九年级数学上册_第24章 24.2.2 圆的切线(第2课时)课件 (新版)新人教版
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九年级上第24章 《 圆》24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(2)圆的切线课件(16张PPT)
回忆
直线与圆位置关系的定义 直线l与⊙O没有公共点 直线l与⊙O相离 d＞r ． 直线l与⊙O唯一公共点 直线l与⊙O相切 d＝r ． 直线l与⊙O两个公共点 直线l与⊙O相交 d＜r ．
直线与圆位置关系的数量特征.
思考
下面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出 对称轴吗?如何画呢?
B
●O
●
A
l
作法:(1)作半径OA,
(2)过点A作直线l⊥OA. 那么 直线l是⊙O切 线.
O
C
A
思考 如图,直线CD与⊙O相切于点A.
问题2：切线CD与半径OA有怎样的位置关系?
说说你的理由.
●O
切线CD垂直于半径OA.
C
A
D
∵右图是轴对称图形,
AB是对称轴,
∴沿直线AB对折图形时,
AC与AD重合,
∵ OA是⊙O的半径,CD过A且CD⊥OA. 以AB为直径作⊙O ，
理由：∵ OA⊥l于A, 假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
直线l与⊙O唯一公共点 直线l与⊙O相切 d＝r ． 阅读课本P95—96探究前内容.
∴ OA是O到l的距离〔d) 直线l与⊙O唯一公共点 直线l与⊙O相切 d＝r ．
⒐圆九年 级 数 学 〔 上 〕
直线与圆的位置关系〔2〕 ————圆的切线
静宁三中 备课组
学习目标
〔1〕理解圆的切线的性质和判定. 〔2〕能运用切线的性质和判定解决相关问题.
阅读指导 阅读课本P95—96探究前内容.完成
〔1〕理解并记住切线的判定定理. 〔2〕学习体会例1判定切线的思想方法的推理过程. 〔3〕理解并记住切线的性质定理.
因此∠BAC=∠BAD=90°. 圆的切线垂直于过切点的半径. 因此∠BAC=∠BAD=90°.
人教版九年级数学上册第24章_24.2.2课时2+切线的判定和性质_教学课件
新课讲解
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠BAC的平分线 交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作⊙D. 求证：AC与⊙D相切.
解：过点D作DE⊥AC于点E，如图所示.
因为∠ABC=90°，
E
所以AB⊥BC，
又AD平分∠BAC，DE⊥AC，
所以DE=DB，
所以AC与⊙D相切.
课堂小结
新课讲解
练一练
下列命题中，真命题是( D ) A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
新课讲解
知识点2 切线的性质
如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
应用格式 ∵直线 l 是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线 l ⊥OA.
O l
A
新课讲解
性质定理的证明
B
证法1：反证法.
O
(1) 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂
直于CD,垂足为M.
C
AM D
(2) 则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，
CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相径，MN是⊙O的切线，切点为N，如
果∠MNB =知52识°点，那么∠NOA的度数为(A )
A.76° B.56° C.54
D.52°
分析：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38° ∴∠NOA=2∠B=76°．
人教版九年级上册第24章 课时2 切线的判定与性质3(23页)
经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
切线
切线的性质
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有1个公共点
常见辅助线
d=r
有切线时： 连切点，得垂直； 作垂直，得切点
证切线时： 有公共点，连半径，证垂 直；无公共点，作垂直，证半径
A O
第2题
第3题
4. 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2， ∠APO=30° ，求⊙O的半径.
解：连接OA，则OA为⊙O的半径， 因为PA是⊙O的切线， 所以OA⊥AP， 又∠APO＝30°，OP＝2， 所以OA＝1 OP＝1，
2
即⊙O的半径为1.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
A
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
E
又 AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线.
B
D
C
典例精析
方法总结
当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证 明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
典例精析 证切线时辅助线的添加方法
都是沿圆的切线方向飞出的.
合作探究
思考
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关系？
可以看出，圆心 O 到直线 l 的距离就是 ⊙O 的半径，直线 l 就是⊙O的切线.
O
l A
合作探究
归纳
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
随堂演练
人教版九年级数学上册第24章第2节《切线长定理》优质课件
(1)PA=P；
连接AB以后，
(2)OA⊥PA,OB⊥PB；
还能得到哪些
(3)OP平分∠AOB和∠APB；
信息？
(4)OP垂直平分AB.
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、 A
F，你能得到哪些信息？
E
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.
D .O
(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
C
BF
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续. 从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的 内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念， 经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识 和基本技能，并能解决简单的问题.
解：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、 O则CS.△1122AABABCB=·rSB△12CBAOCAB·r+CS12r△ABC12Ol·rCr.+S△AOC
拓展延伸
7.如图，AB、BC、CD分 别与⊙O相切于E、F、G 三点，且AB∥CD，BO＝ 6cm，CO＝8cm，求BC的 长.
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
A
CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得
E
F.
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂演练
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，
CA，AB分别相切于点D，E，F，且 AB=11cm，BC=14cCm，CA=13cm，则
九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2切线长定理和三角形的内切圆听课课件新版新人教
由于等边三角形的内心就是它的外心，可得
1
1
AD＝2AB＝1，∠OAB＝2∠CAB＝30°.
在 Rt△AOD 中，OA＝2OD，由勾股定理，得 OD＝ 33，
∴图中阴影部分的面积为 S△ABC－S⊙O＝ 43×22－π×( 33)2＝
π
3－ 3 .
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
【归纳总结】三角形内切圆半径的三种求法：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点________之间 线段的长，叫做这点到圆的切线长
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们切的线_长_______ 相等，这一点和圆心的连两线条切平线分的_夹_角______________
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
符号语 言表示
因为PA，PB是⊙O的两条切线， 所∠以APPOA＝＝_∠____BP__PBO_________＝12， ∠_A_PB______．
图 24－2－16
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识目标
目标突破
总结反思
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识目标
1．通过画图、折叠、度量、思考等过程，探索出切线长定理， 并能用切线长定理解决问题．
2．经历教材中“思考”的实践操作、交流过程，理解三角形 的内切圆，会画三角形的内切圆，并会求三角形内切圆的半 径．
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
目标突破
目标一 能用切线长定理解决问题
例 1 教材例 2 针对训练 已知：如图 24
－2－13 所示，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分 别是 A，B，Q 为A︵B上一点，过点 Q 作⊙O 的切 线，分别交 PA，PB 于点 E，F.已知 PA＝12 cm， ∠P＝70°.求：
九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2切线的判定和性质作业本课件 新人
【解析】如图， 设 AB 与小圆切于点 C，连接 OC，OB.∵AB 与小圆切于点 C，∴OC⊥AB，∴BC＝AC＝12AB＝12×8＝4.
C．1
D．0
图 精2选4教－育课2件－27
18
第2课时 切线的判定和性质
【解析】连接 OD，根据切线的性质定理可得 OD⊥CD.由于 AB 是⊙O 的直 径，根据“直径所对的圆周角等于 90°”，可得∠ADB＝90°，结合已知条件
“∠A＝30°”可以说明①②的正确性；在 Rt△ADB 中，利用“30°角所对的
6．2016·邵阳 如图 24－2－23 所示，AB 是⊙O 的直径，C 为 ⊙O 外一点，CA，CD 是⊙O 的切线，A，D 为切点，连接 BD，AD. 若∠ACD＝30°，则∠DBA 的大小是( D )
A．15° B．30° C．60° D．75°
图 24－2－23
精选教育课件
10
第2课时 切线的判定和性质
图 24－2－19
精选教育课件
4
第2课时 切线的判定和性质
3．如图 24－2－20，A，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点 A 的一条 直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝____6_0___°时，AC 才能成 为⊙O 的切线．
图 24－2－20
精选教育课件
5
第2课时 切线的判定和性质
____5____．
图 24－2－24
精选教育课件
12
第2课时 切线的判定和性质
【解析】连接 OB，根据切线的性质可知 OB⊥AB.设圆的半径为 r，根据 勾股定理可得 r2＋AB2＝(r＋AC)2，即 r2＋122＝(r＋8)2，解得 r＝5.
精选教育课件
13
C．1
D．0
图 精2选4教－育课2件－27
18
第2课时 切线的判定和性质
【解析】连接 OD，根据切线的性质定理可得 OD⊥CD.由于 AB 是⊙O 的直 径，根据“直径所对的圆周角等于 90°”，可得∠ADB＝90°，结合已知条件
“∠A＝30°”可以说明①②的正确性；在 Rt△ADB 中，利用“30°角所对的
6．2016·邵阳 如图 24－2－23 所示，AB 是⊙O 的直径，C 为 ⊙O 外一点，CA，CD 是⊙O 的切线，A，D 为切点，连接 BD，AD. 若∠ACD＝30°，则∠DBA 的大小是( D )
A．15° B．30° C．60° D．75°
图 24－2－23
精选教育课件
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第2课时 切线的判定和性质
图 24－2－19
精选教育课件
4
第2课时 切线的判定和性质
3．如图 24－2－20，A，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点 A 的一条 直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝____6_0___°时，AC 才能成 为⊙O 的切线．
图 24－2－20
精选教育课件
5
第2课时 切线的判定和性质
____5____．
图 24－2－24
精选教育课件
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第2课时 切线的判定和性质
【解析】连接 OB，根据切线的性质可知 OB⊥AB.设圆的半径为 r，根据 勾股定理可得 r2＋AB2＝(r＋AC)2，即 r2＋122＝(r＋8)2，解得 r＝5.
精选教育课件
13
人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)
知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
九年级数学上册第24章圆24.2.2第2课时切线的判定和性质课件【人教版】
(1)证明：连接 OP，如答图． ∵CP 与⊙O 相切于点 P，∴OP⊥CP. ∵BD∥CP，∴OP⊥BD，∴点 P 为 的中点， (2)解：连接 AD，如答图． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°＝∠OPC. ∵BD∥CP，∴∠C＝∠DBA. 又∵∠C＝∠PDB，∴∠DBA＝∠PDB，∴DP∥BC，
当堂测评
1．下列结论中，正确的是( D ) A．圆的切线必垂直于半径 B．垂直于切线的直线必经过圆心 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线
2．[2017·自贡]如图 24-2-16 所示，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，
PO 交⊙O 于点 C，连接 BC.若∠P＝40°，则∠B 等于( B )
2．切线的性质 定 理：圆的切线垂直于过切点的 半径 ． 总 结：(1)切线和圆只有一个公共点； (2)切线和圆心的距离等于圆的半径； (3)切线垂直于过切点的半径； (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．
归类探究
类型之一 切线的判定 如图 24-2-13 所示，在等腰△ABC 中，AC
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
图24216
3．[2017·连云港]如图 24-2-17 所示，线段 AB 与⊙O 相 切于点 B，线段 AO 与⊙O 相交于点 C，AB＝12，AC＝8， 则⊙O 的半径长为 5 .
图24217ຫໍສະໝຸດ 分层作业1．如图 24-2-18 所示，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为
例2答图
类型之三 切线的判定与性质的综合运用 如图 24-2-15 所示，△ABC 为等腰三角形，AB
＝AC, O 是底边 BC 的中点，⊙O 与腰 AB 相切于点 D，求 证：AC 与⊙O 相切．
24.2.2 圆的切线的判定与性质(2)
B的夹角∠α，当l绕点A旋转时，
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
课海拾贝
/反思纠错
课海拾贝
/反思纠错
课海拾贝
24.2.2圆的切线的判定与性质（2）
一、复习回顾
1、提问直线和圆的位置关系有几种？如何来判断？
2、引入新课：下雨天，当你快速转动时，雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?在砂轮上打磨工件时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?
怎样的直线是圆的切线？怎样做圆的切线？切线有什么性质？今天我们一起研究这些问题
六、课外延伸
1、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是________三角形
2、两个同心圆的半径分别为3cm和4cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=cm
3、如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，
弦AB与小圆相切于点C，则AB＝（）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
4、平面直角坐标系中有一点A（3，4），以点A为圆心、5长为半径作圆，则直线 与⊙A的位置关系是.
/反思纠错
课海拾贝
/反思纠错
说出题设和结论，你能用反证法证明吗？
3、尝试完成“例1”：如何添加辅助线？
判定一条直线是圆的切线的证明思路是什么？
四、综合检测
1、自学指导问题
2、课本98页：练习1、2
五、课堂小结
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？
2、圆的切线有什么性质
3、解决切线问题时如何添加辅助线呢？
五、课堂作业
课本p101第4题、p103第14题
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
课海拾贝
/反思纠错
课海拾贝
/反思纠错
课海拾贝
24.2.2圆的切线的判定与性质（2）
一、复习回顾
1、提问直线和圆的位置关系有几种？如何来判断？
2、引入新课：下雨天，当你快速转动时，雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?在砂轮上打磨工件时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?
怎样的直线是圆的切线？怎样做圆的切线？切线有什么性质？今天我们一起研究这些问题
六、课外延伸
1、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是________三角形
2、两个同心圆的半径分别为3cm和4cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=cm
3、如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，
弦AB与小圆相切于点C，则AB＝（）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
4、平面直角坐标系中有一点A（3，4），以点A为圆心、5长为半径作圆，则直线 与⊙A的位置关系是.
/反思纠错
课海拾贝
/反思纠错
说出题设和结论，你能用反证法证明吗？
3、尝试完成“例1”：如何添加辅助线？
判定一条直线是圆的切线的证明思路是什么？
四、综合检测
1、自学指导问题
2、课本98页：练习1、2
五、课堂小结
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？
2、圆的切线有什么性质
3、解决切线问题时如何添加辅助线呢？
五、课堂作业
课本p101第4题、p103第14题
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.2.4 切线长、三角形的内切圆(共29张PPT)
△ABC的( ) A．三条边的垂B直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点
返回
8．(中考·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均
在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
返回
9．(中考·眉山)如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I
第24章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第4课时 切线长、三角形的内切圆
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知识点 1 切线长定理
1．经过圆外一点作圆的切线，________和________
之间的线段的长，叫做这点到这圆点的切线长切．点
切线长定理：从圆外一点可以引圆的________条切
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
返回
8．(中考·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均
在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
返回
9．(中考·眉山)如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I
第24章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第4课时 切线长、三角形的内切圆
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知识点 1 切线长定理
1．经过圆外一点作圆的切线，________和________
之间的线段的长，叫做这点到这圆点的切线长切．点
切线长定理：从圆外一点可以引圆的________条切
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2切线的判定和性质听课课件新版新人教版
第2课时 切线的判定和性质
目标突破
目标一 能判断一条直线是不是圆的切线
例1 教材例1变式题 如图24－2－8，AB是⊙O的直径，点D在AB 的延长线上，BD＝OB，点C在⊙O上，∠CAB＝30°.求证：CD是 ⊙O的切线．
图 24－2－8
第2课时 切线的判定和性质
[解析] 欲证 CD 是⊙O 的切线，由于直线 CD 与⊙O 有公共点 C，所以连 接 OC，只需证明 OC⊥CD 即可．因为 AB 是⊙O 的直径，所以连接 BC，易知 △BOC 为等边三角形，由 CB＝OB＝BD 可得△OCD 是直角三角形．
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
第2课时 切线的判定和性质
知识目标 目标突破 总结反思
第2课时 切线的判定和性质
知识目标
1．通过画图、探究，总结切线的判定方法，能判断一条直线 是不是圆的切线．
2．经历用反证法证明教材中“思考”的过程，得到切线的性 质，会用该性质解决相关问题．
第2课时 切线的判定和性质
如图24－2－11，在△ABC中，AB＝AC，O为 底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D.求证： AC与⊙O相切．
证明：如图24－2－12，设AC与⊙O的公共点 为E.连接OD，OE.
∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵OB＝OC，OD＝OE，∴△OBD≌△OCE， ∴∠OEC＝∠ODB＝90°，∴AC与⊙O相切． 以上证明过程正确吗？若不正确，请改正．
所以 AC＝OA＝12AB＝12×12＝6(cm)．
图 24－2－10
第2课时 切线的判定和性质
【归纳总结】切线的三条性质及辅助线的作法： 1．三条性质： (1)切线和圆只有一个公共点； (2)圆心到切线的距离等于圆的半径； (3)圆的切线垂直于过切点的半径． 2．辅助线的作法： 连切点、圆心，得垂直关系．
人教版数学九年级上册24.直线和圆的位置关系(第2课时)课件
O.
图1
图2
猜猜看：图2中直线l与⊙O由怎样的位置关系？
相切的语言把这一结论总结出来吗？
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线
符号表示： ∵OA是⊙O半径，l⊥OA于点A， ∴l是的⊙O切线.
及时练
问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ×） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
03
练习
例1
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 ⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是 ⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂 线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是的 半径，因此需要证明OE=OD.
例1
证明：如图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD，OA. ∵⊙O 与 AB 相切于点 D， ∴OD⊥AB. 又为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， ∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴OE=OD，即 OE 是⊙O 的半径. 这样，AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E，并且垂直于半径 OE，所以 AC 与⊙O 相切.
1.要解决此问题用什么方法？ 切线的判定定理 2.AB要具备哪些条件？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径 3.连接OB就使AB过半径的外端，只需证明 OB⊥AB即可，如何证明呢？
例
常用证两条 线段（或直 线）垂直的 方法
例
证法1：连接OB ∵OB=OC,CA=OC ∴BC= 1 OA
2
∴ ∠OBA=90º， 即AB⊥OB ∴AB是⊙O的切线
反证法：假设AB与OC不垂直， 则过点O作OM⊥AB，垂足为M， 根据垂线段最短，得OM<OC， 即圆心O到直线AB的距离d<R ∴直线AB与⊙O相交， 这与已知“AB是⊙O的切线”矛盾 ∴假设不成立，即AB⊥OC.
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD,
∴OC//AD. 由此得 ∠ACO=∠CAD.
D C
∵OC=OA.
∴ ∠CAO=∠ACO.
A
O
B
∴ ∠CAD=∠CAO.
故AC平分∠DAB.
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
24.2.2 圆的切线的性质和 判定定理
O
r
l
A MB
l
.O
回顾：
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数 公共点名称 直线名称 圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个 交点
割线
d<r
Or d
l A
1个 切点 切线
d= r
Or d
l
没有
d> r
人教版版九年级上册教材24. 圆的切线的性质和判定定理课件
AM O
反证法
证明：假设l与OA不垂直,
作OM⊥ l于M 因“垂线段最短”, 故OA>OM, 即圆心到直线的距离小于半径. 这与“直线l是圆O的切线”矛盾. 故直线l与圆O一定垂直.
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切线的性质定理：圆的切 线垂直于过切点的半径。
O
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如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，
人教版九年级数学上册 第24章 24.2.2 直线和圆的位置关系与圆的切线性质 课件
（1）求证：PC是⊙O的切线；
证明：过点O作OE⊥PC于点E， ∵PA⊥AB，CD⊥PO, ∠AOP=∠COD, ∴∠OPA=∠DCO,∵∠DPC=∠DCO, ∴∠OPA=∠DPC, ∵OA⊥PA,OE⊥PC,∴OE=OA, ∴PC是⊙O的切线;
9
小试牛刀
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上， PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延 长线于点D，且∠DPC=∠DCO。
13
例2、AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点
E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC. (1)求证：DE与⊙O相切；
解：(1)证明：如答图，连结OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°， ∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD， ∴∠BOD＝∠A， ∵∠AED＝∠ABC， ∴∠BOD＋∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°， 即OD⊥DE，∵D在圆上， ∴DE与⊙O相切；
点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC。
(1)求证：DE与⊙O相切； (2)若BF＝2，DF＝ ， 求⊙O的半径．
12
比一比
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且
与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大 圆相交于点D，且CO平分∠ACB. (1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； (3)若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求大圆与小圆 围成的圆环的面积．(结果保留π)
小圆围成的圆环的面积．(结果保留π)
7
小试牛刀
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D， 且∠DPC=∠DCO。
证明：过点O作OE⊥PC于点E， ∵PA⊥AB，CD⊥PO, ∠AOP=∠COD, ∴∠OPA=∠DCO,∵∠DPC=∠DCO, ∴∠OPA=∠DPC, ∵OA⊥PA,OE⊥PC,∴OE=OA, ∴PC是⊙O的切线;
9
小试牛刀
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上， PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延 长线于点D，且∠DPC=∠DCO。
13
例2、AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点
E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC. (1)求证：DE与⊙O相切；
解：(1)证明：如答图，连结OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°， ∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD， ∴∠BOD＝∠A， ∵∠AED＝∠ABC， ∴∠BOD＋∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°， 即OD⊥DE，∵D在圆上， ∴DE与⊙O相切；
点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC。
(1)求证：DE与⊙O相切； (2)若BF＝2，DF＝ ， 求⊙O的半径．
12
比一比
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且
与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大 圆相交于点D，且CO平分∠ACB. (1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； (3)若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求大圆与小圆 围成的圆环的面积．(结果保留π)
小圆围成的圆环的面积．(结果保留π)
7
小试牛刀
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D， 且∠DPC=∠DCO。
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例题精讲
【例2】如图24－2－14所示，AB为⊙O的直径，点C 为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为 D. 求证：AC平分∠DAB.
解析 CD是⊙O的切线，连接OC，则OC⊥CD. 连 接圆心与切点是解决切线问题时常用的辅助线.
证明 连接OC. ∵ CD是⊙O的切线，∴ OC⊥CD. 又∵ AD⊥CD，∴ OC∥AD. ∴ ∠1＝∠2. 又∵ OC＝OA，∴ ∠1＝∠3. ∴ ∠2＝∠3. ∴ AC平分∠DAB. 点评 在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过 切点的半径.
则∠COD的大小为( ) A
A. 70°
B. 60°
C. 55°
D. 35°
4. (4分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
AB＝8，如果以点C为圆心的圆与边AB相切，那么
⊙C的半径长等于2
.
5. (4分)⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径
为r，当d、r是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，
(1)试判断点D与⊙O的位置关系； (2)过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线
DE是⊙O的切线. 解析 (1)验证点D是否在圆上；
(2)可把问题转化成证明DE⊥OD. 解 (1)点D在⊙O上；理由如下： 设⊙O与BC交于点M，连接AM. ∵AB是直径，∴∠AMB＝90°， 在Rt△ABM中，∠ABC＝30°，
注意：当已知直线与圆有公共点，要证明直线 与圆相切时，可先连接圆心与该公共点，再证明连 线垂直于该直线. 这是证明切线的一种常用方法.
举一反三
1. 如图24－2－12，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆 O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点 E. 求证：CE为⊙O的切线.
证明：连接OD.
在Rt△ABM中，∠ABC＝30°，
∵BC＝4 ， ∴M是BC的中点，则M与D重合.
∴点D在⊙O上； (2)证明：连接OD， ∵D是BC的中点，O是AB的中点， ∴DO是△ABC的中位线.
∴OD∥AC，则∠EDO＝∠CED. 又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°. ∴ DE是⊙O的切线.
解：如答图24－2－5， 连接OA，过O作OB⊥PC， ∵PA切⊙O于点A， ∴OA⊥PA. 又∵∠OPC＝∠OPA， OB⊥PC，∴OA＝OB，即d ＝r. ∴PC是⊙O的切线.
新知 2 切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径. 注意： (1)切线和圆只有一个公共点； (2)圆心到切线的距离等于半径； (3)经过圆心并垂直于切线的直线必过切点； (4)经过切点并垂直于切线的直线必过圆心.
第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系 第二课时 圆的切线
新知 1 切线的判定定理
定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
例题精讲 【例1】如图24－2－11所示，⊙O的直径AB＝4，
∠ABC＝30°，BC＝4 ，点D是线段BC的中点.
且直线l与⊙O相切时，则m的值为 4
.
6. (10分)如图KT24－2－9，AC是⊙O的直径，OB是 ⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于 点M，∠COB＝∠APB. 求证：PB是⊙O的切线.
证明：∵PA切⊙O于点A， ∴∠MAP＝90°.∴∠P＋M＝90°. ∵∠COB＝∠APB， ∴∠M＋∠MOB＝90°. ∴∠MOB＝90°，即OB⊥PB. ∴PB是⊙O的切线.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
2. (4分)如图KT24－2－7，AB是⊙O的直径，C，D 是⊙O上两点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交 AB的延长线于点E，则∠E等于( B )
A. 30° B. 40°
C. 50°
D.
3. (4分)如图KT24－2－8，AC是⊙O的切线，切点为C，BC 是⊙O的直径，AB交⊙O与点D，连接OD，若∠BAC＝55°，
∵点C，D为半圆O的三等分点， ∴∠BOC＝12 ∠BOD. 又∠BAD＝ 1 ∠BOD，
2 ∴∠BOC＝∠BAD. ∴AE∥OC.
∵AD⊥EC，∴OC⊥EC.
∴CE为⊙O的切线.
2. 如图24－2－13，射线PA切⊙O于点A，连接PO. 在 PO的上方作射线PC，使∠OPC＝∠OPA(用尺规在原图 中作，保留痕迹，不写作法)，并证明PC是⊙O的切线.
∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )
A. 40°
B. 50°
C. 60°ຫໍສະໝຸດ D. 20°3. 如图24－2－17，△ABC中，AB＝5，BC＝3， AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，求⊙C的半径.
解：在△ABC中， ∵AB＝5，BC＝3，AC＝4， ∴AC2＋BC2＝32＋42＝52＝AB2. ∴∠C＝90°. 如答图24－2－6， 设切点为D，连接CD.
举一反三 1. 如图24－2－15，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切 线，A为切点，BC经过圆心. 若∠B＝20°，则∠C的 大小等于( D )
A. 20°
B. 25°
C. 40°
D. 50°
2. 如图24－2－16，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是 ⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D， 若
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB.
∵S△ABC＝12
AC·BC＝1 2
∴AC·BC＝AB·CD，
AB·CD，
即
∴⊙C的半径为 .
1. (4分)如图KT24－2－6，AB是⊙O的直径，CD是 ⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C， ∠A＝30°，给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝ BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是( A )