2019年黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末考试数学(理)试题_有答案[精]
2019年高二上学期期末考试(数学理)
2019年高二上学期期末考试（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上.3．考试结束后，监考人员将试卷Ⅱ和答题卡一并收回.一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是( )A. B.cos C.cos D.cos3. 设，则是的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件XYCBAC ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．（x ≠0） B ．（x ≠0） C ．（x ≠0） D ．（x ≠0）5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，βR ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段 6．在中,,则( )A ．B ．C ．D ．7．在等比数列1129119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中 的值为 （ ）A ．9B ．1C ．2D ．3 8．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( ) A ． B ． 1 C ． 4 D ． 9． 在中,若,则是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形10．等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 12．四棱柱的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，，，则的长为( ) A ． B ． C ． D ．xx第一学期高中二年级期末模块检测考试数学试题（理工农医类）注意事项：1、第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
哈尔滨市高二上学期数学期末考试试卷(I)卷
哈尔滨市高二上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）圆心为点（3,4）且过点（0,0）的圆的方程（）A .B .C .D .2. （2分）直线的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分）若向量、的坐标满足，，则·等于（）A . 5B . -5C . 7D . -14. （2分）已知直线l方程为2x-5y+10=0,且在轴上的截距为a,在y轴上的截距为b，则|a+b|等于（）A . 3B . 7C . 10D . 55. （2分） (2019高三上·长治月考) 已知实数，，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知x、y满足约束条件，则的最小值为（）A . 17B . -11C . 11D . -177. （2分）已知直线;平面;且,给出下列四个命题：①若,则;②若,则；③若,则;④若，则其中正确的命题是（）A . ①④B . ②④C . ①③④D . ①②④8. （2分） (2018高一下·鹤壁期末) 点到直线的距离为，则的最大值是（）A . 3B . 1C .D .9. （2分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分）求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程________．11. （1分） (2017高二上·莆田月考) 下列命题：①“四边相等的四边形是正方形”的否命题；②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③“若，则”的逆命题.其中真命题是________.12. （1分）已知x2+y2+x+y+tanθ=0（﹣＜θ＜）表示圆，则θ的取值范围为________13. （1分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线A1C异面的有________ 条．14. （1分） (2019高二上·长沙期中) 设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于________．15. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________三、解答题 (共4题；共20分)16. （5分） (2016高一下·天全期中) 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．17. （5分）(2013·江西理) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= ，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．18. （5分） (2016高二上·鞍山期中) 已知圆C的方程为：x2+y2﹣2mx﹣2y+4m﹣4=0，（m∈R）．（1）试求m的值，使圆C的面积最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程．19. （5分） (2018高一下·衡阳期末) 已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点 .（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得(为坐标原点)，求的取值范围；（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共6题；共6分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共20分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高二上学期期末数学理含答案
则实数 a 的
A. a 0
B.
a1
C.
0 a1Βιβλιοθήκη D.a16. 哈尔滨市冰雪节期间， 5 名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则
不同的游览方法共有（
）种 .
A． 90
B
． 60
C
． 150
D
． 125
；
③若 m ，
，则 m ；
④若
，
，则 / / ；
则真命题为（ ）
A. ①②
B.
③④
C.
②
D.
②④
4. 若 (3x 1 ) n ( n N ) 的展开式中各项系数和为 64，则其展开式中含 x 2 项的系数为 （
）
x
A. 540
B.
540
C.
135
D.
135
5. 已知复数 z 5a 1 i , a R ，若复数 z 对应的点在复平面内位于第四象限， 2 i 1i
哈尔滨市第六中学 2019 届上学期期末
高二理数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
1. 命题“任意实数 x , 都有 x 2 ”的否定是（
）
A．对任意实数 x , 都有 x 2
B
．不存在实数 x , 使 x 2
C．对任意非实数 x , 都有 x 2
D
．存在实数 x , 使 x 2
2. 已知复数 z 2 i 2 i ，则 z 的共轭复数的虚部为（
）
2i 2i
A. 6
B.
8
C.
5
5
黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)
黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·海口模拟) 当双曲线：的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（）A . ±1B .C .D .2. （2分） (2017高二上·广东月考) 函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（）A .B .C .D . 或3. （2分）下列不等式在a＜b＜0的条件下不能成立的是（）A . a﹣1＞b﹣1B .C . b2＜a2D .4. （2分） (2020高二上·无锡期末) 设为数列的前项和，满足，则（）A .B .C .D .5. （2分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列判断错误的是（）A . MN与CC1垂直B . MN与AC垂直C . MN与BD平行D . MN与A1B1平行6. （2分）不等式的解集是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 已知函数y=x2的图象在点（x0 ， x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A . 0＜x0＜B . ＜x0＜1C . ＜x0＜D . ＜x08. （2分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1 ，Ω2 ，…上时，x+y的最大值分别是M1 ， M2 ，…，则Mn=（）A . 0B .C . 2D . 29. （2分） x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A . 14B . 7C . 18D . 1310. （2分）边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在棱DD1上运动，Q在底面ABCD上运动，但PQ为定长b（a＜b＜ a），R为PQ的中点，则动点R的轨迹在正方体内的面积是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A . 乙可以知道四人的成绩B . 丁可以知道四人的成绩C . 乙、丁可以知道对方的成绩D . 乙、丁可以知道自己的成绩12. （2分）设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在1和16之间插入n﹣2（n≥3）个实数，使这n个实数构成递增的等比数列，若记这n个实数的积为bn ，则b3+b4+…+bn=________14. （1分）(2016·江苏) 已知实数x ， y满足，则x2+y2的取值范围是________.15. （1分） (2016高一下·宿州期中) 若不等式（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．16. （1分）(2017·南阳模拟) 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的负半轴上，则该圆的标准方程为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·上饶期中) 已知函数，其中且．（1）若，求满足的集合．（2）若，求的取值范围．18. （5分） (2018高二上·大连期末) 已知抛物线，焦点到准线的距离为4，过点的直线交抛物线于两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如果点恰是线段的中点，求直线的方程．19. （15分） (2016高三上·闵行期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=a（a∈R），an+1= ，n∈N*；（1）若0＜an≤6，求证：0＜an+1≤6；（2）若a=5，求S2016；（3）若a= （m∈N*），求S4m+2的值．20. （10分）如题（19）图，三棱锥中，平面，，分别为线段上的点，且（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期末考试高二理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.命题“任意实数,都有”的否定是（）A. 对任意实数,都有B. 不存在实数,使C. 对任意非实数,都有D. 存在实数,使【答案】D【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意实数x，都有”的否定是：“存在实数,使”．故选：D．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系．2.已知复数，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．【详解】复数z，则的共轭复数的虚部为．故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题:①若，则；②若，，则；③若，则；④若，则；则真命题为（）A. ①②B. ③④C. ②D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系逐一判断即可．【详解】①若n∥α，则α内的直线m可能与n平行，也可能与n异面，故①错误；②m∥α，过m的平面与α交于n，则m∥n，∵m⊥β，∴n⊥β，∵n⊂α，∴α⊥β，故②正确；③因为若α⊥β，m⊂β，则m与α的位置关系不确定，故m与α可能相交，可能平行，也可能是m⊂α，故③错误；④以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，线面平行的性质，注意考虑特殊情况．4.若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意令x＝1，则2n＝64，解得n，再利用通项公式即可得出．【详解】由题意令x＝1，则2n＝64，解得n＝6．∴的通项公式为：T r+1（3x）6﹣r（﹣1）r36﹣r，令6-2，解得r＝4．∴含项的系数为32＝135．故选：C．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知复数，若复数对应的点在复平面内位于第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0，虚部小于0，求得答案【详解】z2a+（1﹣a）i，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则，解得：a＞1，故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6.哈尔滨市冰雪节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有（）种.A. 90B. 60C. 150D. 125【答案】A【解析】【分析】把5名游客分为三组，其中两组是2人，一组是一人，然后全排即可.【详解】第一步：把5名游客分为三组，其中两组是2人，一组是一人，共种;第二步：把三组进行全排列，共有种，∴不同的游览方法有15×6＝90种．故选：A【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．7.如图，在三棱锥中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，．若是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与所成角的余弦值．【详解】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），A（4，0，0），（﹣2，2，﹣3），（-4，0，6），设异面直线与所成角所成角为θ，则cosθ．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：A．【点睛】求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。
2019年高二上学期期末考试理数试题含答案
2019年高二上学期期末考试理数试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间之间坐标系中，平面内有和两点，平面的一个法向量为，则等于（）A． B． C． D．2.某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A． B． C． D．3.已知，若直线与直线垂直，则等于（）A． B． C． D．4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是直线倾斜角的倍，则等于（）A． B． C. D．5.已知命题，.若是假命题，则命题可以是（）A．椭圆的焦点在轴上 B．圆与轴相交 C.若集合，则 D．已知点和点，则直线与线段无交点6.空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（）A． B． C. D．7.“”是“圆与圆有公共点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件8.已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（）（1）若，，则；（2）若，，，，则；（3）如果，，，是异面直线，那么与相交；（4）若，，且，，则且.A． B． C. D．9.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，，、分别是、的中点，则点到平面的距离为（）A． B． C. D．10.已知直线与圆相交于、两点，，且，则等于（）A． B． C. D．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C. D．12.已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于.若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（）A． B． C. D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.底面半径为的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 ．14.在平面直角坐标系中，正方形的中心坐标为，其一边所在直线的方程为，则边所在直线的方程为 ．15.椭圆的右顶点和上顶点分别为和，右焦点为.若、、成等比数列，则该椭圆的离心率为 ．16.在正方体中，是上一点，若平面与平面所成锐二面角的正切值为，设三棱锥外接球的直径为，则 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，，，点在直线上.（1）若直线的斜率是直线的斜率的2倍，求直线的方程；（2）点关于轴对称点为，若以为直径的圆过点，求的坐标.18. （本小题满分12分）已知双曲线的离心率为，经过第一、三象限的渐近线的斜率为，且.（1）求的取值范围；（2）设条件；条件()()2:2220q m a m a a -+++≤.若是的必要不充分条件，求的取值范围.19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面，底面是一直角梯形，，，，，.（1）若，为垂足，求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.20. （本小题满分12分）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点.当直线的斜率是时，.（1）求抛物线的方程；（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.21. （本小题满分12分）如图，四边形是矩形，平面，，且，，.（1）过作平面平面，平面与、分别交于、，求与平面所成角的正弦值；（2）为直线上一点，且平面平面，求的值.22. （本小题满分12分）已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且，.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积.试卷答案一、选择题1.C 由题意得，则，即，解得.2.B 由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为、和，其面积为.3.D 由题意得cos2sin2cos4sin cos0θθθθθ-=-=，，.4.A 由已知得双曲线的渐近线的倾斜角为，则，得.5.D 易判断命题是假命题，若是假命题，则为假命题，选项、、均正确，对于，作图知直线与线段有交点，所以选.6.A211211322322MN MO ON OA OB OC a b c=+=-++=-++.7.A 若圆与圆有公共点，则，解得或，故选.8.B 根据面面垂直的判定定理可知命题（1）正确；若，，，，则与平行或相交，故命题（2）错误；如果，，，是异面直线，那么与相交或平行，故命题（3）错误；由线面平行的性质定理可知命题（4）正确.故正确命题有个，故选.9.A 建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即630,2630.2x zx y⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取，得.又,故点到平面的距离为.10.B ，直线与直线垂直，且圆心到直线的距离为，即23,2,31aa⎧=-=⎪+⎩，作图知，解得3,4.3ab⎧=-⎪⎨=⎪⎩则.11.D 该几何体的直观图如图所示.连接，则该几何体由直三棱柱和三棱锥组合而成，其体积为1112232238 232⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.12.C 抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，又，、、三点共线，且是线段的中点，，，，则，，圆心到直线的距离为，所求的弦长为.二、填空题13. 设高为，则由题意得，解得.14. 直线上的点关于点对称点为，设直线的方程为，则直线过，解得，所以边所在直线的方程为.15. 、、，由得，，，则，解得或（舍去）.16. 过作交于，过作于，连接，则为平面与平面所成锐二面角的平面角，，，设，则，，则，，则三棱锥外接球的直径，.三、解答题17.解：（1）点在直线上，可设点，直线的斜率是直线的斜率的倍，，解得，则点，直线方程为，即.（2）点关于轴对称点，，以为直径的圆过点，，即，解得，即，圆的圆心坐标为. 18.解：（1）由已知得:,,,,解得，，，即的取值范围.（2）()()2222m a m a a -+++≤0，，即，是的必要不充分条件，解得，即的取值范围为.19.解：法一：（1）过点作交于，连接，则与所成角即为与所成角.在中，，由得，..2223333433a PA PE a PD a ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，.32234433a a CD PE ME a PD a ∴===. 连接.在中，，，，，，，.又底面，，.平面.平面，.在中，.异面直线与所成角的余弦值为.法二：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设与所成角为，则()230cos a a a AE CD AE CD a a θ+===-+ 异面直线与所成角的余弦值为.（2）易知，，，则平面.平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，.而，，由，.得0,0.ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩令，. 设向量与所成角为， 则2225cos 511BC m BC m a α====++..平面与平面所成锐二面角的正切值为.20.解：（1）设，，当直线的斜率是时，的方程为，即.由得，又，，③由①②③及得：，，，即抛物线的方程为.（2）易知的斜率存在，且不为，设，的中点坐标为，由得，④，.线段的中垂线方程为，线段的中垂线在轴上的截距为.对于方程④，由得或，.21.解：（1）当时，平面平面.证明：连接，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，平面平面，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系（如图），则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则，，，设与平面所成角为，则sin cos,AF nθ===（2）设，，则，，，点的坐标为，平面，，欲使平面平面，只要，，，，得，.22.解：（1），，，，，.即，则，，，椭圆.（2）设直线的方程为.由221124y x mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得.①设、的坐标分别为、，的中点为，则，.因为是等腰的底边，所以.所以的斜率241334mkm-==--+，解得.此时方程①为，解得，，所以，，所以. 此时，点到直线的距离，所以的面积.$22375 5767 坧8Q 32922 809A 肚34793 87E9 蟩精品文档26756 6884 梄32198 7DC6 緆q23630 5C4E 屎24970 618A 憊实用文档。
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
B . p∧（￢q）
C . （￢p）∨q
D . （￢p）∧（￢q）
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高二下·海安月考) 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为________．
14. （1分） (2017高二下·烟台期中) 在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高二上·郑州期中) 给出如下四个命题：
①若“ ”为假命题，则 ， 均为假命题；②命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；③“ ， ”的否定是“ ， ”；④在 中，“ ”是“ ”的充要条件.其中正确的个数是（ ）
⑴对任意a，b∈R，a*b=b*a；
⑵对任意a∈R，a*0=a；
⑶对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．
关于函数f（x）=（ex）* 的性质，有如下命题：
⑴f（x）为偶函数；
⑵f（x）的x=0处取极小值；
⑶f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]；
⑷方程f（x）=4有唯一实根．
其中正确的命题的序号是________．
15. （1分） (2017高二上·安阳开学考) 已知点M（﹣5，0），N（0，5），P为椭圆 + =1上一动点，则S△MNP的最小值为________．
16. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2，D为BC的中点．则直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值________．
2019-2020学年人教A版黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期末理科数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，其中说法正确的为（）①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是简单随机抽样；③该抽样一定不是按性别的分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是；A．②③④B．②③C．①②③D．③④2．现采取随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示集中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击四次至少击中三次的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．05 D．0.63．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（）A．B．C．﹣﹣D．4．下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β＝l，则l一定垂直于平面v5．已知（1+x）n展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．214B．213C．212D．2116．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．1 B．C．2 D．7．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．88．已知双曲线一条渐近线方程为，则双曲线方程可以是（）A．B．C．D．9．设随机变量X～N（1，σ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（﹣1＜X≤3）＝0.9544，那么向正方形OABC中随机投掷40000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）（附：若随机变量X～N（1，σ2），则P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826）A．26348 B．28112 C．24152 D．3015610．（x2﹣2x﹣3）（2x﹣1）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．348 B．88 C．﹣232 D．﹣61211．已知四面体ABCD外接球的球心O恰好在AD上，等腰直角三角形ABC的斜边AC为2，，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．12πD．16π12．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．二.填空题13．设随机变量X服从二项分布，且期望E（X）＝3，其中，则方差D（3X+5）＝．14．某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为．15．已知点P是椭圆+＝1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2＝60°，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率为．16．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝2，AB＝BC＝∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断，其中正确的序号是．①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E﹣AA1O的体积为定值；④AE+EC1的最小值为2．三.解答题（共70分）17．40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数（保留小数点后两位数字）和众数；（3）从成绩在[50，70）的学生中任选3人，求这3人的成绩都在[60，70）中的概率．18．某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是．甲乙丙是否击中目标相互独立．（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝DC＝2，∠BCD＝90°，E，F分别为AC，AD 上的动点，且EF∥平面BCD，二面角B﹣CD﹣A为60°．（1）求证：EF⊥平面ABC；（2）若BE⊥AC，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值．20．某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这10人中随机选取3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列及数学期望；（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的数学期望和方差．21．在平面四边形ACPE中（如图1），D为AC的中点，AD＝DC＝PD＝2，AE＝1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现将此平面四边形沿PD折起使二面角A﹣PD﹣C为直二面角，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC 的中点．（Ⅰ）求证：面FGH∥面ADPE；（Ⅱ）在线段PC上是否存在一点M，使得面FGM与面PEB所成二面角的余弦值为？若存在，求线段PM的长；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率，一个焦点在直线y＝x+上，若直线l与椭圆交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为k1，直线OQ的斜率为k2．（1）求该椭圆的方程．（2）若k1k2＝﹣，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一.选择题（每题5分，共60分）1．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，其中说法正确的为（）①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是简单随机抽样；③该抽样一定不是按性别的分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是；A．②③④B．②③C．①②③D．③④【分析】①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假．解：①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；第二步确定分段间隔k＝＝6；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤10）；第四步将编号为l+6k（0≤k≤4）依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男三女，抽的比例不同，故③正确；④该抽样男生被抽到的概率＝；女生被抽到的概率＝，故前者小于后者．因此④不正确．故选：C．2．现采取随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示集中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击四次至少击中三次的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．05 D．0.6【分析】该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，利用列举法求出20组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的基本事件，由此能估计该运动员射击四次至少击中三次的概率．解：该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，20组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的有：7527，9857，8636，6947，4698，8045，9597，7424，共8个，∴估计该运动员射击四次至少击中三次的概率：p＝＝0.4．故选：B．3．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（）A．B．C．﹣﹣D．【分析】利用间接法，没有限制条件是选法，排除只选男生和只选女生的选法，即可得出结论解：利用间接法，没有限制条件是选法有，只选男生的选法有，只选女生的选法有，故男、女同学至少各有1人参加，则选法总数有﹣﹣，故选：C．4．下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β＝l，则l一定垂直于平面v【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断，B．利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，C．利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，D．根据面面垂直的性质进行判断．解：A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a不一定平行于直线b正确，故A正确，B．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B错误，C．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C 错误，D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β＝l，则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v，故D正确，故选：C．5．已知（1+x）n展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．214B．213C．212D．211【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可解：已知（1+x）n的展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，可得∁n4＝∁n8，可得n＝4+8＝12．（1+x）12的展开式中奇数项的二项式系数和为：×212＝211．故选：D．6．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．1 B．C．2 D．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l；根据题意列方程求出r的值．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l；则圆锥的表面积为S＝πr2+πrl＝9π，…①又圆锥的侧面展开图是一个半圆，即2πr＝πl，…②由①②解得r＝．所以圆锥的底面半径为．故选：B．7．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．解：抛物线C：y2＝x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|＝x0，∴x0＝x0+，解得x0＝2．故选：B．8．已知双曲线一条渐近线方程为，则双曲线方程可以是（）A．B．C．D．【分析】运用双曲线的渐近线方程，分别求得选项的渐近线方程，即可判断．解：双曲线一条渐近线方程为，可得另一条渐近线方程为y＝﹣x，选项A的渐近线方程为y＝±x；选项B的渐近线方程为y＝±x；选项C的渐近线方程为y＝±x；选项B的渐近线方程为y＝±x；故选：D．9．设随机变量X～N（1，σ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（﹣1＜X≤3）＝0.9544，那么向正方形OABC中随机投掷40000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）（附：若随机变量X～N（1，σ2），则P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826）A．26348 B．28112 C．24152 D．30156【分析】由已知求得阴影部分的概率，乘以40000得答案．解：∵随机变量X～N（1，σ2），且P（﹣1＜X≤3）＝0.9544，∴P（1＜X≤2）＝1﹣×0.6826＝1﹣0.3413＝0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为40000×0.6587＝26348，故选：A．10．（x2﹣2x﹣3）（2x﹣1）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．348 B．88 C．﹣232 D．﹣612【分析】把（2x﹣1）6按照二项式定理展开，可得（x2﹣2x﹣3）（2x﹣1）6的展开式中，含x3项的系数．解：解：（x2﹣2x﹣3）（2x﹣1）6＝（x2﹣2x﹣3）•（•（2x）6﹣•（2x）5+•（2x）4+…﹣•（2x）+），故展开式中，含x3项的系数为（﹣3）•（﹣•23）+（﹣2）••22+1•（﹣•2）＝480+（﹣120）﹣12＝348，故选：A．11．已知四面体ABCD外接球的球心O恰好在AD上，等腰直角三角形ABC的斜边AC为2，，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．12πD．16π【分析】取AC的中点M，则OM为CD的中位线，又因为点M为△ABC的外接圆的圆心，所以球心O到平面ABC的距离d＝OM＝＝，所以外接球半径R＝OA＝，从而求出外接球表面积．解：如图所示：取AC的中点M，则OM为CD的中位线，又∵点M为△ABC的外接圆的圆心，∴球心O到平面ABC的距离d＝OM＝＝，∴外接球半径R＝OA＝，故外接球表面积为4πR2＝16π，故选：D．12．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．【分析】这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．解：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为3×3×3＝27种所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27＝108种因为4 个人去的景点不相同的可能性为4×3×2×1＝24种，所以P（A|B）＝＝．故选：A．二.填空题（每题5分，共20分）13．设随机变量X服从二项分布，且期望E（X）＝3，其中，则方差D（3X+5）＝18 ．【分析】推导出E（X）＝np＝＝3，解得n＝9，从而D（X）＝npq＝2，方差D（3X+5）＝9D（X），由此能求出结果．解：∵随机变量X服从二项分布，且期望E（X）＝3，其中，∴E（X）＝np＝＝3，解得n＝9，∴D（X）＝npq＝9×＝2，∴方差D（3X+5）＝9D（X）＝9×2＝18．故答案为：18．14．某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为8 ．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥P﹣ABCD，ABCD是长方形方形，侧面PAB为等腰直角三角形，PA＝PB＝2，侧面PAB⊥底面ABCD，再由棱锥体积求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，ABCD是长方形，侧面PAB为等腰直角三角形，PA＝PB＝2，侧面PAB⊥底面ABCD，则四棱锥的高PO＝2，可得四棱锥的体积是V＝．故答案为：8．15．已知点P是椭圆+＝1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2＝60°，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率为．【分析】画出图形，利用椭圆的定义，以及余弦定理求出a，c关系，然后求解椭圆的离心率即可．解：点P是椭圆+＝1上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2＝60°，且|PF1|＝3|PF2|，如图：设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，则：，可得4c2＝7×，解得e＝＝．故答案为：．16．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝2，AB＝BC＝∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断，其中正确的序号是①③④．①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E﹣AA1O的体积为定值；④AE+EC1的最小值为2．【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE＝x，列出AE+EC1关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．解：如图，∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；当B1E＝1时，AB1⊥A1E，而C1B1⊥A1B，∴A1E⊥平面AB1C1，则A1E垂直AC1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O是AC1与A1C的交点，则△AA1O的面积为定值，由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距离为定值，∴三棱锥E﹣AA1O的体积为定值，故③正确；设BE＝x，则B1E＝2﹣x，∴AE+EC1＝+．由其几何意义，即平面内动点（x，）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为，故④正确．故答案为：①③④三.解答题（共70分）17．40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数（保留小数点后两位数字）和众数；（3）从成绩在[50，70）的学生中任选3人，求这3人的成绩都在[60，70）中的概率．【分析】（1）利用概率和为1，可求a；（2）根据频率分布直方图，计算数据的平均数以及众数即可；（3）先求出总数以及符合条件的个数，再结合概率计算公式求解即可．解：（）由题意，（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，∴a＝0.005；（2）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：0.1×55+0.15×65+0.35×75+0.3×85+0.1×95＝76.5；众数为：75．（3）成绩在[50，70）的学生共有（2a+3a）×10×40＝10人；成绩在[60，70）中的有6人；∴从成绩在[50，70）的学生中任选3人，求这3人的成绩都在[60，70）中的概率P＝＝．18．某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是．甲乙丙是否击中目标相互独立．（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）设乙击中目标的概率为p1，丙击中目标的概率为p2，利用相互独立事件概率乘法公式列出方程组能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率能求出X的分布列和数学期望E（X）．解：（1）∵某射击小组有甲、乙、丙三名射手，甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是．甲乙丙是否击中目标相互独立．设乙击中目标的概率为p1，丙击中目标的概率为p2，∴，解得，p2＝．∴乙、丙二人各自击中目标的概率为和．（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望E（X）＝＝．19．在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝DC＝2，∠BCD＝90°，E，F分别为AC，AD 上的动点，且EF∥平面BCD，二面角B﹣CD﹣A为60°．（1）求证：EF⊥平面ABC；（2）若BE⊥AC，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值．【分析】（1）推导出AB⊥CD，BC⊥CD，从而CD⊥平面ABC，EF∥CD，由此能证明EF⊥平面ABC．（2）推导出EF⊥BE，BE⊥平面ACD，从而EF为BF在面ACD上的射影，∠BFE为BF与平面ACD所成角的平面角，由CD⊥面ABC，得二面角B﹣CD﹣A的平面角∠ACB＝60°，由此能求出直线BF与平面ACD所成角的正弦值．解：（1）证明：∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，∵E，F分别为AC，AD上的动点，且EF∥平面BCD，CD⊂平面ACD，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC．（2）解：由（1）可得EF⊥BE，又BE⊥AC，AC∩EF＝E，∴BE⊥平面ACD，∴EF为BF在面ACD上的射影，∠BFE为BF与平面ACD所成角的平面角，又∵CD⊥面ABC，二面角B﹣CD﹣A的平面角∠ACB＝60°．∵BC＝DC＝2，∴BE＝，CE＝1，AB＝2，AC＝4，∵EF∥CD，∴＝，∴EF＝，BF＝，cos＝＝．∴直线BF与平面ACD所成角的正弦值为：＝．20．某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这10人中随机选取3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列及数学期望；（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的数学期望和方差．【分析】（1）由茎叶图得10人中，极幸福的人数有4人，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（2）记ξ表示抽到“极幸福”的人数，则ξ～B（3，），由此能求出ξ的数学期望和方差．解：（1）由茎叶图得10人中，极幸福的人数有4人，从这10人中随机选取3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）＝＝．（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，则ξ～B（3，），∴E（ξ）＝3×＝，D（ξ）＝＝．21．在平面四边形ACPE中（如图1），D为AC的中点，AD＝DC＝PD＝2，AE＝1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现将此平面四边形沿PD折起使二面角A﹣PD﹣C为直二面角，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC 的中点．（Ⅰ）求证：面FGH∥面ADPE；（Ⅱ）在线段PC上是否存在一点M，使得面FGM与面PEB所成二面角的余弦值为？若存在，求线段PM的长；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件得FH∥BC、FG∥PE，从而FH∥AD，由此能证明面FGH∥面ADPE．（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PC上存在一点M，线段PM＝或，使得面FGM与面PEB所成二面角的余弦值为．【解答】（Ⅰ）证明：∵点F、G、H分别为PB、EB、PC的中点，∴FH、FG分别为△PBC、△PBE的中位线，∴FH∥BC、FG∥PE，又正方形ABCD中，BC∥AD，∴FH∥AD，又FH∩FG＝F，PE⊂面ADPE，AD⊂面ADPE，∴面FGH∥面ADPE；（Ⅱ）∵二面角A﹣PD﹣C为直二面角，又PD⊥AD，PD⊥CD，∴AD⊥CD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有P（0，0，2），E（2，0，1），B（2，2，0），F（1，1，1），G（2，1，），则＝（2，0，﹣1），＝（2，2，﹣2），设面PEB的法向量＝（x，y，z），由，取x＝1，得＝（1，1，2），设M（0，m，2﹣m），则＝（1，0，﹣），＝（﹣1，m﹣1，1﹣m），设面FGM的法向量为，由，取x1＝1，得，由面FGM与面PEB所成二面角的余弦值为，可得|cos＜＞|＝||＝，解得：m＝或m＝．∴在线段PC上是否存在一点M，使得面FGM与面PEB所成二面角的余弦值为，PM ＝或PM＝．22．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率，一个焦点在直线y＝x+上，若直线l与椭圆交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为k1，直线OQ的斜率为k2．（1）求该椭圆的方程．（2）若k1k2＝﹣，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）由题意知离心率和焦点坐标及a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）分直线的斜率为0和不为0 两种情况讨论，当斜率不为0时设直线的方程与椭圆联立求出两个之和及两根之积，进而求出弦长和原点到直线的距离，进而求出直线OP，OQ的斜率，再由斜率之积求出参数的关系，求出面积可得为定值．解：（1）因为焦点在x轴上，又一个焦点在直线y＝x+上，令y＝0，x＝﹣，所以由题意得：c＝，＝，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝3，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）①当直线PQ的斜率为0，设直线PQ的方程为y＝t（t∈（﹣1，1）），与椭圆联立：，可得x2＝3（1﹣t2），即x＝，所以xx'＝﹣3（1﹣t2），yy'＝t2，由题意k1k2＝＝＝﹣，所以﹣＝﹣，解得t2＝，|t|＝，所以S△OPQ＝＝＝＝；②当直线的斜率不为0时，设直线PQ的方程为：x＝my+t，P（x，y），Q（x'，y'），直线椭圆联立得（3+m2）y2+2mty+t2﹣3＝0，∴△＝4m2t2﹣4•（3+m2）（t2﹣3）＞0，即t2＜m2+3，y+y'＝，yy'＝，所以PQ＝＝＝，由题意：k1k2＝＝＝＝，∴由题意可得：＝﹣，即m2＝2t2﹣3，∴|PQ|＝，O到直线PQ的距离d＝＝，所以S△OPQ＝＝＝，由以上可得：△OPQ的面积是为定值．。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市中学高二上学期期末数学（理试题（解析版
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则 ①该抽样可能是系统抽样； ②该抽样可能是随机抽样： ③该抽样一定不是分层抽样； ④本次抽样中每个人被抽到的概率都是15． 其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③C ．②③④D ．③④【答案】A【解析】①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假. 【详解】①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；第二步确定分段间隔3065k ==；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号(10)l l ≤；第四步将编号为6(04)l k k +≤≤依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故③正确；④该抽样男生被抽到的概率212010=；女生被抽到的概率310=，故前者小于后者．因此④不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．2．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 A ．0.4 B ．0.45 C ．0.5 D ．0.55【答案】A【解析】根据20组随机数，计算出至少击中3次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率. 【详解】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共8次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为80.420=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查随机数法求事件的概率，属于基础题.3．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（ ） A ．1127510C C C B ．1127510C C AC ．4441275C C C --D ．112112756464()C C C C C C ++【答案】C【解析】先计算出任选4人的方法数，然后减去其中全部为男生或全部为女生的方法数，由此选出正确选项. 【详解】任选4人的方法数为412C ，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数4475C C +，故选法总数应为4441275C C C --.故选：C 【点睛】本小题主要考查组合数的计算，属于基础题. 4．下列说法错误的是（ ）A ．若直线a ∥平面α，直线b ∥平面β，则直线a 不一定平行于直线bB ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC ．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD ．若平面α⊥平面ν，平面β⊥平面ν，l αβ=，则l 一定垂直于平面ν【答案】C【解析】结合空间线线、线面和面面位置关系，对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项. 【详解】若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则a 与b 平行、相交或异面，则直线a 不一定平行于直线b ，故A 中说法正确；若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得αβ⊥，这与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β，故B 中说法正确；若平面α⊥平面β，则当α内的直线与两平面的交线平行时，该直线与平面β平行，故C 中说法错误；若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，l αβ=，则根据面面垂直的性质得l 一定垂直于平面v ，故D 中说法正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面位置关系的判断，属于基础题.5．已知展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A ．142 B ．132C ．122D ．112【答案】D【解析】以展开式中第5项与第9项的二项式系数，列方程，解方程求得n 的值，进而求得奇数项的二项式系数和. 【详解】依题意，展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，所以48n n C C =，解得12n =，故奇数项的二项式系数和为112. 故选：D 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数，考查奇数项的二项式系数和，属于基础题. 6．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A ．1BC ．2D【答案】B【解析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πrr =，所以圆锥的表面积为()221ππ29π2r r +=，解得r =故选：B 【点睛】本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.7．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，若09||8AF x =，则0x 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【解析】根据抛物线的定义列方程，由此求得0x 的值. 【详解】抛物线2:C y x =，焦点为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为14x =-，由于09||8AF x =，根据抛物线的定义有009||82p AF x x ==+，所以00,4282x px p ===. 故选：B 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.8．已知双曲线一条渐近线方程为34y x =，则双曲线方程可以是（ ） A ．22134y x -=B ．22134x y -= C ．221169y x -=D ．221169x y -= 【答案】D【解析】分别求得四个选项中双曲线的渐近线，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，双曲线的渐近线方程为3y x =±，不符合题意； 对于B 选项，双曲线的渐近线方程为23y x =±，不符合题意； 对于C 选项，双曲线的渐近线方程为43y x =±，不符合题意； 对于D 选项，双曲线的渐近线方程为34y x ，符合题意； 故选：D 【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线，属于基础题.9．设随机变量2~(1,)X N σ，其正态分布密度曲线如图所示，且(13)0.9544P X -<≤=，那么向正方形OABC 中随机投掷40000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）（附：若随机变量2~(1,)X N σ，则(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=(P X μσ-<)0.6826μσ≤+=)A ．26348B ．28112C ．24152D ．30156【答案】A【解析】根据(13)0.9544P X -<≤=求得σ的值，由此求得(01)0.3413P X <≤=，进而求得落入阴影部分的点的个数的估计值 【详解】由(13)0.9544(1212)P X P X -<≤==-<≤+，所以2σ=，所以(P X μσ-<)0.6826μσ≤+=，即(02)0.6826P X <≤=，所以(01)0.3413P X <≤=.所以落入阴影部分的点的个数的估计值为()4000010.341326348⨯-=.故选：A 【点睛】本小题主要考查正态分布计算，考查几何概型，属于基础题. 10．()()622321x x x ---的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．348B ．88C ．232-D ．612-【答案】A【解析】根据乘法分配律以及二项式展开式，计算出含3x 项的系数. 【详解】()()662112x x -=-，所以含3x 项的系数为()()()()()12312366622232C C C -+-⋅-+-⋅-121202420348=--+⨯=.故选：A 【点睛】本小题主要考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.11．已知四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在AD 上，等腰直角三角形ABC 的斜边AC 为2，DC = ）A ．254πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】D【解析】根据已知条件求得球的直径AD 的长，进而求得球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】由于四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在AD 上，所以AD 是球O 的直径，所以三角形ACD 为直角三角形，所以4AD ==，所以球的半径为2，表面积为24π216π⋅=.故选：D【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.12．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点彼此互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则(|)P A B =（ ） A ．59B ．49C ．13D ．29【答案】D【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为33327⨯⨯= 种所以小赵独自去一个景点的可能性为427108⨯=种 因为4 个人去的景点不相同的可能性为432124⨯⨯⨯= 种，所以242|.1089PA B ==（） ． 故选：D ．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．二、填空题13．设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，其中13p =，则方差()3+5D X =______．【答案】18【解析】根据()E X 和p 的值求得n ，由此求得DX ，进而求得()3+5D X . 【详解】由于()13,93E X n p n n =⋅===，所以()1219233DX np p =-=⋅⋅=，所以()23+539218D X DX ==⋅=.故答案为：18 【点睛】本小题主要考查二项分布期望和方差的有关计算，考查方差的运算公式，属于基础题. 14．某几何体的三视图如下图所示，此几何体的体积为______．【答案】8【解析】根据三视图还原为原图，根据原图的空间结构，计算出几何体的体积. 【详解】根据三视图可知，该几何体的原图如下图组合体11A BCC B -为四棱锥，故其体积为1221222238332ABC S BB ∆⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=. 故答案为：8【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体体积计算，属于基础题.15．已知点P是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点， F 1，F 2分别为椭圆的左.右焦点，已知∠F1PF 2=60°，且|PF 1|=3|PF 2|，则椭圆的离心率为______． 【答案】7 【解析】利用余弦定理和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】由213PF PF =，结合椭圆的定义和余弦定理有：()121222212123222cos 60PF PFPF PF ac PF PF PF PF ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+-⋅⋅⎪⎩，化简得2277,164c c e a a ===. 故答案为：74【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查余弦定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AA =，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．有下列判断：①直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直于1AC ； ③三棱锥1E AAO -的体积为定值；④1AE EC +的最小值为23．其中正确的序号是______．【答案】①③④【解析】对四个判断逐一分析，由此确定正确判断的序号. 【详解】对于①，由于平面外一条直线与平面相交于一点，则此直线与平面内不过交点的直线互为异面直线，所以①正确.对于②，过1A 作11A E AB ⊥，交1BB 于E .由于1,BC AB BC AA ⊥⊥，所以BC ⊥平面11ABB A ，而11//BC B C ，所以11B C ⊥平面11ABB A .所以111B C A E ⊥，所以1A E ⊥平面11AB C ，所以11A E AC ⊥，所以②错误.对于③，由于1,,BC BA BB 两两垂直，所以三棱柱的外接球直径为1A C （或1AC ），也即球心在1AC 与1A C 的交点处.由于11//BB AA ,所以1//BB 平面1AA O ，所以动点E 到平面1AA O 的距离为定值，而三角形1AA O 面积为定值，所以三棱锥1E AAO -的体积为定值，所以③正确.对于④，将两个半平面11BB A A 与11BB C C 展开成矩形（平面图形）,则1AE EC +的最小值为2211111223AC AA AC =+==.故④正确.故答案为：①③④ 【点睛】本小题主要考查空间点线面位置关系，考查锥体体积计算，考查空间距离和的最小值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.三、解答题17．40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 （保留小数点后两位数字）和众数； （3）从成绩在[)50,70的学生中任选3人，求这3人的成绩都在[)60,70中的概率． 【答案】（1）0.005a =；（2）77.14，75；（3）16【解析】（1）根据频率之和为1列方程，解方程求得a 的值. （2）根据率分布直方图求中位数和众数的方法，求得中位数和众数. （3）利用古典概型概率计算方法，计算出所求的概率. 【详解】（1）依题意()23762101a a a a a ++++⨯=，解得0.005a =. （2）最高的小长方形的中点为75，故众数的估计值为75.由于()2310500.25a a a +⨯==，()23710700.6a a a a ++⨯==，设中位数为70x +，则0.2570.5a x +⋅=，解得7.14x ≈，故中位数为7077.14x +=.（3）[)50,70的人数为()40231010a a ⨯+⨯=人，[)50,60与[)60,70人数的比例为2:32:3a a =，即[)50,60中有4人，[)60,70中有6人，从中任选3人，这3人的成绩都在[)60,70中的概率为363102011206C C ==. 【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算参数的值，考查根据频率分布直方图计算中位数和众数，考查古典概型的概率计算，属于基础题.18．某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是13．甲乙丙是否击中目标相互独立．（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）12,23 （2）分布列见解析， 23()12E X = 【解析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得乙、丙二人各自击中目标的概率. （2）根据相互独立事件概率计算方法，计算出X 的分布列和数学期望. 【详解】（1）依题意设甲、乙、丙各自击中目标的概率为123,,P P P ，所以()132334311141213P P P P ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫-⋅-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⋅=⎪⎩，解得2312,23P P ==. （2）X 的可能取值为0,1,2,3.()1111042324P X ==⨯⨯=；()3111111121423423423P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯3121244++=;()3113121123621124234234232424P X ++==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==;()312134234P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为数学期望为11111222446230123244244242412EX +=⨯+⨯+⨯+⨯===. 【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概率计算，考查随机变量分布列和数学期望的求法，属于基础题.19．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，2BC DC ==，90BCD ∠=︒，,E F 分别AC AD ，上的动点，且EF //平面BCD ，二面角B CD A --为60︒．（1）求证：EF ⊥平面ABC ；（2）若BE AC ⊥，求直线BF 与平面ACD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（227【解析】（1）通过证明CD ⊥平面ABC ，且//EF CD ，由此证得EF ⊥平面ABC . （2）证得EFB ∠是直线BF 与平面ACD 所成角，解直角三角形求得直线BF 与平面ACD 所成角的正弦值.【详解】（1）由于AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，由于,CD BC BC AB B ⊥⋂=，所以CD ⊥平面ABC ，由于//EF 平面BCD ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD 平面BCD CD =，所以//EF CD ，所以EF ⊥平面ABC .（2）由（1）可知EF BE ⊥，而,BE AC AC EF E ⊥⋂=，所以BE ⊥平面ACD ，所以EFB ∠是直线BF 与平面ACD 所成角.由（1）知：,CD AC CD BC ⊥⊥，由面面角的概念可知60ACB ∠=，所以在Rt ABC ∆中，2,4,3BC AC AB ===由面积法得1122AC BE BC AB ⋅⋅=⋅⋅，所以2233BC AB BE AC ⋅⋅===所以22431CE BC BE =-=-=，3AE AC CE =-=，所以33,42AE EF EF AC CD ===.，在Rt BEF ∆中，22921342BF BE EF =+=+=.所以327sin 7212BEEFB BF∠===. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查线面平行的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这10人中随机选取3人，记X 表示抽到“极幸福”的人数，求X 的分布列及数学期望；（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的数学期望和方差． 【答案】（1）分布列见解析，6()5E X =（2）618(),()525E D ξξ==【解析】（1）利用超几何分布计算出X 的分布列和数学期望. （2）利用二项分布的知识计算出ξ的数学期望和方差. 【详解】（1）由茎叶图可知，10个人中，极幸福的人有4个.X 的可能取值为0,1,2,3，由超几何分布概率计算公式得，X 的分布列为：X123P034631016C C C = 124631012C C C = 2146310310C C C = 3046310130C C C =所以1131601236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由于()3,0.4B ξ，所以()630.4 1.25E ξ=⨯==，()()1830.410.40.7225D ξ=⨯⨯-==.【点睛】本小题主要考查超几何分布、二项分布有关的概念和运算，属于中档题.21．在平面四边形ACPE 中（图1），D 为AC 的中点，4,2AD DC PD AE ====，且,AE AC PD AC ⊥⊥，现将此平面四边形沿PD 折起，使得二面角A PD C --为直二面角，得到一个多面体，B 为平面ADC 内一点，且ABCD 为正方形（图2），,,F G H 分别为PB EB PC ，，的中点．（1）求证：平面FGH //平面ADPE ；（2）在线段PC 上是否存在一点M ，使得平面FGM 与平面PEB 所成二面角的余弦30PM 的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且2PM =【解析】（1）利用面面平行的判定定理，证明平面FGH //平面ADPE .（2）建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，利用平面FGM 与平面PEB 所成二面角30列方程，解方程求得M 的坐标，由此判断符合题意的M 点存在，以及求得PM 的长. 【详解】（1）由于,,F G H 分别为PB EB PC ，，的中点，所以////,//FH BC AD GF PE ，而直线FH 与直线FG 相交，直线PE 与直线AD 相交，由面面平行的判定定理得平面FGH //平面ADPE .（2）因为二面角A PD C --为直二面角，又,PD AD PD CD ⊥⊥，所以AD CD ⊥，由此建立如图所示的空间直角坐标系.()()()0,0,4,4,0,2,4,4,0P E B ，()2,2,2F ，()4,2,1G ，则()()4,0,2,4,4,4PE PB =-=-，设平面PEB 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111114204440n PE x z n PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取11x =得()11,1,2n =.设()0,,4M m m -，则()()2,0,1,2,2,2FG FM m m =-=---，设平面FGM 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()2222222202220n FG x z n FM x m y m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-+-=⎪⎩，取21x =得2221,,22m n m -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由平面FGM 与平面PEB 所成二面角的余弦值为306得12212221430222652m n n m n n m m -++⋅-==⋅-⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，解得1m =，所以()0,1,3M ，22112PM =+=.所以存在点M ，使得平面FGM 与平面PEB 所成二面角的余弦值为306，且2PM =【点睛】本小题主要考查面面平行的证明，考查根据二面角的余弦值求线段长，考查空间向量法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>6，一个焦点在直线2y x =上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k ．（1）求该椭圆的方程． （2）若1213k k =-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2213x y +=；（2）是，32【解析】（1）根据焦点坐标和离心率，求得,a b 的值，进而求得椭圆离心率.（2）计算出,,sin OP OQ POQ ∠，由此列出OPQ ∆的面积的表达式，化简求得结果. 【详解】（1）依题意可知，椭圆焦点在x轴上，直线y x =+x轴的交点为()，故c =由于椭圆离心率为3c a a ====所以1b ==.所以椭圆方程为2213x y +=.（2OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k ，且1213k k =-，不妨设10k >，对应的倾斜角为α，20k <，对应的倾斜角为β.直线OP 的方程为1y k x =，由12213y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2221221133,1313P P k x y k k ==++，所以OP =同理可求得OQ =.πPOQ βα∠=-+，所以()()tan tan πtan POQ βααβ∠=-+=-()121212312k k k k k k -==-+.所以33sin k k k k POQ --∠==.所以2in 1s OPQ S O POQ P OQ ∆=⋅⋅∠⋅312k k -=92=92==. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。
2018-2019学度哈尔滨高二(上)年末数学试卷(理科)含解析解析.doc.doc
2018-2019学度哈尔滨高二（上）年末数学试卷（理科）含解析解析注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1、〔5分〕以下选项表达错误的选项是〔〕B、假设p∨q为真命题，那么p，q均为真命题C、假设命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，那么¬p：∃x∈R，x2＋x＋1＝0D、“x》2”是“x2﹣3x＋2》0”的充分不必要条件2、〔5分〕口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是〔〕A、0.42B、0.28C、0.3D、0.73、〔5分〕l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题为真命题的是〔〕A、假设l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，那么l⊥αB、假设l⊥α，α∥β，m ⊂β，那么l⊥mC、假设l∥m，m⊂α，那么l∥αD、假设l⊥α，α⊥β，m⊂β，那么l∥m4、〔5分〕有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影部分，那么可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是〔〕A、B、C、D、5、〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输出的值S＝16，那么输入自然数n的最小值应等于〔〕A、7B、8C、9D、106、〔5分〕福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表〔如下〕第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，那么选出7、〔5分〕椭圆C：＋＝1〔a》b》0〕的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，假设△AF1B的周长为4，那么C的方程为〔〕A、＋＝1B、＋y2＝1C、＋＝1D、＋＝18、〔5分〕为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，那么以下说法正确的选项是〔〕A、》，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B、》，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C、《，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D、《，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9、〔5分〕如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1、A 1C1的中点，假设BC＝CA＝CC1，那么BD1与AF1所成角的余弦值是〔〕A、B、C、 D、10、〔5分〕一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为〔〕A、 B、 C、D、11、〔5分〕三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA ＝2，平面PAB⊥平面ABC，那么三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为〔〕A、4B、3C、4D、312、〔5分〕F1，F2分别是双曲线﹣＝1的左、右焦点，A是其右顶点，过F 2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，假设•＝0，那么双曲线的离心率是〔〕A、2B、C、3D、【二】填空题13、〔3分〕某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名、现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，在高二年级的学生中抽取了8名，那么在该校高一年级的学生中应抽取的人数为、14、〔3分〕双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，那么mn的值为、15、〔3分〕假设双曲线x2﹣＝1〔b》0〕的一条渐近线与圆x2＋〔y﹣2〕2＝1至多有一个公共点，那么双曲线离心率的取值范围是、16、〔3分〕△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：、【三】解答题17、某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x〔百万元〕与公司所获得利润y〔百万元〕的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所〔2〕假设该公司的科研投入从2017年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？〔注：线性回归直线方程系数公式＝＝，＝、〕18、某城市100户居民的月平均用电量〔单位：度〕，以【160，180〕，【180，200〕，【200，220〕，【220，240〕，【240，260〕，【260，280〕，【280，300〕分组的频率分布直方图如图、〔1〕求直方图中x的值；〔2〕求月平均用电量的众数和中位数；〔3〕在月平均用电量为，【220，240〕，【240，260〕，【260，280〕，【280，300〕的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，那么月平均用电量在【220，240〕的用户中应抽取多少户？19、如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC＝PC＝1，AC＝2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点、〔1〕证明：平面GEF∥平面PCB；〔2〕求直线PF与平面PAB所成角的正弦值、20、在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为〔φ参数〕，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ〕＝3、〔1〕求C的极坐标方程；〔2〕射线OM：θ＝θ1〔θ《θ1〕与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求｜OP｜•｜OQ｜的范围、21、如下图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，AC⊥CD、〔Ⅰ〕假设AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；〔Ⅱ〕假设A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值、22、椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上、〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕假设斜率为k〔k≠0〕的直线n交椭圆C与A、B两点，且kOA 、k、kOB成等差数列，点M〔1，1〕，求S△ABM的最大值、2017－2018学年黑龙江省哈尔滨高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1、〔5分〕以下选项表达错误的选项是〔〕A、命题“假设x≠l，那么x2﹣3x＋2≠0”的逆否命题是“假设x2﹣3x＋2＝0，那么x＝1”B、假设p∨q为真命题，那么p，q均为真命题C、假设命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，那么¬p：∃x∈R，x2＋x＋1＝0D、“x》2”是“x2﹣3x＋2》0”的充分不必要条件【解答】解：A原命题为“假设p那么q，“，那么它的逆否命题为“假设﹣p那么﹣q“、故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，那么p∨q为真命题、故错误、C正确、D由x2一3x＋2》0解得x《1或x》2显然x》2⇒x《1或x》2但x《1或x》2不能得到x》2故“x》2”是“x2一3x＋2》0”的充分不必要条件，故正确、应选B2、〔5分〕口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是〔〕A、0.42 B、0.28 C、0.3 D、0.7【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28＝0.3，应选C、3、〔5分〕l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题为真命题的是〔〕A、假设l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，那么l⊥αB、假设l⊥α，α∥β，m ⊂β，那么l⊥mC、假设l∥m，m⊂α，那么l∥αD、假设l⊥α，α⊥β，m⊂β，那么l∥m 【解答】解：假设l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，那么当m与n相交时，l⊥α，故A错误；假设l⊥α，α∥β，m⊂β，那么l⊥β，所以l⊥m，故B正确；假设l∥m，m⊂α，那么l∥α或l⊂α，故C错误；假设l⊥α，α⊥β，m⊂β，那么l与m相交、平行或异面，故D错误、应选：B、4、〔5分〕有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影部分，那么可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是〔〕A、B、C、D、【解答】解：要使中奖率增加，那么对应的面积最大即可，那么根据几何概型的概率公式可得，A、概率P＝，B、概率P＝，C概率P＝，D、概率P＝，那么概率最大的为，应选：A、5、〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输出的值S＝16，那么输入自然数n的最小值应等于〔〕A、7B、8C、9D、10【解答】解：由程序框图知：第一次循环S＝1×2＝2，i＝2＋2＝4，k＝1＋1＝2；第二次循环S＝×2×4＝4，i＝4＋2＝6，k＝2＋1＝3；第三次循环S＝×4×6＝8，i＝6＋2＝8，k＝3＋1＝4、第四次循环S＝×8×8＝16，i＝8＋2＝10，k＝4＋1＝5、∵输出的值S＝16，∴跳出循环的i值为10，∴判断框的条件i《n，其中8《n ≤10，∴自然数n的最小值为9、应选：C、6、〔5分〕福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表〔如下〕第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，那么选出【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17，24，06，那么第6个红色球的编号为06，应选：C、7、〔5分〕椭圆C：＋＝1〔a》b》0〕的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，假设△AF1B的周长为4，那么C的方程为〔〕A、＋＝1B、＋y2＝1C、＋＝1D、＋＝1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＋2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为＋＝1、应选：A、8、〔5分〕为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，那么以下说法正确的选项是〔〕A、》，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B、》，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C、《，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D、《，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是＝82，乙的平均数是＝87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选D、9、〔5分〕如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1、A 1C1的中点，假设BC＝CA＝CC1，那么BD1与AF1所成角的余弦值是〔〕A、B、C、 D、【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC＝CA＝CC1＝2，那么AD＝，AF1＝，DF1＝在△DF1A中，cos∠DF1A＝，应选A10、〔5分〕一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为〔〕A、 B、 C、D、【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×＝；四棱锥的体积为×2×2×＝；故这个几何体的体积V＝；应选D、11、〔5分〕三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA ＝2，平面PAB⊥平面ABC，那么三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为〔〕A、4B、3C、4D、3【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═＝1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN＝＝，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×〔2〕2×＝3，应选：B12、〔5分〕F1，F2分别是双曲线﹣＝1的左、右焦点，A是其右顶点，过F 2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，假设•＝0，那么双曲线的离心率是〔〕A、2 B、C、3 D、【解答】解：由题意可得F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕，A〔a，0〕、把x＝c代入双曲线方程可得y＝±，故一个交点为P〔c，〕，由三角形的重心坐标公式可得G〔，〕、假设•＝0，那么GA⊥F1F2，∴G、A的横坐标相同，∴＝a，∴＝3，应选：C、【二】填空题13、〔3分〕某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名、现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，在高二年级的学生中抽取了8名，那么在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6、【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，∴高一年级的学生中应抽取的人数为x，那么满足，即x＝6、故答案为：6、14、〔3分〕双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，那么mn的值为、【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为〔1，0〕，那么双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，那么a＝，那么有解得m＝，n＝∴mn＝故答案为：、15、〔3分〕假设双曲线x2﹣＝1〔b》0〕的一条渐近线与圆x2＋〔y﹣2〕2＝1至多有一个公共点，那么双曲线离心率的取值范围是〔1，2】、【解答】解：圆x2＋〔y﹣2〕2＝1的圆心〔0，2〕，半径r＝1、∵双曲线x2﹣＝1〔b》0〕的一条渐近线与圆x2＋〔y﹣2〕2＝1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3、∴e2＝1＋b2≤4，∵e》1，∴1《e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是〔1，2】、故答案为：〔1，2】、16、〔3分〕△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7、【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA＝PB＝PC∴OA＝OB＝OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA〔△ABC的外接圆的半径〕，记为R，在△ABC中由余弦定理知：BC＝21，在由正弦定理知：2R＝＝14，∴OA＝7，得：PO＝7、故答案为：7、【三】解答题17、某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x〔百万元〕与公司所获得利润y〔百万元〕的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所〔2〕假设该公司的科研投入从2017年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？〔注：线性回归直线方程系数公式＝＝，＝、〕【解答】解：〔1〕根据表中数据，计算可得＝×〔1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.0〕＝1.8，＝×〔1＋1.5＋2＋2.5＋3〕＝2，又＝16.3，xi yi＝18.5；b＝＝5；a＝﹣b＝2﹣5×1.8＝﹣7，故所求的回归直线方程为＝5x﹣7；〔2〕由题可知到2017年时科研投入为x＝2.3〔百万元〕，故可预测该公司所获得的利润为＝5×2.3﹣7＝4.5〔百万元〕；答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元、18、某城市100户居民的月平均用电量〔单位：度〕，以【160，180〕，【180，200〕，【200，220〕，【220，240〕，【240，260〕，【260，280〕，【280，300〕分组的频率分布直方图如图、〔1〕求直方图中x的值；〔2〕求月平均用电量的众数和中位数；〔3〕在月平均用电量为，【220，240〕，【240，260〕，【260，280〕，【280，300〕的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，那么月平均用电量在【220，240〕的用户中应抽取多少户？【解答】解：〔1〕由直方图的性质可得〔0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025〕×20＝1，解方程可得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；〔2〕月平均用电量的众数是＝230，∵〔0.002＋0.0095＋0.011〕×20＝0.45《0.5，∴月平均用电量的中位数在【220，240〕内，设中位数为a，由〔0.002＋0.0095＋0.011〕×20＋0.0125×〔a﹣220〕＝0.5可得a＝224，∴月平均用电量的中位数为224；〔3〕月平均用电量为【220，240〕的用户有0.0125×20×100＝25，月平均用电量为【240，260〕的用户有0.0075×20×100＝15，月平均用电量为【260，280〕的用户有0.005×20×100＝10，月平均用电量为【280，300〕的用户有0.0025×20×100＝5，∴抽取比例为＝，∴月平均用电量在【220，240〕的用户中应抽取25×＝5户、19、如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC＝PC＝1，AC＝2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点、〔1〕证明：平面GEF∥平面PCB；〔2〕求直线PF与平面PAB所成角的正弦值、【解答】〔1〕证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF＝F，∴平面GEF∥平面PBC、〔2〕以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如下图：那么P〔0，0，1〕，A〔2，0，0〕，B〔0，1，0〕，F〔1，0，0〕，∴＝〔2，0，﹣1〕，＝〔﹣2，1，0〕，＝〔1，0，﹣1〕，设平面PAB的法向量＝〔x，y，z〕，1，2，2〕，那么，∴，令x＝1可得＝〔1，2，2〕、∴cos《，》＝＝＝﹣、设PF与面PAB所成角为θ，那么sinθ＝｜cos《，》｜＝、∴PF与面PAB所成角的正弦值为、20、在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为〔φ参数〕，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ〕＝3、〔1〕求C的极坐标方程；〔2〕射线OM：θ＝θ1〔θ《θ1〕与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求｜OP｜•｜OQ｜的范围、【解答】〔1〕圆C的参数方程为〔φ参数〕，转化为圆C的普通方程是〔x﹣1〕2＋y2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是：ρ＝2cosθ、〔2〕设P〔ρ1，θ1〕，那么有，设Q〔ρ2，θ2〕，且直线l的方程是cosθ〕＝3、那么有，所以｜OP｜｜OQ｜＝ρ1•ρ2＝＝，由于：，那么：tanθ1》0，所以0《｜OP｜｜OQ｜《6、21、如下图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，AC⊥CD、〔Ⅰ〕假设AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；〔Ⅱ〕假设A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值、【解答】证明：〔Ⅰ〕假设AA1＝AC，那么四边形ACC1A1为正方形，那么AC1⊥A1C，∵AD＝2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，那么AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，那么CD⊥A1C，∵A1C∩CD＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD；解：〔Ⅱ〕∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，AC⊥CD、∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD＝1，那么AD＝2，AC＝，∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴＝，又，解得A1D＝，∴AA1＝，那么C〔0，0，0〕，D〔1，0，0〕，A〔0，，0〕，C1〔0，0，〕，A1〔1，2，〕，＝〔0，﹣2，﹣〕，＝〔﹣1，﹣2，﹣〕，＝〔﹣1，﹣2，0〕，设平面A1DC的法向量＝〔x，y，z〕，那么，取x＝，得＝〔，，﹣2〕，设平面A1DC1的法向量＝〔a，b，c〕，那么，取a＝2，得＝〔2，﹣，﹣4〕，设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，那么cosθ＝＝＝、∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为、22、椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上、〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕假设斜率为k〔k≠0〕的直线n交椭圆C与A、B两点，且kOA 、k、kOB成等差数列，点M〔1，1〕，求S△ABM的最大值、【解答】解：〔1〕设椭圆方程为〔a》b》0〕，那么∵椭圆离心率，点在椭圆C上，∴，解得a＝2，b＝1，∴椭圆方程为；〔2〕设直线n的方程为y＝kx＋m，A〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，那么∵kOA 、k、kOB成等差数列，∴m〔x1＋x2〕＝0，∴m＝0，∴直线n的方程为y＝kx代入椭圆方程得〔1＋4k2〕x2＝4，∴｜AB｜＝、∵M到y＝kx的距离为d＝∴S＝•＝∴S2＝，∴〔S2〕′＝，∴k，〔S2〕′》0，﹣《k《1，〔S2〕′《0，k》1，〔S2〕′》0，∴k＝﹣时，S取得最大值、。
2019年黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末考试数学(理)试题_有答案
哈尔滨市第六中学上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校 学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则=n （ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．2502．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）3．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点F 到渐近线的距离等于a 2，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．3 4．已知两条直线b a ,，两个平面βα,，下面四个命题中不正确的是（ ） A ．,//,a b a b ααββ⊥⊂⇒⊥ B ．//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥ C ．//,,m m αβαβ⊥⇒⊥ D ．//,////a b a b αα⇒ 5．下列命题中，说法正确的是（ ） A ．命题“,0R x ∈∃使得2010x x ++<”的否定是：“,R x ∈∀均有012>++x x ”B.命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”C ．若q p ∧为真命题，则q p ∨也为真命题D ．“210<<x ”是“0)21(>-x x ”的必要不充分条件a=0i=1 WHILE i<=5 a=(a+i) MOD 5 i=i+1WENDPRINT aEND6．已知椭圆193622=+y x 及点)2,4(P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.21 B.21- C.2 D.2- 7．甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别 是21,x x ，则下列正确的是（ ） A ．21x x <，甲比乙成绩稳定 B ．21x x >，乙比甲成绩稳定C ．21x x >，甲比乙成绩稳定D ．21x x <，乙比甲成绩稳定 8．某程序框图如图所示，若输出的57=S ，则判断框内为( ) A ．?4>k B ．?5>k C ．?6>k D ．?7>k9．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的表面积是（ ） A ．17 BC ．610．如下程序运行后输出的结果为( )A. 50B. 5C. 25D. 0 11．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，4为半径的圆经过O A ,两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为（ ）A ．112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 12．直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱长为，2,1==BC AC 90=∠ACB ,D 是11B A 的中点，F 是1BB 上的动点,1AB ,DF 交于点E ,要使1AB ⊥平面DF C 1，则线段F B 1的长为( )A ．21B ．1C ．23 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．执行下面的程序框图，输出S 的值为14．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]30,5.17，样本数据分组为[)20,5.17，[)5.22,20,[)255.22，，[)5.27,25，[)30,5.27.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于5.22小时的人数是15．三棱锥P A-中，平面PAC ⊥平面,ABC 3,P A P A B ===4,A C B A C=∠=，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.16．如图，已知抛物线x y 42=的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆41)1(22=+-y x 于 点,,,A B C D 四点，则||4||9CD AB +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）直线l 的参数方程为315(415x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)与曲线22:1C y x -=交于,A B 两点. （1）求||AB 的长； （2）求AB 中点M 的坐标．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，60BAD ∠=,E 、F 分别为BC 、PA 的中点.（1）求证：ED ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥P DEF -的体积.19．（本小题满分12分）已知曲线)(sin 1cos :1为参数ααα⎩⎨⎧+==y x C ，)(sin cos 4:2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C（1）化21,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ， 90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 的中点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD . （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （2）求二面角Q BM C --的余弦值.21.（本小题满分12分）在梯形ABCD 中,BC ∥DA ,,2BE DA EA EB BC ⊥===，1DE =,将四 边形DEBC 沿BE 折起,使平面DEBC 垂直平面ABE ,如图2,连结,AD AC . （1）若F 为AB 中点,求证EF ∥平面ADC ；（2）在线段AC 上是否存在点M ,使得BM 与平面ADC 所成角的正弦值为322,若有，试确定点 M 的位置，若没有，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为21，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，且,22ab k k OB OA -=⋅求证：AOB ∆的面积为定值.高二理科数学答案一、选择题：ABCDC BDABD AA 二、填空题：237,181402π，， 三、简答题： 17.解：2243(1)(1)155t t +--+=即2770250t t +-= (2)（1）12||||7AB t t =-== ........6 （2）1252M t t t +==- ，31(5)45M x =-+⨯-=- ，41(5)35M y =+⨯-=- ， 故(4,3)M -- ......10 18.解：（1）证明2,1,60,,CD CE DCB DE DE BC DE AD ==∠=︒∴=⊥∴⊥，PD ⊥平面ABCD ， PD AD ∴⊥DE PAD ∴⊥平面 (6)（2）解：13P DEF PDF V S DE -∆=⨯⨯=....12 19.解：（1）221:(1)1C x y +-= 是圆，222:116x C y += ，是椭圆 (5)（2）12C C 和的极坐标方程分别为2sin ρθ=和2222cos sin 116ρθρθ+=射线的极坐标方程为6πθ=，则2sin16P πρ==，222cos 1196sin 16664Q ππρ=+=则||||p Q OP OQ ρρ==20.平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，90ADC ∠=︒PQ ∴⊥底面ABCD ， CD PAD ⊥平面AD ∥BC ，,BC QD BQ =∴∥CD (2)以Q 为原点，射线,,QA QB QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，...1 （1；........7 （2） .........12 21.．证明(Ⅰ)取AC 中点N ,连接,FN DN FE ，, ∵ ,F N 分别是,AB AC 的中点,FN ∴∥BC 且12FN BC =又DE ∥BC 且11,2DE BC ==FN ∴∥DE 且,FN DE =∴四边形FNDE 为平行四边形EF ∴∥ND ,又EF ⊄平面,ACD DN ⊂平面,ACD EF ∴∥平面ADC (4)(Ⅱ)平面DEBC ⊥平面ABE 且交于,,BE AE EB ⊥AE ∴⊥平面,DECB AE DE ∴⊥由已知,,DE EB AE EB ⊥⊥,分别以,,EA EB ED 所在直线 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,0,1),E D (2,0,0),(0,2,0),(022)A B C ，，(2,0,1),(2,2,2)AD AC ∴=-=-设平面ADC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则02022200n AD x z x y z n AC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩令1x =,则可得(1,1,2)n =- (7)BM 与平面ADC 所成角的正弦值为3,所以|cos ,|3BM n <>= 设000(,,)M x y z ,由AM AC λ=得000(2,,)(2,2,2),(22,2,2),x y z M λλλλ-=-∴-(22,22,2)BM λλλ∴=--,|cos ,|||||||BM nBM n BM n ⋅∴<>===,整理得2121650λλ-+=,解得12λ=或56λ=, 所以M 点位于AC 的中点或位于靠近C 的六等分点上 (12)22.（Ⅰ）解：由题意得3,426002122222==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-==b a b ba c a c 椭圆的方程为13422=+y x .......4 （Ⅱ）设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422消去y 化简得()0124843222=-+++m kmx xk221438k km x x +-=+，222143124k m x x +-= ，0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-。
黑龙江省哈尔滨市第二十一中学2019年高二数学理上学期期末试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市第二十一中学2019年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列有关命题的说法正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“若，则”的逆否命题为真命题．D．命题“使得”的否定是：“均有”．参考答案：C2. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于()A. B. C. D.参考答案：B3. 在100和500之间能被9整除的所有数之和为（）A．12699 B．13266 C．13833 D．14400参考答案：B略4. 将2封信随意投入3个邮箱，不同的投法有（）A. 3种B. 6种C. 8种D. 9种参考答案：D【分析】确定每封信的投法种数，根据分步乘法计数原理得到结果.【详解】每封信都有种选择，则投法共有种本题正确选项：【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，属于基础题.5. 已知抛物线y＝x2上有一定点A(－1,1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标取值范围是( )A.(－∞，－3]B. [1，＋∞)C.[－3,1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)参考答案：D6. 下列命题中，假命题是（）A．B．C．D．参考答案：B7. 圆(cos ?＋sin ?)的圆心坐标是( )．A．B．C．D．参考答案：A8. 右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则在这几场比赛得分中甲的中位数与乙的众数之和是A．50 B．41 C．51 D．61．5参考答案：C9. 在中，则边的值为（）A. B. C. D.参考答案：A略10. 函数的定义域为（）A． B．C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3‰，混合100人的血清，则混合血清中有乙型肝炎病毒的概率约为（精确到小数点后四位）________.参考答案：1-0.997100=0.2595略12. 当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .参考答案：（﹣∞，3）【考点】5A：函数最值的应用．【分析】利用（x＞0）求解，注意等号成立的条件，有条件x＞1可将x﹣1看成一个真题求解．【解答】解：，由=，即的最小值为3，故选D．13. 已知，，，则= 。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期末考试数学(理)试题 含答案
哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试高二理科数学试题一.选择题（每题5分，共60分）1、某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，其中说法正确的为 （ ）①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是简单随机抽样；③该抽样一定不是按性别的分层抽样； ④本次抽样中每个人被抽到的概率都是15； A ．②③④ B ．②③ C ．①②③ D ．③④2、现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数 ：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.553、从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（ ）A ．2101517C C CB ．2101517AC C C ．4547412C C C --D ．)(241614261517C C C C C C ++4、下列说法错误的是 （ ）A ．若直线a //平面α，直线b //平面α，则直线a 不一定平行于直线bB ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC ．若平面α^平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD ．若平面α^平面γ，平面β^平面γ，=l I αβ，则l 一定垂直于平面γ5、已知展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 （ ）A ．142B ．132C ．122D ．1126、已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 （ ）A ．1B ．C ．2D7、已知抛物线2:=C y x 的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，若09||8AF x =，则0x 等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88、已知双曲线一条渐近线方程为34y x =，则双曲线方程可以是 （ ） A ．22134y x -= B ．22134x y -= C ．221169y x -= D ．221169x y -=9、设随机变量),1(~2σN X ，其正态分布密度曲线如图所示，且9544.0)31(=≤<-X P ，那么向正方形OABC 中随机投掷40000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 （ ）（附：若随机变量),1(~2σN X ，则9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ，6826.0)(=+≤<-σμσμX P )A ．26348B ．28112C ．24152D ．3015610、2623)(21)x x x （---的展开式中，含3x 项的系数为 （ ）A ．348B ．88C ．232-D ．612-11、已知四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在AD 上，等腰直角三角形ABC 的斜边AC 为2，23DC =，则这个球的表面积为 （ ）A ．254π B ．8π C ．12π D ．16π12、小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ={4个人去的景点彼此 互不相同}，事件B ={小赵独自去一个景点}，则(|)P A B = （ ）A ．59 B ．49 C ．13 D ．29二.填空题（每题5分，共20分）13、设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，其中13p =， 则方差()3+5D X =______．14、某几何体的三视图如下图所示，此几何体的体积为______．15、已知点P 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点， 已知∠F 1PF 2=60°，且|PF 1|=3|PF 2|，则椭圆的离心率为______．16、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AA =，2AB BC ==90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．有下列判断，其中正确的序号是______．①直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直于1AC ；③三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为23．三.解答题（共70分）17、（10分）40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 （保留小数点后两位数字）和众数；（3）从成绩在[)70,50的学生中任选3人，求这3人的成绩都在[)70,60中的概率．18、（12分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是43，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是13．甲乙丙是否击中目标相互独立．（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19、（12分）在三棱锥BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，2==DC BC ，︒=∠90BCD ， F E ，分别为AD AC ，上的动点，且EF //平面BCD ，二面角A CD B --为︒60．（1）求证：⊥EF 平面ABC ；（2）若AC BE ⊥，求直线BF 与平面ACD 所成角的正弦值．20、（12分）某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这10人中随机选取3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列及数学期望；（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的数学期望和方差．21、（12分）在平面四边形ACPE 中（图1），D 为AC 的中点，24====AE PD DC AD ，，且AC PD AC AE ⊥⊥，，现将此平面四边形沿PD 折起，使得二面角C PD A --为直二面角，得到一个多面体，B 为平面ADC 内一点，且ABCD 为正方形（图2），H G F ，，分别为PC EB PB ，，的中点．（1）求证：平面FGH //平面ADPE ；（2）在线段PC 上是否存在一点M ，使得平面FGM 与平面PEB 所成二面角的余弦值为630？ 若存在，求出线段PM 的长，若不存在，请说明理由．22、（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>y x = 若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k ．（1）求该椭圆的方程．（2）若1213k k =-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．1-6 CACCDB 7-12BDAADD13. 18 14. 8 15. 16. ①③④17.（1）（2）77.14，75 （3）0 1 2 318. （1）（2）19.0 1 2 320.（1）（2）21. （2）22. （1）（2）。
黑龙江省哈尔滨市第六十九联合中学2019年高二数学理上学期期末试题含解析
黑龙江省哈尔滨市第六十九联合中学2019年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图是2016年某学生进行舞蹈比赛环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和众数依次是（）A．85.84 B．84.85 C．85.87 D．84.86参考答案：A【考点】众数、中位数、平均数．【分析】去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84，84，86，84，87，由此能求出所剩数据的平均数和众数．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84，84，86，84，87，∴所剩数据的平均数为：=（84+84+86+84+87）=85，所剩数据众数为：84．故选：A．2. 在直角坐标系xoy中，过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T）交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则A. B. C. D.参考答案：A略3. 已知抛物线过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点。
若线段AB中点的纵坐标为2，则该抛物线准线方程为（）A. B. C. D.参考答案：B略4. 偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则f()的值等于( )A．－1 B. C. D．1参考答案：D略5. 复数的共轭复数是 ( )A． B． C． D．参考答案：B6. 设是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C略7. 某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800元B、2400元C、2800元 D、3100元参考答案：C8. 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，下列哪个条件能判断点M 不在平面ABC内参考答案：C9. 抛物线的准线方程为A.x=2B.x= 2C.y=2D.y=2参考答案：C略10. 若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．15参考答案：B【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一辆汽车在笔直的公路上向前变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v（t）=﹣t2+4，（t的单位：h，v的单位：km/h）则这辆车行驶的路程是km．参考答案：【考点】67：定积分．【分析】由速度等于0求出汽车正向行驶的时间，求定积分后得答案．【解答】解：由v（t）=﹣t2+4=0，得t=2．故这辆车行驶的路程是（﹣t2+4）dt=（﹣+4t）|=﹣+8=故答案为：．【点评】本题考查了定积分，关键是正确理解题意，求出积分区间，是基础的计算题．12. 若实数x，y满足，则z=3x+2y的最小值是．参考答案：1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y，化为直线方程的斜截式，数形结合求得最优解，代入最优解的坐标求得t的最小值，则z=3x+2y的最小值可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y，则y=，由图可知，当直线y=过O（0，0）时，t有最小值为0．∴z=3x+2y的最小值是30=1．故答案为：1．13. 已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，且对于任意的大于2的正整数n，有a n=a n﹣1﹣a n﹣2则a11= ．参考答案：﹣5【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；试验法；等差数列与等比数列．【分析】由已知结合递推式求出数列前几项，可得数列{a n}是周期为6的周期数列，由此求得a11．【解答】解：由a1=3，a2=5，且a n=a n﹣1﹣a n﹣2，得a3=a2﹣a1=5﹣3=2，a4=a3﹣a2=2﹣5=﹣3，a5=a4﹣a3=﹣3﹣2=﹣5，a6=a5﹣a4=﹣5﹣（﹣3）=﹣2，a7=a6﹣a5=﹣2﹣（﹣5）=3，…由上可知，数列{a n}是周期为6的周期数列，∴a11=a6+5=a5=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对数列周期的发现，是中档题．14. 函数的单调减区间为▲ .参考答案：15. 的解集是参考答案：16. 为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若采用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体分别为．参考答案：3，2【考点】系统抽样方法．【分析】从92家销售连锁店中抽取30家了解情况，用系统抽样法，因为92÷30不是整数，所以要剔除一些个体，根据92÷30=3…2，得到抽样间隔和随机剔除的个体数分别为3和2．【解答】解：∵92÷30不是整数，∴必须先剔除部分个体数，∵92÷30=3…2，∴剔除2个，间隔为3．故答案为3，2．17. 在数列{a n}中，a1=1，（n≥2），则a5= ．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】由已知条件，利用递推公式依次求出a2，a3，a4，a5．【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=1，（n≥2），∴，a3=1+=，a4=1+=3，a5=1+=．故答案为：．【点评】本题考查数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
黑龙江省哈尔滨市2019版高二上学期期末数学试卷(理科)B卷
黑龙江省哈尔滨市2019版高二上学期期末数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2019高三上·榕城月考) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）有下列命题：①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若，则x2-2x+m=0有实数根”的逆否命题；④“若,则”的逆否命题。
其中正确的是（）A . ①②B . ②③C . ①②③D . ③④3. （2分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A . 不存在x0∈R，2＞0B . 存在x0∈R，2≥0C . 对任意的x∈R，2x≤0D . 对任意的x∈R，2x＞04. （2分）已知椭圆：和圆O：，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B. 若椭圆上存在点P，使得，则椭圆离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高三上·潮州期末) 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为（）A . 2B . 2C . 4D . 46. （2分） (2016高二上·南昌期中) 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（）A .B . 3C .D . 27. （2分）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（）A .B .C .D .8. （2分）若=(1,1,k)，=(2,-1,1)，与的夹角为60°，则k的值为（）A . 0或﹣2B . 0或2C . -2D . 29. （2分）在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是（﹣a，0）和（a，0），其中a＞0，G为△ABC的重心（三角形三条中线的交点），若|AG|=2，则点G的轨迹方程是（）A . x2+y2=1（y≠0）B . x2+y2=4（y≠0）C . x2+y2=9（y≠0）D . x2+y2=a2（y≠0）10. （2分） (2016高一下·雅安期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）A .B .C .D .二、填空题：． (共5题；共5分)11. （1分） (2019高二上·荔湾期末) 已知命题“ ”，则 ________．12. （1分）(2018高二下·邗江期中) 若向量，满足条件，则 ________.13. （1分） (2020高二上·兰州期末) 已知双曲线E：– =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．14. （1分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=________15. （1分） (2019高二下·上海月考) 正方体中，直线与平面所成的角的大小为________（结果用反三角函数值表示）三、解答题：． (共5题；共35分)16. （5分） (2016高二下·宝坻期末) 命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，命题q：已知二次函数f（x）=x2﹣mx+2满足，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．17. （5分）过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4．（1）求p的值；（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．18. （10分） (2015高二上·龙江期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的余弦值．19. （10分）(2017·成安模拟) 已知椭圆 =1的一个焦点为F（2，0），且离心率为（1）求椭圆方程；（2）过点M（3，0）作直线与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．20. （5分）(2018·凯里模拟) 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，，点为中点，与交于点 .（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题：． (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题：． (共5题；共35分) 16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷,第II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1． 某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：①从某社区430户高收入家庭,980户中等收入家庭,290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况； 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 A ．①用系统抽样,②用简单随机抽样 B ．①用系统抽样,②用分层抽样 C ．①用分层抽样,②用系统抽样D ．①用分层抽样,②用简单随机抽样2． 在面积为S 的△ABC 边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于4S的概率是 A ．14 B ．12 C ．34 D ．233． 某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为56,45,35,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立．一选手参加该节目,则该选手能进入第四关的概率为A ．25 B ．1225 C ．1425D ．35 4． 已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.165． 如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C ．2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看,该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长6． 已知抛物线2:8C y x =上一点P ,直线1:2l x =-,2:30l x y -+=,则P 到这两条直线的距离之和的最小值为A ．522 B ．722 C ．32 D ．232+ 7． 263()x -的展开式中的常数项为 A ．603 B ． 63 C ． 135 D ．458． 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为34,且各局比赛结果相互独立．则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为A ．13B ．25C ．23D ．459． 袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 013 320 122 103 233由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为A ．91 B ．61 C ．92 D ．18510．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1,第二名为2,以此类推且可以有名次并列的情况）均不超过3,则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据,推断一定不是尖子生的是 A ．甲同学：平均数为2,中位数为2 B ．乙同学：平均数为2,方差小于1 C ．丙同学：中位数为2,众数为2 D ．丁同学：众数为2,方差大于111．6名同学参加4项社会实践活动,要求每项活动至少1人,则不同的参加方式共有A ．2640种B ．1560种C ．1080种D ．480种12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,A 为双曲线C 的右支上一点,且12AF c =,1AF 与y 轴交于点B ,若2F B 是21AF F∠的平分线,则双曲线C 的离心率e =A ．51-B ．152+ C ．352+ D ．5第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（第13,14题每空4分,第15,16题每空3分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上．）13．某单位安排5位员工在10月3日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天．若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天,则不同的安排方案共有___________种．（用数字作答） 14．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立．该同学投了25次,X 表示投中的次数,则()E X =____________．15．椭圆22:14x E y +=,动圆222:O x y r +=与椭圆交于,,,A B C D 四点,则四边形ABCD 面积的最大值为_______,此时r =__________．16．已知集合{}123456,,,,,A x x x x x x =,函数()f x 定义于A 并取值于A ． （用数字作答）（1）若()f x x ≠对于任意的x A ∈成立,则这样的函数()f x 有_______个； （2）若至少存在一个x A ∈,使[]()f f f x x ⎡⎤≠⎣⎦,则这样的函数()f x 有____个． 三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 17．一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签,随机的选取两张标签．（1）若标签的选取是无放回的,求两张标签上的数字为相邻整数的概率； （2）若标签的选取是有放回的,求两张标签上的数字至少有一个为5的概率．18．为了响应弘扬中国传统文化的号召,各大中小学都开展了关于经典诵读等丰富多彩的课外阅读活动．某校共有学生2000人,其中男生1100人,女生900人．为了调查该校学生每周平均课外阅读时间,采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均课外阅读时间（单位：小时）（1） 应抽查男生与女生各多少人？（2） 如图,根据收集100人的样本数据,得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图,其中样本数据分组区间为[0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6]．若在样本数据中有38名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时,请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”．男生 女生 总计每周平均课外阅读时间不超过2小时每周平均课外阅读时间超过2小时总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0．1000．050 0．010 0．0050k2．706 3．841 6．635 7．87919．在平面直角坐标系xOy 中,已知点(1,0)F ,动点Q 到点F 的距离比到直线2x =-的距离小1个单位长度．（1） 求动点Q 的轨迹方程C ；（2） 若过点F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点,8FA FB ⋅=-u u u r u u u r,求直线l 的方程．20．某书店刚刚上市了《中国古代数学史》,销售前该书店拟定了5种单价进行试销,每本单价（x 元）试销l 天,得到如表单价x （元）与销量y （册）数据：单价x （元） 5.895.9 10 5.10销量y （册）12119 7 6（1）已知销量y 与单价x 具有线性相关关系,求y 关于x 的线性回归方程；（2）若该书每本的成本为7.7元,要使得售卖时利润最大,请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）附：对于一组数据()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其回归直线a x y b =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121n iii ni i x x y y bx x==--=-∑∑$1221niii ni i x ynx yx nx==-=-∑∑,$ay bx =-$．21．近年来,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．其中共享单车既响应绿色出行号召,节能减排,保护环境,又方便人们短距离出行,增强灵活性．某城市试投放3个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车,三种车的计费标准均为每15分钟（不足15分钟按15分钟计）1元,按每日累计时长结算费用,例如某人某日共使用了24分钟,系统计时为30分钟．A 同学统计了他1个月（按30天计）每天使用共享单车的时长如茎叶图所示,不考虑每月自然因素和社会因素的影响,用频率近似代替概率．设A 同学每天消费ξ元． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）各品牌为推广用户使用,推出APP 注册会员的优惠活动：红车月功能使用费8元,每天消费打5折；黄车月功能使用费20元,每天前15分钟免费,之后消费打8折；蓝车月功能使用费45元,每月使用22小时之内免费,超出部分按每15分钟1元计费．设321,,ηηη分别为红车,黄车,蓝车的月消费,写出321,,ηηη与ξ的函数关系式,参考（1）的结果,A 同学下个月选择其中一个注册会员,他选哪个费用最低？（3）该城市计划3个品牌的共享单车共3000辆正式投入使用,为节约居民开支,随机调查了100名用户一周的平均使用时长如下表：时长 (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] 人数1645345在（2）的活动条件下,每个品牌各应该投放多少辆？0 8 7 8 1 0 7 5 2 7 2 0 4 3 1 4 9 8 3 2 3 2 5 5 1 8 6 6 4 4 1 4 8 5 422．已知,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22221x y a b-=的公共顶点,过原点的直线l 分别与椭圆和双曲线在第一象限交于,P Q 两点．（1） 若椭圆的离心率为12,求双曲线的渐近线方程； （2） 设,,,AP BP AQ BQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ,求证：12340k k k k +=； （3） 设1,F F 分别为椭圆和双曲线的右焦点,若PF ∥1QF ,试求22221234k k k k +++的值．哈三中2019—2020学年度上学期 高二学年第二模块 数学（理）考试答案一、选择题 DCABD ACABD BC 二、填空题13.72 14.1515.4,210 16.15625,46575 三、解答题17.52,259 18. 55,451.010,否19. x y 42=,1-=x y 或1+-=x y20. 3.239.4y x ∧=-+,10 21.15)(=ξE 选红车480,1500,1020 22. x y 23±=,略,8。
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哈尔滨市第六中学上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校 学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则=n （ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．2502．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）3．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点F 到渐近线的距离等于a 2，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．3 4．已知两条直线b a ,，两个平面βα,，下面四个命题中不正确的是（ ） A ．,//,a b a b ααββ⊥⊂⇒⊥ B ．//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥ C ．//,,m m αβαβ⊥⇒⊥ D ．//,////a b a b αα⇒ 5．下列命题中，说法正确的是（ ） A ．命题“,0R x ∈∃使得2010x x ++<”的否定是：“,R x ∈∀均有012>++x x ”B.命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”C ．若q p ∧为真命题，则q p ∨也为真命题a=0i=1 WHILE i<=5 a=(a+i) MOD 5 i=i+1WENDPRINT aENDD ．“210<<x ”是“0)21(>-x x ”的必要不充分条件 6．已知椭圆193622=+y x 及点)2,4(P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.21 B.21- C.2 D.2- 7．甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别 是21,x x ，则下列正确的是（ ） A ．21x x <，甲比乙成绩稳定 B ．21x x >，乙比甲成绩稳定C ．21x x >，甲比乙成绩稳定D ．21x x <，乙比甲成绩稳定 8．某程序框图如图所示，若输出的57=S ，则判断框内为( ) A ．?4>k B ．?5>k C ．?6>k D ．?7>k9．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的表面积是（ ） A ．17 B ．1135+ C ．635+ D ．610．如下程序运行后输出的结果为( )A. 50B. 5C. 25D. 0 11．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，4为半径的圆经过O A ,两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为（ ）A ．112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 12．直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱长为，2,1==BC AC 90=∠ACB ,D 是11B A 的中点，F 是1BB 上的动点,1AB ,DF 交于点E ,要使1AB ⊥平面DF C 1，则线段F B 1的长为( )A ．21B ．1C ．23 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．执行下面的程序框图，输出S 的值为14．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]30,5.17，样本数据分组为[)20,5.17，[)5.22,20,[)255.22，，[)5.27,25，[)30,5.27.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于5.22小时的人数是15．三棱锥P ABC-中，平面PAC ⊥平面,ABC 23,PA PC AB ===4,30AC BAC =∠=，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.16．如图，已知抛物线x y 42=的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆41)1(22=+-y x 于 点,,,A B C D 四点，则||4||9CD AB +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）直线l 的参数方程为315(415x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)与曲线22:1C y x -=交于,A B 两点.（1）求||AB 的长； （2）求AB 中点M 的坐标．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，60BAD ∠=,E 、F 分别为BC 、PA 的中点.（1）求证：ED ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥P DEF -的体积.19．（本小题满分12分）已知曲线)(sin 1cos :1为参数ααα⎩⎨⎧+==y x C ，)(sin cos 4:2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C（1）化21,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若射线3(0)3y x x =≥与1C 和2C 分别交于异于原点的P ，Q ，求||||OP OQ 的值.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ， 90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 的中点，2PA PD ==，112BC AD ==，3CD =. （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （2）求二面角Q BM C --的余弦值.21.（本小题满分12分）在梯形ABCD 中,BC ∥DA ,,2BE DA EA EB BC ⊥===，1DE =,将四 边形DEBC 沿BE 折起,使平面DEBC 垂直平面ABE ,如图2,连结,AD AC . （1）若F 为AB 中点,求证EF ∥平面ADC ；（2）在线段AC 上是否存在点M ,使得BM 与平面ADC 所成角的正弦值为322,若有，试确定点 M 的位置，若没有，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为21，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，且,22ab k k OB OA -=⋅求证：AOB ∆的面积为定值.高二理科数学答案一、选择题：ABCDC BDABD AA 二、填空题：237,181402π，， 三、简答题： 17.解：2243(1)(1)155t t +--+=即2770250t t +-= (2)（1）21212122014||||()4AB t t t t t t =-=+-=（2）1252M t t t +==- ，31(5)45M x =-+⨯-=- ，41(5)35M y =+⨯-=- ， 故(4,3)M -- ......10 18.解：（1）证明2,1,60,3,,CD CE DCB DE DE BC DE AD ==∠=︒∴=⊥∴⊥，PD ⊥平面ABCD ， PD AD ∴⊥ DE PAD ∴⊥平面 (6)（2）解：133P DEF PDF V S DE -∆=⨯⨯=....12 19.解：（1）221:(1)1C x y +-= 是圆，222:116x C y += ，是椭圆 (5)2222cos sin 16ρθρθ+（2）12C C 和的极坐标方程分别为2sin ρθ=和22cos 16sin16Qπρ=+射线的极坐标方程为6πθ=，则2sin16P πρ==，则||19||p Q OP OQ ρρ==20.平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，90ADC ∠=︒PQ ∴⊥底面ABCD ， CD PAD ⊥平面AD ∥BC ，,BC QD BQ =∴∥CD (2)以Q 为原点，射线,,QA QB QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，...1 （1；........7 （2）4.........12 21.．证明(Ⅰ)取AC 中点N ,连接,FN DN FE ，, ∵ ,F N 分别是,AB AC 的中点,FN ∴∥BC 且12FN BC =又DE ∥BC 且11,2DE BC ==FN ∴∥DE 且,FN DE =∴四边形FNDE 为平行四边形EF ∴∥ND ,又EF ⊄平面,ACD DN ⊂平面,ACD EF ∴∥平面ADC (4)(Ⅱ)平面DEBC ⊥平面ABE 且交于,,BE AE EB ⊥AE ∴⊥平面,DECB AE DE ∴⊥由已知,,DE EB AE EB ⊥⊥,分别以,,EA EB ED 所在直线 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,0,1),E D (2,0,0),(0,2,0),(022)A B C ，，(2,0,1),(2,2,2)AD AC ∴=-=-设平面ADC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则02022200n AD x z x y z n AC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩令1x =,则可得(1,1,2)n =- (7)BM 与平面ADC 所成角的正弦值,所以|cos ,|BM n <>= 设000(,,)M x y z ,由AM AC λ=得000(2,,)(2,2,2),(22,2,2),x y z M λλλλ-=-∴-(22,22,2)BM λλλ∴=--,|cos ,|||||||BM nBM n BM n ⋅∴<>===,整理得2121650λλ-+=,解得12λ=或56λ=, 所以M 点位于AC 的中点或位于靠近C 的六等分点上 (12)22.（Ⅰ）解：由题意得3,426002122222==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-==b a b ba c a c 椭圆的方程为13422=+y x .......4 （Ⅱ）设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422消去y 化简得()0124843222=-+++m kmx xk221438k km x x +-=+，222143124k m x x +-= ，0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-。