【精品】北京市2019年中考数学总复习第三单元函数第13课时二次函数与方程不等式课件【含答案】
(北京专版)2021年中考数学复习第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象与性质课件
二次函数的图象与性质
考点聚焦
考点一 二次函数的概念
2
一般地,形如① y=ax +bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当② a≠0
二次函数.
时,y=ax2+bx+c是
考点二
二次函数的图象与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
图象的特征
经过点⑩ (0,0)
c>0
与y轴
正半轴 相交
c<0
与y轴
负半轴 相交
(续表)
项目
字母
b2-4ac
字母的符号
图象的特征
b2-4ac=0
与 x 轴有唯一交点(顶点)
b2-4ac>0
与 x 轴有
b2-4ac<0
两 个不同的交点
与 x 轴没有交点
当 x=1 时,y=a+b+c
特殊
当 x=-1 时,y=a-b+c
(h,k)
.
(x1,0),(x2,0)
.
2.二次函数解析式的确定
用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如表所示.
条件
设法
顶点在原点
y=ax2(a≠0)
顶点在y轴上
y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)
顶点在x轴上
y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)
抛物线过原点
y=ax2+bx(a≠0)
C.(-3,1)
D.(-3,-1)
( A )
2019年中考数学总复习第三单元函数及其图象课时训练16二次函数的实际应用练习
课时训练16 二次函数的实际应用限时：30分钟夯实基础1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是()A．1米B．5米C．6米D．7米2．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(米)与时间t(秒)满足关系式h＝20t－5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为()A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒3．用60 m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随着矩形的一边长l的变化而变化，要使矩形的面积最大，l 的值应为()A．6 mB．15 mC．20 mD．10 m4．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm．当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为()A．6 cmB．12 cmC．24 cmD．36 cm5．用长6 m的铝合金条制成“日”字形矩形窗户，使窗户的透光面积最大(如图K16－1)，那么这个窗户的最大透光面积是()图K16－1A． m2B．1 m2C． m2D．3 m26．[2017·天门]飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为秒．7．[2017·沈阳]某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是元时，才能在半月内获得最大利润．8．如图K16－2，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，设P，Q同时出发，问：(1)经过几秒后P，Q之间的距离最短？(2)经过几秒后△PBQ的面积最大？最大面积是多少？图K16－2能力提升9．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为()A．20B．40C．100D．12010．[2018·北京]跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．图K16－3记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为()图K16－3A．10 mB．15 mC．20 mD．22．5 m11．如图K16－4是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为()图K16－4A．3 mB．2 mC．3 mD．2 m12．[2017·金华]在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)．(1)如图K16－5①，若BC＝4 m，则S＝m2．(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正三角形CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．图K16－513．[2018·黔三州]某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图K16－6①所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图②所示(图①的图象是线段，图②的图象是抛物线)．(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少？(收益＝售价－成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．(3)已知市场部销售该种蔬菜4，5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4，5两个月的销售量分别是多少万千克？图K16－6拓展练习14．设计师以y＝2x2－4x＋8的图形为灵感设计杯子，如图K16－7所示，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE＝()图K16－7A．17B．11C．8D．715．[2018·福建A卷]如图K16－8，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．图K16－8参考答案1．C2．B3．B4．A5．C6．20[解析] 滑行的最长时间实际上求s取最大值时t的值，当t＝20时，s的最大值为600．7．35[解析] 设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得y＝(x－20)[400－20(x－30)]＝(x－20)(1000－20x)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500，∵－20＜0，∴当x＝35时，y有最大值，故答案为35．8．解：(1)设经过t秒后P，Q之间的距离最短，则AP＝t，BQ＝2t，∴BP＝6－t，∵∠B＝90°，∴PQ＝，∴经过 s后，P，Q之间的距离最短．(2)设△PBQ的面积为S，则S＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝6t－t2＝－(t－3)2＋9，∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为9．即经过3 s后，△PBQ的面积最大，最大面积为9 cm2．9．D10．B[解析] 由题意得解得从而对称轴为直线x＝＝15．故选B．11．B12．(1)88π(2)[解析] (1)如图①，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示．由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径长的圆，以C为圆心、6为半径长的圆和以A为圆心、4为半径长的圆的面积和，∴S＝·π·102＋·π·62＋·π·42＝88π．(2)如图②，设BC＝x，则AB＝10－x，∴S＝·π·102＋·π·x2＋·π·(10－x)2＝(x2－5x＋250)，∴当x＝时，S取得最小值，∴BC＝．故答案为．13．解：(1)当x＝6时，y1＝3，y2＝1，∵y1－y2＝3－1＝2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．(2)设y1＝mx＋n，y2＝a(x－6)2＋1．将(3，5)，(6，3)代入y1＝mx＋n，得解得：∴y1＝x＋7．将(3，4)代入y2＝a(x－6)2＋1，得4＝a(3－6)2＋1，解得：a＝，∴y2＝(x－6)2＋1＝x2－4x＋13．∴y1－y2＝x＋7－x2－4x＋13＝x2＋x－6＝(x－5)2＋．∵＜0，∴当x＝5时，y1－y2取最大值，最大值为，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．(3)当x＝4时，y1－y2＝x2＋x－6＝2．设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为(t＋2)万千克，根据题意得：2t＋(t＋2)＝22，解得：t＝4，∴t＋2＝6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．14．B15．解：(1)设AD＝m米，则AB＝米，依题意，得·m＝450，解得m1＝10，m2＝90．因为a＝20且m≤a，所以m2＝90不合题意，应舍去．故所利用旧墙AD的长为10米．(2)设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，则0＜x≤a，S＝·x＝(x2－100x)＝(x－50)2＋1250，①若a≥50，则当x＝50时，S最大＝1250;②若0＜a＜50，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，故当x＝a时，S最大＝50aa2．综上，当a≥50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是1250平方米;当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是平方米．。
(河北专版)中考数学复习第三单元函数第13课时二次函数的图象与性质课件
（续表）
字母
字母的符号
图象的特征
b2-4ac
b2-4ac=0 b2-4ac>0
与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有㉑ 两 个不同的交点
b2-4ac<0
与x轴没有交点
当x=1时,y=a+b+c
特殊 当x=-1时,y=㉒ a-b+c
关系 若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=㉓ -1 时,y>0
,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),此时 h=6.综上可知h=1或6,故选B.
考向一 二次函数的图象与性质（ 7年4考,1次涉及）
例1 已知二次函数y=x2-4x+3. (1)函数图象的对称轴为 直线x=2 ,顶点M的坐标为 (2,-1) ;函数图象与y轴 的交点C的坐标为 (0,3) ;函数图象与x轴的交点A,B的坐标分别为 (1,0) ,
对点演练
题组一 必会题 1.下列对二次函数y=x2-x的图象 的描述,正确的是 ( ) A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的
[答案] C
[解析]A.∵a=1>0,∴抛物线开口向上,选项 A
不正确;B.∵- ������ =1,∴抛物考向精练 |
1.[2019·深圳]已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 ������
13-2所示,则函数y=ax+b与y= ������ 的图象为( )
图13-2
图13-3
[答案] C
[解析]由二次函数的图象
可知,a<0,b>0,c<0.当
北京2018年中考数学复习考题训练(13)二次函数与方程、不等式
考题训练（十三）二次函数与方程、不等式A组·真题演练[2017·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．B组·模拟训练[2016·顺义一模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2x的对称轴为直线x＝－1.(1)求a的值及抛物线y＝ax2－2x与x轴的交点坐标；(2)若抛物线y＝ax2－2x＋m与x轴有交点，且交点都在点A(－4，0)，B(1，0)之间，求m的取值范围．图J13－1C组·自测训练一、选择题1．如图J13－2是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，则使y≤1成立的x的取值范围是()A．－1≤x≤3 B．x≤－1C．x≥1 D．x≤－1或x≥3J13－2J13－32．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图J13－3，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的最大值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．93．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两个实数根是( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝34．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－25．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图J13－4，且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0没有实数根，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2.其中，正确结论的个数是( )图J13－4A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题6．如图J13－5，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，B(1，－2)，该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 的长为________.图J13－57．已知直线y ＝－2x ＋3与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于________． 8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则当y＜5时，x三、解答题9．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(2，5)，C(0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)求该抛物线与x轴的交点坐标；(3)直接写出当－3≤x≤1时，y的取值范围．10．［2015·昌平期末］已知抛物线y＝x2－(2m－1)x＋m2－m.(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；(2)若此抛物线与直线y＝x－3m＋3的一个交点在y轴上，求m的值．11．［2017·门头沟二模］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋2mx－3＋4m－m2的对称轴是直线x＝1.(1)求抛物线的表达式；(2)点D(n，y1)，E(3，y2)在抛物线上，若y1>y2，请直接写出n的取值范围；(3)设点M(p，q)为抛物线上的一个动点，当－1<p<2时，点M关于y轴的对称点形成的图象与直线y＝kx－4(k≠0)有交点，求k的取值范围．12．［2016·怀柔一模］在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋mx ＋2m －7的图象经过点(1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)把－4<x<1时的函数图象记为H ，求此时函数y 的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象H 的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若直线y ＝x ＋b 与图象M 有三个公共点，求b 的取值范围．参考答案|真题演练|解：(1)由抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，令y ＝0，解得x 1＝1，x 2＝3， ∴点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴交于点C ，令x ＝0， 得y ＝3，∴点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3. (2)由y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x ＝2， ∵y 1＝y 2，∴x 1＋x 2＝4.把y ＝－1代入y ＝－x ＋3，得x ＝4.∵x 1＜x 2＜x 3，∴3＜x 3＜4，即7＜x 1＋x 2＋x 3＜8， ∴x 1＋x 2＋x 3的取值范围为：7＜x 1＋x 2＋x 3＜8.|模拟训练|解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2x 的对称轴为直线x ＝－1， ∴－－22a＝－1，解得a ＝－1，∴y ＝－x 2－2x.令y ＝0，则－x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2. ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(0，0)，(－2，0)．(2)∵抛物线y ＝ax 2－2x 与抛物线y ＝ax 2－2x ＋m 的一次项系数、二次项系数相同，∴抛物线y ＝ax 2－2x ＋m 可以由抛物线y ＝ax 2－2x 上下平移得到． ∵抛物线y ＝－x 2－2x 的对称轴与x 轴的交点为(－1，0)，抛物线y ＝－x 2－2x 与x 轴的交点(0，0)，(－2，0)都在点A ，B 之间，且点B(1，0)比点A(－4，0)离对称轴x ＝－1近．∴把B(1，0)代入y ＝－x 2－2x ＋m 中，得m ＝3， 抛物线在x 轴负半轴的交点坐标为(－3，0)．把(－1，0)代入y ＝－x 2－2x ＋m 中，得m ＝－1， 此时抛物线与x 轴只有一个交点为(－1，0)．∴－1≤m<3. |自测训练| 1．D2．B [解析] ∵抛物线的开口向上，顶点的纵坐标为－3，∴a ＞0, －b 24a ＝－3，即b 2＝12a.∵一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4am ≥0，即12a －4am ≥0，即12－4m ≥0，解得m ≤3，∴m 的最大值为3.故选B.3．B 4．D5．D [解析] ①∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac>0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c>0.∵对称轴方程x ＝－b2a >0，∴ab<0.∵a<0，∴b>0，∴abc<0，故②正确；③∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0没有实数根，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和直线y ＝m 没有交点，由图可得m>2，故③正确．故选D.6．3 [解析] 由二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，0)，(1，－2)，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2，所以y ＝x 2－x －2.令x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，所以AC 的长为3.7．68．0＜x ＜4 [解析] 由表可知，抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以x ＝4时，y ＝5，所以y<5时，x 的取值范围为0<x<4.9．解：(1)∵函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(2，5)，C(0，－3)，∴⎩⎨⎧5＝4＋2b ＋c ，－3＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－3.∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)令y ＝0，则x 2＋2x －3＝0.∴(x ＋3)(x －1)＝0. ∴x 1＝－3，x 2＝1.∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)． (3)当x ＝－3或x ＝1时，y 最大值＝0； 当x ＝－1时，y 最小值＝－4.∴－4≤y ≤0.10．解：(1)证明：∵Δ＝[－(2m －1)]2－4(m 2－m)＝4m 2－4m ＋1－4m 2＋4m ＝1＞0， ∴此抛物线与x 轴必有两个不同的交点．(2)∵此抛物线与直线y ＝x －3m ＋3的一个交点在y 轴上， ∴m 2－m ＝－3m ＋3， ∴m 2＋2m －3＝0， ∴m 1＝－3，m 2＝1，∴m 的值为－3或1.11．解：(1)∵y ＝－x 2＋2mx －m 2－3＋4m ＝－(x －m)2＋4m －3，抛物线的对称轴是直线x ＝1， ∴m ＝1，∴y ＝－x 2＋2x.(2)－1＜n ＜3.(3)设点M 关于y 轴的对称点为M′，由题意可得M′(－p ，q)， ∴结合－1＜p ＜2，确定动点M 及M′， 当x ＝－1时，y ＝－3；当x ＝2时，y ＝0.因为动点M 与M′关于y 轴对称，所以翻折后的函数表达式为y ＝－x 2－2x(－2<x<0)，图象确定如图．当直线过点(1，－3)时，由－3＝k·1－4得k ＝1；当直线过点(－2，0)时，由0＝－2k －4得k ＝－2.综上所述：k>1或k<－2.12．解：(1)将(1，0)代入，得m ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)抛物线y ＝x 2＋2x －3开口向上，且在－4<x<1范围内有最低点， ∴当x ＝－1时，y 有最小值为－4. 当x ＝－4时，y ＝5.∴y 的取值范围是－4≤y<5.(3)当直线y ＝x ＋b 经过(－3，0)时，b ＝3. 变换后抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. 联立可得：－x 2－2x ＋3＝x ＋b ， 令判别式为零可得b ＝214.由图象可知，b 的取值范围是3<b<214.。
中考数学总复习第三单元函数第13课时二次函数的图像与性质课件
图13-2
图 13-3
[答案] B
[解析] 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向向上,
则 a>0.对称轴在 y 轴的右侧,则 a,b 异号,所
以 b<0,故-b>0.又因为抛物线与 x 轴有两个
交点,所以 b2-4ac>0,所以直线 y=-bx+b2-4ac
经过第一、二、三象限.当 x=-1 时,y>0,即
第 13 课时 二次函数的图像与性质
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 二次函数的概念
1.二次函数的定义
定义
一般地,如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系可以表示成① y=ax2+bx+c
(a,b,c 是常数,且 a≠0),那么称 y 是 x 的二次函数
二次函数 y=ax2+bx+c (1)等号右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2;
的增大而 减小 ,简记为“左增右减”
最值
抛物线有最低点,当 x=- b 时,y 有最 小 2a
抛物线有最高点,当 x=- b 时,y 有最 大 2a
值,y
最小值=
4ac -b2 4a
值,y
最大值=
4ac -b2 4a
二次项系数 a 的 特性
������ 的大小决定抛物线的开口大小, ������ 越大,抛物线的开口越小; ������ 越小,抛物线的开口越大
的结构特征
(2)二次项系数 a≠0
课前双基巩固
2.二次函数的三种表示形式
(1)一般式:② y=ax2+bx+c(a≠0) . (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图像的顶点坐标是③ (h,k) . (3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).其图像与 x 轴的交点的坐标为④ (x1,0) ,⑤ (x2,0) .
BS北师大版 九年级数学 下册春(中考易考常考 教材知识点梳理)第三单元 函数 第12讲 二次函数的图象与性质
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
第12讲二次函数的图象与念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.
6.二次函数与不等式
抛物线y=ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
a、b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；
中考数学复习讲义课件 第3单元 第13讲 二次函数的图象与性质
次函数的解析式为 y＝－(x－2)2＋2(或 y＝－x2＋4x－2)
；由所得
到的平移后二次函数的解析式知，当－1≤x≤3 时，平移后二次函数的最大 值为 2 ，最小值为 －7 .
1．(2021·江西)在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2 与一次函数 y＝ bx＋c 的图象如图所示，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( D )
∵n 为正数，∴n＝5. ∴点 A 的坐标为(－4，16)，点 B 的坐标为(5，7)． ∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－9)， ∴抛物线顶点在 AB 下方． ∴－4＜xP＜5，－9≤yP＜16.
13．(2021·广元)将二次函数 y＝－x2＋2x＋3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x
轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 y＝x＋b 与新函数的图象恰
(2)直线 l 交抛物线于点 A(－4，m)，B(n，7)，n 为正数．若点 P 在抛物线 上且在直线 l 下方(不与点 A，B 重合)，分别求出点 P 横坐标与纵坐标的取 值范围． 解：把 A(－4，m)代入 y＝x2－2x－8，得 m＝(－4)2－2×(－4)－8＝16. 把 B(n，7)代入 y＝x2－2x－8，得 7＝n2－2n－8，解得 n1＝5，n2＝－3.
18．(2021·永州)已知关于 x 的二次函数 y1＝x2＋bx＋c(实数 b，c 为常数)． (1)若二次函数的图象经过点(0，4)，对称轴为 x＝1，求此二次函数的表达式； 解：∵二次函数的图象经过点(0，4)，∴c＝4. ∵对称轴为直线 x＝－b2＝1，∴b＝－2. ∴此二次函数的表达式为 y1＝x2－2x＋4.
共点，则 b＋c 的值为( C )
A．－1
B．2
C．3
中考数学复习课件(全国通用版)：第三单元 函数及其图象(123张PPT)【学霸笔记、状元学案、名师教案】
第11课时┃ 考点聚焦
考点3 图形变换引起点的坐标的变化
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或 向左)平移a个单位长度，可以得到对应点 点的平移 ________( (x＋a，y) 或( x－a，y) ；将点(x，y)向上 ________) (或下)平移b个单位长度，可以得到对应点 (x，y＋b) 或（ ________ (________) x， y － b） 图形的 平移 图形的平移只改变图形的位置(图形上所 有点的坐标都要发生相应的变化)，不改 变图形的大小和形状
第11课时┃ 考点聚焦
考点6
函数的表示方法
表示方法
(1)列表法
(2)图象法
(3)解析法
使用指导
表示函数时，要根据具体情况选择适 当的方法，解决问题时，常常综合应 用这三种方法来深入研究函数的性质
第11课时┃ 考点聚焦 考点7 函数图象的概念及画法
一般地，对于一个函数，如果以自变量与因变量 的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那 概念 么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数 的图象 画法 (1)列表；(2)描点；(3)连线 步骤
点到两坐标轴 的距离 点到原点的距离
第11课时┃ 考点聚焦
(1)x 轴上两点 P1(x1，0)与 P2(x2，0)的距离 P1P2 ＝|x1－x2|； 坐标轴 (2)y 轴上两点 Q1(0，y1)与 Q2(0，y2)的距离 Q1Q2 上两点 ＝|y1－y2|； 间距离 (3)x 轴上一点 P(x，0)与 y 轴上一点 Q(0，y)的 距离 PQ＝ x2＋y2
对应关 坐标平面内的点与有序实数对是 ________ 一一 对 系 应的 (1)各象限内点的坐标的特征 点 P(x, y)在第一象限 ⇔____________ ； x>0 y>0 x<0 y>0 ； 点 P(x, y)在第二象限 ⇔____________ 平面内 点 P(x, y)在第三象限 ⇔____________ x<0 y<0 ； 点 P(x， 点 P(x, y)在第四象限 ⇔____________ x>0 y<0 y)的 (2)坐标轴上点的坐标的特征 坐标的 点 P(x, y)在 x 轴上⇔__________________ y＝0，x为任意实数； 特征 点 P(x, y)在 y 轴上⇔__________________ x＝0，y为任意实数； 点 P(x, y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ⇔x、y 同 时为零，即点 P 的坐标为(0, 0)； 坐标轴上的点 不属于任何象限
第13讲二次函数图象与性质(课件)-2025年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)
第13讲
二次函数的图象与性质
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
考情分析
知识建构
03
考点精讲
第一部分
考情分析
考点要求
新课标要求
二次函数的相 ➢ 通过对实际问题的分析，体会二次函
关概念
二次函数的图
象与性质
二次函数与各
项系数的关系
二次函数与方
程、不等式
命题预测
数的意义.
➢ 能画二次函数的图象，通过图象了解
b
时，二次函数取得最小值
2a
4ac−b2
4a
y
当x=x2时，二次函数取得最大值y2
x1
y2
y1
当 x= −
4ac−b2
4a
y
x1≤x≤x2
b
时，二次函数取得最大值
2a
O
x1 O
b
时，二次函数取得最小值
2a
O
x2
x
当x=x1时，二次函数取得最小值y1
考点二 二次函数的图象与性质
备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.
a<0
开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或
）.
4a
增
在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x
a>0
减
性
的增大而增大.
在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x
a<0
的增大而减小.
2023年中考数学总复习专题13二次函数与胡不归型最值问题(学生版)
专题13二次函数与胡不归型最值问题胡不归问题：模型分析：“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．证明 如图，在BM 上任取一点Q ，连结AQ ，作QD ⊥BN 于点D ．由sin ∠MBN ＝k ，可得QD ＝ k ·QB ．所以QA ＋k ·QB ＝QA ＋QD ≥AC ，即得证．【例1】（2022•济南）抛物线y ＝ax 2+x ﹣6与x 轴交于A （t ，0），B （8，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx ﹣6经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的表达式和t ，k 的值；（2）如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，求CQ +PQ 的最大值．【例2】（2022•宜宾）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （3，0）、B （﹣1，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），其顶点为点D ，连结AC ．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E ，点F 为抛物线上一动点，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点、AC 为边的四边形为平行四边形，求点F 的坐标； P B AM N N M AB C PD Q（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+ PM的最小值．【例3】（2022•东西湖区模拟）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A 在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．【例4】（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标；（3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值．1．（2022•河北区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值；（Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQ+NQ的最小值．2．（2021•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．（1）求k、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值．3．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+ BQ的最小值并求此时点P的坐标．4．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．5．（2021•射阳县三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）点E是y轴上的动点，连接ME，求ME+CE的最小值．6．（2021•深圳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C（0，3），点D为抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E在x轴上，且∠ECA＝∠CAD，求点E的坐标；（3）如图2，点P为线段AC上方的抛物线上任一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与AC交于点M．①求△APC的面积最大时点P的坐标；②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求HN+CN的最小值．7．（2021•深圳模拟）已知：如图，点A（1，0），B（3，0），D（2，﹣1），C是y轴上的点，且OC＝3．（1）过点A作AM⊥BC，垂足为M，连接AD、BD，求证：四边形ADBM为正方形；（2）若过A、B、C三点的抛物线对称轴上有一动点P，当PC﹣PB的值最大时，求出点P的坐标；（3）设Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．8．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长．9．（2022•杜尔伯特县一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．10．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．11．（2022•中山市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标．12．（2021•南山区校级三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x 轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．（1）求抛物线解析式．（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．13．（2021•津南区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+c交x轴于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），其对称轴交x轴于点C．（Ⅰ）求该抛物线的顶点D的坐标；（Ⅱ）设P是线段CD上的一个动点（点P不与点C，D重合）．①过点P作y轴的垂线l交抛物线（对称轴右侧）于点Q，连接QB，QD，求△QBD面积的最大值；②连接PB，求PD+PB的最小值．14．（2021•防城区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．15．（2021秋•沈北新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当＝时，求点P的坐标；（3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，①求满足条件的所有点H的坐标；②当点H在线段AB上时，平面内点M，且HM＝1，直接写出AM+CM的最小值．16．（2021•香洲区校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．（1）求A，B两点的坐标；（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；（3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．17．（2021•涪城区校级模拟）已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△P AC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．18．（2021•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC ＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当P A＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．19．（2021•罗湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为（2，4）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△P AC面积的最大值；（Ⅲ）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC+QA的最小值．20．（2020•东胜区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B （0，），C（1，0），其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为D．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点Q，使得以B，C，P，Q 为顶点的四边形为菱形，求点Q的坐标；（3）若M为y轴上的一个动点，连接ME，求MB+ME的最小值．。
(江西人教)数学中考复习方案【第13课时】二次函数的应用(24页)
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第13课时
二次函数的应用
250－10（x－25）≥10， B，则有 x－20≥25，
图13－2
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第13课时
二次函数的应用
[解析] (1)根据题中已经建立的平面直角坐标系，确定抛物线 所对应的函数解析式为 y＝ax ＋11，再把 B 点或者 A 点坐标代入求 出 a.(2)利用点 C 到 ED 的距离是 11 米，把“当水面到顶点 C 的距 离不大于 5 米时， 需禁止船只通行”转化为水面与河底 ED 的距离为 不小于 6 米．
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
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第13课时
二次函数的应用
2．如图13－1，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方 形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与 点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M 重合，则重叠部分面积y(厘米2)与时间t(秒)之间的函数关系式 1 为______________ ． y＝ (20－2t)2(0≤t≤10) 2
第13课时 二次函数的应用
第13课时
二次函数的应用
赣 考 解 读
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第13课时
二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点 二次函数的应用
1．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与 高度的关系为 y ＝ax2 ＋bx ＋c(a≠0) ．若此炮弹在第 7秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是 ( B )
2
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人教版2019年中考数学复习(二次函数综合备课笔记)
人教版2019年中考数学复习提升训备课笔记：二次函数综合备课笔记二次函数综合（5min）函数是中数学的重点知识，也是难点知识，同时是中考的必考压轴题那么学习一个函数应当从哪些方面入手呢？1.函数的自变量x取值范围1）由函数的解析式决定（二次函数一般取全体实数）2）实际意义决定（卖出的商品数量一般不取分数和负数）3）人为规定（题干中指出2<x<5）2.函数的因变量y的取值范围(给定了自变量x的范围后，就可以确定y的取值范围)3.函数的图像（二次函数一般用五点作图法）4.函数的对称性（二次函数具有轴对称性，对称轴为x = - b/2a）5.函数的增减性（y随x的变化趋势）6.函数的最大值和最小值（注意二次函数自变量的取值）6.函数图像的平移变换和对称变换：平移原则，左加右减，上加下减；对称原则：关于x轴对称，y变相反数，关于y轴对称，x变相反数，关于原点对称，都变为相反数；若关于某条直线对称，利用图像观察性质(10min)二次函数综合是中考必考题，一般在第27题，是第一道压轴题，分值7分。
二次函数常见题型：第一问：求解析式（利用对称性，解方程组等）求点的坐标求对称轴等第二问：利用对称性解决比大小，不等式问题图像平移等第三问：直线与二次函数的交点存在性问题利用图像解决不等式问题面积问题区间根问题最值问题等二次函数综合题一般解题步骤：★审题清晰，理解题意二次函数综合题文字往往比较多，需要耐心，细心，理解清楚题意★求对称轴，顶点，与坐标轴交点等对称轴是二次函数的灵魂，一定要把对称轴求出来，有效利用二次函数的对称性★精确作图，找临界点精确作图，是解二次函数综合题的强力手段，数形结合找临界点时解此类题的关键（一般与坐标轴交点，顶点，端点，与直线的切点都有可能成为临界点）总而言之：解决二次函数综合题，需要数形结合，进行条件转化，化线为点(20min)A 类1．在平面直角坐标系中，抛物线（0m ≠）的顶点为A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 左侧），与y 轴交于点D ．（1）求点A 的坐标；（2）若BC =4，求抛物线的解析式；解题思路： 1：求出对称轴2：求出与x 轴交点的坐标 3：待定系数法求解析式 答案：解：（1）．∴ 点的坐标为． ………………………2分 （2）①由（1）得，抛物线的对称轴为x =1．∵ 抛物线与轴交于，两点（点B 在点C 左侧），BC =4，∴ 点的坐标为 ，点的坐标为 ．………………………3分 ∴ ． ∴ ．∴ 抛物线的解析式为．2．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2-(2m + 1)x + m -5的图象与x 轴有两个公共点.xOy 224y mx mx m =-+-224y mx mx m =-+-2(21)4m x x =-+-2(1)4m x =--A (1,4)-x B C B (1,0)-C (3,0)240m m m ++-=1m =223y x x =--已知两交点的距离，可以得到什么？二次项系数含有参数，需要考虑什么？二次项与一次项系数都含有参数，可以得到什么？（1）求m的取值范围；（2）若m取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤x ≤ 1时，函数值y的取值范围是-6 ≤y ≤ 4-n，求n的值；解题思路：1：与x轴有两个交点，利用判别式2：二次项系数不为03：利用函数增减性关键在考虑对称轴的位置3.已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．二次项系数含有参数，需要考虑什么？给出x、y的取值范围，关键要考虑什么？与x轴有两个公共点，要联想什么？二次项系数含有参数，需要考虑什么？y直线lCB1234（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y =mx 2+（3m +1）x +3与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象直接写出实数a 的取值范围．解题思路：1：利用根的判别式判断根的个数； 2：利用求根公式求解与x 轴交点的横坐标； 3：比较函数值大小，关键是牢记抛物线的对称性 答案： 解：（1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->，∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根. …………2分 （2）22(31)(31)4m m b b ac x -+±--±-==， ∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. （3）a >1或a <-5.B 类1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C.二次函数上的点比较函数值大小时要注意什么？交点坐标为整数，需要用什么方法呢？有两个不相等的实数根，要联想什么？（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0)与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．解题思路：1：关于x 轴对称，y 值变为相反数；2：根据题意求出对称轴，数形结合，找出临界点，分类讨论二次项系数含有参数，需要考虑什么？二次项与一次项系数都含有参数，可以得到什么？ 抛物线与线段的交点问题，要用什么方法？答案：解：（1）∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3）∴点A 关于x 轴的对称点为B （0，3），l 为直线y =3 ∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 的坐标为（3，3）（2）∵抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0) ∴y = nx 2-4nx +4n +n = n (x -2)2+n∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，n ） ∵点B （0，3），点C （3，3）①当n ＞3时，抛物线最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点； ②当n=3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC 上， 此时抛物线与线段BC 有一个公共点；③当0＜n ＜3时，抛物线最小值为n ，与直线BC 有两个交点如果抛物线y=n (x -2)2+ n 经过点B （0，3），则3=5n ，解得53=n由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3） 点（4，3）不在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点B如果抛物线y=n (x -2)2+ n 经过点C （3，3），则3=2n ，解得23=n由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3）点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有两个公共点综上所述，当53≤n ＜23或n=3时，抛物线与线段BC 有一个公共点.2：平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y mx m x =-+交y 轴于A 点，交直线x =4于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）；（2）若AB ∥x 轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若对于图象G 上任意一点P （P x ，P y ），2P y ≤，求m 的取值范围．解题思路： 1：对称轴公式2：平行于x 轴的直线y 值相同 3：中点坐标公式4：动对称轴，分类讨论纵坐标≤2，可以转化成什么？平行于x 轴的直线有什么特点呢？二次项系数含有参数，需要考虑什么？答案： （1）m ；（2）∵ 抛物线2222y mx m x =-+与y 轴交于A 点， ∴ A （0，2）．∵ AB ∥x 轴，B 点在直线x =4上，∴ B （4，2），抛物线的对称轴为直线x =2. ∴ m =2．∴ 抛物线的表达式为2282y x x =-+. （3）当0m >时，如图1．∵()02A ，，∴要使04P x ≤≤时，始终满足2P y ≤，只需使抛物线2222y mx m x =-+的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．∴2m ≥．当0m <时，如图2，0m <时，2P y ≤恒成立．综上所述，0m <或2m ≥．图1图23：直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．解题思路：1：待定系数法求解析式2：分类讨论，数形结合，找临界点答案： 解：（1）令y =0，得x =1．∴点A 的坐标为（1,0）．∵点A 关于直线x =﹣1对称点为点C ， ∴点C 的坐标为（﹣3,0）． （2）令x =0，得y =3．∴点B 的坐标为（0,3）． ∵抛物线经过点B ， ∴﹣3m =3，解得m =﹣1． ∵抛物线经过点A ，∴m+n ﹣3m =0，解得n =﹣2．∴抛物线表达式为223y x x =--+．（3）由题意可知，a <0．根据抛物线的对称性，当抛物线经过（﹣1,0）时，开口最小，a =﹣3， 此时抛物线顶点在y 轴上，不符合题意.当抛物线经过（﹣3,0）时，开口最大，a =﹣1.结合函数图像可知，a 的取值范围为31a -<≤-.与线段有两个公共点，用什么方法来求？C 类1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2211222y x mx m m =-++-的顶点在x 轴上.（1）求抛物线的表达式； （2）点Q 是x 轴上一点，①若在抛物线上存在点P ，使得∠POQ =45°，求点P 的坐标；②抛物线与直线y =2交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），将此抛物线在点E 、F （包含点E 和点F ）之间的部分沿x 轴平移n 个单位后得到的图象记为G ，若在图象G 上存在点P ，使得∠POQ =45°，求n 的取值范围. 解题思路：1：顶点在x 轴上，Δ=0或者顶点纵坐标为02：数形结合，将角转化为直线与抛物线的交点问题，找临界点 答案：∠POQ=45°要怎样转化？顶点在x 轴上，用什么方法？2．抛物线21(3)3(0)y mx m x m=+--与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y 1向左平移n （n ＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，若点C 在直线23=-+y x t 上，直线2y 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．解提思路：1：利用图像求出交点坐标，代入求解 2：直线与抛物线有交点，数形结合，化线为点 答案：解：（1）∵抛物线)0(3)3(21>--+=m x m mx y 与y 轴交于点C ，∴(0,3)C -.∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，OB=OC ，∴B (3,0)或B (-3,0).∵点A 在点B 的左侧，0m >， ∴抛物线经过点B (3,0). ∴093(3)3m m =+--. ∴1m =.∴抛物线的表达式为2123y x x =--.（2）y 1=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，y 2=﹣3x ﹣3，y 1向左平移n 个单位后，则表达式为：y 3=（x ﹣1+n ）2﹣4，则当x ≥1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y 2向下平移n 个单位后，则表达式为：y 4=﹣3x ﹣3﹣n ，要使平移后直线与P 有公共点，则当x =1﹣n ，y 3≤y 4， 即（1﹣n ﹣1+n ）2﹣4≤﹣3（1﹣n ）﹣3﹣n ，抛物线与直线同时移动，怎样才能有交点？根据OB=OC ，可以得到什么？解得：n≥1，(15min)A类1：在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1 : y1 = ax2 - 4ax - 4的顶点在x 轴上，求抛物线C1的表达式及其顶点坐标；2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（0，–3），（2，–3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；3：已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.B 类1．在平面直角坐标系中，抛物线（0m ≠）的顶点为A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 左侧），与y 轴交于点D ． （1）求点A 的坐标； （2）若BC =4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C ，D 之间的部分记为图象G （包含C ，D 两点）．若过点A 的直线与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．xOy 224y mx mx m =-+-+(0)y kx b k =≠2.在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+mx+2m-7的图象经过点（1,0）．(1)求抛物线的表达式；(2)把-4<x<1时的函数图象记为H ，求此时函数的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H 在x 轴下方的部分沿x 轴 翻折，图象H 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y=x+b 与图象M 有三个公共点，求b 的取值范围．3. 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点A(0，-3)，B(4，5).（1）求此抛物线表达式及顶点M 的坐标；（2）设点M 关于y 轴的对称点是N ，此抛物线在A ，B 两点之间的部分记为图象W(包含A,B 两点)，经过点N 的直线l ：n mx y +=与图象W 恰一个有公共点，结合图象，求m 的取值范围.yC 类1.已知：直线l ：2y x =+与过点（0,﹣2），且与平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为点B ．（1）求,A B 两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．(5min)_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________当堂练习答案部分 A 类1：解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=． ∵抛物线1C 的顶点在x 轴上，∴它的顶点为（2，0）．∴当2x =时，440y a =--=． ∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．2：（1）把（0，–3）代入，∴把（2，–3）代入 ∴．（2）由（1）得．∴顶点坐标为（1，–4）．由解得． ∴抛物线与x 轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．3：解：（1）．理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为．∵(1，)，（3，）在抛物线上， ∴ （2）当时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4）， ∴抛物线的解析式为 当时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1）， ∴抛物线的解析式为． 综上所述，抛物线的解析式为或12n n =2x =1P 1n 2P 2n 24y ax ax b =-+12n n =0a >23344y x x =-+0a <23314y x x =-++23344y x x =-+23314y x x =-++B 类1：解：（1）．∴ 点的坐标为． ………………………2分（2）①由（1）得，抛物线的对称轴为x =1．∵ 抛物线与轴交于，两点（点B 在点C 左侧），BC =4，∴ 点的坐标为 ，点的坐标为 ．………………………3分 ∴ ．∴ ．∴ 抛物线的解析式为．……4分② 由①可得点的坐标为 ．当直线过点，时，解得．………5分当直线过点，时，解得． ………6分结合函数的图象可知，k 的取值范围为10k -≤<或02k <≤． …………7分2：解：（1）将（1,0）代入，得m=2．∴抛物线的表达式为y=x 2+2x-3．（2）抛物线y=x 2+2x-3开口向上，且在-4<x<1范围内有最低点,∴当x=-1时，y 有最小值为-4.当x=-4时，．.∴的取值范围是-4≤y<5（3）当直线y=x+b 经过(-3,0)时，b=3. .变换后抛物线的表达式为y=-x 2-2x+3.联立可得：-x 2-2x+3=x+b,224y mx mx m =-+-2(21)4m x x =-+-2(1)4m x =--A (1,4)-x B C B (1,0)-C (3,0)240m m m ++-=1m =223y x x =--D (0,3)-A D 1k =-A C 2k =5y =y令判别式为零可得b=. 由图象可知，b 的取值范围是 ：3<b<.3： (1)将 A （0，-3），B （4，5） 代入 c bx x y ++=2 中 C=-316+4b+c=5∴C=-3 b=-2∴ 抛物线的表达式是223y x x =--顶点坐标是（1，-4）(2) M 关于y 轴的对称点N(-1.-4) ，由图象知m=0符合条件又设NA 表达式y=kx+b将 A （0，-3），N （-1，-4） 代入 y=kx+b 中得b=-3,-k+b=-4 得k=1 b=-3∴y=x-3再设NB 表达式y=tx+s,得 4t+s=5-t+s=-4 得t=95 s=115- y=95x 115-421421C 类解：（1）由题可知A 点的纵坐标为2-，点A 在直线l 上，∴()4,2A --． 由对称性可知()2,2B -． （2）抛物线2y x bx c =-++点,A B ，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为226y x x =--+ （3）抛物线2y x bx c =-++顶点在直线l 上由题可知，抛物线顶点坐标为(),2t t + ∴抛物线解析式可化为()22y x t t =--++．把()4,2A --代入解析式可得()2242t t -=---++ 解得123,4t t =-=-．∴43t -≤<-． 把()2,2B -代入解析式可得()2222t t --++=-． 解得340,5t t ==∴05<≤t ．综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ．。
第13讲二次函数的应用考点聚焦-中考数学一轮复习作业课件
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
12k＋b＝90，
k＝－5，
根据题意得：14k＋b＝80， 解得：b＝150.
4. (202X·武汉)某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量 y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三 组对应值如表： 注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价) (1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； ②该商品进价是___4_0元/件；当售价是___7_0元/件时，周销售利润最大， 最大利润是___1_8元00． (2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m＞0)，物价部门规定该商品 售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1) 中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
解：(1)抛物线的表达式为：y＝x2＋2x－3； (2)抛物线的对称轴为x＝－1，令y＝0，则x＝－3或x＝1，令x＝0，则y＝－ 3，故点A，B的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，点C(0，－3)，故OA＝OC＝3 ，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角 形与△AOC全等，设点P(m，n)，当点P在抛物线对称轴右侧时，m－(－1)＝ 3，解得：m＝2，故n＝22＋2×2－3＝5，故点P(2，5)，故点E(－1，2)或(－1 ，8)；当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P(－4， 5)，此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为(2，5)或(－4，5)；点E的坐标为( －1，2)或(－1，8).
2019年北京市中考数学总复习课件：第12课时 二次函数
课前双基巩固
对点演练
题组一
必会题
2 -2
[答案] 1.B 2.A
是二次函数,则 m 的值是 B.2 D.不能确定 ( ) ( )
1.若 y=(m+2)������ ������ A.± 2 C.-2
2.抛物线 y=2(x-3)2+1 的顶点坐标是 A.(3,1) C.(-3,1) B.(3,-1) D.(-3,-1)
=15.故选 B.
图12-2
高频考向探究
拓考向
2.[2018· 朝阳期末] 如图 12-3,一条抛物线与 x 轴相交于 M,N 两点 (点 M 在点 N 的左侧),其顶点 P 在线段 AB 上移动.若点 A,B 的坐 标分别为(-2,3),(1,3),点 N 的横坐标的最大值为 4,则点 M 的横坐 标的最小值为 A.-1 C.-5 ( B.-3 D.-7 )
第 12 课时
二次函数
课前双基巩固
考点聚焦
考点一
二次函数的概念
定义 一般地,形如 y=ax +bx+c (a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其 中 a,b 分别是二次项系数、一次项系数,c 是常数项
2
二次函数 y=ax2+bx+ (1)等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2; c(a≠0)的结构特征 (2)二次项系数 a≠0
[答案] B [解析] 由题意得 ������ = 54, 400������ + 20������ + ������ = 57.9, 1600������ + 40������ + ������ = 46.2, ������ = -0.0195, 解得 ������ = 0.585, 从而对称轴为直 ������ = 54, 线 x=- =2������ ������ 0.585 2× (-0.0195 )
2019届冀教版中考《第13讲二次函数的应用》知识梳理
第13讲二次函数的应用若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位③根据图象，结合所求的值是否在自变量的取值范围内，并求提出的实际问题“的取值是否在自变量的取值范围内几何图形的关系式确定二次函数解析式；由于面积等于两条边的乘积，2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，矩形ABCD，AD＝1，CD＝2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连结AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P，Q，A三点的圆面积为S，则4π≤S＜254．下列说法正确的是（）A.①对②对B.①对②错C.①错②对D.①错②错2．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④3．小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（）A．①②④B．②③C．①③④D．①②③④4．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（）A. B. C. D.5．如图，已知一次函数的图像与轴分别交于点，与反比例函数的图像交于点，且，则的值为（）A. B. C. D.6．如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是（）A．主视图是中心对称图形B．左视图是中心对称图形C．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形D．主视图既是中心对称图形又是轴对称图形7．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D．ac≠08．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点A′处，若AO＝OB＝2，则阴影部分面积为（）A.πB.23π﹣1 C.43π+1 D.43π9．下列命题中哪一个是假命题（）A．8的立方根是2B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大C．菱形的对角线相等且平分D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等10．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么PMPN的值等于（）A ．12B ．2C D ．11．如图, 甲乙两城市相距600千米,一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市,已知货车出发1小时后客车再出发,先到终点的车辆原地休息,在汽车行驶过程中,设两车之间的距离为s (千米),客车出发的时间为t (小时),它们之间的关系如图所示,则下列结论：①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米.正确的有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点E 在边AD 上，点G 在边BC 上，点F 、H 在对角线BD 上，若四边形EFGH 是正方形，则AE 的长是（ ）A ．5B ．11924C ．13024D ．16924二、填空题13．如图，在ABC △中，，点D 在BC 上，且BD BA =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连结EF .若四边形DCFE 和△BDE 的面积都为3，则△ABC 的面积为____.14．如图，将矩形OABC 置于一平面直角坐标系中，顶点A ，C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（5，6），双曲线y ＝kx（k≠0）在第一象限中的图象经过BC 的中点D ，与AB 交于点E ，P 为y 轴正半轴上一动点，把△OAP 沿直线AP 翻折，使点O 落在点F 处，连接FE ，若FE ∥x 轴，则点P 的坐标为___．15．如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为_____．16．计算：1-+=________.12-17．某校抽查50名九年级学生对艾滋病三种主要传授途径的知晓情况，结果如表估计该校九年级600名学生中，三种传播途径都知道的有_____人．18_____．三、解答题19．如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60度．(1)求∠AOC的度数；(2)在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；(3)如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长．20．如图，正方形ABCD中，AB＝O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离．21．计算：0）﹣122．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣14x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0）．点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD．（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；（2）连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值；（3）连接BP，以BD、BP为邻边作▱BDEP，直线PE交x轴于点T．当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标．23．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB，A（0，﹣3），B（﹣2，0）．将△OAB先绕点B 逆时针旋转90°得到△BO1A1，再把所得三角形向上平移2个单位得到△B1A2O2；（1）在图中画出上述变换的图形，并涂黑；（2）求△OAB在上述变换过程所扫过的面积．24．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD，过点A作直线MN，使∠MAC＝∠ADC．（1）求证：直线MN是⊙O的切线．（2）若sin∠ADC＝12，AB＝8，AE＝3，求DE的长．25．在一次数学考试中，小明有一道选择题(只能在四个选项A、B、C、D中选一个)不会做，便随机选了一个答案；小亮有两道选择题都不会做，他也随机选了两个答案．(1)小明随机选的这个答案，答对的概率是；(2)通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少？(3)这个班数学老师参加集体阅卷，在阅卷的过程中，发现学生的错误率较高．他想：若这10道选择题都是靠随机选择答案，则这10道选择题全对的概率是．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1014．（0，53）或（0，15）．15．10 316．1 2 -17．300 18．1 三、解答题19．(1)∠AOC＝60°；(2)PO＝8；(3)点M经过的弧长为43π或83π或163π或203π.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，∴∠AOC＝60°（2）由CP与⊙O相切，OC是半径．得CP⊥OC，∴∠P＝90°−∠AOC＝30°，∴PO＝2 CO＝8 （3）如图，当S△MAO＝S△CAO时，动点M的位置有四种．①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．【详解】(1)∵在△ACO中，∠OAC＝60°，OC＝OA∴△ACO是等边三角形∴∠AOC＝60°．(2)∵CP与⊙O相切，OC是半径．∴CP⊥OC，又∵∠OAC＝∠AOC＝60°，∴∠P＝90°﹣∠AOC＝30°，∴在Rt△POC中，CO＝12PO＝4，则PO＝2CO＝8；(3)如图，①作点C关于直径AB的对称点M1．易得S△M1AO＝S△CAO，∠AOM1＝60°∴144603 180AMππ︒︒=⨯=∴当点M运动到M1时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为43π．②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，易得S△M2AO＝S△CAO．∴∠AOM1＝∠M1OM2＝∠BOM2＝60°∴2481203 180AMππ︒︒=⨯=∴当点M运动到M2时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为83π．③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，易得S△M3AO＝S△CAO ∴∠BOM3＝60°，234162403 180AM Mππ︒︒=⨯=，∴当点M运动到M3时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为163π．④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为4203003180ππ︒︒⨯=．【点睛】本题利用了等边三角形的判定和性质，切线的性质，弧长公式，同底等高的三角形的面积相等的性质求解．20．（1）详见解析；（2）点F到直线BC的距离为5．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDF＝90°，DE＝DF，由正方形的性质可得∠ADC＝90°，DE＝DF，可得∠ADE＝∠CDF，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE＝CF；（2）由勾股定理可求AO的长，可得AE＝CF＝3，通过证明△ABO∽△CPF，可得CF PFAO BO=，即可求PF的长，即可求点F到直线BC的距离．【详解】证明：（1）∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，∴∠EDF＝90°，DE＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，DE＝DF，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，且DE＝DF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，（2）解：如图2，过点F作FP⊥BC交BC延长线于点P，则线段FP的长度就是点F到直线BC的距离．∵点O是BC中点，且AB＝BC＝∴BO∴AO5，∵OE ＝2， ∴AE ＝AO ﹣OE ＝3. ∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ＝3，∠DAO ＝∠DCF ，∴∠BAO ＝∠FCP ，且∠ABO ＝∠FPC ＝90°， ∴△ABO ∽△CPF ， ∴CF PFAO BO=， ∴35=∴PF ，∴点F 到直线BC . 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ABO ∽△CPF 是本题的关键．21【解析】 【分析】将原式中每一项分别化为11+再进行化简． 【详解】解：原式＝11+= 【点睛】本题考查实数的运算；熟练掌握运算性质，绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．22．（1）2184y x x =--+ ,（﹣8，0）；（2）﹣4或﹣1；（3）（1，274）. 【解析】 【分析】（1）直接将A ，C 两点代入即可求 （2）可设P （m ，-14m 2-m+8），由∠OQP=∠BOD=90°，则分两种情况：△POQ ∽△OBD 和△POQ ∽△OBD 分别求出PQ 与OQ 的关系即可（3）作平行四边形，实质是将B 、P 向右平移8个单位，再向上平移4个单位即可得到点E 和点D ，点E 在二次函数上，代入即可求m 的值，从而求得点E 的坐标． 【详解】（1）把A （0，8），C （4，0）代入y ＝﹣14x 2+bx+c 得8440c b c =⎧⎨-++=⎩，解得18b c =-⎧⎨=⎩ ∴该二次函数的表达为y ＝﹣14x 2﹣x+8 当y ＝0时，﹣14x 2﹣x+8＝0，解得x 1＝﹣8，x 2＝4 ∴点B 的坐标为（﹣8，0） （2）设P （m ，﹣14m 2﹣m+8），由∠OQP ＝∠BOD ＝90°，分两种情况： 当△POQ ∽△OBD 时，PQ BO 82OQ OD 4=== ∴PQ ＝2OQ 即﹣14m 2﹣m+8＝2×（﹣m ），解得m ＝﹣4，或m ＝8（舍去） 当△POQ ∽△OBD 时，OQ B 82PQ D 4O O === ∴OQ ＝2PQ即﹣m ＝2×（﹣14m 2﹣m+8），解m ＝﹣1或m ＝﹣综上所述，m 的值为﹣4或﹣1（3）∵四边形BDEP 为平行四边形，∴PE ∥BD ，PE ＝BD∵点B 向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D∴点P 向右平移8个单位，再向上平衡4个单位得到点E∵点P （m ，﹣14m 2﹣m+8）， ∴点E （m+8，﹣14m 2﹣m+12）， ∵点E 落在二次函数的图象上 ∴﹣14（m+8）2﹣（m+8）+8＝﹣14m 2﹣m+12 解得，m ＝﹣7 ∴点E 的坐标为（1，274）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．23．（1）详见解析；（2）1394π+ 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格结构找出点A 、O 的对应点A 1、O 1，再与点B 顺次连接即可得到△BO 1A 1；再根据平移的性质，结合网格结构找出点B 、A 1、O 1的对应点B 1、A 2、O 2，然后顺次连接即可得解；（2）结合图形不难看出，变换过程所扫过的面积为扇形BAA 1，与梯形A 1A 2O 2B 的面积的和，然后根据扇形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可求解．【详解】（1）如图所示；（2）在Rt △AOB 中，AB ==∴扇形BAA 1的面积＝290133604ππ⋅⨯=， 梯形A 1A 2O 2B 的面积＝12×（2+4）×3＝9， ∴变换过程所扫过的面积＝扇形BAA 1的面积+梯形A 1A 2O 2B 的面积＝134π+9． 【点睛】本题考查了利用旋转变换与平移变换作图，以及扇形的面积计算，熟悉网格结构找出对应点的位置是解题的关键．24．（1）见解析；（2）13． 【解析】【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠BAM=90°，根据垂直的定义得到AB ⊥MN ，即可得到结论；（2）连接OC ，过E 作EH ⊥OC 于H ，根据三角函数的定义得到∠D=30°，求得∠AOC=60°，解直角三角形得到1,22OH EH ==，根据相交弦定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠B+∠BAC ＝90°，∵∠B ＝∠D ，∠MAC ＝∠ADC ，∴∠B ＝∠MAC ，∴∠MAC+∠CAB ＝90°，∴∠BAM ＝90°，∴AB ⊥MN ，∴直线MN 是⊙O 的切线；（2）解：连接OC ，过E 作EH ⊥OC 于H ，∵sin ∠ADC ＝12， ∴∠D ＝30°，∴∠B ＝∠D ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∵AB ＝8，∴AO ＝BO ＝4，∵AE ＝3，∴OE ＝1，BE ＝5，∵∠EHO ＝90°，∴1,22OH EH ==， ∴CH ＝72，CE ∴==∵弦CD 与AB 交于点E ，由相交弦定理得，AE•BE＝CE•DE，13AE BE DE CE ⋅∴===． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相交弦定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25．(1)14；(2)116；(3)1014. 【解析】【分析】（1）错误答有3个，除以答案总数4即可（2）根据题意画出树状图即可知道一共有16种情况，选出两题都错的情况，即可解答（3）由（2）可知两题都对的概率为(14)2，10道选择题全对的概率是10个14的乘积 【详解】(1)∵只有四个选项A 、B 、C 、D ，对的只有一项，∴答对的概率是14 ； 故答案为：14； (2)根据题意画图如下：共有16种等情况数，两题都答对的情况有1种， 则小亮两题都答对概率是116； (3)由(2)得2道题都答对的概率是(14)2，则这10道选择题全对的概率是(14)10＝1014． 故答案为：1014． 【点睛】 此题考查概率公式和列表法与树状图法，解题关键在于看懂题中数据2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB 4=，BAD ∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG AE ⊥，垂足为G ，若DG 1=，则AE 的边长为( )A ．B ．C ．4D ．82x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 、F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于H ，AD=3,DC=4,DE=,∠EDF=90°,则DF 的长是（ ）A. B. C. D.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A. B. C. D.5．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=－2时，y 取最大值；③当m<4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=m 必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时，x 的取值范围是－4<x<0；其中推断正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④6．如图，四边形AOBC 和四边形CDEF 都是正方形，边OA 在x 轴上，边OB 在y 轴上，点D 在边CB 上，反比例函数8y x=，在第二象限的图像经过点E ,则正方形AOBC 与正方形CDEF 的面积之差为（ ）A.6B.8C.10D.127．2018年舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）A ．4.995×1010B ．49.95×1010C ．0.4995×1011D ．4.995×10118．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简21a a +--的结果为（ ）A ．21a --B ．21a +C ．－3D ．39．如图，矩形ABCD 中，AB=2, AD=1, 分别以AB 、CD 为直径做半圆，两弧交于点E 、F,则线段EF 的长为（ ）A B C ．32 D ．3 10．已知抛物线2y ax bx c =++开口向下，与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)n ，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：①20a b +=；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，126a a -总成立；④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，扇形CBD 的圆心角为60°，点E 为CD 上一动点，P 为AE 的中点，当点E 从点C 运动至点D ，则点P 的运动路径长是( )A ．2π B ．6π C ．π D ．32 12．分式方程, 2133x x x +=-+-的解为（ ）.A ．0x =B ．6x =C ．15x =-D ．15x =二、填空题13．初三年级参加体育运动会时组成队形为10排，第一排20人，而后面每排比前排多1 人，写出每排人数m 与这排数n 之间的函数关系式__________，自变量的取值范围是_________；14．计算：2(1)--_____．15．若a ，b 都是实数，b﹣2，则a b 的值为_____． 16．计算12﹣_____． 17，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____．18有意义，那么x 的取值范围是________.三、解答题19．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据:从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下： 甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70（2）整理描述数据:按如下分数段整理、描述这两组样本数据：在表中：m=______，n=______．（3）分析数据:①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：在表中：x=______，y=______．②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有______人．③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．20．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．21．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工．按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列车时速是最慢列车时速的29 20倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？22．113532 3(5)(1)(3)(10)10 464675 +----++-23．如图，已知⊙A与菱形ABCD的边BC相切于点E，与边AB相交于点F，连接EF．（1）求证：CD是⊙A的切线；（2）若⊙A 的半径为2，tan ∠BEF ＝3，求图中阴影部分的面积．24．如图，排球运动员站在点M 处练习发球，将球从M 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足抛物线解析式．已知球达到最高2.6m 的D 点时，与M 点的水平距离EM 为6m ．（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；（2）球网BC 与点M 的水平距离为9m ，高度为2.43m ．球场的边界距M 点的水平距离为18m ．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．25．已知ABC △内接于O ，D 是BC ︵上一点，OD BC ^，垂足为H ，连接AD 、CD ，AD 与BC 交于点P .I.如图1，求证：ACD APB ∠=∠；Ⅱ.如图2，若AB 过圆心，30ABC ∠=︒，O 的半径长为3，求AP 的长。
北京市2019年中考数学总复习第三单元函数第13课时二次
[答案] 2.C 3.C
3.若二次函数的图象顶点坐标为(2,-1),且抛物线过点(0,3),则 二次函数的解析式是 A.y=-(x-2)2-1 C.y=(x-2)2-1 ( ) B.yபைடு நூலகம்- (x-2)2-1
2 1
D.y= (x-2)2-1
2
1
课前双基巩固
4.已知二次函数 y=x2+bx+c 的部分图象如图 13-1 所示,若 y<0,则 x 的取值范围是( A.-1<x<4 B.-1<x<3 C.x<-1 或 x>4 D.x<-1 或 x>3 )
考点三 二次函数与一元二次不等式的关系
不等式 ax2+bx+c>0 的解集,就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在 x 轴① 的点的横坐标所组成的集合 不等式 ax2+bx+c<0 的解集,就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在 x 轴② 的点的横坐标所组成的集合 不等式中如果带有等号,其解集也相应带有等号
顶点式
课前双基巩固
考点二 二次函数与一元二次方程的关系
ax2+bx+c=0(a≠0) 的根.
1.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 x1,x2 是一元二次方程 抛物线与 x 轴的交点与方程的根的关系: 抛物线与 x 轴的交点个数 两个交点 一个交点 没有交点 Δ=b2-4ac 的符号 Δ>0 Δ=0 Δ<0
[答案] B
图13-1
课前双基巩固
5.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 13-2 所示,则下列结 论中正确的是 A.a>0 B.c<0 C.3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根 D.当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小 ( )
2019届冀教版中考《第13讲二次函数的应用》知识梳理
第13讲二次函数的应用若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位③根据图象，结合所求的值是否在自变量的取值范围内，并求提出的实际问题“的取值是否在自变量的取值范围内几何图形的关系式确定二次函数解析式；由于面积等于两条边的乘积，2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A.小青B.小何C.小夏D.小雨2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，点P是BC边上的动点，连接PA、PD．则PA+PD的最小值为（）1 D.33．某公司招聘考试分笔试和面试，其中笔试按60%，面试按40%计算加权平均数作为总成绩，小红笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么小红的总成绩为( )A．80分B．85分C．86分D．90分4．下列运算中，正确的是（）A．（﹣x）2•x3＝x5B．（x2y）3＝x6yC．（a+b）2＝a2+b2D．a6+a3＝a25．长为10米的木杆斜靠在墙壁上，且与地面的夹角∠OBA＝60°，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆AB的中点P也随之下落，则点P下落的路线及路线长为（）A.线段，5B.线段，C.以点O为圆心，以AB为半径的一段弧，弧长为D.以点O为圆心，以OP为半径的一段弧，弧长为6．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b=0，那么下列结论错误的是A ．|a|=|b|B ．a+c ＞0C ．ab=–1 D ．abc ＞07．大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列计算正确的是（ ） A.224·x x x -= B.()224x x -=C.234·x x x =D.()222m n m n -=-9．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定10．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，两弦AB 与CD 垂直相交于点E ，若CE ＝3cm ，DE ＝9cm ，则AB ＝（ ）cm 11．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．主视图的面积最小B ．左视图的面积最小C ．俯视图的面积最小D ．三个视图的面积相等12．如图直线y ＝mx 与双曲线y=kx交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．有一种动画设计，屏幕上的长方形ABCD是黑色区域（含长方形的边界），其中A（﹣1，1）、B（2，1）、C（2，2），D（﹣1，2），用信号枪沿直线y＝kx﹣2发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的k的取值范围是_____．14．已知 5 个数据：8，8，x，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 __________．15．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.16．如图，在⊙O中，圆周角∠ACB＝150°，弦AB＝4，则扇形OAB的面积是_____．17．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A 落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为_______°．18．点A（x，y）关于x轴的对称点坐标为（﹣3，﹣4），则点A坐标是_____．三、解答题19．如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．…（1）请写出：算式⑤；算式⑥；（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2m+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．20．如图，AE与CD交于点O，∠A=40°，OC=OE，∠C=20°，求证：AB∥CD．21．某公园内有一如图所示地块，已知∠A＝30°，∠ABC＝75°，AB＝BC＝8米，求C点到人行道AD的距离（结果保留根号）．22．如图①，已知△ABC中，AB＝AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．（1）则线段CG、PM、PN三者之间的数量关系是；（2）如图②，若点P在BC的延长线上，则线段CG、PM、PN三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；（3）如图③，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AE＝AD，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM ⊥AC于点M，若正方形ABCD的面积是12，请直接写出PM+PN的值．23．先化简，再求值：2422x x x +--，其中x ﹣2． 24．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．（1）求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，过点P 画PE ∥AC 交BC 边于E ，联结EQ ，则四边形APEQ 是什么特殊四边形？证明你的结论．25．如图，CD 是⊙O 的直径，点A 为圆上一点不与C ，D 点重合，过点A 作⊙O 的切线，与DC 的延长线交于点P ，点M 为AP 上一点，连接MC 并延长，与⊙O 交于点F ，E 为CF 上一点，且MA ＝ME ，连接AE 并延长，与⊙O 于点B ，连接BC ，AC ． （1）求证：BC ＝BF ； （2）若PC•PD＝7，求AP 的长．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．k≤﹣3或k≥32．14．或 10 15．116．8 317．8018．（3。
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图 13-6
最大面积为 800 平方米.
高频考向探究
[方法模型] 解二次函数实际应用问题的基本步骤:(1)一找:找出实际问题中的变量,并用字母表示; (2)二表:用含自变量的代数式表示其他量;(3)三解:用解析式表示等量关系,利用二次函数的知识解 决问题;(4)四验:检验结果的合理性,对问题加以拓展和深化.
题组一 必会题
[答案] A
1.将抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长 度,得到的抛物线的函数表达式为 ( A.y=(x+2)2-3 C.y=(x-2)2+3 B.y=(x+2)2+3 D.y=(x-2)2-3 )
课前双基巩固
2.抛物线 y=2x2-2 2x+1 与坐标轴的交点个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )
顶点式
课前双基巩固
考点二 二次函数与一元二次方程的关系
ax2+bx+c=0(a≠0) 的根.
1.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 x1,x2 是一元二次方程 抛物线与 x 轴的交点与方程的根的关系: 抛物线与 x 轴的交点个数 两个交点 一个交点 没有交点 Δ=b2-4ac [答案] x1=-2,x2=1
根为
.
图 13-4
高频考向探究
3.[2018· 通州期末] 二次函数 y=-x2+bx+c 的部分图象如图 13-5 所示,由图象可知,不等式-x +bx+c<0 的解集为
2
[答案] 3.x<-1 或 x>5 4.a≥1
.
图 13-5 4.[2018· 东城期末] 已知函数 y=x2-2x-3,当-1≤x≤a 时,函数的最小 值是-4,则实数 a 的取值范围是 .
方程有实数根的个数 两个不相等的实根 两个相等的实根 没有实根
2.已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为 k,求自变量 x 的值,就是解方程 ax2+bx+c=k;反过来,解方程 ax2+bx+c=k,就是令二 次函数 y=ax2+bx+c-k 的函数值为 0,求自变量的值.
课前双基巩固
考点三 二次函数与一元二次不等式的关系
不等式 ax2+bx+c>0 的解集,就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在 x 轴① 的点的横坐标所组成的集合 不等式 ax2+bx+c<0 的解集,就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在 x 轴② 的点的横坐标所组成的集合 不等式中如果带有等号,其解集也相应带有等号
高频考向探究
拓考向
[2018· 昌平期末] 如图 13-7①是一座古拱桥的截面图,拱桥桥 洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为 10 m 时,桥洞与水面 的最大距离是 5 m. (1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如 图②),你选择的方案是 3”),则 B 点坐标是 达式; (2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为 6 m,求水面上涨的高度. (填“方案 1”“方案 2”或“方案 ,求出你所选方案中的抛物线的表
高频考向探究
拓考向
1.抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(-1,0),C(0,4)两点,求抛物线的函数解 析式.
解:∵抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(-1,0),C(0,4)两点, ������ = 3, ∴ -1-������ + ������ = 0,解得 ������ = 4, ������ = 4.
第 13 课时
二次函数与方程、 不等式
课前双基巩固
考点聚焦
考点一
用待定系数法求二次函数的解析式
方法 一般式 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代 入,求出 a,b,c 的值 若已知二次函数的图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),则设所求二次 函数为 y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式 若已知二次函数的图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),则设所求二次函数为 交点式 y=a(x-x1)· (x-x2)(a≠0),将第三点的坐标(m,n)(其中 m,n 为已知数)或其他已知条件代入,求 出待定系数 a,最后将解析式化为一般形式
0
1 2
1
3 2
2
5 2
3 … 2 … ,m 的值
1 1 7 7 -1 -4 -2 -4 -1 4 4 ,顶点坐标是
(1)二次函数图象的开口向 为 ;
(2)当 x>0 时,y 的取值范围是
;
(3)当抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在直线 y=x+n 的下方时,n 的取值 范围是 .
高频考向探究
拓考向
1.[2018· 西城期末] 如图 13-3,抛物线 y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴 为直线 x=1,如果关于 x 的方程 ax2+bx-8=0(a≠0)的一个根为 4, 那么该方程的另一个根为 ( )
[答案] B
图 13-3 A.-4 C.1 B.-2 D.3
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2.[2018· 房山检测] 如图 13-4,抛物线 y=ax2 和直线 y=bx+c 的两 个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),则关于 x 的方程 ax -bx-c=0 的
解:(1)根据题意得,AB=x,BC=80-2x.
∴S=x(80-2x)=80x-2x2.
又∵x>0,0<80-2x≤50,
∴15≤x<40.∴S=-2x2+80x(15≤x<40).
(2)∵x=- =20,
2������ ������
∴当 x=20 时,S=20×(80-20×2)=800.
答:当 AB 为 20 米时,活动区的面积最大,
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5.[2016· 海淀二模] 已知点 P(m,n)为抛物线 y=ax2-4ax+b(a≠0)上一动点. (1)点 P1(1,n1),P2(3,n2)为 P 点运动所经过的两个位置,判断 n1,n2 的大小,并说明理由; (2)当 1≤m≤4 时,n 的取值范围是 1≤n≤4,求抛物线的解析式.
[答案] B
图13-1
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5.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 13-2 所示,则下列结 论中正确的是 A.a>0 B.c<0 C.3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根 D.当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小 ( )
[答案] C
图13-2
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题组二 易错题
∴b=-4,∴该抛物线的函数解析式为 y=x24x+3. (2)点 P 的坐标为(5,8)或(-1,8).
高频考向探究
[方法模型] 在求二次函数的解析式时,经常利用待定系数法. (1)已知任意三点的坐标选用一般式 y=ax2+bx+c(a≠0); (2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,常选用顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0); (3)已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标,常选用交点(双根)式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
4
3
综上所述,抛物线的解析式为 y= x2-3x+4 或 y=- x2+3x+1.
4 4
3
3
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探究三 用二次函数的性质解决实际问题
例 3 [2018· 通州期末] 如图 13-6,李师傅想用长为 80 米的栅栏,再借助 教学楼的外墙围成一个矩形的活动区 ABCD.已知教学楼外墙长 50 米, 设矩形 ABCD 的边 AB=x 米,面积为 S 平方米. (1)请写出活动区面积 S 与 x 之间的关系式,并指出 x 的取值范围; (2)当 AB 为多少米时,活动区的面积最大?最大面积是多少?
图13-7
高频考向探究
解:解法一:(1)方案 1 (5,0) 设抛物线的解析式为 y=a(x+5)(x-5).由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5), 代入解析式可得:a=- ,∴抛物线的解析式为 y=- (x+5)(x-5).
5 5 1 1
(2)把 x=3 代入 y=- (x+5)(x-5),解得 y=3.2,∴水面上涨的高度为 3.2 m.
求解不等式 ax2+bx+c>0 求解不等式 ax2+bx+c<0 备注
上
方
下
方
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考点四 二次函数的应用
解决二次函数的应用问题的关键在于建立二次函数模型.在具体解题时,应认真审题,理解题意,再利用二 次函数的性质解决问题.应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润.
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对点演练
5
1
解法二:(1)方案 2
(10,0)
设抛物线的解析式为 y=ax(x-10),由题意可以得到抛物线的顶点为(5,5), 代入解析式可得:a=- ,∴抛物线的解析式为 y=- x(x-10).
5 5 1 1
(2)把 x=2 代入 y=- x(x-10),解得 y=3.2,∴水面上涨的高度为 3.2 m.
【失分点】 二次函数图象顶点在坐标轴上、二次函数图象与 x 轴只 有一个交点、二次函数的最小(大)值为 0 三者等价;求因变量 的取值范围需注意是否经过了顶点,注意端点取值等问题.