分段函数及反函数教案
反函数知识点总结讲义教案
一、教学目标1. 理解反函数的概念及其与原函数的关系。
2. 学会求解基本函数的反函数。
3. 掌握反函数的性质及其在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 反函数的概念：反函数是指如果两个函数的定义域和值域相同，且它们的自变量和因变量互换位置后，这两个函数仍然相等，这两个函数互为反函数。
2. 反函数的求解方法：对于基本函数（如线性函数、指数函数、对数函数等），可以通过交换自变量和因变量来求解其反函数。
3. 反函数的性质：反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域；反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x 对称。
三、教学重点与难点1. 重点：反函数的概念、求解方法及其性质。
2. 难点：反函数在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过复习原函数的概念，引出反函数的概念。
2. 讲解：讲解反函数的定义、求解方法及其性质。
3. 例题：求解线性函数、指数函数、对数函数等的基本函数的反函数。
4. 练习：让学生独立求解一些基本函数的反函数。
五、课后作业a) y = 2x + 3b) y = 3^xc) y = log2(x)2. 运用反函数解决实际问题，如：已知一个函数的图像经过点(2, 3) 和(4, 5)，求该函数的反函数。
六、教学策略1. 采用案例教学法，通过具体的例题来引导学生理解和掌握反函数的概念和求解方法。
2. 利用数形结合的方法，通过反函数的图像来帮助学生理解反函数的性质。
3. 鼓励学生进行自主学习，通过课后作业和实际问题来巩固反函数的知识。
七、教学评价1. 通过课堂讲解和例题练习，评价学生对反函数概念的理解程度。
2. 通过课后作业和实际问题的解决，评价学生对反函数求解方法和性质的掌握情况。
3. 通过课堂提问和小组讨论，评价学生对反函数在实际问题中应用的理解和运用能力。
八、教学拓展1. 引导学生思考反函数与原函数的关系，探讨反函数在数学和其他学科中的应用。
2. 引导学生探究反函数的性质，如反函数的单调性、奇偶性等。
高中数学讲解分段函数教案
高中数学讲解分段函数教案
一、教学目标：
1. 理解分段函数的概念；
2. 能够根据图像和定义求分段函数的值；
3. 能够解决实际问题中涉及到分段函数的计算和应用。
二、教学重点与难点：
重点：掌握分段函数的概念及应用方法；
难点：理解分段函数的图像和定义。
三、教学过程：
1. 概念引入
示意图展示，引导学生思考分段函数的概念，并举例说明分段函数的应用场景。
2. 分段函数的定义
通过简单的例题，引导学生理解分段函数的定义，并让学生学会根据定义求分段函数的值。
3. 分段函数的图像
通过绘制分段函数的图像，让学生直观感受分段函数的特点，掌握函数图像的变化规律。
4. 分段函数的计算与应用
练习题目，让学生熟练掌握分段函数的求解方法，并能够灵活运用于实际问题中。
四、教学总结：
总结分段函数的概念和应用方法，强调分段函数在解决实际问题中的重要性和实用性。
五、课后作业：
1. 完成练习题目，并总结解题方法；
2. 梳理课堂知识点，做好笔记。
六、扩展拓展：
扩展分段函数的应用领域，如金融、经济等领域中的分段函数应用案例，激发学生对分段函数的兴趣和学习积极性。
初中分段函数及图像教案
初中分段函数及图像教案教学目标：1. 理解分段函数的概念，掌握分段函数的表示方法。
2. 学会绘制分段函数的图像，并能正确解读图像。
3. 掌握分段函数的基本性质，如单调性、奇偶性等。
教学内容：1. 分段函数的概念与表示方法。
2. 分段函数图像的绘制与解读。
3. 分段函数的基本性质。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一次函数、二次函数的图像特点。
2. 提问：一次函数、二次函数的图像是否可以描述所有的函数呢？3. 引入分段函数的概念，激发学生的好奇心。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解分段函数的概念：分段函数是一种自变量在不同取值范围内，函数表达式不同的函数。
2. 示例讲解：给出几个分段函数的例子，如f(x) = x^2, 当x<0时，f(x) = -x，当x≥0时，f(x) = 2x。
3. 讲解分段函数的表示方法：列表法、图象法、解析式法。
4. 绘制分段函数的图像：以f(x) = x^2为例，先画出x<0时的部分，再画出x≥0时的部分。
5. 解读分段函数的图像：观察图像的形状、转折点等特征。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生自主绘制分段函数的图像：给出几个分段函数的例子，如f(x) = |x|，f(x) = √x，让学生独立完成图像的绘制。
2. 让学生解读分段函数的图像：给出几个分段函数的图像，让学生解读图像的特点。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结分段函数的概念、表示方法和图像特点。
2. 强调分段函数在实际问题中的应用。
五、课后作业（课后自主完成）1. 绘制分段函数的图像：f(x) = x^3，当x<0时，f(x) = -x，当x≥0时，f(x) = 2x。
2. 解读分段函数的图像：f(x) = |x|，f(x) = √x。
教学反思：本节课通过讲解分段函数的概念、表示方法和图像特点，使学生掌握了分段函数的基本知识。
在课堂练习环节，学生能够独立绘制分段函数的图像，并正确解读图像。
XX反函数教案范文
反函数教案范文一、教学目标1. 让学生理解反函数的概念，掌握反函数的性质和求法。
2. 培养学生运用反函数解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学函数知识的兴趣和积极性。
二、教学内容1. 反函数的定义与性质2. 反函数的求法3. 反函数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 反函数的定义与性质2. 反函数的求法3. 反函数在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解反函数的概念、性质和求法。
2. 利用例题，引导学生掌握反函数的求解方法。
3. 开展小组讨论，让学生探讨反函数在实际问题中的应用。
4. 利用课后习题，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的基本概念，引导学生思考函数与反函数的关系。
2. 讲解：介绍反函数的定义与性质，讲解反函数的求法。
3. 例题：分析并解答几个典型例题，让学生掌握反函数的求解方法。
4. 小组讨论：让学生分组探讨反函数在实际问题中的应用。
5. 课后习题：布置适量习题，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调反函数的重要性和应用价值。
7. 作业布置：让学生完成课后习题，加深对反函数的理解。
六、教学活动设计1. 课堂讲解：通过PPT展示反函数的定义与性质，配合生动的例子讲解反函数的概念。
2. 互动环节：邀请学生上台演示反函数的求法，鼓励其他学生提出疑问并参与讨论。
3. 应用拓展：分组讨论反函数在实际问题中的应用，如物理、化学、生物等领域。
4. 课后作业：布置一道综合性的习题，让学生运用反函数解决实际问题。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 习题完成情况：检查学生课后习题的完成质量，评估学生对反函数知识的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，如合作意识、问题解决能力等。
八、教学反思1. 课堂节奏：反思课堂讲解的节奏是否合适，是否给了学生足够的时间理解反函数的概念。
2. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们在学习反函数过程中的困惑和问题。
湘教版数学八年级下册《4.5分段函数》教学设计2
湘教版数学八年级下册《4.5分段函数》教学设计2一. 教材分析湘教版数学八年级下册第4.5节分段函数，是在学生学习了函数概念、一次函数、二次函数等基础知识后的进一步拓展。
本节内容通过具体的例子引导学生理解分段函数的概念，学会用分段函数描述实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材以学生的生活经验为背景，设计富有启发性的问题，引导学生探究、发现、总结分段函数的定义和性质，充分体现了“从生活走向数学，从数学走向生活”的新课程理念。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了函数的基础知识，对一次函数、二次函数有一定的了解。
学生的思维能力、观察能力、动手操作能力逐渐增强，但解决实际问题的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，调动学生的积极性，引导学生主动探究、合作交流，从而提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解分段函数的概念，掌握分段函数的表示方法。
2.能够运用分段函数描述实际问题，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的观察能力、思维能力、动手操作能力，提高学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.重点：分段函数的概念、表示方法。
2.难点：分段函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：以生活实际为背景，引导学生认识分段函数，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：设计富有启发性的问题，引导学生主动探究、发现、总结分段函数的定义和性质。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和交流能力。
4.动手操作法：让学生通过实际操作，体会分段函数在解决实际问题中的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学素材：收集与分段函数相关的实际问题，用于教学实例。
3.学具：为学生准备纸张、笔等学习用品。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实际例子，如出租车计费问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。
让学生意识到函数可以用来描述实际问题，激发学生学习兴趣。
八年级数学下册《分段函数》教案、教学设计
2.强调分段函数在实际问题中的应用，提高学生的数学应用意识；
3.鼓励学生提出疑问，针对学生的困惑进行解答；
4.总结本节课的教学目标和学生的学习成果，为下一节课的学习做好铺垫。
五、作业布置
为了巩固学生对分段函数知识的掌握，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.分段函数的定义及表示方法
（1）通过具体实例，让学生了解分段函数的概念；
（2）介绍分段函数的表示方法，如列表法、解析法等；
（3）强调不同区间内函数表达式的转换。
2.分段函数的性质
（1）通过图像展示，让学生直观地感受分段函数的性质；
（2）引导学生发现图像与函数性质之间的关系；
（3）总结分段函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
二、学情分析
八年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了函数的基本概念、性质和图像，能够解决一些简单的实际问题。但在面对分段函数这类较为复杂的问题时，学生可能会在理解、分析和应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
1.学生对分段函数定义的理解程度，部分学生可能对分段函数的定义较为陌生，需要通过具体实例和形象比喻帮助学生理解；
2.激发学生的学习兴趣，让学生在探索分段函数的过程中，体验数学学习的乐趣；
3.培养学生勇于挑战、克服困难的意志品质，遇到问题要积极思考、主动探究；
4.让学生认识到数学与现实生活的密切联系，体会数学的价值，增强学生的数学应用意识。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的学习积极性，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。
4.教师巡回指导，关注学生的讨论进度和疑问，给予适时解答。
分段函数(职业中学教材)
《分段函数》（第一课时）教案设计一、设计思想(1) 贯彻启发式教学原则，通过学生自主探索培养学生获取知识、解决问题的能力；(2) 通过对分段函数的学习与理解，进一步深化函数的表示法，培养学生分类讨论的数学思想方法。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解分段函数的概念（2）会用解析式表示分段函数（3）会根据解析式求分段函数的函数值（4）会根据解析式画出分段函数的图象2、过程与方法（1）通过实例引入分段函数的概念，明确分段函数存在的现实意义（2）初步掌握解决分段函数数形结合、分类讨论的数学思想方法3、情感、态度、价值观培养学生勇于探究的精神、严谨的学习态度，以及初步具备应用数学知识分析、解决实际问题的意识三、教学重点与难点1、重点：分段函数的表示；分段函数的图象2、难点：；分段函数的图象;求分段函数的函数值四、教材处理1、本次课一开始不宜先讲例1的应用题进而介绍分段函数，否则学生会在理解上造成困难，造成难点过多、过于分散，不利于重点的掌握，因此书上例1分段函数的应用题安排在第二课时；2、本节内容分2课时处理，第一课时主要是给出分段函数的概念，并求函数值及会作它的图象，第二课时处理书上例1的应用题及绝对值函数。
五、学情分析学生在初中阶段已经学过了一次函数、二次函数等函数及其图象。
在本课时前刚刚学习了函数的概念，函数的表示法及函数的性质。
在此基础上进一步研究分段函数解析式的建立及其图象，对学生在认知方面和心理方面都有着较为充分的准备。
但分段函数解析式的建立仍是学生学习的一个难点，因为学生刚进入高一不久，学习基础不好，分析问题的能力不够强，考虑问题往往不全面。
结合本课教学内容，教师应加强对学生该方面能力的培养。
若设信函的重量为元，能否建立函数本节课以实际问题引入，帮助学生自主探究，明确了分段函数的概念、表示方法以及图象，同时考虑了学生实际，设计了学生课堂学习任务书，有较强的针对性，较好地帮助学生完成了本课时的学习任务。
分段函数排序教案模板范文
课时：2课时年级：高中教学目标：1. 让学生理解分段函数的概念，掌握分段函数的表示方法。
2. 培养学生运用分段函数解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
教学重点：1. 分段函数的概念和表示方法。
2. 分段函数的运算和性质。
教学难点：1. 分段函数的定义域和值域。
2. 分段函数的图像和性质。
教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题3. 黑板、粉笔教学过程：第一课时一、导入1. 引导学生回顾函数的定义，提出分段函数的概念。
2. 举例说明分段函数在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 分段函数的概念：介绍分段函数的定义，强调分段函数是由多个简单函数组合而成的。
2. 分段函数的表示方法：讲解分段函数的表示方法，包括分段函数的图像、表格和解析式。
3. 分段函数的定义域和值域：分析分段函数的定义域和值域，强调定义域和值域的确定方法。
三、课堂练习1. 学生根据所学知识，独立完成课本上的例题，巩固分段函数的概念和表示方法。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调分段函数的概念、表示方法、定义域和值域。
2. 提出课后作业，要求学生课后巩固所学知识。
第二课时一、复习导入1. 复习上节课所学内容，提问学生分段函数的概念、表示方法、定义域和值域。
2. 引导学生思考分段函数的运算和性质。
二、新课讲授1. 分段函数的运算：讲解分段函数的加、减、乘、除运算，强调运算过程中的注意事项。
2. 分段函数的性质：分析分段函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
三、课堂练习1. 学生根据所学知识，独立完成课本上的例题，巩固分段函数的运算和性质。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调分段函数的运算和性质。
2. 提出课后作业，要求学生课后巩固所学知识。
五、拓展延伸1. 引导学生思考分段函数在数学竞赛中的应用，激发学生的兴趣。
八年级数学上册分段函数教案
课题：分段函数
知识与技能：会根据题意列出分段函数的解析式，并由分段函数的解析式画出函数图像
过程与方法：经历分析探讨实际问题中的数量关系的过程，初步体会分段函数的意义
情感态度与价值观：感受分段函数在现实生活中的实际意义，体验数学建模思想方法
教学重点：理解分段函数的概念；掌握分段函数的图像的特点，提高读图能力。
系式，领会数学建模的过程、思想和方法。
级大地震，我解放军某部火速向
被阻停下，耽误了一段时间，
为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与
获得知
认真研读教科书第
y=
；小明打车从西山学校
（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y
1
）
象上。
设函数解析式
电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，
（度）的函数图象是一条折线（如图
=
一条直线，点（
，将以上两点坐标代入
图3
为了鼓励做家务，小强父母根据上月他的家务劳动时间给予他生活费和零花钱。
教学反思：
2。
分段函数教案
一、复习预习回顾一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数的定义域、值域、奇偶行及单调性。
二、知识讲解本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析考点1分段函数定义在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。
2.对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数.3.定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集.4.值域：分段函数值域为各段函数值的并集.考点2分段函数的图像及求值 1.分段函数图像（1）画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象. （2）由分段函数的图象确定函数解析式的方法1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型. 2)设函数式：设出函数的解析式.3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式. 4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.2.分段函数求值分段函数函数值的方法：1.先确定要求值的自变量属于哪一段区间.2.然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 注：当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.考点3分段函数求解实际应用问题(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言. (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.三、例题精析【例题1】【题干】求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.【答案】()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 【解析】作图，利用“数形结合”可知。
【例题2】【题干】已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f . 【答案】134【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-. 【例题3】【题干】在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称,现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩222(10).()2(02)x x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩【答案】A【解析】当[2,0]x ∈-时,121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 【例题4】【题干】判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【答案】()f x 在R 上是单调递增函数.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.【例题5】【题干】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【答案】对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时, (0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=,所以()f x 为偶函数.四、课堂运用【基础】yx1.画出函数y=|x|的图象.2.已知函数y=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-≤+.4,2,40,2,0,42x x x x x x x(1)求f{f ［f(5)］}的值; (2)画出函数的图象.3.已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。
分段函数教案
分段函数教案(总8页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2,x[0,5]f x3,x(5,10]4,x(10,15]6,x[0,3]x6 1.2(3),x(3,)公里时，哪种方式更省钱呢？f元114巩固篇15分钟拓展篇15分钟2116+1.2113=15.6y f（—）元【教师】:故意忽略乘车人数问：选择公交车去服装城最省钱？对吗？【学生】:这时已经有细心的学生发现了问题：方式一中的公交车是按照人数来收费，而方式二中的出租车则是按整体计费，因此，方式一中的总费用应该是4X4=16元。
结论：小鲁等人选择出租车出行最省钱！【教师】:对猜对结果的团队和最先算对的团队分别授予勋章。
----------------------------------------------------------------------★三.团队任务，重点知识再巩固【学生】：采用团队竞赛的方式，每个团队各派出一名代表，在黑板上完成，首先正确完成的团队会获得一枚“巩固勋章”。
★任务一：根据“微课视频一”的学习，方式二中分段函数6,x[0,3]6 1.2(3),x(3,)y f xx(1)求函数的定义域(2) 求1,3,20f f f的值★任务二：根据“微课视频一”的学习画出以上两个分段函数的图像。
【教师】:学生完成后，教师利用“几何画板”工具，进行作图演示。
【教师】:讲解评价。
为最先完成任务的团队授予“巩固勋章”。
对学生的鼓励，可以使学生保持更长时间的学习积极性和主动性。
团队竞赛的方式，调动了学生的积极性，提高了课堂效率。
此环节主要是对“微课视频一”的检测和强化。
是对本节重点内容的巩固,借助几何画板，更加直观形象的帮助学生理解分段函数的图像和性质。
检测篇20分钟检测篇20分钟★四.情境延续，拓展应用破难点（情境主线：③恰逢服装城优惠活动。
）(动画演示)小鲁一行到了服装城以后，恰逢服装城周年庆典有如下活动，规定一次性付款总额：（1）如果不超过300元，不予优惠；（2）超过300元，不超过500元，按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，500以内按照第二条优惠，超出500的部分按照8折优惠。
大学数学分析反函数教案
课时：2课时教学目标：1. 理解反函数的概念及其性质。
2. 掌握反函数的求法。
3. 能够运用反函数解决实际问题。
教学重点：1. 反函数的概念及其性质。
2. 反函数的求法。
教学难点：1. 反函数的求法。
2. 反函数在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入1. 回顾函数的概念，引导学生思考什么是函数的反函数。
2. 引入反函数的概念，提出本节课的学习目标。
二、新课讲解1. 反函数的概念- 定义：如果一个函数f(x)在定义域D上，对于D内的任意两个不同的元素x1和x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f(x)为单射。
- 性质：如果函数f(x)是单射且满射，则存在一个函数f-1(x)，使得f-1(f(x))=x，f(f-1(x))=x，这个函数f-1(x)称为f(x)的反函数。
2. 反函数的求法- 将原函数y=f(x)中的x和y互换，得到方程x=f-1(y)。
- 解方程得到y=f-1(x)，即反函数的表达式。
3. 反函数的应用- 通过实例讲解反函数在实际问题中的应用，如求反函数在特定区间内的值、求解函数方程等。
三、课堂练习1. 判断下列函数是否存在反函数，若存在，求出反函数：- y=2x+1- y=x^2- y=|x|2. 利用反函数求解下列问题：- 已知函数f(x)=x^3+3x+1，求f(x)在x=2时的反函数值。
- 求解方程x^2+2x+1=0。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调反函数的概念、性质和求法。
2. 强调反函数在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解反函数在数学其他领域中的应用。
教学反思：本节课通过讲解反函数的概念、性质和求法，使学生掌握了反函数的基本知识。
在课堂练习中，学生能够运用所学知识解决实际问题，提高了学生的应用能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力。
大学生高数反函数讲解教案
课时：2课时教学目标：1. 理解反函数的概念，掌握求反函数的方法。
2. 能够求出给定函数的反函数，并判断其定义域和值域。
3. 了解反函数的性质，并能够运用反函数解决实际问题。
教学重点：1. 反函数的概念和求法。
2. 反函数的性质和应用。
教学难点：1. 反函数的求法。
2. 反函数的性质和应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾函数的定义和性质。
2. 引入反函数的概念。
二、新课讲解1. 反函数的定义：设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。
如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数。
2. 求反函数的步骤：（1）确定函数y=f(x)的定义域和值域；（2）由原函数的表达式，求x关于y的表达式；（3）互换x和y，得到反函数的解析式y=f^(-1)(x)；（4）写出反函数的定义域（原函数的值域）。
三、例题讲解1. 求函数y=2x+1的反函数。
2. 求函数y=x^2（x≥0）的反函数。
四、课堂练习1. 求函数y=3x-2的反函数。
2. 求函数y=√x（x≥0）的反函数。
五、课堂小结1. 总结反函数的概念和求法。
2. 强调反函数的性质和应用。
第二课时：一、复习1. 回顾反函数的概念和求法。
2. 复习反函数的性质。
二、新课讲解1. 反函数的性质：（1）反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域；（3）反函数与原函数的复合函数为恒等函数。
2. 反函数的应用：（1）求函数的值域和定义域；（2）判断函数的单调性和奇偶性；（3）解决实际问题。
三、例题讲解1. 求函数y=3x^2-2x+1的值域和定义域。
2. 判断函数y=x^3的奇偶性。
四、课堂练习1. 求函数y=2x+3的值域和定义域。
2. 判断函数y=x^2+1的奇偶性。
人教版初中反函数教案
人教版初中反函数教案一、教学目标1. 让学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2. 培养学生运用反比例函数解决实际问题的能力。
3. 培养学生观察、分析、归纳总结的能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 反比例函数的概念2. 反比例函数的性质3. 反比例函数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 反比例函数的概念及性质2. 反比例函数图象的特点3. 反比例函数在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究反比例函数的性质。
2. 利用数形结合思想，让学生直观地理解反比例函数。
3. 结合实际问题，培养学生运用反比例函数解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾正比例函数的概念，进而提出反比例函数的概念。
2. 新课讲解：（1）反比例函数的概念：y = k/x （k为常数，k≠0）（2）反比例函数的性质：① 当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
② y的取值范围为全体实数，除x=0时无定义。
③ 反比例函数图象为双曲线，两支分别位于第二、第四象限。
3. 实例分析：分析反比例函数在实际问题中的应用，如：速度与时间的关系、密度与体积的关系等。
4. 练习与讨论：让学生绘制一些反比例函数的图象，观察其特点，并运用反比例函数解决实际问题。
5. 总结：回顾本节课所学内容，强调反比例函数的概念、性质及实际应用。
六、课后作业1. 绘制反比例函数的图象，观察其特点。
2. 运用反比例函数解决实际问题。
3. 总结反比例函数的知识点，准备下一节课的讲解。
七、教学反思本节课通过问题驱动法，引导学生探究反比例函数的性质，利用数形结合思想，让学生直观地理解反比例函数。
结合实际问题，培养学生运用反比例函数解决实际问题的能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的数学素养。
初中分段函数说课稿模板
初中分段函数说课稿模板尊敬的各位评委、老师，大家好！今天我说课的题目是初中数学中的分段函数。
首先，我会简要介绍分段函数的概念，然后分析其在初中数学教学中的重要性。
接下来，我将重点讲解分段函数的教学目标、教学内容、教学方法以及评价方式。
最后，我会分享一些教学建议和反思。
一、分段函数的概念分段函数是数学中一种特殊的函数，它将函数的定义域划分为若干个区间，在每个区间上函数的表达式可能不同。
这种函数在实际问题中非常常见，比如税收计算、速度与时间的关系等。
在初中数学教学中，分段函数通常以线性分段函数的形式出现，即在不同区间上函数的表达式为一次函数。
二、分段函数在初中数学教学中的重要性分段函数不仅是数学知识体系中的一个重要组成部分，而且它在解决实际问题时具有很高的应用价值。
通过学习分段函数，学生可以更好地理解函数的概念，掌握函数图像的绘制方法，提高解决实际问题的能力。
此外，分段函数的学习还能帮助学生培养数学思维，如分类讨论的思想、数形结合的方法等。
三、教学目标1. 知识与技能目标：使学生理解分段函数的概念，掌握线性分段函数的表达式和图像特征，能够根据分段函数的表达式绘制函数图像，并解决简单的实际问题。
2. 过程与方法目标：培养学生运用分类讨论的方法解决问题的能力，训练学生数形结合的思维方式。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
四、教学内容1. 分段函数的定义和特点。
2. 线性分段函数的表达式和图像。
3. 分段函数图像的绘制方法。
4. 分段函数在实际问题中的应用。
五、教学方法1. 启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，帮助学生自主构建知识。
2. 探究式学习：组织学生进行小组合作，通过实际问题的探究，深化对分段函数的理解。
3. 数形结合：利用几何画板等工具，直观展示分段函数的图像，帮助学生形成形象的认识。
4. 分类讨论：在解决实际问题时，引导学生根据不同情况进行分类讨论。
高中数学 第16课时 分段函数教案 苏教版必修1
一、含有绝对值的解 析式
例 1、已知函数y=|x－1|+|x+2|
(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以 每小时4千 米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距 离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。
点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。
追踪训练
1、设函数f(x)= 则f(－4)=___________,若f (x0)=8，则x0= ________
2、已知函数f(x)=
求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值 .
3、出下列函 数图象
y=┃x+2┃－┃x－5┃
4、已知函数y= ，则f(4)=_______.
教
学
过
程
教学 内容
个案调整
教师主导活动
学生主体活动
自学评价：
1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域；
分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域 的并集(填“并”或“交数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；
板书设计
分段函数
当堂作业
课外作业
教师札记
点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.
三 、二次函数在区间上的最值问题
例3、已知函数f (x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).
清泉州阳光实验学校高三数学二轮教案反函数与分段函数
清泉州阳光实验学校§反函数与分段函数【高考热点】1. 反函数之所以成为高考的热点，是因为其具有“小综合〞的特点。
求反函数的重点是确定原函数的值域；用反函数的热点是对称性解题；2. 分段函数表达了“分类〞的数学方法，也是高考命题的热点之一，解题要突出“分类〞。
【课前预习】1． 〔04全国理〕函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是〔〕A ．y=x2－2x+2(x<1)B ．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D ．y=x2－2x(x≥1) 2． 〔04文〕假设函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,那么f(x)=A ．10x-1B ．1-10xC ．1-10-xD ．10-x-1〔〕3. (04卷)函数213x y -=)01(<≤-x 的反函数是〔〕 A ．)31(log 13≥+=x x y B ．)31(log 13≥+-=x x y C ．)131(log 13≤<+=x x y D ．)131(log 13≤<+-=x x y 4. 〔04理〕设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，假设11[1()][1()]8f a f b --++=，那么)(b a f +的值是〔〕A ．1B ．2C ．3D ．3log 25. 〔04理〕函数y=log2x 的反函数是y=f —1(x)，那么函数y=f —1(1－x)的图象是〔〕6. 〔04理〕设函数2,0,()(4)(0),(2)2,2,0.x bx c x f x f f f x ⎧++≤=-=-=-⎨>⎩若那么关于x 的方程x x f =)(解的个数为〔〕A ．1B ．2C ．3D ．47. 〔04理科〕设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，那么使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为〔〕 A ．(][]10,02, -∞-B ．(][]1,02, -∞-C ．(][]10,12, -∞-D ．[)[]10,10,2 -8. 〔04理科〕函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，那么=-)8(g .【典型例题】 例1函数)0(1)(2>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x f （1） 求函数)(x f 的反函数)(1x f -；（2） 假设2≥x 时，不等式)()()1(1x a a x fx ->--恒成立，试务实数a 的范围。
“分段函数”教学设计与教学反思-文档资料
“分段函数”教学设计与教学反思1 内容和内容解析分段函数是人教B版必修1第二章第2.1.2节“函数的表示方法”中的一个内容，其特点是在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，因而需要按自变量的不同取值区间将函数进行分段表示.分段函数在生活中的众多收费问题中普遍存在，在数学中也随处可见，在数学史上也不乏典例，尤其在高等数学中常常是构造反例的首选.因而，分段函数是普遍存在又比较重要的一类函数，是函数解析式表示法中的一个典型代表.分段函数的概念不是一个严格的数学定义，因而对于概念的内涵和外延不宜作过多的挖掘.分段地表示一个函数，并不是唯一的表示方法，常常只是为了更加直观、方便.分段函数的解析式虽然有“几段”，但它终究是一个函数，而不是“几个函数”.因而研究分段函数时，常常需要分段研究，整体考虑.分类讨论与数形结合的思想方法是高中数学学习的两种重要思想方法，在分段函数的学习过程中体现尤为明显.准确地进行分类讨论，恰当地运用数形结合，对训练学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力有一定的作用.鉴于上述分析，本节课的重点是分段函数的概念以及运用分段研究、整体考虑的方法研究分段函数的定义域、值域、求函数值.2 目标和目标解析分段函数是研究函数的一个有效载体，如果将分段函数的教学目标仅仅定位于了解概念，那么分段函数蕴含的分类思想与数形结合的方法就不能得到较好地体现和渗透.因此，本节课的教学在呈现分段函数的概念之后，引导学生运用研究函数的方法来研究分段函数的定义域、值域、求函数值等，在此基础上引入一个简单的含参问题，激发学生思维的参与度，培养学生研究问题的意识.本节课的教学目标定位为：（1）通过具体实例，了解分段函数的概念，会运用研究函数的方法研究分段函数的定义域、值域等，同时巩固函数的概念与三种表示方法.（2）通过搜索知识经验和生活经验中的分段函数，体会函数建模思想；通过对简单含参分段函数的研究，进一步渗透数形结合思想和分类讨论的思想.3 教学问题诊断分析本节课的重点内容是分段函数的概念以及以分段函数为载体进行函数的简单研究.在概念的学习中，可能有学生会认为分段函数的“段”是等长的，引入新课时特别安排了一个非等长例子以澄清认识；还可能有学生认为分段函数是几个函数，教学时在概念呈现之后立即向学生阐明分段函数是一个函数.这样尽可能消除这些事实性知识在学生认知中的潜在难点.运用研究函数的一般方法来研究分段函数是教学的难点，原因有二：一是函数的研究经验并不多，学生还没有巩固研究函数的方法，就要开始独立去研究一类新的函数，对学生应用知识和方法的能力有较高的要求；二是分段函数本身就蕴含着分类讨论，尤其在分段函数的解析式中加入参数讨论，这就更增加了思维要求和教学难度.在本章函数的定义域、解析式、值域的学习中，学生已初步体会到借助函数图象来研究函数性质的方法；在前面章节“集合”的学习中，学生已经训练了一些难度相当的参数讨论问题，并感受了数轴和韦恩图在集合运算中的作用，这些都渗透了数形结合和含参分类讨论的思想.虽然这些为本节课的教学打下了一定的知识基础、能力基础和方法基础，但由于课堂时间紧（上课时间只有30分钟，另外10分钟完成教学目标检测与课堂问卷调查），分类讨论与数形结合对学生的思维要求高，因此，借助函数图象研究分段函数的性质、含参问题的分类讨论仍是本节课的教学难点.4 教学支持条件分析结合前面的分析可知，在本节课的教学中，运用数形结合的方法研究分段函数的性质是一个难点，完成分段函数中含参问题的讨论是另一个难点.前者难在学生的形象思维与抽象思维的转接，后者难在逻辑思维的拓展与思维场的初步形成.为了突破后一个难点，在研究分段函数中的含参问题时借助几何画板作图，观察参数变化引起函数图象的变化规律，帮助学生获得分析分段函数的直观印象与感性认识；以问题的内在逻辑有层次地组织学生的思维活动，引导学生积极思考问题，深入交流讨论，独立研究，分组汇报，让学生在碰撞中收获思维火花，提升思维能力.5 教学过程设计（一）复习引入我们知道，确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应法则.因此，我们写函数解析式的时候，一定别忘记在解析式后面带上它的定义域.上节课我们学习了函数的三种表示方法――列表法、图象法、解析法.下面，我们从一个简单的函数图象出发，继续研究函数的相关问题.图1引例根据函数的图象（图1）写出函数的解析式：设计意图根据图象写解析式，复习函数的表示法，同时为引出分段函数的概念铺垫.教学时，先呈现第一段让学生写解析式，再补全第二段，继续让学生写解析式，写完后将两段合并到一个花括号下，形成分段函数的解析式.最后，将第二段往右平移1个单位，体会定义域断开的情形取定义域的并集.（二）新课讲解概念像上面这个函数，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.（板书）分段函数是一个函数的分段表达形式，它是一个整体，而不是几个函数，它的每一“段”对应的自变量x的取值区间也不一定都等长.回问（1）从引例中分段函数的图象，我们可以读取哪些信息？（定义域、值域、变化趋势、求给定自变量对应的函数值如求f（2），f（f（2））等.）注学生答完后再将函数图象作一点变化――将第二段往右平移一个单位.然后问学生：定义域是什么？如何求f（3），f（f（3））？给一个x值一定可以求出一个函数值，有没有出现问题的时候？学生答f（f（23））. （2）你还能提出什么问题吗？抑或能发现点什么吗？（形如f（f（x））的求值一定能求吗？已知函数值求对应的自变量值，如求使f（x）=1的x值，定义域内任意一点处的若干次迭代函数值一定会循环吗？如果定义域不连续能求f（f（32））吗？）（3）在你的知识积累和生活经验中，见过哪些分段函数？请举例.注学生答：物理上路程和时间之间的关系图象（变速运动）、电信的计价方式.下面，我们来看一个生活中收费的例子：练习1 某路公交车的线路总长20km，票价制定的规则是：（1）乘坐不超过5km，票价2元；（2）乘坐5km以上，每增加5km，票价增加1元.（不足5km的按5km计算）①试问：票价f（x）是里程x的函数吗？为什么？②如果是，请你选用恰当的方法表示这个函数.（补充呈现列表法――公交车分段票价表）注学生给出解析式f（x）=-[-x5]+1，00、a=0、a （4）请在下面给定的坐标系（图4）中作出函数f（x）的图象：图4[考核目标：从实际问题中建构分段函数的解析式，进而得出定义域、值域，会作出函数图象]6 教学反思本节课的教学对象整体基础较好，思维能力较强，因而课堂比较活跃，推进比较顺利.回首本节课的设计与教学，我还是觉得有一些地方值得改进：6.1 关于教学设计教学设计中分段函数的概念是借助一个引例来给出的，引例中有三个动作：一是写出一段的函数解析式；二是补充第二段后再写出函数解析式；三是将函数图象的第二段往右平移一个单位，体会定义域“断开”的情形.在实际教学中是放在讲完概念、并且回问第一个问题之后再提出来的.从学生的认知规律来看，实际教学的顺序更符合学生的认识次序.所以，原教学设计在此处对学生的认知心理显得略欠考虑.我很庆幸实际教学中将这一次序调整了过来！作为反思，我想如果将这一教学设计试讲一遍，也许会发现这一问题.6.2 关于教学过程本节课在时间分配、师生互动对话、学生独立思考、学生高质量回答问题、按教学设计进行教学活动等方面都比较成功，所有教学设计的内容及提问也很适合学生的思维能力，在一定程度上能激发学生的思维参与.但教学中有一个细节的失误却让我无法释怀：教学设计中练习1是一个实际背景问题，目的是巩固分段函数的概念.请学生选用恰当的方法表示这个函数是为了进一步巩固函数的表示方法，我期望学生用分段函数表示出来，然后补充图象表示方法，并不期望学生用统一的解析式表示.教学时有一个学生给出了解析式f（x）=-[-x5]+1，0。
【一等奖教案】 反函数
反函数教学目标：1．了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系．2．会求一些简单函数的反函数．3．在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识．4．进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力．教学重点：求反函数的方法．教学难点：反函数的概念．教学过程：教学设计说明“问题是数学的心脏”．一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程．本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念．反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号．由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念．为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成．另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用．通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维．使学生自然成为学习的主人．二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。
在此之前，学生已经学习了直线的方程，同时也学习了数形结合的数学思想方法。
在这个基础上，教材安排了这一节，介绍直线方程的一个简单应用。
这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对于数学知识应用的重视。
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法――数学建模法。
初中图形分段函数教案
初中图形分段函数教案教案标题：初中图形分段函数教案教案目标：1. 理解图形分段函数的概念和特点；2. 掌握绘制图形分段函数的方法；3. 能够根据给定的函数表达式绘制对应的图形；4. 能够分析和解决与图形分段函数相关的问题。
教学准备：1. 教学投影仪或白板；2. 教学PPT或白板笔；3. 练习题和答案。
教学过程：1. 引入（5分钟）a. 通过展示一些图形分段函数的例子，引起学生对该主题的兴趣；b. 提问学生是否了解图形分段函数的概念，鼓励他们分享自己的理解。
2. 理解图形分段函数（10分钟）a. 定义图形分段函数：将定义域划分成不同的区间，在每个区间内使用不同的函数表达式来描述函数的变化；b. 解释图形分段函数的特点：在每个区间内，函数的表达式都保持不变，但在不同的区间之间可能存在不连续点。
3. 绘制图形分段函数（15分钟）a. 介绍绘制图形分段函数的基本步骤：确定定义域、绘制每个区间的函数图像、标注不连续点；b. 通过示例演示如何绘制图形分段函数；c. 引导学生练习绘制其他图形分段函数。
4. 分析和解决问题（15分钟）a. 提供一些与图形分段函数相关的问题，如求函数在某个点的值、求函数的最值等；b. 引导学生分析问题并运用图形分段函数的特点解决问题；c. 给予学生足够的练习时间，并及时给予指导和反馈。
5. 总结与拓展（5分钟）a. 回顾图形分段函数的概念和特点；b. 强调绘制图形分段函数和解决问题的方法；c. 提醒学生在实际问题中应用图形分段函数的能力。
教学扩展：1. 鼓励学生寻找更多图形分段函数的实例，并尝试绘制它们的图像；2. 引导学生思考图形分段函数在实际生活中的应用，如温度变化、人口增长等；3. 给予学生更多练习题，巩固他们对图形分段函数的理解和应用能力。
教学评估：1. 在课堂上观察学生对图形分段函数的理解和绘制能力；2. 对学生完成的练习题进行评估，检查他们对图形分段函数的应用能力；3. 针对学生的表现，及时给予指导和反馈，帮助他们提高。
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第 16次课 学生： 蒋昊秋 授课时间: 2012 年 7 月 28 日 10 ： 00 --- 12 ： 00
教师 唐文 审核教师
授课课题 解函数解析式
一、 授课目的与考点分析：
1． 会用待定系数法以及配凑法求函数解析式 2． 会求分段函数定义域及值域。
3． 掌握反函数的性质，会求反函数。
二、
授课内容：
一：函数解析式的常用方法：
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y ＝f （x ）满足xy ＜0，4x 2－9y 2＝36，求该函数解析式。
说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成
229
3
x y -=±
的形式。
2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。
例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m 时，水流量为340m 3/s ，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
变式.已知()f x 为二次函数，过原点，且f(1)=3, f(3)=6,求()f x 的解析式 。
说明：二次函数的表达形式有三种：一般式：2
()f x ax bx c =++；顶点式：2
()()f x a x m n =-+；零点式：
12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。
3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例3. 已知2211
()x x x f x x +++=
，试求()f x 。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
变式：（1）已知,sin )cos 1(2
x x f =-求()2
x
f 的解析式
起航学校个性化辅导教案提纲
（2）若221
)1(x
x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____
4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例4. （1）已知21
()2()345
f x f x x x +=++，试求()f x ；
5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。
例5. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点B 出发，顺次经过C 、D 再到A 停止。
设x 表示P 行驶的路程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数。
二：反函数
1.反函数定义：只有满足
x y ←−−→唯一
，函数)(x f y =才有反函数. 例如：2y x =无反函数.函数)(x f y =的
反函数记为)(1y f x -=，习惯上记为)(1x f y -=.
2．存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立。
例6.函数2
23y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A 、(],1a ∈-∞
B 、[)2,a ∈+∞
C 、[1,2]a ∈
D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞
3.求反函数的步骤:①将)(x f y =看成关于x 的方程, 反求x 解出)(1y f x -=，若有两解，要注意解的选择；②将y x ,互换，得)(1
x f
y -=；③写出反函数的定义域（即)(x f y =的值域）。
例7.求函数 2
11x y --= （-1≤ x < 0）的反函数
变式：设)0()1()(2
>+=x x
x x f .求)(x f 的反函数)(1
x f -。
4.一般地，如果函数)(x f y =有反函数，且()f a b =，那么a b f =-)(1. 这就是说点（b a ,）在函数)(x f y =图象上，那么点（a b ,）在函数)(1x f y -=的图象上. 例8. (1）设()1
2
4+-=x x
x f ，则()=-01
f
________.
(2). 若函数()y f x =的图象经过)1,0(-，那么(4)y f x =+的反函数图象经过点( ) (A))1,4(-
(B))4,1(--
(C))1,4(--
(D))4,1(-
变式：若点)4
1,2(既在函数b
ax y +=2
的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__，b =___
5. 反函数的性质：
⑴反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。
⑵设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数1()y f x -=在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。
（3）在同一坐标系，函数)(x f y =与它的反函数)(1
x f
y -=的图象关于x y =对称. 注意函数()y f x =的图象与
1()x f y -=的图象相同。
例9.（1）已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_______
（答：（1,3））；
（2）已知函数1
3
2)(-+=x x x f ，若函数()y g x =与)1(1
+=-x f y 的图象关于直线x y =对称，求(3)g 的
值
三：分段函数的概念
分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函
数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
如 1．求分段函数的定义域和值域
例9．求函数12
22[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域.
1
1
o 32
2
-1
y x
-1
2．求分段函数的函数值
例10．（05年浙江理）已知函数2
|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .
3．求分段函数的最值
例11．求函数43(0)
()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
三、本次课后作业：
反函数及分段函数习题见附件
四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字： 五、教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字： 家长签字： 学习管理师签字：
起航学校教务处。