合应用1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，a m 和a n 分别是数列的第m 项和第n 项，怎样用a m ，a n 表示公差d ？在等差数列中，d 的几何意义是什么？[提示] d ＝a m －a n m －n，d 的几何意义是等差数列所在图像的斜率． 2．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ，是否有a m ＋a n ＝a p 成立？[提示] a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ，a p ＝a 1＋(p －1)d ＝a 1＋(m ＋n －1)d ，∴a m ＋a n ≠a p .3．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是等差数列吗？若是，公差是多少？[提示] (λa n ＋1＋b )－(λa n ＋b )＝λ(a n ＋1－a n )＝λd (与n 无关的常数)，故{λa n ＋b }为等差数列，公差为λd .【例3】在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73，求数列{a n }的通项公式．思路探究：法一：由条件列出关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d ，可得a n ；法二：利用等差数列的性质求d ，利用a n ＝a m ＋(n －m )d ，求a n .[解] 法一(方程组法)：由a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋9d ＝84，a 1＋8d ＝73，解得d ＝9，a 1＝1，故a n ＝1＋9(n －1)＝9n －8.法二(等差数列性质法)：因为a 3＋a 4＋a 5＝3a 4，a 3＋a 4＋a 5＝84，故3a 4＝84，得a 4＝28，又a 9－a 4＝5d ＝45，解得d ＝9.所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝28＋9(n －4)＝9n －8.1．(变条件)在例3中，若条件“a 3＋a 4＋a 5＝84”改为“a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝100”，其余不变，求a n .[解] 因为a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，故5a 6＝100，a 6＝20，又a 9＝73，故a 9－a 6＝53＝3d ，故d ＝533. 所以a n ＝a 6＋(n －6)d ＝20＋533(n －6)＝533n －86. 2．(变结论)例3的条件不变，若数列{b n }是等差数列，其公差为3，那么数列{2a n ＋3b n }是等差数列吗？若是，求出其公差．[解] (2a n ＋1＋3b n ＋1)－(2a n ＋3b n )＝2(a n ＋1－a n )＋3(b n ＋1－b n ) ＝2×9＋3×3＝27，所以数列{2a n ＋3b n }是等差数列，其公差为27.等差数列的性质若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则有下列性质：(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若给出等差数列的第m 项a m 和第n 项a n (n ＞m )，则a n ＝a m＋(n －m )d 或d ＝a n －a m n －m. (3){a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋a n －i ＋1＝….(4)若数列{a n }为等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是公差为λd 的等差数列．(5)若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)组成公差为md 的等差数列．(6)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，则{Aa n ＋Bb n }(A ，B 是常数)也是等差数列．1．等差数列{a n }的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d 的正负有关．特别地，如果已知等差数列{a n }的任意两项a n ，a m ，由a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比直线方程的斜率公式，得d ＝a n －a m n －m(m ≠n )． 2．在等差数列{a n }中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．( )(2)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝a 2＋a 5.( )(3)任何两个数都有等差中项．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√[提示] (1)不正确，当公差d ＝0时，其图像的连线平行于x 轴；(2)(3)正确．2．已知在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5＋a 6＝( )A ．3B ．6C ．9D ．36B [因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝30，所以a 5＋a 6＝6.]3．在等差数列{a n }中，若a 4和a 10的等差中项是3，又a 2＝2，则a n ＝________.15n ＋85 [因为a 4＋a 10＝2a 7，故a 7＝3，又a 2＝2，所以d ＝15，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2＋15(n －2)＝15n ＋85.] 4．已知三个数成等差数列且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．[解] 依题意，设这三个数为a －d ，a ，a ＋d (d ＞0)，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝3a ＝18，①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝3a 2＋2d 2＝116，②由①②得a ＝6，d ＝2.所以所求三个数为4,6,8.。

高中数学第二章 2.2(一)等差数列(一)课件新人教A版必修5

第十六页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效例2
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列．
证明 ∵1a，1b，1c成等差数列，
本
∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)．
讲栏目
∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c
开关
(5)1,2,5,8,11，….
第七页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3；
(2)是等差数列，a1＝31，d＝－6；
本讲
(3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
栏目
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b；
开关
(5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
高效探究若数列{an}满足：an＋1＝an＋2an＋2，求证：{an}是等差
数列．
证明 ∵an＋1＝an＋2an＋2
本
⇔2an＋1＝an＋an＋2
讲栏
⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
目
开关
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．

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跟踪训练 2 已知 a，b，c 成等差数列，那么 a2(b＋c)，b2(c
＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
本 ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
讲栏
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)

等差数列的概念(第一课时)(教案)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等差数列的概念第一课时1.课时教学内容等差数列的概念2.课时学习目标(1)能说出等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；(2)会用等差数列的通项公式解决简单问题；3.教学重点与难点重点∶等差数列的定义，等差数列的通项公式。

难点∶等差数列的通项公式。

4.教学过程设计环节一情景引入观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。

1、我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③问题1：观察数列①②③你能发现他们的规律吗？答：对于数列2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①我们发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，… 换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，… 如果用{}n a 表示数列①，则有：,1212=-a a ,1223=-a a ,1234=-a a …对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12。

同样数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5。

数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7。

【设计意图】通过三个例子，让学生研究三个数列的共性，从而得到等差数列的定义。

环节二学习新知：问题2：什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

等差数列教学设计(一课时)

2.2.1《等差数列》教案设计教材分析1.教案内容分析本节课是《普通高中课程规范实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。

主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。

2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法．教案目标知识目标1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2.掌握等差数列的通项公式.能力目标1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。

2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识.情感目标通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．教案重难点重点1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式的推导过程及应用．难点理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义.教案设想本课教案，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。

整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，真正体现课堂教案中学生的主体作用。

教案过程教案环节教师活动学生活动设计意图环节一环节1 创设情境，提出问题在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？天文学家陈丹说: 2062年左右。

通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗学生活动通过情景引出数列，观察发现其规律，并通过规律填写内容。

北师版高中数学选择性必修第二册课后习题第一章 2.1 第1课时等差数列的概念及其通项公式 (2)

2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列的概念及其通项公式课后训练巩固提升1.在等差数列{a n }中,2a n+1=2a n +1,则公差为( ). A.2B.±12C.12D.-12a n+1-a n =12,∴公差为12.2.在等差数列{a n }中,a 1=13,a 2+a 5=4,a n =33,则n 为( ).A.48B.49C.50D.51{a n }的公差为d. ∵a 2+a 5=a 1+d+a 1+4d=4, ∴2a 1+5d=4.∵a 1=13,∴d=23,∴a n =a 1+(n-1)d=13+(n-1)×23=33.∴n=50.3.在等差数列{a n }中,a 2=-4,a 6=a 4+8,那么a 1=( ). A.-9B.-8C.-7D.-6d=a 6-a 42=4,∴a1=a2-d=-4-4=-8.4.已知{a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=( ).A.-2B.-12C.12D.2a3=0,∴a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,∴d=-12.5.在数列{a n}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(√a n,√a n-1)在直线x-y-√3=0上,则( ).A.a n=3nB.a n=√3nC.a n=n-√3D.a n=3n2(√a n,√a n-1)在直线x-y-√3=0上,∴√a n−√a n-1=√3,即数列{√a n}是首项为√3,公差为√3的等差数列.∴数列{√a n}的通项公式为√a n=√3+(n-1)√3=√3n,∴a n=3n2.6.已知数列{a n}满足a n+1=a n+1,a1=2,则a20= ;a n= .a n+1-a n =1,∴数列{a n }是等差数列,公差为1,a 20=a 1+19d=2+19=21,a n =2+(n-1)×1=n+1.n+17.已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n = .d,则d>0,由a 3=a 22-4,得1+2d=(1+d)2-4,即d 2=4,∴d=2(d=-2舍去), ∴a n =2n-1.8.已知数列{a n }满足a 1=13,a n+1=a n 1+3a n.(1)求证:数列1a n是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式. 由题可得1a n+1=1a n+3,即1a n+1−1a n=3,∴数列1a n是以3为首项,3为公差的等差数列.(1)可得1a n=3+3(n-1)=3n,∴a n =13n. 9.已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1=2a n a n +2.(1)数列{1an}是不是等差数列?请说明理由.(2)求数列{a n}的通项公式.数列{1a n}是等差数列.理由如下:因为a1=2,a n+1=2a na n+2,所以1a n+1=a n+22a n=12+1a n,所以1a n+1−1a n=12,即{1a n }是首项为1a1=12,公差为d=12的等差数列.(2)由(1)可知,1a n =1a1+(n-1)d=n2,所以a n=2n.。

人教版高中数学必修52.2等差数列(一)课件

(注：判断一个数列是等差数列的第2种方法，可称之为通项公式法)
an a1 (n 1)d
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。
【课堂小结】
§
探要点·究所然情境导学
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问题.
思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360. 以上四个数列有什么共同的特征？
1. 通过本节学习，第一要理解与掌握等差数列的定义；
2.要会推导等差数列的通项公式,并掌握其基本应用；（方程思想）. 3.理解等差数列的初步证明(归纳、叠加法）；
4.等差数列与一次函数的关系（数列与函数的关系）。
谢谢观看
探究点二等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，y表示A.
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通
当堂测·查疑缺
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d 为( )

苏教版高中数学选择性必修一等差数列课件

A.3 699 块
B.3 474 块
C.3 402 块
D.3 339 块
答案 C
解析设每一层有 n 环，由题可知由天心石向外的每环的扇面形石板数构成公差 d＝9，a1＝9 的等差数列.由等差数列
的性质知 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则 9n2＝729，得 n＝9，则三层共有扇面形
讲授新课
1.(2022·江南十校调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S8＝a8＝8，则公差 d＝( ) A.1 B.1 C.1 D.2
42 答案 D 解析 ∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则 a4＝0.∴d＝a88－－a44＝2. 2.(2020·全国Ⅱ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a1＝－2，a2＋a6＝2，则 S10＝________. 答案 25 解析设等差数列{an}的公差为 d，则 a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得 d＝1. 所以 S10＝10×(－2)＋10×9×1＝25.
Sn (5)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则数列 n 也为等差数列.
当堂检测
1.已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为 p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最大值；若 a1＜0，d＞0，则 Sn 存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当 d＞0 时，{an}是递增数列；当 d＜0 时，{an}是递减数列；当 d＝0 时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数).

2021-2022学年湘教版(2019)高中数学选择性必修第一册全册练习作业(解析版)(1)

1.2 等差数列（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列{}n a 中，若25=a ，43=a ，则6=aA. －1B. 0C. 1D. 6 【答案】C【解析】（解法一）因为25a =，43=a ，有2642+=a a a ，得6a =1，故选C ．（解法二）因为25a =，43=a ，所以2224-=-=a a d ，6421a a d ∴=+=，故选C ． 2．在等差数列{}n a 中，若34830a a a ++=，则19a a +=A ．15B ．20C ．25D ．30 【答案】B【解析】由34830a a a ++=，得5330a =，则195220a a a +==，故选B ． 3．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为A ．130B ．170C ．210D ．260 【答案】C【解析】（解法一）m m m m m S S S S S 232--，，，即10070 303-m S ，，成等差，1101003=-∴m S ，2103=∴m S ．故选C ．（解法二）特值法：取1=m 则100,3021211=+===a a S a S ，702=∴a ，1103=∴a ， 2103213=++=∴a a a S ．故选C ．4．设{}n a 是等差数列，则下列结论中正确的是A ．若021>+a a ，则032>+a aB ．若031<+a a ，则021<+a aC ．若210a a <<，则312a a a >D ．若01<a ，则0))((3212>--a a a a 【答案】C【解析】反例 A ： 2，-1，-4 B ：2，-1，-4 D:-3，-2，-1 或 02>-d 不成立．C ：210a a << ，3210a a a <<<∴，313122a a a a a >+=∴．故选C ．5．在等差数列{}n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是A ．21B ．20C ．19D ．18 【答案】B【解析】（解法一） 135105a a a ++=，24699a a a ++=，∴335a =,433a =， ∴432d a a =-=-， ∴139a =，∴2240(20)400n S n n n =-+=--+， ∴当20n =时n S 取最大值20．故选B ．（解法二） 135105a a a ++=，24699a a a ++=，两式相减得：63=-d ，2-=∴d ．又13533105a a a a ++==，335a ∴=，3(3)241n a a n d n ∴=+-=-+．令0n a >,得412n <,∴当20n =时n S 取最大值20．故选B ． 6．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且n n n a a b -=+1．若23-=b ，1210=b ，则=8a A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 【答案】B【解析】d b b 7310=- 且23-=b ，1210=b ,2=∴d,82622)3(3-=-+-=-+=∴n n d n b b n ,821-=-∴+n a a n n ,)()(.....)()(7867231218a a a a a a a a a a -+-++-+-+=∴36420)2()4()6(3=++++-+-+-+=．故选B ．二、填空题7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10a ≠，213a a =，则105S S =___________．【答案】4【解析】因为213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+．8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且27S S =,6k S S =（6k ≠），则k = ．【答案】3【解析】（解法一）由27S S =,得1176272a d a d ⨯+=+, 所以14a d =-．因为6k S S =，所以()11165622k k a d ka d -⨯+=+，所以()1241542k k d d kd d --+=-+，整理得，29180k k -+=，解得3k =，或6k =（舍去）．（解法二）因为()2111)222n n n d dS na d n a n -=+=--(，所以对应的函数()21()22d df x x a x =--的图象是一条抛物线，因为27S S =，所以()fx 的图象关于27922x +==对称．又因为6k S S =，所以6922k +=，解得3k =． 9．已知}{n a 为等差数列，n S 表示}{n a 的前n 项和，}{n a 满足4560a a a ++>，100S <，则n S 取得最大值时n 的取值为：___________．【答案】5【解析】因为0)(510110<+=a a S ，所以065101<+=+a a a a ，又456530a a a a ++=>，即05>a ，所以06<a ，所以当5=n 时，n S 取得最大值．10．已知数列{}n a 的首项为1，其余各项为1或2，且在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个2，即数列{}n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2019S =__________．（用数字作答）【答案】3993【解析】（解法一）第1k +个1为数列{}n a 的第21(13521)1k k k k ++++++-=++项当44k =时211981k k ++=；当45k =时212071k k ++=；所以前2019项有45个1和244(20191981)+-个2，所以22019452[44(20191981)]3993S =+⨯+-=．（解法二）把该数列排成如下格式 1，2 1，2，2，2 1，2，2，2，2，2 1，2，2，2，2，2，2，2 …设其前m 行共有m T 项，则)1(2642+=+⋯⋯+++=m m m T m , 令2019)1(≤+m m 则44≤m 又1980454444=⨯=T , 即前44行共有1980项，其中有44个1，1936441980=-个2,所以第2019项为第45行第3919802019=-项（其中有1个1，38个2）, 即前2019项共有45144=+个1，1974381936=+个2, 所以2019451197423993S =⨯+⨯=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，213a a =，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列．【解析】因为数列是等差数列，设公差为d ===(n -=，()n *∈N ，所以12n S a n =，()n *∈N所以当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-，所以{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N所以()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦，所以{}n a 是等差数列． 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，0≠n a ，11-λ=+n n n S a a ，其中为常数，（I ）证明：λ=-+n n a a 2；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．【解析】（I ）11-λ=+n n n S a a ， 1121-λ=∴+++n n n S a a ，1121++++λ=-∴n n n n n a a a a a ，又01≠+n a ， λ=-∴+n n a a 2．（II ）由（I ）可知：{}n a 的奇数项和偶数项均为等差数列．若{}n a 为等差数列，则122++=+n n n a a a ，又λ=-+n n a a 2，λ+=∴++1222n n a a ，即212λ=-++n n a a ．由11=a ，11-λ=+n n n S a a ，可得:12-λ=a ,13+λ=a ．3122a a a += ，即11)1(2+λ+=-λ，解得4=λ，212=-∴a a ，又2212=λ=-++n n a a ， ∴当4=λ时，{}n a 是以2为公差的等差数列．1．3 等比数列（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等比数列t ，33+t ，66+t ，…的第四项等于A ．24-B ．0C ．12D ．24 【答案】A【解析】（解法一）23366=++=t t q ， t t 233=+∴，3-=∴t ， ∴第四项为：24233-=⨯-．故选A ．（解法二）依题意：)66()33(2+=+t t t ，091232=++∴t t ，即0)1)(3(32=++t t ，3-=∴t 或1-=t （舍去），所以该等比数列各项依次为：3-，6-，12-，24-．即第四项为：24233-=⨯-．故选A ．2．我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”那么，此人第4天和第5天共走路程是A ． 24里B ． 36里C ． 48里D ． 60里【答案】B【解析】记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列．由6378S =，得16611)2378112(a S -==-，解得：1192a =，344511192()192()24123622a a ∴+=⨯+⨯=+=，所以此人第4天和第5天共走了241236+=里．故选B ． 3．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知374S =，6634S =，则=8a A ．8 B ．16 C ．32 D ． 64 【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q )0(>q ，显然1≠q ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=4631)1(471)1(616313q q a S q q a S ，两式相除可得：91136=--q q ，即911)1)(1(3333=+=-+-q q q q ，2=∴q ，411=∴a ，3224178=⨯=∴a ．故选C ． 4．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+A．3+ B．1 C．1+ D．3- 【答案】A【解析】 1321,,22a a a 成等差数列，3122a a a ∴=+，∴2210q q --=，解得1q =± 又0>n a ，0>∴q，1q ∴=+∴2910783a a q a a +==++A ． 5．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3a -，2a ，4a 成等差数列，则2021S与2021a 的关系是A. 2021202141S a =+ B ．2021202143S a =- C ．2021202121S a =- D ．2021202121S a =+ 【答案】C【解析】设等比数列的公比为)0(>q q ，由423,,a a a -成等差数列，得4322a a a +-=，又11=a ， 322q q q +-=∴，即022=--q q ，0)1)(2(=+-∴q q ．又0>q ，2=∴q ，202020212=∴a ，122121202120212021-=--=S ，2021202121S a ∴=-．故选C ． 6．正项等比数列{}n a 中，463718+=a a a a ，则31323339log log log log ++++a a a a =A ．4B ．5C ．8D ．9 【答案】D【解析】因为246375218+==a a a a a 且{}n a 各项均为正数， ∴53=a ．所以()3132333931289log log log log log a a a a a a a a ++++=()()()()()423192837465355log log a a a a a a a a a a a ⎡⎤=⋅⋅⋅⋅=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦99353log log 39a ===．故选D ．二、填空题7．等比数列{}n a 的前n 项和22nn S a a =⋅+-，则=a ________．【答案】1【解析】因为11()2211n n n a aS q a a q q=+-=⋅+---，所以20a a +-=，解得1a =． 8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若24S =，46S =，则6S = ．【答案】7【解析】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列，所以24S =，42642S S -=-=，所以641S S -=，所以641167S S =+=+=． 9．已知{}n a 为等比数列，且334,12a S ==，则=q ．【答案】1=q 或21-=q 【解析】（解法一）当1=q 时，31333a a S ==，显然1=q 符合题意；当1≠q 时，4213==q a a 214qa =∴．又12)1(1)1(21313=++=--=q q a q q a S ，解得 21-=q ．∴综上可得：1=q 或21-=q ．（解法二）4213==q a a ，214q a =∴．又123113=++=a q a a S ，可得：84422=+q q q ，即0122=--q q ，0)1)(12(=-+∴q q ，21-=∴q 或1=q ． 10．设等比数列{}n a 满足13+=10a a ，24+=5a a ，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为_________．【答案】64【解析】设等比数列的公比为q ，由1324105a a a a +=+=⎧⎨⎩得，2121(1)10(1)5a q a q q +=+=⎧⎨⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}3log n a 的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n n a -=．（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =． 12．已知为数列{}n a 的前项和，11=a ，241+=+n n a S ．（1）设数列{}n b 中，n n n a a b 21-=+，求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和．【答案】（1）证明详见解析；（2）22)43(1+-=-n n n S ．【解析】（1）（解法一）241+=+n n a S ， 2,241≥+=∴-n a S n n 两式相减可得：1144-+-=n n n a a a ，)2(2211-+-=-∴n n n n a a a a ，即2,21≥=-n b b n n ， ∴{}n b 是以2为公比的等比数列．（解法二）241+=+n n a S ，2,241≥+=∴-n a S n n 两式相减可得：1144-+-=n n n a a a ，22422244221111111=--=---=--=∴-----+-n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a b b ，2≥n ， ∴{}n b 是以2为公比的等比数列．（2）241212+=+=a a a S 且11=a ，52=∴a ，32121=-=∴a a b ，11232-+⨯=-=∴n n n n a a b ，432211=-∴++n n n n a a ， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n n a 2是以2121=a 为首项，以43为公差的等差数列， )13(41)1(43212-=-+=∴n n a n n ，22)13(--=∴n n n a ．当2≥n 时，312)43(---=n n n a ，∴241+=-n n a S 22)43(1+-=-n n ，又111==a S 符合上式，∴数列{}n a 的通项公式及前n 项和22)43(1+-=-n n n S ．n2.1 直线的斜率（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中正确的是A ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等B ．若两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等C ．若两直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角越大的，斜率也越大D ．若两直线的斜率不相等，则它们中斜率越大的，倾斜角也越大【答案】B【解析】当倾斜角都为2π时，斜率都不存在，所以A 项不正确；钝角的正切是负值，锐角的正切是正值，不是角越大斜率越大，所以C 、D 都不正确；因为直线的斜率确定，则倾斜角就确定了，直线的斜率相等，倾斜角一定相等，故选B ． 2．若图中的直线123l l l ，，的斜率分别为123k k k ，，，则A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k << 【答案】D【解析】直线1l 的倾斜角α是钝角，故10k <．直线2l 与3l 的倾斜角β与γ均为锐角，且<γβ，所以320k k <<，因此132k k k <<．故选D ．3．已知直线过)4 2(，A ，)1(mB ，两点，且倾斜角为 45，则=m A ．0 B ．2C ．3D ．5 【答案】C【解析】因为直线过)4 2(，A ，)1(m B ，两点，所以直线的斜率为m m -=--4214，又直线的倾斜角为 45，所以直线的斜率为145tan =，即14=-m ，所以3=m ．故选C ．4．已知三点)1 2(-，A ，)3 4(，B ，) 5(kC ，在同一条直线上，则k 的值为 A ．4 B ．5 C ．6D ．7 【答案】B【解析】因为)1 2(-，A ，)3 4(，B ，) 5(k C ，三点共线，所以BC AB k k =，即45324)1(3--=---k ，解得5=k ．故选B ．5．直线02sin =++⋅y x α的倾斜角的范围是A ．)0[π，B ．]40[π，C ．)43[]40[πππ，， D ．)2[]4 0[πππ，，【答案】C【解析】因为02sin =++⋅y x α，可化为2sin -⋅-=x y α，所以直线的斜率为αsin -．设直线的倾斜角为θ，则有]1 1[sin tan ，-∈-=αθ，又)0[πθ，∈，所以)43[]40[πππθ，， ∈．故选C ． 6．直线l 过点)0,1(P ，且与以)1,2(-A ，)3,0(B 为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是A ．]31,3[--B ．]3,31[ C ．),31[]3,(+∞---∞ D ．),3[]31,(+∞-∞ 【答案】A【解析】如图，311201-=---=AP k ，31003-=--=BP k所以]31,3[--∈k ．故选A ．二、填空题7．直线2-=x y 的倾斜角的大小为_______．【答案】4π 【解析】由一次函数的图像及直线的斜率公式可知，直线2-=x y 的斜率为1，设倾斜角为θ，则)0[πθ，∈，由1 tan =θ可得4πθ=．8．直线l 经过点)1,3(A ，),2(2m B -，R m ∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是______．【答案】)2,4[ππ【解析】直线l 的斜率1123122≥+=-+=m m k ，即1tan ≥α，又),0[πα∈，所以)2,4[ππα∈． 9．直线l 过点)0,1(P ，且与以)1,2(A ，)3,0(B 为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．【答案】),1[]3,(+∞--∞ 【解析】如图，11201=--=AP k ，31003-=--=BP k ，所以),1[]3,(+∞--∞∈ k ．10．已知0>ab ，且)0 (，a A ，) 0(b B ，，)2 2(--，C 三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】因为)0 (，a A ，) 0(b B ，，)2 2(--，C 三点共线，所以BC AC k k =，所以)2(0)2()2()2(0----=----b a ，即2222+=+b a ，所以)(2b a ab +-=．又因为0>ab ，故0<a ，0<b ，所以ab b a b a ab 4)]()[(2)(2≥-+-=+-=．从而0≤ab (舍去)或4≥ab ，故16≥ab ，当且仅当4-==b a 时取等号，即ab 的最小值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．a 为何值时，过点(2,3)A a ，(2,1)B -的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？【答案】当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角；当1a =时，直线的倾斜角为直角.．【解析】当22a =，即1a =时，直线AB 的斜率不存在，直线的倾斜角为直角．当1a ≠时，132221AB k a a --==--，若直线的倾斜角α是锐角，则2tan 01AB k a α==>-，即10a ->，得1a >；若直线的倾斜角α是钝角，则2tan 01AB k a α==<-，即10a -<，得1a <．综上，当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角；当1a =时，直线的倾斜角为直角．12．在平面直角坐标系内，)32 1(，A ，)3 4(，B ．（1）求直线AB 的倾斜角θ的值；（2）若一束光线通过点A ，经x 轴反射，反射光线通过点B ，求入射光线与x 轴的交点P 的坐标．【答案】（1）65πθ=；（2） )0 3(，【解析】（1）因为)32 1(，A ，)3 4(，B ，所以直线AB 的斜率为3314323-=--=AB k ．又)0[πθ，∈，所以65πθ=．（2）依题意，有BPx APO ∠=∠，即直线AP 与直线BP 的倾斜角互补，所以BP AP k k -=．设)0 (，a P ，则4301320---=--a a ，解得3=a ，即点P 的坐标为)0 3(，．13．如图，在矩形ABCD 中，2BC AB =，直线AC 的斜率为1，求直线BC 的斜率．【答案】3【解析】由题意，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2BC AB =，所以1tan 2AB ACB BC ∠==．设直线AC 的倾斜角为θ，则tan 1θ=，且直线BC 的倾斜角为ACB θ+∠，所以tan()BC k ACB θ=+∠11tan tan 2311tan tan 112ACB ACB θθ++∠===-∠-⨯．2.2 直线的方程（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线022:=--y x l 的方向向量可以是A ．)2 1(-，B ．)2 1(，C ．)1 2(，-D ．)1 2(，【答案】D【解析】（解法一）因为022=--y x ，可化为121-=x y ，所以直线l 的斜率为21，所以直线l 所有的方向向量为)211(，λ，其中λ是不为零的任意实数，又)1 2(，)21 1(2，=，所以)1 2(，是直线l 的一个方向向量．故选D ．（解法二）由0=++C By Ax 的一个方向向量为) (A B -，，可知直线022=--y x 的一个方向向量为)1 2(--，，又)1 2(，)1 2(---=，，所以)1 2(，是直线l 的一个方向向量．故选D ． 2．已知直线0=++c by ax 经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足A ．0>ab ，0<bcB ．0>ab ，0>bcC ．0<ab ，0>bcD ．0<ab ，0<bc 【答案】A【解析】由于直线0=++c by ax 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为bc x b a y --=，如图，易知0<-b a 且0>-bc，故0>ab ，0<bc ．故选A ． 3．已知直线l 的一个法向量为)2 1(-，，且经过点)4 1(，，则直线l 的方程为 A ．092=-+y x B ．012=++y x C ．072=+-y x D ．012=--y x 【答案】C【解析】因为直线l 的法向量为)2 1(-，，可设直线的方程为02=+-C y x ．又直线l 经过点)4 1(，，所以081=+-C ，即7=C ，所以直线l 的方程为072=+-y x ．故选C ．4．如图，直线0:1=+-n y mx l 和0:2=+-m y nx l 在同一坐标系中正确的图形可能为A B C D 【答案】B【解析】0:1=+-n y mx l 和0:2=+-m y nx l 可分别化为n mx y +=和m nx y +=．当00>>n m ，时，直线1l 和2l 的斜率都大于零，纵截距也都大于零，四个选项均不满足；当0<mn 时，直线1l 和2l ，有一条直线的斜率大于零，纵截距小于零，而另一条直线的斜率小于零，纵截距大于零，选项B 满足；当00<<n m ，时，直线1l 和2l 的斜率都小于零，纵截距也都小于零，四个选项均不满足；当0=mn 时，直线1l 和2l 至少一条经过原点，四个选项均不满足．故选B ． 5．直线l 经过点)4,3(，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为 A ．07=-+y x B ．01=--y xC ．07=-+y x 或01=+-y xD ．07=-+y x 或01=--y x 【答案】C【解析】设直线l 的方程为:1=+b y a x ，因为直线l 过点)4,3(，所以有143=+ba ．因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以b a =，即b a ±=．当b a =时，有143=+aa ，故7==b a ；当b a -=时，有143=-aa ，故1,1=-=b a ．所以直线l 的方程为:177=+yx 或1=+-y x ，即07=-+y x 或01=+-y x ．故选C ． 6．已知直线1l ：422-=-a y ax ，2l ：42222+=+a y a x ，若20<<a 时，直线1l ，2l 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数=a A ．1- B ．21C ．1D ．2 【答案】B【解析】直线1l 可写成)2(22-=-x a y ，直线2l 可写成)2(222--=-x ay ，所以直线1l ，2l 恒过定点)2 2(，P ，直线1l 的纵截距为a -2，直线2l 的横截距为22+a ，又20<<a ，所以四边形的面积222111152(2)2(2)4()2224S a a a a a =⨯⨯-+⨯⨯+=-+=-+，故当21=a 时，四边形的面积最小．故选B ．二、填空题7．若直线过点)1 3(，和点)4 32(，，则该直线的方程为．【答案】023=--y x【解析】（解法一）因为直线过点)1 3(，和点)4 32(，，所以直线的方程为0)1)(332()3)(14(=-----y x ，整理得；023=--y x ．（解法二）因为直线过)1 3(，和点)4 32(，，所以直线的斜率为333214=--=k ，所以直线的方程为)3(31-=-x y ，整理得023=--y x ．8．已知直线0322=-+-m my x ，当m 变化时，直线都通过定点．【答案】)3 1(--，【解析】（解法一）当0≠m 时，0322=-+-m my x ，可化为)1(23+=+x my ，即))1((2)3(--=--x my ，所以直线过定点)3 1(--，．又当0=m 时，0322=-+-m my x ，可化为1-=x ，也过点)3 1(--，．综上所述，当m 变化时，直线0322=-+-m my x 都通过定点)3 1(--，．（解法二）0322=-+-m my x 可化为)1(2)3(+=+x y m ,令03=+y ，得13-=-=x y ，，所以直线过定点)3 1(--，．9．已知直线l 经过点)3,1(--A ，且倾斜角等于直线x y 3=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为．【答案】01543=++y x【解析】设直线l 倾斜角为α，直线x y 3=的倾斜角为θ，则θα2=．又因为直线x y 3=的斜率为3，即3tan =θ，所以直线l 的斜率为43tan 1tan 22tan tan 2-=-===θθθαk ．又直线l 过点)3,1(--A ，所以其方程为：)1(433+-=+x y ，即01543=++y x ． 10．已知过点)2 2(，-P 的直线l 在第二象限与两坐标轴围成一个三角形，当该三角形的面积最小时直线l 的方程为．【答案】04 =+-y x【解析】显然，直线l 的斜率存在且大于零，设直线l 的方程为)2 (2+=-x k y ，0>k ，令0=x 得，22+=k y ；令0=y 得，)22(+-=kx ；所以三角形的面积为8224)22)(22(21)22(2221≥++=++=+-+=k kk k k k S ，当且仅当k k22=，即1=k 时取等．故三角形的面积的最小值为8．此时直线l 的方程为2 2+=-x y ，即04 =+-y x ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．已知直线l 过点)2 3(，P ．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程；（2）若直线l 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，当OAB ∆的面积为12时求直线l 的方程．【答案】（1）032=-y x 或01=--y x ；（2）01232=-+y x ．【解析】（1）设若直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b 当0=-=b a 时，直线l 过原点，斜率为320302=--，所以直线l 的方程为x y 32=，即032=-y x ；当0≠-=b a 时，直线l 的方程为1=+b y a x ．又直线l 过点)2 3(，P ，所以123=+ba ．因为b a -=，所以123=-aa ，故1=a ，1-=b ．所以直线l 的方程为1=-y x ，即01=--y x ；综上，直线l 的方程为032=-y x 或01=--y x ．（2）设直线l 的方程为)3(2-=-x k y ，0<k ，令0=x 得，k y 32-=；令0=y 得，kx 23-=；因为直线l 与x 轴和y 轴交于正半轴，所以032>-k ，023>-k，所以OAB ∆的面积12)23)(32(21=--=k k S ，解得32-=k ．所以直线l 的方程为)3(322--=-x y ，即01232=-+y x ． 12．过点)1 2(，P 作直线l 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点．（1）求的最小值及此时直线l 的方程；（2）求最小值及此时直线l 的方程．【解析】（1）根据题意可设直线l 的方程为，则，直线l 过点，，又(当且仅当，即时取等号)，，即，的最小值为8，此时直线l 的方程为；（2）由（1）可知，，则，(当且仅当，即时取等号)．的最小值为4，此时直线l 的方程为．||||OA OB ⋅||||PA PB ⋅1(0,0)x ya b a b+=>>(,0),(0,)A a Bb (2,1)P 211(0,0)a b a b∴+=>>21a b +≥21a b =4,2a b ==1∴≤8ab ≥||||=OA OB ab ∴⋅240x y +-=211a b +=02ab a ∴=>-2a>||||PA PB ∴⋅4≥=221(2)=(2)a a --3a =||||PA PB ∴⋅30x y +-=2.3 两条直线的位置关系（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为 A ．1 B ．2- C ．1或2- D ．23- 【答案】A【解析】直线()120x m y ++-=和240mx y ++=平行，可得11224m m +-=≠，得1m =．故选A ．2．已知0b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线210x b y --=垂直，则ab 的最小值为 A ．1 B ．2 C ．22 D ．23 【答案】B【解析】由已知两直线垂直，得22(1)0b ab +-=，即221ab b =+，又0b >，所以12ab b b=+≥，当且仅当1b =时等号成立，所以ab 的最小值为2．故选B ． 3．若直线:3l y kx =-与直线30x y +-=的交点在第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围为A ．(0 )30，B ．(30 )90，C ．(90 )135，D ．(135 )180，【答案】B【解析】（解法一）已知直线:3l y kx =-过定点(03) P -，，直线30x y +-=与x 轴，y 轴分别交于(30) A ，，(03) B ，，如图．又33PA k =，通过数形结合可得， 33k >，即3tan 3α>，故3090α<< ，选B ．（解法二）由330y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得交点坐标为3333,)1+1+k k k +-（，又交点在第一象限，所以3301+3301+kk k⎧+>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得33k > ，即3tan 3α>，故3090α<< ，选B ．4．已知0a >，若y a x =与y x a =+的图象有两个交点，则a 的取范围为A ．0a >B ．01a <<C ．1a >D ．1a ≥ 【答案】C【解析】y a x =表示关于y 轴对称的两条射线，y x a =+表示斜率为1，在y 轴上的截距为a 的直线，根据题意，画出大致图形，如下图，若y a x =与y x a =+的图象有两个交点，且0a >，则根据图形可知1a >．故选C ．5．若(2 3)P ，既是11()A a b ，，22()B a b ，的中点，又是直线111:130l a x b y +-=与直线 222:130l a x b y +-=的交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．23130x y +-=B ．32120x y +-=C ．2350x y -+=D ．320x y -= 【答案】D【解析】将P 点坐标代入12,l l 的方程得1123130a b +-=，2223130a b +-=，所以,A B 两点在直线23130x y +-=上，故23AB k =-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为32，又AB中点为(2 3)P ，，所以线段AB 的垂直平分线的方程是()3322y x -=-，即320x y -=．故选D ．6．已知直线1:310l x y --=，2:250l x y +-=，3:30l x ay --=不能围成三角形，则实数a 的取值不可能为 A ．1 B ．13C ．1-D ．2- 【答案】A【解析】因为直线1l 的斜率为3，直线2l 的斜率为12-，所以直线1l ，2l 一定相交，由3125x y x y -=⎧⎨+=⎩解得交点坐标为：(1,2)．当0a =时，3l 与横轴垂直，方程为：3x =不经过点(1,2)，所以三条直线能构成三角形；当0a ≠时，3l 的斜率为：1a．当1l 与3l 的斜率相等即13a =，时，13a =，此时这两直线平行，这三条直线不能三角形；当2l 与3l 的斜率相等即112a =-时，2a =-，此时这两直线平行，这三条直线不能三角形；当3l 过12,l l 交点(1,2)即1230a --=时，1a =-，此时三条直线不能构成三角形；故选A ．二、填空题7．过点()4,2P －与直线370l x y --=：平行的直线方程为：．【答案】3140x y -+=【解析】设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-，因为点()4,2P －在直线上，所以()3420m ⨯-+－＝，解得14m =，即所求直线方程是3140x y -+=． 8．已知ABC ∆三条边所在的直线方程分别为02:=+-y x l AB ，022:=++y x l AC ，1:=x l BC ，则AC 边上的高所在直线方程为：．【答案】012=+-y x 【解析】由201x y x -+=⎧⎨=⎩，解得点B 坐标为(1 3)，．因为直线AC 的斜率为12-，所以AC 边上的高所在直线的斜率为2，所以AC 边上的高所在直线的方程为)1(23-=-x y ，即012=+-y x ．9．直线:(21)(31)730l x y λλλ+++--=恒过定点，则该定点的坐标为：．【答案】(2 1)，【解析】（解法一）将(21)(31)730x y λλλ+++--=化成(237)(3)0x y x y λ+-++-=，要使直线恒过定点，必须237030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即直线l 恒过定点(2 1)，．（解法二）将(21)(31)730x y λλλ+++--=化成21733131y x λλλλ++=-+++，即212(21)13131y x λλλλ++=-++++，即211(2)31y x λλ+-=--+，所以直线l 恒过定点(2 1)，． 10．已知m R ∈，动直线110l x my +-=：过定点A ，动直线2:230l mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于A ，B 两点），则PA PB +的最大值为：．【答案】【解析】由题意可得()()1,0,2,3A B ，因为1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以直线10x my +-=和直线230mx y m --+=垂直，则()2222102PA PB PA PB AB++==≥，当且仅当PA PB ==时取等号，所以PA PB +≤PA PB +的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．在ABC ∆中，已知角C 的角平分线所在的直线方程为2y x =，顶点A ，B 的坐标分别是(4 2)-，，(3 1)，，求顶点C 的坐标．【答案】(2 4)，．【解析】设(4 2)A -，关于直线2y x =的对称点为00( )A x y '，，则0024AA y k x '-=+，AA '的中点坐标为0042( )22x y -+，，所以0000221424222y x y x -⎧⨯=-⎪+⎪⎨+-⎪=⨯⎪⎩，解得0042x y =⎧⎨=-⎩，所以(4 2)A '-，，因为点A '在直线BC 上，且(3 1)B ，，所以BC 所在的直线方程为211(3)43y x ---=--，即3100x y +-=．因为C 为直线BC 与直线2y x =的交点，所以由31002x y y x +-=⎧⎨=⎩，31003100x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，即(2 4)C ，．12．已知ABC ∆的顶点(5 1)A ，，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=．（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(4 3)C ，；（2）6590x y --=．【解析】（1）由AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，得21=BH k ，所以2-=AC k ，又(5 1)A ，，所以AC 边所在直线方程为2110x y +-=，联立直线AC 与直线CM 方程得2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，即顶点C 的坐标为(4 3)，．（2）设00( )B x y ，，则AB 的中点M 为0051( )22x y ++，，由M 在直线250x y --=上，得005125022x y ++⨯--=，即00210x y --=，由点B 在直线250x y --=上，得00250x y --=，联立0000210250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，所以顶点B 的坐标为(1 3)--，．又(4 3)C ，，所以直线BC 的方程为333(1)14y x --+=+--，即6590x y --=．2.4 点到直线的距离（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点 0)F0=的距离为 ABC ．3D ．m 3 【答案】A【解析】点F0=的距离d ==．故选A ．2．直线1:330l x y +-=与直线2:610l x my ++=平行，则1l 与2l 之间的距离为 A ．4 BCD【答案】D【解析】直线1:330l x y +-=可化为6260x y +-=，因为1l 与直线2:610l x my ++=平行，所以2=m ，即2:6210l x y ++=，所以1l 与2l之间的距离为d ==故选D ． 3．已知12=+y x ，则22y x +的最小值为 A ．1 B ．14 C ．15 D ．110【答案】C【解析】22y x +表示)0,0(到12=+y x 上点的距离的平方，所以22y x +的最小值是（0，0）到012=-+y x 的距离d 的平方，据点到直线的距离公式得d ==22y x +的最小值为15．故选C ． 4．直线1:320l x y --=和直线2:3100l x y +-=的夹角平分线的方程为 A ．240x y +-= B ．260x y --=C ．240x y +-=或260x y --=D ．240x y +-=或260x y --= 【答案】D【解析】设(,)P x y 为角平分线上的任意一点，由该点到两直线的距离相等，即可得：=32310x y x y --=+-，整理得240x y +-=或260x y --=．故选D ．5．知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为 A ．25 B ．26 C ．4 D ．5 【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图所示：设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且()()22=32+61=26A B '--．故选B ．6．已知点P 为直线013:=--y x l 上的动点，当点P 到(4 1)A ，和(0 4)B ，的距离之差最大时，点P 坐标为A ．(1 2，）B ．4( 33，） C ．(2 5，）D ．(3 8，）【答案】C【解析】如图，作点B 关于l 的对称点为B '，AB '的延长线交l 于0P ，在l 上任取一点P ，则00PA PB PA PB AB P A P B '''-=-≤=-，则点0P 即为所求．设(0 4)B ，关于直线l 的对称点为00( )B x y '，，则004BB y k x '-=，BB '的中点坐标为004( )22x y +，，所以0000431431022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪⨯--=⎪⎩，解得0033x y =⎧⎨=⎩，所以(3 3)B '，．所以直线AB '的方程为092=-+y x ．由290310x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得0P (2 5，）．故选D ．二、填空题7．若点Q P ，分别为直线01243=-+y x 与0343=++y x 上的动点，则PQ 的最小值为：．【答案】3【解析】依题意知，两直线平行．所以PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即=min PQ 22|123|334--=+．8．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距离是25m n += ．【答案】3【解析】由题意直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=平行，则1226m n -=≠-，即4n =-且3m ≠，所以2:2460l x y --=，化为2:230l x y --=，所以1l 与2l 之间的的距离为22(3)251(2)m --=+-，又0m >，所以7m =，所以3m n +=．9．已知点(1 2)A -，，(3 4)B ，．点P 在x 轴上，且PA PB =，则PAB ∆的面积为________．【答案】152【解析】设AB 的中点坐标为M ，则(13)M ，，因为241132AB k -==--，所以AB 的中垂线方程为)1(23--=-x y ，即052=-+y x ．令=0y ，则52x =，即P 点的坐标为5( 0)2，，所以22(13)(24)25AB =--+-=，点P 到AB 的距离为22535(1)(30)2PM =-+-= 所以113515252222PAB S AB PM ==⨯=△． 10．函数2291041y x x x =+-+_________． 74 【解析】()22222291041354y x x x x x =+-+=+-+设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =+-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和．作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值， ()22153474BA =+--=min 74y ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．已知直线l 经过直线052=-+y x 与02=-y x 的交点．（1）若点)0 5(，A 到l 的距离为3，求l 的方程；（2）若直线l '经过原点O ，且与直线l 平行，求l '与l 的距离最大值时直线l '的方程．【答案】（1）2=x 或0534=--y x ；（2）02=+y x ．【解析】（1）（解法一）设经过两已知直线交点的直线方程为0)2(52=-+-+y x y x λ，即05)21()2(=--++y x λλ3=．即02522=+-λλ，所以0)2)(12(=--λλ，解得21=λ或2-=λ．故l 的方程为2=x 或0534=--y x ．（解法二）由25020x y x y +-=-=⎧⎨⎩，解得交点)1 2(，P ．当直线l 斜率不存在时，方程为：2=x ，此时点)0 5(，A 到l 的距离为3，故2=x 符合题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为：)2(1-=-x k y ，即021=-+-k y kx ，所以点)0 5(，A 到l 的距离为：31132=++k k ，解得34=k ，所以直线l 的方程为：)2(341-=-x y ，即0534=--y x ．综上，直线l 的方程为2=x 或0534=--y x ．（2）当两条平行直线l '，l 与P ，O 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又101202OP k -==-，所以两条平行直线的斜率为2-，所以直线l '的方程是x y 2-=，即02=+y x ．12．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=．（1）证明：直线恒过定点；（2）当m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值及此时直线的方程．【答案】（1）详见解析；（2）47m =；（3）AOB ∆面积的最小值为4，此时直线的方程240x y ++=．【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最=．又 423312PQ k +==+，且()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-，故22321m m --=-+，解得47=m ．（3）由（1）可知，直线过定点，且分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，设直线方程为()21y k x +=+，0<k ，分别令=0x ，=0y ，可得2(1,0)A k -，()0,2B k -，则1212212(1)(2)2()24222AOB k S k k k k k -=--=--=++≥+=-△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4．此时直线的方程240x y ++=．2.5 圆的方程（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【解析】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则：( 0)( 0)A a B a -，，，，设(),C x y ，则()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，所以()()21AC BC x a x a y →→⋅=+-+=，整理可得：22210x y a +=+>，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆．故选A ．2．已知点(1,1)a a +-在圆22240x y ay +--=的外部（不含边界），则实数a 的取值范围为A ．1a <B ．01a <<C ．15a >D ．1a > 【答案】D【解析】因为圆22240x y ay +--=，可化为()2224x y a a +-=+，所以圆心()0,a ，半径24ra ．因为点(1,1)a a +-在圆22240x y ay +--=的外部，所以点(1,1)a a +-到圆心()0,a 的距离大于半径，>1a >．故选D ． 3．若过点(2 1)，的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为 A ．55 B ．552 C ．553 D ．554 【答案】B【解析】由于圆上的点(2 1)，在第一象限，所以圆心必在第一象限，因为圆与两坐标轴都相切，所以设圆的半径为a ，则圆心的坐标为()a a ，，故圆的标准方程为222()()x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为(11)，或(5 5)，，圆心到直线230x y --=的距离均为d ==，所以圆心到直线230x y --=．故选B ． 4．若方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆取得最大面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α等于A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】D【解析】方程22220x y kx y k ++++=的标准方程为2223()(1)124k k x y +++=-，则22314k r =-，当所表示的圆取得最大面积时，0k =，此时1r =，则直线()12y k x =-+为2y x =-+，所以tan 1α=-，因为[0 180)α∈，，所以135α=︒．故选D ． 5．已知圆1C ：22(1)(1)1x y ++-=，圆1C 与圆2C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为A ．22(2)(2)1x y ++-=B ．22(2)(2)1x y +++=C ．22(2)(2)1x y -++=D ．22(2)(2)1x y -+-=【答案】C【解析】圆1C 的圆心为(11)-，，半径长为1，设圆2C 的圆心为( )a b ，，由题意得111022a b -+--=且1=1+1b a --，解得22a b ==-，，即圆2C 的圆心为(2 2)-，，又圆2C 的半径长为1，故圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=．故选C ．6．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点P ，则||||PA PB +（异于A ，B 两点）的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可得(0,0)A ，(1,3)B ，因为1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=和直线230mx y m --+=垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+，因为(0 )2PAB π∠∈，，所以3( )444PAB πππ∠+∈，，所以2sin()(1]42PAB π∠+∈，所以||||PA PB +(10,25]∈．故选B ．二、填空题7．已知圆C 经过(5 1)A ，，(1 3)B ，两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．【答案】22(2)10x y -+=【解析】依题意设圆C 的方程为222()x a y r -+=，把所给的两点坐标代入方程得2222(5)1(1)9a r a r⎧-+=⎨-+=⎩，解得2210a r =⎧⎨=⎩，所以圆C 的方程为：22(2)10x y -+=． 8．若方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径长为____．【答案】(2,4)--； 5．【解析】由题意22a a =+，即1a =-或2a =．当1a =-时，方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，当2a =时，方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆． 9．由曲线2222x y x y +=+围成的图形面积为．【答案】84π+【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当0x ，0y 时，解析式为22(1)(1)2x y -+-=，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为22的正方形与四个半径为2的半圆组成，所围成的面积是2122224(2)842ππ⨯+⨯⨯⨯=+． 10．已知点(, )P x y 是圆22:4230C x y x y ++-+=上的动点，则22(1)(2)-++x y 的取值范围为．【答案】[8 32]，【解析】圆22:4230C x y x y ++-+=可化为22(2)(1)2x y ++-=，则圆心(2,1)C -，半径2r =，故22(1)(2)-++x y 表示圆上的点(,)P x y 到点(1,2)Q -的距离的平方，因为22(21)(12)32QC =--++=，所以22QC PQ QC -≤≤+，即2242PQ ≤≤，所以2832PQ ≤≤，所以22(1)(2)-++x y 的取值范围为[8 32]，．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -，直角顶点(0,22)B -，顶点C 在x 轴上．（1）求BC 边所在直线的方程；（2）圆M 是三角形ABC 的外接圆，求圆M 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）22(1)9x y -+=．【解析】（1）直线AB 的斜率为022220AB k +==---，由题意可知AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为122BC AB k k =-=．因此，BC 边所在直线的方程为2222y x +=，即240x y --=；（2）直线BC 的方程为240x y --=，由于点C 在x 轴上，令0y =得，点()4,0C ．由于ABC ∆是以ABC ∠为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心M 为线段AC 的中点()1,0M ，半径长为132AC ．因此，圆M 的标准方程为22(1)9x y -+=． 12．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；①锐角△ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W ：2416x y +=，(0,)A t ，(4,0)B ， (0,2)C ，(4,0)D -为曲线W 上不同的四点．（1）求实数t 的值及△ABC 的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求曲线W 的最小覆盖圆的方程．【答案】（1）2t =-，22340x y x +--=；（2）2216x y +=；（3）22654x y +=．【解析】（1）因为(0,)A t 在曲线W ：2416x y +=上，所以令0x =得，2t =-．由于△ABC 为锐角三角形，外接圆就是△ABC 的最小覆盖圆．设△ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则4201640420E F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得304D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．。

2022_2023学年高中数学第1章数列-第1课时等差数列的前n项和同步练习湘教版选择性必修第一册

1.2.3 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和A级必备知识基础练1.(2022江苏常州中学高二期中)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5+a6=31,S7=77,则数列{a n}的公差为()A.2B.3C.4D.62.(2022广东东莞高二期末)在等差数列{a n}中,S3=6,S5=20,则a4=()A.2B.4C.6D.83.(2022江西景德镇一中高二期中)等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a3=2,a4-a2=2,则S5=()A.21B.15C.10D.64.在等差数列{a n}中,若S10=4S5,则等于()A. B.2C. D.45.(2022贵州瓮安第二中学高一月考)一百零八塔,因塔群的塔数而得名,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,….若该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群共有()A.10层B.11层C.12层D.13层6.(多选题)已知等差数列{a n},S n是其前n项和,若S10=a10=10,则()A.a1=-8B.a5=0C.S5=18D.S5=-207.某公司经销一种数码产品,第1年获得的利润为200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,若该公司不调整经营策略,则a n(a n为第n年获得的利润)与n的关系为,S n(S n为前n年获得利润的总和)与n的关系为.8.为了参加学校的长跑比赛,某学校高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3 600米,最后三天共跑了10 800米,求这15天小李同学总共跑的路程.B级关键能力提升练9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=4n2-10n,则a2a6=()A.52B.68C.96D.10810.(2022江苏连云港高二期末)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最大的一份为()A. B. C. D.11.(多选题)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=n2-4nD.S n=n2-2n12.(多选题)(2022山东滨州高二期末)在等差数列{a n}中,已知a3=10,a11=-6,S n是其前n项和,则()A.a7=2B.S10=54C.d=-2D.13.(2022江西重点中学协作体高二联考)汉代将1 000枚铜钱用缗(丝绳或麻绳)串起来,称为一“缗”(mīn,音岷),再放在一起成为一堆.为清点一批铜钱的数目,工作者先将其串成缗,并在最底层放置70缗,然后一层一层往上码,每层递减一缗,最上面一层为31缗,则这堆铜钱共有缗.14.已知等差数列110,116,122,…,则该数列共有项位于区间[450,600]内.15.(2022广东广州高二期末)从①a4+a5=-4,②a2+a6=-6,③S7=14这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k存在,求k的值;若k不存在,说明理由.问题:已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a7=3.若,则是否存在k,使得S k-1>S k且S k<S k+1?C级学科素养创新练16.记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{a n}的通项公式a n;(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.参考答案1.2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和1.B∵a5+a6=31,S7=77,∴解得d=3,故选B.2.C设等差数列{a n}的公差为d,则解得所以a4=a1+3d=6,故选C.3.C设等差数列{a n}的公差为d,∵a1+a3=2,a4-a2=2,∴2a1+2d=2,2d=2,解得a1=0,d=1,则S5=0+×1=10.故选C.4.A由题意得10a1+×10×9d=45a1+×5×4d,即10a1+45d=20a1+40d,即10a1=5d,则.5.C设塔群共有n层,依山势自上而下各层的塔数构成的数列为{a n},前n项和为S n.依题意,得a5,a6,…,a n成等差数列,且公差为2,a5=5,所以S n=1+3+3+5+5(n-4)+×2=108,解得n=12或n=-8(舍).6.ABD设数列{a n}的公差为d,由题意可得解得所以a5=a1+4d=-8+4×2=0,S5=5a1+d=5×(-8)+10×2=-20,故选ABD.7.a n=-20n+220S n=-10n2+210依题意,每年获得的利润依次排成一列构成等差数列{a n},且首项a1=200,公差d=-20,于是得a n=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.S n==-10n2+210.8.解设小李第n天跑a n米,则数列{a n}是等差数列,设{a n}的公差为d.∵小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,∴a1+a2+a3+a13+a14+a15=3600+10800=14400,∴a1+a15=4800.∴这15天小李同学总共跑的路程为S15=(a1+a15)=×4800=36000米.9.B由题意,数列{a n}满足S n=4n2-10n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.故选B.10.A设5人分到的面包数量从小到大记为{a n},{a n}的公差为d,依题意可得S5==5a3=100,得a3=20.∵a3+a4+a5=7(a1+a2),∴60+3d=7(40-3d),解得d=.∴a5=a3+2d=20+.故选A.11.AC设等差数列{a n}的公差为d,由S4=0,a5=5,得解得所以a n=2n-5,S n=n2-4n,故选AC.12.ACD设等差数列{a n}的公差为d,∵a3=10,a11=-6,∴a1+2d=10,a1+10d=-6,解得a1=14,d=-2.∴S n=14n+×(-2)=15n-n2.∴a7=14-2×6=2,S10=15×10-102=50,=15-7-(15-8)=1>0,即.故选ACD.13.2 020由题意知,这堆铜钱的缗数从上到下构成以31为首项、以1为公差的等差数列,且末项为70,设这堆铜钱摆放了n层,故70=31+(n-1)×1,解得n=40,所以共有40层,故这堆铜钱共有=2020缗.14.25设所求等差数列为{a n},由题意可知数列{a n}的首项为110,公差为116-110=6,则a n=110+6(n-1)=6n+104.解不等式450≤6n+104≤600,得≤n≤,因此,该数列位于[450,600]内的项从第58项起直至第82项,共有25项.15.解若存在k,使得S k-1>S k且S k<S k+1,则a k<0,a k+1>0.设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.若选择条件①:由解得所以a n=-9+2(n-1)=2n-11.令a n<0,得n<,所以当k=5时,满足a5<0,a6>0,所以k=5满足题意.若选择条件②:由解得所以a n=-9+2(n-1)=2n-11.由a n<0,得n<.所以当k=5时,满足a5<0,a6>0,所以k=5满足题意.若选择条件③:由解得所以a n=1+(n-1)=n+.易知a n>0恒成立,所以不存在满足条件的k.16.解(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为S9=-a5,所以=-a5,可得a5=0.因为a3=4,所以d==-2.故a n=a3+(n-3)d=-2n+10.(2)若S n≥a n,则na1+d≥a1+(n-1)d.当n=1时,不等式成立;当n≥2时,有≥d-a1,变形可得(n-2)d≥-2a1.又a5=0,即a1+4d=0,则有(n-2)≥-2a1.因为a1>0,所以n≤10.则有2≤n≤10.综上可得,n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N+}.。

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学科教师辅导讲义讲义编号_
=（a 1+a 2+…+a 6）－（a 7+a 8+…+a n ）
=－（a 1+a 2+…+a n ）+2（a 1+…+a 6）
=－S n +2S 6=n 2－12n +72.
∴T n =⎪⎩⎪⎨⎧+--72121222n n n n ).
,7(),,61(**N N ∈≥∈≤≤n n n n 评述：此类求和问题先由a n 的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{a n }的求和问题.
例5、已知数列{}n a 的前n 项和分别为22(1)2(2)1n n s n n s n n =-=++，求数列{}n a 的通项公式。

解析：本题为理解数列的通项公式n a 与n s 之间的关系式的应用。

111(1)1,1;2,43,n n n n a s n a s s n -===≥=-=-当时时经检验，n=1时，也满足，所以数列的通项公式为43,n a n =-
(2) 111(2)1,3;2,2,n n n n a s n a s s n -===≥=-=当时时经检验，当n=1时，不成立。

3,(1)2,(2)n n a n n =⎧∴=⎨≥⎩
本题要让学生注意检验n=1的情形，并且根据两种情况分析总结什么情况的时候n=1满足公式，什么时候不满足。

进而可以得出结论，等差数列前n 项和的特征是一个关于n 的二次函数，并且常数项为0。

如果常数项不为0，那么就是从第二项起是个等差数列。

变式练习：正数数列{}n a 中前n 项和n s 与通项公式n a 之间满足21
n n s a =+ 试求n s 关于项数n 的表达式。

解析：2112114(1)4(2)()4(1)n n n n n n n n n s a a a a a a s a +---⎧=+⎪⇒=++-⇒⎨=+⎪⎩ 【课堂小练】
1、一个等差数列的前4项的和为40，最后4项的和为80，所有项的和是210，则项数n 是（ C ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
2、已知等差数列共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则该等差数列的公差为（C ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
3、若}a {n 是等差数列，首项0a 1>，0a a 20082007>+，0a a 20082007<⋅，则使前n 项和0S n >成立的最大自然数n 是（C ）
A. 4012
B. 4013
C. 4014
D. 4015
4、已知数列}a {n 的前n 项和54n n S 2n +-=，则通项公式=n a {)
1(2)2(35=≥-=n n n n a
5、已知正数数列}a {n 的前n 项和为n S ，且对于任意的+∈N n ，有2n n )1a (4
1S +=
（1）求证}a {n 为等差数列；（2）求}a {n 的通项公式；
解析：（1）证明略（2）2n-1。