偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题
(高等数学)偏微分方程
第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yuy x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y uu y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yuu y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y yu y x d x y u y x c yu y x b x u y x a就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yux u u就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒ 初值问题 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题. 2︒ 边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒ 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u 在区域D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u 及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u 为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.§2 一阶偏微分方程一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、 一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x u x u t u u x x x t F()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂nn n n x u x x x a x u x x x a (1) 式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ 的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) )是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni i n i x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ 解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2． 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、 一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n i n i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R t un i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()u x x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 ===为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、 一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x up p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂== 若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂yb b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bVa V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解. 2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yb x b y a x a ，即回到完全解. 3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b Va V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uFp x F t p p F p t u p Ft x i i i ni iii i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或u F p x F p u F p x F p p Fp up F x p F xp F x n nnni i i nn ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂=∂∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组()()F x y z p q G x y z p q a,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解.例 求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解 方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程dz a x zdx y azdy =++-22 得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为zFqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数)可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为n n n n i i iin n n x f p x f p p f p z p f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111 可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1)称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yP x Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足 zU R y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,,从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P xz发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解 ()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、 一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数. [特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-j i j i t xa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线. [狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ 的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量. 作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλ ϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tnj i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i (k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关. (ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c)).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1 ,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ图14.3于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B tu A xv D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统. 考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且()()()()()()()()v u t x u t x v v u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v x t u ,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A ut D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂t x v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=nnnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni i a .如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u m i nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ 式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222tus u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，对任意x D ∈和任意的a i 有()∑∑==≥ni i nj i jiija aa a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
偏微分方程重点知识点总结
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是描述物理、化学、工程学等许多科学领域中变化的方程。
由于PDE的求解通常是困难的，因此需要使用数值方法。
本文将介绍偏微分方程的数值解法。
一般来说，求解PDE需要求得其解析解。
然而，对于复杂的PDE，往往不存在解析解，因此需要使用数值解法求解。
数值解法可以分为两类：有限差分法和有限元法。
有限差分法是将计算区域分成网格，利用差分公式将PDE转化为离散方程组，然后使用解线性方程组的方法求解。
有限元法则是将计算区域分成有限数量的单元，每个单元内使用多项式函数逼近PDE的解，在单元之间匹配边界条件，得到整个区域上的逼近解。
首先讨论有限差分法。
常见的差分公式包括前向差分、后向差分、中心差分等。
以一维热传导方程为例，其偏微分方程形式为：$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中，$u(x,t)$表示物理量在时刻$t$和位置$x$处的值。
将其离散化，可得到：$$ \frac{u(x_i,t_{j+1})-u(x_i,t_j)}{\Delta t}=\frac{u(x_{i+1},t_j)-2u(x_i,t_j)+u(x_{i-1},t_j)}{\Delta x^2} $$其中，$x_i=i\Delta x$，$t_j=j\Delta t$，$\Delta x$和$\Delta t$分别表示$x$和$t$上的网格大小。
该差分方程可以通过简单的代数操作化为：$$ u_{i,j+1}=u_{i,j}+\frac{\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}) $$其中，$u_{i,j}$表示在网格点$(x_i,t_j)$处的数值解。
由于差分方程中一阶导数的差分公式只具有一阶精度，因此需要使用两个网格点来逼近一阶导数。
偏微分方程问题
偏微分方程问题偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是数学中的一个重要分支，这个领域的研究涉及到了数学、物理、工程等许多学科。
在实际应用中，特别是在物理领域中，我们常常需要通过偏微分方程来描述系统的动态行为，并进一步对其进行分析和求解。
本文将对偏微分方程的基本概念、求解方法以及实际应用进行介绍和探讨。
一、什么是偏微分方程偏微分方程是一种涉及到多个自变量与其偏导数的方程。
相较于常微分方程，偏微分方程通常涉及到多个自变量，并且需要借助边界条件和初值条件来求解。
偏微分方程在自然界中广泛存在，例如电磁场、流体力学、量子力学等。
偏微分方程可以分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程。
其中，线性偏微分方程是指所有项都是线性的，而非线性偏微分方程则存在非线性的项。
二、经典的偏微分方程求解方法解析解法：解析解法是指通过求解方程的特征方程或研究方程的特殊解来得到方程的解析表达式。
这种方法适用于一些简单的偏微分方程，但对于大多数实际问题不适用。
数值解法：数值解法是通过数值计算来解决偏微分方程问题。
常见的数值解法有有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限元法（Finite Element Method, FEM）、半离散法等。
三、偏微分方程的实际应用1. 流体力学流体力学是偏微分方程应用的一个重要领域，偏微分方程被广泛应用于流体的模拟和分析中。
数值解法和计算机模拟技术的不断发展，使我们可以更精确的理解流体行为。
2. 量子力学偏微分方程在量子力学中被广泛应用，尤其是薛定谔方程（Schrodinger Equation），它描述了量子力学系统的时间演化。
3. 医学偏微分方程在医学领域中也被广泛应用，例如生物物理学和医学成像领域。
在生物物理学中，偏微分方程可以用于描述生物体内流体和分子的运动行为；在医学成像中，偏微分方程可以用于图像重建和分割，实现病理学分析。
偏微分方程的数值解法和应用
偏微分方程的数值解法和应用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中的一个重要研究领域，它是数学建模和物理学、工程学中的重要工具之一。
通常情况下，我们可以通过一些解析方法求得偏微分方程的解析解，但是这种方法并不适用于所有情况，因此，数值解法的研究具有重要意义。
一、偏微分方程的求解偏微分方程的求解可以分为两类：解析解和数值解。
解析解是指通过一些解析方法求得的该方程的精确解，而数值解是指通过一些数值计算方法求得的该方程的近似解。
1. 解析解对于简单的偏微分方程，我们可以通过分离变量、变换变量、特征线等方法求得其解析解。
例如，对于泊松方程：$$\nabla^2 u=f(x,y)$$我们可以通过分离变量的方法得到：$$u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty a_{nm} \sin\frac{n\pi x}{L} \sin\frac{m\pi y}{W}$$其中：$$a_{nm}=\frac{4}{nm\pi^2}\int_0^W\int_0^L f(x,y)\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi y}{W} dx dy$$这是一个完整的解析解，可以用于解决实际问题。
然而，大多数情况下，偏微分方程并没有解析解，因此我们需要寻求数值解法。
2. 数值解在实际工程问题中，偏微分方程往往具有复杂的形式，不可能通过解析方法求得其解析解。
这时，我们需要使用计算机数值方法求得其数值解。
数值解法中的常见方法包括：差分方法、有限元法、有限体积法、谱方法、边界元法等。
其中，有限元法和有限体积法是比较常用的数值解法。
有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种将求解区域离散为许多小单元的方法，把偏微分方程转化为一个线性方程组。
在有限元法中，通常采用三角形或四边形做为单元。
具体的，有限元法的步骤如下：（1）离散化：将求解区域划分成若干个小单元，对单元内的未知函数用多项式进行逼近。
偏微分方程数值解
02
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法、 谱方法等。
03
数值解法的精度和稳定性是衡量其好坏的重要 指标。
非线性偏微分方程的有限差分法
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过在离散点上逼近偏导数，得到离散化的 数值解。
有限差分法的优点是简单直观，易于实现，适用于规则区域。
有限差分法的缺点是对不规则区域适应性较差，且精度较低。
波动问题
谱方法在求解波动问题中也有广泛应用，如 Helmholtz方程、Wave equation等。
固体力学问题
谱方法在求解固体力学问题中也有应用，如 Elasticity equations等。
05
非线性偏微分方程的数值解 法
非线性偏微分方程的解析解法难度
01
非线性偏微分方程的解析解法通常非常复杂，需要深
02
有限差分法的基本思想是将连 续的偏微分方程转化为离散的 差分方程，通过求解差分方程 得到偏微分方程的近似解。
03
有限差分法的精度取决于离散 点之间的间距，间距越小，精 度越高。
一阶偏微分方程的有限差分法
一阶偏微分方程的有限差分法有 多种形式，如向前差分法、向后 差分法和中心差分法等。
中心差分法是向前差分法和向后 差分法的平均值，具有二阶精度 。
通过将微分转化为差分，将原方程转化为离散的差分方程，然后求解差分方程得到近似解。
有限元法
将连续问题离散化，将微分方程转化为线性方程组，通过求解线性方程组得到近似解。
谱方法
利用函数的谱展开来求解偏微分方程，具有高精度和低数值弥散性的优点。
02
有限差分法
有限差分法的原理
01
有限差分法是一种将偏微分方 程转化为差分方程的方法，通 过在离散点上逼近偏微分方程 的解，得到数值解。
偏微分方程的解析与数值解法
偏微分方程的解析与数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中一类重要的方程类型，广泛应用于物理、工程、经济等领域的建模和问题求解中。
解析解和数值解是求解偏微分方程的两种常见方法，在本文中我们将探讨偏微分方程的解析解法和数值解法，并讨论它们的特点和应用。
一、解析解法解析解是指能够用数学公式、解析表达式或函数形式明确求解的方程解。
对于一些简单的偏微分方程，我们可以通过解特征方程、利用变量分离法、套用标准的解析解公式等方法求得其解析解。
以一维热传导方程为例，其数学表达式为：（1）∂u/∂t = α∂²u/∂x²，其中 u(x, t) 为温度分布函数，α为热传导系数。
通过应用分离变量法，我们可以将热传导方程转化为两个常微分方程，从而求得其解析解。
当然，对于更复杂的偏微分方程，可能需要运用更高级的数学方法和技巧来求得其解析解。
解析解法的优点是可以给出精确的解，有助于深入理解问题的本质和特性。
它还能提供闭合的数学描述，便于进行进一步分析和推导。
然而，解析解法的局限性在于，只有少部分简单的偏微分方程能够求得解析解，大多数情况下我们需要借助数值方法求解。
二、数值解法数值解法是通过离散化空间和时间，并利用计算机进行数值计算的方法，近似求解偏微分方程。
数值解法的核心思想是将偏微分方程转化为代数方程组，并通过迭代算法求解方程组获得数值解。
常见的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
以有限差分法为例，该方法将连续的空间和时间网格离散化为有限个点，然后利用差分格式逼近原偏微分方程，通过迭代求解差分方程组得到数值解。
对于上述的一维热传导方程，我们可以利用有限差分法进行求解。
将空间和时间划分为离散网格，利用差分近似替代导数项，然后利用迭代算法求解差分方程组。
通过不断减小网格的大小，我们可以提高数值解的精度，并逼近解析解。
数值解法的优点是能够处理复杂的偏微分方程，广泛适用于各种实际问题。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的重要分支，在科学和工程领域具有广泛的应用。
解决偏微分方程的问题，可帮助我们理解自然界中的各种现象，如电磁场的传播、流体运动等。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常见的方法之一。
我们以二阶线性偏微分方程为例，假设其形式为：A(x,y)u_{xx} + B(x,y)u_{xy} + C(x,y)u_{yy} + D(x,y,u,u_x,u_y) = 0其中u表示未知函数，A、B、C、D为已知函数。
为了使用分离变量法，我们假设解可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,y) = X(x)Y(y)将上述形式代入方程，利用变量分离的性质，可将原方程化简为两个常微分方程。
解决这两个常微分方程，即可得到偏微分方程的解。
二、特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，其中包含一阶偏导数和高阶偏导数的混合项。
我们以一维波动方程为例，其形式为：u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0其中c表示波速。
特征线法的思想是引入新的变量，使得原方程可以转化为一组常微分方程。
对于波动方程，我们引入变量ξ和η，定义如下：ξ = x + ctη = x - ct通过做变量替换后，原方程可以转化为常微分方程：u_{ξη} = 0这样，我们可以通过求解常微分方程得到偏微分方程的解。
三、变换方法变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，通过引入新的变量，将原偏微分方程转化为代数方程，然后利用代数方程的解法解出未知函数。
变换方法的优势在于可以将一些常见的偏微分方程转化为代数方程，从而简化解法的步骤。
四、数值解法对于复杂的偏微分方程，解析解可能难以求得或不存在。
此时，数值解法就变得非常重要。
常用的数值解法包括差分法、有限元法、有限差分法等。
这些方法将连续的偏微分方程离散化，将其转化为差分方程或代数方程，然后使用计算机进行求解。
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法在科学和工程领域中，偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）被广泛应用于描述自然现象和工程问题。
由于许多复杂的PDE难以找到解析解，数值方法成为了求解这些方程的重要途径之一。
本文将介绍几种常见的偏微分方程数值解法，并探讨其应用。
一、有限差分法有限差分法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。
其基本思想是将空间和时间连续区域离散化成有限个点，通过差分逼近偏微分方程中的导数，将偏微分方程转化为差分方程。
然后，利用差分方程的迭代计算方法，求解近似解。
以一维热传导方程为例，其数值解可通过有限差分法得到。
将空间区域离散化为若干个网格点，时间区域离散化为若干个时间步长。
通过差分逼近热传导方程中的导数项，得到差分方程。
然后，利用迭代方法，逐步更新每个网格点的数值，直到达到收敛条件。
最终得到近似解。
二、有限元法有限元法是另一种常用于求解偏微分方程的数值方法。
它将连续的空间区域离散化为有限个单元，将PDE转化为每个单元内的局部方程。
然后，通过将各个单元的局部方程组合起来，构成整个区域的方程组。
最后，通过求解这个方程组来获得PDE的数值解。
有限元法的优势在于可以适应复杂的几何形状和边界条件。
对于二维或三维的PDE问题，有限元法可以更好地处理。
同时，有限元法还可以用于非线性和时变问题的数值求解。
三、谱方法谱方法是利用一组基函数来表示PDE的解，并将其代入PDE中得到一组代数方程的数值方法。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，在某些问题上比其他数值方法更具优势。
谱方法的核心是选择合适的基函数，常用的基函数包括Legendre多项式、Chebyshev多项式等。
通过将基函数展开系数与PDE的解相匹配，可以得到代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到PDE的数值解。
四、有限体积法有限体积法是将空间域划分为有限个小体积单元，将PDE在每个小体积单元上进行积分，通过适当的数值通量计算来近似描述流体在边界上的净流量。
偏微分方程的分离变量法与定解问题
偏微分方程的分离变量法与定解问题偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中非常重要的研究方向之一，它包含了很多数值逼近、物理和工程方面的问题。
对于一些特殊的偏微分方程，我们可以采用分离变量法来求解，而定解问题则可以帮助我们确定合适的初值和边界条件，以保证求解结果的正确性。
一、分离变量法偏微分方程要想求出来，通常需要一些特殊的求解方法，而分离变量法就是其中一种。
简单来说，分离变量法就是把方程中的变量“分离”出来，只留下一个变量来求解。
具体来看，我们假设方程可以写成下面的形式：$$u_{tt} + a(x,y) \, u_{xx} + b(x,y) \, u_{yy} + c(x,y) \, u_{xy} +d(x,y) \, u_x + e(x,y) \, u_y + f(x,y) \, u = 0$$其中 $u = u(x,y,t)$，$a, b, c, d, e, f$ 都是函数。
我们需要找到一种方式将 $u$ 表示成 $x$，$y$，$t$ 三个变量的乘积，即：$$u(x,y,t) = X(x) \, Y(y) \, T(t)$$将上式代入原方程，并分离出$x$，$y$，$t$ 三个变量，得到：$$\frac{X''}{X} + \frac{a}{T} \, \frac{T''}{T} + \frac{b}{Y} \,\frac{Y''}{Y} + c \, \frac{X'Y'}{XY} + d \, \frac{X'}{X} + e \,\frac{Y'}{Y} + f = 0$$由于此式左边只含有 $x$ 的函数、$y$ 的函数和 $t$ 的函数，右边只是一个常数，因此我们可以令它等于$-\lambda$，于是有：$$\begin{cases}\frac{X''}{X} + \left(d + \frac{\lambda}{a}\right) \, \frac{X'}{X} = - \frac{c}{a} \, \frac{Y'}{Y} - \frac{b}{a} \, \frac{Y''}{Y} - \left(e +\frac{\lambda}{a}\right) \, \frac{T'}{T} - f \\\frac{Y''}{Y} + \frac{\mu}{b} \, \frac{Y'}{Y} = -\frac{\lambda}{cb} X Y - \frac{a}{cb} X'' - \frac{c}{b}\frac{X'Y'}{XY} - \frac{e}{b} \frac{T'}{T} - \frac{f}{b} \\\frac{T''}{T} + \left(\frac{\mu}{c} + \frac{\lambda}{a}\right) \,\frac{T'}{T} = - \frac{\mu}{ca} \, \frac{X''}{X} - \frac{\lambda}{ca}\, \frac{Y''}{Y} - \frac{c}{a} \, \frac{X'Y'}{XY} - \frac{d}{a} \,\frac{X'}{X} - \frac{b}{c} \, \frac{Y''}{Y} - e \, \frac{Y'}{Y} - f \end{cases}$$这三个方程需要满足一定的初值条件和边界条件，才能求解。
数学中的偏微分方程与数值解法
数学中的偏微分方程与数值解法偏微分方程是数学中重要的研究领域之一，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常会遇到与空间和时间相关的变量，而这些变量之间的关系可以用偏微分方程来描述。
为了求解这些偏微分方程，数学家们提出了各种数值解法，以获得近似的解。
一、偏微分方程简介偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
常见的偏微分方程包括椭圆型、抛物型和双曲型方程。
椭圆型方程描述的是稳态问题，如静电场分布；抛物型方程描述的是时间依赖的问题，如热传导方程；双曲型方程描述的是波动问题，如波动方程。
这些方程在物理、工程、生物等领域中具有广泛的应用。
二、数值解法的基本思想解析解求解偏微分方程的情况较少，因此我们通常需要借助数值解法来获得结果。
数值解法的基本思想是将问题离散化，将连续的变量转化为离散的点，并通过计算来逼近解。
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
三、有限差分法有限差分法是一种常见的数值解法，它将连续的空间和时间离散化为有限的网格点。
在有限差分法中，我们使用差分近似来逼近偏导数，将偏微分方程转化为代数方程组。
通过求解这个方程组，我们可以得到近似解。
有限差分法简单易实现，广泛应用于各个领域。
四、有限元法有限元法是一种更加通用的数值解法，适用于各种复杂的边界条件和几何形状。
有限元法将求解域划分为许多小的子域，将未知函数表示为有限元函数的线性组合，通过最小化能量泛函来得到近似解。
有限元法具有较高的精度和灵活性，因此在结构力学、流体力学等领域得到了广泛应用。
五、谱方法谱方法是一种基于特殊函数的数值解法，它将未知函数表示为一系列正交的基函数的线性组合。
通过适当选择基函数和系数，可以将偏微分方程转化为代数方程组的求解。
谱方法在处理边界条件时具有较高的精度和稳定性，因此在流体流动、量子力学等领域中得到了广泛应用。
总结：数学中的偏微分方程与数值解法是一门重要而有趣的研究领域。
通过数值解法，我们可以求解各种实际问题中的偏微分方程，从而获得精确的数值结果。
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界中各种物理现象的重要数学工具。
它们广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域，并且在科学研究和工程实践中起着重要的作用。
然而，解析解并不总是容易获得，这就需要借助数值解法来近似求解其中的解。
数值解法是一种利用计算机方法来求解偏微分方程的有效途径。
本文将介绍几种常见的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法。
一、有限差分法有限差分法是最直接、最常用的一种数值解法。
它将偏微分方程中的导数用差分形式进行近似，然后将问题转化为一个线性方程组求解。
其中，空间和时间都被离散化，通过选取合适的网格间距，可以得到对原偏微分方程的近似解。
有限差分法的优点在于简单易懂，便于实现。
然而，该方法对于复杂边界条件和高维问题的适用性存在一定的局限性。
二、有限元法有限元法是一种更加通用和灵活的数值解法，尤其适用于复杂几何形状和非结构化网格的问题。
该方法将求解域划分为多个小区域，称为有限元，通过构建适当的试验函数和加权残差方法，将原偏微分方程转化为求解线性方程组的问题。
有限元法的优点在于适用范围广，可以处理各种边界条件和复杂几何形状，但相对较复杂，需要考虑网格生成、积分计算等问题。
三、谱方法谱方法是一种基于特定基函数展开的数值解法。
它利用特定的基函数，如Chebyshev多项式、Legendre多项式等，将偏微分方程的未知函数在特定区域内进行展开，然后通过求解系数来得到近似解。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于光滑解和高阶精度要求的问题。
然而，谱方法对于非线性和时变问题的处理相对困难，需要一些特殊策略来提高计算效率。
总结：本文简要介绍了偏微分方程的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法。
这些方法在实际应用中各有优势和限制，选择合适的数值解法需要考虑问题的性质、几何形状以及计算资源等因素。
此外，还有其他一些高级数值方法，如边界元法、间断有限元法等，可以根据具体问题的需要进行选择。
偏微分方程与数值解法
偏微分方程与数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是数学领域中研究的一类方程，它包含多个变量及其偏导数。
解析解法只适用于部分简单的PDE情况，对于复杂的PDE问题，数值解法成为研究和应用的重要手段。
本文将介绍偏微分方程的基本概念，并探讨数值解法的原理和常用方法。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是含有未知函数的偏导数的方程。
常见的偏微分方程包括椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程。
其中，椭圆型方程主要描述静态问题，抛物型方程用于描述热传导和扩散问题，双曲型方程则适用于描述波动和传输等动态问题。
根据方程中的变量个数，偏微分方程可分为一维、二维和三维偏微分方程。
二、数值解法的原理数值解法是通过将连续的偏微分方程离散化为有限个代数方程来近似求解。
其基本思想是将偏微分方程所描述的问题的定义域划分为有限个网格节点，然后在这些节点上逼近原方程的解。
常用的数值解法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种将偏导数转化为有限差分运算的方法。
通过将偏微分方程在网格节点上进行近似，利用节点之间的差分来逼近偏导数。
有限差分法的精度和稳定性取决于网格的选择和近似格式的设计。
2. 有限元法有限元法是一种基于变分原理的数值解法。
将偏微分方程中的未知函数表示为一组基函数的线性组合，并通过构建合适的变分问题来逼近原方程的解。
有限元法具有较好的适用性和数值稳定性，适用于各种复杂几何形状和边界条件的问题。
3. 谱方法谱方法基于傅里叶级数展开，将偏微分方程中的未知函数表示为一组傅里叶系数的线性组合。
通过选择适当的基函数以及傅里叶级数的截断长度，可以在整个定义域上获得高精度的数值解。
三、常见的数值解法根据不同的偏微分方程类型和问题特点，常见的数值解法有以下几种：1. 热传导问题的数值解法对于描述热传导问题的抛物型偏微分方程，可采用显式差分法、隐式差分法和Crank-Nicolson方法等。
偏微分方程定解问题
05 偏微分方程的数值解法
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过 在离散点上逼近微分算子，将微分方程转化为离散的差分方程
组。
02
有限差分法的优点是简单直观，易于实现，适用于规则区 域。
03
有限差分法的缺点是对不规则区域适应性较差，且精度较 低。
有限元法
有限元法是一种将偏微分方程转化为有限元方程的方法，通过将连续的求解区域离散化 为有限个小的子区域（即有限元），将微分方程转化为离散的有限元方程组。
弦或梁的振动模式。
Fisher方程的初值问题
总结词
Fisher方程描述了生物种群的增长或扩散过程，其初值问题涉及到种群在初始时刻的状 态。
详细描述
Fisher方程的一般形式为 $frac{partial u}{partial t} = frac{partial^2 u}{partial x^2} + cu$，其中 $u$ 是种群密度，$t$ 是时间，$x$ 是空间位置，$c$ 是种群扩散系数。 初值问题通常包括初始条件（如 $u(x,0) = f(x)$），其中 $f(x)$ 表示种群在初始时刻
混合问题
同时给定初始条件和边界条件，求解偏微分方程在整个定义域内的解。
定解问题的求解方法
分离变量法
将多维偏微分方程转化为多个一维常微分方程，通过求解 这些常微分方程得到原方程的解。
有限差分法
将偏微分方程转化为差分方程，通过迭代求解差分方程得 到原方程的近似解。
有限元方法
将偏微分方程的定义域划分为有限个小的子域（即有限元 ），在每个子域上构造近似函数，通过求解这些近似函数 的线性方程组得到原方程的近似解。
分类
数学中的微分方程和偏微分方程
数学中的微分方程和偏微分方程微分方程和偏微分方程是数学中的重要分支之一，广泛应用于物理、工程、经济学、人口学和生物学等领域中。
一、微分方程微分方程是描述物理现象和自然规律的重要数学工具，它是一个包含未知函数及其导数的方程。
微分方程的求解过程可以帮助我们了解物理现象的本质和规律。
1.常微分方程常微分方程是描述单个自变量（通常是时间）的函数及其导数之间关系的微分方程。
它们可以分为两种类型：初值问题和边值问题。
初值问题是给定函数在某一点的值和导数的值，并求解它在其他时间点上的值。
边值问题是在一定的区间内，确定函数在两个端点的值，并求解它满足区间内的微分方程的解。
举个例子，一个简单的常微分方程为dy/dx = f(x, y)，其中f(x,y)是已知的函数。
如果你知道y在x等于一个值x0时的值y0，那么你可以应用微分方程求解方法来计算函数在x1、x2等其他点的值。
2.偏微分方程偏微分方程（PDEs）涉及到多个自变量（通常是时间和空间）的函数及其偏导数之间的关系。
它们在物理学和工程学中应用广泛，因为许多具有空间变化和时间变化的现象可以用偏微分方程来描述。
举个例子，一个简单的偏微分方程为∂u/∂t = k∂²u/∂x²，其中u是描述物理讯息的量、时间和空间，k是已知的常数。
此方程描述了一维热传导问题，其中u表示线性热传导下的温度分布，k表示热扩散系数。
此方程可以求出一些运输过程，如物质与能量的传输、液体的流动行为等。
二、求解方法对于微分方程和偏微分方程，确切的解析解并不总是容易获得，常用的解决方法包括：1.分离变量法分离变量法是最常用的常微分方程求解方法之一。
在此方法中，将微分方程中的变量分离成两个部分，一部分只与自变量有关，一部分只与因变量有关。
然后，将两个单独的部分相等，并通过求解两个单独的方程来求解原始方程。
2.变换法变换法是一种用另一个数学对象（如一个变换或替换）来转化微分方程的方法。
数值计算中的偏微分方程数值解法
数值计算中的偏微分方程数值解法数值计算在现代科学技术中扮演着重要的角色，它的应用范围不断扩大。
数值计算中的偏微分方程数值解法是其中最为重要的一部分。
在数学中，偏微分方程是一类涉及未知函数及其偏导数的方程，应用广泛，如机械、天气预报、波动、电磁等领域。
针对偏微分方程求解的方法称为数值解法，本文将讨论偏微分方程数值解法的相关知识。
1. 介绍偏微分方程数值解法是指通过计算，以得到近似解的方法。
由于大多数偏微分方程都没有精确解，因此需要使用数值计算方法求解。
迄今为止，已经发展出各种数值解法，如差分法、有限元法、边界元法、谱方法等。
这些方法都有其特点和优劣，选择何种方法要根据问题特点而定。
2. 差分法差分法是求解偏微分方程最基本的数值方法之一，它是将连续函数的导数用有限差商代替，通过计算有限差商的值得到近似解。
差分法的精度取决于差分的精度和步长，差分法通常易于实现和理解，也可以用于一些较简单的问题。
下面以热传导方程为例，来说明差分法的求解过程。
热传导方程的数学形式为$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x, t)$表示温度分布，$k$为热传导系数。
将空间尺度和时间尺度分别离散化，即用网格对$x$和$t$上的点进行离散，得到$$u_{i, j+1} = u_{i,j} + \frac{k \Delta t}{\Delta x^2} (u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j})$$其中，$u_{i,j}$表示$u(x_i,t_j)$的近似值，$\Delta x$和$\Deltat$分别是$x$和$t$的步长。
3. 有限元法有限元法是一种广泛使用的偏微分方程数值解法，它将求解区域分成有限个小区域，建立适当的数学模型和计算方法，通过求解模型方程得到物理问题的近似解。
有限元法一般需要进行大量计算，但准确度较高，适用于非线性、复杂问题的求解。
微分方程定解问题解析
微分方程定解问题解析微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中的很多现象和规律。
在微分方程中，定解问题是一个常见的研究对象，它要求在给定的边界条件下，找到满足微分方程的特解。
本文将对微分方程定解问题进行详细解析，并讨论求解定解问题的一些常见方法和技巧。
1.微分方程的类型微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程中，未知函数只依赖于一个变量，而偏微分方程中，未知函数依赖于多个变量。
2.定解问题的定义定解问题是给定一个微分方程和一组边界条件，要求找到满足这些条件的特解。
边界条件可以是函数在某个点上的给定值，或者是函数的导数在某个点上的给定值。
3.常见的定解问题类型常见的定解问题类型包括：3.1. 初值问题：在微分方程中给定函数在某点上的值，求解满足该条件的特解。
3.2. 边值问题：在微分方程中给定函数在多个点上的值，求解满足这些条件的特解。
3.3. 自由边值问题：在微分方程中给定函数在某些点上的值，以及函数的导数在另外一些点上的值，求解满足这些条件的特解。
4.求解定解问题的方法求解定解问题的方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
4.1. 分离变量法：对包含未知函数及其导数的微分方程两边进行适当的变换，将未知函数和其导数分离到方程的两边，最后通过积分得到解。
4.2. 线性微分方程方法：对于一阶线性微分方程，可以通过乘以适当的积分因子，将其转化为可积的形式，并求解。
4.3. 变量替换法：通过对未知函数和自变量的合适替换，将原微分方程转化为更简单的形式，再进行求解。
4.4. 数值方法：对于复杂的微分方程，常常无法通过解析方法求解，此时可以利用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，来近似求解微分方程。
5.案例分析为了更好地理解微分方程定解问题的解析过程，考虑一个具体的例子。
假设有一个一阶常微分方程：dy/dx = x，边界条件为y(0) = 1。
首先，我们可以使用分离变量法，将方程变形为 dy = xdx。
偏微分方程数值解流程
偏微分方程数值解流程下面将介绍一种常用的数值求解偏微分方程的流程。
假设我们要求解一个二维偏微分方程，例如二维热传导方程。
1.确定问题：首先需要明确问题的物理背景和边界条件，例如我们可能希望求解的是一个在二维空间中的温度分布问题，其中边界条件可能是恒定温度或者热传导边界条件。
2.离散化：将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程。
在二维情况下，我们需要将空间离散化成网格，并在网格上进行数值计算。
可以使用等间距网格，也可以使用非等间距网格，具体取决于问题的性质。
3.构建差分方程：根据物理背景和离散化后的网格，我们可以得到离散的差分方程。
比如，在二维热传导方程中，我们可以使用中心差分法对时间和空间进行离散化，得到一个递推差分方程。
4.边界条件处理：根据问题的边界条件，我们需要对边界网格点的数值进行处理，这些处理通常与差分方程的形式有关。
例如，如果边界点上的温度已知，那么我们可以直接将其作为边界条件，如果是热传导边界，则需要根据热传导方程的性质进行处理。
5. 迭代求解：使用迭代算法来求解差分方程。
常见的迭代算法有Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR（逐次超松弛）迭代等。
这些算法的核心思想都是通过迭代更新网格上数值，直到数值达到收敛条件。
6.收敛判断：在迭代求解的过程中，我们需要判断数值解是否已经达到了一定的收敛条件。
可以使用两个连续迭代步之间的数值误差来进行判断。
7.结果可视化：根据迭代结果，可以使用插值方法将数值解可视化为连续的函数，并绘制出相应的图像。
这有助于我们直观地了解数值解的性质和分布情况。
值得注意的是，这只是求解偏微分方程的一个基本流程，实际应用中还需要根据具体问题的性质进行相应的调整和优化。
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偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题
自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。
这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。
我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。
如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。
对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。
定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
偏微分方程的定解问题
各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程
特别地，当f (x, y) ≡0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程
带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为
其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΩU Γ称为定解区域， f (x, y),?(x, y) 分别为Ω,Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成
其中n 为边界Γ的外法线方向。
当α= 0 时为第二类边界条件，α≠0时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。
其最简单的形式为一维热传导方程。
方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：
初值问题（也称为Cauchy 问题）
其中?(x), g1 (t), g2 (t)为已知函数，且满足连接条件
问题（7）中的边界条件
称为第一类边界条件。
第二类和第三类边界条件为
其中
为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。
双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程
物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程
描述，它是双曲型方程的典型形式。
方程（10）的初值问题为
边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为
如果偏微分方程定解问题的解存在，唯一且连续依赖于定解数据（即出现在方程和定解条件中的已知函数），则此定解问题是适定的。
可以证明，上面所举各种定解问题都是适定的。
今天的学习就到这里，下期偏微分方程我们讲讲偏微分方程的差值解法。