上海市格致中学2020届高三数学第三轮复习 第10部分 解题技巧与应试心理题型整理分析
上海格致中学2023-2024学年第二学期高三数学开学测试及答案
1格致中学2023学年第二学期高三数学开学测试2024.02一、填空题（本题12小题，11-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1．已知集合{}1A x x =≤，{}1,1,3,5B =−，则A B = ________．2．已知抛物线的准线方程为2y =−，则其标准方程为________． 3．已知复数1z i =−（i 为虚数单位），则1iz +=________．4．在(12)6x +的二项展开式中，4x 项的系数是________（结果用数值表示）． 5．在△Rt ABC 中，90B ∠=°，2AB =，3CB =，将△ABC 绕边AB 旋转一周，所得到几何体的体积为________．6．若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，设()()1F x af x =−，且()13F =，则()1F −的值为_____． 7．一项研究同年龄段的男、女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：注意力稳定 注意力不稳定 男生 29 7 女生335依据()23.8410.05P χ≥≈，该实验________该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异．（填“拒绝”或“支持”）参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，其中n a b c d =+++8．已知()1,1OA = ，OB 在OA上的数量投影为O 为原点，则点B 所在直线方程为________．9．如图，圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是正方形，D 、E 分别是边1AA 和1BB 的中点，C 是 AB 的中点，则经过点C 、D 、E 的平面与圆柱1OO 侧面相交所得到曲线的离心率是________．210．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x 服从正态分布2(90,)N σ，且(70)0.2P X <=，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为________．11．已知平面向量a ，b ，c，满足2b = ，1a b +=，c a b =λ+µ 且21λ+µ=，若对每一个确定的向量a ，记c 的最小值为m ，则当a变化时，实数m 的最大值为________．12．若数列{}n t 满足()()1n n s n f t t t f t +=′−，则称该数列为“切练—零点数列”，已知函数()2f x x px q =++的零点1和2，数列{}n x 为“切线一零点数列”，设数列{}n a 足12a =，21n n n x a lnx −=−，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2023S =________． 二、选择题（本题共4小题，第1314题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分） 13．已知1()2P B A =，3()8P A B = ，则()P A =（ ） A ．316 B ．1316 C ．34 D ．1414．为庆祝中国共产党成立100周年，上海市GZ 中学开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（ ）A ．甲成绩的极差比乙成绩的极差大B ．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大C ．甲成绩的方差比乙成绩的方差大D ．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小 15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，则下列选项中不正确 的是（ ）A ．存在点P满足1PM PD +．存在点P 满足12πD PM∠=3C ．满足1APD M ⊥的点PD ．满足1MP D M ⊥的点P16．将曲线()2210169x y x +=≥与曲线()221079x y x +=≤合成的曲线记作C ．设k 为实数，斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，有下列两个结论：①存在k ，使得点P 的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k ，使得点P 的轨迹总落在某条直线上，那么（ ） A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①正确，②错误D ．①错误，②正确三、解答题（本题共有5题，满分78分．解题时要有必要的解题步骤） 17．（本题2小题，第1小题6分，第2小题8分，满分14分）已知函数()221,(0,)2f x cos x sin x x =−+∈π．（1）求()f x 的单调增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c，a =5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积．418．（本题2小题，第1小题6分，第2小题8分，满分14分）已知四棱锥P ABCD −的底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且满足22PA AD AB ===，设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图．（1）求证：∥FH 平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值．19．（本题2小题，第1小题6分，第2小题8分，满分14分）龙年春节期间，各大旅游景点热闹非凡，为了解A 、B 两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A 旅游景点的问卷100份，关于B 旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：非常满意（4分）满意（3分） 一般（2分） 差评（1分） A 景点 5030 5 15 B 景点 353078假设用频率估计概率，且游客对A ，B 两个旅游景点的满意度评价相互独立．5（1）从所有（人数足够多）在A 旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有（人数足够多）在B 旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率； （2）根据上述数据，你若旅游，你会选择A 、B 哪个旅游景点？说明理由．20．（本题3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分） 已知点1F ，2F 分别为双曲线22:12x Γy −=的左、右焦点，直线:1l y kx =+与Γ有两个不同的交点A ，B ．（1）当1F l ∈时，求2F 到l 的距离；（2）若O 为原点，直线l 与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C 、D ，证明：当△COD 的面积最小时，直线CD 平行于x 轴；（3）设P 为x 轴上一点，是否存在实数(0)k k >，使得△PAB 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 坐标；若不存在，说明理由．621．（本题3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分） 已知关于的x 函数()y f x =，()y g x =与()y h x =在区间上恒有()()() f x h x g x ≥≥，则称()h x 满足f g ∼性质． （1）若()112f x x =，()g x =−，()223h x x =+，[]1,2D =，判断()h x 是否满足~f g性质，并说明理由；（2）若()xf x e =，()1h x kx =+，且()()f x h x ≥，求k 的值并说明理由； （3）若()xf x e =，()ln 11x g x x+=+，()(),h x kx b k b R =+∈，()0,D =+∞，试证：1b k =−是()h x 满足f g ∼性质的必要条件．7参考答案一、填空题1.{1,1}−；2.28x y =；； 4.240； 5.6π； 6.-5； 7.支持； 8.20x y +−=；； 10.2.1； 11.13； 12.202422−；11.已知平面向量a ，b ，c，满足2b = ，1a b +=，c a b =λ+µ 且21λ+µ=，若对每一个确定的向量a ，记c 的最小值为m ，则当a变化时，实数m 的最大值为________．13由题意设()()20,b,a x,y =,因为1a b +=,1=，即()2221,x y ++=所以点A 的轨迹是以()20,−为圆心, 1 为半径的圆,且[]31x ,∈−−.因为21λ+µ=, 所以()()20c a b x,y ,=λ+µ=λλ+µ()()21x ,y x ,y =λ+µλ=λ+−λλ所以()()222||1c x y =λ+−λ+λ()()2221211x y x =−+λ+−λ+()()262211x x =−−λ+−λ+因为[]31x ,∈−−, 所以620x −−>, 所以关于λ的二次函数开口向上,当162x x −λ=+时,2||c 取得最小值, 所以()()221622162x m x x x −=−−⋅+− + 1162x x −⋅++ 2143231x x x ++=⋅+令()[]()24331,31x x y f x x ,x ++==∈−−+则()()()()2351',31x x f x x +−=+ 所以函数()f x 在533,−− 上单调递增, 在(53−,1]−上单调递减,所以()f x 的最大为2520352933519f −+ −== −+, 即2211929m ×=…, 所以m 的最大值为13.故答案为:13.812．若数列{}n t 满足()()1n n s n f t t t f t +=′−，则称该数列为“切练—零点数列”，已知函数()2f x x px q =++的零点1和2，数列{}n x 为“切线一零点数列”，设数列{}n a 足12a =，21n n n x a lnx −=−，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2023S =________． 202422−因为()2f x x px q =++有两个零点1,2,由韦达定理可得1212p q +=− ×= , 解得32p q =− =所以()()232,'23f x x x f x x =−+=−，由题意可得221322,2323n n n n n n n x x x x x x x +−+−=−=−−所以22122122223441221123n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++−−−−−+==−−−+−−()()2221n n x x −=−， 又因为21n n n x a ln x −=−, 所以1112222,11n n n n n n x x a lnln a x x +++−−===−−又12a =, 所以数列{}n a 是首项为 2 , 公比为 2 的等比数列, 所以()2023202420232122 2.12S −==−−故答案为:202422−. 二、选择题13.C ； 14.D ； 15.C ； 16.C16.将曲线()2210169x y x +=≥与曲线()221079x y x +=≤合成的曲线记作C ．设k 为实数，斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，有下列两个结论：①存在k ，使得点P 的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k ，使得点P 的轨迹总落在某条直线上，那么（ ） A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①正确，②错误D ．①错误，②正确9设()()1122120,,,,,(A x y B x y x x P x <,)0y , 则12120,22x x y y x y ++==, 对于(1)当0k =时,2211179x y +=,22221169x y +=, 易得12y y =, 故两式相减得22210167x x −=, 易得120x x <<，故12x =,所以0x =,01y y =,即2020,x x y y =, 代入22221,169x y +=2221,9y +=2219y +=, 故存在0k =, 使得点P 的轨迹总落在某个椭圆上; 故(1)正确; 对于(2)()00P x ,y , 则1202x x x +=,1202y y y +=, 由题意,若存在k , 使得点P 的轨迹总落在某条直线上，则222211221,1,79169x y x y +=+=222212120,71699x x y y −+−=()()221212120,7169y y y y x x +−−+=又1212,y y k x x −=−故()220121220,7169ky x x x x −−+=即()22210129167,2x x y k x x−=−又120,2x x x +=故若存在k , 使得点P 的轨迹总落在某条直线上, 则()0000y k x k R ==∈为常数, 即()222112012916722x x x x k k x x −+ −− ()22211291672x x k x x− =−()()()12012122x x k k x x k x x +−−−()()2222210121291672x x k k x x k x x −−− =−()22020112991672k k x k k x k x x +−+=−为定值, 因为分子分母12,x x 次数不同,故若为定值,10则分子恒为 0 , 即00990167k k k k +=+=, 此方程无解,即不存在k , 使得点P 的轨迹总落在某条直线上,故(2)不正确.:C 故选. 三、解答题17.（1） [,]2k k k Z π+ππ+π∈ （218.（1）略 （2）19.（1） 191512（2）Y 景点()(),()()E X E Y D X D Y => 20.（1）（2） 略 （3）存在，(kP − 21.（1）满足 （2） 1k = （3）见解析21.已知关于的x 函数()y f x =，()y g x =与()y h x =在区间上恒有()()() f x h x g x ≥≥，则称()h x 满足f g ∼性质． （1）若()112f x x =，()g x =−，()223h x x =+，[]1,2D =，判断()h x 是否满足~f g 性质，并说明理由；（2）若()x f x e =，()1h x kx =+，且()()f x h x ≥，求k 的值并说明理由； （3）若()x f x e =，()ln 11x g x x+=+，()(),h x kx b k b R =+∈，()0,D =+∞，试证：1b k =−是()h x 满足f g ∼性质的必要条件．（1）满足 （2） 1k = （3）见解析(1) 满足, 理由如下:因为()()11,,2f x xg x ==−()223,h x x =+ 所以()()()211232f x h x x x −=−+=211252832x−−+所以()()f x h x −在1118,上单调递增, 在[118,2]上单调递减,当2x =时,()()f x h x −取到最小值 0 , 故()()0f x h x −…,11 又()()222320h x g x x x −=++=+ …综上,()h x 满足~f g 性质; ()21k =, 理由如下:设()()1,x x e kx x R ϕ=−+∈, 则()',x x e k ϕ=− 由条件知()()00x ϕ=ϕ…, 则0x =是()x ϕ的极小值点, 所以()'010k ϕ=−=, 即1k =,当1k =时,()()1x x e kx ϕ=−+,()'1x x e ϕ=−, 当0x >时,()'0x ϕ>；当0x <时,()'0x ϕ<;所以()()00x ϕϕ=…, 即1x e x +…恒成立（当且仅当0x =时取等号),因此1k =; (3)证明: 设()11x lnx F x e x + =−+,0,x > 由 (2) 所证的1x e x +…(当且仅当0x =时取等号) 知: ()11x lnx F x e x + =−+()11x xe x lnx x −++ ()11x lnx e x lnx x + −++ ()1110x lnx x lnx x ++−++=…，当0x lnx +=时取等号, 设()(),0G x x lnx x ,=+∈+∞, 则()1'10G x x =+>,所以()G x 在()0,+∞上单调递增, 又()()11110,10,G G e e −−=>=−<所以存在()101x e ,−∈使得()00G x =, 即000x lnx +=, 则000011,x x ln e x x ==，又()00F x =, 则00011x lnx e x +=+, 结合条件可得0000011,x x lnx e kx b e x +++=厖所以00x kx b e +=, 设()(),0x H x e kx b x ,=−−∈+∞,则()()00,'x H x H x e k ==−, 又由已知()()00H x H x =…, 则0x 是()H x 的极小值点, 所以()00'0x H x e k =−=, 即0x k e =,结合00001,x x e kx b e x =+=, 可得1b k +=, 故1b k =+,所以1b k =−是()h x 满足~f g 性质的必要条件.。
精品解析：上海市格致中学2023届高三三模数学试题(解析版)
上海市格致中学2023届高三三模数学试题一、填空题1.在复数集中，若复数z 满足21z =-，则z =___________．【答案】i±【分析】设出i(,R)z a b a b =+∈，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 1z a b ab =-+=-，则2210a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0a =，1b =或1b =-，所以i z =或i z =-，故答案为：iz =±2.双曲线2212y x -=的离心率为____．【详解】试题分析：由题意得：21,123,ca c c e a==+====3.若全集为R ，集合103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2|2B y y x ==-+，则A B = ___________．【答案】{}|23<<x x 【分析】先求出集合,A B ，再求出B ，再利用集合的运算即可得出结果.【详解】因为103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，由103x x -<-，得到13x <<，即{}13A x x =<<，又{}2|2B y y x ==-+，易知2y ≤，所以{}|2B y y =>，所以{}|23A B x x =<< ，故答案为：{}|23<<x x 4.已知函数221xy a =-+为奇函数，则实数=a ______【答案】1【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.【详解】若函数()221xf x a =-+为奇函数，则()()2202121x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫+-=-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即222222222021212121xx x x x a a a -⋅--=--=-=++++，解得：1a =，故答案为：1.5.若nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，则常数项为___________（用数字作答）.【答案】240【分析】由17n +=可得n 的值，再写出展开式的通项，令x 的指数位置等于0即可求解.【详解】因为nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，所以17n +=，可得6n =，所以6x⎛+ ⎝展开式的通项为136622166C 2C 2rr r r r r r T x x x ---+==，令3602r -=可得4r =，所以常数项为446C 21516240=⨯=，故答案为：240.6.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是___________．【答案】124【分析】根据百分位数定义可求.【详解】解：因为1070%7⨯=，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是1221261242+=，故答案为：124.7.盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.【答案】49【分析】根据全概率公式求解可得.【详解】设事件A 为“第一次抽到白球”，事件B 为“第二次抽到白球”，则B AB AB =+，所以()()()()()P B P A P B A P A P B A =+，由题可得()49P A =，()59P A =，()712P B A =，()412P B A =，所以()475449129129P B =⨯+⨯=.故答案为：49.8.关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，则实数a 的取值范围为___________．【答案】,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】构造2()2f x ax x a =-+，利用函数的性质，将问题转化成在[)0,∞+上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，令2()2f x ax x a =-+，易知()f x 为偶函数，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，即2()20f x ax x a =-+≥在[)0,∞+上恒成立，所以，当0x =时，由2220ax x a a -+=≥，得到0a ≥，当0x >时，由220ax x a -+≥，得到2122x a x x x≥=++，又因为2x x+≥x =时取等号，所以24a ≥=，综上，实数a 的取值范围为,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.9.已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x fx =+，则函数()y g x =的值域为___________．【答案】[2,7]【分析】确定函数()y g x =的定义域，化简可得()y g x =的表达式，换元令3log ,([0,1])x t t =∈，可得242y t t =++，结合二次函数的性质即得答案.【详解】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x fx f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]10.已知()πsin 202y x ϕϕ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，且该函数在7π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，那么ϕ的取值范围是___________．【答案】ππ,64⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件，结合sin y x =的图像与性质即可求出结果.【详解】当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2,3x ϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，又因为()πsin 2(02y x ϕϕ=-<<在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，所以π2π2k ϕ-+≤-且)2ππ2π(32Z k k ϕ-∈≤+，即ππ2π2π62k k ϕ+≤≤+，Z k ∈，又π02ϕ<<，取0k =，得到ππ62ϕ≤<，当7π(0,8x ∈时，7π2,4x ϕϕϕ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，所以π02ϕ-<-<，又该函数在7π(0,)8上有最小值，所以7π3π42ϕ->，得到π04ϕ<<，综上所述，ππ64ϕ≤<.故答案为：ππ64ϕ≤<.11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是___________．①1n n a a +<；②{}2n S 是等差数列；③n S ≤④满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10．【答案】②③④【分析】根据题意得()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，即可判断②；由②知，=n S ，所以n a ==1n a +==即可判断①；因为1n S ≤1≤，令()10x x =≥，即()e 10x x x ≥+≥，构造函数()()e 10xf x x x =--≥，利用函数的单调性即可判断出③的正误；再根据题意得()22221log log 2log 2n n n S b n n S +==+-⎡⎤⎣⎦，求和得()()211log 122n T n n =-+++⎡⎤⎣⎦，再根据题意求解即可判断④的正误.【详解】因为221n n n a S a =+，当1n =时，211121a S a =+，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列，故②正确；对于①，由()2111n S n n =+-⨯=，又正项数列{}n a 的前n 项和为n S，得到=n S ，当1n =时，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即=n a ，又111S a ==，所以1n =时，满足=n a，所以n a ==又1n a +==>，所以<1n n a a +<，故①不正确；对于③，令()()e 10xf x x x =--≥，所以()e 1xf x '=-，当0x ≥时，e 10x -≥恒成立，所以()f x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()e 100x x x --≥≥，所以e 1x x ≥+在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()11,N x n n *=≥∈，所以1≥=n S，即1n S ≤成立，故③正确；对于④，因为=n S，所以2n S +=1222222log log log n n nS n b S n ++⎛⎫== ⎪⎝⎭()222121log log 2log 22n n n n +==+-⎡⎤⎣⎦，所以1231n n n T b b b b b -=+++++ ()()()22222222221log 3log 1log 4log 2log 5log 3log 1log 1log 2log 2n n n n =-+-+-+++--++-⎡⎤⎣⎦ ()()()()222111log 1log 21log 1222n n n n =-++++=-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为3n T ≥，即()()211log 1232n n -+++≥⎡⎤⎣⎦，化简整理得：231260n n +-≥，当9n =时，2939126180+⨯-=-<，当10n =时，21031012640+⨯-=>，所以满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1nn n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .12.已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，1a b b c ⋅=⋅=，a b c -+≤ a c ⋅ 的最大值为___________．【答案】2【分析】根据题意，设出a ，b ，c的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到a c ⋅的范围，从而得到结果.【详解】设()1,0a = ，()1,b s = ，()1,c st t =-，,s t ∈R ，由已知可得：a b c -+=，当且仅当22s t =时，取等号，当0st ≥时，有()2218st st -+≤，得01st ≤≤+，当0st <时，有()2618st st -+≤，得10st -≤<，所以当11st -≤≤时，12a c st -≤⋅=-≤.所以a c ⋅的最大值为2.故答案为：2.二、选择题13.“11x -<<”是“112x x -++≤”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解绝对值不等式得到解集为{}11x x -≤≤，从而得到1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，求出答案.【详解】112x x -++≤，当1x <-时，112x x ---≤，即22x -≤，解得1x ≥-，与1x <-取交集，得∅，当11x -≤≤时，112x x -++≤，即22≤，成立，故11x -≤≤，当1x >时，112x x -++≤，解得1x ≤，与1x >取交集，得∅，综上：112x x -++≤的解集为{}11x x -≤≤，因为1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，故“11x -<<”是“112x x -++≤”的充分不必要条件.故选：A14.实验测得六组成对数据(),x y 的值为()4,90，()5,84，()6,83，()7,80，()8,75，()9,68，由此可得y 与x 之间的回归方程为4y x b =-+，则可预测当10x =时，y 的值为（）A.67B.66C.65D.64【答案】B【分析】先求出样本中心点，线性回归方程4y x b =-+恒过(),x y ，代入即可求出b ，再令10x =，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14566789 6.5x =⨯+++++=，()1908483807568806y =⨯+++++=，线性回归方程为4y x b =-+，则804 6.5b =-⨯+，解得106b =，故4106y x =-+，当10x =时，41010666y =-⨯+=.故选：B.15.将函数3=-+y x x ，[]0,1x ∈的图象绕点()1,0顺时针旋转θ角（π02θ<<）得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图形，则θ的最大值为（）A.1arctan2B.π6 C.π4D.arctan 2【答案】A【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，故只需求1x =处的倾斜角即可.【详解】函数()3f x y x x ==-+，()231f x x '=-+，当30,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()0f x ¢>，函数在30,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上递增，当3,13x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()0f x '<，函数在3,13⎛⎤⎥ ⎝⎦上递减，()12f '=-可得在1x =处切线的倾斜角为πarctan 2-，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，也就是说，最大旋转角为ππ1πarctan 2arctan 2arctan 222--=-=，即θ的最大值为1arctan 2.故选：A.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ= ，11D P D B μ=，其中λ，[]0,1μ∈，则下列说法不正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥P EFD -的体积为定值B.当12μ=时，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是94πC.PE PF +的最小值为536D.存在唯一的实数对(),λμ，使得EP ⊥平面PDF 【答案】C【分析】由线面平行的判定可知1//BD 平面EFD ，知三棱锥P EFD -底面积和高均为定值，A 正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径R 的方程，求得R 后知B 正确；将C 中问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，将问题转化为1E H 长度的求解，根据角度和长度关系可确定C 正确；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得,λμ，可知D 正确.【详解】对于A ，当12λ=时，F 为11C D 中点，又E 为1B C 中点，1//EF BD ∴，EF ⊂平面EFD ，1BD ⊄平面EFD ，1//BD ∴平面EFD ，则当P 在线段1BD 上移动时，其到平面EFD 的距离不变，∴三棱锥P EFD -的体积为定值，A 正确；对于B ，当12μ=时，取,AC BD 交点O ，连接PO ，则四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PO ∴⊥平面ABCD ，设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O '，半径为R ，则O '在直线PO 上，2OC =，12OO R '=-，222OC OO O C ''∴+=，即221122R R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：34R =，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积29π4π4S R ==，B 正确；对于C ，将问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，过1E 作1//HG AD ，交11,C D AB 于,H G ，如下图所示，1PE PE = ，11PE PF PE PF E H ∴+=+≥（当且仅当F 与H 重合时取等号）111111E BA ABD D BE ABD D BC ∠=∠-∠=∠-∠ ，()2211111sin sin 3E BA ABD D BC ⎛⎫∴∠=∠-∠=-=，11112sin sin 6E G B E E BA BE E BA ∴=⋅∠=⋅∠=，125266E H ∴==，即PE PF +的最小值为526，故C 错误；对于D ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,,1F λ，(),,1P μμμ-，11,1,22EP μμμ⎛⎫∴=--- ⎪⎝⎭，(),,1DP μμμ=-，()0,,1DF λ= ，若EP ⊥平面PDF ，则EP DPEP DF ⊥⎧⎨⊥⎩，()()()11110221102EP DP EP DF μμμμμμλμμ⎧⎛⎫⎛⎫⋅=-+-+--= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪⋅=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：336132μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）或336312μλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴存在唯一的实数对()13,,26λμ⎛-=⎝⎭，使得EP ⊥平面PDF ，故D 正确.故选：C.三、解答题17.在ABC 中，coscos CA =，6B π=，BC 边中线AM =（1）求A 的值；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）π6；（2【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出A 的值；（2）由余弦定理得出2b =，最后由面积公式得出ABC 的面积．【小问1详解】因为coscos C A =，所以由正弦定理可得cos cos CA =2sin cos cos cos )B A A C C A A C B=+=+=因为sin 0B ≠，所以cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.【小问2详解】因为6B π=，23C A B ππ=--=，可知ABC 为等腰三角形.在AMC 中，由余弦定理可得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒即227(2cos12022b bb b =+-⨯⨯⨯︒，解得2b =.所以ABC 的面积为22113sin 2222S b C ==⨯⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中､四边形11ABB A 是菱形，且160ABB ∠=，2AB BC ==，1CA CB =，1CA CB ⊥，（1）证明：平面1CAB ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1BB 和平面ABC 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，证明CO BO ⊥可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求出点1B 到平面ABC 的距离d ，再由线面角公式1sin dBB θ=求解即可.【小问1详解】连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，如图，四边形11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，又1CA CB =，1CA CB ⊥，O 是1AB 的中点，所以1CO AB ⊥且112CO AB =，由160ABB ∠=︒，可知1ABB 为正三角形，所以12AB AB ==，BO =，在BOC中，22222212CO BO BC =+==+，所以CO BO ⊥，又1BO AB O = ，1,BO AB ⊂平面11ABB A ，所以CO ⊥平面11ABB A ，又CO ⊂平面1CAB ，所以平面1CAB ⊥平面11ABB A .【小问2详解】设1B 到平面ABC 的距离为d ，因为ABC 中，2AB BC ==，AC ==所以11222ABCS AC =⨯，又1224ABB S =⨯= ，1CO =，所以由11B ABC C ABB V V --=，可得11133ABC ABB d S CO S ⋅=⋅△△,即172ABB ABCS d S ===△△,设直线1BB 和平面ABC 所成角为θ，则17sin 27d BB θ===.19.2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k ∈N 人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的35，女生中喜欢足球的人数占女生的13.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.（1）请完成下面的列联表，并求出k 的值；喜欢足球不喜欢足球合计男生女生合计（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P k χ≥0.100.050.010.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，2k =；（2）分布列见解析，95【分析】（1）依题意，先填好列联表，再根据卡方计算临界值求出k ；（2）按照二项分布求解.【小问1详解】由已知，完成列联表，喜欢足球不喜欢足球合计男生15k 10k 25k 女生5k 10k 15k 合计20k20k40k将数值代入公式可得2χ的观测值：()222240150508202025153k k kk k k k kχ⨯-==⨯⨯⨯，根据条件，可得83.841 6.6353k≤<，解得1.440 2.488k ≤<，因为*k ∈N ，所以2k =；【小问2详解】由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为35，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为35，则3~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()03033280C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121332361C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212332542C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()303332273C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则X 的分布列为X 0123P812536125541252712539355EX =⨯=；综上，2k =，数学期望为95.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，且过点12⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点（异于椭圆顶点），点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点．①若点P 在直线12x =上，求证：线段MN 的垂直平分线恒过定点S ，并求出点S 的坐标；②求证：当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）①证明见解析，3(,0)8S ；②直线OM 与ON 的斜率之积为14-.【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM 与ON 的斜率之积即可得出定值.【小问1详解】因为焦距为2c =，即c =2223a b c -==，又因为椭圆过点12⎫⎪⎭，所以223114a b+=，解得221,4b a ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 方程为y kx m =+，设112200(,),(,),(,)M x y N x y P x y .由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=，2222226416(1)(14)16(14)0k m m k k m ∆=--+=+->，2121222844,1414km m x x x x k k--+==++.①因为点P 为线段MN 的中点，点P 在直线12x =上，所以1202412142x x km x k +-===+，即2148k km +=-，2148k m k+=-.所以00y kx m =+21141288k k k k+=+=--.所以线段MN 的垂直平分线方程为001()y y x x k-=--，即111()82y x k k +=--，即13(8y x k =--.故线段MN 的垂直平分线恒过定点3(,0)8S .②由弦长公式得12MN x =-=坐标原点到直线MN 的距离为21m d k=+，所以OMN 的面积为12OMNS MN d =⋅△2222222214141142214141m m k m k k m k k k+-+=⨯+-=⨯+++22221422114m k m k++-≤⨯=+.当且仅当22214m k m =+-，即22214m k =+时等号成立.所以12121212()()OM ONy y kx m kx m k k x x x x ++==22121212()k x x km x x m x x +++=2222222(44)8(14)44k m k m m k m --++=-2222241144444m k m m m --===---.所以直线OM 与ON 的斜率之积为定值14-.21.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =-- 所以定义域为()0,+¥6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x >令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x xk h x x +<=-；22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数，且(3)1ln 30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x =即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增，且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，(2)(2)()20a g x x x x +-'=-==得0x =，当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>；所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e ⎛=-⇒> ⎝；因为10x <<2x >，令21x t x =(1)t >，由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a t x t ∴=-而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a tt a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。
2024年上海市格致中学高三下学期高考三模数学试卷含答案
格致中学高三三模数学试卷2024.05一、填空题（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分）1.函数y =的定义域为______2.函数cos y x =，()0,πx ∈的零点为______3.底面半径长为1cm的圆柱，体积为______4.已知直线l 的倾斜角为α，且直线l 与直线m：10x +=垂直，则α=______5.已知a b ∈R 、，方程20x ax b -+=的一个根为3i -（i 为虚数单位），则a =______6.数列{}n a 满足12n n a a +=（n 为正整数），且2a 与4a 的等差中项是5，则首项1a =______7.ABC △的内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，且2224a b c S +-=，则角C =______8.已知空间向量()1,1,0a =- ，()0,1,1b = ，()1,2,c m =共面，则实数m =______9.用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有______个10.若()()202422024012202421x a a x a x a x x -=+++⋅⋅⋅+∈R ，则32024223202411112222a a aa a a +++⋅⋅⋅+=______11.舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，当点D 在滑槽AB 内作往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动，记点N 的运动轨迹为1C ，点M 的运动轨迹为2C .若1ON DN ==，3MN =，且4AB ≥，过2C 上的点P 向1C 作切线，则切线长的最大值为______12.已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心分别为正方形ABCD 各边的中点（如图），若P 在 BC 上，且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为______二、选择题（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分）13.在区间I 上，()0f x '>是函数()y f x =在该区间严格增的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.某校1000名学生参加数学期末考试，用X 表示每名学生的成绩，设()2105,15X N ~，如果成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（）附：若()2,N ξμσ~，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=A.23B.46C.159D.31715.设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，点3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P ，使得11276F P PQ F F +<成立，则双曲线C 的离心率的取值范围是（） A.101,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫⎪⎝⎭C.310,22⎛⎝⎭D.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭16.已知1a 、2a 、3a 、4a 成等比数列，且()1234123ln a a a a a a a +++=++，若11a >，则（）A.13a a <，24a a <B.13a a >，24a a <C.13a a <，24a a > D.13a a >，24a a >三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知()24ax b f x x -=-，函数()y f x =是定义在()2,2-上的奇函数，且()113f =.（1）求()f x 的解析式；（2）判断()y f x =的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.18.许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为13，每次套娃娃费用是10元.（1）记随机变量X 为小朋友套娃娃的次数，求X 的分布和期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，侧面PAD 是正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，2AD =.（1）证明：AM ⊥平面PCD ；（2）若二面角M BC D --为π6，求异面直线AB 与PC 所成角的正切值.20.已知椭圆C ：22184x y +=，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆的离心率；（2）当190F AB ∠=︒，且点A 在x 轴上方时，求A 、B 两点的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S =△△？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知()e 1xf x ax =--，a ∈R ，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根，求a 的取值范围；（3）当0a >时，若满足()())1212f x f x x x =<（，求证：122ln x x a +<.二○二三学年度第二学期高三模拟考试参考答案一、填空题（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分）1、(]0,22、π2334、2π35、66、17、π48、39、84010、140481112、32+二、选择题（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分）13、A14、C15、C16、B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17、（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题()24ax bf x x-=-是定义在()2,2-上的奇函数，所以()004bf -==，解得0b =，又由()113f =，得()1133a f ==，解得1a =，所以()24xf x x=-，则()f x 定义域为()2,2-，且()()224()4x x f x f x x x ---===----，所以()24xf x x=-.（2）()f x 在区间()2,2-上为严格增函数.证明如下：设任意1222x x -<<<，则()()()()()()121212122222121244444x x x x x x f x f x x x x x +--=-=----，由1222x x -<<<，得1244x x -<<，即1240x x +>，120x x -<，()()2212440x x -->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，18、（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）（1）由题意知，随机变量X 的所有可能值为1，2，3，4，则()113P X ==，()2122339P X ==⨯=，()221433327P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()3284327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，即X 的分布为12341248392727⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以[]124865123439272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为4216381⎛⎫= ⎪⎝⎭，则小朋友套娃娃成功的概率为166518181-=.记摊主每天利润为Y 元，则Y 的期望为[][]65656526003010183010188127819E Y E X ⎡⎤⎡⎤=⨯⨯-⨯=⨯⨯-⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故摊主每天利润的期望为26009元.19、（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，由底面ABCD 为矩形，得CD AD ⊥，由侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，得CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，则CD AM ⊥，又侧面PAD 是正三角形，M 是PD 的中点，则PD AM ⊥，又PD CD D = ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .（2）解：如图，在平面PAD 内，过点M 作MH AD ⊥，垂足为H ，显然2MH =，由侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，得MH ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则BC MH ⊥，过H 作HN BC ⊥，垂足为N ，连接MN ，显然MH HN H = ，MH ，HN ⊂平面MNH ，则BC ⊥平面MNH ，而MN ⊂平面MNH ，因此BC MN ⊥，则MNH ∠即为二面角M BC D --的平面角，其大小为π6，在Rt MHN △中，tan 3MH MNH NH ∠==，则32NH =，由NH CD ∥，DH CN ∥，得四边形CDHN 为平行四边形，则32CD =，由AB CD ∥，得PCD ∠（或其补角）为异面直线AB 与PC 所成角，由（1）知CD ⊥平面PAD ，则PCD △为直角三角形，24tan 332PD PCD CD ∠===，所以异面直线AB 与PC 所成角的正切值为43.20、（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)解：（1）a =2c =，所以离心率22c e a ===.（2）()12,0F -，()22,0F ，设()11,A x y ，且10y >.所以()1112,AF x y =--- ，()2112,AF x y =-+-()1129090F AB F AF ∠∠=︒=︒ ，22121140AF AF x y ∴⋅=-+=又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即2211418x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，221144108x x ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，即()0,2A .所以直线AB ：2y x =-+，联立222184y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以82,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()30,M y ，()40,N y ，直线l ：2x my =+，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=.则12242m y y m +=-+，12242y y m -=+.直线1AF 的方程：()1122y y x x =++，令0x =得M 纵坐标13122y y x =+；直线1BF 的方程：()2222y y x x =++，令0x =得N 的纵坐标24222y y x =+.则1121212122F AB S F F y y y y =⋅-=-△，1134341.2F MN S F O y y y y =⋅-=-△若11F AB F MN S S =△△，即12342y y y y -=-，()()()1212123412121212822222224444y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，()()12444my my ∴++=，()212124164m y y m y y +++=，代入根与系数的关系，得22244416422m mm m m --+⋅+=++，解得m =.∴存在直线20x +-=或20x -=满足题意.21、（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）解：()e 1xf x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x '=，得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()y f x =严格减，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()y f x =严格增，所以，()y f x =在0x =处取到极小值0，无极大值.（2）解：方程()1e 0xf x ax +=-=，显然当0x =时，方程不成立，则e x a x=，0x ≠若方程有两个不等实根，即y a =与()e xg x x =有2个交点，()()21e x x g x x -='，当0x <或01x <<时，()0g x '<，()g x 在区间(),0-∞和()0,1严格减，并且(),0x ∈-∞时，()0g x <，当()0,1x ∈时，()0g x >，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 严格增，0x >时，当1x =时，()g x 取得最小值，()1e g =，如图，函数()y g x =的图象，y a =与()e xg x x=有2个交点，则e a >；（3）证明：由()e 0ln x f x a x a =-=⇒='，函数()y f x =在(),ln a -∞上严格减，在()ln ,a +∞上严格增。
格致中学高考三模试题(参考答案)
格致中学 二〇一四届高考模拟考试参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1 已知集合{}2≤=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x x B ,则 A ∩B = .解析:{}12<≤-x x . 2 若函数)(x f y =与2x y e +=的图像关于直线x y =对称,则=)(x f .解析:由2x y e +=得2ln x y +=,从而ln 2x y =-,所以2x y e+=的反函数()ln 2,(0)f x x x =->.3 已知角α的终边上的一点的坐标为22(sin ,cos )33P ππ,则角α的最小正值为 .116π. 4 已知z 和31z i+-都是纯虚数,那么=z .解析:3i . 5 若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线222x y -=的右焦点,则_______p =.解析:4. 6 设{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28tan()a a +的值为.解析:.7 设整数m 是从不等式0822≤--x x 的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素,记随机变量ξ2m =,则ξ的数学期望E ξ= .解析:5.8 对于空间中的三条直线,有以下四个条件:①三条直线两两相交；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④两直线相交,第三条平行于其中一条与另个一条相交. 其中使这三条直线共面的充分条件有 个.解析:1个.9 圆sin cos (0,02)ρθθρθπ=->≤<的圆心的极坐标是 .答案:3)4π.解析:极坐标方程两边乘以ρ,化成直角坐标方程为22x y y x +=-, 所以圆心的直角坐标为11(,)22-,再化成极坐标为3)24π. 10 已知12,F F 分别是椭圆2211612x y +=的左、右焦点,点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 .答案:[0,2].解析:1211111111(8)(8)82PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF -----===-,因为126PF ≤≤且函数82y x=-在[2,6]x ∈上单调递增, 所以182223PF ≤-≤-,故18|2|[0,2]PF -∈.11 把实数a 、b 、c 、d 排形成如a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的形式,称之为二行二列矩阵.定义矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,该运算的几何意义为平面上的点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(),ax by cx dy ++,若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=,则a b +的值为____________.答案:2-. 解析:因为点(,)x y 在矩阵的作用下变成点(,)x ay bx y ++. 所以曲线22421x xy y ++=在矩阵的作用下变成曲线22()4()()2()1x ay x ay bx y bx y ++++++=与2221x y -=比较得2214212244400422b b a a ab b b a a ⎧++==-⎧⎪+++=⇒⎨⎨=⎩⎪++=-⎩. 12 已知数列{}n a 满足:11a =,2()a x x N *=∈,21n n n a a a ++=-,若前2014项中恰好含有667项为0,则x 的值为 .答案:8或9.提示:先试探性的写出一个值,然后分析数列中项的情况,进而做出推理验证. 13 在面积为2的ABC ∆中,E ,F 分别是AB ,AC 的中点,点P 在直线EF 上, 则2+⋅的最小值是 .答案:23解析:问题可转化为:已知PBC ∆的面积为1,求2+⋅的最小值.由题设知,PBC ∆的面积为1,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴,过点B 与直线BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设2(,0),(,)(0)C a P t a a>, 则22(,),(,),PB t PC a t aa=--=--u u u ru u ur∴222222443()()0324a a PC PB BC t a t a t a a ⋅+=--++=-++≥+u u u r u u u r u u u r ,当且仅当416,23at a ==,∴2+⋅的最小值是314 设函数,下列四个命题中真命题的序号是 .(1)()f x 是偶函数； (2)不等式()20132014f x <⨯的解集为∅； (3)()f x 在()0,+∞上是增函数； (4)方程2(56)(2)f a a f a -+=-有无数个实根.解析:(1)(2)(4).提示:特殊到一般,分别画出()11()f x x x x =++-∈R 和()1212()f x x x x x x =++++-+-∈R 的草图,就可以类比猜想出()f x 的图像,根据图像数形结合不难得出结论. 二、选择题:(每题5分,共20分)15 如果i +2是关于x 的实系数方程02=++n mx x 的一个根,则圆锥曲线122=+ny m x 的焦点坐标是( .D ).A )0,1(± .B )1,0(± .C )0,3(± .D )3,0(±16 某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g 黄金,售货员先将5g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( A ).A 大于10g .B 小于10g .C 大于等于10g .D 小于等于10g解答:设两边的臂长分别是12,l l ,二次称得的黄金重量分别是1212,()m m m m ≠. 则有杠杆原理得112122125255l m l m m m l l =⎧⇒⋅=⎨=⎩,从而1212210m m m m +>=.17 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 ( B ).A 101 .B 201 .C 401 .D 1201 解析:10位同学总参赛次序1010P .一班3位同学恰好排在一起,而二班的2位同学没有排在一起的方法数为先将一班3人捆在一起33P ,与另外5人全排列66P ,二班2位同学不排在一起,采用插空法27P ,即362367P P P . ∴所求概率为3623671010120P P P P =. 18 设函数()x x xf x a b c =+-,其中0,0c a c b >>>>.若,,a b c 是ABC ∆的三条边长,则下列结论中正确的是 ( D ) ①对一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈,使,,xxxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC ∆为钝角三角形,则存在()1,2x ∈,使()0f x =..A ①② .B ①③ .C ②③ .D ①②③三、解答题:(本大题共74分)19(本小题12分)如图,棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,且//AB CD ,90BAD ∠=o ,2PA AD DC ===,4AB =.(1)求证:BC PC ⊥；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值. 解析:∵AP ⊥平面ABCD ,90BAD ∠=o. ∴以A 为原点,,,AD AB AP 分别为,,x y z 轴, 建立空间直角坐标系.∵2PA AD DC ===,4AB =.∴(0,4,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2)B D C P . (1)∴,所以BC PC ⊥.(2)∵,设平面APC 法向量(,,)x y z =rn ,∴.∵,∴即PB 与平面PAC所成角的正弦值为5. 20(本小题14分)设ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知,cos cos 3C a A b B π==.(1)求角A 的大小；(2)如图,在ABC ∆的外角ACD ∠内取一点P ,使得2PC =.过点P 分别作直线,CA CD 的垂线,PM PN ,垂足分别是.设PCA α∠=,求PM PN +的最大值及此时α的取值.解析:(1)由cos cos a A b B =及正弦定理可得 sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =,又(0,),(0,)A B ππ∈∈, 所以有A B =或2A B π+=.又因为3C π=,得23A B π+=,与2A B π+=矛盾,所以AB =,因此3A π=. (2)由题设,得在Rt PMC ∆中,sin 2sin PM PC PCM α=⋅∠=；在Rt PNC ∆中,sin 2sin[()]2sin()33PN PC PCN πππαα=⋅∠=-+=+；所以,2sin 2sin())36PM PN ππααα+=++=+DCAPABDCMNPα因为2(0,)3πα∈,所以5(,)666πππα+∈,从而有1sin()(,1]62πα+∈,即)6πα+∈.于是,当623πππαα+=⇒=时,PM ＋PN PM PN +取得最大值21(本小题14分)定义在D 上的函数()f x ,如果满足:对任意x D ∈,存在常数0M >,都有|()|f x M ≤成立,则称()f x 是D 上的有界函数,其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11124xxf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)当1a =时,求函数()f x 在(),0-∞上的值域,并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数,请说明理由；(2)若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. 解析:(1)当1a =时,11()124xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵()f x 在(),0-∞上递减,∴()(0)3f x f >=,即()f x 在(),1-∞的值域为()3,+∞,故不存在常数0M >,使|()|f x M ≤成立.∴函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数. (2)由题意知,()3f x ≤在[)1,+∞上恒成立.3()3f x -≤≤,11142424xxxa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤⋅≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴11422222x xxxa ⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)0,+∞上恒成立,∴ max min11422222x xx xa ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.设2x t =,1()4h t t t =--,1()2p t t t =-,由x ∈[)0,+∞得1t ≥,∴()h t 在[)1,+∞上递减,()p t 在[)1,+∞上递增,()h t 在[)1,+∞上的最大值为(1)5h =-,()p t 在[)1,+∞上的最小值为(1)1p =.∴实数a 的取值范围为[]5,1-.23(本小题16分)在平面直角坐标系xoy 中,已知三点(0,0)O ,(1,1)A -,(1,1)B ,曲线C 上任意—点(,)M x y 满足:14()2MA MB OM OA OB +=-⋅+u u u r u u u r u u u ur u u u r u u u r .(1)求曲线C 的方程；(2)设点P 是曲线C 上的任意一点,过原点的直线l 与曲线相交于,M N 两点,若直线,PM PN 的斜率都存在,并记为PM k ,PN k .试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关,并证明你的结论；(3)设曲线C 与y 轴交于,D E 两点,点(0,)Q m 在线段DE 上,点P 在曲线C 上运动. 若当点P 的坐标为(0,2)时,取得最小值,求实数m 的取值范围.解析:(1)由题意可得, )22,2()1,1()1,1(y x y x y x --=--+---=+, 所以4844)22()2(||2222+-+=-+-=+y y x y x ,又y y x -=⋅-=+-4)2,0(),(214)(4, 所以y y y x -=+-+4484422,即14322=+y x .(2)因为过原点的直线l 与椭圆相交的两点N M ,关于坐标原点对称, 所以可设),(),,(),,(0000y x N y x M y x P --.因为N M P ,,在椭圆上,所以有 14322=+y x , ………① 1432200=+y x , ………②①-②得 3422202-=--x x y y . 又00x x y y k PM --=,00x x y y k PN ++=, 所以34222020000-=--=++⋅--=⋅x x y y x x y y x x y y k k PNPM , 故PN PM k k ⋅的值与点P 的位置无关,与直线l 也无关. (3)由于),(y x P 在椭圆C 上运动,故22≤≤-y ,且22433y x -=.因为,所以由题意,点P 的坐标为)2,0(时,取得最小值,即当2=y 时,取得最小值,而22≤≤-y .故有24≥m .解得21≥m . 又椭圆C 与y 轴交于E D 、两点的坐标为)2,0(、)2,0(-,而点Q 在线段DE 上, 即22≤≤-m ,亦即221≤≤m ,所以实数m 的取值范围是]2,21[. 23．已知等比数列{}n a 的首项12013a =,公比12q =-,数列{}n a 前n 项和记为n S ,前n 项积记为n T .(1)证明:21n S S S ≤≤；(2)判断n T 与1n T +的大小,并求n 为何值时,n T 取得最大值； (3)证明:若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为,则数列{}n d 为等比数列.解:(1)∵S n =S 1+a 21--12æèçöø÷n -1éëêêùûúú1--12æèçöø÷=S 1-13a 11--12æèçöø÷n -1éëêêùûúú£S 1,当1n =时,等号成立； 同理232221************n n n a S S S a S --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+--≥⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭,当2n =时,等号成立；21n S S S ∴≤≤. (2)∵T n +1T n=a 1×a 2×××××a n ×a n +1a 1×a 2×××××a n=a n +1=20132n.又∵2013211<1<2013210, ∴当10n ≤时,1n n T T +>；当11n ≥时,1n n T T +<.∴当11n =时,n T 取得最大值,又∵T 10<0,T 11<0,T 9>0,T 12>0,∴n T 的最大值是9T 和12T 中的较大者,又∵T 12T 9=a 10×a 11×a 12=2013×-12æèçöø÷10éëêêùûúú3>1，129T T ∴>.因此当12n =时,n T 最大.(3)∵a n =2013×-12æèçöø÷n -1,n a ∴随n 增大而减小,n a 奇数项均正,偶数项均负,①当k 是奇数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k k a a a ++，，, 则1111111222k k k k k a a a a a -+⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,112112222k k ka a a ++⎛⎫=-=⎪⎝⎭, 122k k k a a a ++∴+=,因此12k k k a a a ++，，成等差数列,公差112111311222k k k k k k a d a a a ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；②当k 是偶数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为21k k k a a a ++，，, 则1111111222kk k k ka a a a a -+⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,112112222k k k a a a ++⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. ∴122k k k a a a +++=,因此21k k k a a a ++，，成等差数列, 公差111211311222k k k k k k a d a a a +-++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,综上可知,{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列, 且1132k k a d +=, ∵12n n d d -=,∴数列{}n d 为等比数列.。
上海格致中学高三数学复习题型整理分析：专题10解题技巧与应试心理Word版含解析[数理化网]
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第十部分 解题技巧与应试心理94、解含有字母运算的选择题时莫忘特殊值法：选择符合题意数值加以检验，是解这类问题最有效方法；选择、填空题中要探讨一般性的结论可以在特殊值的背景中进行.另外遇到方程、不等式求解的选择题通常采用取值（选择支中的边界值最好）去代入验证.[举例]函数x b x a x f c o s s i n )(-=图像的一对称轴方程是4π=x ，则直线0=+-c by ax 的倾斜角是――――――――――――――――――――――――――――――（ ）A 、4π；B 、43π；C 、3π；D 、32π. 分析：正弦曲线的对称轴方程是经过正弦曲线的最高（最低）点与x 轴垂直的直线.即4π=x 时，函数x b x a x f c o s si n )(-=取最大值（或最小值），取1,1-==b a 即满足题义.知直线的倾斜角为43π.选B. 95、“数形结合”是解选择、填空题的重要的方法之一，特别是遇到含有字母的无理不等式及含有22y x +（曲线上的点到原点的距离的平方）、xy （曲线上的点与原点连线的斜率）等带有明显“几何特征”的式子时，数形结合比较方便.若做解答题用“数形结合”时，考虑到推理论证的严密，一定要辅之以必要的文字说明，不能以“由图知”代替推理.［举例1］若关于x 的不等式)1(1>≥+-a x a x 的解集为}|{n x m x ≤≤，且1+=-a m n ，则实数a 的值等于―――――――――――――――――――――（ ）A 、2；B 、3；C 、4；D 、5.分析：作出函数1-=x y 与a x y -=的 图像（如图）.可以看出1=m ，n x =是方程 a x x -=-1的根.所以a n n -=-1，又1+=-a m n ，由2+=a n ，得3=a .选B.［举例2］已知函数2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 若方程kx f =)(有两个不同的解，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.分析：⎩⎨⎧∈-∈=]2,(,sin ],0[,sin 3)(πππx x x x x f .作出函数)(x f 的图像. 直线k y =与函数)(x f y =的交点，则31<<k . 96、“分类讨论”一般是在解题过程无法进行下去时采取的措施，即“分类”是解题得以继续的自然要求.只有搞清了为什么要分类，才知道怎样分类，然后把研究对象不重不漏地划分为若干类，逐一进行研究，通过分类实际是为解题增加一个新的条件.当然，选用适当的解法，能回避讨论时，应尽量回避.比如解分式不等式时，一般不是讨论分母的正负，而是移项、通分后利用数轴标根法求解.[举例]已知函数))(1()(R a x a x f ∈-=.（1）若不等式1)(>x f 在(1,2)上的解集不是空集求a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式2|)1(|>-x f .分析：（1）若从解不等式出发，则很繁.注意到0)1(=f ，且)(x f 是关于x 的一次函数形式，只要1)2(>f 即可.从而得1>a .这样就可以避免讨论.（2）2|)1(|>-x f ，即2|1|+>-a x a .①当0=a 时，不等式解集为∅；②当0>a 时，a x 21|1|+>-，得a x 22+>或ax 2-<； ③当0<a 时，a x 21|1|+<-.若021≤+a ，即02<≤-a 时，不等式解集为∅；当021>+a，即2-<a 时，a x a 222+<<-. 综上知不等式2|)1(|>-x f 的解集为：22(,)(2,),(0),(20)22(,2),(2)a a a a a a a ⎧-∞-++∞>⎪⎪∅-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎩. 需要注意的是分类讨论的最后结果要有所总结，这才体现出解题的完整性.97、解应用题重在读题，设法找出隐含的等量关系，把实际问题转化为数学问题，注意单位一定要化统一，结论要回归到题目的设问上，别忘了“答”.具体地说：函数问题的关键是正确地写出函数关系式（即建立等量关系）、数列问题要关注“前后项之间的关系”、“解几”问题别忘了圆锥曲线的“定义”、三角问题经常要联系正（余）弦定理.[举例1]用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么一共用了＿＿＿块砖.分析：第九层用完，则第九层用砖2块.寻找相邻两层之间关系：设第n 层用砖为n a 块，第1n +层用砖为1n a +块，则有1212n n a a +-=+，即112n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为12的等比数列.由92a =，所以共用砖23922221024++++=块.另一方面：设共用砖x 块，前n 层共用砖n S 块，第n 层用砖n a 块，则有112n n x S a --=+，那么112n n x S a +-=+，两式相减可得112n n a a +=. ［举例2］甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？分析：函数型的应用性问题在列出函数关系式时要注意到函数的定义域，函数的定义域可以从条件中得到.（1）2()(0)s y bv a v c v=+<≤；（2）由()ay s bv v =+，应用基本不等式时，要注意等号成立的条件.当a bv v =时，v =c ≤，则2y s ≥此时v =c >，可知函数()a y s bv v =+在区间(0,]c 上单调递减，此时y c =时有最小值.综上知：c ≤/c >时，汽车应以c 千米/时行驶. 98、解高考题要注意“长题不难”、“新题不难”的特点，从容镇定、认真审题间.比较复杂的问题在解题过程中往往要遇到三次审题：一、把握好条件中的“关键词”，包括括号内一些容易忽略的条件（N b a ∈>,1…，等），从中获取尽可能多的信息，迅速找出解题方向；二、在解题受阻时，应再次审题，看看有没有漏掉什么条件，想想有什么隐含条件；三、解完题后再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理.99．要记住“解题是给别人看的”，因此要尽可能使得解题过程自然、流畅，尽可能使阅卷老师能够清晰地了解（感受到）我们的思维脉搏.要学会使用文字叙述，用好关联词；要对后面可能需要使用的式子和过渡性的结论做必要的标记（如：①、②、（﹡）等），以便使用；为了使解题过程简洁，可以略去有理式运算、平面几何的简单论证等，但涉及高中知识点、思考过程的要点及后面的解题要用的式子切不可跳过；解题的最后一步应回归到题目的设问上.100、高考不仅是知识考试，同时也是心理考试.拿到试卷应当充分利用好开答前的五分钟时间，把试卷大题浏览一遍，确定解题的顺序.注意的是：小题中的 “压轴题”（如填空题中的12题，选择题中的16题）不一定比解答题的前两题容易，若一时找不到思路可先放一放，不要在此花过多时间.做容易的题要冷静、细心，适当慢一点，就会准一点.其实所谓考试就是把我们平时掌握的知识、培养的能力淋漓尽致地展现在考卷上，若能保证把会做的题做对，就是成功.遇到难题要做到镇定分析、大胆设想.高考中偏难的解答题一般会设置层次分明的“台阶”，也就是“难题”中也会有容易做的得分点，应争取拿到；即使是毫无思路，也尽量不要空在那儿，不妨想到什么写什么，想到哪儿，写到哪儿；因为没有什么情况会比“空”在那儿更严重的了！总之，考试的全部诀窍就是：力争会做的题确保得满分，不会做的题争取多得分.做到我易人易我不大意，我难人难我不畏难.。
2020-2021上海格致初级中学高中必修三数学上期中试题含答案
2020-2021上海格致初级中学高中必修三数学上期中试题含答案一、选择题1．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?3．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n5．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是()A．336B．510C．1326D．36036．已知不等式51xx-<+的解集为P，若0x P∈，则“1x<”的概率为（）．A．14B．13C．12D．237．我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A．17?,,+1i s s i ii≤=-=B．1128?,,2i s s i ii≤=-=C．17?,,+12i s s i ii≤=-=D．1128?,,22i s s i ii≤=-=8．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③9．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn10．已知平面区域()0,y x y y ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨≤⎪⎪⎩⎩，直线2y mx m =+和曲线y =两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦11．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．56二、填空题13．执行如图所示的程序框图,如果输入3n =，则输出的S 为 ________．14．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．15．某商家观察发现某种商品的销售量x 与气温y 呈线性相关关系，其中组样本数据如下表：已知该回归直线方程为ˆˆ1.02yx a =+，则实数ˆa =__________． 16．执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．17．程序框图如图所示，若输出的y ＝0，那么输入的x 为________．18．执行如图所示的流程图，则输出的x 值为______．19．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________20．从一副扑克牌中取出1张A ，2张K ，2张Q 放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为__________．三、解答题21．已知椭圆的焦距为2，离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆上一点，且1260F PF ∠=o，求△F 1PF 2的面积．22．某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数y (颗)和温差x (0C )具有线性相关关系. (1)求绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x (0C )的回归方程y bx a =+$$$；(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为110C ,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.附：121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑，a y bx =-$$23．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （1）求三种粽子各取到1个的概率．（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．24． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的 2.5PM 监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示：（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率； （2）以这15天的 2.5PM 日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大致有多少天的空气质量达到一级.25．我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组频数频率[)0,1025[)10,200.19[)20,3050[)30,400.23[)40,500.18[)50,605（1）分别求出n，,a b的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的（3）从样本中年用水量在[]跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）.26．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如统计结果分成5组：[)[)[)[)[)图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：x1 2 3 4 z134612342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y ee ==.故选：C .【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.2．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.5．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.6．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩，∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．7．B解析：B 【解析】 【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：11,42S i=-=；第2次循环：111,824S i=--=；第3次循环：1111,16248S i=--==；依次类推，第7次循环：11111,256241288S i=----==L，此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i≤，执行框②应填入：1S Si=-，③应填入：2i i=.故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．B解析：B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为1001 24001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为1001 24001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 10．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．A解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】 【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.14．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相解析：108【解析】 【分析】不妨设2AB =AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为12AB =率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =，AB =， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为1222AB ⨯=， 由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222108P ππ⨯⨯+⨯⨯==，故答案为108. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.15．【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标结合样本中心点的性质可得进而可得关于的回归方程详解：由表格数据可得样本中心点坐标为代入可得故答案为点睛：本题主要考查线性回 解析： 2.4-【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出x 与y 的值，从而可得样本中心点的坐标，结合样本中心点的性质可得 2.4a ∧=，进而可得y 关于x 的回归方程.详解：由表格数据可得，1015202530205x ++++==，813172428185y ++++==，∴样本中心点坐标为()20,18，代入 1.0ˆ2ˆya =+，可得ˆ 2.4a =-，故答案为 2.4-. 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于简单题. 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.16．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要解析：36 【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．－3或0【解析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值当x ＜0时y=x+3=0∴x=-3满足要求当x=0时y=0∴x=0满足要求当x ＞0时y=x+解析：－3或0【解析】分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数3,00,05,0x x y x x x +<⎧⎪==⎨⎪+>⎩的函数值，当x ＜0时，y =x +3=0，∴x =-3满足要求， 当x =0时，y =0，∴x =0满足要求， 当x ＞0时，y =x +5，∴x =-5，不满足要求， 故输入的x 的值为：-3或0.18．4【解析】循环依次为循环结束输出解析：4 【解析】循环依次为0120,21,1;1,22,2;2,24,3;x x k x x k x x k ============424,216,4;16,log 164,55;x x k x x k ========≥循环结束,输出4x =19．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4【解析】由题意,()()110123 1.5,1357444x y =+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)20．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是 解析：45【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：,,,,,,,,,AK AK AQ AQ KK KQ KQ KQ KQ QQ ，其中不同的有８种，故概率是84105P == 。
上海市2020〖人教版〗高考复习试卷第三次月考试卷数学理科
上海市2020年〖人教版〗高考复习试卷 创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校第三次月考试卷数学理科一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.集合A={x|220x x ->}，集合B 是函数y=lg （2﹣x ）的定义域，则A ∩B=( )A ．（﹣∞，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，+∞） 2.曲线x y e =在点A （0，1）处的切线斜率为( )A ．2B ．1C ．eD ．3.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．1y x =+B ．()21y x =-C ．2x y -=D ．()0.5log 1y x =+ 4.函数()()2ln 1f x x =+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5.已知，那么cos α=( ) A ． B ． C ． D ．6.平行四边形ABCD 中，()1,0AB =,()1,2AD =，则AC BD 等于（ ）()23,x f x x =+- A ． -4 B ． 4 C ． 2 D ． ﹣27.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，则f(x)的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.332 C.932 D ．3 39.给出如下四个命题： ①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a ＞b ，则2a ＞2b﹣1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b ﹣1”；③“∀x ∈R ，x 2+1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1≤1；④在△ABC 中，“A ＞B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件．其中不正确的命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 10.函数f （x ）=sin （ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sin ωx 的图象，只需把y=f （x ）的图象上所有点( )个单位长度．A ．向右平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向左平移11.已知向量=(3，4)，=5，|﹣|=2，则||=( ) A ．5 B ．25 C ．2 D ．12. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x2＋1，x>0，cos x ， x≤0，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是增函数C ．f(x)是周期函数D ．f(x)的值域为[－1，＋∞)二.填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若函数()()sin x θ=+f x （ ）的图象关于直线6x π=对称，则θ= 14.若函数在(]0,1上单调递增，那么实数的取值范围是 15. 设向量=（4，1），=（1，﹣cos θ），若∥，则cos θ=．16.已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图所示．下列四个命题： ①函数f （x ）的极大值点为2； ②函数f （x ）在[2，4]上是减函数；③如果当[],5x m ∈时，f （x ）的最小值是﹣2，那么m 的最大值为4；④函数y=f （x ）﹣a （a ∈R ）的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤） x ﹣1 0 4 5 f （x ） ﹣1 ﹣2 ﹣2 ﹣117．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>c.已知BA →·BC →＝2，cosB ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值；(2)cos(B －C)的值． 18.（本小题满分12分）已知函数,. (Ⅰ)求函数的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值. 19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)当k ＝－115时，求(AB →－k OC →)·OC →的值． 20.（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 为锐角，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.设向量m ＝(cos A ，sin A)，n ＝(cos A ，－sin A)，且m 与n 的夹角为π3. (1)计算m n 的值并求角A 的大小；(2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S.21．（本小题满分12分） 已知函数()ln (0).a f x x a x =+>(1)求()f x 的单调区间；(2)如果P( x 0，y 0)是曲线y=()f x 上的点，且x 0∈(0，3)，若以P( x 0，y 0)为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（I ） 求证AB PC PA AC ⋅=⋅（II ） 求AD AE ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()333πρθ+=，射线:3OM πθ=（ρ≥0）与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲已知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+（I ）当a=0时，解不等式()()f x g x ≥；（II ）若存在x ∈R ，使得f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．答案一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）ABAAC BCBCA DD二.填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.3πθ= 14.[)1,-+∞ 15.14-16.①②③④ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17.解 (1)由BA →·BC →＝2，得c·acos B ＝2.又cosB ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2accosB. 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a2＋c2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a>c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sinB ＝1－cos2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 由正弦定理，得sinC ＝c b sinB ＝23×223＝429. 因为a ＝b>c ，所以C 为锐角．因此cosC ＝1－sin2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C)＝cosBcosC ＋sinBsinC ＝13×79＋223×429＝2327 18.解 (Ⅰ)()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=42sin 22cos 2sin πx x x x f , 所以,()f x 的最小正周期22T ππ==. (Ⅱ)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84ππ上是减函数,又28,14=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f ,14=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf , 故函数()f x 在区间[,]44ππ-最小值为1-. 19．解：(1)由题意，得AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．故所求两条对角线的长分别为4 2，2 10.(2)∵OC →＝(－2，－1)，AB →－k OC →＝(3＋2k ，5＋k)，∴(AB →－k OC →)·OC →＝(3＋2k ，5＋k)·(－2，－1)＝－11－5k.∵k ＝－115，∴(AB →－k OC →)·OC →＝－11－5k ＝0. 20．解：(1)∵|m|＝cos2A ＋sin2A ＝1，|n|＝cos2A ＋（－sin A ）2＝1，∴m·n ＝|m|·|n|·cos π3＝12. ∵m ·n ＝cos 2A －sin 2A ＝cos 2A ，∴cos 2A ＝12. ∵0<A<π2，∴0<2A<π， ∴2A ＝π3，∴A ＝π6. (2)方法一：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，∴7＝b 2＋3－3b ，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4，故S ＝12bcsin A ＝3. 方法二：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a sin A ＝c sin C， ∴sin C ＝csin A a ＝32 7. ∵a>c ， ∴0<C<π6，∴cos C ＝1－sin2C ＝52 7. ∵sin B ＝sin(π－A －C)＝sin π6＋C ＝12cos C ＋32sin C ＝27， ∴b ＝asin B sin A ＝4，故S ＝12bcsin A ＝3. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲（1）∵PA 为圆O 的切线,,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角, PCA PAB ∆∆∽AB PA AC PC ∴=. ……………………4分（2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线,2,PA PB PC ∴=⋅ 40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+== 又由（1）知12AB PA AC AB AC PC ==∴==,连接EC ,则,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽，则AC AD AE AB =，∴AD AE AB AC 65125360⋅=⋅=⨯=. ------10分23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲故min 11()()22h x h =-=-，从而所求实数a 的范围为21-≥a --------10分创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学三模试卷文科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学三模试卷文科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）函数y=的定义域是（）A．（3，+∞）B．（0，3]C．[0，3]D．（﹣∞，3]2．（5分）（•石景山区一模）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）3．（5分）（•东城区一模）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i4．（5分）（•石景山区一模）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．25．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2+a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．1B．2C．D．36．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．B．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点．C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高．D．在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好．7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．3+C．3D．8．（5分）已知x、y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．[0，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）9．（5分）（•惠州模拟）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣2，3）10．（5分）（•江西模拟）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，．则称集合A是“好集”．（1）集合B={﹣1，0，1}是好集；（2）有理数集Q是“好集”；（3）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x+y∈A；（4）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；（5）对任意的一个“好集A”，若x，y∈A，且x≠0，则必有．则上述命题正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分15分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．11．（5分）平面向量，满足||=2，||=1，且，的夹角为60°，则•（+）= _________ ．12．（5分）双曲线的中心在坐标原点，离心率e等于2，它的一个顶点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则双曲线的方程为_________ ．13．（5分）已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题有_________ ．（写出所有真命题的序号）【坐标系与参数方程选做题】14．（4分）已知曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为_________ ．【几何证明选讲选做题】15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠APB的值为_________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．17．（12分）（•贵州模拟）浙江电视台举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．18．（14分）（•南昌模拟）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．（Ⅰ）求证：AB⊥平面VCD；（Ⅱ）求点C到平面VAB的距离．19．（14分）已知等比数列{a n}的公比为q，且满足a n+1＜a n，a1+a2+a3=，a1a2a3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n，求T n．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x0，y0）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）围成的三角形的周长恒为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为，求点Q的轨迹E的方程；（3）设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，且4k1=3k2，证明：A，P，Q三点共线．21．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣2x．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1与x=处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ 的中点作x轴的垂线分别交C1、C2、于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）函数y=的定义域是（）A．（3，+∞）B．（0，3]C．[0，3]D．（﹣∞，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据函数的结构，列出条件：被开方式大于等于零，真数大于零，再解不等式组．解答：解：根据题意有，解得：0＜x≤3，所以函数的定义域为（0，3]，故选B．点评：本题考察函数定义域的求法，其中有一个对数不等式，注意其解法为将常数化为同底对数，利用函数的单调性解．2．（5分）（•石景山区一模）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出函数的周期，再根据当x=时，函数是否取得最值，从而判断函数是否满足条件，从而得出结论．解答：解：A．函数y=2sin（+）的周期为=4π，不为π，故A不选；B．函数y=2sin（2x﹣）的周期为=π，且当x=时，函数y取得最大值2，故图象关于直线x=对称，满足条件，故B选；C．函数y=2sin（2x+）的周期为=π，且当x=时，函数y=1，没有取得最值，故函数的图象不关于直线x=对称，故C不选；D．函数y=2sin（﹣）的周期为=4π，不为π，故D不选，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的周期性以及求法，三角函数的图象的对称性，属于中档题．3．（5分）（•东城区一模）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i考复数的基本概念．点：专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．解答：解：∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．4．（5分）（•石景山区一模）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，程序框图运行过程，总结规律，A的数值是2、、﹣1；并且以3为周期的关于i的函数，求出i=时的函数值即可．解答：解：根据题意，程序框图运行的程序为，i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i=2，A=1﹣2=﹣1；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i=4，A=1﹣=，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i=，∴A=﹣1，i=＞，输出A：﹣1；故选：C．点评：本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2+a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．1B．2C．D．3考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的前n项和公式表示出S1，S2，S3，然后根据S1，S2+a2，S3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S1，S2，S3代入得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到公比q的值．解答：解：∵S1，S2+a2，S3成等差数列，∴2（S2+a2）=S1+S3，又数列{a n}为等比数列，∴2（a1+2a1q）=a1+（a1+a1q+a1q2），整理得：a1q2﹣3a1q=0，又a1≠0，∴q2﹣3q=0，∵q≠0，解得：q=3．故选：D．点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式、求和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．B．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点．C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高．D．在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好．考点：命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：A，利用独立性检验的概念可判断A的正误；B，利用通过最小二乘法得到线性回归方程对应的直线=x+可知，直线=x+不一定经过其样本数据中的任何一点，从而可判断B的正误；C，利用残差图的统计意义可判断C的正误；D，利用回归分析中，相关指数R2的意义可知模型拟合的效果的好坏，从而可判断D的正误．解答：解：A，在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；B，线性回归方程对应的直线=x+不一定经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的任何一个点，但一定经过样本中心（，），故B错误；C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，正确；D，在回归分析中，相关指数R2为越大，越接近1，模型拟合的效果越好，故相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好，正确；综上所述，说法错误的是B，故选：B．点评：本题考查概率统计中变量间的相关关系，着重考查线性回归方程的理解与应用，考查残差图与相关指数R2的应用，属于中档题．7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．3+C．3D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可得几何体是直三棱柱，画出几何体的直观图，判断三棱柱的高与底面三角形的各边长，代入直棱柱表面积公式计算．解解：由三视图知几何体是三棱柱，且三棱柱的高为1，答：底面是直角边长为1的等腰直角三角形，其斜边长为=，∴表面积S=2××1×1+（1+1+）×1=3+．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．8．（5分）已知x、y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．[0，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则z的几何意义是动点P（x，y）到定点D（﹣2，1）的斜率，由图象可知，当P位于B时，BD的斜率最大，P位于A时，斜率最小，由，解得，即B（1，3），由，解得，即A（4，1），则BD的斜率为，AD的斜率为0，则z=的取值范围为[0，]，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本思想．9．（5分）（•惠州模拟）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣2，3）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数是奇函数，我们可以根据奇函数的性质可将，不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0化为f（a﹣3）＜f （a2﹣9），再根据函数y=f（x）又是减函数，及其定义域为（﹣1，1），我们易将原不等式转化为一个不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．解答：解：∵函数是定义域为（﹣1，1）的奇函数∴﹣f（x）=f（﹣x）又∵y=f（x）是减函数，∴不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0可化为：f（a﹣3）＜﹣f（9﹣a2）即f（a﹣3）＜f（a2﹣9）即解得a∈故选：A点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的应用、函数单调性的应用，利用函数的奇偶性和单调性，结合函数的定义域，我们将原不等式转化为不等式组是解答本题的关键．10．（5分）（•江西模拟）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，．则称集合A是“好集”．（1）集合B={﹣1，0，1}是好集；（2）有理数集Q是“好集”；（3）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x+y∈A；（4）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；（5）对任意的一个“好集A”，若x，y∈A，且x≠0，则必有．则上述命题正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．专题：探究型．分析：根据“好集”的定义，分别进行判断即可．解答：解：（1）∵1，﹣1∈A，1﹣（﹣1）=2∉A，不满足性质②，∴（1）不正确；（2）∵有理数集Q满足性质①②，∴（2）正确；（3）∵0∈A，x、y∈A，∴0﹣y=﹣y∈A，∴x+y=x﹣（﹣y）∈A，∴（3）正确；（4）若集合A是“好集”，若x，y之一为0，则xy=0∈A，若x≠0，y≠0，则x﹣1，，∈A，则∈A，即x（x﹣1）=x2﹣x∈A，即x2∈A，则y2∈A，（x+y）2∈A，∵2xy=（x+y）2﹣（x2+y2），∴2xy∈A，则xy∈A，故（4）正确．（5）若集合A是“好集”，x≠0时，．，由x、y∈A，由（4）知，即，成立，所以（5）正确．故选C．本题主要考查新定义，利用条件进行推理，考查学生的推理能力．点评：二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分15分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．11．（5分）平面向量，满足||=2，||=1，且，的夹角为60°，则•（+）= 5 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：本题考查数量积的运算，直接用公式与运算规则计算即可．解答：解：∵||=2，||=1，且，的夹角为60°，∴•（+）=2+•=22+2×1×cos60°=4+1=5故答案为：5．点评：本题考查数量积的运算规则以及数量积公式，属于基本计算题，较易．12．（5分）双曲线的中心在坐标原点，离心率e等于2，它的一个顶点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则双曲线的方程为．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．解答：解：抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0），则有：双曲线的方程为故答案为：点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、圆锥曲线的共同特征，解答关键是对于圆锥曲线的共同特征的理解与应用．13．（5分）已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题有②③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间直线与平面、平面与平面的位置关系对①②③④四个选项逐一判断即可．解答：解：①若m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，故①为假命题；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α（两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面），正确；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，这是面面垂直的判定定理，正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β（垂直于同一条直线的两个平面平行），正确；综上所述，真命题有②③④．故答案为：②③④．点评：本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．掌握线面垂直、面面垂直与面面平行的判定与性质是正确判断的关键，属于中档题．【坐标系与参数方程选做题】14．（4分）已知曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为（）．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：将直线的极坐标方程化为普通方程，代入圆的参数方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标．解答：解：直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）可化为直角坐标方程：y=1，将其代入曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），得到sinα=0，cosα=1，即交点的直角坐标为（1，1），由于ρ2=2，tanθ=1，故极坐标为（）．故答案为：（，）点评：本题主要考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，考查基本的运算能力．【几何证明选讲选做题】15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠APB的值为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的直径的性质、相交弦定理、三角形相似的性质、诱导公式等即可得出．解答：解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴．∵△APB∽△DCP，∴．∴cos∠APB=cos（90°+∠DAP）=﹣sin∠DAP=﹣．故答案为．点评：熟练掌握圆的直径的性质、相交弦定理、三角形相似的性质、诱导公式等是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由a，b，cosB的值，利用余弦定理求出c的值，再由a，c，sinB的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）∵a=2bsinA，∴sinA=2sinAsinB，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴sinB=，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B=60°；（Ⅱ）∵a=2，b=，cosB=，∴由余弦定理得：（）2=22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或c=﹣1（舍），∴c=3，则S△ABC=acsinB=×2×3×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）（•贵州模拟）浙江电视台举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（I）将甲乙两班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数与极差的定义和解法分别进行计算，即可求出答案．（II）根据用列举法概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：（I）甲班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，75，75，76，78，82，82，86，87，88，90．82和75出现了2次，出现的次数最多，故众数是82和75，从小到大排列最中间的两个数是76，78，则中位数是77．最大数为90，最小值为65，故极差为25乙班的大众评审的支持票数：67，67，68，69，73，74，76，81，82，84，86，87，88，90，91，95，95．67和95出现了2次，出现的次数最多，故众数是67和95，从小到大排列最中间的数是82，则中位数是82．最大数为95，最小值为67，故极差为28（II）共有5名选手进入决赛，其中有两名拥有“优先挑战权”．所有的基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，符合题意的基本事件有（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5）共6种，故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P==．点评：此题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了茎叶图和众数、中位数、平均数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．18．（14分）（•南昌模拟）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．（Ⅰ）求证：AB⊥平面VCD；（Ⅱ）求点C到平面VAB的距离．考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）要证AB⊥平面VCD，利用线面垂直的判定定理，只需证明AB垂直与平面VCD的两条相交直线即可；（Ⅱ）依据V V﹣ABC=V C﹣V AB，利用等体积法即可得到点C到平面V AB的距离为．解答：解：（Ⅰ）证明：∵AC=BC=a∴△ACB是等腰三角形，又∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB，又∵CD∩VC=C∴AB⊥平面VCD．（Ⅱ）设点C到平面V AB的距离为h，据V V﹣ABC=V C﹣V AB即，得h=，所以点C到平面V AB的距离为．点评：本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想和向量法的合理运用．19．（14分）已知等比数列{a n}的公比为q，且满足a n+1＜a n，a1+a2+a3=，a1a2a3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意联立方程组解得首项和公比即得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可．解答：解：（1）由a1a2a3=，及等比数列性质得=，即a2=①…（2分）由a1+a2+a3=得a1+a2=②，…（3分）由①②得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解的q=3，或q=…（5分）由a n+1＜a n得{a n}是递减函数，故q=3舍去，…（6分）∴q=，又由a2=，得a1=1，故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）…（7分）（2）由（1）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+…（8分）T n=+++…++…（9分）两式作差得T n=1++++…+﹣，…（10分）=1+2•﹣=2﹣﹣…（13分）∴T n=3﹣…（14分）点评：本题主要考查了等比数列的性质及错位相减法求数列的和，考查学生的运算求解能力及方程思想的运用能力，属中档题．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x0，y0）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）围成的三角形的周长恒为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为，求点Q的轨迹E的方程；（3）设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，且4k1=3k2，证明：A，P，Q三点共线．考点：轨迹方程；三点共线；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意结合椭圆定义得到2a+2c=12，从而求出a，再结合c=2求得b，则椭圆方程可求；（2）直接由动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为列式求点Q的轨迹E的方程；（3）设P（x0，y0），写出PA和PB的斜率，结合P在椭圆上及4k1=3k2得到k PA•k2=﹣1，由（2）知点Q在圆x2+y2=16上，由此可得k QA•k2=﹣1，从而得到PA和QA所在直线的斜率相等，再由两直线有公共点A，可得A，P，Q三点共线．解答：（1）解：由椭圆C的焦点为F1（﹣2，0）得c=2，又由椭圆的定义得△PF1F2的周长为2a+2c=12，解得a=4，c=2，∴b2=a2﹣c2=12，即所求椭圆的方程为；（2）解：由题意得，∵，，∴，化简得：x2+y2=16，经检验得轨迹E的方程为x2+y2=16；（3）证明：由（1）知A（﹣4，0），B（4，0），设P（x0，y0），则，∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，即，∴，∴，又∵4k1=3k2，∴k PA•k2=﹣1，由（2）知点Q在圆x2+y2=16上，∴k QA•k2=﹣1，∴k PA=k QA，又直线PA，QA有共同点A，∴A，P，Q三点共线．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查了曲线轨迹方程的求法，训练了平面内三点共线的证明方法，体现了整体运算思想方法，是压轴题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣2x．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1与x=处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ 的中点作x轴的垂线分别交C1、C2、于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）求函数y=f（x）﹣g（x）的导数，根据在x=1与x=处的切线相互平行，得到导数相同，建立方程即可求a的值及切线斜率．（2）要使函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，只要y'≤0恒成立即可求a的取值范围．（3）利用反证法证明结论即可．解答：（1）解：y=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax2+2x，记h（x）=lnx﹣ax2+2x，则h′（x）=﹣ax+2…（2分）∵依题意h（x）在x=1与x=处的切线互相平行，∴h′（1）=h′（），即﹣a+3=﹣+4，解得a=﹣2…（3分）此时切线斜率k=h'（1）=5…（4分）（2）解：∵函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，∴h′（x）≤0在区间（，1）上恒成立；…（5分）即﹣ax+2≤0，即a≥在区间（，1）上恒成立；…（6分）∴a≥（）max，∵x∈（，1），∴∈（1，3），∴=≤15，∴a≥15，即a的取值范围是[15，+∞）．…（8分）（3）证明：f′（x）=，g′（x）=ax﹣2，假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），x1＞x2，＞0，则存在a使得f′（）=g′（），即=（x1+x2）﹣2，…（9分）∴=（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）=y1﹣y2=lnx1﹣lnx2=ln不妨设=t＞1…（12分）则方程=lnt存在大于1的实根，设φ（t）=﹣lnt，则φ′（t）=＜0，∴φ（t）在（1，+∞）单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0这与存在t＞1使得φ（t）=0矛盾．∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．…（14分）点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
2020年上海市东格致中学高三数学文联考试题含解析
2020年上海市东格致中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π参考答案：B解答：截面面积为8，所以高，底面半径，所以表面积为.2. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）A B C D.2参考答案：A略3. 已知菱形ABCD的对角线AC长为1，则·=（▲ ）A．4 B．2 C．1 D．参考答案：D4. 若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图像上；②P、Q关于原点对称，则答点对（P，Q）是函数的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）。
已知函数则此函数的“友好点对”有对。
参考答案：2略5. 已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）(A)f（x0）=0 (B)f（x0）＞0(C)f（x0）＜0 (D)f（x0）的符号不确定参考答案：C6. 若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣2x2，函数g （x）=lg|x﹣2|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数为（）A．18 B．19 C．20 D．17参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数等于函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的交点个数，数形结合求得结果．【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）是以2为周期的周期函数．函数g（x）=lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数，等于函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的交点个数．在同一坐标系中作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的图象，可得共有18个交点，故选A．7. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A． B． C． D．参考答案：试题分析：由三视图知，该几何体是圆锥的四分之一，底半径和高均为，所以，其侧面积是圆锥侧面积的四分之一与两个等腰直角三角形面积之和.，选.考点：1.三视图；2.几何体的表面积.8. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………………………………………………（）．. . .参考答案：9. 若x，y满足约束条件则的最大值为（）A．－3 B．C．1 D．参考答案：D作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，），代入目标函数z=x+y得z=1+=．即目标函数z=x+y的最大值为．10. 已知数列{a n}的通项公式是，则A ．110B ．100C ．55D ．0参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义运算法则如下：；若，，则M ＋N ＝．参考答案： 512. 设定义在[﹣2，2]上的奇函数f （x ）在区间[0，2]上单调递减，若f （1+m ）+f （m ）＜0，则实数m 的取值范围为 ．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】计算题．【分析】首先要考虑函数的定义域，得出一个参数m 的取值范围，然后在根据奇函数在对称区间上的单调性相同这一性质，得出在整个定义域上的单调情况，从而把原不等式通过移项，根据奇函数将负好移到括号内，再根据单调性去掉函数符号，又得到一个参数的取值范围，最后两个范围求交集可得最后的结果．【解答】解：∵f（x ）定义在[﹣2，2]∴即﹣2≤m≤1 ①又∵f（x ）定义在[﹣2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减 ∴f（x ）在[﹣2，0]上也单调递减 ∴f（x ）在[﹣2，2]上单调递减又∵f（1+m ）+f （m ）＜0?f （1+m ）＜﹣f （m ）=f （﹣m ） ∴1+m＞﹣m 即m ＞﹣ ②由①②可知：﹣＜m≤1 故答案为：（﹣，1]【点评】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的关系性质，即：“奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反”．还要注意考虑定义域的问题，这一点常常容易忽略，所以本题也属于易错题，是一道中档题．13. 已知点是椭圆上的点，直线（O 为坐标原点），P 为平面内任意一点。
上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试卷附答案详析
上海市格致中学2020届高三9月开学考试数学试题(全卷满分150分；考试用时120分钟)一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．点()2,0P 到直线14,23,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t R ∈）的距离为（）A ．35B ．45C ．65D ．1153．若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（）A ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则b α∥B ．若a α∥，a b ⊥r r ，则b α⊥C ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥r rD ．若a α∥，b α∥，则a b 4．设向量(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,cos )b αα=-r ，向量1210,,,x x x ⋅⋅⋅u r u u r uu r 中有4个a ，其余为b ，向量1210,,,y y y ⋅⋅⋅u r u u r uu r 中有3个a ，其余为b ，则11221010x y x y x y ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅u r u r u u r u u r uu r uu r 的所有可能取值中最小的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题5．不等式13x>的解集为________6．已知向量(7,1,5)a =-r ，(3,4,7)b =-r ，则||a b += ________7．如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________8．函数2()f x x =，(0,)x ∈+∞的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=________9．若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________10．若复数z 的实部和虚部相等，且i 2iz a =+（i 是虚数单位），则实数a 的值为________11．已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________12．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910，若这堆货物总价是9100200()10n -万元，则n 的值为________13．若函数221()lg 1x x f x x m x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为________14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________15．若关于x 的不等式112log (42)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是_____16．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.18．在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．19．已知抛物线C 关于y 轴对称，且经过点(2,1)-.（1）求抛物线C 的标准方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M 、N ，抛物线的准线分别交直线OM 、ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.20．若数列{}n a 、{}n b 满足1||n n n a a b +-=(n ∈N)，则称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”.（1）若{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列”，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且326a a -=，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，求1231111lim()n nb b b b →∞++++ 的值；（3）设116()2n n b +=-，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，11a =，221n n a a -≤且221n n a a +≤，若||n a M ≤对任意n ∈*N 恒成立，求实数M 的最小值.21．已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ，若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.解析上海市格致中学2020届高三9月开学考试数学试题(全卷满分150分；考试用时120分钟)一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.2．点()2,0P 到直线14,23,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t R ∈）的距离为（）A ．35B ．45C ．65D ．115【答案】D【解析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．【详解】由1423x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得3x ﹣4y +5＝0，根据点到直线的距离公式可得d 223204511534⨯-⨯+==+．【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．3．若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（）A ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则b α∥B ．若a α∥，a b ⊥r r ，则b α⊥C ．若a α⊥，b α⊂，则a b⊥r rD ．若a α∥，b α∥，则a b 【答案】C 【解析】对于选项A ，b 与α可能平行，也可能在平面内，故A 不正确。
上海市格致中学2023届高三三模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知复数满足，则（ ）A．B．C．D．2.已知复数是纯虚数（i 为虚数单位），则（ ）A ．2或B ．2C．D ．03. 设P为双曲线右支上的点，分别为C 的左、右两个焦点，若（O 为坐标原点），且，则C 的离心率为（ ）A．B．C．D．4. 已知向量，，若在上的投影向量为，则的值为（ ）A．B．C ．1D ．25.已知圆：与轴负半轴的交点为，过点且斜率为2的直线与圆的另一个交点为，若的中点恰好落在轴上，则（ ）A．B．C．D．6.已知双曲线的左焦点为，左､右顶点分别为点是双曲线上关于轴对称的两点，且直线经过点.如果是线段上靠近点的三等分点，在轴的正半轴上，且三点共线，三点共线，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B．C．D ．67. 已知点，，，在同一平面内，且，则（ ）A ．2B．C．D．8. 将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ）A．B．C．D．9.已知函数的图像为曲线，下列说法正确的有（ ）．A．都有两个极值点B．都有三个零点C ．，曲线都有对称中心D．，使得曲线有对称轴10. 人口问题始终是战略性、全局性的问题.2022年末我国人口比上年末减少85万人，为61年来的首次人口负增长，其中生育率持续降低受到了人们的广泛关注.为促进人口长期均衡发展，国家制定了一系列优化生育政策：2016年正式全面开放二胎；2022年实施三孩生育政策，并配套生育支持措施.为了了解中国人均GDP （单位：万元）和总和生育率y 以及女性平均受教育年限z （单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（ ）上海市格致中学2023届高三三模数学试题(1)上海市格致中学2023届高三三模数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．人均GDP 和女性平均受教育年限正相关B ．女性平均受教育年限和总和生育率负相关C．D ．未来三年总和生育率将继续降低11. 下列几种说法中正确的是（ ）A ．若，则的最小值是4B ．命题“，”的否定是“，”C ．若不等式的解集是，则的解集是D ．“”是“不等式对一切x 都成立”的充要条件12.如图，已知圆柱母线长为，底面圆半径为，梯形内接于下底面，是直径，//，，点在上底面的射影分别为，，，，点分别是线段，上的动点，点Q 为上底面圆内（含边界）任意一点，则（）A ．若面交线段于点，则//B．若面过点，则直线过定点C ．的周长为定值D ．当点Q 在上底面圆周上运动时，记直线，与下底面圆所成角分别为，，则13. 若函数图象的一条对称轴方程为 ，则的值为 ________ ．14.的展开式中，的系数为________．15. 已知，，则________．16.已知数列，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．17. 公2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨.为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放.手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识"“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容.为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市10~60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如下频率分布直方图所示∶（1）求a的值，并求这组数据的中位数(结果保留两位小数)；（2）现从年龄在[20，40)的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在[20，30)的回答5道题，年龄[30，40)的回答3道题，题目都不同.用X表示抽取的3人中回答题目的总个数，求当X=13的概率.18. 如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F．(1)求证：点F为的中点；(2)若点G为棱上一点，且，求点G到平面的距离．19. 已知向量，.（1）当时，求的值；（2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值.20. 已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：．21. 已知函数．(1)讨论函数的极值点个数；(2)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．。
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第十部分 解题技巧与应试心理
94、解含有字母运算的选择题时莫忘特殊值法：选择符合题意数值加以检验，是解这类问题最有效方法；选择、填空题中要探讨一般性的结论可以在特殊值的背景中进行.另外遇到方程、不等式求解的选择题通常采用取值（选择支中的边界值最好）去代入验证.
[举例]函数x b x a x f cos sin )(-=图像的一对称轴方程是4π
=x ，则直线0
=+-c by ax 的倾斜角是――――――――――――――――――――――――――――――（ ）
A 、4π；
B 、43π；
C 、3π；
D 、32π. 分析：正弦曲线的对称轴方程是经过正弦曲线的最高（最低）点与x 轴垂直的直线.即4
π
=x 时，函数x b x a x f cos sin )(-=取最大值（或最小值），取1,1-==b a 即满足题义.知直线的倾斜角为4
3π.选B. 95、“数形结合”是解选择、填空题的重要的方法之一，特别是遇到含有字母的无理不等式及含有22y x +（曲线上的点到原点的距离的平方）、
x y （曲线上的点与原点连线的斜率）等带有明显“几何特征”的式子时，数形结合比较方便.若做解答题用“数形结合”时，考虑到推理论证的严密，一定要辅之以必要的文字说明，不能以“由图知”代替推理. ［举例1］若关于x 的不等式)1(1>≥+-a x a x 的解集为}|{n x m x ≤≤，且
1+=-a m n ，则实数a 的值等于―――――――――――――――――――――（ ）
A 、2；
B 、3；
C 、4；
D 、5. 分析：作出函数1-=x y 与a x y -=的 图像（如图）.可以看出1=m ，n x =是方程 a x x -=-1的根.所以a n n -=-1，又 1+=-a m n ，由2+=a n ，得3=a .选B.
［举例2］已知函数
2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 若方程
k x f =)(有两个不同的解，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.
分析：⎩⎨⎧∈-∈=]2,(,sin ],0[,sin 3)(πππx x x x x f .作出函数)(x f 的图像直线k y =与函数)(x f y =的交点，则31<<k . 96、“分类讨论”一般是在解题过程无法进行下去时采取的措施，即“分类”是解题得以
继续的自然要求.只有搞清了为什么要分类，才知道怎样分类，然后把研究对象不重不漏地划分为若干类，逐一进行研究，通过分类实际是为解题增加一个新的条件.当然，选用适当的解法，能回避讨论时，应尽量回避.比如解分式不等式时，一般不是讨论分母的正负，而是移项、通分后利用数轴标根法求解.
[举例]已知函数))(1()(R a x a x f ∈-=.
（1）若不等式1)(>x f 在(1,2)上的解集不是空集求a 的取值范围；
（2）解关于x 的不等式2|)1(|>-x f .
分析：（1）若从解不等式出发，则很繁.注意到0)1(=f ，且)(x f 是关于x 的一次函数形式，只要1)2(>f 即可.从而得1>a .这样就可以避免讨论.
（2）2|)1(|>-x f ，即2|1|+>-a x a .
①当0=a 时，不等式解集为∅；
②当0>a 时，a x 21|1|+
>-，得a
x 22+>或a x 2-<； ③当0<a 时，a x 21|1|+<-.若021≤+a
，即02<≤-a 时，不等式解集为∅；当021>+a ，即2-<a 时，a x a 222+<<-. 综上知不等式2|)1(|>-x f 的解集为：22(,)(2,),(0),(20)22(,2),(2)a a a a a a
a ⎧-∞-++∞>⎪⎪∅-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎩U .
需要注意的是分类讨论的最后结果要有所总结，这才体现出解题的完整性.
97、解应用题重在读题，设法找出隐含的等量关系，把实际问题转化为数学问题，注意单位一定要化统一，结论要回归到题目的设问上，别忘了“答”.具体地说：函数问题的关键是正确地写出函数关系式（即建立等量关系）、数列问题要关注“前后项之间的关系”、“解几”问题别忘了圆锥曲线的“定义”、三角问题经常要联系正（余）弦定理.
[举例1]用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么一共用了＿＿＿块砖.
分析：第九层用完，则第九层用砖2块.寻找相邻两层之间关系：设第n 层用砖为n a 块，第
1n +层用砖为1n a +块，则有1212n n a a +-=+，即112
n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为12的等比数列.由92a =，所以共用砖23922221024++++=L 块.
另一方面：设共用砖x 块，前n 层共用砖n S 块，第n 层用砖n a 块，则有112n n x S a --=
+，那么112n n x S a +-=+，两式相减可得112
n n a a +=. ［举例2］甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
分析：函数型的应用性问题在列出函数关系式时要注意到函数的定义域，函数的定义域可以从条件中得到.
（1）2()(0)s y bv a v c v
=+<≤；
（2）由()a
y s bv v =+，应用基本不等式时，要注意等号成立的条件.当a bv v =时，v =
c ≤，则2y ≥此时v =c >，可知函数()a y s bv v =+在区间(0,]c
上单调递减，此时y c =时有最小值.c ≤/时行驶；
c >时，汽车应以c 千米/时行驶. 98、解高考题要注意“长题不难”、“新题不难”的特点，从容镇定、认真审题间.比较复杂的问题在解题过程中往往要遇到三次审题：一、把握好条件中的“关键词”，包括括号内一些容易忽略的条件（N b a ∈>,1…，等），从中获取尽可能多的信息，迅速找出解题方向；二、在解题受阻时，应再次审题，看看有没有漏掉什么条件，想想有什么隐含条件；
三、解完题后再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理.
99．要记住“解题是给别人看的”，因此要尽可能使得解题过程自然、流畅，尽可能使阅卷老师能够清晰地了解（感受到）我们的思维脉搏.要学会使用文字叙述，用好关联词；要对后面可能需要使用的式子和过渡性的结论做必要的标记（如：①、②、（﹡）等），以便使用；为了使解题过程简洁，可以略去有理式运算、平面几何的简单论证等，但涉及高
中知识点、思考过程的要点及后面的解题要用的式子切不可跳过；解题的最后一步应回归到题目的设问上.
100、高考不仅是知识考试，同时也是心理考试.拿到试卷应当充分利用好开答前的五分钟时间，把试卷大题浏览一遍，确定解题的顺序.注意的是：小题中的“压轴题”（如填空题中的12题，选择题中的16题）不一定比解答题的前两题容易，若一时找不到思路可先放一放，不要在此花过多时间.做容易的题要冷静、细心，适当慢一点，就会准一点.其实所谓考试就是把我们平时掌握的知识、培养的能力淋漓尽致地展现在考卷上，若能保证把会做的题做对，就是成功.遇到难题要做到镇定分析、大胆设想.高考中偏难的解答题一般会设置层次分明的“台阶”，也就是“难题”中也会有容易做的得分点，应争取拿到；即使是毫无思路，也尽量不要空在那儿，不妨想到什么写什么，想到哪儿，写到哪儿；因为没有什么情况会比“空”在那儿更严重的了！总之，考试的全部诀窍就是：力争会做的题确保得满分，不会做的题争取多得分.做到我易人易我不大意，我难人难我不畏难.。