2007_代数系统

第三篇代数系统王剑第三篇代数系统对象小学加、减、乘、除运算有理数初中实数的四则运算，乘方和开方，简单的线性方程对象实数对象高中更复杂的算术演算复数代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统代数系统：由集合上定义若干个运算而组成的系统在一个集合A 上的运算概念例：①将实数集合R 上的每一数a 0 映射成它的倒数1/a，就可以将该映射称为在集合R 上的一元运算；②在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元运算。

③对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合R上的三元运算。

忠告：1.不要被代数系统中众多的符号和术语所迷惑。

2.代数系统，无论其外表多么复杂多么让人难以捉摸，说到底无非是研究对象之间的运算，以及运算的规律。

第三篇代数系统⏹代数系统的基本概念⏹代数系统的性质⏹同构和同态⏹半群⏹群⏹环⏹格和布尔代数⏹几种特殊的格§7.1 代数系统的基本概念例：①在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒数运算；②在集合A={1，2，3，4，5}，做任意元素的倒数运算； 若集合S中的元素经某一运算后它的结果仍在S中，则称此运算在集合S上是封闭的。

不封闭的例子：一架自动售货机，能接受五角硬币和一元硬币，而所对应的商品是桔子水、可乐和冰淇凌。

当投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按照表中供应相应的产品：*五角硬币一元硬币五角硬币桔子水可口可乐一元硬币可口可乐冰淇凌表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。

这个例子中的二元运算*不是集合{五角硬币，一元硬币}上的封闭运算。

①在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒数运算；可以看作是：将集合A上的每一数a 映射成他的倒数1/a；②在实数集合R上，对任意两个数进行的普通加法和减法；可以看作是：将集合R上的任意两个数映射成R中的一个数；1.定义：对于集合A，有一个从A n到B的映射，如果B A，则称该n元运算是封闭的。

2.一个代数系统需要满足以下三个条件：①有一个非空集合U；②有一些建立在集合U上的运算；③这些运算在U上是封闭的。

由此将由集合U及建立在U上的封闭运算f1，f2…，fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作（U，f1，f2…，fk）。

例：在整数集合I 上定义︒如下：对任何其中的+，.分别是通常数的加法和乘法。

那么︒是一个从I 2到I 的函数，只要︒在集合I 上是封闭的，（I ，︒）就是一个代数系统。

,,a b I a b a b a b∈=+-⋅o (,)a b a b a b=+-⋅o 代数系统的基本概念2.一个代数系统需要满足以下三个条件：①有一个非空集合U；②有一些建立在集合U上的运算；③这些运算在U上是封闭的。

由此将由集合U及建立在U上的封闭运算f1，f2…，fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作（U，f1，f2…，fk）。

➢当U为有限集合时，称（U，f1,f2…,f k）为有限代数系统➢当U为无限集合时，称（U，f1,f2…,f k）为无限代数系统3.定义：如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类型的。

4.定义：两个代数系统(U，︒)与(U'，*) ，如果满足下列条件：①U'⊆U；②若a ∈U'，b∈U'，则a*b =a ︒b；则称（U'，*）是（U，︒）的子系统或子代数§7.2 代数系统的性质1、结合律设有代数系统（U，*），对∀a，b，c∈U，如果有(a*b)*c= a*(b*c),则称此代数系统的运算满足结合律。

EX：设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a，b∈A，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。

证：∵对于任意的a，b ，c∈A，（a ★b）★c= b ★c= c而a★（b★c）=a★c= c，∴（a★b）★c= a★（b★c）∴★是满足结合律的2、交换律设有代数系统（U ，*），如果对于∀a ，b ∈U ，有a*b = b*a ，则称此代数系统的运算“* ”满足交换律。

EX ：在整合集合I 上定义运算︒：对任何其中的+，.分别是通常数的加法和乘法。

那么︒可以满足交换律？代数系统的性质,,()o a b I a b a b a b ∈=⋅-+代数系统的性质3、分配律（左分配，右分配）设有代数系统（U，︒，*），对∀a,b,c∈U，如果有a︒(b*c)=(a︒b)*(a︒c)，则称此代数系统上“︒”运算对“*”运算满足左分配律。

同理，若“*”对“︒”满足a*(b︒c)=(a*b)︒(a*c)，则称运算“*”对运算“︒”满足左分配律若有(a* b)︒c=(a* c)︒(b* c)，则称“︒”运算对“*”运算满足右分配律。

同理，若(a︒b)*c=(a* c)︒(b* c)，则称“*”运算对“︒”运算满足右分配律EX：代数系统（N，+，×）。

其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。

4、等幂律设* 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x∈A，都有x * x = x，则称* 运算是等幂的。

EX:S={1,2,4}，在集合p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？解：对于任意的A∈p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A因此运算∩，∪都满足等幂律。

5、单位元（幺元）一个代数系统（U，︒），若存在一个元素e∈U，使得对∀x∈U，有：e ︒x =x ︒e = x，则称e 为对于运算“︒”的幺元或者称e 是（U，︒）幺元。

注意：这里考虑的是只有一个运算的代数系统。

如果有两个或者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了，因为幺元事实上是针对具体运算而言的。

因而，如果有更多的运算就必须对每个运算都进行讨论，一个运算若有代数系统的性质左单位元或右单位元（左幺元或右幺元）∈U，使得对一个代数系统（U，︒），若存在一个元素el∀x∈U，有：e l︒x =x，则称e l 为对于运算“︒”的左幺元。

若存在一个元素e∈U，使得对r∀x∈U，有：x ︒e r=x，则称e r为对于运算“︒”的右幺元。

EX ：设代数系统（N ，*），* 的定义为：对那么，（N ，*）有没有幺元？左幺元？右幺元？解：对任何，因此1 是右幺元。

但1 不是左幺元，因为所以（N ，*）没有左幺元，当然也就没有幺元。

,,*ba b N a b a ∈=1,*1a N a a a ∈==21*2112==≠代数系统的性质代数系统的性质定理：一个代数系统（U,︒）的单位元若存在，则唯一。

证：设e 为运算“︒”的幺元，另有一单位元e'，∵e是幺元，∴对∀x∈U，有e︒x =x，取x= e'，则e︒e'= e'①又∵e'是幺元，∴对∀x∈U，有x︒e'=x，取x=e，则e︒e'=e ②由①②式可得：e'=e，即幺元唯一。

代数系统的性质6、零元一个代数系统(U，︒)，如果存在一个元素θ∈U，使得对∀x∈U有：θ︒x =x︒θ=θ，则称θ为对于运算“︒”的零元。

若只满足θ︒x =θ，则θ称为左零元。

若只满足x︒θ=θ，则θ称为右零元。

EX：①代数系统（I，×）的零元是什么？（0）②在所有n阶方阵集合M上的代数系统（M，×），零元是什么？（所有元素为0 的n阶方阵）③在I+上定义一个二元运算取极小“Min”，（I+，Min）的零元是什么？（1）代数系统的性质定理：一个代数系统，其零元若存在，则唯一。

（同学自证）定理：一个代数系统（U，︒），若集合A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元e 和零元θ，则θ≠e。

证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的x∈A，必有x = e︒x = θ︒x =θ= e，即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。

7、逆元一个存在幺元e 的代数系统(U ，︒)，如果对U 中的元素x 存在x -1，使得x -1 ︒x = x ︒x -1 = e ，则称x -1为x 的逆元。

➢若x ︒x -1 = e ，则称x -1 为x 的右逆元。

➢若x -1 ︒x = e ，则称x -1 为x 的左逆元。

➢既是左逆元，又是右逆元，则称x -1 为x 的一个逆元。

ο代数系统的性质EX：代数系统的性质①对代数系统（R，*），* 为二元运算，定义为通常数的乘法。

R为实数集合。

只要，a∈R，a ≠0，则1/a 即为a 的逆元。

这是因为1 是幺元，a ≠0时，a * 1/a = 1/a * a = 1。

②对代数系统（I，*），* 为二元运算，定义为通常数的乘法。

I 为整数集合。

只有1 和-1有逆元，1-1 = 1 ，(-1)-1 = -1因为对a∈I，只要a ≠±1，则1/a 要么不存在，要么1/a ∉I。

③（R-{1}，*），* 为二元运算，定义为通常数的乘法。

R-{1}为除了1 之外的实数集合。

任何元素都没有逆元，因为根本没有幺元，就不谈逆元了。

代数系统的性质因此，关于逆元，下述结论是正确的：①只要当幺元存在时，才考虑逆元。

②逆元是“局部”的，也就是说，逆元是针对具体元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能没有逆元。

如果a 和b 都有逆元且a b，则a-1和b-1 也不相同。

③一个元素的逆元必须是代数系统内的元素。

④设e 幺元，只有当a ºb = e 和b º a = e 同时成立时，b才能是a 的逆元，如果只有一个成立，b 也不是a 的逆元。

EX：设集合S={α，β，γ，δ，ζ} ，定义在S上的一个二元运算如下表所示，试指出代数系统（S，︒）中各个元素的左、右逆元情况。

︒αβγδζααβγδζββδαγδγγαβαβδδαγδγζζδαγζ解：α是幺元，β是γ的左逆元，γ是β的右逆元；γ是β、δ的左逆元，β、δ是γ右逆元；δ是β的左逆元，β是δ的右逆元；定理：设代数系统（U，︒），运算“︒”满足结合律，且存在幺元e，那么对任意固定的x∈U，若x 有逆元，则逆元是唯一的。

证明：设x 有两个逆元x1-1和x2-1，则x1-1 ︒x ︒x2-1 = x1-1 ︒（x ︒x2-1）=x1-1 ︒e=x1-1同理x1-1 ︒x ︒x2-1= （x1-1 ︒x）︒x2-1=e ︒x2-1 = x2-1所以：x1-1 = x2-1§7.3 同构与同态一、同构两个代数系统同构必须具备以下三个条件：①这两个代数系统是同类型的。

②该两个代数系统的两个集合里的元素是一一对应的。

③定义在这两个集合上的运算法则完全相同。