北京市2020年中考数学真题模拟题汇编专题12图形的性质之解答题(1)(含解析)
北京市北京市2020年中考数学试卷及参考答案
；结合上述分析，进一步探究发现，对于
时，y随x的增大而________．
时，对于函数 ，当
时，y与x的几组对应值如下表：
x0123y01
综合上表，进一步探究发现，当 图象．
时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系
中，画出当
时的函数y的
（3） 过点(0，m)（
）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数
∴∠ABP=________．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上． 又∵∠BPC= ∠BAC（________）（填推理依据） ∴∠ABP= ∠BAC 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1） 求证：四边形OEFG是矩形；
（2） 若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
的弦 （ 分别为点A，B的对应点），线段 长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1） 如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦 和 ，则这两条弦的位置关系是________；在点
中，连接点A与点________的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2） 若点A，B都在直线
上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 ，求 的最小值；
于点F，连接EF．
（1） 如图1，当E是线段AC的中点时，设
，求EF的长（用含 的式子表示）；
（2） 当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O
（1） 求证：∠ADC=∠AOF； （2） 若sinC= ，BD=8，求EF的长．
2020年北京市中考数学试卷-含答案详解
2020年北京市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )A. 圆柱B. 圆椎C. 三棱柱D. 长方体2. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为( )A. 0.36×105B. 3.6×105C. 3.6×104D. 36×1033. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是( )A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1>∠4+∠5D. ∠2<∠54. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )A. B. C. D.5. 正五边形的外角和为( )A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°6. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足−a<b<a，则b的值可以是( )A. 2B. −1C. −2D. −37. 不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是( )A. 14B. 13C. 12D. 238. 有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是( )A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 若代数式1x−7有意义，则实数x的取值范围是．10. 已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是______．11. 写出比√2大且比√15小的整数______．12. 方程组{x−y=13x+y=7的解为．13. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为______．14. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上(不与点B，C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是______(写出一个即可)．15. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC______S△ABD(填“>”，“=”或“<”)．16. 如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17. 计算：(1)−1+√18+|−2|−6sin45°．3四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。
2020年北京市西城区中考数学一模试卷(解析版)
2020年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为（）A．45×106B．4.5×107C．4.5×108D．0.45×1082．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．正三棱柱3．（2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝2，则点A，点B表示的数分别是（）A．﹣，B．，﹣C．0，2D．﹣2，2 5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．65°B．35°C．32.5°D．25°6．（2分）甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为甲，乙，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是（）A．甲＝乙，s甲2＞s乙2B．甲＝乙，s甲2＜s乙2C．甲＞乙，s甲2＞s乙2D．甲＜乙，s甲2＜s乙27．（2分）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m8．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；②若m＞1，则＜m2＜m；③若m＜＜m2，则m＜0；④若m2＜m＜，则0＜m＜1．其中命题成立的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．11．（2分）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式．12．（2分）如果a2+a＝1，那么代数式﹣的值是．13．（2分）如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F．若DE＝，则BC的长为．14．（2分）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则AC的长为，BD的长为．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为．16．（2分）某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．每日接待游客人数（单位：万人）游玩环境评价0≤x＜5好5≤x＜10一般10≤x＜15拥挤15≤x＜20严重拥挤根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（填写所有正确结论的序号）．①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）17．（5分）计算：（）﹣1+（1﹣）0+|﹣|﹣2sin60°．18．（5分）解不等式组：19．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．20．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC 于点E．（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）若AD＝2，cos∠ABE＝，求AC的长．21．（5分）先阅读下列材料，再解答问题．尺规作图已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．小明的做法如下：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）设计作图步骤，完成作图作法：如图3，①延长BC至点E；②分别作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE；③DQ与CP交于点F．∴四边形DBCF即为所求．（3）推理论证证明：∵∠ECP＝∠EBA，∴CP∥BA．同理，DQ∥BE．∴四边形DBCF是平行四边形．请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．22．（6分）运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解A，B两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）．在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性．他的测试和分析过程如下，请补充完整．（1）收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下：A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55（2）整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：平均数众数中位数方差A84.784.588.91B83.796184.01（4）得出结论根据以上信息，判断种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：（至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．23．（6分）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若＝，①补全图形；②求证：OF＝OB．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm01234y1/cm 4.00 3.69 2.130y2/cm 3.00 3.91 4.71 5.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为cm；②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为cm．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象的交点P位于第一象限．（1）若点P的坐标为（1，6），①求m的值及点A的坐标；②＝；（2）直线l2：y＝2kx﹣2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1，①写出点P的坐标（用含k的式子表示）；②当PQ≤P A时，求m的取值范围．26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N可以重合），使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），点P在线段DE上运动（点P 可以与点D，E重合），连接OP，CP．①线段OP的最小值为，最大值为，线段CP的取值范围是；②在点O，点C中，点与线段DE满足限距关系；（2）如图2，⊙O的半径为1，直线y＝x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．2020年北京市西城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为（）A．45×106B．4.5×107C．4.5×108D．0.45×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：将数据45000000用科学记数法可表示为：4.5×107．故选：B．2．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．正三棱柱【分析】由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：B．3．（2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．4．（2分）在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝2，则点A，点B表示的数分别是（）A．﹣，B．，﹣C．0，2D．﹣2，2【分析】根据相反数的定义即可求解．【解答】解：由A、B表示的数互为相反数，且AB＝2，点A在点B的左边，得点A、B表示的数是﹣，．故选：A．5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．65°B．35°C．32.5°D．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝65°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，∴∠ADC＝∠ABC＝25°，故选：D．6．（2分）甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为甲，乙，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是（）A．甲＝乙，s甲2＞s乙2B．甲＝乙，s甲2＜s乙2C．甲＞乙，s甲2＞s乙2D．甲＜乙，s甲2＜s乙2【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．【解答】解：（1）甲＝（8×4+9×2+10×4）＝9；＝（8×3+9×4+10×3）＝9；乙s甲2＝[4×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝0.8；s乙2＝[3×（8﹣9）2+4×（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝0.7；∴甲＝乙，s甲2＞s乙2，故选：A．7．（2分）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．【解答】解：根据物高与影长成正比得：，即解得：DE＝1.0，则BE＝2.7+1.0＝3.7米，同理，即：，解得：AB≈4．答：树AB的高度为4米，故选：C．8．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；②若m＞1，则＜m2＜m；③若m＜＜m2，则m＜0；④若m2＜m＜，则0＜m＜1．其中命题成立的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④【分析】判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【解答】解：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；，当m＝﹣时，，是真命题；②若m＞1，则＜m2＜m，当m＝2时，，原命题是假命题；③若m＜＜m2，则m＜0，当m＝﹣时，，原命题是假命题；④若m2＜m＜，则0＜m＜1，当m＝时，，是真命题；故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解答】解：若在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．10．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．11．（2分）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式y＝x2﹣1．【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．【解答】解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1），故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1．故答案为：y＝x2﹣1．12．（2分）如果a2+a＝1，那么代数式﹣的值是1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2+a的值整体代入即可得．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝，当a2+a＝1时，原式＝1，故答案为：1．13．（2分）如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F．若DE＝，则BC的长为．【分析】根据正方形的性质、角平分线的性质及等腰直角三角形的三边比值为1：1：来解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝90°，∠CDB＝45°，BC＝CD．∴EC⊥CB．又∵BE平分∠CBD，EF⊥BD，∴EC＝EF．∵∠CDB＝45°，EF⊥BD，∴△DEF为等腰直角三角形．∵DE＝，∴EF＝1．∴EC＝1．∴BC＝CD＝DE+EC＝+1．故答案为：+1．14．（2分）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则AC的长为5，BD的长为3．【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：由勾股定理得：AC＝＝5，S△ABC＝BC×AE＝×BD×AC，∵AE＝3，BC＝5，即，解得：BD＝3．故答案为：5，3．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为（6，6）．【分析】由题意得出M在AB、BC的垂直平分线上，则BN＝CN，求出ON＝OB+BN＝6，证△OMN是等腰直角三角形，得出MN＝ON＝6，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵⊙M是△ABC的外接圆，∴点M在AB、BC的垂直平分线上，∴BN＝CN，∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），∴OA＝OB＝4，OC＝8，∴BC＝4，∴BN＝2，∴ON＝OB+BN＝6，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OM⊥AB，∴∠MON＝45°，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝ON＝6，∴点M的坐标为（6，6）；故答案为：（6，6）．16．（2分）某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．每日接待游客人数（单位：万人）游玩环境评价0≤x＜5好5≤x＜10一般10≤x＜15拥挤15≤x＜20严重拥挤根据以上信息，以下四个判断中，正确的是①④（填写所有正确结论的序号）．①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为．【分析】根据统计图与统计表，结合相关统计或概率知识逐个选项分析即可．【解答】解：①根据题意每日接待游客人数10≤x＜15为拥挤，15≤x＜20为严重拥挤，由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1日至5日有2天，25日﹣30日有2天，共4天，故①正确；②本题中位数是指将30天的游客人数从小到大排列，第15与第16位的和除以2，根据统计图可知0≤x＜5的有16天，从而中位数位于0≤x＜5范围内，故②错误；③从统计图可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天，10上下的估算为10，则（10×8+15×2﹣5×10）÷16＝3.25，可以考虑为给每个0至5的补上3.25，则大部分大于5，而0至5范围内有6天接近5，故平均数一定大于5，故③错误；④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为：×＝，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）17．（5分）计算：（）﹣1+（1﹣）0+|﹣|﹣2sin60°．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2+1+﹣2×＝3+﹣＝3．18．（5分）解不等式组：【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＜4，由②得：x＞，则不等式组的解集为＜x＜4．19．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【分析】（1）先根据方程有两个实数根得出△＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m2＞0，解之可得；（2）在以上所求m的范围内取一值，如m＝0，再解方程即可得．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m2＞0，解得m≥﹣；（2）取m＝0，此时方程为x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，则x＝0或x﹣1＝0，解得x＝0或x＝1（答案不唯一）．20．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC 于点E．（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）若AD＝2，cos∠ABE＝，求AC的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，求得AC＝BD，于是得到结论；（2）根据矩形的性质得到∠BAD＝∠ADC＝90°，求得∠CAD＝∠ABE，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；（2）解：∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∵BE⊥AC，∴∠BAC+∠ABE＝90°，∴∠CAD＝∠ABE，在Rt△ACD中，AD＝2，cos∠CAD＝cos∠ABE＝，∴AC＝5．21．（5分）先阅读下列材料，再解答问题．尺规作图已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．小明的做法如下：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）设计作图步骤，完成作图作法：如图3，①延长BC至点E；②分别作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE；③DQ与CP交于点F．∴四边形DBCF即为所求．（3）推理论证证明：∵∠ECP＝∠EBA，∴CP∥BA．同理，DQ∥BE．∴四边形DBCF是平行四边形．请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．【分析】根据平行四边形的判定方法即可作图并证明．【解答】解：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）设计作图步骤，完成作图作法：如图，①以点C为圆心，BC长为半径画弧；②以点D为圆心，BC长为半径画弧，；③两弧交于点F．∴四边形DBCF即为所求．（3）推理论证证明：∵CF＝BD，DF＝BC．∴四边形DBCF是平行四边形．22．（6分）运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解A，B两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）．在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性．他的测试和分析过程如下，请补充完整．（1）收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下：A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55（2）整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：平均数众数中位数方差A84.784.588.91B83.796184.01（4）得出结论根据以上信息，判断A种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：∵A种语音的平均数＝84.7，B种语音的平均数＝83.7，∴A种语音的平均数＞B种语音的平均数，故A种语音识别输入软件的准确性较好，∵A种语音的方差＝88.91，B种语音的方差＝184.01，∴88.91＜184，01，∴A种语音识别输入软件的准确性较好．（至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．【分析】（2）根据题意补全频数分布直方图即可；（3）根据众数和中位数的定义即可得到结论；（4）根据A，B两种语音识别输入软件的准确性的方差的大小即可得到结论．【解答】解：（2）根据题意补全频数分布直方图如图所示；（3）补全统计表；平均数众数中位数方差A84.79284.588.91B83.79688.5184.01（4）A种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：∵A种语音的平均数＝84.7，B种语音的平均数＝83.7，∴A种语音的平均数＞B种语音的平均数，故A种语音识别输入软件的准确性较好，∵A种语音的方差＝88.91，B种语音的方差＝184.01，∴88.91＜184，01，∴A种语音识别输入软件的准确性较好．故答案为：A，∵A种语音的平均数＝84.7，B种语音的平均数＝83.7，∴A种语音的平均数＞B种语音的平均数，故A种语音识别输入软件的准确性较好，∵A种语音的方差＝88.91，B种语音的方差＝184.01，∴88.91＜184，01，∴A种语音识别输入软件的准确性较好．23．（6分）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若＝，①补全图形；②求证：OF＝OB．【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）①根据题意画出图形；②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠OAC+∠BCA＝∠OCA+∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）①解：补全图形如图2；②证明：∵∠OAB＝90°，∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，∴BA＝BC，∵BA＝BC，OA＝OC，∴BD是AC的垂直平分线，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，∴∠OBF＝∠F＝30°，∴OF＝OB．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm012342.130y1/cm 4.00 3.69 3.09（答案不唯一）y2/cm 3.00 3.91 4.71 5.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为0.83或2.49（答案不唯一）cm；②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 5.32（答案不唯一）cm．【分析】（1）利用图象法解决问题即可；（2）描点绘图即可；（3）①分PB＝PB、PC＝BC、PB＝BC三种情况，分别求解即可；②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，观察图象即可求解．【解答】解：（1）由画图可得，x＝4时，y1≈3.09cm（答案不唯一）．故答案为：3.09（答案不唯一）．（2）描点绘图如下：（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC＝PB，当x≈2.49cm时，y2＝5cm，即PC＝BC，观察图象可知，PB不可能等于BC，故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC＝y2≈5.32cm，故答案为5.32（答案不唯一）．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象的交点P位于第一象限．（1）若点P的坐标为（1，6），①求m的值及点A的坐标；②＝；（2）直线l2：y＝2kx﹣2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1，①写出点P的坐标（用含k的式子表示）；②当PQ≤P A时，求m的取值范围．【分析】（1）①把P（1，6）代入函数y＝（x＞0）即可求得m的值，直线l1：y＝kx+2k （k＞0）中，令y＝0，即可求得x的值，从而求得A的坐标；②把P的坐标代入y＝kx+2k即可求得k的值，进而求得B的坐标，然后根据勾股定理求得PB和P A，即可求得的值；（2）①把x＝1代入y＝kx+2k，求得y＝3k，即可求得P（1，3k）；②分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2+，若PQ＝P A，则＝1，根据平行线分线段成比例定理则＝＝1，得出MN＝MA＝3，即可得到2+﹣1＝3，解得k＝1，根据题意即可得到当＝≤1时，k≥1，则m ＝3k≥3．【解答】解：（1）①令y＝0，则kx+2k＝0，∵k＞0，解得x＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，0），∵点P的坐标为（1，6），∴m＝1×6＝6；②∵直线l1：y＝kx+2k（k＞0）函数y＝（x＞0）的图象的交点P，且P（1，6），∴6＝k+2k，解得k＝2，∴y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∵点A的坐标为（﹣2，0），∴P A＝＝，PB＝＝，∴＝＝，故答案为；（2）①把x＝1代入y＝kx+2k得y＝3k，∴P（1.3k）；②由题意得，kx+2k＝2kx﹣2，解得x＝2+，∴点Q的横坐标为2+，∵2+＞1（k＞0），∴点Q在点P的右侧，如图，分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2+，若PQ＝P A，则＝1，∴＝＝1，∴MN＝MA，∴2+﹣1＝3，解得k＝1，∵MA＝3，∴当＝≤1时，k≥1，∴m＝3k≥3，∴当PQ≤P A时，m≥3．26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，求出b＝2a，将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，即可求解；（3）满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，解得：b＝2a，故y＝ax2+bx+a+2＝a（x+1）2+2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣x+；令y＝0，即﹣x2﹣x+＝0，解得：x＝﹣3或1，故点B的坐标为：（1，0）；（2）由（1）知：y＝a（x+1）2+2，点C在第三象限，即点C在点A的下方，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，而（x1+x2）＝﹣1，即x2＝﹣2﹣x1，故﹣1＜x2＜0；（3）∵抛物线的顶点为（﹣1，2），∴点D（﹣1，0），∵∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，∴抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，∴满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，当x＝0时，y＝ax2+bx+a+2＝a+2＜0，解得：a＜﹣2，故a的取值范围为：a＜﹣2．27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题意补全图1即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠P AC＝∠QAC，得到∠CAQ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；（2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°，∴AP＝AQ，∴∠APQ＝∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°，∴∠Q＝∠BFC，。
(北京市)2020中考生物真题分类汇编：专题12 细菌和真菌(含解析版答案)
专题12 细菌和真菌一、单选题1．（2019·北京中考真题）下列相关食物的保存方法，错误的是（）A．真空包装粽子B．常温保存熟食C．灭菌保存牛奶D．冷藏运输荔枝2．（2019·北京中考模拟）下列关于乳酸菌的叙述，不正确的是（）A．具有细胞壁B．没有成形的细胞核C．进行分裂生殖D．是制作米酒的菌种3．（2019·北京中考模拟）完整的苹果果实可保存很长时间，而破损的苹果果实会很快腐烂，对此分析错误的是（）A．果皮最外层属于上皮组织，起到保护作用B．果肉细胞中含有微生物生长所需要的糖分C．腐烂与微生物的快速繁殖有关D．导致腐烂的微生物属于分解者4．（2019·北京中考模拟）下列实例与技术搭配错误的是（）A．用乳酸菌制酸奶-发酵B．紫花白花玉兰同株-嫁接C．快速繁殖蝴蝶兰-植物组织培养D．“多莉”羊的诞生-转基因5．（2019·北京中考模拟）桐桐喜欢吃图中所示的汉堡，组成汉堡的各部分食物中属于发酵食品的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6．（2019·北京中考模拟）下列关于酵母菌的叙述, 不正确的是A．具有细胞壁B．分类上属于原核生物C．没有叶绿体D．能独立完成生命活动7．（2019·北京中考模拟）下列四组食品的制作过程都运用了微生物发酵技术的一组是A．食醋、泡菜、米酒B．馒头、果汁、葡萄酒C．年糕、酸奶、面筋D．豆腐、酱油、腊肉8．（2019·北京中考模拟）“王致和”腐乳是北京特色食品之一。
下列叙述正确的是（）A．腐乳与北京果脯的制作方法相同B．腐乳的制作利用了微生物的发酵作用C．蒸煮豆腐后要趁热快速接种D．低温条件有利于缩短腐乳制作时间9．（2019·北京中考模拟）下列四种生物中，只由一个细胞构成，且没有成形细胞核的是（）A．衣藻B．酵母菌C．幽门螺杆菌D．大肠杆菌噬菌体10．（2019·北京中考模拟）唐代诗人王翰在他的《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的诗句，可见中国的酒文化源远流长。
2020年北京市中考数学一模试卷 (含解析)
2020年北京市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.图中三视图对应的几何体是()A. B.C. D.2.2013年12月2日，“嫦娥三号”从西昌卫星发射中心发射升空，并于12月14日在月球上成功实施软着陆．月球距离地球平均为38万公里，将数38万用科学记数法表示，其结果()A. 3.8×104B. 38×104C. 3.8×105D. 3.8×1063.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2=100°，则∠1等于()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()个A. 0B. 1C. 2D. 35.八边形的外角和等于()。
A. 180ºB. 360ºC. 1080ºD. 1440º6.实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是()A. |m|<1B. 1−m>1C. mn>0D. m+1>07.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字−1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数字都是正数的概率为()A. 18B. 16C. 14D. 128.有一个安装有进出水管的30升容器，水管每单位时间内进出的水量是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示.根据下图信息给出下列说法：①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中水量在减少；③若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满.以上说法中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.8.若代数式1+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为____．x−110.已知关于x的方程x2−2(m+1)x+m2−3=0，当m取______时，方程有两个相等的实数根．11. 已知k 为整数，且满足√6<k <√10，则k 的值是______． 12. 方程组{x +y =16,5x +3y =72的解是______．13. 如图，双曲线y =kx 于直线y =−12x 交于A 、B 两点，且A(−2,m)，则点B 的坐标是______．14. 如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，若AB =AC +CD ，那么∠ACB 与∠ABC 有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC 到E ，使CE =CD ，连接DE.由AB =AC +CD ，可得AE =AB.又因为AD 是∠BAC 的平分线，可得△ABD≌△AED ，进一步分析就可以得到∠ACB 与∠ABC 的数量关系． (1)判定△ABD 与△AED 全等的依据是______； (2)∠ACB 与∠ABC 的数量关系为：______．15. 如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A ，B ，C ，D 均为格点．则△ACD 的面积为______．16.某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①甲、乙要么都去，要么都不去；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去．”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是()A.甲、丙B.甲、丁C.乙、丁D.丙、丁三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：|−2|−3−1+sin30°+√16．18.解不等式组：{2x−3>1 2−x3>x3−2．19.化简求值：已知x2−2x=2，求代数式(x−1)2+(x+3)(x−3)+(x−3)(x−1)的值．20.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC.求证：∠ACO=∠BCD．21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若BF=8，DF=4，求CD的长．x，且经过点A(2,3)，与22.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y=12x轴交于点B．(1)求这个一次函数的解析式；(2)设点C在y轴上，当AC=BC时，求点C的坐标．23.如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B.点D在⊙O上，且BC=BD，连接CD交⊙O于点E.过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F．(1)求证：∠MED=∠MDE．(2)连接BE，若ME=3，MB=2.求BE的长．24.已知关于x的一次函数y=mx−3m2+12，请按要求解答问题：(1)m为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？(2)若函数图象平行于直线y=−x，求一次函数的表达式；(3)若点(0,−15)在函数图象上，求m的值．25.某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩(单位：环)如下表：(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是______ 环，乙的平均成绩是______ 环；(2)分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；(3)根据(1)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a过点A(−1,0)．(1)求抛物线的对称轴；(2)直线y=x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C.如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围;(3)在(2)的条件下，抛物线与线段BC的交点记为D，若D为线段BC的三等分点，求出a的值．27.如图，已知AB=12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，求AE的长．28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若点P与圆心O重合，则S P为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则S P为线段AP的长度．图1为点P在⊙O外的情形示意图．)，则S B=______；S C=______；S D=______；(1)若点B(1,0)，C(1,1)，D(0,13(2)若直线y=x+b上存在点M，使得S M=2，求b的取值范围；(3)已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且S T≥S R，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查三视图，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．由主视图和左视图可得此几何体为下部是柱体，根据俯视图可判断出此上面是圆台，由此即可得出结论．解：从主视图推出这两个几何体接触部分的宽度相同，从俯视图推出下面是圆柱体，上面是圆台．由此可以判断对应的几何体是C．故选C．2.答案：C解析：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：38万=3.8×105．故选：C．3.答案：C解析：解：∵∠1+∠2=100°且∠1=∠2，∴∠1=∠2=50°，故选：C．由∠1+∠2=100°且∠1=∠2可得答案．本题主要考查对顶角的概念，解题的关键是掌握对顶角相等这一性质．4.答案：C解析：此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选：C．5.答案：B解析：本题主要考查的是多边形的外角和的有关知识，由题意利用多边形的外角和等于360°直接求解即可．解：八边形的外角和为360°．故选B．6.答案：B解析：本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；右边的数总比左边的数大．利用数轴表示数的方法得到m<0<1<n，|m|>1，然后对各选项进行判断．解：利用数轴得m<0<1<n，|m|>1，所以−m>0，1−m>1，mn<0，m+1<0．故选B．7.答案：C解析：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图如下：∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，∴记录的两个数字都是正数的概率是416=14．故选C．8.答案：C解析：本题考查了一次函数的图象，正确理解图象中表示的实际意义是关键.根据图象可以得到单独打开进水管4分钟注水20升，而同时打开放水管，8分钟内放进10升水，据此即可解答．解：①每分钟进水204=5(升)，则①正确；②当4≤x≤12时，y随x的增大而增大，因而容器中水量在增加，则②错误；③每分钟放水5−30−2012−4=5−1.25=3.75(升)，则放完水需要303.75=8(分钟)，故③正确；④同时打开进水管和放水管，每分钟进水30−2012−4=1.25(升)，则同时打开将容器灌满需要的时间是301.25=24(分钟)，④正确．故选C．9.答案：x≠1解析：根据分式有意义的条件解答即可．【详解】∵1+1在实数范围内有意义，x−1∴x−1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0．10.答案：−2解析：解：∵关于x的方程x2−2(m+1)x+m2−3=0有两个相等的实数根，∴△=[−2(m+1)]2−4×1×(m2−3)=8m+16=0，解得：m=−2．故答案为：−2．根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．11.答案：3解析：本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出√6和√10的范围是解此题的关键．先估算出√6和√10的范围，再得出答案即可．解：∵2<√6<3，3<√10<4，∴整数k =3，故答案为3．12.答案：{x =12y =4解析：解：{ x +y =16 ①5x +3y =72 ②②−3×①，得2x =24，∴x =12．把x =12代入①，得12+y =16，∴y =4．∴原方程组的解为{x =12y =4． 故答案为：{x =12y =4． 用代入法或加减法求解二元一次方程组即可．本题考查的是二元一次方程的解法．掌握二元一次方程组的代入法、加减法是解决本题的关键． 13.答案：(2,−1)解析：【试题解析】解：当x =−2时，y =−12×(−2)=1，即A(−2,1)，由正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称，∴B(2,−1)，故答案为：(2,−1)．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称即可得解．根据自变量的值，可得相应的函数值，即得A 点坐标，由正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称，即可得出答案．14.答案：(1)SAS ;(2)∠ACB=2∠ABC解析：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．(1)根据已知条件即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．解：(1)SAS；(2)∵△ABD≌△AED，∴∠B=∠E，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∴∠ACB=2∠E，∴∠ACB=2∠ABC．故答案为：SAS，∠ACB=2∠ABC．15.答案：52解析：解：由题意S△ADC=12×5×1=52，故答案为52．利用三角形的面积公式计算即可．本题考查三角形的面积，解题的关键是看清楚题意，熟练掌握基本知识．16.答案：D解析：此题主要考查了推理与论证，关键是正确分情况，进行讨论．根据导游说的分两种情况进行分析：①甲、乙要么都去，要么都不去；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；然后分析可得答案．解：导游说：“①甲、乙要么都去，要么都不去；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去．”，①假设甲、乙要么都去，要么都不去，因此可以去甲、乙或丙、丁；②假设乙、丙只能去一个，因此可以去甲、乙或丙、丁；③假设丙、丁要么都去，要么都不去，因此可以去甲、乙或丙、丁．综上所述，该旅行团可能游览的景点是甲、乙或丙、丁．故选D．17.答案：解：原式=2−13+12+4=376．解析：直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.答案：解：解不等式2x−3>1，得：x>2，解不等式2−x3>x3−2，得：x<4，∴不等式组的解集为2<x<4解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.答案：解：(x−1)2+(x+3)(x−3)+(x−3)(x−1)=x2−2x+1+x2−9+x2−3x−x+3=3x2−6x−5当x2−2x=2时，原式=3(x2−2x)−5=3×2−5=1．解析：此题考查整式的混合运算，化简求值.先利用多项式乘以多项式法则，平方差公式，完全平方公式去括号，再合并同类项，最后把x2−2x=2整体代入计算即可．20.答案：证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴BC⏜=BD⏜，∴∠A=∠BCD，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A．∴∠ACO=∠BCD．解析：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先根据垂径定理得到BC⏜=BD⏜，再根据圆周角定理得到∠A=∠BCD，加上∠ACO=∠A.然后利用等量代换得到结论．21.答案：(1)证明：∵在菱形ABCD中，∴AD//BC且AD=BC，∵BE=CF，∴BC=EF，∴AD=EF，∵AD//EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形；(2)解：设BC=CD=x，则CF=8−x，在Rt△DCF中，∵CF2+DF2=CD2,∴x2=(8−x)2+42 ，∴x=5，∴CD=5．解析：本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．(1)根据菱形的性质得到AD//BC且AD=BC，由CF=BE等量代换证明AD=EF，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)设BC=CD=x，则CF=8−x，根据勾股定理即可得到结论．22.答案：解：(1)设一次函数的解析式为：y=kx+b，∵一次函数的图象平行于直线y=12x，∴k=12，∵一次函数的图象经过点A(2,3)，∴3=12×2+b，∴b=2，∴一次函数的解析式为y=12x+2；(2)由y=12x+2，令y=0，得12x+2=0，∴x=−4，∴一次函数的图形与x轴的解得为B(−4,0)，∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为(0,y)，∵AC=BC，∴√(2−0)2+(3−y)2=√(−4−0)2+(0−y)2，∴y=−12，经检验：y=−12是原方程的根，∴点C的坐标是(0,−12).解析：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，解方程即可得到结论；(2)求得一次函数的图形与x轴的解得为B(−4,0)，根据两点间的距离公式即可得到结论．本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．23.答案：(1)证明：∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∵EF⊥AB，∴EF//BC，∴∠DEM=∠C，∵BC=BD，∴∠C=∠MDE，∴∠MED=∠MDE；(2)∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴BE⏜=BF⏜，∴∠D=∠BEF，∵∠EBM=∠DBE，△BEM∽△BDE，∴BEBM =BDBE，即BE2=BM⋅BD，∵BM=2，ME=3，BD=5，∴BE=√10．解析：(1)由题意得EF//BC，则∠C=∠DEM，又∠C=∠MDE，则结论得证；(2)连BE，BE⏜=BF⏜，可得∠BEF=∠D，可证△BEM∽△BDE，则BE2=BM⋅BD，可求BE的长．本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24.答案：解：(1)∵一次函数y=mx−3m2+12，函数图象过原点，且y随x的增大而减小，∴{m<0−3m2+12=0解得，m=−2，即当m=−2时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小；(2)∵一次函数y=mx−3m2+12，函数图象平行于直线y=−x，∴m=−1，∴−3m2+12=−3×(−1)2+12=9，∴一次函数解析式是y=−x+9；(3)∵一次函数y=mx−3m2+12，点(0,−15)在函数图象上，∴m×0−3m2+12=−15，解得，m=±3，即m的值是±3．解析：本题考查一次函数的性质，解题的关键是明确一次函数的性质，根据题目中的条件解决问题．(1)根据函数图象过原点，且y随x的增大而减小，可知m<0，−3m2+12=0，该函数为正比例函数；(2)根据函数图象平行于直线y=−x，可知m=−1，从而可以得到一次函数解析式；(3)根据点(0,−15)在函数图象上，可以得到关于m的方程，从而可以得到m的值．25.答案：(1)9；9[(10−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(9−9)2+(10−9)2+ (2)甲的方差为：18(8−9)2]=0.75，[(10−9)2+(7−9)2+(10−9)2+(10−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(8−9)2+乙的方差为：18(10−9)2]=1.25．(3)∵0.75<1.25，∴甲的方差小，∴甲比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适．×(10+8+9+8+10+9+10+8)=9，解析：解：(1)甲的平均成绩为：18×(10+7+10+10+9+8+8+10)=9，乙的平均成绩为：18故答案为：9；9；(2)见答案；(3)见答案．(1)根据平均数的计算公式计算即可；(2)利用方差公式计算；(3)根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大解答即可．[(x1−本题考查的是方差的概念和性质，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，方差S2=1nx)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．26.答案：解：(1)把A(−1,0)代入得b=4a所以对称轴为x=−2；(2)把b=4a代入解析式得y=a(x+1)(x+3)，则抛物线过(−1,0)(−3,0)两点，当a>0时，x=0代入得y=3a>4，所以a>43，当a<0时，x=−2代入得y=−a>2，所以a<−2，综上，a>43或a<−2；(3)B(0,4)，C(−2,2)，当a>0时，D(−23,103)则a=307，当a<0时，D(−43,83)则a=−245．解析：本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式，此题属于中档题，但实际知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解题．(1)根据坐标轴上点的坐标特征代入点A坐标，得出b=4a，则解析式为y=a(x+1)(x+3)，进一步得出对称轴；(2)结合图形，分两种情况：①a>0；②a<0；进行讨论即可求解；(3)求出B(0,4)，C(−2,2)，分两种情况：①a>0；②a<0；进行讨论即可求解．27.答案：解：延长AE交BC于F，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD//BC，∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∵在△AED与△FEC中，{∠D=∠C∠DAE=∠CFE DE=CE，∴△AED≌△FEC(AAS)，∴AE=FE，AD=FC，∵AD=5，BC=10，∴BF=5，在Rt△ABF中，AF=√AB2+BF2=√122+52=13，∴AE=12AF=6.5．解析：本题主要考查的是平行线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定及性质，勾股定理等有关知识.延长AE交BC于F，利用全等三角形的判定及性质得到AE=FE，AD=FC，然后利用勾股定理求出AF，进而求出此题的答案．28.答案：(1)0，√2−1，23；(2)设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E，作OG⊥EF于G，∵∠FEO=45°，∴OG=GE，当OG=3时，GE=3，由勾股定理得，OE=3√2，此时直线的解析式为：y=x+3√2，∴直线y=x+b上存在点M，使得S M=2，b的取值范围是−3√2≤b≤3√2；(3)∵T在⊙O内，∴S T≤1，∵S T≥S R，∴S R≤1，∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4．解析：解：(1)∵点B(1,0)，∴S B=0，∵C(1,1)，∴S C=√2−1，)，∵D(0,13∴S D=2，3；故答案为：0；√2−1；23(2)见答案；(3)见答案．(1)根据点的坐标和新定义解答即可；(2)根据直线y=x+b的特点，结合S M=2，根据等腰直角三角形的性质解答；(3)根据T在⊙O内，确定S T的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值．本题考查的是等腰直角三角形的性质、新定义、点与圆的位置关系，正确理解点P到⊙O的距离S P的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．。
北京市2020届中考数学仿真模拟试卷 (含解析)
北京市2020届中考数学仿真模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列四个水平放置的几何体中，三视图如图所示的是()A.B.C.D.2.2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m.数36000000用科学记数法表示为()A. 0.36×108B. 36×107C. 3.6×108D.3.6×1073.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1+∠2+∠3的度数为()A. 90°B. 120°C. 180°D.360°4.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是()A. B. C. D.5.八边形的外角和等于()。
A. 180ºB. 360ºC. 1080ºD. 1440º6.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a−b的值()．a+bA. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 为非负数7. 一个不透明的袋子装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是( )A. 16B. 29C. 13D. 23 8. 有一个安装有进出水管的30升容器，水管每单位时间内进出的水量是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示.根据下图信息给出下列说法：①每分钟进水5升；②当4≤x ≤12时，容器中水量在减少；③若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满.以上说法中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，共16.0分） 9. 若使代数式2x−1x+2有意义，则x 的取值范围是_____．10. 若方程x 2−2x +1=m 有两个相等的实数根，则m 的值是______ ．11. 写出一个满足√3<a <√17的整数a 的值为______．12. 已知方程组{2x +y =4,x +2y =5,则x +y 的值为 ． 13. 已知双曲线y =1x 与直线y =x −2√3相交于点P(a,b)，则1a −1b =_______．14. 如图，△ABC 中，AB =AC ，点E 是∠BAC 的平分线AD 上任意一点，则图中有______对全等三角形．15. 如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC 、S △ADF 、S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF −S △BEF =________．16. 某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①甲、乙要么都去，要么都不去；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去．”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是( )A .甲、丙 B.甲、丁 C.乙、丁 D.丙、丁三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17. 计算：√16−2sin45°+(13)−1−|2−√2|.18. 解不等式组{2x +1>0①2−x 2≥x+33②．19. 先化简，再求值：(1)[(−3a 5)2÷(−a 2)3+3a 5(2a 2−4a )]÷(−3a 2)2，其中a =−3；(2)已知x 2−4=0，求代数式x (x +1)2−x (x 2−x )−x −7的值．20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC⊥BD．(1)用尺规作图，过点O作OF⊥AD于点F(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中所作OF=2，求BC的长．AC，连接AE、CE．21.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，DE=12(1)求证四边形ODEC为矩形；(2)若AB=2，∠ABC=60°，求AE的长．22.将函数y=2x−3的图象平移，使得它经过点A(2,0)，求平移后的函数解析式．23.如图，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于点F．(1)若EN⊥BC于点N，延长NE与AD相交于点M.求证：AM=MD；(2)若⊙O的半径为10，且cosC=45，求切线BF的长．24.已知二次函数y=x2−(3m−1)x+2m2−2m，其中m>−1．(1)若二次函数关于y轴对称，求m的值．(2)若二次函数与x轴的两个交点分别是(x1，0)，(x2，0)，其中x1>x2，当−2<12x1+13x2<1时，求m的取值范围．(3)请写出一个a的值，使x≤a时，y随x的增大而减小．25.市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表(单位：环)：(1)根据表格中的数据，分别计算出甲、乙两人的平均成绩；(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；(3)根据(1)、(2)计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a过点A(−1,0)．(1)求抛物线的对称轴；(2)直线y=x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C.如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围;(3)在(2)的条件下，抛物线与线段BC的交点记为D，若D为线段BC的三等分点，求出a的值．27.如图，在△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E.求证：MD=ME．28.已知：AB是⊙O直径，点E、F是弦AD、CD延长线上的点，∠F=∠BAD；(1)求EF与AC的位置关系．(2)连接CE交⊙O于G，连接BD，若2∠CAE+∠DAG=∠ABD，求证：AC=CE．(3)在(2)的条件下，延长AB、EF交于K，EK=2AC，AK=10，△AEK的面积=18，求线段EK的长度．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了由三视图判断几何体．关键是根据三视图和空间想象得出从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案．解：从主视图、左视图、俯视图可以看出这个几何体的正面、左面、底面是长方形，所以这个几何体是长方体；故选D．2.答案：D解析：此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：36000000=3.6×107，故选：D．3.答案：C解析：本题考查对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键．根据对顶角相等可得∠4=∠1，再根据平角的定义解答．解：如图，由对顶角性质可知∠4=∠1，∵∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°．故选C．4.答案：C解析：解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．5.答案：B解析：本题主要考查的是多边形的外角和的有关知识，由题意利用多边形的外角和等于360°直接求解即可．解：八边形的外角和为360°．故选B．6.答案：B解析：本题考查了实数与数轴，根据数轴得出−1<a<0，b>2，可判断出a−b<0，a+b>0，进而可得答案．解：根据数轴可知：−1<a<0，b>2，所以a−b<0，a+b>0，所以a−ba+b<0．7.答案：C解析：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球所标数字之和为6的有：(1,5)，(3,3)，(5,1)，∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率是：39=13．故选：C．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球所标数字之和为6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验．8.答案：C解析：本题考查了一次函数的图象，正确理解图象中表示的实际意义是关键.根据图象可以得到单独打开进水管4分钟注水20升，而同时打开放水管，8分钟内放进10升水，据此即可解答．=5(升)，则①正确；解：①每分钟进水204②当4≤x≤12时，y随x的增大而增大，因而容器中水量在增加，则②错误；=5−1.25=3.75(升)，③每分钟放水5−30−2012−4=8(分钟)，故③正确；则放完水需要303.75=1.25(升)，④同时打开进水管和放水管，每分钟进水30−2012−4=24(分钟)，④正确．则同时打开将容器灌满需要的时间是301.25故选C．9.答案：x≠−2解析：本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件．直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．∵分式2x−1有意义，x+2∴x+2≠0，解得：x≠−2．故答案是：x≠−2．10.答案：0解析：根据已知方程有两个相等的实数根得出△=0，得出△=(−2)2−4×1×(1−m)=0，求出即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键．解：x2−2x+1=m，x2−2x+1−m=0，∵方程x2−2x+1=m有两个相等的实数根，∴△=(−2)2−4×1×(1−m)=0，解得：m=0，故答案为0．11.答案：2解析：解：∵1<√3<2，4<√17<5，∴一个满足√3<a<√17的整数a的值为2，故答案为：2．答案不唯一，先估算出√3和√17的范围，再求出一个符合的即可．本题考查了估算无理数的范围，能估算出√3和√17的范围是解此题的关键．12.答案：3解析：本题考查了解二元一次方程组，将方程组中两方程相加，变形即可求出x+y的值；解：{2x+y=4 ①, x+2y=5 ②,①+②得：3x+3y=9，则x+y=3，故答案为：3．13.答案：−2√3解析：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．由两函数图象交于P点，将P坐标分别代入两函数解析式，得到ab与a−b的值，将所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，把ab与a−b的值代入即可求出值．解：∵双曲线y=1x与直线y=x−2√3相交于点P(a,b)，∴b=1a，b=a−2√3，∴ab =1，a −b =2√3，则1a −1b =b−a ab =−2√31=−2√3．故答案为−2√3．14.答案：3解析：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于基础题．首先利用角平分线定义可得∠BAD =∠CAD ，然后利用SAS 判定△ABD≌△ACD ，根据全等三角形的性质可得BD =CD ，∠ADB =∠ADC ，再判定△BDE≌△CDE ，最后证明∴△ABE≌△ACE 即可． 解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中{AB =AC∠BAD =∠CAD AD =AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD =CD ，∠ADB =∠ADC ，在△BED 和△CED 中{BD =CD∠BDE =∠CDE ED =ED，∴△BDE≌△CDE(SAS)，在△ABE 和△ACE 中{AB =AC∠BAE =∠CAE AE =AE，∴△ABE≌△ACE(SAS)，共3对全等三角形，故答案为：3．15.答案：2解析：本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．S △ADF −S △BEF =S △ABD −S △ABE ，所以求出三角形ABD 的面积和三角形ABE 的面积即可，因为EC =2BE ，点D 是AC 的中点，且S △ABC =12，就可以求出三角形ABD 的面积和三角形ABE 的面积． 解：∵点D 是AC 的中点，∴AD =12AC ，∵S△ABC=12，∴S△ABD=12S△ABC=12×12=6．∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE=13S△ABC=13×12=4，∵S△ABD−S△ABE=(S△ADF+S△ABF)−(S△ABF+S△BEF)=S△ADF−S△BEF，即S△ADF−S△BEF=S△ABD−S△ABE=6−4=2．故答案为2．16.答案：D解析：此题主要考查了推理与论证，关键是正确分情况，进行讨论．根据导游说的分两种情况进行分析：①甲、乙要么都去，要么都不去；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；然后分析可得答案．解：导游说：“①甲、乙要么都去，要么都不去；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去．”，①假设甲、乙要么都去，要么都不去，因此可以去甲、乙或丙、丁；②假设乙、丙只能去一个，因此可以去甲、乙或丙、丁；③假设丙、丁要么都去，要么都不去，因此可以去甲、乙或丙、丁．综上所述，该旅行团可能游览的景点是甲、乙或丙、丁．故选D．17.答案：解：原式=4−2×√22+3−(2−√2)=4−√2+3−2+√2=5．解析：直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.答案：解：解不等式①，得：x>−12，解不等式②，得：x≤0，∴不等式组的解集为−12<x≤0．解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.答案：解：(1)[(−3a5)2÷(−a2)3+3a5(2a2−4a)]÷(−3a2)2，=[9a10÷(−a6)+6a7−12a6]÷9a4=(−9a4+6a7−12a6)÷9a4=−1+23a3−43a2，当a=−3时，原式=−1−18−12=−31，(2)x(x+1)2−x(x2−x)−x−7=x(x2+2x+1)−x3+x2−x−7=x3+2x2+x−x3+x2−x−7=3x2−7，∵x2−4=0，∴x2=4，原式=3×4−7=5．解析：本题考查了整式的化简求值，(1)本题考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算的法则先化简，再代入求值即可；(2)本题考查了整式的化简求值，根据整式的混合运算的法则，完全平方公式，单项式乘多项式的计算法则化简，再整体代入即可；20.答案：解：(1)用尺规作图，过点O作OF⊥AD于点F，如下图所示：(2)如上图，连接AO并延长交⊙O于点M，连接DM，由(1)得OF⊥AD，∴AF=DF，∵OA=OM，∴DM=2FO=4，∵AC⊥BD，∴∠ABD+∠BAC=90∘，∵AM为直径，∴∠ADM=90∘，∴∠AMD+∠MAD=90∘，∵∠ABD=∠AMD，∴∠BAC=∠MAD，⏜，∴BC⏜=DM∴BC=DM=4．解析：本题考查了尺规作图，垂径定理，三角形中位线性质，圆周角定理及推论．(1)直接利用尺规过点O作出OF⊥AD于点F即可；(2)利用垂径定理，三角形中位线性质，圆周角定理及推论即可求得答案．AC．21.答案：解：(1)证明：在菱形ABCD中，OC=12∴DE=OC．∵DE//AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；(2)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=√AD2−AO2=√22−12=√3．在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=√7．解析：本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．(1)先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形即可；(2)根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．22.答案：解：设平移后的函数解析式y=2x+b，∵平移后的函数图象经过点A(2,0)，∴0=4+b，解得：b=−4．∴平移后的函数解析式为：y=2x−4．解析：本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．根据平移不改变k的值可设y=2x+b，然后将点(2,0)代入即可得出直线的函数解析式．23.答案：(1)证法一：∵∠A与∠C对同弧BD，∴∠A=∠C，∵CD⊥AB于点E，∴∠CEB=90°．∴∠C+∠CBE=90°．∵MN⊥BC，∴∠ENB=90°．∴∠NEB+∠CBE=90°．∴∠C=∠NEB，∵∠NEB=∠AEM，∴∠AEM=∠A，∴AM=ME，∵∠AEM=∠A，∠MED+∠AEM=90°，∠EDA+∠A=90°，∴∠MED=∠EDA，∴ME=MD，∴AM=MD．证法二：∵∠CDA与∠CBA对同弧AC，∴∠CDA=∠CBA，∵CD⊥AB于点E，∴∠AED=90°，∴∠MED+∠MEA=90°，∵MN⊥BC，∴∠ENB=90°，∴∠CBA+∠BEN=90°，∵∠MEA=∠BEN，∴∠MED=∠CBA，∴∠MED=∠CDA，∴ME=MD，∵∠MED+∠AEM=90°，∠CDA+∠A=90°，∴∠AEM=∠A，∴AM=ME，∴AM=MD．(2)解：∵BF与⊙O相切于点B，∴AB⊥BF．∴∠ABF=90°．∵∠C与∠A对同弧BD，∴∠C=∠A，∴cosA=cosC=45，∴cosA=ABAF =45，∴AF=54AB=54×20=25，∴BF=√AF2−AB2=√252−202=15．解析：(1)想办法证明AM=EM，DM=EM即可解决问题；(2)求出AF=54AB=54×20=25，根据BF=√AF2−AB2计算即可解决问题；本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．24.答案：解：(1)∵二次函数关于y轴对称对称轴为y轴，∴可得−−(3m−1)2=0，∴m=13;(2)根据x1>x2，m>−1可得x1=2m，x2=m−1，代入不等式解得−54<m<1，∴综合得−1< m<1．(3)对称轴为直线x=3m−12=−12+3m2，∵m>−1，∴−12+3m2>−2，∵二次函数开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小∴取a≤−2都可以．解析：本题考查二次函数的图像，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．(1)根据二次函数关于y轴对称得−b2a=0，得方程，解方程即可解答；(2)根据二次函数与一元二次方程的关系.解方程x2−(3m−1)x+2m2−2m=0得x1和x2,代入−2<12x1+13x2<1得不等式组，解不等式组即可解答；(3)根据二次函数的增减性即可解答．25.答案：解：(1)x甲=16(10+9+8+8+10+9)=9，.x乙=16(10+10+8+10+7+9)=9；(2)S甲2=16[(10−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(9−9)2]=23，S 乙2=16[(10−9)2+(10−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(7−9)2+(9−9)2]=43；(3)甲参加省比赛更合适，因为甲比较稳定．理由：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．解析：本题考查的是平均数、方差的计算和性质，掌握平均数、方差的计算公式是解题的关键．(1)根据平均数的计算公式计算即可；(2)根据方差S2=1n[(x1−.x)2+(x2−.x)2+⋯+(x n−.x)2]计算即可；(3)根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定解答即可．26.答案：解：(1)把A(−1,0)代入得b=4a所以对称轴为x=−2；(2)把b=4a代入解析式得y=a(x+1)(x+3)，则抛物线过(−1,0)(−3,0)两点，当a>0时，x=0代入得y=3a>4，所以a>43，当a<0时，x=−2代入得y=−a>2，所以a<−2，综上，a>43或a<−2；(3)B(0,4)，C(−2,2)，当a>0时，D(−23,103)则a=307，当a<0时，D(−43,83)则a=−245．解析：本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式，此题属于中档题，但实际知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解题．(1)根据坐标轴上点的坐标特征代入点A坐标，得出b=4a，则解析式为y=a(x+1)(x+3)，进一步得出对称轴；(2)结合图形，分两种情况：①a>0；②a<0；进行讨论即可求解；(3)求出B(0,4)，C(−2,2)，分两种情况：①a>0；②a<0；进行讨论即可求解．27.答案：证明：连接AM，如图，在△ABM和△ACM中{AB=AC AM=AM BC=CM，∴△ABM≌△ACM(SSS)，∴∠BAM=∠CAM，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴MD=ME．解析：本题考查的是全等三角形的判定与性质有关知识，连接AM，证明出△ABM≌△ACM得出∠BAM=∠CAM，再根据MD⊥AB，ME⊥AC即可解答．28.答案：解：(1)如图1，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD=∠ABD，且∠F=∠BAD，∴∠HCD+∠F=90°，∴∠H=90°，∴AC⊥EF；(2)如图2，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD=∠ABD，∵2∠CAE+∠DAG=∠ABD，且∠HCD=∠CAE+∠ADC，∴∠CAE+∠ADC=2∠CAE+∠DAG，∴∠ADC=∠CAE+∠DAG，且∠AGC=∠ADC，且∠AGC=∠AEC+∠GAD，∴∠CAE+∠DAG=∠GAD+∠AEC，∴∠AEC=∠CAE，∴AC=CE；(3)如图3，过点K作KM⊥AE，过点E作EN⊥AK，过点A作AP⊥CE，交EC的延长线于P，∵∠H=∠AMK=90°，∠AEH=∠MEF，∴∠HAE=∠MKE，且∠HAE=∠CEA，∴∠CEA=∠MKE，∵PA⊥AE，∠HAE=∠CEA，∴∠CPA=∠CAP，∴PC=AC，且AC=CE，∴PE=2AC，且EK=2AC，∴PE=EK，且∠PAE=∠KME=90°，∠CEA=∠MKE，∴△PAE≌△EMK(AAS)∴AE=MK，∵AK=10，△AEK的面积=18，∴12AK×EN=12×10×EN=18，12AE×MK=12×AE2=18，∴EN=185，AE=6，∴AN=√AE2−EN2=√36−32425=245，∴KN=AK−AN=265，∴EK=√EN2+NK2=√32425+67625=2√10．解析：(1)如图1，延长FE，AC交于点H，连接BD，由圆周角定理可求∠DAB+∠ABD=90°，由圆的内接四边形的性质可得∠HCD=∠ABD，可求∠H=90°，可得AC⊥EF；(2)如图2，延长FE，AC交于点H，连接BD，由圆的内接四边形的性质可得∠HCD=∠ABD，由角的数量关系可求∠AEC=∠CAE，可得AC=CE；(3)如图3，过点K作KM⊥AE，过点E作EN⊥AK，过点A作AP⊥CE，交EC的延长线于P，由“AAS”可证△PAE≌△EMK，可得AE=MK，由三角形面积公式可求EN=185，AE=6，由勾股定理可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
北京市2020年数学中考模拟试卷一含答案
北京市2020年数学中考模拟试卷一一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．下列几何体中，是圆锥的为A ．B ．C ．D ． 2．若分式1x+2在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 ( ) A ．x >-2 B ．x <-2 C ．x =-2 D ．x ≠-23．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a>bB ．a=b>0C ．ac>0D ．4．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为 A ．45° B ．60° C ．72° D ．90°5．马赫是表示速度的量词，通常用于表示飞机、导弹、火箭的飞行速度，一马赫即一倍音速(音速≈340m/s)．我国建造的全球最大口径自由活塞驱动高能脉冲风洞FD －21，速度高达15马赫，则FD －21的速度约为A ．5.1×103 m/sB ．5.1×104 m/sC ．3.4×103 m/sD ．1.5×103 m/s 6．如果a 2+2a -1=0,那么代数式(a −4a )⋅a 2a−2的值是 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.37．下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化．（以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告（2019）》） 根据统计图提供的信息，下列推断合理的是A ．2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上2015-2018年巡游出租车与网约出租车客运量统计图网约出租车客运量（亿人次）巡游出租车客运量（亿人次）B ．2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C ．2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D ．2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加 8．右图是北京市地铁部分线路示意图．若分别以正东、正北方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，表示西单的点的坐标为(－4，0)，表示雍和宫的点的坐标为(4，6)，则表示南锣鼓巷的点的坐标是 A ．(5，0) B ．(5，3) C ．(1，3) D ．(－3，3)二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在线段AD ， AE ， AF 中，△ABC 的高是线段。
2020年北京市东城区中考一模数学试卷含答案解析
2020 年北京市东城区初三一模数学试卷、单选题（共 10 小题）1．数据显示， 2020年全国新建、改扩建校舍约为 51 660 000 平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果.将数据 51 660 000 用科学记数发表示应为（）A．B．C．D．考点：科学记数法和近似数、有效数字答案： A试题解析：科学记数法是一个数表示成a×10 的 n 次幂的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整数，所以根据题意得 51 660 000=5.166 ×107．故选 A ．2．下列运算中，正确的是（）33 A． x·x =x2 3 5 B．（x ） =xC．222D． (x-y) =x+y考点：整式的运算答案： C试题解析：根据整式的运算公式正确，故选 A 。
A ．D．B．C．考点：概率及计算答案：C3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2， 3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）试题解析：五张卡片中有三张奇数，则概率为，故选 C4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是 13.2 秒，方差如下表所示则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲 B ．乙C．丙考点：极差、方差、标准差答案： B试题解析：方差越小发挥越稳定，则选 B 。
6．如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点 A 和 B的点 C，连接 AC 并延长至 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长至 E，使 CE =CB，连接 ED. 若考点：全等三角形的判定全等三角形的性质答案： B试题解析：由题意可得△ABC ≌△ DEC（ SAS），则 ED=AB=58 ，故选 B。
7．在平面直角坐标系中，将点 A（-1，2）向右平移 3个单位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是（）D．丁2=38 °时，∠ 1=（）D．62量出 DE=58 米，则 A，B 间的距离为（A． 29 米B．58米D．116米考点：平行线的判定及答案：A．（-4，-2）B．（2，2）C．（-2，2）考点：平面直角坐标系及点的坐标答案： D试题解析： A 点向右平移 3 个单位后得到 B（2,2,），B 点关于 X 轴的对称点为 C（2，-2）。
北京市2020学年中考数学一模试卷(含解析)
中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（）A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×1062．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．晴B．浮尘C．大雨D．大雪3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞πD．4．下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A．B．C．D．5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．140°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（）A．B．C．D．7．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（）用水量x（吨）3 4 5 6 7频数 1 2 5 4﹣x xA．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．众数、方差8．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A.B两城相距300千米；②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．其中正确的结论有（）A．①②③④ B．①②④C．①② D．②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果分式的值是0，那么x的值是_________10．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标_________．11．当a＝3时，代数式的值是12．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是_____．14．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．15．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第________个．16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．已知：．求作：所在圆的圆心O．曈曈的作法如下：如图2，（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．老师说：“曈曈的作法正确．”请你回答：曈曈的作图依据是三、解答题（本题共68分，第17～24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分，）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|18．解不等式组：19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝______，S5＝_______，S6＝_______+_________，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝_________.20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD，求证：AE＝FB．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k的值．22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日4月6日步行数（步）10672 4927 5543 6648 步行距离（公里）6.8 3.1 3.4 4.3卡路里消耗（千卡）157 79 91 127燃烧脂肪（克）20 10 12 16（1）4月5日，4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．（2）豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论：____________．（写一条即可）（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为_______公里．（直接写出结果，精确到个位）23．如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+k（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且点B（0，2），点P在y轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y＝t．（1）求k的值和点A的坐标；（2）当t＝4时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；（3）当t＜4时，若直线y＝t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组对应值．1 2 3 …x …﹣3 ﹣2 ﹣1﹣﹣m …y …﹣﹣﹣小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是________；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝_________．（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_________．27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是__________．（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝________，对应的碟宽AB是_____．（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝°②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（）A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将280000用科学记数法表示为2.8×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．晴B．浮尘C．大雨D．大雪【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞πD．【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的运算，可得答案．【解答】解：a＝﹣2，2＜b＜3．A.a+b＞0，故A不符合题意；B.a＜|﹣2|，故B不符合题意；C.b＜3＜π，故C不符合题意；D.＜0，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，利用有理数的运算是解题关键．4．下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A．B．C．D．【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是圆的几何体是球．故选：B．【点评】此题主要考查了立体图形的左视图，关键根据圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形解答．5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．140°【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．【解答】解：∵DB⊥BC，∠2＝50°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝40°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（）A．B．C．D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．【解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴tan∠A＝，∴tan∠ACD的值．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．7．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（）用水量x（吨）3 4 5 6 7频数 1 2 5 4﹣x xA．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．众数、方差【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为4，即可得知频数之和，结合前两组的频数知第 6.7个数据的平均数，可得答案．【解答】解：∵6吨和7吨的频数之和为4﹣x+x＝4，∴频数之和为1+2+5+4＝12，则这组数据的中位数为第6.7个数据的平均数，即＝5，∴对于不同的正整数x，中位数不会发生改变，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．8．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A.B两城相距300千米；②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．其中正确的结论有（）A．①②③④ B．①②④C．①② D．②③④【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A.B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把（5，300）代入可求得k＝60，∴y甲＝60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得：，∴y乙＝100t﹣100，令y甲＝y乙，可得：60t＝100t﹣100，解得：t＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，当100﹣40t＝50时，可解得t＝，当100﹣40t＝﹣50时，可解得t＝，又当t＝时，y甲＝50，此时乙还没出发，当t＝时，乙到达B城，y甲＝250；综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，∴④不正确；故选：C．【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果分式的值是0，那么x的值是0【分析】根据分式为0的条件得到方程，解方程得到答案．【解答】解：由题意得，x＝0，故答案是：0．【点评】本题若分式的值为零的条件，分式为0需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．10．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标（2，2）．【分析】连结OA，根据勾股定理可求OA，再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B的坐标．【解答】解：如图，连结OA，OA＝＝5，∵B为⊙O内一点，∴符合要求的点B的坐标（2，2）答案不唯一．故答案为：（2，2）．【点评】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA的长．11．当a＝3时，代数式的值是 2【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝3时，原式＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．12．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式y＝x2+2x（答案不唯一）（写一个即可）【分析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．【解答】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），把a＝1代入，得y＝x2+2x．故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是．【分析】首先由图可得此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明区域有3份，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵如图，此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明有3份，∴指针落在惊蛰、春分、清明的概率是：．故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．14．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为．【分析】根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y＝75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x＝3y+x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．【解答】解：根据图示可得，故答案是：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．15．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 5 个．【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则，解得x＝3，所以另一段长为18﹣3＝15，因为15÷3＝5，所以是第5张．故答案为：5【点评】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用解答．16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．已知：．求作：所在圆的圆心O．曈曈的作法如下：如图2，（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．老师说：“曈曈的作法正确．”请你回答：曈曈的作图依据是①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）【分析】（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：OC＝OM＝OD，所以点O是所在圆的圆心O（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：）故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共68分，第17～24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分，）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|【分析】先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝＝2﹣2+1+﹣1＝．【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、绝对值和二次根式的性质．18．解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①，得x＜5，解不等式②，得x≥﹣3，∴不等式组的解是﹣3≤x＜5．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2 ，S5＝，S6＝S4 + S5 ，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝ 2 ．【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．故答案为：S2，S3，S4，S5，2．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD，求证：AE＝FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ECA＝∠FDB，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF∴∠ECA＝∠FDB，在△ECA和△FDB 中，∴△ECA≌△FDB，∴AE＝FB．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k的值．【分析】（1）套入数据求出△＝b2﹣4ac的值，再与0作比较，由于△＝1＞0，从而证出方程有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值．【解答】（1）证明：△＝b2﹣4ac，＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k），＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k，＝1＞0．∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为1，∴12﹣（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣k＝0，解得：k1＝0，k2＝1．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出△＝b2﹣4ac的值；（2）代入x＝1得出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日4月6日步行数（步）10672 4927 5543 6648 7689156386.8 3.1 3.4 4.3 5.0 10.0步行距离（公里）157 79 91 127 142 234卡路里消耗（千卡）20 10 12 16 18 30燃烧脂肪（克）（1）4月5日，4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．（2）豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论：步行距离越大，燃烧脂肪越多．（写一条即可）（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为10 公里．（直接写出结果，精确到个位）【分析】（1）依据手机图片的中的数据，即可补全表格；（2）依据步行距离与燃烧脂肪情况，即可得出步行距离越大，燃烧脂肪越多；（3）步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，即可预估她一天步行距离．【解答】解：（1）由图可得，4月5日的步行数为7689，步行距离为5.0公里，卡路里消耗为142千卡，燃烧脂肪18克；4月6日的步行数为15638，步行距离为10.0公里，卡路里消耗为234千卡，燃烧脂肪30克；（2）由图可得，步行距离越大，燃烧脂肪越多；故答案为：步行距离越大，燃烧脂肪越多；（3）由图可得，步行时每公里约消耗卡路里25千卡，故豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为10公里．故答案为：10．【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．23．如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D.E分别是AB.AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC，又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE＝FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2＝8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+k（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且点B（0，2），点P在y轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y＝t．（1）求k的值和点A的坐标；（2）当t＝4时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；（3）当t＜4时，若直线y＝t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围．【分析】（1）把（0，2）代入得出k的值，进而得出A点坐标；（2）当t＝4时，将y＝4代入y＝2x+2，进而得出x的值，求出M点坐标得出反比例函数的解析式；（3）可得CD＝2，当y＝t向下运动但是不超过x轴时，符合要求，进而得出t的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+k 经过点B（0，2），∴k＝2∴y＝2x+2∴A（﹣1，0）；（2）当t＝4时，将y＝4代入y＝2x+2，得，x＝1，∴M（1，4）代入得，n＝4∴；（3）当t＝2时，B（0，2）即C（0，2），而D（2，2）如图，CD＝2，当y＝t向下运动但是不超过x轴时，符合要求，∴t 的取值范围是：0＜t≤2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O 的切线．（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽。
北京市2020年中考数学真题模拟题汇编专题12图形的性质之解答题(1)
专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题）一．解答题（共50小题）1．（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【答案】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵AD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．2．（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH 上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．【答案】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD OP＝1∴OD∵OH 1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等证明ON＝QP．3．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【答案】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC4，DE BC4＝2，∴弧2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m综上所述，m或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE，AE≤3，即3，解得：t，∵t＞0∴0＜t．【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G，求AO的长．【答案】（1）证明：连接BD，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠ADO，∴tan G＝tan∠ADO，∴OA OD，∵BD＝4，∴OD＝2，∴OA＝1．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．5．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P，Q（P，Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O的半径为1，点B（0，3）．（1）①点B到⊙O的最大值，最小值；②在A1（5，0），A2（0，10），A3（，）这三个点中，与点B是⊙O的一对“倍点”的是A1；（2）在直线y x+b上存在点A与点B是⊙O的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）正方形MNST的顶点M（m，1），N（m+1，1），若正方形上的所有点与点B都是⊙O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）①点B到⊙O的最大值是BO+r＝3+1＝4；点B到⊙O的最小值是BO﹣r＝3﹣1＝2；②A1到圆O的最大值6，最小值4；A2到圆O的最大值11，最小值9；A3到圆O的最大值3，最小值1；点B到⊙O的最大值是4，最小值是2；在圆O上存在点P，Q，使得AP＝2BQ，则A1与B是⊙O的一对“倍点”，故答案为A1；（2）∵点B到⊙O的最大值是4，最小值是2∴4≤2BQ≤8，∵O到直线的最大距离是9，即OD＝9，∵∠DCO＝60°，∴CO＝6∴∴；（3）当m＞0时，S（m+1，0），T（m，0），则m+1≥4，∴m≥3，S（m+1，2），T（m，2），则OS≤9，∴9，∴m1；∴3≤m1；当m＜0时，S（m+1，0），T（m，0），则m≤﹣4，S（m+1，2），T（m，2），则OT≤9，∴9，∴m，∴m≤﹣4；综上所述：3≤m1或m≤﹣4；【点睛】本题考查圆的综合；熟练掌握圆与直线，圆与正方形的关系，点到圆上距离的最值的求法是解题的关键．6．（2019•东城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）．已知A（2，0），B（0，2）．（1）求d（点O，直线AB）；（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（⊙T，直线AB）≤1，直接写出t的取值范围；（3）记函数y＝kx，（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形Q．若d（Q，直线AB）＝1，直接写出k的值．【答案】解：（1）如图1中，作OH⊥AB于H．∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，AB＝2，∵OA×OB AB×OH，∴OH，∴d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．当d（⊙T，直线AB）＝1时，DH＝1，∴TH＝2，AT＝2，∴OT＝22，∴T（2﹣2，0），根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）＝1时，T（2+2，0），∴满足条件的t的值为2﹣2t．（3）如图3中，当直线经过点D（2，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2，当直线y＝kx经过E（1，1）时，k＝1，当直线y＝kx经过F（﹣1，3），k＝﹣3，综上所述，满足条件的k的值为﹣3或1．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（2019•朝阳区二模）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D 与点B对应）．（1）如图，若OA＝1，OP，依题意补全图形；（2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P 在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．【答案】解：（1）∵OA＝1，OP，∠MON＝45°，∴PA⊥OA，PA＝1∴OC∥OA，PC＝1．由旋转性质可知：PC⊥CD，CD＝AB＝1，∴D正好落在OM上．补全图形，如图1所示．（2）如图2，作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F．∵OP，∠MON＝45°，∴OE＝2．由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC．如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1．如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2．综上所述，OA的取值范围是1≤OA≤2．（3）如图4．作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点Q．当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD＝1，Q在CD的中点，QC由（2）可知CE＝OA＝1，∴QE，∵∠MON＝45°，∴OP，OQ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到OA＝CE，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（2019•海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N，给出如下定义：若在图形M上存在一点A，图形N上存在两点B，C，使得△ABC是以BC为斜边且BC＝2的等腰直角三角形，则称图形M与图形N具有关系φ（M，N）．（1）若图形X为一个点，图形Y为直线y＝x，图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），则点，P2（1，1），P3（2，﹣2）中可以是图形X的是P1；（2）已知点P（2，0），点Q（0，2），记线段PQ为图形X．①当图形Y为直线y＝x时，判断图形X与图形Y是否既具有关系φ（X，Y）又具有关系φ（Y，X），如果是，请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标；如果不是，请说明理由；②当图形Y为以T（t，0）为圆心，为半径的⊙T时，若图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），求t的取值范围．【答案】解：（1）P1；如图1，过P1作P1∁I⊥y轴交直线y＝x于点C1，作P1B1⊥x轴于B1（B1与O重合），∵P1（0，），∴P1O，将y代入y＝x中，得x∴C1（，），即：C1P1＝B1P1∴ 2∴P1（0，）与图形Y（直线y＝x）具有关系φ（X，Y）；∵P2（1，1）在直线y＝x上，∴P2（1，1）与图形Y（直线y＝x）不具有关系φ（X，Y）；∵P3（2，﹣2）∴B3（﹣2，﹣2），C3（2，2），∴B3C34 2∴P3（2，﹣2）与图形Y（直线y＝x）不具有关系φ（X，Y）；故答案为P1（0，）（2）①是，如图2，在直线y＝x上取点B，C，且BC＝2，则满足△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A，在到直线y＝x距离为1的两条平行直线上．这两条平行直线与PQ分别交于A1，A2两点．故图形X与图形Y满足φ（X，Y）．直线y＝x与线段PQ交于点M（1，1），过点M作MH⊥y轴于H，与A1B交于点N，则MA1＝1，，可得A1（，）．同理可求得A2（，）．如图3，在线段PQ上取点B，C，且BC＝2，则满足△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A在图中的两条线段上，这两条线段与直线y＝x交于A3，A4两点．故图形X与图形Y满足φ（Y，X）．同上可求得A3（，），A4（，）．②如图3，当△QB1C1为等腰直角三角形，且斜边B1C1＝2时，连接QT1交B1C1于S，则QS＝B1S＝C1S＝1，B1T1，∴T1S＝2，T1Q＝2+1＝3∴T1O∴T1（，0），同理可求得：T2（﹣1，0），T3（2，0），T4（5，0），∴或．【点睛】本题是一道新定义的圆综合题，考查了等腰直角三角形的性质，圆的性质等，关键是要理解新定义，并能够运用新定义解决问题．9．（2019•丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”．（1）已知M（﹣3，），N（3，）．①在点C（﹣2，2），D（0，1），E（1，）中，是线段MN的“等边依附点”的是D，E；②点P（m，0）在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知⊙O的半径为1，若⊙O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围．【答案】解：（1）①D，E；如图1，过点C作CD⊥MN于D，连接CM，过点E作EF⊥MN于F，连接EN，EM，DM，DN，∵tan∠CMD2tan60°，∴∠CMD＞60°，∴点C不是线段MN的“等边依附点”；∵tan∠DMN＝tan∠DNM，∴∠DMN＝∠DNM＜60°∴D是线段MN的“等边依附点”；∵tan∠ENF，tan∠EMN∴∠ENF＝60°，∠EMN＜60°∴E是线段MN的“等边依附点”；故答案为D，E②在图1中，分别在线段MN上方作∠NMQ＝∠MNP＝60°，角的一条边与MN重合，另一边分别与x轴交于Q，P，作QD⊥MN于D，∵tan60°，即：，解得：MD＝1∴Q（﹣2，0）同理，可得P（2，0）∴点P的横坐标m的取值范围为：﹣2≤m≤2；（2）如图2，△ABC是等边三角形，点O为AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于P、Q，∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝∠ABC＝60°连接CO，OP，OQ，则OC⊥AB，OP⊥AC，OQ⊥BC∴sin60°，sin60°；∵OP＝OQ＝1∴OA＝OB∴AB的最小值为，∴．【点睛】本题是有关圆的一道综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质，等边三角形的性质等，解题的关键是正确理解新定义：图形G的“等边依附点”；并能够结合定义画出图形．10．（2019•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝4∠BAC．延长BC到点D，使CD＝CB，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠B＝2∠BAD；（3）用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）补全图形如图：（2）证明：∵∠ACB＝90°，CD＝CB，∴AD＝AB．∴∠BAD＝2∠BAC．∵∠B＝4∠BAC，∴∠B＝2∠BAD．（3）EA＝EB+DB，证明：在EA上截取EG＝EB，连接DG．∵DE⊥AB，∴DG＝DB．∴∠DGB＝∠B．∵∠B＝2∠BAD，∴∠DGB＝2∠BAD．∵∠DGB＝∠BAD+∠ADG，∴∠BAD＝∠ADG．∴GA＝GD．∴GA＝DB．∴EA＝EG+AG＝EB+DB．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．11．（2019•通州区三模）如图，已知线段AB＝6cm，过点B做射线BF且满足∠ABF＝40°，点C为线段AB 中点，点P为射线BF上的动点，连接PA，过点B作PA的平行线交射线PC于点D，设PB的长度为xcm，PD的长度为y1cm，BD的长度为y2cm．（当点P与点B重合时，y1与y2的值均为6cm）小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x（0≤x≤6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm 6.0 4.7 3.9 4.1 5.1 6.6 8.4y2/cm 6.0 5.3 4.7 4.2 3.9 4.1 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出y1，y2的图象；（3）结合函数图象解决问题：当△PDB为等腰三角形时，则BP的长度约为 3.1或3.9 cm；（4）当x＞6时，是否存在x的值使得△PDB为等腰三角形否（填“是”或者“否”）．【答案】解：（1）由画图可得，x＝4时，BD＝y2≈3.9．（2）如图所示，（3）由y1与y2的交点的横坐标可知，x＝3.1cm时，PD＝BD，由直线y＝x与y2的交点的横坐标可知，x＝3.9cm时，PB＝BD，观察图象可知，PB不可能等于PD，故答案为3.1或3.9．（4）观察图象可知，x＞6时，△PDB不可能为等腰三角形．故答案为否．【点睛】本题考查函数的图象，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．12．（2019•石景山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，⊙O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E，过点D作DP∥BC交AB于点P．（1）求证：PD＝PE；（2）连接CP，若点E是AP的中点，OD：DC＝2：1，CP＝13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DP∥BC，∠C＝90°，∴∠ADP＝∠C＝90°．∴PD⊥OD．∴PD是⊙O的切线，∵PE是⊙O的切线，∴PD＝PE；（2）解：连接OE，DE．∵点E是AP的中点，∴DE＝EP＝EA．∵PD＝PE，∴PD＝PE＝DE．∴△DEP是等边三角形，∴∠APD＝60°，∴∠A＝30°．∵PE与⊙O切点E，∴∠AEO＝90°．∵OD：DC＝2：1，∴设DC＝x，则OD＝2x．在Rt△AOE中，tan A则OE＝OD＝2x，则AE＝PD＝2x．在Rt△CPD中，DC2+PD2＝CP2，∴x2+（2x）2＝132，解得x∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，直角三角形斜边中线的性质，直角三角函数等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．13．（2019•丰台区二模）如图1，M是圆中上一定点，P是弦AB上一动点，过点A作射线MP的垂线交圆于点C，连接PC．已知AB＝5cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，P、C两点的距离为y2cm．小帅根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点，画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.55 3.15 3.95 4.76 4.95 4.30y2/cm 2.55 2.64 2.67 2.11 1.13 2.55 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：在点P的运动过程中，当AC与PC的差为最大值时，AP的长度约为 4 cm．【答案】解：（1）经测量得：当x＝3时，y2＝2.11；（2）用描点法，描绘如下图象，（3）从图象可以看出，当x＝4时，AC与PC的差为最大值，故答案为4．【点睛】本题为圆的综合运用题，主要考查的是描点作图，根据图象，确定题设已知条件，从图中观察、测量出求解得结论，一般难度不大．14．（2019•西城区二模）对于平面内的∠MAN及其内部的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点P关于∠MAN的“偏率”．在平面直角坐标系xOy中，（1）点M，N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点．①若点P的坐标为（1，5），则点P关于∠MON的“偏率”为 5 ；②若第一象限内点Q（a，b）关于∠MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为a＝b；（2）已知点A（4，0），B（2，2），连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）．若点C关于∠AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），⊙T是以点T为圆心，半径为1的圆．若⊙T上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF的“偏率”都大于，直接写出t 的取值范围．【答案】解：（1）①∵点M，N分别在x轴正半轴，y轴正半轴上∴点P（1，5）到OM距离d1＝5，到ON距离d2＝1∴点P关于∠MON的“偏率”为： 5故答案为：5．②∵点Q（a，b）在第一象限，到OM距离d1＝b，到ON距离d2＝a∴点Q关于∠MON的“偏率”为：1或 1∴a＝b故答案为：a＝b．（2）过点C作CD⊥OA于点D，CH⊥OB于点H，如图1，∴∠CDA＝∠CHB＝90°∵点A（4，0），B（2，2）∴OA＝4，OB4，AB 4∴OA＝OB＝AB∴△OAB是等边三角形∴∠OAB＝∠OBA＝60°∵∠CDA＝∠CHB＝90°∴△CDA∽△CHB∴∵点C关于∠AOB的“偏率”为2∴2或 2①当2，则 2∴CA AB∴DA＝CA•cos60°，CD＝CA•sin60°∴OD＝OA﹣DA＝4∴C（，）②当2，则 2∴CA AB∴DA＝CA•cos60°，CD＝CA•sin60°∴OD＝OA﹣DA＝4∴C（，）综上所述，点C的坐标为（，）或（，）．（3）∵T（t，4）∴点T在直线y＝4上∵⊙T上的所有点都在第一象限，且半径为1∴⊙T与y轴相离∴t＞1设⊙T上的点R坐标为（x，y）（x＞0，y＞0）∵点R关于∠EOF的“偏率”都大于∴或①若，则y x∴点R在直线y x的上方，即⊙T在直线y x左侧且与其相离当⊙T与直线y x相切于点I，如图2，设直线y＝4与y轴交于点G，与直线y x交于点J∴GT＝t，OG＝y J＝4，∴GJ＝x J∴tan∠OJG∴∠OJG＝60°∵TI＝1，TI⊥OJ∴Rt△TIJ中，sin∠OJG∴TJ TI∴GT＝GJ﹣TJ∴当⊙T在直线y x左侧与其相离时，1＜t②若，则y x∴点R在直线y x的下方，即⊙T在直线y x右侧且与其相离当⊙T与直线y x相切于点K，如图3，设直线y＝4与y轴交于点G，与直线y x交于点L∴GL＝x L y L＝4∴tan∠OLG∴∠KLT＝∠OJG＝30°∵TK＝1，TK⊥OK∴Rt△TKL中，sin∠KLT∴LT＝2TK＝2∴GT＝GL+LT＝4 2∴当⊙T在直线y x右侧与其相离时，t＞4 2综上所述，t的取值范围为1＜t或42．【点睛】本题考查了新定义的理解，点到直线距离，平面直角坐标系点的特征，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊三角函数值的应用，圆的切线性质．解题关键是新定义的理解和应用，根据新定义的表述画出图形数形结合地解决问题．第（3）题问题转化到圆与直线相离后，先计算相切时t的值，再判断相离时t的范围．15．（2019•平谷区二模）如图，点P是半圆O中上一动点，连接AP，作∠APC＝45°，交弦AB于点C．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0）．小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm0 1.21 2.09 m 2.99 2.82 0y2/cm0 0.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6 经测量m的值是 2.7 （保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 4.2或2.3 cm（保留一位小数）．【答案】解：（1）经测量：m＝2.7；（2）通过描点，画出如下图象；（3）①当AC＝PC时，即：y1＝y2，从图象可以看出：x＝4.2；②当AP＝PC时，画出函数：y＝x的图象，图象与y1的交点处x的为2.3；故：答案为4.2或2.3．【点睛】本题为圆的综合题，主要是研究函数y随自变量x的变化而变化的规律，此类题目，主要通过画出函数图象，根据题设条件，找出图象对应的点的值即可．16．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|m﹣n|），则称点M为P，Q的跟随点．（1）若m＝0，①当n＝3时，P，Q的跟随点的坐标为（3，3）；②写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；③记函数y＝kx﹣1（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；（2）⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）①把m＝0，n＝3代入点P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|）＝（3，|0﹣3|）＝（3，3）．故答案为：（3，3）；②把m＝0代入P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|），当n＞0时，（n，n）；当n＜0时，（n，﹣n）．所以P，Q的跟随点的坐标为（n，n）或（n，﹣n）；③由②可知，当m＝0时，P，Q的跟随点在函数y＝x（x≥0）或y＝﹣x（x≤0）的图象上，且函数y＝x（x≥0）或y＝﹣x（x≤0）的图象上的每一个点都是P，Q的跟随点．令x＝1，则y＝1，图形G经过点（1，1）时，k＝2；令x＝﹣1，则y＝1，图形G经过点（﹣1，1）时，k＝﹣2；由图可知，k的取值范围是﹣2＜k＜0或0＜k＜2．（2）因为⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，∴m的取值范围为：﹣2m2或2m≤2．【点睛】本题考查圆综合题、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题17．（2019•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm9.49 8.54 7.62 6.71 5.83 5.00 4.24y2/cm9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为 3.50或5或6 cm．【答案】解：（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF EC＝3 4.24．（2）函数图象如图所示：（3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6．故答案为：3.50或5或6．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了画出的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会利用描点法画出函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．18．（2019•昌平区二模）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．小明的作法如下：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AP＝PQ＝BQ．∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．∴PQ∥l．【答案】解：（1）如图所示．（2）：∵AB＝AP＝PQ＝BQ．∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）．∴PQ∥l．故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（2019•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4.5cm．D是线段AB上的一个动点，连接CD，过点D作CD的垂线交CA于点E．设AD＝xcm，CE＝ycm．（当点D与点A或点B重合时，y的值为5.2）探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5y/cm 5.2 4.8 4.4 4.0 3.8 3.6 3.5 3.6 5.2（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE＝2AD时，AD的长度约为 1.9 cm（结果保留一位小数）．【答案】解：（1）如图1，过E作EF⊥AB于F，由表格可知：AC＝5.2，AB＝4.5，Rt△ACB中，∠A＝30°，∴BC AC＝2.6，当x＝4时，即AD＝4，∴BD＝0.5，∵∠EDC＝90°，易得△EFD∽△DBC，∴，设EF＝5a，FD＝26a，则AE＝10a，AF＝5a，∵AD＝4，∴5a+26a＝4，a，∴y＝AC﹣AE＝5.2﹣10 5.2 4.0；x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 y/cm 5.2 4.8 4.4 4.0 3.8 3.6 3.5 3.6 4.0 5.2 故答案为：4.0；（2）如图2所示：（3）设EF＝a，则AE＝2a，AF a，如图，由（1）知：△EFD∽△DBC，∴，即，∵AC＝2a+y＝5.2，当CE＝2AD时，y＝2x，则2a+2x＝5.2，a+x＝2.6，∴a＝2.6﹣x，∴2.6（2.6﹣x）＝（4.5﹣x）[x（2.6﹣x）]，2.73x2﹣19.383x+27.001＝0，x1≈5.2（舍），x2≈1.9，答：AD的长度约为1.9cm；故答案为：1.9．【点睛】此题是三角形与函数图象的综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，函数图象的画法，直角三角形的性质，勾股定理，并与方程相结合，计算量比较大．20．（2019•房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，∠MON，点A在射线OM上，点B在∠MON内部，用直尺和圆规作点P，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：a．点P到A，B两点的距离相等；b．点P到∠MON的两边的距离相等．小明的作法是：①连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；②作∠MON的平分线交EF于点P．所以点P即为所求．根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，∴PA＝PB．∵OP平分∠MON，∴点P到∠MON的两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等（填推理的依据）．所以点P 即为所求．【答案】（1）解：如图，（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，∴PA＝PB．∵OP平分∠MON，∴点P到∠MON的两边的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等）．所以点P即为所求．故答案为PB；角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．21．（2019•昌平区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的⊙C，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙C的“圆距离”，记作d（M﹣C）．（1）点C在原点O时，①记点A（4，3）为图形M，则d（M﹣O）＝ 4 ；②点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（M﹣O）＝ 3 ；③记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≤1，直接写出k的取值范围；（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与（1）中相同，记∠AOB为图形M，且d（M﹣C）＝1，直接写出t的值．【答案】解：（1）①如图1，点A（4，3），则OA＝5，d（M﹣O）＝AQ＝5﹣1＝4，故答案为4；②如图1，由题意得：d（M﹣O）＝PQ＝4﹣1＝3；③如图1，过点O作OP′⊥直线l于点P′，直线l与y轴交于点D，则d（M﹣O）＝P′Q′，当P′Q′＝2为临界点的情况，OD＝4，∴∠P′DO＝30°，∴k，故k；（2）①如图2，当点为角的顶点O（P）时，则PQ＝1，则OC＝2，即：t＝2；②如图3，当点P在射线OA时，tan∠AOC，则sin∠AOC，CP＝CQ+PQ＝1+1＝2，t＝OC；故：t＝2或．【点睛】本题为圆的综合题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，这种新定义类型的题目，通常按照题设的顺序，逐次求解，一般难度不大．22．（2019•通州区三模）已知：如图，∠MAN＝90°，线段a和线段b求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b．下面是小东设计的尺规作图过程．作法：如图，①以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B；②以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D；③分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于∠MAN内部的点C；④分别连接BC，DC．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝CD；AD＝BC；∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠MAN＝90°；∴四边形ABCD是矩形（填依据有一个角为直角的平行四边形是矩形）．。
2020年北京中考数学真题模拟题汇编专题13：图形的性质之解答题(2)
2020年北京中考数学真题模拟题汇编专题13 图形的性质之解答题（2）（50道题）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•怀柔区二模）如图，E为AB中点，CE⊥AB于点E，AD＝5，CD＝4，BC＝3，求证：∠ACD＝90°．【答案】证明：∵E为AB中点，CE⊥AB于点E，∴AC＝BC，∵BC＝3，∴AC＝3，又∵AD＝5，CD＝4，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．2．（2019•西城区二模）如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AD的中点．作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD．∵AE＝CD，∴四边形EACD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴AM＝MD（全等三角形的对应边相等）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．【答案】解：（1）点M如图所示．（2）连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD．∵AE＝CD，∴四边形EACD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴AM＝MD（全等三角形的对应边相等）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．故答案为：CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等，【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确应用全等三角形性质解决问题．3．（2019•怀柔区二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交BC于点E，作EF∥AB，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接CF，CF＝EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF＝4，tan∠FBC，求EC的长．【答案】（1）证明：∵EF∥AB，AD∥BC∴四边形ABEF是平行四边形，∵AD∥BC，AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠AEB．∠DAE＝∠BAE．∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：作FH⊥BC于H，如图所示：∵四边形ABEF是菱形，BF＝4，∴∠BPE＝90°，PB＝PF＝2，∵tan∠FBC，∴PE，∴BE5，在Rt△BFH中，∵tan∠FBC，∴，∵BF＝4．∴FH＝4，BH＝8．∴EH＝3．∵CF＝EF，∴EC＝2EH＝6．【点睛】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练运用菱形的性质和判定．4．（2019•门头沟区二模）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC＝DEC，连接CF，DE．（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）如果AB＝13，DF＝14，tan∠DCB，求CF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥CF，∵AD∥BC，∴DF∥CE，∴四边形DECF是平行四边形；（2）解：如图，过D作DM⊥EC于M，则∠DMC＝∠DME＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝13，∠DCB＝∠CDF，∵tan∠CDF，∴tan∠DCB，设DM＝12x，则CM＝5x，由勾股定理得：（12x）2+（5x）2＝132，解得：x＝1，即CM＝5，DM＝12，∵CE＝14，∴EM＝14﹣5＝9，在Rt△DME中，由勾股定理得：DE15，∵四边形DECF是平行四边形，∴CF＝DE＝15．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键．5．（2019•怀柔区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若MF，求⊙O的半径．【答案】解：（1）连接OE，OF，如图，∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴∠DOF＝∠DOE．∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，∴∠DOF＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OFD＝90°．∴OF⊥FD．∴FD为⊙O的切线；（2）连接OM．∵AB为⊙O的直径，∴O为AB中点，∠AEB＝90°．∵M为BE的中点，∴OM∥AE，，∵∠A＝30°，∴∠MOB＝∠A＝30°．∵∠DOF＝2∠A＝60°，∴∠MOF＝90°，∴OM2+OF2＝MF2．设⊙O的半径为r．∵∠AEB＝90°，∠A＝30°，∴．∴，∵，∴．解得r＝2．（舍去负根），∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理．6．（2019•西城区二模）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF ＝AE，连接DE，DF，EF．FH平分∠EFB交BD于点H．（1）求证：DE⊥DF；（2）求证：DH＝DF：（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明．【答案】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠EAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠EAD＝∠DCF＝90°，∵CF＝AE，∴△AED≌△CFD（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴DE⊥DF．（2）证明：∵△AED≌△CFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠DBF＝45°，∵FH平分∠BFE，∴∠HFB＝∠HFE，∴∠DHF＝∠HFB+∠DBC＝∠HFB+45°，∠DFH＝∠HFE+∠DFE＝∠HFE+45°，∴∠DHF＝∠DFH，∴DH＝DF．（3）解：结论：EF＝2AB﹣2HM理由：如图2中，作HM⊥EF于M，HN⊥BC于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴BD AB，∵FH平分∠BFE，HM⊥EF，HN⊥BF，∴HM＝HN，∵∠HBN＝45°，∠HNB＝90°，∴BH HN HM，∴DH＝BD﹣BH AB HM，∵EF DF DH，∴EF＝2AB﹣2HM．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（2019•门头沟区二模）对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N 上一个动点，P，Q两点间距离的最大值为d max，P，Q两点间距离的最小值为d min，我们把d max+d min的值叫点P和图形N间的“和距离”，记作d（P，图形N）．（1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，A（3，3）．①点O到线段AB的“和距离”d（O，线段AB）＝3+3；②设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d（P，正方形ABCD）＝7，求点P的坐标．（2）如图2，在（1）的条件下，过C，D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一个动点，如果6d（M，线段AC）＜6+3，直接写出M点横坐标t取值范围．【答案】解：（1）①如图1，连接OA，∵四边形ABCD是正方形，且A（3，3），∴d max+d min＝OE+OA＝3+3，即d（O，线段AB）＝3+3，故答案为：3+3；②设P（0，y），∵d（P，正方形ABCD）＝7，∴d max+d min＝7，分两种情况：∵E（0，3），F（0，﹣3），且P是线段EF上一个动点，i）当P在x轴上方时，如图2，连接PC，∴d max+d min＝PE+PC＝7，3﹣y7，解得：y＝1，经检验，y＝1是原方程的解，∴P（0，1），ii）当P在x轴的下方时，同理可得P（0，﹣1）；综上，点P的坐标为（0，1）或（0，﹣1）；（2）分两种情况：①当﹣3≤t＜3时，如图3，M在线段CD上，过M作MN⊥AC于N，连接AM，∵M点横坐标是t，∴CM＝t+3，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∴△CMN是等腰直角三角形，∴MN（t+3），∴d（M，线段AC）＝MN+MA（t+3），②当t≥3时，如图4，M在线段CD的延长线上，过M作MN⊥AC于N，同理MN（t+3），∴d（M，线段AC）＝MN+CM（t+3）+t+3，∵在动点M从C到D方向上运动时，MN+MA越来越大，∴（t+3）6，解得：t＝﹣3，（t+3）+t+3＝6+3，解得：t＝3，∴M点横坐标t取值范围是﹣3＜t＜3．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是理解并掌握“和距离”的定义与点到直线的距离，有难度，并注意运用数形结合的思想和分类讨论思想的运用．8．（2019•丰台区二模）如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD＝2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E．（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABEF的面积．【答案】（1）证明：在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB，DF AB，∵BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∵AD＝2DF，∴AD＝AB，∴四边形ABED为菱形；（2）解：过B作BG⊥EF于G，∵四边形ABED为菱形，∴AB＝BE＝DE＝BD＝6，∴DF＝3，EF＝9，∵∠E＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BG⊥EF，∴DG DE＝3，∴BG DG＝3，∴四边形ABEF的面积．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、梯形面积公式、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．9．（2019•丰台区二模）如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为D，连接BD，过点B作射线PD的垂线，垂足为C．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）如果AB＝6，sin∠CBD，求PD的长．【答案】解：（1）证明：连接OD，如图1，∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥PC，∵BC⊥PC，∴OD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠CBD＝∠OBD，即BD平分∠ABC；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵sin∠CBD＝sin∠ABD，AB＝6，∴AD＝2，∴BD＝4，∵sin∠CBD，∴CD，∴BC，∵OD∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴，∴，∴PD．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，第（1）题关键是过切点连半径，第（2）题的突破口是构造相似三角形．10．（2019•丰台区二模）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（不与点B、C重合），延长AE到点F，连接BF，且∠AFB＝45°，G为DC边上一点，且DG＝BE，连接DF，点F关于直线AB的对称点为M，连接AM、BM．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：∠DAG＝∠MAB；（3）用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系，并证明．【答案】（1）解：如图1所示：（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADG＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，∵点F关于直线AB的对称点为M，∴∠BAE＝∠MAB，∴∠DAG＝∠MAB；（3）解：BM2+DF2＝2AD2；理由如下：连接BD，延长MB交AG的延长线于点N，如图2所示：∵∠BAD＝90°，∠DAG＝∠MAB，∴∠MAN＝90°，由对称性可知：∠M＝∠AFB＝45°，∴∠N＝45°，∴∠M＝∠N，∴AM＝AN，∵AF＝AM，∴AF＝AN，∵∠BAE＝∠DAG，∴∠BAN＝∠DAF，在△BAN和△DAF中，，∴△BAN≌△DAF（SAS），∴∠N＝∠AFD＝45°，∴∠BFD＝90°，∴BF2+DF2＝BD2，∵BD AD，BM＝BF，∴BM2+DF2＝2AD2．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．11．（2019•平谷区二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程，已知：如图1，直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P，作法：如图2，（1）在直线l上任取一点A；（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）；（3）连接BP，作∠APB的角平分线，交AB于点H；（4）作直线PH，交直线l于点H．所以直线PH就是所求作的垂线．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵PH平分∠APB，∴∠APH＝∠BPH．∵PA＝PB，∴PH⊥直线l于H．（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）【答案】（1）解：如图，（2）证明：∵PH平分∠APB，∴∠APH＝∠BPH．∵PA＝PB，∴PH⊥直线l于H（等腰三角形的三线合一）．故答案为∠BPH，PB，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．12．（2019•平谷区二模）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD 切⊙O于点D，连接AD．（1）求证：BC＝CD；（2）若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线，∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；（2）解：连接BD，∵BC＝CD，∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，∴∠ABD＝30°，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝BD•tan∠ABD．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．13．（2019•平谷区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若cos∠BAE，AB＝5，求OE的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECF是矩形；（2）解：∵cos∠BAE，AB＝5，∴AE＝4，BE＝3，∵AB＝BC＝5，∴CE＝8，∴AC＝4，∴AO＝CO＝2，∴四边形AECF是矩形，∴OE＝OA＝2．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．14．（2019•石景山区二模）如图，P是矩形ABCD内部的一定点，M是AB边上一动点，连接MP并延长与矩形ABCD的一边交于点N，连接AN．已知AB＝6cm，设A，M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为y1cm，A，N两点间的距离为y2cm．小欣根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小欣的探究过程，请补充完整；（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm 6.30 5.40 4.80 4.22 3.13 3.25 4.52 y2/cm 6.30 6.34 6.43 6.69 5.75 4.81 3.98 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AMN为等腰三角形时，AM的长度约为 3.3或4.8或5.7cm．【答案】解：（1）观察图象可知D（2，4.80），故答案为4.80．（2）两个函数图象如图所示：（3）两个函数与直线y＝x的交点为A，B，函数y1与y2的交点为C，观察图象可知：A（3.3，3.3），B（4.8，4.8），C（5.7，4）．∴△AMN为等腰三角形时，AM的值约为3.3或4.8或5.7．故答案为3.3或4.8或5.7．【点睛】本题考查四边形的性质，函数图象等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．15．（2019•石景山区二模）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：∠APC，使得∠APC＝2∠AOB．作法：如图，①在射线OB上任取一点C；②作线段OC的垂直平分线，交OA于点P，交OB于点D；③连接PC；所以∠APC即为所求作的角．根据小华设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）．证明：∵DP是线段OC的垂直平分线，∴OP＝PC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）∴∠O＝∠PCO．∵∠APC＝∠O+∠PCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和）∴∠APC＝2∠AOB．【答案】解：（1）如图，∠APC即为所求作；（2）证明：∵DP是线段OC的垂直平分线，∴OP＝PC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）∴∠O＝∠PCO．∵∠APC＝∠O+∠PCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和）∴∠APC＝2∠AOB．故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．16．（2019•石景山区二模）如图，AB平分∠CAD，∠ACB+∠ADB＝180°，（1）求证：BC＝BD（2）若BD＝10，cos∠ADB，求AD﹣AC的值．【答案】（1）证明：作BN⊥AD于N，BM⊥AC于M．∵∠BAM＝∠BAN，∠AMB＝∠ANB＝90°，AB＝AB，∴△ABM≌△ABN（AAS），∴AM＝AN，BM＝BN，∵∠MAN+∠MBN＝180°，∠MAN+∠CBD＝180°，∴∠CBD＝∠MBN，∴∠CBM＝∠NBD，∵∠BMC＝∠BND＝90°，BM＝BN，∴△BMC≌△BND（ASA），∴BC＝BD．（2）解：在Rt△BND中，∵BD＝10，cos∠ADB，∴DN＝4，∵AD＝AN+DN，AC＝AM﹣CM，AM＝AN，CM＝DN＝4，∴AD﹣AC＝AN+DN﹣AM+CM＝8．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2019•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），称d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P1、P2两点的直角距离．（1）已知：点A（1，2），直接写出d（O，A）＝3；（2）已知：B是直线y x+3上的一个动点．①如图1，求d（O，B）的最小值；②如图2，C是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求d（B，C）的最小值．【答案】解：（1）d（O，A）＝|0﹣1|+|0﹣2|＝1+2＝3，故答案为：3．（2）①设B（a，a+3），则d（O，B）＝|0﹣a|+|0﹣（a+3）|＝|﹣a|+|a﹣3|，当a＜0时，d（O，B）＝﹣a a+3a+3＞3；当a＝0时，d（O，B）＝3；当0＜a＜4时，d（O，B）＝a a+3a+3＞3；当a＝4时，d（O，B）＝4；当a＞4时，d（O，B）＝a a﹣3a﹣3＞4；综上，d（O，B）的最小值为3；②当点C在过原点且与直线y x+3垂直的直线上时，点B与点C的“直角距离”最小．设点C的坐标为（x，y）（点C位于第一象限），则．解得：∴点C（，）．由得，∴B（，），则d（B，C）的最小值为||+||．【点睛】本题考查了圆的综合题：掌握直线与圆的位置关系、绝对值的意义和直线与直线的交点问题；通过阅读理解新概念、新定义的意义．18．（2019•怀柔区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G上任意一点M，给出如下定义：图形G关于原点O的中心对称图形为G′，点M在G′上的对应点为M′，若∠MPM′＝90°，则称点P为图形G，G′的“直角点”，记作Rt（G，P，G′）．已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）．（1）如图1，在点P1（1，1），P2（0，3），P3（0，﹣2）这三个点中，Rt（OA，P，OA′）是P1和P3；（2）如图2，⊙D的圆心为D（1，1），半径为1，在直线y x+b上存在点P，满足Rt（⊙D，P，⊙D′），求b的取值范围；（3）⊙T的半径为，圆心（t，t），若⊙T上存在点P，满足Rt（△ABC，P，△ABC′），直接写出⊙T的横坐标的取值范围．【答案】解：（1）∵A（﹣2，0），∴点A关于原点O的对称点A'（2，0），此时A'与B重合，如图1，M与M'是点O的对称点，有∠AP3B＝∠MP1M'＝90°，∴Rt（OA，P，OA′）是：P1和P3；故答案为：P1和P3；（2）如图2，作直线y x，取一点P，作PQ⊥x轴于Q，设P（x，x），cos∠POQ，∴∠POQ＝60°，如图3，作⊙D关于原点O的对称图形⊙D'，以1为半径，作⊙O，在上和下作⊙O的切线：y x+b，①当b＞0时，设直线MN与⊙O的切点为E，连接OE，则OE⊥MN，Rt△OEN中，∠ENO＝30°，OE1，∴ON＝b＝2OE＝22，②当b＜0时，同理得：b＝﹣22，∴满足Rt（⊙D，P，⊙D′），则﹣22≤b≤22；（3）作C关于点O的对称点C'（0，﹣2），以O为圆心，以OC为半径作⊙O，作直线y x，则T在此直线上，当⊙O与⊙T相外切时，设切点为P，此时∠CPC'＝90°，满足Rt（△ABC，P，△ABC′），过T作TR⊥x轴于R，则OT＝23，∵∠TOR＝30°，∴TR，OR，同理当T在第三象限时，如图5，同理得OR，⊙T的横坐标的取值范围是：t．【点睛】本题主要考查了圆和函数的综合题，涉及勾股定理，一次函数，圆周角定理，新定义：“直角点”，解题的关键是对于平面直角坐标系xOy中的点G和图形G'，理解和运用给出的定义．19．（2019•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是3，最大值是；②在P1（），P2（1，4），P3（﹣3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是P1（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E 是圆O的一对平衡点，求x的取值范围．（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．【答案】解：（1）①由题意知：OA＝3，OB，则d的最小值是3，最大值是；②根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点，故答案为3，，P1．（2）如图2中，由题意点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即OE1＝3，可得x，同理：当E2到⊙的最小距离为是6时，OE2＝7，此时x3，综上所述，满足条件的x的值为x≤3．（3）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，∴以C为圆心2为半径的圆刚好与弧相切，此时要想上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK ≤6，CH≤6，如图3﹣1中，当CK＝6时，作CM⊥HK于H．由题意：，解得：或（舍弃），如图3﹣3中，当CH＝6时，同法可得a，b，在两者中间时，a＝0，b＝5，观察图象可知：满足条件的b的值为b≤5．【点睛】本题属于圆综合题，考查了点P与点Q是图形W的一对平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．20．（2019•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，如果等边三角形的一边与x轴平行或在x轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形．（1）已知A（1，0），B（﹣1，0），若△ABC是水平正三角形，则点C坐标的是（只填序号）；①（1，2），②（0，），③（0，﹣1），④（0，）（2）已知点O（0，0），E（1，），F（0，﹣2），以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是，并求出此时点P的坐标；（3）已知⊙O的半径为，点M是⊙O上一点，点N是直线y上一点，若某个水平正三角形的两个顶点为M，N，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．【答案】解：（1）∵A（1，0），B（﹣1，0），∴OA＝OB＝1，AC＝BC＝AB＝2，∴OC，当点C在x轴上方时，C（0，），当点C在x轴下方时，C（0，），则点C坐标的是②，④；（2）因为是一个水平正三角形，则这两个点是O，E，连接OE，如图1所示：∴OE与x轴正方向夹角为60°．①当点P在线段OE的左侧时，点P与点E关于y轴对称，∴P（﹣1，）②当点P在线段OE的右侧时，点P在x轴上且OP＝OE，∴P（2，0）．∴P（﹣1，）或P（2，0）；（3）分三种情况：①当MN与x轴平行或重合时，如图2所示：EF为⊙O的直径，直线y与坐标轴的交点分别为A、B，则OA＝3，OB＝9，∠ABO＝30°，作DE∥x轴交直线y于D，作CF∥x轴交直线y于C，则N在线段CD上，AE＝OA﹣OE＝2，∴DE AE＝6，同理：CF＝12，∴﹣12≤x N≤﹣6；②当MN与x轴的负半轴夹角为60°时，如图3所示：作OE⊥直线AB于E，作直径GH⊥OE，作GD∥OE、HC∥OE，分别交AB于D、C，作CF⊥OB于F，作DP⊥OB于P，则N在线段CD上，OH＝OG＝CE＝DE，∵∠ABO＝30°，∴OE OB，∴BE OE，∴BC＝BE﹣CE，∴CF，∴BF CF，∴OF＝OB﹣BF；同理：OP，∴x N；③当MN与x轴的正半轴夹角为60°时，如图4所示：同②得：x N．综上所述，点N的横坐标x N的取值范围为﹣12≤x N≤﹣6或x N或x N．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了新定义“水平正三角形”、直角三角形的性质、等边三角形的性质、矩形的性质、直线与圆的位置关系、坐标与图形性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，理解水平正三角形的定义是解题的关键．21．（2019•大兴区一模）如图，以AB为直径的半圆上有一点C，连接AC，点P是AC上一个动点，连接BP，作PD⊥BP交AB于点D，交半圆于点E．已知：AC＝5cm，设PC的长度为xcm，PD的长度为y1cm，PE 的长度为y2cm（当点P与点C重合时，y1＝5，y2＝0，当点P与点A重合时，y1＝0，y2＝0）．小青同学根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究．下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请补全表格；x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y1/cm 5 2.85 1.98 1.52 1.21 0.97 0.76 0.56 0.37 0.19 0y2/cm0 0.46 1.29 1.61 1.84 1.96 1.95 1.79 1.41 0（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PD，PE的长都大于1cm时，PC长度的取值范围约是 1.1＜PC＜2.4；②点C，D，E能否在以P为圆心的同一个圆上？否（填“能”或“否”）【答案】解：（1）利用测量法可知：x＝1时，y2＝0.89．（允许答案有误差）．（2）函数图象如图所示：（3）①观察图象可知：当PD，PE的长都大于1cm时，PC长度的取值范围约是1.1＜PC＜2.4．故答案为1.1＜PC＜2.4．②因为函数y1，y2以及直线y＝x，不可能交于同一点，所以不存在满足PC＝PD＝PE的点P，所以点C，D，E不可能在以P为圆心的同一个圆，故答案为：否．【点睛】本题考查圆综合题，函数图象问题，解题的关键是理解题意，学会利用测量法解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考压轴题．22．（2019•怀柔区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点．连接AC，过点C作⊙O的切线EF交射线AD于点E．（1）求证：AE⊥EF；（2）连接BC．若AE，AB＝5，求BC的长．【答案】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠1＝∠2．∵点C是的中点．∴∠1＝∠3．∴∠3＝∠2．∴AE∥OC．∵EF是⊙O的切线，∴OC⊥EF．∴AE⊥EF；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵AE⊥EF，∴∠AEC＝90°．又∵∠1＝∠3，∴△AEC∽△ACB．∴，∴AC2＝AE•AB5＝16．∴AC＝4．∵AB＝5，∴BC3．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．23．（2019•大兴区一模）如图，AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，连接AC交⊙O于点D．（1）求证：∠DBC＝∠DAB；（2）若点E为的中点，连接BE交AD于点F，若BC＝6，sin∠ABD，求AF的长．【答案】（1）证明：∵CB与⊙O相切于点B，AB为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ABD+∠DAB＝90°．∴∠DBC＝∠DAB．（2）解：如图，∵∠ABC＝∠ADB，∴∠ABD+∠DBC＝∠C+∠DBC．∴∠ABD＝∠C．∵，∴∵BC＝6，∴．∴DC＝4．∴cos C，∵∠DFB＝∠ABF+∠DAB，∠FBC＝∠DBF+∠DBC，又∵点E为的中点，∴AE＝DE，∴∠DBF＝∠ABF．由（1）得：∠DAB＝∠DBC，∴∠DFB＝∠FBC．∴CF＝BC＝6．∵cos C，∴AC＝9．∴AF＝AC﹣CF＝9﹣6＝3．【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理以及锐角三角函数的定义等知识．24．（2019•怀柔区一模）下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：一个直角三角形ABC，使线段AB为斜边．作法：如图，①过A任意作一条射线l；②在射线l上任取两点D，E；③分别以点D，E为圆心，DB，EB长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线BP交射线l于点C．所以△ABC就是所求作的直角三角形．思考：（1）按上述方法，以线段AB为斜边还可以作无数个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是以AB为直径的圆（点A、B除外），理由是直径所对的圆周角为直角．【答案】解：（1）以线段AB为斜边还可以作无数个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是以AB为直径的圆（点A、B除外），理由是直径所对的圆周角为直角；故答案为无数；以AB为直径的圆（点A、B除外）；直径所对的圆周角为直角．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25．（2019•大兴区一模）下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：等边三角形△ABC．作法：如图，①以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A；②以点B为圆心，以AB的长为半径作⊙B，交于⊙A于C，D两点；③连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根据小方设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点B，C在⊙A上，∴AB＝AC（同圆的半径相等）（填推理的依据）．同理∵点A，C在⊙B上，∴AB＝BC．∴AB═AC═BC．∴△ABC是等边三角形．（三边都相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）．【答案】解：（1）如图，（2）完成下面的证明．证明：∵点B，C在⊙A上，∴AB＝AC（同圆的半径相等）（填推理的依据）．同理∵点A，C在⊙B上，∴AB＝BC．∴AB═AC═BC．∴△ABC是等边三角形．（三边都相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）．故答案为同圆的半径相等；AB，AC，BC；三边都相等的三角形是等边三角形．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．26．（2019•丰台区一模）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l上一点A．求作：直线AB，使得AB⊥l．作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于C，D两点；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线l一侧相交于点B；③作直线AB．所以直线AB就是所求作的垂线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥l（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．（填推理的依据）【答案】解：（1）如图：（2）证明：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥l（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．（填推理的依据）故答案为AD，BD；“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．27．（2019•大兴区一模）如图，矩形ABCD，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BD．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若tan∠DBC，CD＝6，求▱ABDE的面积．。
北京市2020年中考数学真题模拟题汇编专题14图形的性质之解答题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！专题14 图形的性质之解答题（3）（45道题）一．解答题（共45小题）1．（2019•顺义区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点P在AB的延长线上，且∠A＝∠P＝30．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）连接BC，若AB＝4，求△PBC的面积．【答案】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，又∵∠A＝∠P＝30°，∴∠1＝30°，∠ACP＝120°，∴∠OCP＝90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∵∠OCP＝90°，∠P＝30°，∴OP＝4，PC＝2，∴BP＝OB，∴，∵S△OPC．∴．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．2．（2019•海淀区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．（1）求证：四边形CDEF为菱形；（2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD，求AD的长．【答案】证明：（1）∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，∴EF AB，EF∥AB，CF BC，AE＝CE∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∵AB＝BC＝2CD∴EF＝CF＝CD，且AB∥CD∥EF，∴四边形DEFC是平行四边形，且EF＝CF∴四边形CDEF为菱形；（2）如图，设DF与EC交于点G∵四边形CDEF为菱形，DF＝2，∴DG＝1，DF⊥CE，EG＝GC，∴EG＝GC∴AE＝CE＝2EG∴AG＝AE+CG＝4∴AD【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．3．（2019•顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD于点F．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝3，求EC的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，DC＝AB，DC∥AB，∴∠CDF＝∠DBA．∵∠ECD＝∠DBA，∴∠ECD＝∠CDF，∴EC∥BF，∵AF⊥BD于点F，∠CED＝90°，∴∠BFA＝∠CED＝90°．又∵∠ECD＝∠DBA，∴∠CDF＝∠ECD，在△ECD和△FBA中，，∴△ECD≌△FBA（AAS），∴EC＝BF，又∵EC∥BF，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）解：∵AB＝4，AD＝3，∴BD5，∵AF⊥BD，∴∠AFB＝90°＝∠BAD，∵∠ABF＝∠ABD，△DAB∽△AFB，∴，即，∴，∴EC＝BF．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．4．（2019•东城区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接PA；②作∠PAC的平分线AD；③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD．∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠PEA，∴∠PEA＝∠CAD，∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）（填推理依据）．【答案】解：（1）如图所示：直线PE即为所求．（2）证明：∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD．∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠PEA，∴∠PEA＝∠CAD，∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）．故答案为：∠PEA，∠CAD，内错角相等两直线平行．【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义．5．（2019•顺义区一模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ为所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形四边相等的四边形是菱形（填推理的依据）．∴PQ⊥AB菱形的对角线互相垂直（填推理的依据）．即PQ⊥l．【答案】解：（1）如图所示．（2）证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四边形APBQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．∴PQ⊥AB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）．即PQ⊥l．故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（2019•东城区一模）如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O 于点C，连接OC．（1）求证：OC⊥OB；（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．【答案】（1）证明：∵AB＝BP，∴∠BAP＝∠BPA，∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA，∴∠BAO＝90°，即∠BAP+∠PAO＝90°，∵OA＝OC，∴∠PAO＝∠C，∵∠BPA＝∠CPO，∴∠C+∠CPO＝90°，∴∠COP＝90°，即CO⊥BO；（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，则BO＝5，OP＝2，在Rt△CPO中，PO＝2，CO＝4，则CP＝2，∵BA＝BP，∴AD＝PD，由（1）知∠COP＝90°，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝∠CPO，∴△BPD∽△CPO，∴，即，∴PD，∴AP＝2PD．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2019•海淀区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图2，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ；所有直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．（2）完成下面的证明：证明：连接PB、QB．∵PA＝QB，∴．∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对圆周角相等）（填推理的依据）．∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）．【答案】解：（1）如图所示：（2）证明：连接PB、QB．∵PA＝QB，∴．∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对圆周角相等）．∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定．8．（2019•海淀区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在⊙O的切线CM上取一点P，使得∠CPB＝∠COA．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若AB＝4，CD＝6，求PB的长．【答案】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠AOC＝∠CPB，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC+∠CPB＝180°，∵∠PBO＝360°﹣∠CPB﹣∠BOC﹣∠PCO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB是⊙O的切线；（2）连接OP，∵AB是⊙O的直径，AB＝4，∴OC＝OB AB＝2，∵CD⊥AB，CD＝6，∴CE CD＝3，∵sin∠COE，∴∠COE＝60°，∵PB，PC是⊙O的切线，∴∠CPO＝∠BPO，∠OCP＝∠OBP，∴∠COP＝∠BOP＝60°，∴PB＝OB•tan60°＝6，【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2019•海淀区一模）如图1，线段AB及一定点C、P是线段AB上一动点，作直线CP，过点A作AQ⊥CP 于点Q，已知AB＝7cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为y1cm，P、Q两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值．x/cm0 0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 7y1/cm0 0.28 0.49 0.79 1 1.48 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78 y2/cm0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82 3.02 4.20 5.33 6.41 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APQ中有一个角为30°时，AP的长度约为 5.49或2.50cm．【答案】解：（1）∵过点A作AQ⊥CP于点Q，设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为y1cm，P、Q两点间的距离为y2cm．∴，∴当x＝4，y1＝2.61，∴，故答案为：3.02；（2）利用描点法画出函数图象如图所示：．（3）当△APQ中有一个角为30°时，x＝2y1，，∴x＝5.49或2.50；故答案为：5.49或2.50．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的有关知识，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．10．（2019•海淀区一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（CA＞2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE＝α，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（3）若点G在线段CF上，CG＝BD，连接DG．①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为2CG2＝DG2+AB2．【答案】解：（1）补全图形，如图所示：（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠ACE＝α，∴∠ECB＝45°+α，∵CF⊥BD交BD的延长线于点E，∴∠BEF＝90°，∴∠F+∠ABD＝90°，∵∠F+∠ECB＝90°，∴∠ABD＝∠ECB＝45°+α；（3）①DG与BC的位置关系：DG⊥BC，证明如下：连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，∵AB＝BC，∠ABD＝∠ECB，BD＝CG，∴△ABD≌△BCG（SAS），∴∠CBG＝∠BAD＝45°，∴∠ABG＝∠CBG＝∠BAC＝45°，∴AM＝BM，∠AMB＝90°，∵AD＝BG，∴DM＝GM，∴∠MGD＝∠GDM＝45°，∴∠BHG＝90°，∴DG⊥BC；②∵AB＝BC，BD＝CG，由勾股定理可得：CE2+BE2＝CB2，GE2+DE2＝GD2，∴DG2＝2DM2，AB2＝2BM2，DG2+AB2＝2（DM2+BM2）＝2BD2＝2CG2∴DG、CG、AB之间的数量关系为：2CG2＝DG2+AB2，故答案为：2CG2＝DG2+AB2，【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．11．（2019•石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD 于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF．（1）求证：CE AF；（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tan∠CAF＝2，求BC的长．【答案】（1）证明：连接CO并延长交AF于点G，如下图∵CD是⊙O的切线，∴∠ECO＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°．∵BE⊥CD，∴∠CEF＝90°．∴四边形CEFG是矩形．∴GF＝CE，∠CGF＝90°．∴CG⊥AF．∴．∴．即得证．（2）解：连接BC，如下图∵CG⊥AF，∴．∴∠CBA＝∠CAF．∴tan∠CBA＝tan∠CAF＝2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．在Rt△CBA中，设BC＝x，AC＝2x，则．∴x＝2即BC的长为2．【点睛】本题考查的是圆周角定理与垂径定理，在解决圆的相关问题中，这两个定理是基本定理，应用非常多，灵活运用是解题的关键．12．（2019•西城区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠A＝75°，AC＝4，求菱形DFCE的面积．【答案】（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DE BC，DF∥CE，DF AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴DE＝DF，∴四边形DFCE是菱形；（2）过E作EG⊥BC于G，∵AC＝BC，∠A＝75°，∴∠B＝∠A＝75°，∴∠C＝30°，∴EG CE AC＝1，∴菱形DFCE的面积＝2×1＝2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．13．（2019•西城区一模）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．已知：⊙O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．作法：如图①作⊙O的直径AC；②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；③连接BO并延长交⊙O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点A，C都在⊙O上，同理OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）（填推理的依据）∴四边形ABCD是矩形∵AB＝AO＝BO，∴四边形ABCD四所求作的矩形．【答案】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA＝OC同理OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）∴四边形ABCD是矩形∵AB＝AO＝BO，∴四边形ABCD即为所求作的矩形，故答案为：直径所对圆周角是直角，AO．【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的性质．14．（2019•石景山区一模）下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线AD，使得AD∥l．作法：如图2，①在直线l上任取一点B，连接AB；②以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；③分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CD．∵AD＝CD＝BC＝AB，∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）．∴AD∥l（菱形的对边平行）．【答案】解：（1）补全的图形如图所示：（2）证明：连接CD．∵AD＝CD＝BC＝AB，∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）．∴AD∥l（菱形的对边平行）故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对边平行．【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．15．（2019•北京一模）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l，垂足为Q．作法：如图，①在直线l上任取一点A；②以点P为圆心，PA为半径作圆，交直线l于点B；③分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；④连接PC交直线l于点Q．则直线PQ就是所求作的垂线．根据上述尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，AC＝BC，∴PQ⊥l．（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理的依据）【答案】解：（1）如图：（2）∵PA＝PB，AC＝BC，∴PQ⊥l，（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）．故答案为PB，BC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．【点睛】本题考查尺规作图，圆的性质，垂直的性质．能够根据给出条件作出图形，是解决问题的关键．16．（2019•北京一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径．【答案】解：（1）如图，连接OE，∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠5＝90°．∵CE＝BC，∴∠1＝∠2．∵OE＝OD，∴∠3＝∠4．又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2，BC＝CE＝4．设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，∴⊙O的半径为3．【点睛】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．17．（2019•北京一模）如图，▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，∠BAC＝90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BC＝4，∠B＝60°，求四边形AECF的面积．【答案】解：（1）∵在▱ABCD中，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵E，F分别是边BC，AD的中点，∴EC BC，AF AD，∴EC＝AF，∴四边形AECF为平行四边形．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC边中点，∴AE＝EC，∴四边形AECF是菱形；（2）如图，连接EF交AC于点O，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝4，∴AB＝2，AC＝2，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，∴OE是△ABC的中位线，∴OE AB＝1，∴EF＝2，∴S菱形AECF AC•EF22＝2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．18．（2019•北京一模）如图，等边△ABC的边长为3cm，点N在AC边上，AN＝1cm．△ABC边上的动点M从点A出发，沿A→B→C运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为xcm，MN的长为ycm．小西根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小西的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6y/cm 1 0.87 1 1.32 2.18 2.65 2.29 1.8 1.73 1.8 2（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当MN＝2cm时，点M运动的路程为 2.3或4或6cm．【答案】解：本题答案不唯一，如：（1）x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6y/cm 1 0.87 1 1.32 1.73 2.18 2.65 2.29 2 1.8 1.73 1.8 2（2）（3）观察图象可得当MN＝2cm时，点M运动的路程为2.3cm或4cm或6cm．故答案为：2.3或4或6．【点睛】本题是三角形综合题目，等边三角形的性质、描点法画函数图象、函数图象的性质以及应用等知识；理解函数图象的意义，正确运用图象法解题是关键．19．（2019•门头沟区一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P，给出如下定义：点A是线段MN 上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点．如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的“关联点”．如图，M（1，2），N（4，2）．（1）在点P1（1，3），P2（4，0），P3（3，2）中，线段MN的“关联点”有P1和P3；（2）如果点P在直线y＝x+1上，且点P是线段MN的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围；（3）如果点P在以O（1，﹣1）为圆心，r为半径的⊙O上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出⊙O半径r的取值范围．【答案】解：（1）如图1所示：∵点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点，M（1，2），N（4，2），∴点P的横坐标1≤x≤4，∵以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，当∠MPN＝60°时，PM，同理P′N，∴点P的纵坐标为2或2，即纵坐标2y≤2，∴线段MN的“关联点”有P1和P3；故答案为：P1和P3；（2）线段MN的“关联点”P的位置如图2所示，∵直线y＝x+1经过点M（1，2），∴x≥1，设直线y＝x+1与P4N交于点A，过点A作AB⊥MN于B，延长AB交x轴于C，由题意得：在△AMN中，MN＝3，∠AMN＝45°，∠ANM＝30°．设AB＝MB＝a，∴tan∠ANM，即tan30°，解得：a，∴点A的横坐标为：x＝a+11，∴x，综上所述：1≤x；∴点P的横坐标x的取值范围为：1≤x；（3）点P在以O（1，﹣1）为圆心，r为半径的⊙O上，且点P是线段MN的“关联点”，如图3所示：连接P4O交x轴于点D，P4、M、D、O共线，则圆心O到P4的距离为r的最大值，由（1）知：MP4＝NP5，即OD+DM+MP4＝1+23，圆心O到MP5的距离为r的最小值，作OE⊥MP5于E，连接OP5，则OE为r的最小值，MP52，OM＝OD+DM＝1+2＝3，△OMP5的面积OE•MP5OM•MN，即OE×23×3，解得：OE，∴r≤3．【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN的“关联点”图是关键．20．（2019•平谷区一模）如图，点P是所对弦AB上一动点，点Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ交于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，x的值为0）．小平根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm 5.37 4.06 2.83 m 3.86 4.83 5.82y2/cm 2.68 3.57 4.90 5.54 5.72 5.79 5.82 经测量m的值是（保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△BCP为等腰三角形时，AP的长度约为 1.2或 1.6或3cm．【答案】（1）解：（1）∵PA＝0时，点P与点A重合，AB＝6，PC＝AC＝5.37，BC＝2.68，∴AB2＝PC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径．当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3，∴y1＝3，故答案为3．（2）如图；（3）观察图象可知：当x＝y，即当PB＝PC或PB＝BC时，x＝3或1.2，当y1＝y2时，即PC＝BC时，x＝1.6，或x＝6（与P重合，△BCP不存在）综上所述，满足条件的x的值为1.2或1.6或3，．故答案为1.2或1.6或3.0．【点睛】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．21．（2019•房山区一模）如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE ⊥CD于点E．已知AB＝6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．小冬根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小冬的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0 1 2 3 4 5 6y/cm0 0.99 1.89 2.60 2.98 m0 经测量m的值为 2.76；（保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE＝2时，AC的长度约为 2.14或5.61cm．【答案】解：（1）经测量m的值是m＝2.76．（2）如图（3）如图，观察图象可知当BE＝2时，AC的长度约为2.14，5.61．【点睛】本题考查圆综合题，考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意、图象法解决实际问题．22．（2019•门头沟区一模）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O．求作：正方形ABCD，使正方形ABCD内接于⊙O．作法：如图2，①过点O作直线AC，交⊙O于点A和C；②作线段AC的垂直平分线MN，交⊙O于点B和D；③顺次连接AB，BC，CD和DA；则正方形ABCD就是所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，又∵点B在线段AC的垂直平分线上，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°．同理∠DAC＝45°．∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝45°+45°＝90°．∴∠DAB＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有3个直角的四边形为矩形）（填依据），又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．【答案】解：（1）如图2，四边形ABCD为所作；（2）完成下面的证明：证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，又∵点B在线段AC的垂直平分线上，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°．同理∠DAC＝45°．∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝45°+45°＝90°．∴∠DAB＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有3个直角的四边形为矩形），又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为90，45，有3个直角的四边形为矩形．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和正方形的判定方法．23．（2019•通州区一模）已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：射线CG，使得CG∥AB．下面是小东设计的尺规作图过程．作法：如图2，①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点G；④作射线CG．所以射线CG就是所求作的射线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接FG、DE．∵△ADE≌△CFG，∴∠DAE＝∠FCG．∴CG∥AB（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）．【答案】解：（1）如图，射线CG为所作；（2）完成下面的证明．证明：连接FG、DE．∵△ADE≌△CFG，∴∠DAE＝∠FCG．∴CG∥AB（同位角相等，两直线平行）．故答案为CFG，FCG，同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的性质．24．（2019•平谷区一模）下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的角平分线OP．作法：如图，①在射线OA上任取点C；②作∠ACD＝∠AOB；③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；④作射线OP；所以射线OP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：∵∠ACD＝∠AOB，∴CD∥OB（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）．∴∠BOP＝∠CPO．又∵OC＝CP，∴∠COP＝∠CPO（等边对等角）（填推理的依据）．∴∠COP＝∠BOP．∴OP平分∠AOB．【答案】解：（1）如图，OP为所作；（2）证明：∵∠ACD＝∠AOB，∴CD∥OB（同位角相等，两直线平行）；∴∠BOP＝∠CPO．又∵OC＝CP，∴∠COP＝∠CPO（等边对等角）．∴∠COP＝∠BOP．∴OP平分∠AOB．故答案为同位角相等，两直线平行；等边对等角．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质．25．（2019•平谷区一模）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F．（1）求证：AC＝CF；（2）若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．【答案】（1）证明：连接BE，∵CA是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵E是弧BD的中点，∴，∴∠BAE＝∠DBE，∴∠CAE＝∠EFB＝∠AFC，∴AC＝CF；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∴BC5．∵AC＝CF＝3，∴BF＝BC﹣CF＝2．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵cos∠ABC，∴BD，∴AD，DF＝BD﹣BF．∴tan∠BAE＝tan∠DAE．【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．26．（2019•延庆区一模）对于图形M、N，给出如下定义：在图形M中任取一点A，在图形N中任取两点B、C（A、B、C不共线），将∠BAC的最大值α（0°＜α＜180°）叫作图形M对图形N的视角．问题解决：在平面直角坐标系xOy中，已知T（t，0），⊙T的半径为1．（1）当t＝0时，①求点D（0，2）对⊙O的视角α；②直线l1的表达式y＝x+2，且直线l1对⊙O的视角α，求sin．（2）直线l2的表达式y＝x+t，若直线l2对⊙T的视角α，且60°≤α≤90°，直接写出t的取值范围．【答案】解：（1）①如图1中，过点D作⊙O的切线，切点分别为B，C，则∠BDC即为点D（0，2）对⊙O的视角α．∵D（0，2），∴OD＝2，∵DB，DC是⊙O的切线，∴DB⊥OB，DC⊥OC，∠ODB＝∠ODC，∵OD＝2OC，∴∠ODC＝∠ODB＝30°，∴α＝∠BDC＝60°．②如图2中，设⊙O交x轴于M，交y轴于N，直线y＝x+2交x轴于E（0，﹣2），交y轴于D（0，2），取DE的中点G（﹣1，1），连接GN，GM，则∠MGN即为直线l1对⊙O的视角．∵ON＝DN，DG＝GE，∴GN OE＝1，同法GM OD＝1，∴GM＝GN＝OM＝ON＝1，∴四边形OMGN是菱形，∵∠MON＝90°，∴四边形OMGN是正方形，∴∠ONG＝∠OMG＝90°，∴GN，GM是⊙O的切线，此时∠MGN是直线l1对⊙O的视角，∴α＝∠MGN＝90°，∴sin sin45°（2）如图3中，由题意OD＝O＝t，DT t，当∠TDB＝30°时，DT＝2TB＝2，∴t＝2，∴t，当∠TDB＝45°时，DT TB，∴t，∴t＝1，∵直线l2对⊙T的视角α，且60°≤α≤90°，∴1，根据对称性可知，当点T在y轴左侧时，t≤﹣1．综上所述，满足条件的t的值为1或t≤﹣1．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，图形M对图形N的视角的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．27．（2019•门头沟区一模）如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C，连接BC，DC和AC，AC与BD交于点O．（1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；（2）如果AB＝5，cos∠ABD，求BD的长．【答案】解：（1）如图，证明：由作法得BC＝DC＝AB，∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD．∴BC＝DC＝AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD，在Rt△ABO中，cos∠ABO，∴BO＝3，∴BD＝2BO＝6．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的判定与性质．28．（2019•通州区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD．（1）求证：四边形EADB是菱形；（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC＝2时，求△ECB的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BE，AE∥BD，∴四边形EADB是平行四边形，∵AB平分∠EAD，∴∠EAB＝∠DAB，∵AE∥BD，∴∠EAB＝∠DBA，∴∠DAB＝∠DBA，∴AD＝AD．∴四边形EADB是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝2，∴tan60°，∴AC＝2，∴S△ACB AC•BC2×22，。
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专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题）一．解答题（共50小题）1．（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD ＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【答案】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵AD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．2．（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．【答案】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD OP＝1∴OD∵OH 1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等证明ON＝QP．3．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【答案】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC4，DE BC4＝2，∴弧2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m综上所述，m或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE，AE≤3，即3，解得：t，∵t＞0∴0＜t．【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G，求AO的长．【答案】（1）证明：连接BD，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠ADO，∴tan G＝tan∠ADO，∴OA OD，∵BD＝4，∴OD＝2，∴OA＝1．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．5．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P，Q（P，Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O的半径为1，点B（0，3）．（1）①点B到⊙O的最大值，最小值；②在A1（5，0），A2（0，10），A3（，）这三个点中，与点B是⊙O的一对“倍点”的是A1；（2）在直线y x+b上存在点A与点B是⊙O的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）正方形MNST的顶点M（m，1），N（m+1，1），若正方形上的所有点与点B都是⊙O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）①点B到⊙O的最大值是BO+r＝3+1＝4；点B到⊙O的最小值是BO﹣r＝3﹣1＝2；②A1到圆O的最大值6，最小值4；A2到圆O的最大值11，最小值9；A3到圆O的最大值3，最小值1；点B到⊙O的最大值是4，最小值是2；在圆O上存在点P，Q，使得AP＝2BQ，则A1与B是⊙O的一对“倍点”，故答案为A1；（2）∵点B到⊙O的最大值是4，最小值是2∴4≤2BQ≤8，∵O到直线的最大距离是9，即OD＝9，∵∠DCO＝60°，∴CO＝6∴∴；（3）当m＞0时，S（m+1，0），T（m，0），则m+1≥4，∴m≥3，S（m+1，2），T（m，2），则OS≤9，∴9，∴m1；∴3≤m1；当m＜0时，S（m+1，0），T（m，0），则m≤﹣4，S（m+1，2），T（m，2），则OT≤9，∴9，∴m，∴m≤﹣4；综上所述：3≤m1或m≤﹣4；【点睛】本题考查圆的综合；熟练掌握圆与直线，圆与正方形的关系，点到圆上距离的最值的求法是解题的关键．6．（2019•东城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）．已知A（2，0），B（0，2）．（1）求d（点O，直线AB）；（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（⊙T，直线AB）≤1，直接写出t的取值范围；（3）记函数y＝kx，（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形Q．若d（Q，直线AB）＝1，直接写出k的值．【答案】解：（1）如图1中，作OH⊥AB于H．∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，AB＝2，∵OA×OB AB×OH，∴OH，∴d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．当d（⊙T，直线AB）＝1时，DH＝1，∴TH＝2，AT＝2，∴OT＝22，∴T（2﹣2，0），根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）＝1时，T（2+2，0），∴满足条件的t的值为2﹣2t．（3）如图3中，当直线经过点D（2，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2，当直线y＝kx经过E（1，1）时，k＝1，当直线y＝kx经过F（﹣1，3），k＝﹣3，综上所述，满足条件的k的值为﹣3或1．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（2019•朝阳区二模）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．（1）如图，若OA＝1，OP，依题意补全图形；（2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P 在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．【答案】解：（1）∵OA＝1，OP，∠MON＝45°，∴PA⊥OA，PA＝1∴OC∥OA，PC＝1．由旋转性质可知：PC⊥CD，CD＝AB＝1，∴D正好落在OM上．补全图形，如图1所示．（2）如图2，作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F．∵OP，∠MON＝45°，∴OE＝2．由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC．如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1．如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2．综上所述，OA的取值范围是1≤OA≤2．（3）如图4．作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点Q．当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD＝1，Q在CD的中点，QC由（2）可知CE＝OA＝1，∴QE，∵∠MON＝45°，∴OP，OQ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到OA＝CE，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（2019•海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N，给出如下定义：若在图形M上存在一点A，图形N上存在两点B，C，使得△ABC是以BC为斜边且BC＝2的等腰直角三角形，则称图形M与图形N具有关系φ（M，N）．（1）若图形X为一个点，图形Y为直线y＝x，图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），则点，P2（1，1），P3（2，﹣2）中可以是图形X的是P1；（2）已知点P（2，0），点Q（0，2），记线段PQ为图形X．①当图形Y为直线y＝x时，判断图形X与图形Y是否既具有关系φ（X，Y）又具有关系φ（Y，X），如果是，请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标；如果不是，请说明理由；②当图形Y为以T（t，0）为圆心，为半径的⊙T时，若图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），求t的取值范围．【答案】解：（1）P1；如图1，过P1作P1∁I⊥y轴交直线y＝x于点C1，作P1B1⊥x轴于B1（B1与O重合），∵P1（0，），∴P1O，将y代入y＝x中，得x∴C1（，），即：C1P1＝B1P1∴ 2∴P1（0，）与图形Y（直线y＝x）具有关系φ（X，Y）；∵P2（1，1）在直线y＝x上，∴P2（1，1）与图形Y（直线y＝x）不具有关系φ（X，Y）；∵P3（2，﹣2）∴B3（﹣2，﹣2），C3（2，2），∴B3C34 2∴P3（2，﹣2）与图形Y（直线y＝x）不具有关系φ（X，Y）；故答案为P1（0，）（2）①是，如图2，在直线y＝x上取点B，C，且BC＝2，则满足△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A，在到直线y＝x距离为1的两条平行直线上．这两条平行直线与PQ分别交于A1，A2两点．故图形X与图形Y满足φ（X，Y）．直线y＝x与线段PQ交于点M（1，1），过点M作MH⊥y轴于H，与A1B交于点N，则MA1＝1，，可得A1（，）．同理可求得A2（，）．如图3，在线段PQ上取点B，C，且BC＝2，则满足△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A在图中的两条线段上，这两条线段与直线y＝x交于A3，A4两点．故图形X与图形Y满足φ（Y，X）．同上可求得A3（，），A4（，）．②如图3，当△QB1C1为等腰直角三角形，且斜边B1C1＝2时，连接QT1交B1C1于S，则QS＝B1S＝C1S＝1，B1T1，∴T1S＝2，T1Q＝2+1＝3∴T1O∴T1（，0），同理可求得：T2（﹣1，0），T3（2，0），T4（5，0），∴或．【点睛】本题是一道新定义的圆综合题，考查了等腰直角三角形的性质，圆的性质等，关键是要理解新定义，并能够运用新定义解决问题．9．（2019•丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”．（1）已知M（﹣3，），N（3，）．①在点C（﹣2，2），D（0，1），E（1，）中，是线段MN的“等边依附点”的是D，E；②点P（m，0）在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知⊙O的半径为1，若⊙O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围．【答案】解：（1）①D，E；如图1，过点C作CD⊥MN于D，连接CM，过点E作EF⊥MN于F，连接EN，EM，DM，DN，∵tan∠CMD2tan60°，∴∠CMD＞60°，∴点C不是线段MN的“等边依附点”；∵tan∠DMN＝tan∠DNM，∴∠DMN＝∠DNM＜60°∴D是线段MN的“等边依附点”；∵tan∠ENF，tan∠EMN∴∠ENF＝60°，∠EMN＜60°∴E是线段MN的“等边依附点”；故答案为D，E②在图1中，分别在线段MN上方作∠NMQ＝∠MNP＝60°，角的一条边与MN重合，另一边分别与x 轴交于Q，P，作QD⊥MN于D，∵tan60°，即：，解得：MD＝1∴Q（﹣2，0）同理，可得P（2，0）∴点P的横坐标m的取值范围为：﹣2≤m≤2；（2）如图2，△ABC是等边三角形，点O为AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于P、Q，∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝∠ABC＝60°连接CO，OP，OQ，则OC⊥AB，OP⊥AC，OQ⊥BC∴sin60°，sin60°；∵OP＝OQ＝1∴OA＝OB∴AB的最小值为，∴．【点睛】本题是有关圆的一道综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质，等边三角形的性质等，解题的关键是正确理解新定义：图形G的“等边依附点”；并能够结合定义画出图形．10．（2019•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝4∠BAC．延长BC到点D，使CD＝CB，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠B＝2∠BAD；（3）用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）补全图形如图：（2）证明：∵∠ACB＝90°，CD＝CB，∴AD＝AB．∴∠BAD＝2∠BAC．∵∠B＝4∠BAC，∴∠B＝2∠BAD．（3）EA＝EB+DB，证明：在EA上截取EG＝EB，连接DG．∵DE⊥AB，∴DG＝DB．∴∠DGB＝∠B．∵∠B＝2∠BAD，∴∠DGB＝2∠BAD．∵∠DGB＝∠BAD+∠ADG，∴∠BAD＝∠ADG．∴GA＝GD．∴GA＝DB．∴EA＝EG+AG＝EB+DB．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．11．（2019•通州区三模）如图，已知线段AB＝6cm，过点B做射线BF且满足∠ABF＝40°，点C为线段AB 中点，点P为射线BF上的动点，连接PA，过点B作PA的平行线交射线PC于点D，设PB的长度为xcm，PD的长度为y1cm，BD的长度为y2cm．（当点P与点B重合时，y1与y2的值均为6cm）小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x（0≤x≤6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm 6.0 4.7 3.9 4.1 5.1 6.6 8.4y2/cm 6.0 5.3 4.7 4.2 3.9 4.1 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出y1，y2的图象；（3）结合函数图象解决问题：当△PDB为等腰三角形时，则BP的长度约为 3.1或3.9cm；（4）当x＞6时，是否存在x的值使得△PDB为等腰三角形否（填“是”或者“否”）．【答案】解：（1）由画图可得，x＝4时，BD＝y2≈3.9．（2）如图所示，（3）由y1与y2的交点的横坐标可知，x＝3.1cm时，PD＝BD，由直线y＝x与y2的交点的横坐标可知，x＝3.9cm时，PB＝BD，观察图象可知，PB不可能等于PD，故答案为3.1或3.9．（4）观察图象可知，x＞6时，△PDB不可能为等腰三角形．故答案为否．【点睛】本题考查函数的图象，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．12．（2019•石景山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，⊙O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E，过点D作DP∥BC交AB于点P．（1）求证：PD＝PE；（2）连接CP，若点E是AP的中点，OD：DC＝2：1，CP＝13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DP∥BC，∠C＝90°，∴∠ADP＝∠C＝90°．∴PD⊥OD．∴PD是⊙O的切线，∵PE是⊙O的切线，∴PD＝PE；（2）解：连接OE，DE．∵点E是AP的中点，∴DE＝EP＝EA．∵PD＝PE，∴PD＝PE＝DE．∴△DEP是等边三角形，∴∠APD＝60°，∴∠A＝30°．∵PE与⊙O切点E，∴∠AEO＝90°．∵OD：DC＝2：1，∴设DC＝x，则OD＝2x．在Rt△AOE中，tan A则OE＝OD＝2x，则AE＝PD＝2x．在Rt△CPD中，DC2+PD2＝CP2，∴x2+（2x）2＝132，解得x∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，直角三角形斜边中线的性质，直角三角函数等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．13．（2019•丰台区二模）如图1，M是圆中上一定点，P是弦AB上一动点，过点A作射线MP的垂线交圆于点C，连接PC．已知AB＝5cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，P、C 两点的距离为y2cm．小帅根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点，画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.55 3.15 3.95 4.76 4.95 4.30y2/cm 2.55 2.64 2.67 2.11 1.13 2.55 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：在点P的运动过程中，当AC与PC的差为最大值时，AP的长度约为4 cm．【答案】解：（1）经测量得：当x＝3时，y2＝2.11；（2）用描点法，描绘如下图象，（3）从图象可以看出，当x＝4时，AC与PC的差为最大值，故答案为4．【点睛】本题为圆的综合运用题，主要考查的是描点作图，根据图象，确定题设已知条件，从图中观察、测量出求解得结论，一般难度不大．14．（2019•西城区二模）对于平面内的∠MAN及其内部的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点P关于∠MAN的“偏率”．在平面直角坐标系xOy中，（1）点M，N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点．①若点P的坐标为（1，5），则点P关于∠MON的“偏率”为5；②若第一象限内点Q（a，b）关于∠MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为a＝b；（2）已知点A（4，0），B（2，2），连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）．若点C关于∠AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），⊙T是以点T为圆心，半径为1的圆．若⊙T上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF的“偏率”都大于，直接写出t的取值范围．【答案】解：（1）①∵点M，N分别在x轴正半轴，y轴正半轴上∴点P（1，5）到OM距离d1＝5，到ON距离d2＝1∴点P关于∠MON的“偏率”为： 5故答案为：5．②∵点Q（a，b）在第一象限，到OM距离d1＝b，到ON距离d2＝a∴点Q关于∠MON的“偏率”为：1或 1∴a＝b故答案为：a＝b．（2）过点C作CD⊥OA于点D，CH⊥OB于点H，如图1，∴∠CDA＝∠CHB＝90°∵点A（4，0），B（2，2）∴OA＝4，OB4，AB 4∴OA＝OB＝AB∴△OAB是等边三角形∴∠OAB＝∠OBA＝60°∵∠CDA＝∠CHB＝90°∴△CDA∽△CHB∴∵点C关于∠AOB的“偏率”为2∴2或 2①当2，则 2∴CA AB∴DA＝CA•cos60°，CD＝CA•sin60°∴OD＝OA﹣DA＝4∴C（，）②当2，则 2∴CA AB∴DA＝CA•cos60°，CD＝CA•sin60°∴OD＝OA﹣DA＝4∴C（，）综上所述，点C的坐标为（，）或（，）．（3）∵T（t，4）∴点T在直线y＝4上∵⊙T上的所有点都在第一象限，且半径为1∴⊙T与y轴相离∴t＞1设⊙T上的点R坐标为（x，y）（x＞0，y＞0）∵点R关于∠EOF的“偏率”都大于∴或①若，则y x∴点R在直线y x的上方，即⊙T在直线y x左侧且与其相离当⊙T与直线y x相切于点I，如图2，设直线y＝4与y轴交于点G，与直线y x交于点J∴GT＝t，OG＝y J＝4，∴GJ＝x J∴tan∠OJG∴∠OJG＝60°∵TI＝1，TI⊥OJ∴Rt△TIJ中，sin∠OJG∴TJ TI∴GT＝GJ﹣TJ∴当⊙T在直线y x左侧与其相离时，1＜t②若，则y x∴点R在直线y x的下方，即⊙T在直线y x右侧且与其相离当⊙T与直线y x相切于点K，如图3，设直线y＝4与y轴交于点G，与直线y x交于点L∴GL＝x L y L＝4∴tan∠OLG∴∠KLT＝∠OJG＝30°∵TK＝1，TK⊥OK∴Rt△TKL中，sin∠KLT∴LT＝2TK＝2∴GT＝GL+LT＝4 2∴当⊙T在直线y x右侧与其相离时，t＞4 2综上所述，t的取值范围为1＜t或42．【点睛】本题考查了新定义的理解，点到直线距离，平面直角坐标系点的特征，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊三角函数值的应用，圆的切线性质．解题关键是新定义的理解和应用，根据新定义的表述画出图形数形结合地解决问题．第（3）题问题转化到圆与直线相离后，先计算相切时t的值，再判断相离时t的范围．15．（2019•平谷区二模）如图，点P是半圆O中上一动点，连接AP，作∠APC＝45°，交弦AB于点C．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0）．小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm0 1.21 2.09 m 2.99 2.82 0y2/cm0 0.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6 经测量m的值是 2.7（保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 4.2或2.3cm（保留一位小数）．【答案】解：（1）经测量：m＝2.7；（2）通过描点，画出如下图象；（3）①当AC＝PC时，即：y1＝y2，从图象可以看出：x＝4.2；②当AP＝PC时，画出函数：y＝x的图象，图象与y1的交点处x的为2.3；故：答案为4.2或2.3．【点睛】本题为圆的综合题，主要是研究函数y随自变量x的变化而变化的规律，此类题目，主要通过画出函数图象，根据题设条件，找出图象对应的点的值即可．16．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|m﹣n|），则称点M为P，Q的跟随点．（1）若m＝0，①当n＝3时，P，Q的跟随点的坐标为（3，3）；②写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；③记函数y＝kx﹣1（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；（2）⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）①把m＝0，n＝3代入点P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|）＝（3，|0﹣3|）＝（3，3）．故答案为：（3，3）；②把m＝0代入P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|），当n＞0时，（n，n）；当n＜0时，（n，﹣n）．所以P，Q的跟随点的坐标为（n，n）或（n，﹣n）；③由②可知，当m＝0时，P，Q的跟随点在函数y＝x（x≥0）或y＝﹣x（x≤0）的图象上，且函数y＝x（x≥0）或y＝﹣x（x≤0）的图象上的每一个点都是P，Q的跟随点．令x＝1，则y＝1，图形G经过点（1，1）时，k＝2；令x＝﹣1，则y＝1，图形G经过点（﹣1，1）时，k＝﹣2；由图可知，k的取值范围是﹣2＜k＜0或0＜k＜2．（2）因为⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，∴m的取值范围为：﹣2m2或2m≤2．【点睛】本题考查圆综合题、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题17．（2019•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm9.49 8.54 7.62 6.71 5.83 5.00 4.24y2/cm9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为 3.50或5或6cm．【答案】解：（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF EC＝3 4.24．（2）函数图象如图所示：（3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6．故答案为：3.50或5或6．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了画出的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会利用描点法画出函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．18．（2019•昌平区二模）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．小明的作法如下：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AP＝PQ＝BQ．∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．∴PQ∥l．【答案】解：（1）如图所示．（2）：∵AB＝AP＝PQ＝BQ．∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）．∴PQ∥l．故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（2019•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4.5cm．D是线段AB上的一个动点，连接CD，过点D作CD的垂线交CA于点E．设AD＝xcm，CE＝ycm．（当点D与点A或点B 重合时，y的值为5.2）探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5y/cm 5.2 4.8 4.4 4.0 3.8 3.6 3.5 3.6 5.2（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE＝2AD时，AD的长度约为 1.9cm（结果保留一位小数）．【答案】解：（1）如图1，过E作EF⊥AB于F，由表格可知：AC＝5.2，AB＝4.5，Rt△ACB中，∠A＝30°，∴BC AC＝2.6，当x＝4时，即AD＝4，∴BD＝0.5，∵∠EDC＝90°，易得△EFD∽△DBC，∴，设EF＝5a，FD＝26a，则AE＝10a，AF＝5a，∵AD＝4，∴5a+26a＝4，a，∴y＝AC﹣AE＝5.2﹣10 5.2 4.0；x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 y/cm 5.2 4.8 4.4 4.0 3.8 3.6 3.5 3.6 4.0 5.2 故答案为：4.0；（2）如图2所示：（3）设EF＝a，则AE＝2a，AF a，如图，由（1）知：△EFD∽△DBC，∴，即，∵AC＝2a+y＝5.2，当CE＝2AD时，y＝2x，则2a+2x＝5.2，a+x＝2.6，∴a＝2.6﹣x，∴2.6（2.6﹣x）＝（4.5﹣x）[x（2.6﹣x）]，2.73x2﹣19.383x+27.001＝0，x1≈5.2（舍），x2≈1.9，答：AD的长度约为1.9cm；故答案为：1.9．【点睛】此题是三角形与函数图象的综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，函数图象的画法，直角三角形的性质，勾股定理，并与方程相结合，计算量比较大．20．（2019•房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，∠MON，点A在射线OM上，点B在∠MON内部，用直尺和圆规作点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：a．点P到A，B两点的距离相等；b．点P到∠MON的两边的距离相等．小明的作法是：①连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；②作∠MON的平分线交EF于点P．所以点P即为所求．根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，∴PA＝PB．∵OP平分∠MON，∴点P到∠MON的两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等（填推理的依据）．所以点P即为所求．【答案】（1）解：如图，（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，∴PA＝PB．∵OP平分∠MON，∴点P到∠MON的两边的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等）．所以点P即为所求．故答案为PB；角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．21．（2019•昌平区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的⊙C，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙C的“圆距离”，记作d（M﹣C）．（1）点C在原点O时，①记点A（4，3）为图形M，则d（M﹣O）＝4；②点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（M﹣O）＝3；③记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≤1，直接写出k的取值范围；（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与（1）中相同，记∠AOB为图形M，且d（M﹣C）＝1，直接写出t的值．【答案】解：（1）①如图1，点A（4，3），则OA＝5，d（M﹣O）＝AQ＝5﹣1＝4，故答案为4；②如图1，由题意得：d（M﹣O）＝PQ＝4﹣1＝3；③如图1，过点O作OP′⊥直线l于点P′，直线l与y轴交于点D，则d（M﹣O）＝P′Q′，当P′Q′＝2为临界点的情况，OD＝4，∴∠P′DO＝30°，∴k，故k；（2）①如图2，当点为角的顶点O（P）时，则PQ＝1，则OC＝2，即：t＝2；②如图3，当点P在射线OA时，tan∠AOC，则sin∠AOC，CP＝CQ+PQ＝1+1＝2，t＝OC；故：t＝2或．【点睛】本题为圆的综合题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，这种新定义类型的题目，通常按照题设的顺序，逐次求解，一般难度不大．22．（2019•通州区三模）已知：如图，∠MAN＝90°，线段a和线段b求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b．下面是小东设计的尺规作图过程．作法：如图，①以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B；②以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D；③分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于∠MAN内部的点C；④分别连接BC，DC．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝CD；AD＝BC；∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠MAN＝90°；∴四边形ABCD是矩形（填依据有一个角为直角的平行四边形是矩形）．。