最短距离
最短距离判断方法
一、若两地间的经度差等于180度，且不在赤道上，则经过两点的大圆是经线圈这两点的最短航程须经过极点。
(1)同位于北半球，最短航程必须经过北极点，其航行的方向一定是先向正北，过北极点后再向正南。
（2）同位于南半球，最短航程必须经过南极点，其航行方向一定是先向正南，过南极点后再向正北。
（3）两地位于不同半球，这时需要考虑经过北极点为劣弧，还是南半球为劣弧，然后再确定最短航程的走向。
二、若两地经度差不等于180度，则过两地的大圆不是经线圈，而是与经线圈斜交，其最短航程不经过极点。
若甲、乙两点在此大圆的最北点两侧或最南点两侧，具体分为两种情况。
（1）甲位于乙的东方，从甲到乙的最短航程为:同在北半球，先向西北，最后向西南；同在南半球，先向西南，最后向西北；位于不同半球时需要讨论哪一段为劣弧段。
（2）甲位于乙的西方，从甲到乙最短航程为：同在北半球，先向东北，最后向东南；同在南半球；先向东南，最后向东北；位于不同半球，需要具体讨论哪一段为劣弧段。
如何证明两点之间距离最短(三维版)
如何证明两点之间距离最短(三维版)两点之间直线最长曲线最短证明如下：两点之间直线最短，这是数学常识，我无异意。
我只是站在另一个角度思考问题。
我试图把北京和纽约这两个点用直线连接起来，因为两点之间直线最短，但折腾了半天，发现：两点之间直线最长。
原理在于，地球是圆的，任何一点与另一点之间都无法直线连接，一旦想直线连接，连线必然沿切线直飞出去，很难与另一点连接在一起。
唯有曲线连接，才是最短的距离。
我拿了一个可口可乐瓶子，在瓶面上取两点，想把这两点用直线连接起来，结果失败，结果依然证明：两点之间直线最长，曲线最短。
百般思索和试验的结果发现：所谓两点之间直线最短的结论仅仅适合于二维平面之中，超出二维平面，这个结论失效。
此外，这个结论在理论上成立，在实际中不成立。
这就是说，不在同一维度中两点之间无法直线连接，越想用直线连接，距离会越远。
同时，理论上正确的，实际中无法应用。
把这个发现引伸到其他领域结果会如何呢？在思想领域，两点之间也无法直线连接，比如耶稣、佛陀、老子、穆罕默德、马克思列宁毛泽东、奥修、赛斯等等的思想相互之间无法用直线连接，最短的距离是曲线连接。
在社会领域，比如美国和中国的制度，这两点之间也无法直线连接，唯有曲线最短。
在信仰领域，比如无神论和有神论，进化论和创造论，唯心论和唯物论，都无法直线连接。
在人文领域，比如东西方文化，尤其是其价值观，也无法直线连接。
在情爱方面，越是直线连接，寿命越短，"曲径通幽处，禅房花木深，"越曲，越心惊肉跳，越有滋味。
在幸福快乐方面，越想直线获得幸福快乐，越得不到幸福快乐。
许多人走了一辈子，最后会发现越直接的路是离幸福快乐最遥远的路，且不通向任何目的地。
其实，中国人是最懂曲线道理的，行贿不直接向本人行，而是通过其夫人或七大姨八大姑行贿，也不一定直接行物行钱，而是提供获利方便。
办事不直接到办公室说，而是先请到酒店意思意思。
心急火燎却装得没事人似的。
什么"欲擒故纵"、"围魏救赵"、"瞒天过海"、"声东击西"、"暗渡陈仓"、"借尸还魂"、"指桑骂槐"、"偷梁换柱"、"美人计"、"反间计"等等，等等就是在搞"曲线救国"。
有关最短距离问题
有关最短距离问题
例1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。
P B
A
这是课本中的一道题，做法相信大家都知道。
其实，这种方法还可以和其他知识合起来变形应用。
例2.要在一条河上修一座垂直于河岸的桥，河岸两旁有A、B两村，要使从A到B的距离最短，桥应该修在那个位置。
A
解：过点B做河岸的垂线,并截取BC,使BC等于河岸的宽度，连接AC交下边河岸于点P，则P点为所求的点。
做法如上图。
例3.在锐角三角形中求一点P，使P到此三角形三个顶点的距离和最短，求点P的位置。
E
D
P
C
B
A
解：假设P点在上图位置，连接PA、PB、PC,将⊿PAB逆时针方向旋转0
60.
在⊿PBD 中PB=DB ,∠PBD=060.所以⊿PBD 为正三角形。
所以PB=BD=PD.
由旋转性质知：PA=DE 。
所以PA+PB+PC=PC+PD+DE
由两点之间线段最短知，当E 、D 、P 、C 在同一直线上时，PA 、PB 、PC 距离之和最短。
所以∠EDB=∠BPC=0120 即∠BPA=∠BPC=∠APC=0120
因此，点P 在使∠BPA=∠BPC=∠APC=0120的位置时，到三角形三顶点的距离之和最短。
最短距离
AD+DC+CB最短
谢谢，再见 ！
B
C
D
E
②点到直线，垂线段最短.
基本几何模型：
已知：如图,点A、点B在直线L的同侧. 求作： L上一点P，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线L的对称点B/. ② 连接AB/,交直线L于点P. B 点P的位置即为所求. A
为什么这样做就能得到 最短距离呢？ MA + MB′>PA+PB ′ 即MA + MB′>PA+PB
M
l
P B/
数学原理：两点之间线段最短
模型的应用：
例1. 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上， 且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小 值为 10 。
分析：当线段DN和MN的长度恰好能够转化 在一条线段上时，DN+MN最小。
模型的应用：
例2.如图，CD是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O 上，∠ACD=30°,点B是劣弧AD的中点，点P是直 径CD上一动点，则PA+PB的最小值是 2 ．
分析：当线段AP和BP的长度恰好能够转化在一条线段上时， AP+BP最小。
A
B C O D
B′
P
几何模型的常见背景：
模型的应用：
例3. 如图，已知∠MON内有一点A，试分别在 边OM和ON上各找一点B、C，使得△ABC的周长 最小。试画出图形，并说明理由。
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够转化在一条线段 上时，三角形的周长最小。
M B A
O C N
作法： 1. 作点A关于OM的对称点A′ 2. 作点A 关于ON的对称点A″ 3. 连接A′A″，分别交OM，ON于点B、点C。 则点B、点C即为所求
世界上最短的距离
世界上最短的距離
本文是关于世界上最短的距離，仅供参考，希望对您有所帮助，感谢阅读。
世界上最短的距離~ 不是你我
幸運的相遇
而是我們已有共同的交集
世界上最短的距離~
不是我們
已有共同的交集
而是當我說我愛你
世界上最短的距離~
不是當我說
我愛你
而是唇與唇互烙發光的記號
世界上最短的距離~
不是唇與唇
互烙發光的記號
而是你已在我心中
世界上最短的距離~
不是你已在
我心中
而是我知你心在想什麼
世界上最短的距離~
不是我知
你心在想什麼
而是你也知我心中在想什麼
世界上最短的距離~
不是你也知
我心中在想什麼
而是靈魂與靈魂之間
已不再需要言語
世界上最短的距離~
不是靈魂與靈魂之間
已不再需要言語
而是魚已活在水中.水在魚中彼此再也無法分離......。
[精品]最短距离法
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最短距离法 最短距离法是从商品运输距离出发来考虑配送中心的设置位置。
它的目的是通过选择一个配送中心的设置位置，以使从这一点到各个网点的直线距离之和最小，从而节省运输费送。
最短距离发的计算公式如下：
∑∑==
=n i i n i i i d d X X 111 ∑∑===n i i n i i i d d Y Y 111
式中，),(Y X 为仓库坐标；),(i i Y X 为第i 个网点的坐标；i d 为仓库到底i 个网点的直线距离：22)()(Y Y X X d i i i
-+-=。
最短距离法的计算过程比较复杂。
按迭代法计算的过程如下：
（1） 假设一个仓库的的初始位置),(00Y X 。
（2） 以初始位置计算到各网点的距离i d 。
（3） 将i d 代入最短距离法公式计算，求出改善的仓
库位置),(i i Y X 。
（4） 比较),(00Y X 和),(i i Y X ，如果他们的差等于零，则说明已经找到配送中心的最佳位置。
否则重新计算i d ，并非返回到步骤（3）进一步计算。
这个过程需要反复进行下去，直至配送中心的位
置不在需要变动为止，即获得配送中心最佳位置。
弗洛伊德最短距离算法
弗洛伊德最短距离算法弗洛伊德算法是一种用于解决带权有向图中任意两个节点之间最短路径的算法，也称为 Floyd-Warshall 算法。
它的基本思想是通过遍历每一个节点作为中间点，更新每两个节点之间的最短距离，不断缩小最短路径的范围，直到找到所有节点之间的最短路径为止。
算法的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 表示节点的总数。
虽然该算法的时间复杂度较高，但它适用于解决那些稠密的图问题，特别是在数据量较小的情况下。
同时，该算法还可以用于解决带负权边的最短路径问题，但需要注意防止产生负环。
对于一个大小为 n 的图，弗洛伊德算法需要计算 n 次最短路径，并对每个路径进行 n 次更新。
因此，总运算次数为 n^3。
算法的核心是利用一个二维数组来存储节点之间的最短距离，其中 dist[i][j]存储节点 i 到节点 j 的最短距离。
通过多次循环更新这个数组，可以找到每个节点之间的最短路径。
具体的实现方法是，先初始化 dist 数组，使得所有节点之间的距离都初始化为各自之间的距离，即 dist[i][j] = w(i,j)，其中w(i,j) 表示节点 i 到节点 j 的距离。
然后，对于每一个中间节点 k，遍历一次整个图，更新 dist 数组，使得 dist[i][j] 取值为dist[i][k] + dist[k][j] 和 dist[i][j] 本身之间的较小值。
在更新过程中，需要注意防止出现负权边的情况。
如果图中存在负权边，则可能出现负环，导致算法无法正常结束。
因此，需要在算法中加入检查负环的步骤，避免产生死循环。
弗洛伊德算法是一种比较常用的最短路径算法，它简单易懂、实现方便，适合用于解决小规模稠密图的最短路径问题。
同时，它还可以通过一些优化手段，如路径剪枝和启发式搜索等，进一步提高算法效率。
最短距离问题
第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小几何模型2条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小二、方法归纳对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。
三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。
例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC 最小值。
【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，易求解：作关于对称点四边形ABCD是正方形在上，且即是的最小值【搭配课堂训练题】1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标【难度分级】A类〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。
〖答案〗解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C 两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【难度分级】A类〖试题来源〗2009眉山中考数学真题〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB 与对称轴的交点M即为所求。
最短距离公式
最短距离公式最短距离公式是数学中的一个重要概念，它可以用来计算两个点之间的最短距离。
在实际生活中，最短距离公式被广泛应用于地图导航、工程设计、运输物流等领域。
本文将对最短距离公式的原理、应用和优化进行详细介绍。
一、最短距离公式的原理最短距离公式是基于勾股定理的推导而来的。
勾股定理指的是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
根据勾股定理，我们可以得出最短距离公式的基本形式：d = √((x2-x1) + (y2-y1))其中，d表示两点之间的最短距离，x1和y1分别表示第一个点的横纵坐标，x2和y2分别表示第二个点的横纵坐标。
最短距离公式的原理就是通过勾股定理计算出两点之间的距离。
二、最短距离公式的应用1.地图导航地图导航是最短距离公式的常见应用之一。
在地图上，我们可以将地点的坐标表示为经纬度或平面直角坐标系中的坐标，通过最短距离公式计算两个地点之间的距离，从而确定最短路径。
地图导航软件如高德地图、百度地图等都是基于最短距离公式实现的。
2.工程设计在工程设计中，最短距离公式可以用来计算两个点之间的距离，从而确定物体的大小、位置、形状等参数。
例如，在建筑设计中，可以利用最短距离公式计算出建筑物的高度、宽度、长度等参数；在机械设计中，可以利用最短距离公式计算出机械零件之间的距离，从而确定机械的尺寸和形状。
3.运输物流在运输物流中，最短距离公式可以用来计算货物的运输距离、时间和成本。
例如，在物流配送中，可以利用最短距离公式计算出配送点之间的距离，从而确定最短路径和最优配送方案；在货物运输中，可以利用最短距离公式计算出货物的运输距离和时间，从而确定运输成本和时间。
三、最短距离公式的优化最短距离公式的计算量较大，特别是在大规模数据的情况下。
为了提高计算效率，可以采用以下优化技术：1.分段计算将距离的计算分成多个步骤，每次计算两个点之间的距离，然后将这些距离相加得到总距离。
这种方法可以避免单次计算量过大，提高计算效率。
最短距离
空间与图形 专题1-2—最短距离问题一．知识内容 考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段”，“点关于直线对称”，“线段的平移”。
原型来源于： “建奶站”，“造桥选址”等问题。
背景变式有：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
二．原题呈现： 1.书P123页 问题解决：A,B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A,B 到它的距离最短？2. 造桥选址问题：a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？3.升学指导54页例2： 6cm ，5cm ，4cm ，现有一只蜘蛛由A 点出发去捕食G 处的昆虫，则这只蜘蛛的最短爬行路线是多少厘米？4. 升学指导166页14题（2008年青岛中考第14题）：EF 长为10cm ．母线OE(OF)长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA=2cm ，一只蚂 蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ．5. 升学指导175页14题（2009年青岛中考第14题）：长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．居民区B居民区A 街道 G A Ａ ＦＥ Ｏ第3题图 第4题图6.升学指导256页14题（2012年青岛中考第14题）：4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ． 三．变式拓展：1.如图，AC 、BD 为边长为2cm 的正方形ABCD 的对角线，相交于点O,点D 为BC 边的中点，请在BD 上找一点P ，使DP+CP 之和最小，最小为 。
2.如图2，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 边CD 上的一点，且DE=1，试在AC 上确定一点P ，使PD+PE 的和最小，最小为 。
世界上最短的距离
世界上最短的距离——读《零距离》有感
世界上最短的距离——读《零距离》有感"> 听妈妈说，世界上最美好的语言就是诗。
那么世界上最远的距离呢？仅仅是两极之间吗？直至我认识了泰戈尔，我才了解了世界上最远的距离是什么。
世界上最远的距离
不是，生与死的距离
而是我站在你面前
你不知道我爱你
……
就是这样一首诗，没有美丽的修饰，没有华丽的词藻，全诗重复着“世界上最远的距离……，不是……，而是……”，给人一种音乐的美的享受，又有一种冰冷刺骨的悲哀。
全诗的抒发的情感层层递进，让读者的心随着诗的节拍一起跳动。
想一想：比彼此相爱却无法表白更遥远的是将他们分隔开来，比痛彻心脾的思念更遥远的是将自己的感情掩饰；比把思念埋在心底更遥远的是尚未相遇便注定今生无缘……读着这一节节诗，眼前仿佛浮现出这样的画面：双双蝴蝶被风打散，并肩的双星愈飞愈远，同枝的黄花无法相依，含情的落叶难以归根……！从古至今这样的事还少吗？梁山伯祝英台有情难全，罗密欧与朱丽叶在坎坷中追求……啊……！
这一个字似乎可以诠释我的内心的全部。
每每读罢这首诗，我的心都会被两种不同的感情所充斥：一种是悲伤，为爱不能完美而悲伤，感慨人生中的阴晴圆缺，悲欢离合；另一种则是欣慰，因为，至少还有爱！
或许世界上最远的距离正像诗中说的那样，是飞鸟和鱼儿的距离，因为一个在广阔的天空，一个在深邃的海底。
我不知道是否读一首诗就会有这样矛盾的感受，不过，我越来越喜欢诗爱情诗了，因为她们是最美好的。
行程距离最短的方案
阳城发车
到达济源
旅行时间
旅行距离
区间票价/硬座
6918/6919(嘉峰-洛阳)
14:15
15:16
1小时3分
57公里
3.5元
中转车次
济源发车
到达新乡
旅行时间
旅行距离
区间票价/硬座
K590(重庆北-北京西)
20:00
22:07
2小时12分
128公里
20元
行程花费最优惠的方案:阳城->济源->新乡
行程距离最短的方案:阳城->济源->新乡
出发车次
阳城发车
到达济源
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旅行距离
区间票价/硬座
6918/6919(嘉峰-洛阳)
14:15
15:16
1小时3分
57公里
3.5元
中转车次
济源发车
到达新乡
旅行时间
旅行距离
区间票价/硬座
6902(洛阳-新乡)
15:33
18:30
3小时1分
111公里
9元
行程时间最短的方案:阳城->济源->新乡
K590(重庆北-北京西)
20:01
22:07
2小时6分
128公里
20元
6902(洛阳-新乡)
15:33
18:30
2小时57分
128公里
10元
L34(成都-北京西)
15:00
17:36
2小时36分
128公里
10元
L604(重庆-北京西)
05:58
08:24
2小时26分
128公里
10元
L92(重庆-北京西)
最短的距离
－ —
枪歹徒 ， 所以她的笑 依然足那么甜
女孩的话一下子在安德鲁豹
心灵深处掀起了一股风暴！ 此 时此 刻的自 己， 不正是在用自己的生命 ，
一ｌ １ ． ＿
衣漠 尹
二 （ １ ）班
４ － ４４ ３０ ９
他气喘 吁吁地跑 ｝ 楼 ，发现 美 ． 在那 美丽鲜花的映讨下
了一 扇 虚 掩 着 的 门 ，便 闯 了进 得楚楚动人。
去 。首先 映入眼帘 的足一个 身材
“ 你一 定是从 电视 Ｉ 看到关＝ ｆ 换取金钱吗？ 赶 来 看 我 插 花 的
只 能 活到１ ９ 岁。 还有几矢就是麓 。＿ ／
位职业 拳击手 ，就在 ２ ０ 分 钟前 ， 穷困潦倒的他持枪抢劫了一个刚从 银行 提款 出来的妇女。 他之所 以铤 而走险 ， 是 因为孤独 的他太需要钱
了， 他觉得 只有钱才能给他的心灵
“ 我为你感到遗憾，也许你现 ＿ ＝ ｊ 在和我一样最缺的是钱了， 要是鼹 誓
即将 离开这个世界？”
ｚ
的警车疾驶着在追赶一辆慌不择路 的白色面包车 。面包车 ｝ ，一个持
枪男子疯狂地踩着油门夺路而逃 。 他叫道格拉斯 ・ 安德鲁 ，曾经是一
０
“ 足啊 ，难道你不知道？裁 ｉ
有先 天性心脏 病， 医生 说我最 ． ¨ 。
ｌ ８岁 ＿ 牛 日了 。 ”
颀长的女孩正背对着他坐在窗前插 我 的报 道 ．
越来增援的警察已经将这个： 麓 。
花 。他将黑 洞洞 的枪 口对准 。 ＿ ｒ ＝ 女 吧？”就在他发 的 ｎ儿 ． 女孩 居民区包厣 ｆ 得水泄不通 ， 他们并不 孩 ．要 是 她 胆 敢 呼 救 或 反 抗 的 幸福而 自豪地笑着沈 “ 没想到， 在 知道此 时在这 问屋子里 发生的一 譬ｉ ．前来搜捕的脚步声越来越型 话 ，他 就 会 毫 不 犹 豫 地 扣 动 扳 我即将离开这个世 界的时候 ． 大家 切 ：
《最短距离》
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探究成果：
课前活 动一
1.若已知长方体的长a、宽b、高c，且 abc，
课前活 则长方体表面上相对两点之间的最短路程是：
动二
合作 探究
（bc） 2a2
合作
探究 2.最短距离问题的解决方法一：
知识 梳理
利用“展开”
解决最短距离问题
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问题2：如图，在平面直角坐标系中，点A
探究成果：
课前活 动一
课前活 动二
最短距离问题的解决方法四：
合作
探究
利用“平移”与“轴对称”结合
合作
解决最短距离问题
探究
知识 梳理
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一种数学思想：利用“转化”思想，把相关
课前活 动一
问题转化为基本类型：
课前活 动二
B
B
合作 A
A
探究
合作
方法1：利用展开
探究
A
C A′
B
A
a
M
b A′
课前、AB的中点
分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD
课前活 动二
的最小值。
y
B
合作
探究
D
C
合作
D P
P
探究
P
l
C’ O C A x
知识
C′
梳理
PC+PD=PC’+PD=C’D= 22222 2
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课前活 动一
课前活 动二
合作 探究
合作 探究
知识 梳理
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探究成果：
1.基本模型： B A
C
最短距离
（1）实际问题：在一条笔直的高速公路l的同侧有两处旅游景点A、B，AB=50km，A、B到l的距离分别为10km和40km，要在高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．现有两种设计方案：图①是方案一的示意图（AP与直线l垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图②是方案二的示意图（点A关于直线l 的对称点是A’，直接写出S1、S2的值，并比较它们的大小；（2）几何模型：如图③在∠AOB的内部有一点P，且∠AOB=45°，OP=50，在射线OA、OB上各找一点M、N，是△PMN的周长最小请你说出做法、画出草图：并求出周长的最小值．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）根据勾股定理分别求得S1、S2的值，比较即可；（2）作点P关于OA的对称点P'，作点P关于OB的对称点P''，连接P'P''，与OA交于点M，与OB交于点N，则此时△PMN的周长最小．解答：解：（1）图①中过B作BC⊥l于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，则BC=40，又∵AP=10，∴BD=BC-CD=40-10=30．在△ABD中，AD=502-302=40，在Rt△PBC中，∴BP=22，S1=402+10．图②中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，又∵BC=40，∴BA'=2241，由轴对称知：PA=PA'，∴S2=BA'=1041，∴S1＞S2．（2）作点P关于OA的对称点P'，作点P关于OB的对称点P''，连接P'P''，与OA 交于点M，与OB交于点N，则此时△PMN的周长最小，因为PM=MP'，PN=NP''，故可得△PMN的周长为线段P'P''，根据两点之间线段最短可得此时的周长最短．连接OP'、OP''，则可得OP'=OP''=OP=50，∠P'OP''=90°，故可得P'P''=502．。
最短距离算法
重复前面的操作步骤 已标记V0、 V2后，计算d3, d4, d5： d3 = min{d3, d2 + l23} = min{∞, 10+50} = 60 d4 = min{d4, d2 + l24} = min{30, 10+∞} = 30 d5= min{d5, d2 + l25} = min{100, 10+∞}=100 上述距离中， d4=30最短，标记V4，并从中可以看出，直接连接到v4的前一点为v2，则得到v4的一对标 号：（30，v2） 已标记V0、 V2、 V4后，计算d3, d5： d3= min{d3, d4 + l43} = min{60, 30+20}=50 d5= min{d5, d4 + l45} = min{100,30+60}=90 上述距离中， d3= 50最短，标记V3，同理得到得到v3的一对标号：（50，v4） 已标记V0、 V2、 V4、V3后，计算d5 ： d5= min{d5, d3 + l35} = min{90,50+10}=60 上述距离中， d3=60最短，标记V5，同理得到得到v5的一对标号：（60，v3） 已标记V0、 V2、 V4、V3、 V5后，计算d1： d1 =min{d1, d5 + l51}=min{∞, 60 + ∞}=∞ 上述距离中， d1= ∞最短，标记V1，不存在从起始点到v1的最短路径。 全部结点标记完毕。从上可以看出，从V0到V5的最短距离为60。
终点 V1 V2 V3 V4 V5 标记点
从源点到各 点最短路径
从源点V0到各终点的距离值和最短路径的求解过程
标记第1个终点 标记第2个终点 标记第3个终点 标记第4个终点 标记第5个终点
两直线间的最短距离公式
两直线间的最短距离公式
两直线间的最短距离可以通过以下公式计算：
1.首先，我们需要了解两条直线的方程。
一条直线可以用斜截式方程来表示：
y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
另一条直线可以用相同的
形式表示。
我们将这两个方程分别记为L1和L2。
2.接下来，我们需要找到两条直线的交点。
通过将L1和L2方程相等，并解
方程组，我们可以得到交点的坐标。
我们将交点的坐标记为(x0, y0)。
3.然后，我们可以使用点到直线的距离公式来计算最短距离。
点到直线的距
离可以用以下公式表示：d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)，其中(A,
B)是直线的法向量，C是直线的常数项。
对于L1和L2来说，我们可以将
其转化为以下形式：
•L1: Ax + By + C1 = 0
•L2: Ax + By + C2 = 0
4.将交点的坐标代入上述公式中，即将x0和y0代入A、B、C1和C2的值
中，然后计算得到的结果就是两条直线之间的最短距离。
请注意，如果两条直线是平行的，那么它们将没有交点。
在这种情况下，最短
距离就是两条直线之间的垂直距离，也就是其中一条直线到另一条直线的距离。
总结起来，两直线间的最短距离公式可以通过以下步骤计算：
1.找到两条直线的方程，记为L1和L2。
2.解方程组，找到两条直线的交点坐标(x0, y0)。
3.将交点的坐标代入点到直线的距离公式，计算出最短距离d。
这就是计算两直线间最短距离的公式及步骤。
希望能对你有所帮助！。
最短的距离
最短的距离年末的一天清晨，在底特律的街头，一辆警车疾驶着追赶一辆慌不择路的白色面包车。
面包车上，一个持枪男子疯狂地夺路而逃。
他叫道格拉斯安德鲁，曾经是一位职业拳击手。
20分钟前，他持枪抢劫了一个刚从银行提款出来的妇女。
他之所以铤而走险，是因为他太需要钱了，他觉得只有钱才能给他的心灵带来温暖，改变他的生活和命运。
安德鲁驾驶着面包车像没头苍蝇一样，最后被逼进一个居民区，走投无路的他拎着巨款躲进一幢居民楼。
他发现了一扇虚掩着的门，便闯了进去，一个身材颀长的女孩正背对着他坐在窗前插花。
他将黑洞洞的枪口对准了女孩，若她胆敢呼救或反抗，他就会毫不犹豫地扣动扳机。
女孩显然也被他的声音惊扰了。
"欢迎你，今天你是第一个来参观我插花艺术的人。
'女孩说着转过身来，笑靥如花。
安德鲁惊呆了，放在扳机上的手指下意识地松弛下来，他看到一张阳光般灿烂的笑脸，而且她竟是一个盲人！她并没有意识到，此刻她所面对的是一个走投无路、穷凶极恶的持枪歹徒。
她的笑那么甜美，在那些美丽鲜花的映衬下更显得楚楚动人。
"你一定是从电视上看到关于我的报道，才赶来看我插花的吧？'女孩笑着说，"没想到，在我即将离开这个世界的时候，大家都这么关心我，这几天前来看我的人络绎不绝，都说是我对生活的热爱给了他们活下去的勇气呢！'女孩的天真以及毫不设防的态度让他的情绪渐渐平稳下来。
他按着女孩的指引，开始欣赏那些插花。
红的玫瑰、白的百合、黄的郁金香在窗台上展示着不可抗拒的美丽。
安德鲁突然对这个女孩产生了好奇："你刚才说你即将离开这个世界？'"是啊，我有先天性心脏病，医生说我最多能活到19岁。
还有几天就是我19岁生日了。
'"我为你感到遗憾，也许你现在和我一样最缺的就是钱了，要是能有更多的钱，也许你会长久而快乐地生活下去！'联想起自己的困窘生活，安德鲁苦涩地笑笑。
女孩微笑着对他说："你说错了，即使有再多的钱也治不好我的病。
最短距离
6．已知：如图，MNQ △中，MQ NQ ≠．（1）请你以MN 为一边，在MN 的同侧构造一个与MNQ △全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠． 求证：CD=AB ．第二节 最短距离知识聚焦：例题精讲：例1．如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN的最小值为．例2．如图所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .QNM DCBA例3．（1）如图1，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 ；（2）几何拓展：如图2，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值例4． 如图，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．例5． 如图,菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 ．BB例6．如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．例7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F 的坐标.O xyBDAC P大显身手：1.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．23B ．26C ．3D ．62. 一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．xy D COB AxyDCOB A。
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最短距离问题
◎知识聚焦
所谓最短距离，就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及的定理：
1、两点之间，线段最短；
2、垂线段最短。
常用思考的方式：
1、把立体转化为平面；
2、通过轴对称寻找对称点。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程
将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A
点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）
A．7 B ． C ． D．5
二、在长方体（正方体）中，求最短路程
例1：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个
顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为
（）
A．5cm B ．cm C．4cm D．3cm
例2：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）
有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）
A．4.8 B ．C．5 D ．
三、题中出现一个动点。
当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.
例1：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一
动点，求PE+PC最小值。
2.在等腰Rt△ABC中，CA=CB，E是BC上一点，且BE=2，P是斜边AB上一动点，则PC+PE的长度之和的最小值是（）
A、10
B、11
C、12
D、13
3．（2005•河南）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直
线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为
_____________
6．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=
∠C，若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为_________
7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，
点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值
是___________
9．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为________
10．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（3，0），P是直线y=x上的点，当PA+PB最小时，试求P点的坐标
1
．（
2010•台湾）
如
图
，
△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）
A．8 B．8.8 C. 9.8 D．10
二、题中出现两个动点。
当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。
2．在直角坐标系中，已知两点A（-8，3）、B（-4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值m/n为（）
A、-2/3
B、-2
C、-3/2
D、0
2．（2011•本溪）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于
点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）
A、2
B、4
C、8 D.8
1．如图，在锐角三角形ABC中，BC=2
4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．
（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，直线OC解析式为y=x，
①求点C的坐标；
②求△O AC的面积．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△O AC的面积为6，且O A=4，P、Q
分别为线段O A、OE上的动
点，连接A Q与PQ，试探索
A Q+PQ是否存在最小值？若
存在，求出这个最小值；若
不存在，说明理由．三、题中出现三个动点时。
在求解时应注意两点：
(1)作定点关于动点所在直线的对称点,
(2)
同时要考虑点点
,
点线,
线线之间的最短问题.
4．如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为
_____________．
总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。