一个极限公式的推广
数学极限计算公式整理
数学极限计算公式整理在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数在某个点无限接近某个数值或某个函数在自变量趋于无穷大或无穷小时的性质。
计算极限时，我们经常会用到一些常见的公式和技巧。
本文将对数学极限计算中常用的公式进行整理和总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、基本极限公式1. 常数公式：对于任意实数a，有lim(x→a) = a。
这意味着当自变量x趋于常数a时，函数的极限值等于a。
2. 幂函数公式：对于任意正整数n，有lim(x→a) x^n = a^n。
这个公式可以推广到任意实数n。
3. 自然对数的极限公式：lim(x→0) ln(1 + x) = 0。
这个公式经常用于计算一些复杂函数的极限。
二、常见极限公式1. 三角函数极限公式：a) lim(x→0) (sin x) / x = 1。
b) lim(x→0) (1 - cos x) / x = 0。
c) lim(x→∞) sin x / x = 0。
2. 指数函数和对数函数极限公式：a) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。
b) lim(x→∞) log(1 + x) / x = 1。
3. 无穷小量的极限公式：a) lim(x→0) sin x / x = 1。
b) lim(x→0) (1 - cos x) / x^2 = 1/2。
三、极限的四则运算法则极限具有四则运算法则，即对于两个函数f(x)和g(x)，在它们的极限存在的情况下，有以下公式：1. lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)。
2. lim(x→a) (f(x) * g(x)) = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
3. lim(x→a) (f(x) / g(x)) = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）。
一个重要极限的新证及其推广
无 穷 小 ） 无穷大 广：
，结合二项式定理，我们可以得到如下两个推
推广 1设 在同 一极 限过 程下
，
，且
存在，则
或
。
证明：由于在同一极限过程下
，
，存
在
，且 与
是等价无穷小量，故
，
故 单调递增，又因
故
，即 有上界.
根据数列极限的存在准则知
，
的极限存在，由于这 ）记为 ，因此
（二）整合资源，完善篮球场馆设施 在现有基础上加大体育经费的投入，建立多元化的经费投入体 制。合理开发利用现有篮球场地，在充分保证好场地经费专款专用 的情况下，合理吸纳社会资金投入到学校篮球场馆的兴建。在兴建 新篮球场地有困难的情况下，尽量改善现有露天篮球场地设施，主 要办法是多配置灯光球场以解决晚上没场地活动的矛盾，有条件的 学校可多加盖风雨篮球棚解决因天气原因不能参与锻炼的问题。在 场地的兴建中要注意考虑学生课外锻炼的方便性，可在宿舍区附近 尽量多修建一些场地。 （三）在内容与组织形式上强化科学组织与管理 高校开展课外篮球活动应结合本校的实际情况，突出篮球运 动的群众性、健身性、趣味性和科学性。在学校常规赛事举办的同 时，多开展小型多样、层次鲜明、有组织、趣味性强的各种课外篮
［责任编辑：周志媛］
（上 接第 109页）
球活动在宏观上有了体制和领导保障。通过领导提高认识，更新观 念，建立管理机构，构建课外篮球活动的网络组织管理体系，建立 网络交流平台，在具体的实施操作过程中，做到以篮球俱乐部的开 展为核心，成立不同性质的篮球Q群，招纳广大篮球爱好者；以篮 球协会和学校、院系高水平篮球队为重点，作为业余篮球爱好者的 精神动力；以义务指导提高篮球技术水平为补充，主要针对篮球水 平较差，家庭经济困难的学生，依托体育专业篮球教师，学生处和 校团委具体负责，以保障不同级别，不同的学生群体都有参与课外 篮球活动机会的组织机构体系。
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
重要极限limx→∞11xxe的推广1∞型极限的求法
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两个重要极限及其应用
两个重要极限及其应用作者：刘凤艳来源：《科技资讯》2011年第31期摘要：本文讨论两个重要极限及它们的应用，使学生快速找到解决此类求极限问题的方法。
关键词：重要极限应用方法中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)11(a)-0189-01《高等数学》微积分学中有两个重要极限公式，这两个重要极限的变形，在求解极限问题时也有一些重要应用。
1 第一个重要极限的推广式其中是连续的函数。
也就是说首先分子分母的比值是型，其次正弦后面的表达式和分母的表达式是相同的，这时就可以应用重要极限的推广式。
例1:求。
解：例2:求。
解：例3:求。
解：从以上三例题可以看出，只要是，都有，而又分为这三种情况。
2 第二个重要极限的两种推广形式(1)例4:求。
解：例5:求。
解：例6:解：从这几道例题可以看出，只要满足推广形式1即可应用第二个重要极限。
而又有三种情况：(2)例7:求解：故也可利用以下结论：，，则只要满足推广形式2即可应用第二个重要极限。
而又有三种情况：。
无论是哪个重要极限，无论是或者是，都不是单指一个数的变化趋势，而是一个式子或者是一个函数的变化趋势。
参考文献[1] 同济大学数学系.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2007:50.[2] 张喜堂.两个重要极限,函数的连续性[J].数学通讯，2001:38～39.[3] 郭爱主.谈两个重要极限的应用[J].湖南民族职业学院学报.2010:82～84.。
第六节极限四则运算法则
极限的四则运算法则
复合函数的极限运算法则
由于根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函 数ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的 计算问题, 下面介绍极限的运算法则.
一、 极限的四则运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
(1)=
lim
n
1
(1
1 (1)2n 1) …
(1
1)
2.
x
1时,f
(x)
(1
1 x2n
x ) lim n
1
x 2 n1
1
x
x
1时,f ( x) (1
x ) lim n
1
x2n 1
x2n
1 x
x1 x
所以
1 x
f
(
mn
m n, mn
分子, 分母同时除以自变量的最高次幂, 然后再求极限.
例5
已知
lim
x
x
x1997 ( x 1)
,
求常数 , .
解
lim
x
x
x1997 ( x 1)
lim
x
x 1
x1997
( 1)
x 2
... 1
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
重要极限的推广及其应用
重要极限1lim 1+xx e x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭的推广及其应用1 引言极限1lim 1+xx e x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭是高等数学中的重要极限之一.它在数学、经济等各领域都有广泛的应用.此重要极限公式无论在极限内容还是在实际生活应用中都占有十分重要的地位，也是目前竞争激烈的全国硕士研究生数学系统考试中重点测试内容之一.但是，不少学生对该重要公式的本质特征和计算方法缺乏全面、深刻地认识，在解题和实际生活应用中经常犯错误，因此进一步学习和研究此重要极限公式，有利于我们更加深刻的理解和灵活应用此重要极限，进一步利用此重要极限解决实际问题，以达到将理论知识与实际问题相结合的目的，这对于开阔学生思维、激发学习兴趣有积极的促进作用，从而可以激发学生讨论新知，调动学生的积极性.本文在分析重要极限1lim 1+xx e x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭的5个基本特征基础上，给出了7个推广定理，并给予证明，其次举例说明推广公式的优越性，同时得到了一些容易掌握的应用技巧，最后给出了此重要极限公式在实际生活中的简单应用.2 预备知识引理 设在同一极限过程下，若()()lim 0,lim f x a g x b =>=(a b ，为有限数)，则()()lim g x b f x a =.（证明略）3 重要极限公式的本质特征此重要极限公式的标准形式: e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ，另两种变形为: ()10lim 1x x x e →+=，1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，通过观察此重要极限的三种形式，我们可以发现如下特征: (1)在使用它求极限时，必须使函数出现()()11⎡⎤+⎢⎥⎣⎦形式.(2)()1部分趋于0，指数部分趋于∞.(3)()1部分与指数部分互为倒数.(4)()11+部分的极限值为1，指数的极限值为∞，属于“1∞”型.(5)极限式子只与形式有关，与用什么变量表示无关.注 ①不论重要极限e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 如何变形，它总是属于“1∞”型未定式极限类型.②在计算极限时，若是“1∞”型，可利用重要极限e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .求极限的关键是将所给的函数或数列做适当变换，使其具有公式中相应的形式.4 重要极限公式的推广及其应用定理 1 若()0lim 0t t f t →=，则()()01lim 1f t t t f t e →+=⎡⎤⎣⎦.证明 设()x f t =，则()00lim lim 0t t x f t x →→==.故()()()011lim 1lim 1f t xt t x f t x e →→+=+=⎡⎤⎣⎦.证毕定理 2 若()0lim t t g t →=∞，则()()01lim 1g t t t e g t →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦.证明 设()x g t =，则()0lim lim t t x g t x →→∞==∞.故()()011lim 1lim 1g t xt t x e g t x →→∞⎡⎤⎛⎫+=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.证毕 例1 求极限()0lim 1lxx kx →+(k l ，为任意常数且0k ≠)．解 法一 应用定理1和引理令()f x kx =，则()0lim 1lxx kx →+=()()10lim 1klkl f x x f x e →⎧⎫+=⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭. 法二 应用定理2和引理令()1g x kx =，则()0lim 1lxx kx →+=()()01lim 1klg x kl x e g x →⎧⎫⎡⎤⎪⎪+=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭. 例2 求极限()0log 1limx x xα→+.解 这是一个“”型未定式. 法一 利用洛必达法则()0log 1lim x x xα→+=()011ln 1lim 1ln x x αα→+=.法二 要想使用重要极限e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ，必须将“00”型变形为“1∞”型因为()()()1log 11log 1log 1x x x x x xααα+=+=+， 所以由定理1可知()0log 1lim x x x α→+=()()11001limlog 1log lim 1log ln x x x x x x e αααα→→+=+==. 例 3 极限()tan 2lim 1cot xx x π→+.解 法一 应用定理1令()cot f x x =，则()2lim 0x f x π→=．故()()()1tan 22lim 1cot lim 1xf x x x x f x e ππ→→+=+=⎡⎤⎣⎦.法二 应用定理2令()tan g x x =，则()2lim x g x π→=∞．故()()()tan 221lim 1cot lim 1g x xg x x x x e ππ→→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦.定理 3 设在0t t →下，若()f t 为无穷小，且()()1~f tg t ，则()()0lim 1g t t t f t e →+=⎡⎤⎣⎦. 证明 因为在0t t →下，()f t 为无穷小，且()()1~f tg t ， 所以()0lim 0t t f t →=，()1lim0t t g t →=且()()0lim 1t t f t g t →=．因为()()()()()()ln 1ln 11g t g t f t g t f t f t ee++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+==⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()()ln 1000lim ln 1lim 1lim g t f t t t g t g t f t t t t t f t ee+⎡⎤⎣⎦→+⎡⎤⎣⎦→→+==⎡⎤⎣⎦．因为0t t →，()0f t →，所以()()0ln 1lim 1t t f t f t →+⎡⎤⎣⎦=.即当0t t →时，()()ln 1~f t f t +⎡⎤⎣⎦．所以()()()()ln 10lim lim 1g t f t t t t t f t g t eee e +⎡⎤⎣⎦→→===.证毕例 4 求极限()1lim 1sin kxx kx →+(k 为任意常数，且0k ≠).解 当0x →时，sin ~kx kx ，由定理3可知()10lim 1sin kxx kx e →+=.定理 4 设在0t t →下，若()f t 为无穷小，且()()~f t g t ，则()()01lim 1g t t t f t e →+=⎡⎤⎣⎦.证明 因为在0t t →下，()f t 为无穷小，且()()~f t g t ， 所以()0lim 0t t f t →=，()0lim 0t t g t →=且()()lim1t t f t g t →=． 因为0t t →，()0f t →，所以()()ln 1~f t f t +⎡⎤⎣⎦． 因为()()()()()()111ln 1ln 11g t f t f t g t g t f t ee+⎡⎤⎣⎦+⎡⎤⎣⎦+==⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()()()()1ln 100011ln 1limlim 1lim 1lim f t g t t t t t f t f t g t g t g t t t t t f t ee ee e +⎡⎤⎣⎦→→+⎡⎤⎣⎦→→+=====⎡⎤⎣⎦.证毕推论 若()0lim 0t t f t →=，()0lim 0t t g t →=，且()()0ln 1limt t f t k g t →+⎡⎤⎣⎦=(k 为常数)，则()()01lim 1k g t t t f t e →+=⎡⎤⎣⎦.例 5 ()11lim 32kx x x -→-，其中k 为常数.解 ()()1111lim 32lim 121k k x x x x x x --→→-=+-⎡⎤⎣⎦令()()21f x x =-，()1x g x k-=， ()()()()111ln 1ln 1212limlim lim 21121x x x f x x k k x g x x k→→→++-⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦===--+-. 由推论可知()211lim 32k k x x x e --→-=.定理 5 设在0t t →下，()()()()f t g t u t v t ，，，都是无穷小，且()()()()~~f t u t g t v t ，，则()()01lim 1g t t t f t →+=⎡⎤⎣⎦()()1lim 1v t t t u t →+⎡⎤⎣⎦.证明 因为在0t t →下，()()f t u t ，都是无穷小，且()()~f t u t ， 所以()()()()ln 1~~~ln 1f t f t u t u t ++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．所以()()()()()()()()001111ln 1ln 1lim 1lim lim lim 1f t u t g t v t g t v t t t t t t t t t f t eeu t ++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦→→→→+===+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.证毕例 6 求极限()10lim sin cos xx x x →+.解 ()()11lim sin cos lim 1sin cos 1xx x x x x x x →→+=++-⎡⎤⎣⎦因为00sin cos 1cos sin limlim 11x x x x x xx →→+--==，所以当0x →时，sin cos 1~x x x +-． 由定理4和定理5可知()1lim sin cos xx x x →+=()()110lim 1sin cos 1lim 1xxx x x x x e →→++-=+=⎡⎤⎣⎦.例 7 求极限1lim tan 4nn n π→∞⎛⎫+⎪⎝⎭. 解 当n →∞时，11tan~n n，应用定理5 1lim tan 4n n n π→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=111lim 1tan lim 11tan lim 1111tan lim 1tan lim 1nnnn n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ⎪⎛⎫⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=211lim 11nnn e n n -→∞⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.注 ①由例4，6我们可以发现，推广公式大大简化了一类“1∞”型未定式极限.②例4，6，7在计算过程中都用到了等价无穷小，这就说明利用等价无穷小替换的方法为计算极限带来极大的方便，常用的等价无穷小有: 当0x →时，sin ~tan ~arcsin ~arctan ~x x x x()ln 1~1~xx e x +-，21cos ~2x x -，()11~x x αα⎡⎤+-⎣⎦．这样，我们可以利用等价无穷小将“1∞”型极限的计算进行推广，简化.定理3中要求在0t t →下，()f t 为无穷小，且()()1~f tg t ，这一要求条件相对较强，在实际解题过程中具有局限性，故可对定理3做如下推广，得到定理6.定理 6 若()0lim 0t t f t →=，()0lim t t g t →=∞，且()()0lim t t f t g t k →=(k 为常数)，则()()0lim 1g t k t t f t e →+=⎡⎤⎣⎦或()()0lim 1g t k t t f t e -→-=⎡⎤⎣⎦.证明 因为()0lim 0t t f t →=，所以()()ln 1lim1t t f t f t →+⎡⎤⎣⎦=.即当0t t →时，()()ln 1~f t f t +⎡⎤⎣⎦．因为()()()()()()ln 1ln 11g t g t f t g t f t f t ee++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+==⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()()()()ln 1000lim lim ln 1lim 1lim g t f t t t t t f t g t g t g t f t k t t t t f t eeee +⎡⎤⎣⎦→→+⎡⎤⎣⎦→→+====⎡⎤⎣⎦.同理可证()()0lim 1g t k t t f t e -→-=⎡⎤⎣⎦.证毕例 8 求极限()10lim sin cos mxx kx lx →+(k l m ，，为任意实数，且0m ≠).解 ()()110lim sin cos lim 1sin cos 1mxmxx x kx lx kx lx →→+=++-⎡⎤⎣⎦令()()1sin cos 1,f x kx lx g x mx=+-=， ()()000sin cos 1cos sin lim lim lim x x x kx lx k kx l lx kf xg x mx m m→→→---===. 由定理6可知()1lim sin cos k mmxx kx lx e →+=.例 9 求极限11lim nxx i i x a n =→⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑，其中0i a >，n 为正整数. 解 令()()1111nnx x iii i aaf x nn==-=-=∑∑，()1g x x=，当0x →时，()0f x →，()g x →∞， 且()()0001111lim lim lim x x nn i i x x x i i a a f x g x nx nx →→→==⎛⎫--=== ⎪⎝⎭∑∑()11211ln 1ln ln n ni ni n i i a a a a a n n ====∑∑．由定理6可知()1121ln 120lim nn nxx i a a a i n x a e a n =→⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑.定理 7 ()0lim t t f t →=∞，()0lim 1t t g t →=，且()()0lim 1t t f t g t k →-=⎡⎤⎣⎦(k 为常数)，则 ()()lim f t k t t g t e →=.证明 ()()()()()()()()()()1111111f t g t f t f t g t g t g t g t -⎡⎤⎣⎦-⎧⎫⎡⎤⎡⎤=+-=+-⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭=()()()()()()()()()()11111ln 111ln 11f t g t g t g t g t f t g t g t ee-⎡⎤⎣⎦--⎧⎫⎪⎪⎡⎤+-⎨⎬⎣⎦⎡⎤-+-⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎣⎦=.()()()()()()()()()111111lim ln 11ln lim 11ln 11ln lim 0g t g t g t t t t t g t g t g t e t t ee ee e ---→→⎡⎤⎡⎤+-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦+-⎣⎦→====>，()()0lim 1t t f t g t k →-=⎡⎤⎣⎦． 由引理可知()()lim f t k t t g t e →=.证毕例 10 求极限n解 这是一个“0∞”型未定式， 要想使用重要极限e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ，必须将“0∞”型变形为“1∞”型.ln 11ln nn nn ee ⎛⎫== ⎪⎝⎭.当n →∞时，11,ln ne n →→∞.令()()1ln ,nf n ng n e ==.由定理7可知，只需求出1lim 1ln n n e n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭即可.11ln 1lim 1ln lim 1nnn n n e e n n n→∞→∞⎛⎫--=⋅ ⎪⎝⎭. 因为1ln 1lim0,lim 11nn n n e n n→∞→∞-==，所以1lim 1ln 0nn e n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由定理7可知01n e ==.例 11 求极限()tan 2lim sin xx x π→.解 令()()tan sin f x x g x x ==，，()()()()2222sin sin 1lim 1lim sin 1tan limlim cos 0cos x x x x x x g x f x x x x x ππππ→→→→--=-==-=⎡⎤⎣⎦.由定理7可知()tan 02lim sin 1xx x e π→==.例 12 求极限cot 0lim tan 4xx x π→⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.解 法一 cot cot 001tan lim tan lim 41tan xxx x x x x π→→⎡⎤-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦1tan 22tan 1tan 201lim 11tan 2tan x x xx e x x +-⋅-+-→⎛⎫⎪=+= ⎪+ ⎪-⎝⎭.法二 令()()cot tan 4f x x g x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，，()()00001tan 2lim 1limcot tan 1limcot 1lim 241tan 1tan x x x x x f x g x x x x x x π→→→→⎡⎤--⎛⎫⎛⎫-=--=-==-⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦++⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由定理7可知cot 20lim tan 4xx x e π-→⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.注 以上7个定理和一个推论是重要极限e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 直接变形或间接变形得到的，它们之间存在着相互关系:定理1，2是此重要极限的直接变形;定理3，4是定理1，2的推广，推论是定理3的推广; 定理5是定理3，4的推广， 定理6，7又是定理3的推广.通过以上例题可知， 重要极限e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 不仅可以解决“1∞”型未定式的极限问题，还可以解决“0∞”型未定式，“”型未定式的极限问题，例如例2和例10.但我们应注意在解决“0⋅∞”型未定式的极限和“0∞”型未定式的极限时，则先要将其变为“1∞”型，然后根据以上定理的具体形式，选取合适的办法给予解决.除此之外还可以运用其它方法解决，在解决这种类型的习题时，还要根据具体情况，分析其类型，选取相应的公式和方法进行计算.当然，解决“1∞”型的极限问题，方法多种多样，例如：利用重要极限e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 进行“凑”的方法、利用洛必达法则等，这就要求我们在应用前先观察题型，若加数项与指数项互为“倒数”关系，要先观察其系数的情况，给予合理的配系数，例如例1就用到这种方法了;若遇到较为繁杂的极限问题时，等价无穷小的替换对推广定理的使用尤为重要.选取恰当的方法，有利于快速正确地得到答案.但是，我们应注意，不属于“1∞”型的极限问题不能使用这一重要极限.5 重要极限公式在实际生活的简单应用重要极限e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 在实际中的应用十分广泛，以下以金融方面连续复利和和洗衣问题为例做一简单说明.5.1 金融方面连续复利和设有一笔存款，本金为0m ，年利率为r ，期限为t 年，求到期时的本利和M .解 设一年计息n 次，复利周期为1n ，每期利率为r n .一年后的本利和为1101n r M m n ⋅⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两年后的本利和为2201n r M m n ⋅⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依次类推， t 年后的本利和为01n tt r M m n ⋅⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若n →∞，则000lim 1lim 1t r t rnn tr t n n r r M m m m e n n ⋅⋅⋅→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.注 在本金和年利率一定的情况下， 一年的计息数越多， t 年后的本利和越多，但不会超过0t r m e ⋅.5.2 洗衣问题假设洗衣服前先用少量水和洗衣粉浸泡，然后拧“干”，拧“干”后衣服上含有0m 克污物和0m 克水，用A 克水洗衣服，问怎样合理利用这A 克水才能把衣服洗的最干净?解 将A 克水分n 次使用，分别为),2,1(n i a i =克，令每次洗后拧“干”的程度相同. 第一次拧“干”后残留的污物量01100m m a M M =+，即01100011m a m a M M m m +=+=，第二次拧“干”后残留的污物量012212000111m m m a a a M M M ==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 用同样的做法，第n 次拧“干”后残留的污物量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=002010111M a M a M a M m n n ．衣服洗的最干净，即使n m 取最小值，nnnn i in nM A n M A n n M aM a M a M a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=00100020111111 ． 由上式可知，当0211nM Aa a a n +==== 时，衣服上的污物残留量n m 最少. 当∞→n 时，001lim lim M Ann n n e nM A m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→ . 注 随着洗衣次数的无限增多，衣服上的污物残留量不会无限的减少.讨论预备知识，有利于进一步研究此重要极限.讨论它的推广形式，有利于灵活运用此重要极限.通过具体例子，说明它的推广形式的可行性.将重要极限运用到实际当中，达到了将理论知识与实际问题相结合的目的.。
一个重要极限的简单推广及运用
一个重要极限的简单推广及运用作者：郭新来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014年第06期作者简介：郭新（1977—），女，河南濮阳人，濮阳职业技术学院数学与信息工程系，讲师，硕士。
研究方向: 概率论与高等数学教学。
摘要：第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它是解决未定型极限的一个重要工具。
但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握，是学生学习中的一个重点和难点。
本文在分析了limx→∞(1+1x)x=e及其常用推广公式的共同特征后，对其解决00型未定式求极限中作了进一步的推广，得到简易公式，并给出相应运用。
关键词：第二个重要极限；00型未定式；公式推广；运用中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1671—1580（2014）06—0153—02一、第二个重要极限limx→∞(1+1x)x=e的特征在高等数学课本中，一般都有第二个重要极限limx→∞(1+1x)x=e的简单推广公式：limx→∞(1+1口)口=e，limx→0(1+x)1x=e，limx→0(1+口)1口=e，方框“□”代表任意形式下的同一变量。
如limx→∞(1+1f(x))f(x)=elimx→0(1+f(x))1f(x)=e.它们的共同特征是：1.都是1∞型的未定式；2.求极限的函数都是幂指函数（幂指函数是指数形式，但底和指数部分都是函数），其形式皆为底函数为两项之和，且第一项必须为1，第二项与指数函数互为倒函数；3.底函数的第二项在趋向下极限为0。
但是对于形式不是幂指函数的函数，如对1∞型的未定式取对数，1∞型就变成了0·∞型，0·∞型又可变化为01∞，即00型。
转化后的0·∞型和00型表现形式都不再是幂指形式。
但其极限的求法仍需要用第二个重要极限来求。
下面我们给出几个00型未定式极限的推广公式。
二、第二个重要极限的推广推广1：limx→0loga(1+x)x=logae （00型未定式）证明：limx→0loga(1+x)x=limx→0loga(1+x)1x由复合函数求极限法则loga(limx→0(1+x)1x)=logae.特别当a=e时即得limx→0ln(1+x)x=1推广2：limx→0ax－1x=lna（00型未定式）证明：变量代换，令t=ax－1，则x=loga(1+t)，且当x→0时，t→0.故limx→0ax－1x=limt→0tloga(1+t)由推广1得：limx→0ax－1x=1logae=lna特别当a=e时即得limx→0ex－1x=1；当x=1n时，有limn→∞a1n－11n=limn→∞n(na－1)=lna.推广3：limx→0(1+x)a－1x=a（a∈R）（00型未定式）证明：limx→0(1+x)a－1x=limx→0ealn(1+x)－1aln(1+x)·a·ln(1+x)x=alimx→0ealn(1+x)－1aln(1+x)·limx→0ln(1+x)x由推广2的结论可得limx→0(1+x)a－1x=a在求函数极限时，有些时候会化成上述的几种极限形式，而上面几种极限形式的推广式使用起来简单方便，易于理解。
一个公式的推广范文
一个公式的推广范文公式是数学问题中的核心部分，它能够把复杂的问题简化为简洁的表达方式。
而公式的推广，则是基于原始公式的基础上，进行适当的改进和扩展，使其更广泛适用于不同场景和问题。
在这篇文章中，我将推广一个公式：E = mc²。
这是爱因斯坦的相对论中的著名公式，它表达了能量（E）与物质的质量（m）之间的关系，通过光速的平方（c²）进行连接。
这个公式在物理学领域有着重要的地位，但是它其实可以借鉴到其他学科和领域中。
首先，让我们来看看公式中的每一个部分。
E代表能量，是衡量物体内部运动和变化的度量。
m代表质量，是物体抵抗外部力量的度量。
c代表光速，是物质传播速度的极限。
公式中的²表示c的平方，是为了与E 和m之间的关系更加明确地表达。
在物理学中，这个公式告诉我们质量和能量的相互转化关系。
它揭示了质量存在能量的潜力，能量也可以被转化为质量。
这是一种革命性的思想，它改变了人们对质量和能量本质的理解。
然而，我认为这个公式可以推广到许多其他学科和领域中。
首先是经济学和金融学。
在经济学中，E可以表示市场上的经济活动，m可以表示货币的流动，c可以表示经济增长的速度。
这个公式可以告诉我们经济活动和货币流动之间的关系，以及经济增长的极限。
在生物学中，这个公式可以应用于生命的能量转化。
E可以表示生物体内的能量，在这里可以是食物的能量。
m可以表示生物体的质量，而c²可以代表生物体的新陈代谢速度。
这个公式可以解释生物体的能量获取、利用和分配的方式。
在信息科学中，这个公式可以应用于数据的转化和传输。
E可以表示数据的能量或信息的质量，可以是信号的强度或数据的质量。
m可以表示数据的质量，比如数据的完整性和准确性。
c²可以表示数据传输的速度和效率。
这个公式可以帮助我们理解数据的转化和传输过程，以及数据传输的极限。
在教育学中，这个公式可以应用于知识的转化和传递。
E可以表示知识的能量或信息的质量，可以是教学材料的质量和内容。
重要极限公式推导
重要极限公式推导摘要：1.极限公式概述2.重要极限公式推导3.极限公式的应用4.结论正文：极限是数学中一个重要的概念，它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍一些重要的极限公式及其推导过程，并探讨如何在实际问题中运用这些极限。
一、极限公式概述极限公式是用来描述一个变量在某一点附近变化趋势的数学表达式。
在极限公式中，通常用字母x表示自变量，y表示因变量。
当自变量x趋近于某个值a时，极限公式可以表示为：lim (x->a) y(x)二、重要极限公式推导1.指数函数极限当x趋近于0时，e^x的极限为1。
证明如下：lim (x->0) e^x = 12.对数函数极限当x趋近于1时，log_2(x)的极限为0。
证明如下：lim (x->1) log_2(x) = 03.三角函数极限（1）正弦函数极限当x趋近于0时，sin(x)的极限为0。
证明如下：lim (x->0) sin(x) = 0（2）余弦函数极限当x趋近于0时，cos(x)的极限为1。
证明如下：lim (x->0) cos(x) = 14.反三角函数极限（1）反正弦函数极限当x趋近于1时，arcsin(x)的极限为π/4。
证明如下：lim (x->1) arcsin(x) = π/4（2）反余弦函数极限当x趋近于1时，arccos(x)的极限为0。
证明如下：lim (x->1) arccos(x) = 0三、极限公式的应用极限公式在实际问题中有广泛的应用，如求解极限问题、求解导数和积分等。
以下举一个求解极限的例子：求极限：lim (x->0) (e^x - 1) / x解：根据极限公式，我们有：lim (x->0) (e^x - 1) / x = lim (x->0) e^x / x - lim (x->0) 1 / x由于lim (x->0) e^x / x = 1，lim (x->0) 1 / x = 0，所以：lim (x->0) (e^x - 1) / x = 1 - 0 = 1四、结论极限公式是数学中一个重要的概念，掌握这些极限公式有助于解决实际问题。
重要极限公式总结推广
重要极限公式总结推广一、利用定义求极限极限定义:说明:1. 中的ε也可以是ε的常数倍ε•M;2.由可知是有界数列(因为在的外部仅有N项,在这有限项中必有M和m,从而是有界的);3.的几何意义及否定叙述:除了外的有限项N外,所有下标大于N的项都落在领域内;否定叙述:,有小结:利用定义证明极限就必须注意,N和X的关键作用,只有当nN或xX时,才有估计式或,因而产生了利用定义证明极限的分段估值法。
二、利用定理求极限柯西收敛准则:数列{ ｝收敛的充要条件是:对,总存在某一个自然数N,使得:当n,mN时,都要小结:柯西收敛准则所反映的事实:“收敛数列各项的值愈到后面,彼此愈是接近。
以至它们之间的差的绝对值可小于任何预先所给的正数。
”斯笃兹定理是解决与型极限的重要工具,适用于离散情形。
三、洛必达法则1.,2..f(x),g(x)在点a的某空心领域内可导,且,且则:f(x),g(x)在内可导,且, ,则:3.类似有单侧极限的不定式的洛必达法则小结:洛必达法则是数学分析中解决与型极限的重要工具,适用于连续情形。
四、利用泰勒公式求极限常用的泰勒公式有:小结:这种方法是利用泰勒公式将函数展开后直接代入或经过变换后代入要求的极限式中,使得原来的极限问题转化成多项式或有理分式的极限。
五、利用两边夹法则求极限定理1.对于数列{xn｝、{yn｝、{zn｝,如果存在某一自然数N1,使当nN时,有xn≤yn≤zn,并且则。
定理2.如果对于点x0的某一领域内的一切x ,但x0本身可以除以(或对于绝对值大于某一正数的一切x )有不等式g(x )≤f(x )≤h(x )成立,而且,则。
小结:这一方法也称为夹逼法,它是利用不等式的极限定理来计算极限运用这一法则,不仅可判定数列或函数的极限存在性,而且能求得其极限值,使用两边夹法则求数列和函数的极限,关键在于把xn或f(x )适当放大或缩小,所谓适当放大与缩小是指:放大缩小后,保证所选的数列{yn｝与{zn｝或所选的函数g(x )与h(x )有相同的极限。
重要极限公式的推广8个
重要极限公式的推广8个极限公式是数学中一个关键的概念，定义了一类函数及其极限值。
它们以函数式形式存在，给出了一种秩序方式来解决某一类问题。
这些极限公式在学习数学和实践中都具有重要的意义，它们能够很好地帮助我们解决一些比较复杂的数学问题，并有效地提高解决问题的效率和准确性。
在本文中，我们将讨论八个极限公式的推广，它们是：极限求和公式、极限积分公式、极限分母公式、极限秦九韶公式、极限系数公式、极限倒数公式、极限拉普拉斯公式和极限极坐标公式。
首先，极限求和公式是极限中最重要的公式之一，用于计算一组函数的极限和。
它的推广形式为：极限求和公式，即$lim_{nrightarrowinfty} sum_{i=1}^nf(x_i)=lim_{nrightarrowinfty}left (sum_{i=1}^n a_iright )$，其中$a_i$是给定函数$f(x_i)$的常数。
其次，极限积分公式是极限中的另一个重要公式，用于计算函数的极限的积分。
它的推广形式为：$lim_{nrightarrowinfty}int_{a}^{b} f(x)dx =lim_{nrightarrowinfty}left[sum_{i=1}^{n}int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx right]$，其中$x_i$是给定区间[a, b]上函数$f(x)$的极限。
第三，极限分母公式是极限中的另一个重要公式，用于计算函数的极限的分母。
它的推广形式为：$lim_{xto0}frac{f(x)}{x}=lim_{ntoinfty}left[sum_{i=1}^{n}frac{f(x_i)}{x_i}right]$，其中$x_i$是给定区间[a, b]上函数$f(x)$的极限。
第四，极限秦九韶公式是极限中的另一个重要公式，用于计算函数的秦九韶极限。
它推广的形式为：$lim_{xtoinfty}e^{-ax}left[f(x)+g(x)right]=lim_{ntoinfty}left[sum_{i =1}^{n}e^{-ax_i}left(f(x_i)+g(x_i)right)right]$，其中$x_i$是给定区间[a, b]上函数$f(x)$和$g(x)$的极限。
第二个重要极限的一个推广
第二个重要极限的一个推广
第一个重要极限的公式:limsinx/x=1(x->0)。
当X0时sin/x的极限等于1特别注意的是X一o0时，1/是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0第二个重要极限的公式:lim(1+1/x)^x=e(x)。
当时，(1+1/x)的极限等于e;或当x一0时，(1+x)(1/x)的极限等于e 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地
说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”而是借助于间接证法一一归谬法来完成了有关的证明
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思
考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向。
第一个重要极限的推广及应用探析
第一个重要极限的推广及应用探析重要极限是微积分中极为重要的概念，它在数学的各个领域都有着重要的应用。
第一个重要极限就是极限定义中的“极限存在”的概念。
本文将围绕第一个重要极限展开探讨，首先从其基本概念和推广入手，然后介绍其在不同领域的应用，并对其进行深入分析和探讨。
1. 第一个重要极限的基本概念和推广我们来回顾一下第一个重要极限的基本定义。
设函数f(x)在点x=a的邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0 <|x-a| < δ时，就有|f(x)-L| < ε成立，那么称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
这就是第一个重要极限的基本定义，它描述了函数在某一点附近的取值情况。
当我们知道函数在某一点的极限存在时，就可以推广到更多的数学概念和问题中。
第一个重要极限在推广时可以应用到连续性、导数、积分以及泰勒公式等数学概念和问题中。
首先是连续性的概念，如果函数f(x)在点x=a的邻域内有定义，并且lim(x→a) f(x) = L存在，那么就有f(a) = L成立，即函数f(x)在点x=a处连续。
其次是导数的概念，在微积分中，我们知道导数可以通过极限来定义，即f’(a)=lim(x→a)[f(x)-f(a)]/(x-a)，这就是导数的定义公式，其中使用了极限的求解方法。
再次是积分的概念，在定积分中，我们经常要求解被积函数的极限情况，以确定积分的存在性。
最后是泰勒公式的概念，泰勒公式利用了函数在某一点的各阶导数，然后根据极限的定义来推导出函数在该点附近的近似表达式。
通过这些推广，我们可以看到第一个重要极限在数学中的广泛应用，以及其对其他数学概念和问题的重要意义。
2. 第一个重要极限在不同领域的应用第一个重要极限在数学中有着广泛的应用，可以应用于解析几何、微积分、数学分析、概率论等不同领域。
首先是解析几何中的应用，我们知道两点之间的距离可以通过坐标公式计算得到。
极限公式推导过程
极限公式推导过程在我们的数学世界里，极限可是个相当神奇且重要的概念。
今天，咱们就一起来瞧瞧那些常见的极限公式是怎么推导出来的。
先来说说数列极限吧。
比如有一个数列 {an}，当 n 趋向于无穷大的时候，an 趋向于一个确定的值 A，那我们就说这个数列的极限是 A 。
这听起来好像有点抽象，那我给您举个例子。
就说咱们班的小明同学吧，他特别喜欢收集邮票。
每个月他都会买一些邮票，第一个月买了 10 张，第二个月买了 15 张，第三个月买了20 张……以此类推，每个月增加 5 张。
那如果一直这样下去，n 个月后，他买邮票的总数 an 就可以表示成 5n + 5 。
随着时间越来越长，也就是 n 趋向于无穷大的时候，an 会变得越来越大，但是增长的速度会越来越慢。
咱们来算一算，如果 n 趋向于无穷大，5n + 5 也会趋向于无穷大。
这其实就有点像数列的极限，只不过这个数列没有一个确定的极限值。
再来说说函数的极限。
比如说，f(x) = 1 / x ，当 x 趋向于无穷大的时候，f(x) 会趋向于 0 。
这个怎么推导呢？咱就想象一下，小明同学在操场上跑步。
操场的长度是有限的，但是他一直跑，跑的距离越来越长，相对来说，操场在他眼中就变得越来越短。
就像 x 趋向于无穷大时，1 / x 会变得越来越小，趋向于 0 。
接下来看看重要极限之一，(1 + 1 / x)^x 当 x 趋向于无穷大时，它的极限是 e 。
这个推导可有点复杂啦。
咱们假设小明同学在存钱罐里存钱，第一天存 1 块钱，第二天存的是前一天的 1 + 1 / 2 倍，第三天存的是前一天的 1 + 1 / 3 倍……以此类推。
经过了很长很长时间，也就是 x 趋向于无穷大的时候，他存钱罐里的钱会趋向于一个固定的值，这个值就是 e 。
还有一个常见的极限，sin x / x 当 x 趋向于 0 时，极限是 1 。
这个可以通过几何图形来理解。
想象一下小明画了一个半径为 1 的圆，然后从圆心引出一条射线，与圆相交于 A 点。
一个极限公式的推广
,
把 E 分 解成
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L
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(、 )
一
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口 万 不 唇 早 〕 。 耳
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乙 刀 2几
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一
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。
两个 互 不 相交 的可 测 集的和 集 积分
巧 妙 地 应 用 有 理 数 集 的 可 测 性 及在 Z 上 的 稠 密 性
:
对 集合
使 每 一 个都 是 可 测
从 而 证 明 被 分 解 的 集 合 是 可 测 ( 或 零测 )
在 第 一 个 定 理 的 证 明 中作 可 列 分 解
C尺 】
F `
今
二
“,
二
习
r ) 艺 〔E ` 办 n
一 1
巧 妙 地 应 用 有 理 数 集 的 可 测 性 及在 Z 上 的 稠 密 性
。
前提
,
也 是 把握整 个 知识 体 系的关 键
参
1夕 江泽 坚 〔
、
考
》
,
文
。
南 丸
吴 智泉 合 编
,
,
《
实 变函 数论
人 民 教 育 出 版社
》
一个重要极限的简单推广及运用
ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ 吉） 。＝ ｅ ，
ｌ ｉ ｍ（ １＋ ） ：ｅ，
ｌ ｉ ｍ（ １＋ Ｅ １ ） 吉 ＝ｅ， 方框 “ 口” 代 表 任 意形 式 下
的同一 变量 。 ￣ １ １
…
、
第一 ｉ个重 要极 限的推 广
推广 １ ：
ｍ ｌ ｉ
＿ ＋ ０ ． ０
—
＝ｌ 。 ｇ ｅ （ 百 ０型未定式）
Ｕ
型未定式 ； 公式推 广 ； 运用 文章编号 ： １ ６ ７ １ １１ ５ ８ ０ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ —０ １ ５ ３ —０ ２
文献标识码 ： Ａ
一
、
第二 个重 要极 限 ｌ ｉ ｍ（ １＋ ） ＝ｅ的特征
又 可 变 化 为 旱 ， 即 ０ 型 。 转 化 后 的 ０ ・ 。 。 型 和 罟
—’ Ｕ
ｌ ｉ ｍ （ 志 － ｅ
ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ ） ） 而 ＝ｅ ． 它们 的共同特征是：
１ ． 都是 １ 型 的未 定式 ；
证明： ｌ ｉ ｍ
＝
ｌ ｉ ｍｌ ｏ ｇ 。 （ １＋ ）
—
２ ． 求 极 限的 函数 都 是 幂指 函数 （ 幂 指 函数 是 指 数形 式 ， 但 底 和指数 部 分 都是 函数 ） ， 其 形 式 皆 为底 函数为两 项之 和 ， 且 第一 项必 须 为 １ ， 第 二项 与 指 数
＋ Ｏ
ｌ ｉ ｍ —— ： 土 — 一 ： ｌ ｎ ｏ ，
ｌ ｏ ｇ 。 ｅ
＝
ｌ ｉ ｍ
—
・
加
Ｓ Ｘ 一 １ Ｃ０
特别 当 ｎ ＝ ｅ 时 即得
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一个极限公式的四个推广命题
一个极限公式的四个推广命题
乌云敖日格乐
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2008(000)024
【摘要】本文在分析重要极限lim n→∞[1+1/n]n=e的基本特征的基础上给出了该极限公式的四个推广命题,井运用于1∞型极限的计算中.
【总页数】1页(P77)
【作者】乌云敖日格乐
【作者单位】内蒙古兴安盟乌兰浩特市兴安职业技术学院数学系,内蒙古兴安盟乌兰浩特,137400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.一个极限命题的应用与推广 [J], 刘江蓉
2.关于用等价无穷小量代换定理求极限的一个推广命题 [J], 梁俊奇;周玉华
3.关于用等价无穷小量代换定理求极限的一个推广命题 [J], 梁俊奇;周玉华
4.一个极限公式的推广 [J], 张彩芬
5.第二个重要极限公式lim x→∞（1-1x）x=e的一个新的推广及应用 [J], 慕晓凯;任建功
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极限的存在性、求法、应用及推广.
渤海大学学士学位论文题目：极限的存在性、求法、应用及推广学校：渤海大学系别：数学系专业：数学与应用数学姓名：王力学号：031105069指导教师：金铁英目录引言 (1)Ⅰ、数列极限 (2)一、数列极限的定义及性质 (2)二、数列极限的存在条件 (3)三、数列极限的求法 (4)四、数列极限在购房按揭贷款分期偿还问题中的应用 (7)Ⅱ、函数极限 (8)一、函数极限的定义 (8)二、函数极限的及性质 (9)三、函数极限的存在条件 (11)四、函数极限的求法 (12)五、函数极限在求曲线渐近线方面的应用 (24)Ⅲ、数列极限和函数极限的关系 (24)结束语 (25)参考文献 (25)极限的存在性、求法、应用及推广王力（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要：极限的概念是数学分析中最重要的概念。
数学分析中有关函数有两种基本的运算，一种是微分、另一种是积分。
他们都是用极限定义的。
还有，当我们研究函数图形的性质时，一个重要概念是连续性。
而连续性也是由极限定义的。
极限是数学分析中一个最基本的运算。
本文先研究离散的极限，即数列极限，再研究连续的极限，即函数极限，包括定义及性质、存在性、应用、求法以及求法的推广。
关键词：极限数列函数关系求法推广Existence of theorem limit Application and PromotionWang li(Department of Mathematic Bohai University Liaoning Jinzhuo 121000 China) Abstract：Limit concept is the most important concept in the mathematical analysis. In the mathematical analysis the related function has two kind of basic operations, one kind is the differential, another kind is an integral. They all are define with the limit. Also, when we study the function graph the nature, an important concept is a continuity. But the continuity also has the limit to define. The limit is in the mathematical analysis a most basic operation. This article first studies the separate limit, namely the sequence limit, then studies the continual limit, namely the limit of function, including the definition and the nature, the existence, the application, asks the law as well as the asking method promotion.Key Words：Limit Sequence Function Relations Solution method Promotion引言如果说数学分析就是一座高耸的大厦，那么极限理论就是它的基石。