2016黑龙江农村信用社招聘考试：容斥问题解题技巧
农村信用社招聘考试：容斥问题解题技巧
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农村信用社招聘考试：容斥问题解题技巧
一、两者容斥的解法
对于容斥问题，解题关键是首先找到各个集合，然后理清各集合之间的关系，然后通过两大核心方法便可解决问题，两大核心方法为：
1、将所有区域化为一层
2、画文氏图
容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三者容斥，首先来看两者容斥问题：
例：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?
A.6
B.7
C.8
D.9
中公解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系：
第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示：
A表示是奥运会自愿者
B表示是全运会志愿者
I表示是全班人数
X表示全运会且奥运会志愿者
Y表示非奥运会且非全运会志愿者
河南中公金融人（）。
容斥问题应用题解题技巧及公式
容斥问题应用题解题技巧及公式容斥原理是一种组合数学中常用的计数方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。
常见的应用有如下几种情况：
1.求集合的并：当求两个集合的并集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。
公式为|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，其中|A∪B|表示A和B的并集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∩B|表示A和B的交集大小。
2.求集合的交：当求两个集合的交集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。
公式为|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|，其中|A∩B|表示A和B的交集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∪B|表示A和B的并集大小。
3.求不满足某个条件的情况：当求满足某个条件的情况时，可以使用容斥原理来求不满足该条件的情况。
假设有n个事件，A1到An，分别表示这些事件，那么不满足任何一个事件的情况数目为S =
∑|Ai| - ∑|Ai∩Aj| + ∑|Ai∩Aj∩Ak| - ... +/-
|A1∩A2∩...∩An|。
其中|Ai|表示事件Ai发生的情况数目，
|Ai∩Aj|表示事件Ai和Aj同时发生的情况数目，依此类推。
在应用容斥原理解题时，需要注意对问题进行合理的划分，避免出现重复计数或者漏计的情况。
同时，需要对问题进行适当的拓展和转化，以便更好地利用容斥原理解决更复杂的计数问题。
容斥原理奥数题解题技巧
容斥原理奥数题解题技巧
1. 哎呀呀，对于容斥原理奥数题，一定要搞清楚集合的概念呀！比如说，咱班同学喜欢数学的有一些，喜欢语文的有一些，那既喜欢数学又喜欢语文的不就是交集嘛！就像分糖果，有些糖果是红色的，有些是蓝色的，那红色和蓝色都有的糖果不就是那个交集嘛！
2. 嘿，解题的时候可别马虎！要仔细数清楚包含和不包含的部分哟！好比去果园摘果子，这棵树上摘了几个，那棵树上摘了几个，别把重复摘的也算进去啦！
3. 哇塞，要善于利用画图来帮忙呀！画个图就像给题目穿上了一件清楚的衣服。
比如说统计班级里戴眼镜和不戴眼镜的同学，画个图一目了然，是不是一下子就清楚啦！
4. 注意啦注意啦，千万别漏算呀！就像数星星，一颗一颗都不能少呀！比如算参加比赛的人数，这个项目的，那个项目的，可不能把谁落下啦！
5. 哈哈，遇到复杂的题目别慌张呀！把它拆分成小部分，就像拆礼物一样。
比如说算几个兴趣小组的人数关系，一点点分析，不就容易多啦！
6. 哎哟喂，要记住容斥原理的公式呀，那可是解题的宝贝！就好像钥匙开锁一样，公式就是那把钥匙，能打开难题的锁哟！
7. 咦，有时候可以换个角度思考呀！别死脑筋。
好比找宝藏，这条路不通，咱换条路试试嘛！比如从反面去考虑问题，说不定有惊喜呢！
8. 哇哦，多做几道练习题来巩固呀！就像练功一样，越练越厉害。
比如反复做一些不同的容斥原理题目，那以后遇到啥题都不怕啦！
9. 嘿嘿，和小伙伴一起讨论也很棒呀！说不定他就有好点子呢！就像一起玩游戏，互相帮助才能赢嘛！
10. 记住咯，容斥原理奥数题其实没那么难呀！只要用心，肯定能搞定！就像爬山，一步一步往上爬，总能到达山顶呀！
我的观点结论：容斥原理奥数题只要掌握了这些技巧，多练习多思考，大家都能轻松应对！。
行测数量关系容斥问题
行测数量关系容斥问题引言：在行测考试中，数量关系容斥问题是一个常见的考点。
掌握了该问题的解题方法，能够帮助考生更好地应对这一类题型。
本文将从概念、解题思路以及实例分析等方面进行详细讲解，以帮助考生更好地理解和掌握数量关系容斥问题。
一、概念解释：数量关系容斥问题是指在求解满足多个条件的情况数量时，通过排除重复计数的方法来得到准确结果。
其基本思想是通过理清各个条件的关系，累加满足每个条件的情况数量，然后再减去同时满足不止一个条件的情况数量，以得到最终结果。
二、解题思路：1.理解问题要求：首先，要明确问题所要求的情况数量。
通常情况下，此类问题要求计算满足多个条件的情况数量。
2.列出条件：将题目中给出的条件进行列举，每个条件单独列成一行。
3.计算满足每个条件的情况数量：对于每个条件，可以单独计算满足该条件的情况数量。
这可以通过排列组合、分类讨论等方法来计算。
4.累加满足每个条件的情况数量：将每个条件满足的情况数量累加起来，得到初步的结果。
5.减去同时满足不止一个条件的情况数量：根据容斥原理，需要减去同时满足不止一个条件的情况数量，以避免重复计数。
通过分类讨论或使用其他方法计算同时满足不止一个条件的情况数量。
6.得到最终结果：将初步结果减去同时满足不止一个条件的情况数量，即可得到最终的结果。
三、实例分析：下面通过一个实例来进一步说明解题思路。
例题：某校有甲、乙、丙三位老师，每位老师选择在星期一至星期五中任意一天进行家访。
如果每位老师至少选择一天进行家访，那么共有多少种家访方式？条件：1.甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；2.甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
解题思路：1.理解问题要求：题目要求计算满足两个条件的家访方式数量。
2.列出条件：条件1：甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；条件2：甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
3.计算满足每个条件的情况数量：条件1满足的情况数量为3（每个老师有5种选择，共有3个老师）；条件2满足的情况数量为5^3-1（每个老师有5种选择，减去同时不选择任意一天的情况数量）。
行测数量关系技巧：容斥问题求极值
行测数量关系技巧：容斥问题求极值在考场上人与人拉开差距的除了平常的知识点的积累，还有面对考试题型能够有一个更好的解答思路，下面为你精心准备了“行测数量关系技巧：容斥问题求极值”，持续关注本站将可以持续获取的考试资讯！行测数量关系技巧：容斥问题求极值对于绝大部分考生而言，行测数量关系一直是比较难的专项，但是要想真正在笔试中遥遥领先数量部分还是要去攻破的。
因此，针对数量所考察的所有题型我们也要由易到难的逐步攻破，在考场考试时学会挑出自己平时擅长的题型先入手。
所以，今天就给大家分享下容斥这一考点。
容斥问题常规的考点有二者容斥和三者容斥问题，利用一些公式以及文氏图能够轻松地解决。
今天我们就把这个题型深入挖掘探讨。
容斥问题也会涉及到求极值的问题，接下来我们就以题目为例讲解下容斥中求极值问题怎么处理。
例题1、某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人?A.165B.203C.267D.199【答案】C。
读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是有涉及到求极值问题。
解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。
通过这个表格我们可以得出要想不选课程的人数最多，即未选数学的141人和未选文学的92人不重复，因此不选课程的人数最多为141+92，因此题目所求的两种都选的最少=500-(141+92)=267人，故选C。
例题2、阅览室有100本杂志。
小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有()本。
A.5B.10C.15D.30【答案】A。
读完题目我们也可以判断出事考察三者容斥中的极值问题，那么我们也可以利用逆向思维来求解，所以我们也能知道未借阅的杂志最多=25+30+40，那么题目所求=100-(25+30+40)=5，因此选A。
通过这2道例题的讲解我们了解到容斥问题的极值问题其实也可以很简单，求N部分都包含的至少=(A+B+C+D+...+N)-(N-1)×I，后期我们碰到这样的问题直接带入公式求解就可以啦。
行测数量关系备考辅导：一招搞定容斥问题
行测数量关系备考辅导：一招搞定容斥问题很多同学不喜欢做行测数量关系类的题目，为大家提供行测数量关系备考辅导：一招搞定容斥问题，希望大家对照例题好好消化！
行测数量关系备考辅导：一招搞定容斥问题
在行测试卷中，数量关系部分很多考生会存在畏惧心理，究其原因是未曾学会解决问题的简便方法，把握其中的技巧，尤其是在具体题型中，无法做到通过一道题目解决一类题目，举一反三、触类旁通，所以，下面对用方程法解决容斥问题做详细介绍。
一、方法描述
问题求不喜欢三个景点中任何一个的，即为求d，将第一个式子和第三个式子相加，第二个和第四个式子相加，再将和做差，可得d=20，即答案为A。
二、例题剖析
例题1：某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。
调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用。
问这次调查共发出多少分问卷?
A.310
B.360
C.390
D.410
解析:答案为D。
由题目可知，
问有多少人未参加这三种培训，即求d，则d=50+8+3-47=14，
所以答案为C。
行测技巧：两种方法巧解数量关系“容斥问题”
⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” ⾏测数量的运算⼀直是⾏测考试的重点题型，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题””，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” 容斥问题其实是⼀种在考试中⽐较常见且简单的题型，它考察的是集合之间彼此的交集问题，⼀般来说解决容斥问题最常⽤的两种⽅法就是⽂⽒图法和公式法。
下⾯⼩编为⼤家讲解。
让我们先从⼀个⽣活上的⼩例⼦来理解什么是容斥：AB是两个同居室友，有⼀天A下班回家时在路上买了⾹蕉、苹果、菠萝三种⽔果，B回家路上买了菠萝、葡萄、西⽠三种⽔果，那么家⾥现在⼀共有多少种⽔果？答案很简单，因为尽管两个⼈各买了三种⽔果，但其中菠萝是重复的，所以我们在3+3之后还需要把多算了⼀遍的菠萝减下去，⽽这就是容斥问题的本质：减去多算的，补上空⽩的。
在⾏测的容斥问题⾥，较常考的是三者容斥，也就是三个集合之间的关系，我们把三个集合分别称作A、B、C，三个集合的总集称作U，就可以得到三者容斥的公式： U=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+三者都没有的 在做题的时候只需要找到题⼲中给定的各个条件，选择直接套⽤，然后就可以求出公式中缺少的项，从⽽快速得到答案。
以⼀道题⽬为例：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加⾃由泳，有4名既参加仰泳⼜参加蛙泳，有6名既参加蛙泳⼜参加⾃由泳，有5名既参加仰泳⼜参加⾃由泳，有两名这三个项⽬都参加。
三个项⽬都没有参加的有多少名？ 在题⽬中，ABC即对应仰泳、蛙泳、⾃由泳，那么A、B、C、A∩B，B∩C，A∩B∩C都是已知的，求都没有参加，即求剩下的项，⾸先，我们先把题⽬中已经给的数据填⼊公式： 18=8+10+12-4-6-2+2+x 在这个⽅程中，我们解得x=1，也就是三个项⽬都没有参加的有⼀个⼈。
⽽公式法虽然简单，但有的时候可能会觉得有些眼花缭乱，这种时候⽂⽒图法就显得更为直观，我们⼀起来感受⼀下⽂⽒图法在题⽬中的应⽤： 按照从内向外依次填充的⽅式，在⽂⽒图中填写不同区域对应的数据，这样题⽬⽆论是求哪个部分，⼜或是其中⼀些部分的和、差关系（⽐如只会游⼀种泳的、只会游两种泳的、只会⾃由泳的⼈⽐只会蛙泳的多多少），我们就都不怕了。
容斥问题的解题思路公式
六年级上册姓名：第六讲：容斥问题【题型概述】在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
它的基本形式有两种：(1)两个集合的容斥关系：记A、B是两个集合，属于集合A的东西有A 个，属于集合B的东西有B个，既属于集合A又属于集合B的东西记为A∩B;属于集合A 或属于集合B的东西记为A∪B ，则有：A∪B = A+B - A∩B。
(2)三集合的容斥关系：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B 类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
用符号来表示为：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C【解题方法】(1)公式法：当题目中的条件完全符合以下两个公式时，用公式直接代入求解。
两个集合：A∪B = A+B - A∩B=总个数------两者都不满足的个数三个集合：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C=总个数------三者都不满足的个数(2)画图法：条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。
画图法核心步骤：①画圈图; ②填数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层); ③做计算。
(3)三集合整体重复型核心公式：假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。
【典型例题】例1、现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人【2006年国家公务员一类考试行测第42题】A.27人B.25人C.19人D.10人【答案】B【解析】设两种实验都做对的有x人，根据核心公式：40+31-x=50-4，解得x=25例2、某单位有60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。
容斥问题的解法
容斥问题的解法
容斥原理是一种用于解决包含多个集合的问题的方法。
它基于布尔代数中的概念，在组合数学和概率论中经常被使用。
容斥定理是这样表述的：对于任意一组集合A1, A2, ..., An，
其容斥原理可以表示如下：
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = Σ(|Ai|) - Σ(|Ai ∩ Aj|) + Σ(|Ai ∩ Aj ∩ Ak|) - ... + (-1)^(n+1) * |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|
其中 |X| 表示集合X的元素个数。
容斥原理的基本思想是通过减去不相关的重复计数来得到正确的计数。
具体步骤如下：
1.计算每个集合Ai的元素个数。
2.计算每对集合Ai ∩ Aj 的元素个数，注意要减去这些重复计数。
3.计算每三个集合Ai ∩ Aj ∩ Ak 的元素个数，注意要加回这些重复计数。
4.依此类推，计算每n个集合Ai ∩ Aj ∩ ... ∩ An 的元素个数，注意要交替加减。
5.最终得到的结果即为所求的集合的元素个数。
例如，假设有两个集合A和B，我们可以使用容斥原理计算它们的并集的元素个数：
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
这就是容斥原理的简单形式，它可以通过直观理解得到。
对于更复杂的问题，容斥原理可以一次应用到多个集合之间的关系上，通过递归的方式得到正确的计数。
容斥问题解题技巧易错点及重点教学反馈
容斥问题解题技巧易错点及重点教学反馈【最新版4篇】目录（篇1）一、引言：容斥问题的定义与重要性二、容斥问题的解题技巧1.直接法2.间接法3.容斥原理三、容斥问题易错点1.容斥原理理解错误2.间接法运用不当3.忽略特殊情况四、重点教学反馈1.强调容斥原理的理解2.强化间接法的运用3.注意特殊情况的处理正文（篇1）一、引言容斥问题是组合数学中的一个重要内容，它在解决计数问题中起着关键作用。
掌握容斥问题的解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解组合数学的基本概念，还能提高解决实际问题的能力。
本文将对容斥问题的解题技巧、易错点以及重点教学反馈进行探讨。
二、容斥问题的解题技巧1.直接法：直接法是解决容斥问题的一种直接方法，它通过分析问题本身的结构，找到解决容斥问题的关键。
2.间接法：间接法是另一种解决容斥问题的方法，它通过引入辅助元素，将问题转化为更容易解决的形式。
3.容斥原理：容斥原理是解决容斥问题的核心原理，它能够有效地处理计数问题中的重叠情况。
三、容斥问题易错点1.容斥原理理解错误：在解决容斥问题时，对容斥原理理解不清可能会导致解题错误。
2.间接法运用不当：在运用间接法解决容斥问题时，若对问题的分析不够准确，可能会导致解题错误。
3.忽略特殊情况：在解决容斥问题时，若忽略了特殊情况，可能会导致解题结果不准确。
四、重点教学反馈1.强调容斥原理的理解：在教学过程中，要重点强调容斥原理的理解，帮助学生掌握解决容斥问题的核心方法。
2.强化间接法的运用：间接法是解决容斥问题的一种有效方法，教学过程中要强化间接法的运用，提高学生的解题能力。
3.注意特殊情况的处理：在解决容斥问题时，要注意特殊情况的处理，避免因忽略特殊情况导致解题结果不准确。
总之，掌握容斥问题的解题技巧，了解易错点，注重教学反馈，有助于提高解决容斥问题的能力。
目录（篇2）一、引言：容斥问题在数学中的重要性和应用范围二、容斥问题的基本概念和解题方法1.容斥原理2.容斥问题的解题技巧三、容斥问题易错点分析1.容斥原理的理解误区2.计算过程中的粗心错误四、重点教学反馈1.提高学生对容斥原理的理解2.加强对学生的计算能力训练3.培养学生的细心和耐心五、结论：容斥问题在教学中的重要性和对学生的指导意义正文（篇2）一、引言容斥问题是数学中的一个重要领域，它在组合数学、概率论、统计学等领域中都有着广泛的应用。
容斥问题解题思路
容斥问题解题思路
数量关系技巧包含了数学运算技巧和数字推理技巧两大部分，公务员考试数学运算是最为考生所头疼，其所占分值高并且难度也高。
今天中公教育为考生整理了数量关系答题技巧中的容斥问题解题思路，希望对考生有所帮助！
中公教育专家告诉考生，解答容斥问题需要把握以下公式：
(1)两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B
(2)三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
【例题1】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A.22
B.18
C.28
D.26
【中公教育解析】设A=第一次考试中及格的人(26)，B=第二次考试中及格的人(24)。
显然，A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据公式A∩B=A+B-A∪B=50-28=22，故答案为A。
【例题2】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有多少人( )。
A.4人
B.5人
C.6人
D.7人
【中公教育解析】“由里到外”进行数据标记，进行简单加减运算，因为外语学校有英语、法语、日语教师共27人，27-(8+2+2+1+3+5)=6。
故答案为C。
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行测考试数学运算之容斥问题解题技法
行测考试数学运算之容斥问题解题技法容斥是一种计数方法，它是能够避免重复和遗漏计数的一种方法。
而解决容斥问题我们常借助的一种工具叫做文氏图（如下图1），方法是全集I等于每一部分的面积加和。
图1：全集I=四个部分面积的加和那么接下来我们一起学习一下如何用文氏图解容斥问题。
一、两者容斥问题例：幼儿园有100个小朋友，有50个小朋友穿的是粉上衣，有60个小朋友穿的蓝裤子，又有20个小朋友即没有穿粉上衣也没有穿蓝裤子。
那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿蓝裤子？解析：我们来画文氏图如果我们用50+60，那么我们会发现，途中空白部分就被加了两次，所以要减去一次而这一部分正是我们要求的既穿粉上衣又穿蓝裤子的小朋友数量，所以我们设这一部分为x，然后再加上外面的20就等于全集100，所以我们列式100=50+60-x+20，解得x=30即为所求。
二、三者容斥问题例：幼儿园有100个小朋友，有50个小朋友穿的是粉上衣，有60个小朋友穿的蓝裤子，40个穿红皮鞋，有30个既穿粉上衣又穿蓝裤子，有30个小朋友既穿蓝裤子又穿红皮鞋，有30个小朋友既穿粉上衣又穿红皮鞋，又有20个小朋友什么都没穿。
那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿蓝裤子又穿红皮鞋？解析：我们同样先画文氏图。
我们用50+60+40，那么中间1、2、3这三个部分被加了两次，4这部分被加了3次，所以我们要把这4部分变为1层。
50+60+40-30-30-30,此时中间4这部分的3层全部被减没了，那么我们就需要补回一层，而这一部分正好是我们要求的部分，所以设为 x，50+60+40-30-30-30+x此时计算的是三个圆的覆盖面积，再加上外面的20 就等于全集100，所以列式为 100=50+60+40-30-30-30+x+20，解得x=20即为所求。
同学们理解的怎么样？还是相对比较容易的吧！那我们就趁热打铁，一起来做一道题巩固一下吧。
例题：如图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B，B与C，C与A的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则途中阴影部分的面积为（）。
容斥问题解题技巧
容斥问题解题技巧什么是容斥原理？容斥原理是组合数学中一个重要的解题技巧，用于解决涉及多个集合的问题。
容斥原理可以帮助我们计算多个集合的交集、并集以及补集的元素个数，从而解决复杂的计数问题。
容斥原理的核心思想是通过减去重复计数的个数来得到正确的计数结果。
当涉及到多个集合的交集、并集或者补集时，容斥原理可以帮助我们避免重复计数，从而得到准确的结果。
容斥原理的公式容斥原理的公式可以表示为：|A1∪A2∪…∪A n|=∑|A i|ni=1−∑|A i∩A j|1≤i<j≤n+∑|A i∩A j∩A k|1≤i<j<k≤n−⋯+(−1)n+1|A1∩…∩A n|其中，|A|表示集合A的元素个数，A1,A2,…,A n表示 n 个集合。
容斥原理的推导我们来简单推导一下容斥原理的公式。
首先考虑两个集合A和B的情况。
根据集合的基本原理，我们有：|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|这个公式表示，集合A和集合B的元素个数之和减去它们的交集的元素个数，就是它们的并集的元素个数。
如果我们考虑三个集合A,B,C，我们可以先计算任意两个集合的并集，然后再减去它们的交集。
根据上面的公式，我们有：|A∪B∪C|=|A∪B|+|C|−|(A∪B)∩C|继续展开，我们得到：|A∪B∪C|=|A|+|B|−|A∩B|+|C|−|(A∩C)∪(B∩C)|这样我们就得到了三个集合的情况。
以此类推，我们可以推导出 n 个集合的情况，得到容斥原理的公式。
容斥原理的应用容斥原理可以应用于各种计数问题，例如排列组合、概率、数论等。
下面我们通过几个例子来说明容斥原理的应用。
例子1：求满足条件的整数个数假设我们要求满足以下条件的整数个数：能被 2、3 或 7 整除。
我们可以分别计算能被 2、3 和 7 整除的整数个数，然后减去同时能被 2 和 3、2 和 7、3 和 7 整除的整数个数，最后再加上同时能被 2、3 和 7 整除的整数个数。
行测容斥问题
行测容斥问题容斥原理是概率论与组合数学中的一种计数方法，用于解决求不相交事件的并集的问题。
容斥原理可以简单地理解为，求多个集合的并集时，先将每个集合的元素个数相加，再减去两个集合之间的交集元素个数，再加上三个集合之间的交集元素个数，以此类推。
在行测中，容斥原理也经常被用于解决一些排列组合问题。
以下是一个行测中常见的容斥问题例子：问题：有5个人，他们分别属于三个不同的俱乐部A、B、C。
现在要从这5人中选出一些人组成一个小组，要求至少要有一个人来自俱乐部A和B，至少要有一个人来自俱乐部B和C，至少要有一个人来自俱乐部A和C。
问有多少种选法？解答：我们可以先计算不满足条件的情况，然后利用容斥原理来计算满足条件的情况。
不满足条件的情况有三种：1. 既没有来自俱乐部A和B的人，也没有来自俱乐部B和C的人，也没有来自俱乐部A和C的人。
2. 没有来自俱乐部A和B的人。
3. 没有来自俱乐部B和C的人。
利用容斥原理，满足条件的情况数目 = 总情况数 - 不满足条件1的情况数- 不满足条件2的情况数- 不满足条件3的情况数。
总情况数：每个人都有三个俱乐部可选，所以总情况数为3^5。
不满足条件1的情况数：每个人都不能选属于其他两个俱乐部的人，所以不满足条件1的情况数为(2^5 - 2)。
不满足条件2的情况数：每个人可以选属于A和C俱乐部的人，也可以选属于C俱乐部的人，所以不满足条件2的情况数为(3^5 - 3^3)。
不满足条件3的情况数：同理，不满足条件3的情况数为(3^5 - 3^3)。
所以满足条件的情况数 = 3^5 - (2^5 - 2) - (3^5 - 3^3) - (3^5 -3^3)。
实际计算时，可以利用容斥原理的推广公式：|A ∪ B| = |A| +|B| - |A ∩ B|，将容斥原理的计算过程化简。
以上就是关于行测容斥问题的解答和解题思路。
行测容斥原理问题答题技巧
国考行测容斥原理解题技巧在行测考试中，容斥原理题令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不着头绪。
但该题型还是有着非常明显的内在规律，只要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够给考生带来一定的帮助。
一、两集合类型1、解题技巧题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数2、真题示例【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有()A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
二、三集合类型1、解题步骤涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。
2、解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数3、真题示例【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。
容斥原理题再也不用怕,两个万能公式
容斥原理题再也不用怕，两个万能公式容斥原理题再也不用怕，两个万能公式1．关键提示：容斥原理是2004年、2005年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，其实，容斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。
另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。
2．核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A ＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A ＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C例题1：2004年中央A类真题某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A．22 B．18 C．28 D．26解析：设A＝第一次考试中及格的人（26），B＝第二次考试中及格的人（24）显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22所以，答案为A。
例题2：2004年山东真题某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（）人 A.57 B.73 C.130 D.69解析：设A＝会骑自行车的人（68），B＝会游泳的人（62）显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57所以，答案为A。
例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？解析：设A＝看过2频道的人（62），B＝看过8频道的人（34）显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人（11）则根据公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85所以，两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15所以，答案为15。
容斥问题 题型
容斥问题题型讲解
容斥问题，也被称为集合问题，是一种在数学和计算机科学中常见的题型。
它主要考察了我们对集合运算的理解和运用。
容斥问题的关键在于理解“包含”和“排斥”的含义，并根据题目条件正确使用集合的运算性质。
容斥问题一般以“两个集合A和B的并集，与集合C的交集，等于集合D”的形式出现。
在解题过程中，我们需要先明确各个集合的元素，然后根据集合的运算性质进行计算。
对于容斥问题，我们需要理解以下两个关键点：
1.包含：当一个元素属于某个集合时，它也属于该集合的并集。
2.排斥：当一个元素同时属于两个集合时，它只会被计算一次，以避免重
复计数。
在解题过程中，我们通常需要使用以下公式：
|A ∪ B ∩ C| = |A ∪ B| - |B ∩ C| + |A ∩ C|
其中，|A ∪ B|表示集合A和B的并集的元素个数，|B ∩ C|表示集合B 和C的交集的元素个数，|A ∩ C|表示集合A和C的交集的元素个数。
这个公式是基于集合的运算性质推导出来的，可以帮助我们快速解决容斥问题。
在实际解题过程中，我们还需要注意以下几点：
1.仔细阅读题目，理解题意，明确各个集合的元素。
2.根据题目条件，选择合适的公式进行计算。
3.在计算过程中，要注意避免重复计数和遗漏。
4.对于复杂的问题，可以使用图示或表格来帮助理解和计算。
通过以上讲解和示例，相信大家已经对容斥问题有了更深入的理解。
在解决这类问题时，我们要灵活运用集合的运算性质，仔细分析题目条件，并选择合适的方法进行计算。
容斥问题的解题思路公式
六年级上册姓名：第六讲：容斥问题【题型概述】在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
它的基本形式有两种：(1)两个集合的容斥关系：记A、B是两个集合，属于集合A的东西有A 个，属于集合B的东西有B个，既属于集合A又属于集合B的东西记为A∩B;属于集合A 或属于集合B的东西记为A∪B ，则有：A∪B = A+B - A∩B。
(2)三集合的容斥关系：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B 类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
用符号来表示为：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C【解题方法】(1)公式法：当题目中的条件完全符合以下两个公式时，用公式直接代入求解。
两个集合：A∪B = A+B - A∩B=总个数------两者都不满足的个数三个集合：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C=总个数------三者都不满足的个数(2)画图法：条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。
画图法核心步骤：①画圈图; ②填数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层); ③做计算。
(3)三集合整体重复型核心公式：假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。
【典型例题】例1、现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人【2006年国家公务员一类考试行测第42题】A.27人B.25人C.19人D.10人【答案】B【解析】设两种实验都做对的有x人，根据核心公式：40+31-x=50-4，解得x=25例2、某单位有60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。
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黑龙江银行招聘网：2016黑龙江农村信用社招聘考试：容斥问题解题技巧
一、两者容斥的解法
对于容斥问题，解题关键是首先找到各个集合，然后理清各集合之间的关系，然后通过两大核心方法便可解决问题，两大核心方法为：
1、将所有区域化为一层
2、画文氏图
容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三者容斥，首先来看两者容斥问题：
例：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?
A.6
B.7
C.8
D.9
中公解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系：
第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示：
A表示是奥运会自愿者
B表示是全运会志愿者
I表示是全班人数
X表示全运会且奥运会志愿者
Y表示非奥运会且非全运会志愿者
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