高三数学课件：立体几何中的翻折问题

A A B D B C H C D
BCD上 H,则 (1) 设 A 在 平 面 BCD 上 的 射 影 为 H, 则 AH ⊥ 平 BCD,AB在 BCD的 面 BCD,AB 在 平 面 BCD 的 射 影 为 BC Q BC ⊥ CD ∴ CD ⊥ AB AB和 CD所 故 异 面 直 线 AB 和 CD 所 成 的 角 为 90 °.
A D F C E A E F P(B,C,D)
B
AP ⊥ PF 分析:(1)AP ⊥ EF ⇐ AP ⊥ 平面PEF ⇐ AP ⊥ PE
(2)设 EF 的 中 点 为 M,Q AE=AF,PE=PF AMP为 A-EF-P的 ∴ ∠ AMP 为 二 面 角 A-EF-P 的 平 面 角
解得 ∠AMP=arctan2 2
、 P (A、B) A E B C C D D E F
小结: 小结
1.要解决好折叠和展开这类问题需要较强的空 要解决好折叠和展开这类问题需要较强的空 间想象能力，并明确以下两点 两点： 间想象能力，并明确以下两点： (1)．折叠前、后的平面图与立体图中各个元素 ．折叠前、 间大小和位置关系，哪些发生变化，哪些不变． 间大小和位置关系，哪些发生变化，哪些不变． 一般情况下， 一般情况下，原图中的一部分仍在同一个半 平面内， 平面内，与组成这部分图形的元素保持着原有的 数量及位置关系， 数量及位置关系，抓住这些不变量和不变关系是 关键． 解决折叠问题的关键 解决折叠问题的关键． (2).根据不变量及有关定理、公式进行推理或计 根据不变量及有关定理 根据不变量及有关定理、公式进行推理或计 算． 2.本节课主要培养学生的空间想象力,体现‘ 本节课主要培养学生的空间想象力 2.本节课主要培养学生的空间想象力,体现‘化 的数学思想. 归’的数学思想.
在 R t ∆ B A C 中 , A B = 3, B C = 4,∴ A C = ∴ 异 面 直 线 A B与 CD的 距 离 是 7 .
A B A D B C H C D
7
ABCD是 变 式 训 练 :如 图 ,已 知 ABCD是 上 下 底 边 长 分 6,高 别 为 2和 6,高 为 3 的 等 腰 梯 形 ,将 它 沿 对 称 轴 OO1折 成 直 二 面 角 . (1)证明 :AC ⊥ BO1; (1)证 (2)求 (2)求 二 面 角 O-AC-O1的 大 小 .
分析: 建系,以 为坐标原点 为坐标原点,OA、OB、OC所在直线为 分析 (1) 建系 以O为坐标原点 、 、 所在直线为 X轴、Y轴、Z轴，则有 (3,0,0 )uuuu (0,3,0) , C (0,1, uuuu ), 则有A ,B 轴 轴 轴 uuur r uuur 3 r O1(0,0, 3 ) 从而 AC = (−3,1, 3), BO = (0, −3, 3), AC BO = 0 1 1 ∴ AC ⊥ BO1
P(B,C,D)
A ·M E
F
小结：求解翻折问题的基本方法 小结：求解翻折问题的基本方法： (1)先比较翻折前后的图形，弄清 翻折前后的图形 先比较翻折前后的图形， 哪些量和位置关系在翻折过程中不变， 在翻折过程中不变 哪些量和位置关系在翻折过程中不变， 哪些已发生变化， 哪些已发生变化， (2)将不变的条件集中到立方体图 将不变的条件集中到立方体图 形中，将问题归结为一个条件与结论 形中，将问题归结为一个条件与结论 明朗化的立几问题 的立几问题。 明朗化的立几问题。
(1)二面角A1 − B1C1 − M的大小是60°. (1)二
A
B1
G
C1
C
·
M
B
5 (2)异 (2)异面直线A1 B1与CC1所成的角为arccos . 8
D
O1
C
O1 Z
D
CAO源自B YOB
A X
uuuu uuu r r (2)QBO1 OC =−3+ 3 × 3 = 0,∴BO1 ⊥OC, 由 (1)AC ⊥ BO1,∴BO1 ⊥平 OAC, 面 uuuu r BO1 是 面OAC 的 个 向 . 平 一 法 量 r 设n = (x, y, z) 是 面O1AC的 个 向 , 平 一 法 量 r uuur D n AC = 0 −3x + y + 3z = 0 由r uuuu ⇒ r n OC = 0 y = 0 1 r A 取 = 3 ,得 n = (1,0, 3) z x
例 2:在 矩 形 ABCD中 ,AB=3,BC=4, 沿 对 角 线 BD对 折 成 二 面 角 A-BD-C,使 在 A在 平 面 B C D 上 的 射 影 落 在 B C 上 , (1) 求 异 面 直 线 A B 和 C D 所 成 的 角 ; (2) 求 A B 和 C D 之 间 的 距 离 .
例题分析: 例题分析 1:已 :E,F是 ABCD的 BC和 例 1: 已 知 :E,F 是 正 方 形 ABCD 的 边 BC 和
CD的 AE,EF,AF将 CD 的 中 点 , 分 别 沿 AE,EF,AF 将 ∆ ABE, ∆ ECF, ∆ AFD 折 起 使 B,C,D 三 点 重 合 于 P 点 , 如 图 , AFD折 B,C,D三 (1)求 (1) 求 证 :AP ⊥ EF; (2)求 (2) 求 二 面 角 A-EF- P 的 大 小 .
作业：如图，正三角形 的边长为3，过其中心G 作业：如图，正三角形ABC的边长为 ，过其中心 的边长为 边的平行线， 作BC边的平行线，分别交 、AC于B1、C1.将△AB1C1 边的平行线 分别交AB、 于 将 折起到△ 的位置，使点A 在平面BB 沿B1C1折起到△A1B1C1的位置，使点 1在平面 1C1C上 上 的射影恰是线段BC的中点 的中点M.求 的射影恰是线段 的中点 求 的大小； （1）二面角 1-B1C1-M的大小； ）二面角A 的大小 所成角的大小. （2）异面直线 1B1与CC1所成角的大小 ）异面直线A A1
强化练习: 强化练习
1. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， 如图是正方体的平面展开图， 在这个正方体中 ， 是异面直线； ①BM∥ED；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60° ∥ ； 与 是异面直线 与 成 ° 角；④DM⊥BN以上四个命题中正确的序号是 ( D ) ⊥ (A)、①②③ (B)、②④ 、 、②④ (C)、②③④ (D)、③④ 、 、③④
A A B D B C H C D
(2)由 (1)可 知 AB ⊥ CD,又 AB ⊥ CD ∴ AB ⊥ 平 面 (1) 可 CD, 又 ACD ∴ AB ⊥ AC Q AC 在 平 面 BCD的 射 影 是 BC , CD ⊥ BC ∴ AC ⊥ CD ∴ AC 是 异 面 直 线 AB与 CD的 公 垂 线 段
z
O1
C
O
B
y
uu uuuu r r 设二面角O AC设二面角O-AC-O1的大小为θ ,由n, BO1的方向 r uuuu r uu uuuu r r uu uuuu r r n BO1 3 可知θ =〈 n, BO1 〉∴ cos θ = cos〈 n, BO1 〉 = r uuuu = r 4 n BO1 3 即二面角O AC- 的大小是arccos 即二面角O-AC-01的大小是arccos 4
立体几何中的翻折问题
连州中学 周腾达
把一个平面图形按某种要求折起， 把一个平面图形按某种要求折起，转化 平面图形按某种要求折起 空间图形，进而研究图形在位置关系和数 为空间图形，进而研究图形在位置关系和数 量关系上的变化 这就是翻折问题 上的变化， 翻折问题。 量关系上的变化，这就是翻折问题。 图形的展开与翻折问题就是一个由抽 图形的展开与翻折问题就是一个由抽 展开与翻折问题就是一个由 直观,由直观到抽象的过程 的过程.在历年高考 象到直观 由直观到抽象的过程 在历年高考 中以图形的展开与折叠作为命题对象时常 出现,因此 因此,关注图形的展开与折叠问题是非 出现 因此 关注图形的展开与折叠问题是非 常必要的.折叠问题 折叠问题2005年高考的热点 预测 年高考的热点,预测 常必要的 折叠问题 年高考的热点 明年高考也应是一个热点. 也应是一个热点 明年高考也应是一个热点
N
M
E D
A
F
C
B
如图，ABCD是正方形 是正方形， AB的中点 的中点， 2.如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如 将△DAE和△CBE沿虚线DE和CE折起，使AE和BE DAE和 CBE沿虚线DE和CE折起， AE和 沿虚线DE 折起 重合, 重合后的点为P 则面PCD与面ECD PCD与面 重合,记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD 30° ° 所成的二面角为__________. 所成的二面角为__________.