向量中的三角形“四心”问题
向量与三角形四心的关系
向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。
作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。
使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。
一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。
在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。
一、线共点问题。
解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。
=例1、用向量法求证：△ABC 的三条高共点.分析：得BC 与AC 边上的高AD 与BE 交于H ，连接CH ，只要证明CH ⊥AB 即可。
因此，关键是选好基向量. 设l =，m =，n =，则 由⊥，⊥得 ()()()⎩⎨⎧=-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅000l m n l n m n l n l 即由此得 ∴CH ⊥AB ，同理，BC AH ⊥得证。
类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。
(2)三角形的三条中线交与一点。
二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若-=+，则点O 是△ABC 的重心。
分析：利用-=+及加法的平行四边形法则可证。
拓展：若()AC AB OA OP ++=λ，λ∈(0，+∞)，则点P 的的轨迹一定是△ABC 的_______心。
(重心)例3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若·=·=·，则点O 是△ABC 的垂心。
分析：·=·得·==0，∴OB ⊥AC 同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB 可证。
拓展1：已知O 是△ABC 平面上一定点，若=+λ⎫⎛+C AC B AB cos cos ，λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的_______心。
平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】
平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】平面向量的“四心”是指三角形的外心、内心、重心和垂心，它们各自具有特殊的性质。
在高中数学中，向量问题经常与“四心”问题结合考查。
因此，熟悉向量的代数运算和几何意义是解决这类问题的关键。
四心知识点总结如下：重心：1.重心是三角形三条中线的交点，也是重心到三角形三个顶点距离之和最小的点。
2.重心坐标为$(\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C),\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C))$。
垂心：1.垂心是三角形三条高线的交点，也是垂足到三角形三边距离之积最大的点。
2.若垂心为$O$，则有$OA\cdot OB=OA\cdot OC=OB\cdot OC$。
外心：1.外心是三角形三条中垂线的交点，也是到三角形三个顶点距离相等的点。
2.若外心为$O$，则有$OA=OB=OC$，或$(OA+OB)\cdot AB=(OB+OC)\cdot BC=(OC+OA)\cdot CA$。
内心：1.内心是三角形三条角平分线的交点，也是到三角形三边距离之和最小的点。
2.若内心为$O$，则有$a\cdot OA+b\cdot OB+c\cdotOC=0$，其中$a,b,c$为三角形三边的长度。
下面是一些经典题：1.在$\triangle ABC$中，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$的中点，$M$为重心，则$\vec{AM}$等于（）。
A。
$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$B。
$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$C。
$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ D。
$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$ 答案：C2.在$\triangle ABC$中，$O$为坐标原点，$P$满足$\vec{OP}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，则$P$一定在（）上。
三角形“四心”问题
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
向量与三角形内心外心重心垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB λλλλλλ=++u u r u u u r u u u r1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)=()OA OBAP BPλ+u u u r u u u r2.若M 是OP 上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线: （2）高线:（3）角平分线: （4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点: ()AB AC λ+u u u r u u u r 或()||sin ||sin ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u r u u ur u u u r(2)高线上的动点:()cos cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u r u u u r u u u r, (3)角平分线上的动点:()AB ACAB AC λ+u u u r u u u r u u u r u u u r(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,三、四心与向量的结合 1.BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=u u u r u u u r u u u r r 定理：设是内任意一点，则（记忆：拉力平衡原则） 应用:（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔ 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔ C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ ⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r （4）O 为ABC ∆的外心⇔ ⇔ 0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++2.四心的向量表示：（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔ 1()3PO PA PB PC =++u u u ru u u ru u u ru u u r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）O 为ABC ∆的内心.⇔()()()0AB AC BC BA CA CBOA OB OC AB AC BC BA CA CB•-=•-=•-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （4）O 为ABC ∆的外心 ⇔OC OB OA ==四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题4：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题6：三个不共线的向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =(||BA OB BA ⋅u u u r u u u r u u u r+||CB CB u u u r u u u r ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r = 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则O 点是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则O点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r=22||||OC AB +u u u r u u u r ，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r =()OB OC BC +⋅u u u r u u u r u u u r= ()OC OA CA +⋅u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++u u u r u u u r u u u ru u u r (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH u u u r =()m OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r，则实数m =____________.二、与三角形形状相关的向量问题 题15：已知非零向量ABu u u r 与AC uuu r 满足()||||AB AC BC AB AC +⋅u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r = 0且12||||AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABC 一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形题17：已知△ABC ，若对任意t R ∈，||BA tBC -u u u r u u u r ≥||AC u u u r，则△ABC( )A. 必为锐角三角形B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形D. 答案不确定题18：已知a , b, c 分别为△ABC 中∠A, ∠B, ∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r= 0, 则△ABC 为( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则：(1) △AOB 与△AOC 的面积之比为___________________； (2) △ABC 与△AOC 的面积之比为___________________； (3) △ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________. 四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ uuu r过△ABC 的重心，记CA u u u r = a ,CB u u u r = b , CP u u u r = m a , CQ uuu r = n b , 则11m n+=_____.练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足{|(sin ABM P OP OA C ABλ==++u u u ru u u r u u u r u u u r sin )0}AC B ACλ>u u u r u u u r ，，则ABC ∆的（ ） 一定属于集合M .（A ）重心 （B ）垂心 （C ）外心 （D ）内心GABCMP Q。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(Θ四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABC P CB CB CA BC BA AC AB ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,21211121λλ结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，不共线，则与由于证明：不妨设ABC P ACB CD ab DB DA b ac b a DB DA PC b a c b a c b a c a PCPD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=,0,)()()()(b λλλλλ。
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
数学(理)专家讲坛 平面向量中的三角形“四心”问题
平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍：1．“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC的重心时，有GA ＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13(PA ＋PB ＋PC )(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC ＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33. (2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA ，则H 是△ABC 的垂心．(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心．(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA ＋OB )·BA ＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC |，则点O 是△ABC 的外心．2．关于“四心”的典型例题[例1] 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．[解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，根据平行四边形法则，知AB ＋AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．[答案] 重[点评] 探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之．[例2] 已知△ABC 内一点O 满足关系OA ＋2OB ＋3OC ＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 之值．[解] 延长OB 至B1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1，如图所示，则1OB ＝2OB ，1OC ＝3OC ，由条件，得OA ＋1OB ＋1OC ＝0，所以点O 是△AB 1C 1的重心．从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝13S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积，所以S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝118S . 于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. [点评] 本题条件OA ＋2OB ＋3OC ＝0与三角形的重心性质GA ＋GB ＋GC ＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满足关系λ1OA ＋λ2OB ＋λ3OC ＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3.[例3] 求证：△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[证明] 对于△ABC 的重心G ，易知OG ＝OA ＋OB ＋OC 2，对于△ABC 的垂心H ，设OH ＝m (OA ＋OB ＋OC )，则 AH ＝AO ＋m (OA ＋OB ＋OC )＝(m －1) OA ＋m OB ＋m OC .由AH ·BC ＝0，得[(m －1) OA ＋m OB ＋m OC ](OC －OB )＝0， (m －1) OA ·(OC －OB )＋m (OC 2－OB 2)＝0，因为|OC |＝|OB |，所以(m －1) OA ·(OC －OB )＝0.但OA 与BC 不一定垂直，所以只有当m ＝1时，上式恒成立．所以OH ＝OA ＋OB ＋OC ，从而OG ＝13OH ，得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[引申推广]重心G 与垂心H 的关系：HG ＝13(HA ＋HB ＋HC )． [点评] 这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量．[例4] 设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5 是平面内给定的5个不同点，则使1MA ＋2MA ＋3MA ＋4MA ＋5MA ＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．5D ．10[解析] 根据三角形中的“四心”知识，可知在△ABC 中满足MA ＋MB ＋MC ＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满足本题条件的点也只有1个．[答案] B[点评] 本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想．本题的详细解答过程如下：对于空间两点A ，B 来说，满足MA ＋MB ＝0的点M 是线段AB 的中点；对于空间三点A ，B ，C 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＝0，可认为是先取AB 的中点G ，再连接CG ，在CG 上取点M ，使MC ＝2MG ，则M 满足条件，且唯一；对于空间四点A ，B ，C ，D 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＋MD ＝0，可先取△ABC 的重心G ，再连接GD ，在GD 上取点M ，使DM ＝3MG ，则M 满足条件，且唯一，不妨也称为重心G ；与此类似，对于空间五点A ，B ，C ，D ，E 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＋MD ＋ME ＝0，可先取空间四边形ABCD 的重心G ，再连接GE ，在GE 上取点M ，使EM ＝4MG ，则M 满足条件，且唯一．。
三角形“四心”向量表示
三角形 【2 】四心的向量问题三角形重心.垂心.外心.心坎向量情势的充要前提的向量情势 一．常识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是心坎ABC ∆的充要前提是|CB ||CA |OC |BC ||BA |OB AC|AB |OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使前提变得更简练.假如记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则适才O是ABC∆心坎的充要前提可以写成0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆心坎的充要前提也可所以0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心坎,则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心坎;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠地点直线过ABC ∆的心坎(是BAC ∠的角等分线地点直线); 二．典范(一)．将平面向量与三角形心坎联合考核 例1．O 是平面上的必定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹必定经由过程ABC ∆的（）（A ）外心（B ）心坎（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 偏向上的单位向量分离为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的根本性质知AP 等分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 等分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新鲜.生疏”,起首AB是什么？没见过！想想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简略的根本常识,如向量的加减法.向量的根本定理.菱形的根本性质.角等分线的性质等,若十分熟习,又能敏捷地将它们迁徙到一路,解这道题一点问题也没有.(二)将平面向量与三角形垂心联合考核“垂心定理”例2．H 是△ABC 地点平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 地点平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的（D ） A ．外心B ．心坎C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考核平面向量有关运算,及“数目积为零,则两向量地点直线垂直”.三角形垂心界说等相干常识.将三角形垂心的界说与平面向量有关运算及“数目积为零,则两向量地点直线垂直” 等相干常识奇妙联合.(三)将平面向量与三角形重心联合考核“重心定理” 例4．G 是△ABC 地点平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证实 作图如右,图中GE GC GB =+贯穿连接BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0, 得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=,故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5．P 是△ABC 地点平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证实CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CGBG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点,0OA OB OC ++= ,则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-,如图以OB.OC 为相邻双方构作平行四边形,则OB OC OD +=,由平行四边形性质知12OE OD =,2OA OE=,同理可证其它双方上的这共性质,所所以重心,选D.点评：本题须要扎实的平面几何常识,平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点,所分这比为21λ=.本题在解题的进程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质等相干常识奇妙联合.(四)．将平面向量与三角形外心联合考核 例7若O 为ABC ∆内一点,OA OB OC==,则O 是ABC ∆ 的（ ）CA ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的界说知O 到ABC ∆的三极点距离相等.故O 是ABC ∆ 的外心 ,选B. 点评：本题将平面向量模的界说与三角形外心的界说及性质等相干常识奇妙联合. (五)将平面向量与三角形四心联合考核例8．已知向量1OP ,2OP ,3OP 知足前提1OP +2OP +3OP =0,|1OP |=|2OP |=|3OP |=1,求证△P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下）,温习参考题五B 组第6题） 证实 由已知1OP +2OP =-3OP ,双方平方得1OP ·2OP =21-,同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-,∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3,从而△P1P 2P 3是正三角形.反之,若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中间,则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 地点平面内一点,1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中间.例9．在△ABC 中,已知Q.G.H 分离是三角形的外心.重心.垂心.求证：Q.G.H 三点共线,且QG:GH=1:2.【证实】：以A 为原点,AB 地点的直线为x 轴,树立如图所示的直角坐标系.设A(0,0).B （x 1,0）.C(x 2,y 2),D.E.F 分离为AB.BC.AC 的中点,则有：212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，212(,)BC x x y =- 2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232()()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y即=3QH QG ,故Q.G.H 三点共线,且QG ：GH =1：2【注】：本例假如用平面几何常识.向量的代数运算和几何运算处理,都相当麻烦,而借用向量的坐标情势,将向量的运算完整化为代数运算,如许就将“形”和“数”慎密地联合在一路,从而,许多对称.共线.共点.垂直等问题的证实,都可转化为闇练的代数运算的论证.例10．若O.H 分离是△ABC 的外心和垂心. 求证 OC OB OA OH ++=.证实 若△ABC 的垂心为H ,外心为O ,如图. 连BO 并延伸交外接圆于D ,贯穿连接AD ,CD .∴AB AD ⊥,BC CD ⊥.又垂心为H ,BC AH ⊥,AB CH ⊥, ∴AH ∥CD ,CH ∥AD ,∴四边形AHCD 为平行四边形,∴OC DO DC AH +==,故OC OB OA AH OA OH ++=+=.有名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心.重心.垂心的地位关系：（1）三角形的外心.重心.垂心三点共线——“欧拉线”;（2）三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.“欧拉定理”的向量情势显得特殊简略,可简化成如下的向量问题. 例11．设O .G .H 分离是锐角△ABC 的外心.重心.垂心.求证 OHOG 31=证实 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++=按垂心定理 OC OB OA OH ++=由此可得 OHOG 31=.补充演习1．已知A.B.C 是平面上不共线的三点,O 是三角形ABC 的重心,动点P 知足OP =31 (21OA +OB21+2OC ),则点P 必定为三角形ABC 的（B ）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M,则OM OB OA 2=+,由OP =31 (21OA+OB 21+2OC )可得3MC OM OP 23+=,∴MC MP 32=,即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点,且点P 不过重心,故选B.2．在统一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ知足关系式： 2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2OC＋2AB ,则Ｏ为ABC ∆的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心2．已知△ABC 的三个极点A.B.C 及平面内一点P 知足：0PA PB PC ++=,则P 为ABC ∆的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一 定点,A.B.C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足：)(AC AB OA OP ++=λ,则P 的轨迹必定经由过程△ABC 的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心4．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的动点,且动点P 知足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=,则P 点为三角形的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心5．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的一点,且点P 知足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=,则P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心G A BCMN G图16．在三角形ABC 中,动点P 知足：CP AB CB CA •-=222,则P 点轨迹必定经由过程△ABC 的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB →与AC →知足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC→|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与知足(||||AB AC AB AC +)·=0,即角A 的等分线垂直于BC,∴ AB=AC,又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12,∠A=3π,所以△ABC 为等边三角形,选D ．8.ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m = 19.点O 是三角形ABC 地点平面内的一点,知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的（B）（A ）三个内角的角等分线的交点（B ）三条边的垂直等分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10. 如图1,已知点G 是ABC ∆的重心,过G 作直 线与AB,AC 双方分离交于M,N 两点,且AM xAB =,AN y AC =,则113x y +=.证 点G 是ABC ∆的重心,知GA GB GC ++=O ,得()()AG AB AG AC AG -+-+-=O ,有1()3AG AB AC =+.又M,N,G 三点共线（A 不在直线MN 上）, 于是消失,λμ,使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且,有AG x AB y AC λμ=+=1()3AB AC +,得113x y λμλμ+=⎧⎪⎨==⎪⎩,于是得113x y +=。
空间向量的四心公式
空间向量的四心公式空间向量的四心公式是空间解析几何中的一个重要定理，它描述了一个三角形的四个特殊点。
在本文中，我们将介绍四心公式的定义、性质和应用。
让我们来看一下四心公式的定义。
对于一个三角形ABC，它的四心分别是外心O、垂心H、重心G和内心I。
外心是三角形外接圆的圆心，垂心是三角形三条高的交点，重心是三角形三条中线的交点，内心是三角形内切圆的圆心。
四心公式给出了这四个点的坐标关系。
接下来，我们来看一下四心公式的性质。
首先，外心O是三角形三个顶点的中垂线的交点，即OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB。
其次，垂心H是三角形三个顶点的垂线的交点，即AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。
再次，重心G是三角形三个顶点的中线的交点，即AG=2GM，BG=2GN，CG=2GL，其中M、N、L分别是BC、AC、AB的中点。
最后，内心I是三角形三条边的角平分线的交点，即∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠BCI=∠ACI。
四心公式的应用非常广泛。
首先，它可以用于计算三角形的各种特征，如面积、周长、角度等。
例如，可以利用四心公式计算三角形的外接圆半径、内切圆半径和面积。
其次，四心公式还可以用于解决一些几何问题，如判断三角形的类型（锐角、直角、钝角）、判断四点是否共面等。
此外，四心公式还有一些拓展应用，如用于求解平面内的最小包围圆、最小包围球等。
在实际应用中，四心公式还可以与其他数学知识相结合，解决更复杂的问题。
例如，可以利用向量运算和线性代数的知识，推导出四心公式的几何解释和向量形式。
同时，四心公式也可以与三角函数、三角恒等式等知识相结合，推导出更深入的结论和定理。
空间向量的四心公式是空间解析几何中的一个重要定理，它描述了一个三角形的四个特殊点。
四心公式具有一些重要的性质和应用，可以用于计算三角形的各种特征和解决几何问题。
在实际应用中，四心公式还可以与其他数学知识相结合，解决更复杂的问题。
因此，掌握四心公式对于深入理解和应用空间解析几何非常重要。
向量中的三角形_四心_问题
1 3
1 解： CP OP OC = [(1 )OA (1 )OB 2(1 )OC ] 3
=
1 1 (CA CB) , [(OA OC ) (OB OC )] = 3 3
由平行四边形法则知 CA CB 必过 AB 边的中点，注意到 0 ，所以 P 的 轨迹在 AB 边的中线上，但不与重心重合，故选 D. 题 8：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OC = 0, 则 O 点是 △ABC 的( A. 外心 ) B. 内心 C. 重心 D. 垂心
1
（2）∵G 为重心
1 ∴ OG AG AD (OA OB OC) ，利用（1）结论 3
∴ GH 2OG
1 ∴ OG OA 3
例 3 （2005 全国） △ABC 的外接圆的圆心为 O， 两边上的高的交点为 H，
OH m(OA OB OC) ，则 m=
。
解法一（定理 2 的证明） 解法二（特殊值法）当△ABC 为等腰直角三角形时，O 为 AC 中点，AB、 BC 边上的高的交点 H 与 B 重合， OA OB OC OB OH , ∴m=1。 三、动点过“心” 例 4 O 为平面上一定点，A、B、C 为平面上不共线的三点 ①（2003 全国）若动点 P 满足 OP OA ( 点 P 一定过 △ABC 的（ ）
AB | AB | AC
AC | AC |
) 0, ，则动
②若动点 P 满足 OP OA ( 一定过 △ABC 的（ ）
AB | AB | sin B AB
| AC | sin c AC
) 0, ，则动点 P
向量中三角形四心问题
三角形 “四心”问题1.已知O 是△ABC 内的一点，若=++，则O 是△ABC 的〔 〕A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心2.P 是△ABC 所在平面内与A 不重合的点，满足3=+，则P 是△ABC 的〔 〕A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心3．已知O 是△ABC 内一点，若222==，则O 是△ABC （ ）A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心4.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++= 且PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（ ）（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心5．已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足： )(++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心6.已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足()+∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=,0,21λλ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心7. P 是△ABC 所在平面内一动点，且点P满足()+∞∈⎪⎫ ⎛+=,0,λλ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心8．O 是△ABC+=+=，则O 是△ABC 的〔 〕A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心9.已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满足(),0,cos cos AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 一定过△ABC 的() A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心10.已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满足()+∞∈⎪⎫ ⎛+++=,0,2λλOP ，则动点P 一定过△ABC 〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心11．三角形ABC 中动点P 满足：∙-=222，则P 点轨迹一定过△ABC （） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心12.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为() A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形13.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则m =_____________；14．ABC ∆的重心为O ，两条边上的高的交点为H ，且边长AB =3，AC =2，则OH BC ⋅=_____________．。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GCGB GA GC GB GA GCGB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,202的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HB HA HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
三角形的“四心”与平面向量
线( O ， G ， H 三点连线称为欧拉线)，且 OG ＝ GH .
三角形的“四心”与平面向量
题型一 三角形的“重心”与平面向量
重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点
到对边中点距离之比为2∶1.
在向量表达形式中，设点 G 是△ ABC 所在平面内的一点，则当点 G
1
是△ ABC 的重心时，有 ＋ ＋ ＝0或 ＝ ( ＋ ＋ )(其
｜｜cos
所以 ＝ － ＝λ
所以 · ＝ ·λ
＋
｜｜cos
｜｜cos
｜｜cos
＋
＋
，
｜｜cos
｜｜cos
｜ ｜)＝0，
所以 ⊥ ，所以点 P 在 BC 的高线上，
即动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心.
示△ AB 1 C 1的面积，
1
1
所以 S △ COA ＝ S ， S △ AOB ＝ S ，
9
6
1
1
1
1
S △ BOC ＝ △1 ＝ × △1 1 ＝ S .
2
2
3
18
1
1
1
于是 S △ BOC ∶ S △ COA ∶ S △ AOB ＝
平行四边形为OAC'B， OC 与 AB 交于点 D (图略)，则 D 为 AB 的中点，由
＋ ＝ ′ 得， ＝－ ′ ，即 C ， O ， D ，C'四点共线，故 CD
为△ ABC 的中线，所以 O 在边 AB 的中线上，同理可证， O 在边 AC 的中
线上， O 在边 BC 的中线上，所以 O 是三角形 ABC 的重心.
三角形四心与向量典型问题分析学生版1
三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体, 有方向, 大小, 双重性, 不能比较大小。
在高中数学“平面向量”的学习中, 一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面, 我们又以向量为工具, 运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中, 用平面向量解决平面几何问题时, 首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示, 然后选择适当的基底向量, 将相关向量表示为基向量的线性组合, 把问题转化为基向量的运算问题, 最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点, 应用向量相关知识, 巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。
既学习了三角形四心的一些特定性质, 又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。
一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点: 重心将中线长度分成2: 1；（2）垂心——高线的交点: 高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）: 角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）: 外心到三角形各顶点的距离相等。
二、典例析解（一）、“重心”的向量风采【命题1】已知是所在平面上的一点, 若, 则是的重心. 如图⑴.【命题2】已知是平面上一定点, 是平面上不共线的三个点, 动点满足, , 则的轨迹一定通过的重心.（二）、“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点, 若, 则是的垂心. 如图⑶.【命题4】已知是平面上一定点, 是平面上不共线的三个点, 动点满足, , 则动点的轨迹一定通过的垂心.（三）、“内心”的向量风采【命题5】已知为所在平面上的一点, 且, , . 若, 则是的内心.【命题6】 已知 是平面上一定点, 是平面上不共线的三个点, 动点 满足 , , 则动点 的轨迹一定通过 的内心.（四）、“外心”的向量风采【命题7】 已知 是 所在平面上一点, 若 , 则 是 的外心.【命题7】 已知 是平面上的一定点, 是平面上不共线的三个点, 动点 满足 , , 则动点 的轨迹一定通过 的外心。
补充：平面向量中的三角形的四心问题
）距离之比为 2:1？
（二）垂心：高线的交点，常用字母 H 来表示
线量的公交式点：G（A外接GB圆的G圆C心）0常用G字是母OA来BC表的示重．心垂心O的向是量平表面示内：任H意A一 H点B ， HB HC HC HA H 为 ABC 的垂心.
（2）内心的向量式：AB c ， AC b ，BC a ，且aIA bIB cIC 0 ，
坐的外标中，心(公O点且在式B.三a：I角OACxy形)b的.BIxBy内C11部cxy33I(2，2OC钝Axy3角30O三，C角).形ACI的是外0心在三△角A形（BC3的 ）的外设内(部（O心O，为A2。）△直外OA角BB心C三)所的.A角在向B形平量面(式O内：B任意OOA一C2点)，.BOOCBI2(aOOOACA2aOb OCbB)O.Ac是cCO△C 0A， BCI
的外心 是△
的内心。※ 锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形
OA bOB cOC ， I 是△ABC
（4）内心的坐外标心公在式斜：边内的心中I (点ax. A
bxB cxC abc
,
ayA byB cyC abc
)
且 OG 1 (OA OB OC)
三角形H各为顶3点A的B距C离的相垂等心；.
（三）内（心四：）角外平心分：线的中交垂点线（的内交切点圆（的外圆心接）圆常的用圆字心母）I 来常表用示字母 O 来表示．
公式： G 是 ABC 字向量母式I 来：表OA示2 OB
2的重O心C2 SAOBG是△SAACBGC的S外BC（心G 1．）13角S平（A分B1C）线外上心的任到意三点角到形角各两顶边点的的距离距相离等相；等；
三角形四心与向量问题
三角形四心与向量的结合知识点一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证：如图 ++2=+= ∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ ⊥⇔同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：b c 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bc +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB bOA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
B CDBCD一、与三角形“四心”相关的向量问题例1： O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例4：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC C λ+=++ , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心例6：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CAOA AB CA ⋅+ =(||BA OB BA ⋅ +||CB CB) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心例7：已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++(,0)R λλ∈≠，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点例8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++= 0, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++(其中P为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例10：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例11：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+ =22||||OC AB + ，则O 点是△ABC 的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心例12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅ =()OB OC BC +⋅ =()OC OA CA +⋅= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例14：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c ++=++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心二、向量的基本关系(共线、垂直、夹角)例15：在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+，则λ=( A )A.23B.13C.13-D.23-例16：如图，在△ABC 中，点O 是BC 的 中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同 的两点M 、N ，若AB mAM = ，AC nAN =，则m + n =______.例17：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,CB = b , CP = m a , CQ = n b , 则11m n+=__________.AB C MONEGABCMP Q答案例1.分析：分别为方向上的单位向量，∴+平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例2.分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+∴λ2+= += λ2=∴ AP ∴//AD∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例3.由已知得()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+， 由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C = ，∴()||sin AP AB AC AB Bλ=+ ， 设BC 的中点为D ，则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选A .例4.分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.+BC ⋅++BCDC==0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .例5.设BC 的中点为D ，则2OB OC OD +=，则由已知得()||cos ||cos AB ACDP AB B AC C λ=+， ∴()||cos ||cos AB BC AC BCDP BC AB B AC Cλ⋅⋅⋅=+⋅=||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC CAB B AC C πλ⋅-⋅+=(||||)BC BC λ-+ = 0 .∴DP ⊥BC ，P 点在BC 的垂直平分线上，故动点P 的轨迹通过△ABC 的外心.选C .例 6.||||AB CA AB CA +表示与△ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量，由()||||AB CAOA AB CA ⋅+= 0知OA 垂直∠A 的外角平分线，因而OA 是∠A 的平分线，同理，OB 和OC 分别是∠B 和∠C 的平分线，故选C .例7.CP OP OC =- =1[(1)(1)2(1)]3OA OB OC λλλ-+---=1[()()]3OA OC OB OC λ--+-=1()3CA CB λ-+ , 由平行四边形法则知CA CB +必过AB 边的中点，注意到0λ≠，所以P 的轨迹在AB 边的中线上，但不与重心重合，故选D.例8.若OA OB OC ++ = 0, 则OA OB OC +=- ，以OA 、OB为邻边作平行四边形OAC 1B ，设OC 1与AB 交于点D ，则D 为AB 的中点，有1OA OB OC +=，得1OC OC =-，即C 、O 、D 、C 1四点共线，同理AE 、BF 亦为△ABC 的中线，所以O 是△ABC 的重心. 选C .例9.由已知得3PO OA OP OB OP OC OP =-+-+-，∴33PO OP OA OB OC +=++ ，即OA OB OC ++= 0，由上题的结论知O 点是△ABC 的重心. 故选C .例10.由OA OB OB OC ⋅=⋅ ，则0OA OB OB OC ⋅-⋅= ，即()0OB OA OC ⋅-=，得0OB CA ⋅= ，所以OB CA ⊥ . 同理可证OC AB ⊥ ，OA BC ⊥ . ∴O 是△ABC 的垂心. 选D.例11.由已知得2222||||||||OA OB CA BC -=-⇒()()OA OB OA OB -⋅+ =(CA - )()BC CA BC ⋅+⇒()BA OA OB ⋅+ =()CA CB BA +⋅⇒()BA OA OB AC BC ⋅+++ = 0⇒2BA OC ⋅ = 0，∴OC ⊥BA.同理OA CB ⊥ ，OB AC ⊥. 故选A .例12.由已知得： ()()OA OB OB OA +⋅- =()()OB OC OC OB +⋅- =()()OC OA OA OC +⋅- = 02222OB OA OC OB ⇔-=- =22OA OC - = 0||||||OA OB OC ⇔==. 所以O 点是△ABC 的外心. 选A .例13 ∵OB OA AB =+ ，OC OA AC =+ ，则()a b c OA bAB cAC ++++= 0，得()||||bc AB AC AO a b c AB AC =+++. 因为||AB AB 与||ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，设||||AB ACAP AB AC =+，则AP 平分∠BAC. 又AO 、AP 共线，知AO 平分∠BAC. 同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，所以O 点是△ABC 的内心.例14 由已知得bPB cPC cPA bPA PO PA a b c +--=+++ =bAB cACPA a b c++++，∴bAB cAC AO a b c +=++ =()bc AB AC a b c c b +++ =()||||bc AB ACa b c AB AC +++， 由上题结论知O 点是△ABC 的内心. 故选B.例16 解1：取特殊位置. 设M 与B 重合，N 与C重合，则m=n=1, 所以m+n=2.解2：1122AO AB AC =+ =22m n AM AN + ，∵M 、O 、N 三点共线，∴122m n +=,∴m + n = 2.解3：过点B 作BE ∥AC, 则(1)BE NC n AN ==- ，(1)BM m AM =-.又||||||||BE BM AN AM =，∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 .例17 23CG CM = =13a +13b =1133CP CQ m n+, ∵P 、G 、Q 三点共线，∴11133m n +=，∴11m n+= 3 .。
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向量中的三角形“四心”问题
沂源一中李之帅 256100
学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。
证明：由，得，即
，所以。
同理可证。
故O为△ABC的垂心。
结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。
证明：由，得，所以。
同理可证。
容易得到
由结论1知O为△ABC的垂心。
结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G 为△ABC的重心。
证明：由，得。
设BC边中点为M，则
，所以，即点G在中线AM上。
设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。
结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心。
证明：由，得，得。
由结论3知点G为△ABC的重心。
结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足
，则点P为△ABC的内心。
证明：由于，可得。
设与
同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。
因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。
由，知点P在∠A的平分线上。
同理可证点P在∠B的平分线上。
故点G为△ABC的内心。
结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的外心。
证明：因为，所以
同理得由题意得
，所以，得。
故点O为△ABC的外心。
说明：以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。