导数中常用12个超越函数图像17页PPT
高二数学选修22~121常见函数的导数精品PPT课件
答 ( 5 ) y 案 co (y s 6 x ) 22 0 0 (0 0 y 7 7 8 ) 1x (y 8 5 x ) l5 n x l2 n
四、课堂练习
1、利用幂函数的求导公式,求下列函数的导数:
(1)y x1.8
(2)y x3
(3)y 1 x
(4)yx34 x
解 (1 )y： 1 .8x1 .8 11 .8x0 .8 (2)y3x313x4
(1)(x)' x1(为常数）
(2)a (x)'axlna 0 (且 a ,a1)
(3 )l(o ax)g '1 xlo aeg x1l(a n0 a ,且 a1)
(4)(ex)' ex (5)(lnx') 1
x
(6)(sinx)' cosx
(7)(cos' x)sinx
一、幂函数求导法则
对幂函y数xa求导公式:为 y axa1 口诀为 :求导幂减一，原幂 数.作乘
二、正、余函数求导法则
(1)(sinx)' cosx (2()cosx' ) sinx
三、对数函数与指数函数的求导法则
1、对数函数的导数
1 (lnx)' 1
x
2 (loaxg )'1 xloag exl1na
2、指数函数的导数
1 (ax)'axln a 2 (ex)'ex
巩固1求下列函数的导数：
求函数的导数的方法是:（三步法）
步骤: (1 )求 增 yf(量 x x )f(x );
(2)算 比 y值 f(x x)f(x);
x
x
(3)当 x 0时 ,则 y f(x); x
高考常考的超越函数 双曲函数
x 1 ln x
x (x 1)2
，
再令 v(x)
x 1 ln x
x ，则 v(x)
1 x2
1 x
1 x x2
．
当 x 1时，有 v(x) 0 ， v(x) v(1) 0 ． u(x) 0 ．
所以 u(x) ln x 在 x 1时，为减函数． x 1
当 e e1 a e 时， ln a ln e ，即 ae1 ea1 ；
在 (0,) 上单调增函数；
奇偶性：偶函数； 最小值：1．
3．双曲正切函数 tanh x e x ex 的图象和基本性质 ex ex
定义域： R ； 值域： (1,1) ；
单调性：增函数； 奇偶性：奇函数；
反函数： tanh1 x 1 ln 1 x 2 1 x
三．重要关系
1．商数关系： tanh x sinh x ； cosh x
⑦
x
f (x) bg(x) (1 b) 等价于 f (x) bxg(x) (1 b)x
⑧
x
设函数 h(x) f (x) cxg(x) (1 c)x ，
由⑤⑥，有 h(x) f (x) cxg(x) cg(x) (1 c)
g(x) cxf (x) cg(x) (1 c) (1 c)[g(x) 1] cxf (x) ， 当 x 0时， （1）若 c 0 ，由③④，得 h(x) 0 ，故 h(x) 在[0,) 上为增函数，从而 h(x) h(0) 0 ， 即 f (x) cxg(x) (1 c)x ，故⑦成立 （2）若 c 1，由③④，得 h(x) 0 ，故 h(x) 在[0,) 上为减函数，从而 h(x) h(0) 0 ， 即 f (x) cxg(x) (1 c)x ，故⑧成立 ag(x) (1 a) f (x) bg(x) (1 b)
《高数导数公式》课件
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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高考常考的超越函数——双曲函数
高考常考的超越函数——双曲函数
双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.
一．双曲函数的定义
二．双曲函数的图象与基本性质
三．双曲函数的重要关系
四．双曲函数的导数性质
双曲函数与三角函数很相似五．高考试卷中的双曲函数
随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.
再看看近几年高考试卷中的双曲函数．
此外，在很多高考辅导资料或高考模拟试卷中，也常能找到与双曲函数有关的试题．
双曲函数是初等函数，也是高考试卷中常出现的一类超越函数．针对学有余力的考生，适当的引导他们寻找一部分高考试题的根，系统研究一下双曲函数，对发展思维，提高能力，搞定那些雷人的高考题是非常必要的．。
高等数学高阶导数PPT课件
定义: 由方程F(x, y) 0所确定的函数称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
1
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例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
17
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2、 高阶导数求法举例
（1）直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例6 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
dx
dt
25
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例11
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
26
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随堂练习：
求下列函数y的二阶导数：
(1) y x cos x；
(2) y2 2 xy 1；
(3) x2 y2 xy 1；
导数公式大全ppt课件
(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
(3)
y'
x ( )' 1- x2
x '(1-
x2 ) - x(1(1- x2 )2
x2 ) '
1-
x2 - x(-2x) (1- x2 )2
1 x2
(1 - x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'-3(x sin x)'0 6x2 - 3(sin x x cos x)
故
f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1)
= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例 2 设 y = xlnx ， 求 y .
d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(-sin x) cos x - xsin x
高中6个超越函数
高中6个超越函数作为高中数学的重要内容之一，函数是一个非常重要的概念。
在高中数学中，有一些特殊的函数具有比较重要的意义，被称为“超越函数”。
今天我们来介绍一下高中数学中的6个超越函数。
一、指数函数指数函数是形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。
这个函数有着非常重要的应用，它表达了一种指数增长的趋势。
指数函数的导数也有非常特殊的性质，即其导数等于其本身。
指数函数在金融、经济学等领域非常有用。
二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，是形如y=loga(x)的函数，其中a>0且a≠1。
对数函数的导数也非常特殊，它的导数等于1/x。
对数函数有着非常广泛的应用，在物理、化学、统计学、计算机科学等领域都有着非常广泛的应用。
三、三角函数三角函数是由正弦、余弦、正切、余切等函数组成的一族函数。
三角函数在几何学、物理学、工程学等领域有着非常广泛的应用。
它们可以用于描述旋转、震动等现象。
四、指数对数函数指数对数函数是一种常见的超越函数，它由指数函数和对数函数组成。
指数对数函数的图像非常特殊，它的图像在x轴左侧单调下降，在x轴右侧单调上升。
指数对数函数在物理学、化学、生物学、计算机科学等领域有着重要的应用。
五、双曲函数双曲函数是一类类似于三角函数的函数，它由双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切等函数组成。
双曲函数在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
六、反三角函数反三角函数是一种与三角函数相反的函数，它由反正弦、反余弦、反正切等函数组成。
反三角函数可以用于解决三角函数的反问题，以及一些复杂函数的求导问题。
以上就是高中数学中的6个超越函数。
这些函数在数学和科学的各个领域都有着重要的应用，是我们在学习数学时必须掌握的知识点。
高中常见六大超越函数图像性质简单应用
表给出 ′ 在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
（4）确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的
变化趋势；
（5）画出f(x)的大致图象.
ex
y
x
x
y x
e
y x.ln x
y
ln x
1
（1，）
e
0
e
e
e
e
解：由题意得：eax - x 0可得：
lnx
ax lnx，
a
x
ln x
构造函数g（x )
,h(x ) a ,结合两个函数图像
x
1
可得：a - ，
0
e
四.课堂小结
谈谈本节课你的收获有哪些？
五.作业布置
基础教育精品课
探究六大超越函数
年 级：高中三年级
主讲人：张争
学
学
科：数学
校：罗山县莽张高中
教学目标：
1.经历探究六大超越函数极值、最值，图像及性质过程。
2.会求超越函数极值、最值，并画出图像。
3.利用导数解决与函数有关的问题。
一、复习导入
上节课我们学习了利用导数来研究简单函数的极值和最值，让我们来回
x
f（x）
x2
x2
令f（x） 0可得：x e
当x （0，e），f（x ) 0,f (x )单调递增
当x （e ,),f (x ) 0,f (x )单调递减
1
f (x )有极大值，f(e）
e
问题2：两个函数的最值找不出来怎么办？
重难点：导数中的同构问题12大题型(学生版)-高中数学
重难点：导数中的同构问题12大题型一、常见同构模型①对于xf (x)+f(x)>0(<0)，构造h(x)=xf (x)；一般的，对于xf (x)+nf(x)>0(<0)，构造h(x)=x n f(x)．②对于xf (x)-f(x)>0(<0)，构造h x =f xx；一般的，对于xf(x)-nf(x)>0(<0)，构造h(x)=f(x) x n．③对于f (x)-f(x)>0(<0)，构造h x =f xe x；一般的，对于f (x)-nf(x)>0(<0)，构造h(x)=f(x)e nx．④对于f (x)+f(x)>0(<0)，构造h x =e x f x ；一般的，对于f (x)+nf(x)>0(<0)，构造h(x)=e nx f(x)．⑤对于f (x)>f(x)tan x(或f (x)<f(x)tan x)，即f (x)cos x-f(x)sin x>0(<0)，构造h(x)=f(x)cos x．⑥对于f (x)cos x+f(x)sin x>0(<0)，构造h(x)=f(x) cos x．⑦对于f (x)f(x)>0，构造h(x)=ln f(x).⑧对于f (x)+ln af(x)>0(<0)，构造h(x)=a x f(x).⑨对于f (x)ln x+f(x)x>0(<0)，构造h(x)=f(x)ln x.⑩乘积同构模型：(11)商式同构模型：(12)和差同构模型：二、六大超越函数图像表达式图像极值点y=x ln x(x>0)1e,-1ey=xe x-1,-1ey=xln x(e,e)y=e xx1,ey=ln xx (x>0)e,1ey=xe x1,1e三、添项同构乘法同构：ln a ⋅e x ln a >ln x ⇔x ln a ⋅e x ln a >ln x ⋅e ln x ，对变形要求低，找亲戚函数xe x 与x ln x 易实现，但构造的函数xe x 与x ln x 均不是单调函数加法同构：a x >log a x ⇔a x +x >log a x +x =a log ax +log a x ，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围.四、常见结构①a x >log a x ⇒e x ln a>ln x ln a⇒x ln a ⋅e x ln a >x ln x =ln x ⋅e ln x ⇒x ln a >ln x ⇒a >e 1e；②e λx >ln x λ⇒λe λx >ln x ⇒λx ⋅e λx >x ln x ⇒λx ⋅e λx >ln x ⋅e ln x ⇒λx >ln x ⇒λ>1e ；③e ax +ax >ln x +1 +x +1=e ln x +1+ln x +1 ⇒ax >ln x +1④xe x=ex +ln x≥x +ln x +1；x +ln x =ln xe x ≤xe x -1题型归纳题型一：同构训练1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)log 2x -k ⋅2kx ≥0(2)e 2λx -1λln x ≥0；(3)x 2ln x -me m x≥0(4)a e ax +1 ≥2x +1xln x (5)a ln x -1 +2x -1 ≥ax +2e x (6)x +a ln x +e -x ≥x a (x >1)(7)e -x -2x -ln x =0(8)x 2e x +ln x =0．题型二：利用f (x )与x 构造2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，xf (x )-f (x )x 2>0，且f -2=0，则不等式f (x )x >0的解集是()A.-2,0 ∪0,2B.-∞,-2 ∪2,+∞C.-2,0 ∪2,+∞D.-∞,-2 ∪0,23.已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，且x -1 f x +f x >0,f 2-x =f x e 2x -2，则不等式f ln x e 2<f 2x 的解集是()A.0,e 2B.1,e 2C.e ,e 2D.e 2,+∞4.已知f (x )为偶函数，且f (1)=0，令F (x )=f (x )x2，若x >0时，xf (x )-2f (x )>0，关于x 的不等式F (ln x )<0的解集为()A.x 1e <x <1 或1<x <e B.x 0<x <eC.x 1e <x <eD.x 0<x <1e或x >e 5.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)=4，当x >0时，有xf (x )+2f (x )>0，则f (x )>16x2的解集为．题型三：利用f (x )与e x 构造6.已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数为f '(x )，对任意x ∈R ，f '(x )>f (x )恒成立，且f (1)=1，则不等式ef (x )>ex 的解集为()A.(1，+∞)B.[1，+∞)C.(-∞，0)D.(-∞，0]7.已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数为f '(x )，且满足f (x )>f '(x )对∀x ∈R 恒成立，e 为自然对数的底数，则A.e 2017f (2018)<e 2018f (2017)B.e 2017f (2018)=e 2018f (2017)C.e 2017f (2018)>e 2018f (2017)D.e 2017f (2018)与e 2018f (2017)的大小不能确定8.已知函数f (x )定义域为R ，其导函数为f x ，且3f x -f x >0在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是()A.f 1 <e 3f 0B.f 1 <e 2f 0C.f 1 >e 3f 0D.f 1 >e 2f 09.已知函数f (x )是定义域R 上的可导函数，其导函数为f (x )，对于任意的x ∈R ,f (x )<-f (x )恒成立，则以下选项一定正确的是()A.5f (ln5)<2f (ln2)B.6f (ln6)>3f (ln3)C.2f (ln5)>5f (ln2)D. 3f (ln6)<6f (ln3)题型四：函数f (x )与sin x ，cos x 的构造10.已知函数f (x )的定义域为(0,π)，其导函数是f (x )．若f (x )sin x -f (x )cos x >0恒成立，则关于x 的不等式f (x )<2f π6sin x 的解集为()A.0,π6B.π6,πC.-∞,π6D.π6,π211.已知奇函数f x 的定义域为-π2,π2 ，且f ′x 是f x 的导函数，若对任意x ∈-π2,0 ，都有f ′x cos x +f x sin x <0则满足f θ <2cos θ⋅f π3的θ的取值范围是()A.-π2,π3 B.-π2,π3 ∪π3,π2 C.-π3,π3D.π3,π212.已知函数y =f x 对任意的x ∈-π2,π2 满足f (x )cos x -f x sin x >0(其中f x 是函数f x 的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f -π3>2f -π4 B.f π3<2f π4 C.2f 0 <f π3D.2f 0 >f π413.(多选)已知函数y =f x 是偶函数，对于任意的x ∈0,π2满足f x cos x +f x sin x >0(其中f x 是函数f x 的导函数)，则下列不等式成立的是()A.2f π3 <f π4 B.3f -π4 >2f -π6C.3f π4 <2f -π6D.f π6<3f -π3题型五：利用同构比大小14.(2024·四川·模拟预测)已知a =ln 32,b =13,c =e -2，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a15.(2023·广东·模拟预测)已知a =tan0.01，b =1-cos0.01，c =0.015，则()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a16.(2024·安徽芜湖·模拟预测)已知a =19，b =ln 109，c =(lg11-1)ln9，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b 17.(2025·全国·模拟预测)已知a =3π，b =e π，c =πe ，则它们的大小关系是()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.a >c >b题型六：化为和差同构模型18.若不等式x m e x +x ≤e mx +mx m x -ln x 恒成立，则实数m 的取值范围是()A.1e +1,+∞ B.1,+∞C.ee -1,+∞ D.e -1,+∞19.函数f x =e mx +m -1 x -ln x m ∈R ．若对任意x >0，都有f x ≥0，则实数m 的取值范围为．20.已知不等式ln x +a ≤e x -a 对∀x ∈1,+∞) 恒成立，则a 的取值范围为.21.已知λ>0，对任意的x >1，不等式e 2λx -ln x2λ≥0恒成立，则λ的取值范围为.题型七：化为乘积，商式同构模型22.若关于x 的不等式e a +x ⋅ln x <x 2+ax 对∀x ∈(0,1)恒成立，则实数a 的取值范围为()A.-∞,0B.-1,0C.-1,+∞D.0,+∞23.设实数a >0，若不等式a e 2ax +1 ≥x +1xln x 对任意x >0恒成立，则a 的最小值为()A.12eB.1eC.eD.2e24.已知函数f x =ax 2ln x -x ln ax 2，若对任意x ∈e -12,1 ，都有f x <0，则a 的取值范围为.25.已知函数f x =e x -e a a +ln x .(1)当a =1时，求f x 的单调递增区间；(2)若f x ≥0恒成立，求a 的取值范围.题型八：添项后构造乘积型同构模型26.若存在正实数x ，使得不等式a ⋅2ax ⋅ln2-ln x ≤0a >0 成立，则a 的最大值为．27.若存在正实数x ，使得不等式1aln x ≥3ax ln3a >0 成立(e 是自然对数的底数)，则a 的最大值为.28.已知正数x ,y 满足y ln x +y ln y =e x ，则xy -2x 的最小值为．29.已知正数x ，y 满足y ln x +y ln y =e x ，则函数f x =xy sin x +cos x (0<x ≤2024π)的极小值点的个数为．题型九：添项后构造和差型同构模型30.已知不等式e x ≥a a x -1eln a >0 恒成立,则实数a 的最大值为31.已知不等式x +a ln ≤e x -a 对∀x ∈1,+∞ 恒成立，则a 的取值范围为．32.已知ae ax -ln x +2a-2≥0在-2a ,+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围．题型十：同构后再换元构造新函数33.已知f (x )=axe 2x a ∈R ，若关于x 的f (x )-2x -x ln ≥0恒成立，求实数a 的取值范围.34.已知函数f (x )=2x -a x ln ，若函数f (x )≥a +2 x -xe x 恒成立，求实数a 的取值范围．35.已知函数f (x )=x ln -x -xe -x -k 恒有零点，则实数k 的取值范围是()A.-∞,-1B.-∞,-1-1eC.-1-1e,-1 D.-1-1e ,0方法1：同构要使f (x )=x ln -x -xe -x -k 恒有零点，只需k =x ln -x -xe -x =x ln -x -e xln e -x设x ln -x =t ，求导可知t ∈-∞,-1而k =t -e t ，求导可知函数k =t -e t 在-∞,-1 上单调递增，故k ∈-∞,1-1e方法2：分参求导k =x ln -x -xe -x ，令g (x )=x ln -x -xe -x ，则g (x )=1x -1-e -x +xe -x =1-x 1x -1ex∵1x -1ex >0故g (x )=x ln -x -xe -x 在0,1 递增，1,+∞ 递减，故g (x )max =g (1)=-1-1e，故选B .注：由常见不等式e x ≥x +1得到，即e x -x >01x -1ex >0；或者令h (x )=1x -1e x =e x -x xe x，h (x )=e x -1x 2e 2x ，因为x >0,故h (x )>0方法3：直接求导(可以消掉k )f(x )=1x -1+x e x -1e x =-xe x +e x +x 2-x xe x =x -1 x -e xxe x，不难得出x -e x 在0,+∞ 上恒小于0，故f (x )在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上递减，故f (x )max =f (1)=-1-1e -k ，当x 0时，f (x ) -∞，故f (x )的值域为-∞,-1-1e -k ，则-1-1e -k ≥0 k ≤-1-1e .题型十一：同构后放缩36.已知函数f (x )=m ln (x +1)-mx ，若不等式f (x )>x +1-e x 在0,+∞ 上恒成立，则实数m 的取值范围是.37.已知a >b >1，若e a +be a =ae b +1+a ，则A.ln (a +b )>1 B.ln (a -b )<0 C.3a +3-b <23 D.3a -1<3b【答案】A总结：一般都是去括号，这题反过来，可能一下子看不出来，后续计算量很小第一步，提公因式：e a +be a =ae b +1+a ⇒b +1 e a =a e b +1+1第二步，局部同构：b +1 e a =a e b +1+1 ⇒b +1e b +1+1=ae a 第三步，构造函数：令g (x )=x e x ，易知g (x )在1,+∞ ↓，则有g (b +1)=b +1e b +1>b +1e b +1+1=ae a ，故g (b +1)>g (a )⇒b +1<a ，则A 正确38.若正实数a ，b 满足a ln b -ln a +a ≥be a -1，则1ab的最小值为．题型十二：局部同构39.已知函数f(x)=ax+ln x+1-xe2x对任意的x>0，f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为()A.(-∞，0]B.(-∞，2]C.(-∞，1]D.(-∞，3]40.若当x∈0,π2时，关于x的不等式e x-x cos x+cos x lncos x+ax2≥1恒成立，则满足条件的a的最小整数为()A.1B.2C.3D.441.已知关于x的不等式e x-1+a>a ln ax-2a(a>0)恒成立，则实数a的取值范围为.巩固提升1.(2024·山东潍坊·三模)已知函数f x 的导函数为f x ，且f1 =e，当x>0时，f x <1x+e x，则不等式f x -ln xe x>1的解集为()A.0,1B.0,+∞C.(1,+∞)D.0,1∪1,+∞2.(2024·重庆沙坪坝·二模)已知a=1e，b=ln33，c=ln55，则a，b，c的大小关系为()A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b3.(2024沈阳市一模)设定义域为R的函数f x 满足f x >f x ，则不等式e x-1f x <f2x-1的解集为()A.-∞,eB.-∞,1C.e,+∞D.1,+∞4.(2024·广东佛山·模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为0,+∞,f2 =-1，且f x + xf x =1对于x∈0,+∞恒成立，则()A.f1 =0B.f3 =0C.f4 =0D.f6 =05.(2024陕西省宝鸡市二模)已知函数f x 的定义域为-3,3，其导函数为f x ，对任意x∈R,f x > f x 恒成立，且f1 =1，则不等式ef x >e x的解集为()A.1,3B.1,+∞C.-3,1D.-1,16.(2024·广西柳州·一模)已知f x 是定义在0,π上的函数f x 的导函数，有f x cos x>f x sin x，若a=fπ3，b=0，c=-3f5π6 ，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b7.(2023·河南信阳·一模)已知函数y=f(x)对x∈(0,π)均满足f (x)sin x-f(x)cos x=1x-1，其中f (x)是f(x)的导数，则下列不等式恒成立的是()A.2fπ6<fπ4 B.fπ3 <32fπ2 C.fπ3 <f2π3 D.32fπ2 <f2π38.(多选)(2024·湖南长沙·三模)设函数f(x)在R上存在导函数f (x)，对任意的x∈R有f(x)+f(-x)= x2，且在[0,+∞)上f (x)>x，若f(2-a)+2a>f(a)+2，则实数a的可能取值为()A.-1B.0C.1D.29.(多选)(2024·湖北·二模)已知x>y>0，则下列不等式正确的有()A.e x-e y>x-yB.ln x-ln y>x-yC.ln x≥1-1x D.e xy>eyx10.(多选)(2023·河北保定·三模)已知2n-1⋅ln1+lg2023>lg2023⋅ln2+ln n，满足条件的正整数n 的值有()A.2B.3C.4D.511.(多选)(2024·贵州遵义·三模)已知定义在0,+∞上的函数f x 的导函数为f x ，且不等式xf x + 2f x >2恒成立，则()A.4f1 -f12>3 B.4f2 -f1 <3 C.9f3 -4f2 >3 D.16f2 -f12 >15 12.(2024·湖南·三模)已知e是自然对数的底数．若∀x∈0,+∞，me mx≥ln x成立，则实数m的最小值是．13.(2024·云南·模拟预测)已知f x 是定义域为0,π2的函数f x 的导函数，且f x sin x+f x cos x<0，则不等式f x sin x>12fπ6的解集为．14.(2024高三第二次模拟考试数学(理)试题)定义在R上的偶函数f x 的导函数满足f x <f x ，且f x ⋅f x+3=e2，若f2015=e，则不等式f x <e x的解集为．15.(2024·广东东莞·三模)若a=2,b=e1e,c=π1π，则a,b,c的大小关系为 ．16.(2024·广东深圳·一模)已知定义在0,+∞上的函数f x =x⋅e ax.(1)若a∈R，讨论f x 的单调性；(2)若a>0，且当x∈0,+∞时，不等式e axx2a≥ln x ax恒成立，求实数a的取值范围.走进高考1.(2022·全国·高考真题)设a=0.1e0.1,b=19，c=-ln0.9，则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b2.(2021·全国·高考真题)设a=2ln1.01，b=ln1.02，c= 1.04-1．则()A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b3.(2007·陕西·高考真题)f x 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′x +f x ≤0．对任意正数a，b，若a<b，则必有()A.af b ≤bf aB.bf a ≤af bC.af a ≤f bD.bf b ≤f a4.(2023·全国·高考真题)已知函数f x =ax-sin xcos2x ,x∈0,π2．(1)当a=1时，讨论f x 的单调性；(2)若f x +sin x<0，求a的取值范围．5.(2023·天津·高考真题)已知函数f x =1x +1 2ln x+1．(1)求曲线y=f x 在x=2处的切线斜率；(2)求证：当x>0时，f x >1；(3)证明：56<ln n!-n+12ln n+n≤1．6.(2021·全国·高考真题)已知函数f x =x1-xln.(1)讨论f x 的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b aln-a bln=a-b，证明：2<1a +1b<e.。