浙江省2019届中考数学专题复习专题四方案设计型问题训练1
浙江省2019年中考数学复习第二部分题型研究题型五几何探究题类型四旋转变换问题针对演练_2114
第二部分题型研究题型五几何研究题种类四旋转变换问题针对操练1.如图，在锐角△ ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，获得△A1BC1.(1)如图①，当点 C1在线段 CA的延伸线上时，求∠ CC1A1的度数;(2)如图②，连结 AA1，CC1.若△ ABA1的面积为4，求△ CBC1的面积;(3)如图③，点 E为线段 AB中点，点 P 是线段 AC上的动点，在△A BC绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值．第1 题图2.如图，在菱形 ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点 D作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC于点 F.1(1)如图①，连结 AC分别交 DE、DF于点 M、N，求证： MN＝3AC;(2)如图②，将∠ EDF以点 D为旋转中心旋转，其两边 DE′、DF′分别与直线 AB、BC订交于点 G、P，连结 GP，当△ DGP的面积等于3 3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．第2 题图3.如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为4(5 ，0) ，菱形OABC的极点B，C都在第一象限，tan∠AOC＝3，将菱形绕点 A 按顺时针方向旋转角α (0°＜∠ α ＜∠ AOC)获得菱形FADE(点 O的对应点为点 F)，ED与 BP交于点 D，EF与 OC交于点 G，连结 AG.(1)求点 B 的坐标;(2)当 OG＝4时，求 AG的长;(3)求证： GA均分∠ OGE;(4)连结 BD并延伸交 x 轴于点 P，当点 P 的坐标为(12，0)时，求点 G的坐标．第3 题图答案1.解： (1) 由旋转的性质可得∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠ CC1B＝∠ C1CB＝45°，∴∠ CC1A1＝∠ CC1B＋∠ A1C1B＝45°＋45°＝90°;(2) ∵△ABC≌△A1BC1∴B A＝BA1，BC＝BC1，∠ ABC＝∠A1BC1， BA BA1∴＝，∠ ABC＋∠ ABC1＝∠ A1BC1＋∠ ABC1，BC BC1∴∠ ABA1＝∠ CBC1，∴△ ABA1∽△ CBC1.S△ABA1AB 2 4 216∴＝() ＝( ) ＝，S△CBC1BC525∵S△ABA1＝4，25∴S△CBC1＝4;第1 题解图(3)过点 B 作 BD⊥AC，D为垂足，∵△ ABC为锐角三角形，∴点 D在线段 AC上，5 2在Rt△BCD中， BD＝BC×sin 45°＝2，①当 P在 AC上运动至垂足点 D，△ ABC绕点 B 旋转，使点 P的对应点 P1在线段 AB上时， EP1最小，5 2最小值为2－2，②当 P在 AC上运动至点 C，△ABC绕点 B 旋转，使点 P 的对应点P1在线段 AB的延伸线上时， EP1最大，最大值为2＋5＝7.2.(1) 证明：如解图，连结BD，设BD交AC于点O，第2 题解图∵在菱形 ABCD中，∠ DAB＝60°， AD＝AB，∴△ ABD为等边三角形，∵D E⊥AB，∴E为AB中点，∵AE∥CD，AM AE1∴＝＝，CM CD 2CN 1同理＝，AN 2∴M、N是线段 AC的三均分点，1∴M N＝3AC;(2)解：∵ AB∥CD，∠ BAD＝60°，∴∠ ADC＝120°，又∵∠ ADE＝∠ CDF＝30°，∴∠ EDF＝60°.当∠ EDF顺时针旋转时，由旋转的性质知∠ EDG＝∠ FDP，∠ GDP＝∠ EDF＝60°，∵D E＝DF＝3，∠ DEG＝∠ DFP＝90°，∴△ DEG≌△ DFP，∴DG＝DP，∵∠ GDP＝60°，∴△ DGP是等边三角形，32则 S△DGP＝4DG，32由4 DG＝3 3，又 DG>0，解得 DG＝23，DE 3 1∴cos∠EDG＝＝＝，DG 2 32∴∠ EDG＝60°，因此，当顺时针旋转60°时，△DGP的面积是 3 3.同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也是 3 3.综上所述，当∠ EDF以点 D为旋转中心顺时针或逆时针旋转60°时，△ DGP的面积是33.3 .解：(1)如解图①，过点B 作 BH⊥x 轴于点 H，第 3 题解图①∵四边形 OABC是菱形，∴O C∥AB，∴∠ BAH＝∠ COA，4∴tan ∠BAH＝3.又∵在 Rt△ABH中，AB＝5，43∴B H＝5AB＝4，AH＝5AB＝3，∴O H＝OA＋AH＝5＋3＝8，∴点 B的坐标为(8，4);(2)如解图①，过点 A 作 AM⊥OC于点 M，4在Rt△AOM中，∵ tan ∠AOC＝3，OA＝5，43∴AM＝5OA＝4，OM＝5OA＝3.∵O G＝4，∴G M＝OG－OM＝4－3＝1，∴AG＝2222AM＋GM＝ 4 ＋1＝ 17;(3) 如解图①，过点 A 作 AN⊥EF于点 N，∵∠ AOM＝∠ F，OA＝FA，∠ AMO＝∠ ANF＝90°，∴△ AOM≌△ AFN，∴A M＝AN，∴G A均分∠ OGE.(4)如解图②，过点 G作 GQ⊥x 轴于点 Q，设 AF与 OC订交于点 T，第3 题解图②由旋转的性质可知：∠ OAF＝∠ BAD＝α，∵A B＝AD，∴∠ ABP＝180°－α，2∵∠ AOT＝∠ F，∠OTA＝∠ GTF，∴∠ FGO＝∠ OAF＝α，180°－α，∴∠ OGA＝∠ EGA＝2∴∠ OGA＝∠ ABP，又∵∠ GOA＝∠ BAP，∴△ GOA∽△ BAP，GQ OA∴＝，BH AP520∴GQ＝7×4＝7，4∵tan ∠AOC＝3，20 315∴OQ＝7×4＝7，15 20∴点 G的坐标为(7，7)．。
中考数学专题复习《设计方案》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《设计方案》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一选择题1．（2023九上·菏泽月考）在数学活动课上老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形下面是一个学习小组拟定的方案其中正确的方案是（）A．测量四边形的三个角是否为直角B．测量四边形的两组对边是否相等C．测量四边形的对角线是否互相平分D．测量四边形的其中一组邻边是否相等2．（2023九上·安徽期中）某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜班长买回来10米长的围栏准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园为了让菜园面积尽可能大同学们提出了围成矩形等腰直角三角形（两直角边靠墙）扇形这三种方案如图所示．最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案1或方案2D．方案33．（2022·自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜班长买回来8米长的围栏准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园为了让菜园面积尽可能大同学们提出了围成矩形等腰三角形（底边靠墙）半圆形这三种方案最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案24．（2023·衡水模拟）要得知某一池塘两端A B的距离发现其无法直接测量两同学提供了如下间接测量方案．方案Ⅰ：如图1 先过点B作BF⊥AB再在BF上取C D两点使BC=CD接着过点D作BD的垂线DE交AC的延长线于点E 则测量DE的长即可方案Ⅱ：如图2 过点B作BD⊥AB再由点D观测用测角仪在AB的延长线上取一点C 使∠BDC=∠BDA则测量BC的长即可．对于方案ⅠⅡ说法正确的是（）A．只有方案Ⅰ可行B．只有方案Ⅱ可行C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行5．（2023·北京市模拟）某产品的盈利额（即产品的销售价格与固定成本之差）记为y 购买人数记为x 其函数图象如图1所示．由于日前该产品盈利未达到预期相关人员提出了两种调整方案图2 图3中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法其中正确说法的序号是（）①图2对应的方案是：保持销售价格不变并降低成本②图2对应的方案是：提高销售价格并提高成本③图3对应的方案是：提高销售价格并降低成本④图3对应的方案是：提高销售价格并保持成本不变A．①③B．②③C．①④D．②④二填空题6．（2022·瓯海模拟）小芳和小林为了研究图中“跑到画板外面去的两直线a b所成的角（锐角）”问题设计出如下两个方案：小林的方案小芳的方案测αβ的度数．测∠1 ∠ACB的度数．已知小林测得∠β＝115°小芳作了AB＝BC 并测得∠1＝80°则直线a b所成的角为．7．（2023九上·港南期中）生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量设计了如下方案：先捕捉50只雀鸟给它们做上标记后放回山林一段时间后再从山林中随机捕捉80只其中有标记的雀鸟有2只请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量为只．8．（2021·东城模拟）数学课上李老师提出如下问题：已知：如图AB是⊙O的直径射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了如下四种方案：①如图1 连接BC作BC的垂直平分线交⊙O于点D．②如图2 过点O作AC的平行线交⊙O于点D．③如图3 作∠BAC的平分线交⊙O于点D．④如图4 在射线AC上截取AE使AE=AB连接BE交⊙O于点D．上述四种方案中正确的方案的序号是．9．（2022·房山模拟）为确定传染病的感染者医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次）如果检测结果是阴性可确定这些人都未感染 如果检测结果是阳性 可确实其中感染者 则将这些人平均分成两组 每组2m−1个人的样本混合在一起做第2轮检测 每组检测1次．依此类推：每轮检测后 排除结果为阴性的组 而将每个结果为阳性的组再平均分成两组 做下轮检测 直至确定所有的感染者． 例如 当待检测的总人数为8 且标记为“x ”的人是唯一感染者时 “二分检测方案”可用如图所示．从图中可以看出 需要经过4轮共n 次检测后 才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）n 的值为（2）若待检测的总人数为8 采用“二分检测方案” 经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者 写出感染者人数的所有可能值三 实践探究题10．（2024·镇海区月考）根据以下素材 探索完成任务．如何确定木板分配方案？素材1我校开展爱心义卖活动 小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板 每块木板长和宽分别为80cm 40cm.素材2现将部分木板按图1虚线裁剪 剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒 使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料） 给部分盒子配上盖子．素材3义卖时的售价如标签所示：问题解决任计算盒子高度求出长方体收纳盒的高度．务1 任务2 确定分配方案1若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒 但不到无盖收纳盒个数的2倍 木板该如何分配？请给出分配方案．任务3确定分配方案2为了提高利润 小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来 一张矩形余料可以制成一把小木剑 并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案 使销售后获得最大利润．11．（2023九上·鹿城月考）某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为25.2m ）和48m 长的篱笆墙围成Ⅰ Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外 实线部分为篱笆墙 且不浪费篱笆墙） 请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图① 全部利用围墙的长度 但要在Ⅰ区中留一个宽度AE =2m 的矩形水池 且需保证总种植面积为185.52m 2 试确定CG 的长（2）方案二：如图② 使围成的两块矩形总种植面积最大 请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？（3）方案三：如图③ 在图中所示三处位置各留1m 宽的门 且使围成的两块矩形总种植面积最大 请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？12．【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计 一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案 然后动手制作 再结合实际进行调试 请完成下列方案设计中的任务. 【知识背景】如图 称重物时 移动秤砣可使杆秤平衡 根据杠杆原理推导得：(m 0+m)⋅l =M ⋅(a +y).其中秤盘质量m 0克 重物质量m 克 秤砣质量M 克 秤纽与秤盘的水平距离为l 厘米 科纽与零刻线的水平距离为a 厘米 秤砣与零刻线的水平距离为y 厘米. 【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定m0=10，M=50最大可称重物质量为1000克零刻线与末刻线的距离定为50厘米.（1）当秤盘不放重物秤砣在零刻线时杆秤平衡请列出关于l a的方程（2）当秤盘放入质量为1000克的重物秤砣从零刻度线移至末刻线时杠杆平衡请列出关于l a的方程（3）根据(1)和(2)所列方程求出l和a的值（4）根据（1）-（3）求y关于m的函数解析式（5）从零刻线开始每隔100克在科杆上找到对应刻线请写出相邻刻线间的距离. 13．（2023九上·长清期中）某校项目式学习小组开展项目活动过程如下：项目主题：测量旗杆高度问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？组内探究：由于旗杆较高需要借助一些工具来测量比如自制的直角三角形硬纸板标杆镜子甚至还可以利用无人机…确定方法后先画出测量示意图然后实地进行测量并得到具体数据从而计算旗杆的高度．成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：方案一方案二…测量标杆皮尺自制直角三角板硬纸板皮尺…工具测量示意图说明：线段AB 表示学校旗杆 小明的眼睛到地面的距离CD ＝1.7m 测点F 与B D 在同一水平直线上 D F B 之间的距离都可以直接测得 且A B C D E F 都在同一竖直平面内 点A C E 三点在同一直线上．说明：线段AB 表示旗杆 小明的身高CD ＝1.7m 测点D 与B 在同一水平直线上 D B 之间的距离可以直接测得 且A B CD E F G 都在同一竖直平面内 点A C E 三点在同一直线上 点C F G 三点在同一直线上．测量数据B D 之间的距离 16.8m B D 之间的距离 16.8m … D F 之间的距离 1.35mEF 的长度0.50m…EF 的长度2.60mCE 的长度0.75m… … …根据上述方案及数据 请你选择一个方案 求出学校旗杆AB 的高度．（结果精确到0.1m ）14．（2024九上·杭州月考）根据以下素材 探索完成任务．如何设计喷泉喷头的升降方案？素材1如图 有一个可垂直升降的喷泉 喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x 米 到湖面的垂直高度为y 米．当喷头位于起始位置时 测量得x 与y 的四组数据如下： x （米） 0 2 3 4 y （米）121.751素材2公园想设立新的游玩项目 通过升降喷头 使游船能从水柱下方通过 如图 为避免游船被喷泉淋到 要求游船从水柱下方中间通过时 顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米 顶棚到湖面的高度为2米．问题解决 任务确定喷泉形状 结合素材1 求y 关于x 的表达式．1任务2探究喷头升降方案为使游船按素材2要求顺利通过求喷头距离湖面高度的最小值．15．（2023九上·温州期末）根据素材解决问题．设计货船通过圆形拱桥的方案素材1图1中有一座圆拱石桥图2是其圆形桥拱的示意图测得水面宽AB=16m 拱顶离水面的距离CD=4m．素材2如图3 一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH 测得EF=3m EH=10m．因水深足够货船可以根据需要运载货物．据调查船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y=1100x．问题解决任务1确定桥拱半径求圆形桥拱的半径．任务2拟定设计方案根据图3状态货船能否通过圆形桥拱？若能 最多还能卸载多少吨货物？若不能 至少要增加多少吨货物才能通过？16．（2024九下·宁波月考）根据以下素材 探索完成任务．如何确定拍照打卡板素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1） 图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形 由长方形DEFG 和等腰三角形ABC 组成 且点B F G C 四点共线．其中 点A 到BC 的距离为1.2米 FG =0.8米 DG =1.5米．素材二因考虑牢固耐用 小聪打算选用甲 乙两种材料分别制作长方形DEFG 与等腰三角形ABC （两种图形无缝隙拼接） 且甲材料的单价为85元/平方米 乙材料的单价为100元/平方米．问题解决任务一推理最大高度小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C D 两点间的距离相等 那么最高点B 到地面的距离就是线段DG 长” 他的说法对吗？请判断并说明理由．任务二 探究等腰三角形ABC 面积 假设CG 长度为x 米 等腰三角形ABC 的面积为S 求S 关于x 的函数表达式．任务三确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中 制作拍照打卡板的总费用不超过180元 请你确定CG 长度的最大值．17．（2024九上·杭州月考）根据以下素材 探索完成任务如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案?素材1图1是一座抛物线形拱桥 以抛物线两个水平最低点连线为x 轴 抛物线离地面的最高点的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系 如图2所示． 某时测得水面宽20m 拱顶离水面最大距离为10m 抛物线拱形最高点与x 轴的距离为5m ．据调查 该河段水位在此基础上再涨1m 达到最高．素材2为方便救助溺水者 拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈 如图3 救生圈悬挂点为了方便悬挂 救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m 且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m ．为美观 放置后救生圈关于y 轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）任务1确定桥拱形状 根据图2 求抛物线的函数表达式．任务2拟定设计方案求符合悬挂条件的救生圈个数 并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．任务3探究救生绳长度 当水位达到最高时 上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间 若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边 求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计 结果保留整数）问题解决（1）任务1 确定桥拱形状 根据图2 求抛物线的函数表达式． （2）任务2 拟定设计方案求符合悬挂条件的救生圈个数 并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． （3）任务3 探究救生绳长度当水位达到最高时 上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间 若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边 求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计 结果保留整数）18．（2023九上·浙江期中）根据以下素材 探索完成任务．绿化带灌溉车的操作方案素材1辆绿化带灌溉车正在作业 水从喷水口喷出 水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米 上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米 高出|喷水口0.9米 下边缘水流形状与上边缘相同 且喷水口是最高点。
2019年浙江省中考数学《第37讲：方案设计型问题》总复习讲解
第37讲 方案设计型问题类型一 利用计算和判断比较的方案设计例1 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余所给分的平均数； 方案3：所有评委所给分的中位数； 方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．【解后感悟】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较；学会选用适当的统计量分析问题．1．一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径20厘米卖价10元，乙种煎饼直径30厘米卖价15元，请问：买哪种煎饼划算？( )A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定类型二利用方程(组)的方案设计例2某乳制品厂现有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨(两种加工方式不能同时进行)．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：方案一：4天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．你认为哪种方案获利最多，为什么？【解后感悟】本题是一元一次方程的应用，注意仔细理解两种方案的内容，在求解方案二的获利时，要设出未知数，利用方程思想求解．2．某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．(1)若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；(2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；(3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．类型三利用不等式的方案设计例3(2019·资阳)某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万元，购买A型4台、B型2台需68万元．(1)求出A型、B型污水处理设备的单价；(2)经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【解后感悟】此题是一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式求出所有方案是解题关键．3．(2019·绍兴模拟)某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．类型四利用函数的方案设计例4某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【解后感悟】本题是二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x＝－b2a时取得．4．(2019·衢州)“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．5．(2019·泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元(两次购进的A、B两种花草价格均分别相同)．(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．类型五利用图形的方案设计例5某校数学研究性学习小组准备做测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆AB顶端A垂下一段绳子ABC如图．经研究发现，原来制定的一系列测量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的高度．(1)请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过程；(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？【解后感悟】关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则．第2个问题的测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨．对于以上2种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出．6．(2019·镇江模拟)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)，(1，0)．(1)如图2，添加棋子C，使四颗棋子A，O，B，C成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；(2)在其他格点位置添加一颗棋子P，使四颗棋子A，O，B，P成为轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标．(写出2个即可)7．(2019·海陵模拟)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边长的直角三角形．请你设计出所有合适的方案，画出草图，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．【探索研究题】要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)．【方法与对策】本题是一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查一元二次方程的应用的主要题型．该题型是实际应用和图形变换相结合，是中考命题的方式之一．【忽视变量前系数，导致解答不全而出错】为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润＝售价－进价)不少于26700元，且购进甲服装不超过80件，则该专卖店有几种进货方案？(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0＜a＜20)元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？参考答案第37讲方案设计型问题【例题精析】例1 (1)方案1最后得分：110×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4. (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．例2 方案一获利：4×2000＋6×500＝11000(元)．方案二：设制奶粉x天，则1×x＋(4－x)×3＝10，解得x＝1天．故1×1×2000＋3×3×1200＝12800(元)．故方案二获利最多．例3 (1)设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝544x ＋2y ＝68，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝10.答：A 型污水处理设备的单价为12万元，B 型污水处理设备的单价为10万元； (2)设购进a 台A 型污水处理器，根据题意可得：220a ＋190(8－a)≥1565，解得：a≥1.5，∵A 型污水处理设备单价比B 型污水处理设备单价高，∴A 型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A 型污水处理设备，购进6台B 型污水处理设备最省钱．例4 (1)w ＝(x －20)(250－10x ＋250)＝－10x 2＋700x －10000； (2)w ＝－10x 2＋700x －10000＝－10(x －35)2＋2250所以，当x ＝35时，w 有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；(3)方案A ：由题可得20＜x≤30，因为a ＝－10＜0，对称轴为x ＝35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，所以，当x ＝30时，w 取最大值为2000元，方案B ：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧250－10（x －25）≥10，x ≥45，解得：45≤x≤49，在对称轴右侧，w 随x 的增大而减小，所以，当x ＝45时，w 取最大值为1250元，因为2000元＞1250元，所以选择方案A.例5 (1)测量方案设计如下：①测量绳子比旗杆多出的部分BC ＝am ；②把绳子ABC 拉紧到地面D 处如图1，测量B 到D 的距离BD ＝bm.推算过程：设旗杆的高度为xm ，则AD 是(x ＋a)m.在直角△ABD 中，根据AB 2＋BD 2＝AD 2得x 2＋b 2＝(x ＋a)2，x 2＋b 2＝x 2＋a 2＋2ax ，解得x ＝b 2－a 22a. (2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个：【变式拓展】 1．B2. (1)根据题意得：2x ＋y ＝15，∴y 与x 之间的关系式为y ＝15－2x. (2)购买方案：x ＝1，y ＝13；x ＝2，y ＝11；x ＝3，y ＝9；x ＝4，y ＝7；x ＝5，y ＝5；x ＝6，y ＝3，x ＝7，y ＝1，∴共有7种购买方案． (3)∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为：17. 3.(1)设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝1800，4x ＋10y ＝3100，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝210，答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元； (2)设采购A 种型号电风扇a 台，依题意得：200a ＋170(30－a)≤5400，得：a≤10.答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；(3)依题意有：(250－200)a ＋(210－170)(30－a)＝1400，解得：a ＝20，∵a ＞10，∴在(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标．4. (1)设y 1＝k 1x ＋80，把点(1，95)代入，可得95＝k 1＋80，解得k 1＝15，∴y 1＝15x ＋80(x≥0)；设y 2＝k 2x ，把(1，30)代入，可得30＝k 2，即k 2＝30，∴y 2＝30x(x≥0)； (2)当y 1＝y 2时，15x ＋80＝30x ，解得x ＝163；当y 1＞y 2时，15x ＋80＞30x ，解得x ＜163；当y 1＜y 2时，15x ＋80＜30x ，解得x ＞163；∴当租车时间为163小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．5. (1)设A 种花草每棵的价格x 元，B 种花草每棵的价格y 元，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋15y ＝67512x ＋5y ＝940－675，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝5，∴A 种花草每棵的价格是20元，B 种花草每棵的价格是5元． (2)设A 种花草的数量为m株，则B 种花草的数量为(31－m)株，∵B 种花草的数量少于A 种花草的数量的2倍，∴31－m ＜2m ，解得：m ＞313，∵m 是正整数，∴m 最小值＝11，设购买树苗总费用为W ＝20m ＋5(31－m)＝15m ＋155，∵k ＞0，∴W随m 的减小而减小，当m ＝11时，W 最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：购进A 种花草的数量为11株、B 种20株，费用最省；最省费用是320元．6.(1)如图，答案不唯一； (2)(2，1)，(0，－1)．7．如图1所示：S △ABD ＝12×8×12＝48(m 2)；如图2所示：S △ABD ＝12×8×10＝40(m 2)；如图3所示：在Rt △ACD 中，AC 2＋DC 2＝AD 2，即82＋x 2＝(x ＋6)2，解得：x ＝73，故S △ABD ＝12×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋73＝1003(m 2)．【热点题型】【分析与解】(1)根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可．根据小亮的设计方案列方程得：(52－x)(48－x)＝2300，解得：x ＝2或x ＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m ； (2)求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可．作AI⊥CD，HJ ⊥EF ，垂足分别为I ，J ，∵AB ∥CD ，∠1＝60°，∴∠ADI ＝60°，∵BC ∥AD ，∴四边形ADCB 为平行四边形，∴BC ＝AD ，由(1)得x ＝2，∴BC ＝HE ＝2＝AD ，在Rt △ADI 中，AI ＝2sin60°＝ 3.∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2299平方米．【错误警示】(1)设购进甲种服装x 件，则乙种服装是(200－x)件，根据题意得：180x ＋150(200－x)＝32400，解得：x ＝80，200－x ＝200－80＝120(件)，则购进甲、乙两种服装分别为80件、120件； (2)设购进甲种服装y 件，则乙种服装是(200－y)件，根据题意得：(320－180)y ＋(280－150)(200－y)≥26700，解得：y≥70，而y≤80，∴70≤y≤80，又∵y 是正整数，∴共有11种方案； (3)设总利润为W 元，W ＝(140－a)y ＋130(200－y)，即w ＝(10－a)y ＋26000.①当0＜a ＜10时，10－a ＞0，W 随y 增大而增大，∴当y ＝80时，W 有最大值，即此时购进甲种服装80件，乙种服装120件；②当a ＝10时，(2)中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；③当10＜a ＜20时，10－a ＜0，W 随y 增大而减小．当y ＝70时，W 有最大值，即此时购进甲种服装70件，乙种服装130件．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）A.95°B.75°C.35°D.85°2．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x+a （a ﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数y ＝x 2﹣（a 2+1）x ﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是（ ） A ．27B ．37C ．47D ．673．不等式组1224x x -<⎧⎨≥⎩的解集为（ ）A.2≤x＜3B.2＜x ＜3C.x ＜3D.x≥24．如图，∠AOB=120o ，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧分别交OA 、OB 于点C 、D ，分别以C 、D 为圆心，以大于CD 为的长为半径作弧，两弧相交于点P ，以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段OM=6，则M 点到OB 的距离为( )A.3B.C.2D.65．据开化旅游部门统计，2018年开化各景点共接待游客约为12926000人次，数据12926000用科学记数法表示为（ ） A ．0.12926×108B ．1.2926×106C ．12.926×105D ．1.2926×1076．在函数y =x 的取值范围是（ ）A.x 2≠-B.x 0>C.x 2>-D.x 2≥-7．如图，直径为单位1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A ，则点A 表示的数是（ ）A ．2BC ．πD ．48．某车间6名工人日加工零件数分别为6，10，8，10，5，8，则这组数据的中位数是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10 9．关于x 的正比例函数，y=（m+1）23mx -若y 随x 的增大而减小，则m 的值为 （ ） A ．2 B ．-2 C ．±2 D ．-1210．如图，一次函数y 1＝k 1x+b 1与反比例函数22k y x=的图象交于点A （1，3），B （3，1）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ＜3C ．0＜x ＜3D ．x ＞3或0＜x ＜111．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，DC 与OB 交于点E ，若AB OC ∥，则CEB ∠的度数为（ ）A ．95B ．100C ．105D ．11012．方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k≠0且k≥﹣1B.k≥﹣1C.k≠0且k≤﹣1D.k≠0或k≥﹣1二、填空题13．动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.6，则现年20岁的这种动物活到25岁的概率是_____．14．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，连接AE ，点F 是AE 上一点，连接FC ，若∠BAE ＝∠EFC ，CF ＝CD ，AB ：BC ＝3：2，AF ＝4，则FC 的长为_____．15．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣c ＝0有一正一负两个实数根，则实数c 的值可以取_____（写出一个即可）．16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB=2，C 、D 是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC 的长为______.17．函数y x的取值范围是．18．因式分解m3﹣4m＝_____．三、解答题19．为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元;如果购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元.（1）求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元?（2）学校计划购买甲、乙两种型号的排球共26个，其中甲种型号排球的个数多于乙种型号排球，并且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，求该学校共有几种购买方案?20．如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，直线PE切⊙O于点Q，连接BQ．（1）∠QBP＝25°，求∠P的度数；（2）若PA＝2，PQ＝4，求⊙O的半径．21．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，且AE⊥BD，垂足为点F，∠DAE＝2∠BAE．（1）求证：BF：DF＝1：3；（2）若四边形EFDC的面积为11，求△CEF的面积．22．如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAP；（2）求证：PC2=PA•PE；（3）若AE-AP=PC=4，求圆O的半径．23．如图，△ABC中，∠BAC＝90°．（1）尺规作图：在BC上求作E点，使得△ABE与△ABC相似；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，AC＝3，AB＝4，求△AEC的周长．24．如图，CD是⊙O的直径，点A为圆上一点不与C，D点重合，过点A作⊙O的切线，与DC的延长线交于点P，点M为AP上一点，连接MC并延长，与⊙O交于点F，E为CF上一点，且MA＝ME，连接AE并延长，与⊙O于点B，连接BC，AC．（1）求证：BC＝BF；（2）若PC•PD＝7，求AP的长．25．如图，在四边形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B坐标为（2，，∠BCO＝60°，OH⊥BC，垂足为H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动；动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动．两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒．（1）求OH的长．（2）设PQ与OB交于点M．①探究：当t为何值时，△OPM为等腰三角形；②线段OM长度的最大值为．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．751415．116．117．x≥-12且x≠018．m（m+2）（m﹣2）三、解答题19．（1）每个甲种型号排球的价格是80元，每个乙种型号排球的价格是60元；（2）该学校共有4种购买方案．【解析】【分析】（1）设每个甲种型号排球的价格是x元，每个乙种型号排球的价格是y元，根据“一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种型号排球m个，则购买乙种型号排球（26﹣m）个，根据甲种型号排球的个数多于乙种型号排球且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出购买方案的个数．【详解】（1）设每个甲种型号排球的价格是x元，每个乙种型号排球的价格是y元，依题意，得：140 65780 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：8060 xy=⎧⎨=⎩．答：每个甲种型号排球的价格是80元，每个乙种型号排球的价格是60元．（2）设购买甲种型号排球m个，则购买乙种型号排球（26﹣m）个，依题意，得：268060(26)1900 m mm m>-⎧⎨+-⎩…，解得：13＜m≤17．又∵m 为整数，∴m 的值为14，15，16，17．答：该学校共有4种购买方案．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．20．（1）∠P ＝40°；（2）⊙O 的半径为3．【解析】【分析】（1）连接QO ，直线PE 切⊙O 于点Q ，可得∠PQD=90°，然后根据圆周角定理及推论，可得∠QOP ，从而求出∠P 的度数；（2）设OQ ＝r ，则PO ＝2+r ，由勾股定理可得，r 2+42＝(2+r)2 ，求出r 即可得出⊙O 的半径.【详解】（1）连接OQ ，∵OQ ＝OB ，∴∠OQB ＝∠B ＝25°，∴∠POQ ＝∠B+∠OQB ＝50°，∵直线PE 切⊙O 于点Q ，∴∠PQO ＝90°，∴∠P ＝90°﹣∠POQ ＝40°；（2）∵PA ＝2，PQ ＝4，设OQ ＝r ，则PO ＝2+r ，∵PQ 2+OQ 2＝OP 2，∴r 2+42＝（2+r ）2，解r ＝3，∴⊙O 的半径为3．【点睛】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．21．（1）详见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°，又AE ⊥BD ，得到tan 30BF AF ︒==，DF tan 60AF︒== （2）根据已知条件得到△BEF ∽△BDC ，求得∠ABF ＝60°，得到∠FBE＝30°，求得BF BE 2=，BE BF =，由于BD ＝4BF，得到BE BD =，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∠DAE ＝2∠BAE ，∴∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°，又∵AE ⊥BD ，∴tan 303BF AF ︒==，DF tan 60AF ︒== ∴BF ：DF ＝1：3；（2）解：∵∠FBE ＝∠CBD ，∠BFE ＝∠DCB ，∴△BEF ∽△BDC ，∵∠BAE ＝30°，∴∠ABF ＝60°，∴∠FBE ＝30°，∴BF BE 2=，∴BE BF 3=， ∵BD ＝4BF ，∴BE BD =， ∴BFE BCD S S ∆=112BFE B E EF FDC S S S ∆+=四边形， ∵S 四边形EFDC ＝11，∴S △BEF＝1， ∵6BFBE BC BD ==，BF BE 2=， ∴13=BE BC ， ∴12BE EC =， ∴S △CEF ＝1×2＝2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.【解析】【分析】（1）OA=OC，则∠OCA=∠OAC，CD∥AP，则∠OCA=∠PAC，即可求解；（2）证明△PAC∽△PCE，即可求解；（3）利用△PAC∽△CAB、PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，即可求解．【详解】解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵CD∥AP，∴∠OCA=∠PAC，∴∠OAC=∠PAC，∴AC平分∠BAP；（2）连接AD，∵CD为圆的直径，∴∠CAD=90°，∴∠DCA+∠D=90°，∵CD∥PA，∴∠DCA=∠PAC，又∠PAC+∠PCA=90°，∴∠PAC=∠D=∠E，∴△PAC∽△PCE，∴PA PC PC PE，∴PC2=PA•PE；（3）AE=AP+PC=AP+4，由（2）得16=PA（PA+PA+4），PA2+2PA-8=0，解得，PA=2，连接BC，∵CP是切线，则∠PCA=∠CBA，Rt△PAC∽Rt△CAB，AP AC PCAC AB BC==，而PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，其中PA=2，解得：AB=10，则圆O的半径为5．【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了三角形相似、勾股定理运用的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．23．（1）见解析；（2）△AEC的周长＝36 5【解析】【分析】（1）过点A作BC的垂线即可；（2）在直角三角形ABC中，根据勾股定理可求出BC长，由（1）知，△ABE 与△ABC相似，相似三角形对应线段成比例，由此，可求出AE,CE长，即知△AEC的周长.【详解】解：（1）如图所示，点E即为所求；（2）由（1）可得，△ABE∽△CBA，∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5，∴AE＝125，CE＝95，∴△AEC的周长＝3+125+95＝365．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，确定相似三角形成比例的线段是解题的关键.24．（1）见解析；（2．【解析】【分析】（1）连接AF ，利用切线的性质，可得∠MAC ＝∠F ，再利用同角对同弧，即可解答（2）连接AD ，利用切线的性质可得∠MAC ＝∠D ，即可证明△PAC ∽△PDC ，即可解答【详解】（1）证明：连接AF ，如图1所示：∵PA 是⊙O 的切线，∴∠MAC ＝∠F ，∵MA ＝ME ，∴∠MAE ＝∠MEA ，∵∠MAE ＝∠MAC+∠BAC ，∠MEA ＝∠F+∠BAF ，∴∠BAC ＝∠BAF ，∴弧BC=弧BF ；（2）解：连接AD ，如图2所示：∵PA 是⊙O 的切线，∴∠MAC ＝∠D ，∵∠P ＝∠P ，∴△PAC ∽△PDC ， ∴PA PC PD PA=， ∴PA 2＝PC•PD＝7，∴PA ．【点睛】此题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线25．（1）OH =；（2）①3t =或t=2;②线段OM 长的最大值为32 【解析】【分析】（1）根据题意得出△BOC 为等边三角形，进而得出OH 的长；（2）①利用（i ）若OM ＝PM ，（ii ）若OP ＝OM ，（iii ）若OP ＝PM ，分别分析得出即可；②PQ ⊥OB 时，OM 长度的值最大，即△OPQ 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）由已知在Rt △OAB 中，AB ＝2，OA ＝∴OB ＝4，tan ∠AOB ∴∠AOB ＝30°，∴∠BOC ＝60°,又∵∠BCO ＝60°，∴△BOC 是等边三角形∵OH ⊥BC ，∠BCO ＝60°，∴OH ＝（2）①△OPM 为等腰三角形时，则:（i ）若OM ＝PM ，则∠MPO ＝∠MOP ＝∠POC∴PQ ∥OC ，此时△OPQ 是直角三角形，且∠MPO ＝30°∴OP ＝2OQ ，即t ＝2t∴t , （ii ）若OP ＝OM ，则∠OPM ＝∠OMP ＝75°，∴∠OQP ＝45°过点P 作PE ⊥OA ，垂足为E ，则有EQ ＝EP∴EP ＝OQ-OE ，即2(t) ＝t －12(t) 解得t ＝2.（iii ）若 OP ＝PM ，则 ∠PMO ＝∠POM ＝30°，这时PQ ∥OA ， 这种情况不可能②当PQ ⊥OB 时，OM 长度的值最大，即△OPQ 是等边三角形，∴t ＝t,∴t∴OP ＝OQ ＝PQ∴OM ＝32，∴线段OM长的最大值为32.【点睛】此题主要考查了四边形综合以及锐角三角函数关系和等边三角形、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ， 求道路的宽．如果设小路宽为x ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．（20-x ）（32-x ）=540B ．（20-x ）（32-x ）=100C ．（20+x ）（32+x ）=540D ．（20+x ）（32-x ）=5402．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+2﹣b 在自变量x 的值满足﹣1≤x≤2的情况下，若对应的函数值y 的最大值为6，则b 的值为（ ） A ．﹣1或2B ．2或6C ．﹣1或4D ．﹣2.5或83．下列各数中，最大的数是（ ）A ．|﹣2|B C ．12-D ．﹣π4．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 在边AB 上，∠CPB 的平分线交边BC 于点D ，DE ⊥CP 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．当△PED 与△BFD 的面积相等时，BP 的值为（ ）A. B. C. D.5．在某学校“国学经典诵读”比赛中，有11名同学参加某项比赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这11名同学成绩的（ ） A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差6．在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是23，则袋中原有黑球（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．将抛物线y ＝x 2﹣2x+3向上平移1个单位，平移后所得的抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝x 2﹣2x+4B ．y ＝x 2﹣2x+2C ．y ＝x 2﹣3x+3D ．y ＝x 2﹣x+38．已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A.2m ≤B.0m ≤C.0m <D.2m <9．下列说法正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形10．如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A ＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（）A. B.C. D.11．如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE 的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个12．下列运算中，不正确的是（）A．（x+1）2＝x2+2x+1 B．（x2）3＝x5C．2x4⋅3x2＝6x6D．x2÷x﹣1＝x3（x≠0）二、填空题x-=______________________.13．在实数范围内分解因式：2414．某学习小组共有学生5人，在一次数学测验中，有2人得85分，2人得90分，1人得70分，该学习小组的平均分为__________分.。
2019年浙江中考数学复习方法技巧专题四：构造法训练(含答案)
方法技巧专题四构造法训练构造法是一种技巧性很强的解题方法，它能训练思维的创造性和敏捷性．常见的构造形式有：1.构造方程；2.构造函数；3.构造图形．一、选择题图F4－11．如图F4－1，OA＝OB＝OC，且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是( )A．6 B．3 C．－3 D．03．设关于x的一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足( )A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2二、填空题4．如图F4－2，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于________．图F4－25．如图F4－3，直线y＝kx＋b经过A(3，1)和B(6，0)两点，则不等式0＜kx＋b＜13x的解为________．图F4－36．关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m ＋2)2＋b＝0的解是________．7．[2019·成都] 如图F4－4，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝________．图F4－48．如图F4－5，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，EF⊥BC于点F，BC＝5，EF＝3.图F4－5(1)若AB＝DC，则四边形ABCD的面积S＝________；(2)若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′________S(用“＞”或“＝”或“＜”填空)．三、解答题9．如图F4－6，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC＝6 m，CD＝4 m，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度．(结果保留根号)图F4－6参考答案1．C [解析] 以点O为圆心，以OA为半径作⊙O.∵OA＝OB＝OC，∴点B，C在⊙O上．∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.故选C.注：此题构造了圆．2．A [解析] (1)当m＝n时，(m－1)2＋(n－1)2＝2(m－1)2.此时当m＝1时，有最小值0.而m＝1时，代入原方程求得a＝3 2 .∵不满足条件a≥2，∴舍去此种情况．(2)当m≠n 时，∵m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，∴m ，n 是关于x 的方程x 2－2ax ＋2＝0的两个根． ∴m ＋n ＝2a ，mn ＝2，∴(m －1)2＋(n －1)2＝m 2－2m ＋1＋n 2－2n ＋1＝(m ＋n)2－2mn －2(m ＋n)＋2＝4a 2－4－4a ＋2＝4(a －12)2－3.∵a ≥2，∴当a ＝2时，(m －1)2＋(n －1)2有最小值．∴(m－1)2＋(n －1)2的最小值＝4(2－12)2－3＝6.故选A.注：此题根据两个等式构造了一个一元二次方程．3．D [解析] 一元二次方程(x －1)(x －2)＝m(m ＞0)的两根实质上是抛物线y ＝(x －1)(x －2)与直线y ＝m 两个交点的横坐标．如图所示，显然α＜1且β＞2.故选D.注：此题构造了二次函数．4．15 [解析] 分别将线段AB ，CD ，EF 向两端延长，延长线构成一个等边三角形，边长为8.则EF ＝2，AF ＝4，故所求周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.注：此题构造了等边三角形．5．3＜x ＜6 [解析] 作直线OA ，易知直线OA 的解析式为y ＝13x.由图可知，不等式kx ＋b ＞0的解为x ＜6；不等式kx ＋b ＜13x 的解为x ＞3.所以不等式0＜kx ＋b ＜13x 的解为3＜x ＜6.注：此题构造了一次函数y ＝13x.6．x 1＝－4，x 2＝－1 [解析] 根据方程的特点联想二次函数的顶点式．将函数y ＝a(x ＋m)2＋b 的图象向左平移2个单位得函数y ＝a(x ＋m ＋2)2＋b 的图象，因此将方程a(x ＋m)2＋b ＝0的解x 1＝－2，x 2＝1分别减去2，即得所求方程的解．注：此题构造了二次函数．7.392[解析] 如图，作直径AE ，连结CE ，则∠ACE＝90°.∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝90°. ∴∠ACE ＝∠AHB.∵∠B ＝∠E，∴△ABH ∽△AEC. ∴AB AE ＝AH AC .∴AB＝AE·AH AC. ∵AC ＝24，AH ＝18，AE ＝2OC ＝26， ∴AB ＝18×2624＝392.注：此题构造了直角三角形． 8．(1)15 (2)＝[解析] (1)平行四边形的面积等于底乘高；(2)如图，连结BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点G ，连结CE.易证△EAB≌△EDG.∴BE＝EG.∴S 四边形ABCD ＝S △BCG ＝2S △BCE ＝BC·EF＝15.注：此题根据平行线间线段的中点构造了全等三角形．9．解：如图，延长AD 交BC 的延长线于E ，过点D 作DF⊥BE 于F.∵∠BCD ＝150°， ∴∠DCF ＝30°.∵CD ＝4，∴DF ＝2，CF ＝2 3. 由题意得∠E＝30°，∴DC ＝DE.∴CE ＝2CF ＝4 3.∴BE＝BC ＋CE ＝6＋4 3. ∴AB ＝BE×tan E ＝(6＋4 3)×33＝2 3＋4. 答：电线杆的高度为(2 3＋4)m.注：此题构造了直角三角形．三角函数只能应用于直角三角形中，因此用三角函数解决四边形或斜三角形的问题时，必须构造直角三角形．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ） A ．x+x 3＝x 4 B ．x 2•x 5＝x 10 C ．（x 4）2＝x 8D ．x 2+x 2＝x 4（x≠0）2．如图，已知CA 、CB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，D 是⊙O 上的一点，连接AD 、BD ，若∠C ＝56°，则∠D 等于（ ）A.72°B.68°C.64°D.62°3．下列计算中，正确的是（ ） A.223a a a +=B.32a a a -=C.223a a a ⋅=D.()212a a +=4．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( ) A ．12B ．13C ．14D ．165．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，AC ＝则图中阴影部分的面积是（ ）A ．32π-B ．32π C ．3924π- D ．3π-6．已知x ，y 满足方程组24342x y x y +=⎧⎨-=⎩，则2x y -的值为A ．3B ．4C ．7-D ．17-7．某班学生到距学校12km 的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先出发，经过12h 后，其余同学乘汽车出发，由于____________，设自行车的速度为/xkm h ，则可得方程为1212132x x -=，根据此情境和所列方程，上题中______________中的内容应该是（ ） A ．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达B ．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到12h C ．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到1hAD ．汽车每小时比自行车多行驶3km ，结果同时到达.8．将多边形的边数由n 条增加到()n x +条后，内角和增加了540︒，则x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．将一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝，则CD 的长为（ ）A ．B ．12﹣C ．12﹣D ．10．已知x+1x=6，则x 2+21x =（ ）A.38B.36C.34D.3211．已知，二次函数()22y x k =++向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到二次函数()2+h 1y x =-，则h 和k 的值分别为（ ）A.3，-4B.1，-4C.1, 2D.3, 212．下列计算正确的是（ ） A ．3a ﹣a ＝3 B ．（a 2）3＝a 6C ．3a+2a ＝2a 2D ．a 2﹣a 2＝a 4二、填空题13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为_____．14．如图的程序计算函数值，若输入x 的值为32，则输出的结果y 为________。
浙江省2019届中考数学总复习专题训练(共8个专题16份含答案)
专题一选择题的解题策略与应试技巧类型一直选法(2018·浙江宁波中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )A．54° B．40° C．30° D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．得出EO是△DBC的中位线是解题关键．【自主解答】1．(2018·浙江嘉兴中考)2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1 500 000 km.数1 500 000用科学记数法表示为( ) A．15×105B．1.5×106C．0.15×107D．1.5×1052．(2018·浙江湖州中考) 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG.问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是( )A.3rB ．(1＋22)r C ．(1＋32)r D.2r类型二 排除法(或筛选法、淘汰法)(2018·甘肃定西中考)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x ＝1.对于下列说法：①ab ＜0；②2a＋b ＝0；③3a＋c ＞0；④a＋b≥m(am＋b)(m 为实数)；⑤当－1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是( )A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b 与0的关系以及2a ＋b 与0的关系；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞0. 【自主解答】3．(2018·浙江舟山中考)某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( ) A ．甲 B ．甲与丁 C ．丙D ．丙与丁4．(2018·四川南充中考)如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过点B 作BE⊥AP 于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH⊥BE 于点G ，交AB 于点H ，连结HF.下列结论正确的是( )A ．CE ＝ 5B ．EF ＝22C ．cos ∠CEP＝55D ．HF 2＝EF·CF类型三 特殊值法(2018·湖北十堰中考)如图，直线y ＝－x 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，过点B 作BD∥x 轴，交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数y ＝k x 的图象于另一点C ，则CBCA 的值为( )A ．1∶3B ．1∶2 2C ．2∶7D ．3∶10【分析】 联立直线AB 与反比例函数表达式组成方程组，通过解方程组可求出点A ，B 的坐标，由BD∥x 轴可得出点D 的坐标，由点A ，D 的坐标利用待定系数法可求出直线AD 的表达式，联立直线AD 与反比例函数表达式组成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出CBCA 的值．【自主解答】5．(2018·四川内江中考)已知：1a －1b ＝13，则abb －a 的值是( )A.13B ．－13C ．3D ．－36．(2018·山东聊城中考)如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是( )A ．γ＝2α＋βB ．γ＝α＋2βC ．γ＝α＋βD ．γ＝180°－α－β类型四 逆推代入法(2018·江苏泰州中考)如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(9，6)，AB⊥y 轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方向运动，同时，点Q 从点A 出发向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P ，Q 同时停止运动，若点P 与点Q 的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是( )A ．线段PQ 始终经过点(2，3)B ．线段PQ 始终经过点(3，2)C ．线段PQ 始终经过点(2，2)D ．线段PQ 不可能始终经过某一定点【分析】 当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)．设直线PQ 的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)，利用待定系数法求出PQ 的表达式即可判断． 【自主解答】将选项中给出的答案或其特殊值代入题干，逐一验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选项．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度．7．(2018·湖北襄阳中考) 下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A ．任意画一个四边形，其内角和为180° B ．经过任意两点画一条直线 C ．任意画一个菱形，是中心对称图形 D ．过平面内任意三点画一个圆 类型五 图解法(2018·贵州毕节中考) 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥－3，x ＜1 的解集在数轴上表示正确的是( )A BC D【分析】先解不等式组，再判断其解集在数轴上的正确表示．【自主解答】8．(2018·山东潍坊中考)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )A．3或6 B．1或6C．1或3 D．4或6类型六动手操作法(2017·河北中考)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是( )A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5【分析】画图即可判断．【自主解答】与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地试题热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的．9．(2018·广西南宁中考)如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP ＝OF ，则cos ∠ADF 的值为( )A.1113B.1315C.1517D.1719类型七 整体代入法(2018·浙江宁波中考)在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b(a ＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2.当AD －AB ＝2时，S 2－S 1的值为( )图1 图2A ．2aB ．2bC ．2a －2bD ．－2b【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1和S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【自主解答】整体思想也是初中数学中的重要思想之一，它是把题目分散的条件整合起来视为一个整体，从而实现整体代入使其运算得以简化．10．(2018·吉林中考改编)若a ＋b ＝4，ab ＝1，则a 2b ＋ab 2＝( ) A ．1B ．3C ．4D ．511．(2018·云南中考)已知x ＋1x ＝6，则x 2＋1x 的值是( )A ．38B ．36C ．34D ．32类型八 构造法(2018·山东枣庄中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为( )A.15B ．2 5C ．215D ．8【分析】 作OH⊥CD 于H ，连结OC ，如图，根据垂径定理由OH⊥CD 得到HC ＝HD ，再利用AP ＝2，BP ＝6可计算出半径OA ＝4，则OP ＝OA －AP ＝2，接着在Rt △OPH 中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH ＝12OP ＝1，然后在Rt △OHC 中利用勾股定理计算出CH ＝15，所以CD ＝2CH ＝215. 【自主解答】综合运用各种知识，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造出与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而沟通解题思路，是一种思维创造．12．(2018·山西中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC ＝6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB 边上，则点B′与点B 之间的距离为( )A ．12B ．6C ．6 2D ．6 313．(2018·江苏苏州中考)如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E作EF∥CD(点F 位于点E 右侧)，且EF ＝2CD ，连结DF.若AB ＝8，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2类型九 转化法(2018·湖南郴州中考)如图，A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】 先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，再过A ，B 两点分别作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.根据S四边形AODB＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S梯形ABDC，得出S △AOB ＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式即可得出S △AOB . 【自主解答】常言道：“兵无常势，题无常形”，面对千变万化的中考新题型，当我们在思维受阻时，运用思维转化策略，换一个角度去思考问题，常常能打破僵局，解题中不断调整，不断转化，可以使我们少一些“山穷水复疑无路”的尴尬，多一些“柳暗花明又一村”的喜悦．14. (2018·湖北宜昌中考)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )A ．1B.12C.13D.14参考答案【专题类型突破】 类型一【例1】 ∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°， ∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°.∵对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点， ∴EO 是△DBC 的中位线，∴EO∥BC，∠1＝∠ACB＝40°.故选B. 变式训练 1．B 2.D 类型二【例2】 ①∵对称轴在y 轴右侧， ∴a，b 异号，∴ab＜0，故正确； ②∵对称轴x ＝－b2a ＝1，∴2a＋b ＝0，故正确； ③∵2a＋b ＝0，∴b＝－2a ， ∵当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0， ∴a－(－2a)＋c ＝3a ＋c ＜0，故错误； ④根据图示知，当m ＝1时，有最大值； 当m≠1时，有am 2＋bm ＋c≤a＋b ＋c ， 所以a ＋b≥m(am＋b)(m 为实数)．故正确． ⑤当－1＜x ＜3时，y 不只是大于0.故错误． 故选A. 变式训练 3．B 4.D 类型三【例3】 联立直线AB 及反比例函数表达式组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝k x，解得⎩⎨⎧x 1＝－－k ，y 1＝－k ，⎩⎨⎧x 2＝－k ，y 2＝－－k ，∴点B 的坐标为(－－k ，－k)，点A 的坐标为(－k ，－－k)． ∵BD∥x 轴，∴点D 的坐标为(0，－k)． 设直线AD 的表达式为y ＝mx ＋n.将A(－k ，－－k)，D(0，－k)代入y ＝mx ＋n ，⎩⎨⎧－km ＋n ＝－－k ，n ＝－k ，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝－k ， ∴直线AD 的表达式为y ＝－2x ＋－k. 联立直线AD 及反比例函数表达式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋－k ，y ＝kx， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－－k 2，y 3＝2－k ，⎩⎨⎧x 4＝－k ，y 4＝－－k ， ∴点C 的坐标为(－－k2，2－k)． ∴CBCA＝ [－－k －（－－k 2）]2＋（－k －2－k ）2[－k －（－－k 2）]2＋（－－k －2－k ）2＝13.故选A. 变式训练 5．C 6.A 类型四【例4】 当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)． 设直线PQ 的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将P(t ，0)，Q(9－2t ，6)代入y ＝kx ＋b ， ⎩⎪⎨⎪⎧kt ＋b ＝0，（9－2t ）k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23－t ，b ＝2t t －3， ∴直线PQ 的表达式为y ＝23－t x ＋2tt －3.∵x＝3时，y ＝2，∴直线PQ 始终经过(3，2)．故选B. 变式训练 7．D 类型五【例5】 解不等式2x ＋1≥－3得x≥－2. ∵x<1，∴不等式组的解集为－2≤x<1. 将其正确表示在数轴上为选项D.故选D. 变式训练 8．B 类型六【例6】 如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M 的运动轨迹是图中的弧线，观察图象可知点B ，M 间的距离大于等于2－2小于等于1，故选C.变式训练 9．C 类型七【例7】 S 1＝(AB －a)·a＋(CD －b)(AD －a)＝(AB －a)·a＋(AB －b)(AD －a)， S 2＝AB(AD －a)＋(a －b)(AB －a)，∴S 2－S 1＝AB(AD －a)＋(a －b)(AB －a)－(AB －a)·a－(AB －b)(AD －a)＝(AD －a)(AB －AB ＋b)＋(AB －a)(a －b －a)＝b·AD－ab －b·AB＋ab ＝b(AD －AB)＝2b.故选B. 变式训练 10．C 11.C 类型八【例8】 如图，作OH⊥CD 于H ，连结OC.∵OH⊥CD，∴HC＝HD. ∵AP＝2，BP ＝6，∴AB＝8， ∴OA＝4，∴OP＝OA －AP ＝2. 在Rt△OPH 中，∵∠OPH＝30°， ∴∠POH＝60°，∴OH＝12OP ＝1.在Rt △OHC 中，∵OC＝4，OH ＝1， ∴CH＝OC 2－OH 2＝15， ∴CD＝2CH ＝215.故选C. 变式训练 12．D 13.B类型九【例9】 ∵A，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x ＝2时，y ＝2，即A(2，2)， 当x ＝4时，y ＝1，即B(4，1)．如图，过A ，B 两点分别作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，则S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.∵S 四边形AODB＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S 梯形ABDC ， ∴S△AOB ＝S 梯形ABDC .∵S 梯形ABDC ＝12(BD ＋AC)·CD＝12(1＋2)×2＝3，∴S △AOB ＝3.故选B. 变式训练 14．B专题一选择题的解题策略与应试技巧类型一直选法(2018·浙江宁波中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )A．54° B．40° C．30° D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．得出EO是△DBC的中位线是解题关键．【自主解答】1．(2018·浙江嘉兴中考)2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1 500 000 km.数1 500 000用科学记数法表示为( ) A．15×105B．1.5×106C．0.15×107D．1.5×1052．(2018·浙江湖州中考) 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG.问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是( )A.3rB ．(1＋22)r C ．(1＋32)r D.2r类型二 排除法(或筛选法、淘汰法)(2018·甘肃定西中考)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x ＝1.对于下列说法：①ab ＜0；②2a＋b ＝0；③3a＋c ＞0；④a＋b≥m(am＋b)(m 为实数)；⑤当－1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是( )A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b 与0的关系以及2a ＋b 与0的关系；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞0. 【自主解答】3．(2018·浙江舟山中考)某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( ) A ．甲 B ．甲与丁 C ．丙D ．丙与丁4．(2018·四川南充中考)如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过点B 作BE⊥AP 于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH⊥BE 于点G ，交AB 于点H ，连结HF.下列结论正确的是( )A ．CE ＝ 5B ．EF ＝22C ．cos ∠CEP＝55D ．HF 2＝EF·CF类型三 特殊值法(2018·湖北十堰中考)如图，直线y ＝－x 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，过点B 作BD∥x 轴，交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数y ＝k x 的图象于另一点C ，则CBCA 的值为( )A ．1∶3B ．1∶2 2C ．2∶7D ．3∶10【分析】 联立直线AB 与反比例函数表达式组成方程组，通过解方程组可求出点A ，B 的坐标，由BD∥x 轴可得出点D 的坐标，由点A ，D 的坐标利用待定系数法可求出直线AD 的表达式，联立直线AD 与反比例函数表达式组成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出CBCA 的值．【自主解答】5．(2018·四川内江中考)已知：1a －1b ＝13，则abb －a 的值是( )A.13B ．－13C ．3D ．－36．(2018·山东聊城中考)如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是( )A ．γ＝2α＋βB ．γ＝α＋2βC ．γ＝α＋βD ．γ＝180°－α－β类型四 逆推代入法(2018·江苏泰州中考)如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(9，6)，AB⊥y 轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方向运动，同时，点Q 从点A 出发向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P ，Q 同时停止运动，若点P 与点Q 的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是( )A ．线段PQ 始终经过点(2，3)B ．线段PQ 始终经过点(3，2)C ．线段PQ 始终经过点(2，2)D ．线段PQ 不可能始终经过某一定点【分析】 当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)．设直线PQ 的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)，利用待定系数法求出PQ 的表达式即可判断． 【自主解答】将选项中给出的答案或其特殊值代入题干，逐一验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选项．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度．7．(2018·湖北襄阳中考) 下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A ．任意画一个四边形，其内角和为180° B ．经过任意两点画一条直线 C ．任意画一个菱形，是中心对称图形 D ．过平面内任意三点画一个圆 类型五 图解法(2018·贵州毕节中考) 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥－3，x ＜1 的解集在数轴上表示正确的是( )A BC D【分析】先解不等式组，再判断其解集在数轴上的正确表示．【自主解答】8．(2018·山东潍坊中考)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )A．3或6 B．1或6C．1或3 D．4或6类型六动手操作法(2017·河北中考)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是( )A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5【分析】画图即可判断．【自主解答】与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地试题热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的．9．(2018·广西南宁中考)如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP ＝OF ，则cos ∠ADF 的值为( )A.1113B.1315C.1517D.1719类型七 整体代入法(2018·浙江宁波中考)在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b(a ＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2.当AD －AB ＝2时，S 2－S 1的值为( )图1 图2A ．2aB ．2bC ．2a －2bD ．－2b【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1和S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【自主解答】整体思想也是初中数学中的重要思想之一，它是把题目分散的条件整合起来视为一个整体，从而实现整体代入使其运算得以简化．10．(2018·吉林中考改编)若a ＋b ＝4，ab ＝1，则a 2b ＋ab 2＝( ) A ．1B ．3C ．4D ．511．(2018·云南中考)已知x ＋1x ＝6，则x 2＋1x 的值是( )A ．38B ．36C ．34D ．32类型八 构造法(2018·山东枣庄中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为( )A.15B ．2 5C ．215D ．8【分析】 作OH⊥CD 于H ，连结OC ，如图，根据垂径定理由OH⊥CD 得到HC ＝HD ，再利用AP ＝2，BP ＝6可计算出半径OA ＝4，则OP ＝OA －AP ＝2，接着在Rt △OPH 中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH ＝12OP ＝1，然后在Rt △OHC 中利用勾股定理计算出CH ＝15，所以CD ＝2CH ＝215. 【自主解答】综合运用各种知识，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造出与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而沟通解题思路，是一种思维创造．12．(2018·山西中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC ＝6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB 边上，则点B′与点B 之间的距离为( )A ．12B ．6C ．6 2D ．6 313．(2018·江苏苏州中考)如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E作EF∥CD(点F 位于点E 右侧)，且EF ＝2CD ，连结DF.若AB ＝8，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2类型九 转化法(2018·湖南郴州中考)如图，A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】 先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，再过A ，B 两点分别作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.根据S四边形AODB＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S梯形ABDC，得出S △AOB ＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式即可得出S △AOB . 【自主解答】常言道：“兵无常势，题无常形”，面对千变万化的中考新题型，当我们在思维受阻时，运用思维转化策略，换一个角度去思考问题，常常能打破僵局，解题中不断调整，不断转化，可以使我们少一些“山穷水复疑无路”的尴尬，多一些“柳暗花明又一村”的喜悦．14. (2018·湖北宜昌中考)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )A ．1B.12C.13D.14参考答案【专题类型突破】 类型一【例1】 ∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°， ∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°.∵对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点， ∴EO 是△DBC 的中位线，∴EO∥BC，∠1＝∠ACB＝40°.故选B. 变式训练 1．B 2.D 类型二【例2】 ①∵对称轴在y 轴右侧， ∴a，b 异号，∴ab＜0，故正确； ②∵对称轴x ＝－b2a ＝1，∴2a＋b ＝0，故正确； ③∵2a＋b ＝0，∴b＝－2a ， ∵当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0， ∴a－(－2a)＋c ＝3a ＋c ＜0，故错误； ④根据图示知，当m ＝1时，有最大值； 当m≠1时，有am 2＋bm ＋c≤a＋b ＋c ， 所以a ＋b≥m(am＋b)(m 为实数)．故正确． ⑤当－1＜x ＜3时，y 不只是大于0.故错误． 故选A. 变式训练 3．B 4.D 类型三【例3】 联立直线AB 及反比例函数表达式组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝k x，解得⎩⎨⎧x 1＝－－k ，y 1＝－k ，⎩⎨⎧x 2＝－k ，y 2＝－－k ，∴点B 的坐标为(－－k ，－k)，点A 的坐标为(－k ，－－k)． ∵BD∥x 轴，∴点D 的坐标为(0，－k)． 设直线AD 的表达式为y ＝mx ＋n.将A(－k ，－－k)，D(0，－k)代入y ＝mx ＋n ，⎩⎨⎧－km ＋n ＝－－k ，n ＝－k ，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝－k ， ∴直线AD 的表达式为y ＝－2x ＋－k. 联立直线AD 及反比例函数表达式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋－k ，y ＝kx， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－－k 2，y 3＝2－k ，⎩⎨⎧x 4＝－k ，y 4＝－－k ， ∴点C 的坐标为(－－k2，2－k)． ∴CBCA＝ [－－k －（－－k 2）]2＋（－k －2－k ）2[－k －（－－k 2）]2＋（－－k －2－k ）2＝13.故选A. 变式训练 5．C 6.A 类型四【例4】 当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)． 设直线PQ 的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将P(t ，0)，Q(9－2t ，6)代入y ＝kx ＋b ， ⎩⎪⎨⎪⎧kt ＋b ＝0，（9－2t ）k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23－t ，b ＝2t t －3， ∴直线PQ 的表达式为y ＝23－t x ＋2tt －3.∵x＝3时，y ＝2，∴直线PQ 始终经过(3，2)．故选B. 变式训练 7．D 类型五【例5】 解不等式2x ＋1≥－3得x≥－2. ∵x<1，∴不等式组的解集为－2≤x<1. 将其正确表示在数轴上为选项D.故选D. 变式训练 8．B 类型六【例6】 如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M 的运动轨迹是图中的弧线，观察图象可知点B ，M 间的距离大于等于2－2小于等于1，故选C.变式训练 9．C 类型七【例7】 S 1＝(AB －a)·a＋(CD －b)(AD －a)＝(AB －a)·a＋(AB －b)(AD －a)， S 2＝AB(AD －a)＋(a －b)(AB －a)，∴S 2－S 1＝AB(AD －a)＋(a －b)(AB －a)－(AB －a)·a－(AB －b)(AD －a)＝(AD －a)(AB －AB ＋b)＋(AB －a)(a －b －a)＝b·AD－ab －b·AB＋ab ＝b(AD －AB)＝2b.故选B. 变式训练 10．C 11.C 类型八【例8】 如图，作OH⊥CD 于H ，连结OC.∵OH⊥CD，∴HC＝HD. ∵AP＝2，BP ＝6，∴AB＝8， ∴OA＝4，∴OP＝OA －AP ＝2. 在Rt△OPH 中，∵∠OPH＝30°， ∴∠POH＝60°，∴OH＝12OP ＝1.在Rt △OHC 中，∵OC＝4，OH ＝1， ∴CH＝OC 2－OH 2＝15， ∴CD＝2CH ＝215.故选C. 变式训练 12．D 13.B类型九【例9】 ∵A，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x ＝2时，y ＝2，即A(2，2)， 当x ＝4时，y ＝1，即B(4，1)．如图，过A ，B 两点分别作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，则S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.∵S 四边形AODB＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S 梯形ABDC ， ∴S△AOB ＝S 梯形ABDC .∵S 梯形ABDC ＝12(BD ＋AC)·CD＝12(1＋2)×2＝3，∴S △AOB ＝3.故选B. 变式训练 14．B专题二 填空题的解题策略与应试技巧类型一 直接推演法(2018·湖北黄石中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，CA ＝8，CB ＝6，则△ABC 内切圆的周长为________．【分析】先利用勾股定理计算出AB 的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC 的内切圆的半径，然后利用圆的周长公式求解． 【自主解答】直接推演法是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发，利用定义、定理、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，它是解填空题的最基本、最常用的方法．1．(2018·浙江舟山中考)小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”小红赢的概率是____，据此判断该游戏__________(填“公平”或“不公平”)．2．(2016·浙江衢州中考)如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在函数y ＝kx(x ＞0)的图象上，点C ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，当k 的值改变时，正方形ABCD 的大小也随之改变． (1)当k ＝2时，正方形A′B′C′D′的边长等于____．(2)当变化的正方形ABCD 与(1)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k 的取值范围是______________．类型二 特殊元素法(2018·江苏连云港中考改编)已知A(－4，y 1)，B(－1，y 2)是反比例函数y ＝kx (k ＜0)图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为________．【分析】可用特殊值法，根据反比例函数的表达式可以求出y 1与y 2的大小，从而可以解答本题． 【自主解答】当填空题的结论唯一或题目条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊方案、特殊模型等)进行处理，从而得到探求的结论，这样可大大地简化推理、论证的过程．3．(2018·广西玉林中考)已知ab ＝a ＋b ＋1，则(a －1)(b －1)＝______．4．(2018·陕西中考)若一个反比例函数的图象经过点A(m ，m)和B(2m ，－1)，则这个反比例函数的表达式为_______． 类型三 数形结合法(2018·山东枣庄中考)如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是________．【分析】根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，而从C 向A 运动时，BP 先变小后变大，从而可求出BC 与AC 的长度． 【自主解答】“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数学中大量数的问题后面都隐藏着图形的信息，图形的特征也体现许多数量关系．我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观地揭示出来，以达到“形帮数”的目的；同时我们又要运用数的规律和数值的计算来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的．对于含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简化问题，得出准确的结果．类型四等价转化法(2018·吉林长春中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1，则A′C的长为________．【分析】解方程x2＋mx＝0得A(－m，0)，再利用对称的性质得到点A的坐标为(－1，0)，所以抛物线表达式为y＝x2＋x，再计算自变量为1的函数值得到A′(1，2)，接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．【自主解答】5．(2018·天津中考) 如图，在边长为4的等边△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，EF⊥AC 于点F ，G 为EF 的中点，连结DG ，则DG 的长为___________．参考答案类型一【例1】 ∵∠C＝90°，CA ＝8，CB ＝6， ∴AB＝62＋82＝10， ∴△ABC 的内切圆的半径＝6＋8－102＝2， ∴△ABC 内切圆的周长＝2×π×2＝4π. 故答案为4π. 变式训练1.14 不公平2.(1) 2 (2)29<k<18 类型二【例2】 不妨取k ＝－4 ，则反比例函数为y ＝－4x，∴当x ＝－4时，y 1＝1；当x ＝－1时，y 2＝4， ∴y 1＜y 2.故答案为y 1＜y 2. 变式训练 3．2 4.y ＝4x类型三【例3】 根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大， 由图象可知点P 从B 向C 运动时，BP 的最大值为5，即BC ＝5. 由于M 是曲线部分的最低点， ∴此时BP 最小，即BP⊥AC，BP ＝4， ∴由勾股定理可知PC ＝3.由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PA＝3，∴AC＝6，∴S △ABC ＝12×4×6＝12.故答案为12.类型四【例4】 当y ＝0时，x 2＋mx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－m ，则A(－m ，0)． ∵点A 关于点B 的对称点为A′，点A′的横坐标为1， ∴点A 的坐标为(－1，0)， ∴抛物线表达式为y ＝x 2＋x.当x ＝1时，y ＝x 2＋x ＝2，则A′(1，2)， 当y ＝2时，x 2＋x ＝2，解得x 1＝－2，x 2＝1，则C(－2，2)， ∴A′C 的长为1－(－2)＝3.故答案为3. 变式训练 5.192专题二 填空题的解题策略与应试技巧类型一 直接推演法(2018·湖北黄石中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，CA ＝8，CB ＝6，则△ABC 内切圆的周长为________．【分析】先利用勾股定理计算出AB 的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC 的内切圆的半径，然后利用圆的周长公式求解． 【自主解答】直接推演法是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发，利用定义、定理、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，它是解填空题的最基本、最常用的方法．1．(2018·浙江舟山中考)小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”小红赢的概率是____，据此判断该游戏__________(填“公平”或“不公平”)．2．(2016·浙江衢州中考)如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在函数y ＝kx(x ＞0)的图象上，点C ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，当k 的值改变时，正方形ABCD 的大小也随之改变． (1)当k ＝2时，正方形A′B′C′D′的边长等于____．(2)当变化的正方形ABCD 与(1)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k 的取值范围是______________．类型二 特殊元素法。
浙江省2019届中考数学复习题方法技巧专题训练(10套,Word版,含答案)
方法技巧专题(一) 数形结合思想训练【方法解读】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方案(以形助数)，或利用数量关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
1.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.演绎B.数形结合C.抽象D.公理化2.若实数a,b,c在数轴上对应的点如图F1-1,则下列式子正确的是()图F1-1A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<-cD.-a-c>-b-c3.[2017·怀化] 一次函数y=-2x+m的图象经过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于点A,B,则△AOB的面积是()A.B.C.4D.84.[2018·仙桃] 甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1-2所示.下列说法:①乙车的速度是120 km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的有()图F1-2A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.[2018·白银] 如图F1-3是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x 轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,对于下列说法:①ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④a+b≥m(am+b)(m为常数),⑤当-1<x<3时,y>0,其中正确的是()图F1-3A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.如图F1-4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:.图F1-48.[2018·白银] 如图F1-5,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P(n,-4),则关于x的不等式组的解集为.图F1-59.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F1-6.图F1-6由图易得:+++…+= .10.当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2-2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2-2x+3的值为.11.已知实数a,b满足a2+1=,b2+1=,则2018|a-b|= .12.已知函数y=使y=k成立的x的值恰好只有3个时,k的值为.13.(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图F1-7(2)观察图F1-8,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,并用含有n的代数式填空:图F1-81+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1= .14.[2018·北京] 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.参考答案1.B2.D3.B4.B[解析] 甲、乙两车最开始相距80 km,0到2 h是乙在追甲,并在2 h时追上,设乙的速度为x km/h,可得方程2x-2×80=80,解得x=120,故①正确;在2 h时甲、乙距离为0,在6 h时乙到达B地,此时甲、乙距离=(6-2)×(120-80)=160(km),故②正确;H点是乙在B地停留1 h后开始原路返回,6 h时甲、乙距离是160 km,1 h中只有甲在走,所以1 h后甲、乙距离80 km,所以点H的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回,直到在n h时与甲相遇,初始距离80 km,所以相遇时间=80÷(120+80)=0.4,所以n=7.4,故④错误.综上所述,①②③正确,④错误,正确的有3个,故选B.5.B[解析] 由二次函数的顶点式y=(x-h)2+1,可知当x=h时,y取得最小值1.(1)如图①,当x=3,y取得最小值时,解得h=5(h=1舍去);(2)如图②,当x=1,y取得最小值时,解得h=-1(h=3舍去).故选B.6.A[解析] ∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=1,即x=-=1,∴b=-2a>0,∴ab<0,2a+b=0,∴①②正确.∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,知抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c<0,∴③错误.当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点,也是二次函数的最大值.当x=m 时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,∴此时有a+b+c≥m(am+b)+c,即a+b≥m(am+b),∴④正确.∵抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,则抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,由图知,当2<x<3时,有一部分图象位于x轴下方,说明此时y<0,根据抛物线的对称性可知,当-1<x<0时,也有一部分图象位于x轴下方,说明此时y<0,∴⑤错误.故选A.7.(a-b)2=(a+b)2-4ab8.-2<x<2[解析] ∵y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-n-2=-4,解得n=2.∴P点坐标是(2,-4).观察图象知:2x+m<-x-2的解集为x<2.解不等式-x-2<0可得x>-2.∴不等式组的解集是-2<x<2.9.1-10.311.112.1或2[解析] 画出函数解析式的图象,要使y=k成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=k这条直线有3个交点.函数y=的图象如图.根据图象知道当y=1或2时,对应成立的x值恰好有3个,∴k=1或2.故答案为1或2. 13.解:(1)1+3+5+7=16=42.观察,发现规律,第一个图形:1+3=22,第二个图形:1+3+5=32,第三个图形:1+3+5+7=42,…,第(n-1)个图形:1+3+5+…+(2n-1)=n2.故答案为:42n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第(n+1)行,(n+2)行到(2n+1)行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=[1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1)+[(2n-1)+…+5+3+1]=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.故答案为:2n+12n2+2n+1.14.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.②若a<0,如图,易知抛物线与y轴交于点(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图:综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.方法技巧专题(二) 分类讨论思想训练【方法解读】当数学问题中的某一条件模糊而不确定时,需要对这一条件进行分类讨论,然后逐一解决.常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等.1.点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,点C不与A,B重合,则∠ACB的度数为 ()A.50°B.80°或50°C.130°D.50°或130°2.[2018·山西权威预测] 已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程则此等腰三角形的周长为()A.5B.4C.3D.5或43.[2018·枣庄] 如图F2-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连结PA,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P 有()图F2-1A.2个B.3个C.4个D.5个4.[2018·鄂州] 如图F2-2,已知矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,动点P在边BC上从点B向点C运动,速度为1 cm/s,同时动点Q从点C出发,沿折线C→D→A运动,速度为2 cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.设点P运动时间为t(s),△BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与时间t(s)的函数关系的图象大致是()图F2-2图F2-35.[2018·聊城] 如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是.6.[2018·安徽] 矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.7.如图F2-4,已知点A(1,2)是反比例函数y=图象上的一点,连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点,若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是.图F2-48.[2017·齐齐哈尔] 如图F2-5,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.图F2-59.[2017·义乌] 如图F2-6,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有3个,则x的值是.1.D2.A[解析] 解方程组得当2作为腰长时,等腰三角形的周长为5;当1作为腰长时,因为1+1=2,不满足三角形的三边关系.故等腰三角形的周长为5.3.B[解析] 如下图,设每个小矩形的长与宽分别为x,y,则有2x=x+2y,从而x=2y.因为线段AB是长与宽为2∶1的矩形对角线,所以根据网格作垂线可知,过点B与AB垂直且相等的线段有BP1和BP2,过点A与AB垂直且相等的线段有AP3,且P1,P2,P3都在顶点上,因此满足题意的点P共有3个.故选B.4.A[解析] 由题意可知,0≤t≤4,当0≤t<2时,如下图,S=BP·CQ=t·2t=t2;当t=2时,如下图,点Q与点D重合,则BP=2,CQ=4,故S=BP·CQ=×2×4=4;当2<t≤6时,如下图,点Q在AD上运动,S=BP·CD=t·4=2t.故选A.5.180°或360°或540°[解析] 如图,一个正方形被截掉一个角后,可能得到如下的多边形:∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.6.3或[解析] 由题意知,点P在线段BD上.(1)如图,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=DC=3.(2)如图,若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD==10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴==,∴PE=CD=.综上所述,PE的长为3或.7.(-5,0)或(-3,0)或(3,0)或(5,0)8.10或4或2[解析] 在△ABC中,∵AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=BC=×12=6,∴AD==8.∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:(1)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=4.(3)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=2.综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.9.x=0或x=4-4或4<x<4[解析] 根据OM=x,ON=x+4,可知MN=4.作MN的垂直平分线,该线与射线OB始终有一个公共点,分别以点M,N为圆心,4为半径画圆,观察两圆与射线OB 的交点情况:(1)当☉N与射线OB没有公共点,☉M与射线OB有两个公共点时,满足题意,如图①,此时4<x<4.(2)当☉N与射线OB相切,只有一个公共点时,☉M与射线OB也只有一个公共点时,也满足题意,如图②,此时x=4-4;(3)当☉N与射线OB有两个公共点时,此时☉M与射线OB只有一个公共点,因此当☉N与射线OB有两个公共点时,必须出现不能与点M,N构成三角形的一个点,也能满足题意,如图③,此时x=0.方法技巧专题(三) 整体思想训练【方法解读】整体思想是研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.1.[2018·乐山] 已知实数a,b满足a+b=2,ab=,则a-b=()A.1B.-C.±1D.±2.[2018·泸州] 如图F3-1,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为()图F3-1A.20B.16C.12D.83.[2018·济宁] 如图F3-2,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是()图F3-2A.50°B.55°C.60°D.65°4.[2018·襄阳] 如图F3-3,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3 cm,△ABD的周长为13 cm,则△ABC的周长为()图F3-3A.16 cmB.19 cmC.22 cmD.25 cm5.[2018·岳阳] 已知a2+2a=1,则3(a2+2a)+2的值为.6.[2018·扬州] 若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为.7.[2018·成都] x+y=0.2,x+3y=1,则代数式x2+4xy+4y2的值为.8.[2018·江西] 一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则-4x1+2x1x2的值为.9.[2018·黄冈] 若a-=,则a2+的值为.10.计算(1----)(++++)-(1-----)(+++)的结果是.11.先化简,再求值:(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m),其中m是方程x2+x-2=0的根.12.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求下列各式的值:(1)a2+b2和ab;(2)a4+b4;(3)+.参考答案1.C[解析] ∵a+b=2,∴(a+b)2=4,即a2+2ab+b2=4,又∵ab=,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4×=1,∴a-b=±1.故选C.注:此题把“a+b”,“ab”分别当作整体.2.B[解析] 因为▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,所以O为AC的中点.又因为E是AB的中点,所以AE=AB,EO是△ABC的中位线,所以EO=BC.因为AE+EO=4,所以AB+BC=2(AE+EO)=8.在▱ABCD中,AD=BC,AB=CD,所以周长为2(AB+BC)=2×8=16.故选B.注:此题把“AB+BC”当作整体.3.C[解析] 根据五边形的内角和等于540°,由∠A+∠B+∠E=300°,可求∠BCD+∠CDE的度数,再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和,进一步求得∠P的度数.∵五边形的内角和等于540°,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°.∵∠BCD,∠CDE的平分线在五边形内相交于点P,∴∠PDC+∠PCD=(∠BCD+∠CDE)=120°,∴∠P=180°-120°=60°.故选C.注:此题把“∠BCD+∠CDE”当作整体.4.B[解析] 由尺规作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,∴AD=CD,AC=2AE=6(cm),∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13 cm,∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19(cm).故选B.注:此题把“AB+BC”当作整体.5.5[解析] ∵a2+2a=1,∴3(a2+2a)+2=3+2=5.注:此题把“a2+2a”当作整体.6.2018[解析] 由题意可知:2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1,∴原式=3(2m2-3m)+2015=2018,故答案为2018.注:此题把“2m2-3m”当作整体.7.0.36[解析] ∵x+y=0.2①,x+3y=1②,①+②,得2x+4y=1.2,∴x+2y=0.6,∴x2+4xy+4y2=(x+2y)2=0.36.注:此题把“x+y”“x+3y”“x+2y”分别当作整体.8.2[解析] ∵x2-4x+2=0的两根为x1,x2,∴x1x2=2,-4x1+2=0,即-4x1=-2,∴-4x1+2x1x2=-2+2×2=2.9.8[解析] ∵a-=,∴原式=a2+-2·a·+2·a·=(a-)2+2=()2+2=8.注:此题把“a-”当作整体.10.[解析] 设+++=a,则原式=(1-a)·(a+)-(1-a-)=+a-a2-a+a2=.注:此题中的整体是“+++”.11.解:原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3÷(-8m)=4m2-1-m2+2m-1-m2=2m2+2m-2=2(m2+m-1).∵m是方程x2+x-2=0的根,∴m2+m-2=0,∴m2+m=2,∴原式=2×(2-1)=2.注:此题把“m2+m”当作整体.12.解:(1)依题意得a2+2ab+b2=7①,a2-2ab+b2=3②.①+②,得2(a2+b2)=10,即a2+b2=5.①-②,得4ab=4,即ab=1.(2)a4+b4=(a2+b2)2-2(ab)2=52-2×12=25-2=23.(3)原式=+===.注:此题把“ab”“a2+b2”分别当作整体.方法技巧专题(四) 构造法训练【方法解读】构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:(1)构造方程;(2)构造函数;(3)构造图形.1.[2018·自贡] 如图F4-1,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连结OB,OC,则边BC 的长为()图F4-1A.RB.RC.RD.R2.[2018·遵义] 如图F4-2,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数的解析式为()图F4-2A.y=-B.y=-C.y=-D.y=3.设关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根分别为α,β,且α<β,则α,β满足()A.1<α<β<2B.1<α<2<βC.α<1<β<2D.α<1且β>24.如图F4-3,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于.图F4-35.[2018·扬州] 如图F4-4,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB= .图F4-46.[2018·滨州] 若关于x,y的二元一次方程组的解是则关于a,b的二元一次方程组的解是.7.[2018·扬州] 问题呈现如图F4-5①,在边长为1的正方形网格中,连结格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan ∠CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连结DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.问题解决(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为;(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值.思维拓展(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到点N,使BN=2BC,连结AN交CM 的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.图F4-5参考答案1.D[解析] 如图,延长CO交☉O于点D,连结BD,∵∠A=60°,∴∠D=∠A=60°.∵CD是☉O的直径,∴∠CBD=90°.在Rt△BCD中,sin D===sin 60°=,∴BC=R.故选D.注:此题构造了直角三角形.2.C[解析] 如图,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N.由三垂直模型,易得△BNO∽△OMA,相似比等于,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,所以=tan 30°=,所以=.因为点A在双曲线y=上,所以S△OMA=3,所以S△BNO=1,所以k=-2.即经过点B的反比例函数的解析式为y=-.故选C.注:此题构造了相似三角形.3.D[解析] 一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根实质上是抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=m两个交点的横坐标.如图,显然α<1且β>2.故选D.注:此题构造了二次函数.4.15[解析] 分别将线段AB,CD,EF向两端延长,延长线构成一个等边三角形,边长为8,则EF=2,AF=4,故所求周长=1+3+3+2+2+4=15.注:此题构造了等边三角形.5.2[解析] 如图,在优弧AB上取一点D,连结AD,BD,OA,OB,∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=2.故答案为2.注:此题构造了直角三角形.6.[解析] 根据题意,对比两个方程组得出方程组所以注:此题构造了一个二元一次方程组.7.[解析] (1)根据方法归纳,运用勾股定理分别求出MN和DM的值,即可求出tan∠CPN的值;(2)仿(1)的思路作图,即可求解;(3)利用网格,构造等腰直角三角形解决问题即可.解:(1)由勾股定理得:DM=2,MN=,DN=.∵(2)2+()2=()2,∴DM2+MN2=DN2,∴△DMN是直角三角形.∵MN∥EC,∴∠CPN=∠DNM.∵tan∠DNM===2,∴tan∠CPN=2.(2)如图,取格点D,连结CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM.易得△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=cos 45°=.(3)构造如图网格,取格点Q,连结AQ,QN.易得PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ.∵AQ=QN,∠AQN=90°,∴∠ANQ=∠QAN=45°,∴∠CPN=45°.方法技巧专题(五) 转化思想训练【方法解读】转化思想是解决数学问题的根本思想,解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:未知向已知转化,数与形的相互转化,多元向一元转化,高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化,生活问题向数学问题转化等等.1.[2018·铜仁] 计算+++++…+的值为()A.B.C.D.2.[2018·嘉兴] 欧几里得的《原本》记载形如x2+ax=b2的方程的图解法:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=,则该方程的一个正根是()图F5-1A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长3.[2018·东营] 如图F5-2,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()图F5-2A.3B.3C.D.34.[2018·白银] 如图F5-3是一个运算程序的示意图,若开始输入的x的值为625,则第2018次输出的结果为.5.[2018·广东] 如图F5-4,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连结BD,则阴影部分的面积为.(结果保留π)图F5-46.[2018·淄博] 如图F5-5,P为等边三角形ABC内的一点,且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为.图F5-57.如图F5-6①,点O是正方形ABCD两条对角线的交点.分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连结AG,DE.(1)求证:DE⊥AG.(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE'F'G',如图②.①在旋转过程中,当∠OAG'是直角时,求α的度数;②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF'长的最大值和此时α的度数,直接写出结果,不必说明理由.图F5-61.B[解析] ∵==1-,==-,==-,==-,==-,…,==-,∴+++++…+=1-+-+-+-+-+…+-=1-=.故选B.2.B[解析] 利用配方法解方程x2+ax=b2,得到x+2=b2+,解得x=-或x=--(舍去).根据勾股定理得AB=,由题意知BD=.根据图形知道AD=AB-BD,即AD的长是方程的一个正根.故选B.3.C[解析] 将圆柱沿AB侧面展开,得到矩形,如图,则有AB=3,BC=.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===.故选C.4.1[解析] 当x=625时,代入x得x=×625=125,输出125;当x=125时,代入x得x=×125=25,输出25;当x=25时,代入x得x=×25=5,输出5;当x=5时,代入x得x=×5=1,输出1;当x=1时,代入x+4得x+4=5,输出5;当x=5时,代入x得x=×5=1,输出1;…观察发现从第4次以后奇数次就输出5,偶数次就输出1.因此,第2018次输出的应是1.5.π[解析] 连结OE,易证四边形ABEO为正方形,则扇形OED的圆心角为90°,半径为2,因此可求扇形OED的面积,阴影面积看成正方形ABEO的面积+扇形OED的面积-△ABD的面积,正方形ABEO、扇形OED和△ABD的面积均可求,即可求得阴影部分的面积.6.9+[解析] 如图,将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC,连结PH,作AI⊥CH交CH的延长线于点I,易知△APH为等边三角形,HA=HP=PA=3,HC=PB=4.PC=5,∴PC2=PH2+CH2,∴∠PHC=90°,∴∠AHI=30°,∴AI=,HI=,∴CI=+4,∴AC2=2++42=25+12,∴S△ABC=AC2=(25+12)=9+.7.解:(1)证明:如图,延长ED交AG于点H.∵点O为正方形ABCD对角线的交点,∴OA=OD,∠AOG=∠DOE=90°.∵四边形OEFG为正方形,∴OG=OE,∴△AOG≌△DOE,∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°.∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中,∠OAG'成为直角有以下两种情况:(i)α由0°增大到90°的过程中,当∠OAG'为直角时,∵OA=OD=OG=OG',∴在Rt△OAG'中,sin∠AG'O==,∴∠AG'O=30°.∵OA⊥OD,OA⊥AG',∴OD∥AG'.∴∠DOG'=∠AG'O=30°,即α=30°.(ii)α由90°增大到180°的过程中,当∠OAG'为直角时,同理可求得∠BOG'=30°,所以α=180°-30°=150°.综上,当∠OAG'为直角时,α=30°或150°.②AF'长的最大值是2+,此时α=315°.理由:当AF'的长最大时,点F'在直线AC上,如图所示.∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=,AO=OD=.∴OE'=E'F'=2OD=.∴OF'==2.∴AF'=AO+OF'=+2.∵∠DOG'=45°,∴旋转角α=360°-45°=315°.方法技巧专题(六) 中点联想训练【方法解读】1.与中点有关的定理:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)等腰三角形“三线合一”的性质.(3)三角形的中位线定理.(4)垂径定理及其推论.2.与中点有关的辅助线:(1)构造三角形的中位线,如连结三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等等.(2)延长角平分线的垂线,构造等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一”.(3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.1.[2018·南充] 如图F6-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则EF的长度为()图F6-1A.B.1 C.D.2.[2017·株洲] 如图F6-2,点E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点,则下列关于四边形EFGH的说法正确的是()图F6-2A.一定不是平行四边形B.一定不会是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它为矩形3.[2018·荆门] 如图F6-3,等腰直角三角形ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为()图F6-3A.πB.πC.1D.24.如图F6-4,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()图F6-4A.2.5B.C.D.25.[2018·眉山] 如图F6-5,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连结EF,BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正确的结论有()图F6-5A.1个B.2个C.3个D.4个6.[2018·苏州] 如图F6-6,在△ABC中,延长BC至点D,使得CD=BC.过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧),且EF=2CD.连结DF,若AB=8,则DF的长为.图F6-67.[2018·天津] 如图F6-7,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF ⊥AC于点F,G为EF的中点,连结DG,则DG的长为.图F6-78.[2018·哈尔滨] 如图F6-8,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,连结EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC的长为.图F6-89.[2018·德阳] 如图F6-9,点D为△ABC的AB边上的中点,点E为AD的中点,△ADC为正三角形,给出下列结论,①CB=2CE,②tan B=,③∠ECD=∠DCB,④若AC=2,点P是AB上一动点,点P到AC,BC边的距离分别为d1,d2,则+的最小值是3.其中正确的结论是(填写正确结论的序号).图F6-910.[2017·徐州] 如图F6-10,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连结DO并延长,交AB的延长线于点E.连结BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°,则当∠BOD= °时,四边形BECD是矩形.图F6-1011.[2017·成都] 如图F6-11,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连结DE交线段OA于点F.(1)求证:DH是☉O的切线;(2)若A为EH的中点,求的值;(3)若EA=EF=1,求☉O的半径.图F6-1112.[2018·淄博] (1)操作发现:如图F6-12①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连结GM,GN,小明发现:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是.(2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由.(3)深入探究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.图F6-12参考答案1.B[解析] 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴AB=4,CD=AB,∴CD=×4=2.∵E,F分别为AC,AD的中点,∴EF=CD=×2=1.故选B.2.C3.C[解析] 如图,连结OM,CM,OC.∵OQ⊥OP,且M是PQ的中点,∴OM=PQ.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM=PQ,∴OM=CM,∴△OCM是等腰三角形,∴M在OC的垂直平分线上.∵当点P在A点时,点M为AC的中点,当点P在C点时,点M为BC的中点,∴点M所经过的路线长为AB=1.故选C.4.B5.D[解析] 如图①,连结AF并延长与BC的延长线相交于点M,易证△ADF≌△MCF,∴AF=MF,AD=MC.又∵AD=BC,DC=AB=2AD,∴AB=BM,∴∠ABC=2∠ABF,故①正确.如图②,延长EF,BC相交于点G.易得△DEF≌△CGF,∴FE=FG.∵BE⊥AD,AD∥BC,∴∠EBG=90°.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得EF=BF,故②正确.如图②,由于BF是△BEG的中线,∴S△BEG=2S△BEF,而S△BEG=S四边形DEBC,∴S四边形DEBC=2S△EFB,故③正确.如图②,设∠DEF=x,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠G=x,又∵FG=FB,∴∠G=∠FBG=x,∴∠EFB=2x.∵CD=2AD,F为CD的中点,BC=AD,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF=x,∴∠CFE=∠CFB+∠BFE=x+2x=3x=3∠DEF,故④正确.故选D.6.4[解析] 解此题时可取AB的中点,然后再利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质.取AB的中点M,连结ME,则ME∥BC,ME=BC.∵EF∥CD,∴M,E,F三点共线,∵EF=2CD,CD=BC,∴MF=BD,∴四边形MBDF是平行四边形,∴DF=BM=AB=×8=4.7.[解析] 如图,连结DE.∵D,E分别为AB,BC的中点,∴DE∥AC,DE=AC=2,EC=2.∵EF⊥AC,∴DE⊥EF,∴△DEG为直角三角形.在Rt△EFC中,EC=2,∠C=60°,∴EF=.∵G为EF的中点,∴EG=.在Rt△DEG中,DE=2,EG=,由勾股定理,得DG==.故答案为.8.4[解析] 如图,连结BE,由E,F分别为OA,OD的中点可知EF=AD,EF∥AD,易证△BEC 是等腰直角三角形,EM三线合一,可证得△EFN≌△MBN,可得到BN=FN=,tan∠NBM=,就能求出BM=2,所以BC=4.9.①③④[解析] 由题意得,AE=DE,AD=BD=CD.∵△ACD是正三角形,∴∠CDA=60°,CE⊥AD,∴∠B=∠DCB=30°.在Rt△BCE中,∠B=30°,∴CB=2CE,故①正确;∵∠B=30°,∴tan B=,故②错误;在正△ACD中,CE是△ACD的中线,∴∠ECD=∠ACD=30°,∴∠ECD=∠DCB,故③正确;如题图,PM=d1,PN=d2.在Rt△MPN中,+=MN2.∵∠ACB=∠CMP=∠CNP=90°,∴四边形MPNC为矩形,∴MN=CP.要使+最小,只需MN最小,即PC最小,当CP⊥AB时,即P与E重合时,+最小.在Rt△ACE中,∵AC=2,∠ACE=30°,∴CE=AC·cos30°=,则CE2=3,∴+的最小值为3,故④正确.故正确的有①③④.10.解:(1)证明:∵平行四边形ABCD,∴AE∥DC,∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO.∵点O是边BC的中点,∴BO=CO,∴△EBO≌△DCO(AAS),∴EO=DO,∴四边形BECD是平行四边形.(2)100°提示:若四边形BECD为矩形,则BC=DE,BD⊥AE,又AD=BC,∴AD=DE.∵∠A=50°,根据等腰三角形的性质,可知∠ADB=∠EDB=40°,∴∠BOD=180°-∠ADE=100°.11.解:(1)证明:连结OD,如图.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,∴DH是☉O的切线.(2)∵∠E=∠B,∠B=∠C,∴∠E=∠C,∴△EDC是等腰三角形.又∵DH⊥AC,点A是EH中点,∴设AE=x,则EC=4x,AC=3x.连结AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.又∵△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点, ∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,OD=AC=x,∴∠E=∠ODF.在△AEF和△ODF中,∴△AEF∽△ODF,∴=,∵==,∴=.(3)设☉O的半径为r,即OD=OB=r.∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF.又∵OD∥EC,∴∠FOD=∠EAF,∴∠FOD=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1.∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD=1+r,∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1.在△BFD与△EFA中,∴△BFD∽△EFA,∴=,∴=,解得r1=,r2=(舍去).∴☉O的半径为.12.[解析] (1)通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等;(2)连结BE,CD,可得△ACD≌△AEB,从而得DC⊥BE,DC=BE,利用中位线得GM∥CD且等于CD的一半,GN∥BE且等于BE的一半,从而得到MG和GN的关系;(3)连结BE,CD,仿照(2)依然可得相同的结论.解:(1)操作发现:线段GM与GN的数量关系为GM=GN;位置关系为GM⊥GN.(2)类比思考:上述结论仍然成立.理由如下:如图①,连结CD,BE相交于点O,BE交AC于点F.①∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=CD.同理可得NG∥BE,NG=BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵∠AEB+∠AFE=90°,∴∠OFC+∠ACD=90°,∴∠FOC=90°,易得∠MGN=90°,∴GM⊥GN.(3)深入探究:△GMN是等腰直角三角形.证明如下:如图②,连结BE,CD,CE与GM相交于点H.②∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=CD.同理NG∥BE,NG=BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵GM∥CD,∴∠MHC+∠HCD=180°,∴∠MHC+(45°+∠ACD)=180°,∴∠MHC+45°+∠AEB=180°,∴∠MHC+45°+(45°+∠CEB)=180°,∴∠MHC+∠CEB=90°,∴∠GNH+∠GHN=90°,∴∠NGM=90°,即GM⊥GN,∴△GNM是等腰直角三角形.方法技巧专题(七) 角平分线训练【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.(3)过角平分线上的点作边的垂线.1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是()图F7-1A.30°B.35°C.45°D.60°2.[2018·陕西] 如图F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC 的平分线交AD于点E,则AE的长为()图F7-2A.B.2C.D.33.[2018·达州] 如图F7-3,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为()。
2019届中考数学专题复习讲义方案设计题
2019 届中考数学专题复习讲义方案设计题方案设计型题是经过设置一个实质问题情形，给出若干信息，提出解决问题的要求，要修业生运用学过的技术和方法，进行设计和操作，追求适合的解决方案。
有时也给出几个不一样的解决方案 , 要求判断哪个方案较优。
它包含丈量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计。
（一）丈量方案设计题，一般限制条件、限制丈量工具，让同学们设计一个可行的方案，对某一物体的长度进行丈量并计算，要注意的是设计出来的方案要有可操作性。
（二）作图、拼图方案设计题，它挣脱了传统的简单作图，它把作图的技术考察放在一个实质生活的大背景下，考察学生的综合创新能力，它给同学们的创建性思想供给广阔的空间与平台。
此类题常以某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，经过某些协助线，将面积切割或切割后拼出切合某些条件的图形。
（三）经济类方案设计题，一般有许多种供选择的解决问题的方案，但在实行中要考虑到经济要素，此类问题近似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法许多。
方案设计题切近生活, 拥有较强的操作性和实践性，解决此类问题时要慎于思虑, 并能在实践中对所有可能的方案进行排列与剖析, 得出切合要求的一种或几种方案。
种类之一设计图形型问题图形设计问题往常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则），而后让你用直线、线段等把该图形切割成面积同样、形状同样的几部分或许切割成形状同样的图形。
解决这种问题的时候能够借助对称的性质、角度大小、面积公式等进行切割。
1.某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建筑一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD面积的一半，而且四边形花园的四个极点作为出人口，要求分别在ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案（ 1）：如图（ 1）所示，两个进出口 E、 F 已确立，请在图（ 1）上画出切合要求的四边形花园，并简要说明画法；方案（2）：如图（2）所示，一个进出口M已确立，请在图（2）上画出切合要求的梯形花园，并简要说明画法 .2. 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4 米的正方形ABCD，点 E、F 分别在边BC和 CD上，△ CFE、△ABE和四边形 AEFD均由单调资料制成，制成△ CFE、△ABE和四边形AEFD的三种资料的每平方米价钱挨次为30 元、 20 元、 10 元，若将此种地砖按图(2) 所示的形式铺设，且能使中间的暗影部分构成四边形EFGH．(1)判断图 (2) 中四边形 EFGH是何形状，并说明原因；(2)E 、 F 在什么地点时，定制这批地砖所需的资料花费最省？种类之二经济类方案设计题在平时生产和生活中时时刻刻都要用到决议，方案决议题已成为中考热门题型之一, 这些问题能够联合方程和不等式（组）来解决. 重点是要抓住题中问题的实质意义，将其转变为数学识题 .3．“ 5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B 两个蔬菜基地得悉四川C、 D 两个难民布置点分别急需蔬菜240 吨和 260 吨的信息后，决定调运蔬菜增援灾区．已知 A 蔬菜基地有蔬菜 200 吨， B 蔬菜基地有蔬菜 300 吨，现将这些蔬菜所有调往C、 D 两个难民布置点．从 A 地运往 C、D 两处的花费分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往 C、D 两处的花费分别为每吨15 元和 18 元．设从 B 地运往 C 处的蔬菜为 x 吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x 的值；（2）设 A、B 两个蔬菜基地的w 元，写出w与 x 之间的函数总运费为关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从 B 地到 C处的路况获得进一步改良，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞ 0），其余线路的运费不变，试议论总运费最小的调运方案．种类之三丈量方案问题《新课程标准》要求同学们学会运用数学知识解决平时生活和其余学科中的问题．问题正是这样的问题，在解决这样的问题时要注意方案的可行性.丈量方案4. 在一平直河岸l 同侧有A、B 两个乡村， A、B 到l的距离分别是3km和2km，AB=a km(a1) ．现计划在河岸l 上建一抽水站P，用输水管向两个乡村供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图 1 是方案一的表示图，设该方案中管道长度为d1，且d1PB BA(km)（此中BP l于点 P）；图2 是方案二的表示图，设该方案中管道长度为d2 ，且d2PA PB(km) （此中点A与点A对于l对称， A B 与l交于点P）．察看计算（1）在方案一中，d1km （用含 a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的协助线，请你按小宇同学的思路计算，d2km （用含a的式子表示）．探究概括（1）①当 a=4 时，比较大小：d1_______ d2（填“＞” 、“＝”或“＜” ）；②当 a=6 时，比较大小：d1_______ d2（填“＞”、“＝”或“＜” ）；（2）请你参照边方框中的方法指导，就 a（当a 1时）的所有取值状况进行剖析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一仍是方案二？参照答案1.【答案】解：方案（ 1）画法 1：（ 1）过 F 作 FH∥AD交 AD于点 H；（ 2）在 DC上任取一点 G连结 EF、 FG、 GH、HE，则四边形 EFGH就是所要画的四边形；画法 2：（ 1）过 F 作 FH∥ AB交 AD于点 H；（ 2）过 E 作 EG∥ AD交 DC于点 G连结 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFGH就是所要画的四边形画法 3：（ 1）在 AD上取一点 H，使 DH=CF；（2）在 CD上任取一点 G连结 EF、 FG、 GH、HE，则四边形 EFGH就是所要画的四边形方案（ 2）画法：（ 1）过 M 点作 MP ∥ AB 交 AD 于点 P ，（ 2）在 AB 上取一点 Q ，连结 PQ ，（ 3）过 M 作 MN ∥ PQ 交 DC 于点 N ，连结 QM 、 PN 、 MN 则四边形 QMNP 就是所要画的四边形（此题答案不独一，切合要求即可） 2. 【答案】解： (1) 四边形 EFGH 是正方形． 图 (2) 能够看作是由四块图(1) 所示地砖绕C 点按顺 ( 逆 ) 时针方向旋转90°后获得的 CE=CF =CG ．∴△ CEF 是等腰直角三角形 . 所以四边形 EFGH 是正方形 .(2) 设 CE=x, 则 － x, 每块地砖的花费为y, 那么, 故1111y=22×0.4 × - x) ×20+[0.16 - 2 x2x ×30+2- 2×0.4 ×(0.4 - x) ×10]2-0.2x+0.24) =10 ［ ］ (0 ＜ x ＜0.4) ．=10(x当 x=0.1 时,y 有最小值 , 即花费为最省 , 此时．答: 当CE=CF=0.1 米时 , 总花费最省 .3. 【分析】 依据题目中存在的等量关系， 简单填写出未知的量，而后成立w 与 x 之间的函数关系式 .【答案】解： (1) 填表依题意得： 20(240 x) 25( x 40) 15x 18(300 x) .解得：x200.(2) w 与 x 之间的函数关系为：w2x9200.240 x 0，x 40 0， x0，依题意得：300 x．≤ x≤ 2400 ，∴ 40在 w 2x 9200中，∵ 2>0，∴w随x的增大而增大，故当x＝40时，总运费最小，此时调运方案为以下表. (3)由题意知 w (2 m) x9200∴0< m<2 时，（ 2）中调运方案总运费最小；m=2 时，在 40≤x≤ 240 的前提下调运，方案的总运费不变；2< m<15 时，x＝ 240 总运费最小，其调运方案以下表4.【答案】察看计算（1） a+2；（ 2）a224．探究概括（1）①；②；（2）d12d 22 (a2) 2(a2 24) 24a20 ．①当 4a 20 0 ，即a5时， d12 d 220，d1d20．d1d2；②当 4a 20 0 ，即a 5 时，d12d 22， d1d20 ．d1d2 ；③当 4a 20 0 ，即 a2d20， d d0 ．d1 d2．5 时，d2211综上可知：当a 5时，选方案二；当a 5时，选方案一或方案二；当1 a 5 时，选方案一．。
2019年浙江省中考数学真题汇编专题04 图形的性质
，故本选项符合题意；
∴在 Rt△DCB 中，BD 故选：C．
，故本选项不符合题意；
【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
16．（2019•湖州）如图，已知正五边形 ABCDE 内接于⊙O，连结 BD，则∠ABD 的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．72°
【答案】解：∵五边形 ABCDE 为正五边形，
A．π
B． π
【答案】解：连接 OB，OC．
C．2π
D．2 π
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∵BC＝2 ， ∴OB＝OC＝2，
∴ 的长为
π，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基
∵y 中 y≠0，x≠0， 取 y 上任意一点为（x，y）， 则点（x，y）与 y＝2 对称点的纵坐标为 4 ； ∴③错误；
A（x1，y1），B（x2，y2）关于 y＝2 对称点为（x1，4﹣y1），B（x2，4﹣y2）在函数 y 上，
∴4﹣y1
，4﹣y2
，
∵x1＞x2＞0 或 0＞x1＞x2，
∴4﹣y1＜4﹣y2，
A．3.5cm
B．4cm
C．4.5cm
【答案】解：设 AB＝xcm，则 DE＝（6﹣x）cm，
D．5cm
根据题意，得 解得 x＝4．
π（6﹣x），
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是
解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
中考复习：方案设计问题的解题和训练
方案设计问题的解题与训练方案设计问题是近年中考中一个比较稳定的题型．这类题型的主要特点是：知识综合性强，思想方法灵活，密切联系生活，注重人文背景．通过解题既培养同学们信息提炼能力，知识应用能力，更重要的是锻炼同学们解决问题的能力，真正将书本知识回归生活，培养了同学们用数学的能力．下面就向同学们展播一下方案设计问题，请同学们欣赏！展播一：改善宜居环境，选方案绿化，美化特定区域 例1 在“五个重庆”建设中,为了提高市民的宜居环境,某区规划修建一个文化广场(平面图形如图１所示),其中四边形ABCD 是矩形,分别以AB 、BC 、CD 、DA 边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米,高矩形的边长AB=y 米,BC=x 米.(注:取π=3.14)(1)试用含x 的代数式表示；(2)现计划在矩形ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；①设该工程的总造价为W 元，求W 关于x 的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC 的长不超过AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能还完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．分析：解答时，要正确理解周长的意义，才能给出正确的表示；其次，就是将问题转化成不等式模型，一元二次方程的模型这是解题的一个核心环节．体现了数学中的不等式的思想，方程的思想和配方的思想．解：（１）广场的周长是四段弧组成，而这四段弧恰好是直径为ＡＢ的圆的周长和直径为ＢＣ的圆的周长，因为AB=y,BC=x ，所以πｘ+πｙ＝６２８.因为π＝３.１４，所以３.１４ｘ+３.１４ｙ＝６２８，所以ｘ+ｙ＝２００，所以ｙ＝２００－ｘ；（２）①矩形的面积为ｘｙ，圆ＡＢ的面积为π×2)2(y ，圆ＢＣ的面积为π×2)2(x ，所以W ＝４２８ｘｙ+４００×π×2)2(y+４００×π×2)2(x＝４２８ｘｙ+４００×π×2)2200(x -+４００×π×2)2(x ＝４２８ｘ×（２００－ｘ）+４００×３.１４×2)2200(x -+４００×３.１４×2)2(x ＝２００2x －４００００ｘ+１２５６００００； 即ｗ＝２００2x －４００００ｘ+１２５６００００；②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务，其理由如下：由①知 W=2002)100(-x+1.056×710＞710, 所以不能；③由题意得 x≤32y, 即x≤32(200-x)，解得：x≤80，所以0≤x≤80.又根据题意得： W=2002)100(-x+1.056×710=710+6.842×510，整理得2)100(-x=441，解之得121,7921==xx（舍去，请你写出理由），所以只能取x=79，则y=200-79=121，所以设计的方案是： AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆．展播二土特产走进农产品博览会，选方案节约运费例２我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会．现有A型、B型、C型三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满．根据下表信息，解答问题．（１）设A型汽车安排ｘ辆，B 型汽车安排ｙ辆，求ｙ与ｘ之间的函数关系式．（２）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案．（３）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费．分析：看懂图表所展示的信息，从中综合处理所得到的信息，建立起正确的等式，或者是不等式组，是解题的关键所在，注意当问题用来揭示生活实际意义时，一定要保证生活意义的成立，在这里暗含的一个条件就是车辆数必须是整数．这里的两个重要等式是：Ａ型车辆数+Ｂ型车辆数+Ｃ型车辆数＝２１，Ａ型车辆载重量+Ｂ型车辆载重量+Ｃ型车辆载重量＝１２０.含的数学思想是方程的思想，不等式思想和函数的思想，特别是利用一次函数的性质确定最值，是方案设计问题中经常用到的知识点，一定要重视，并灵活运用．解：⑴因为A型汽车安排ｘ辆，一辆车装载苦荞茶２吨，青花椒２吨，所以ｘ辆车装苦荞茶２ｘ吨，青花椒２ｘ吨，B 型汽车安排ｙ辆，一辆车装载苦荞茶４吨，野生蘑菇２吨，所以ｙ辆车装载苦荞茶４ｙ吨，野生蘑菇２ｙ吨，Ｃ种车的数量为（２１－ｘ－ｙ），一辆车装载青花椒１吨，野生蘑菇６吨，所以（２１－ｘ－ｙ）辆车装载青花椒（２１－ｘ－ｙ）吨，野生蘑菇６（２１－ｘ－ｙ）吨，所以４ｘ+６ｙ+７（２１－ｘ－ｙ）＝１２０.整理得：ｙ＝－３ｘ+２７；（２）根据题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥≥42144yxyx，得⎪⎩⎪⎨⎧≥+---≥+-≥4)273(2142734xxxx，解得： ５≤ｘ≤327 ． 因为ｘ为正整数，所以ｘ＝５或ｘ＝６或ｘ＝７，故车辆安排有三种方案，即：方案一:Ａ型车５辆，Ｂ型车１２辆，Ｃ型车４辆；方案二:Ａ型车６辆，Ｂ型车９辆，Ｃ型车６辆；方案三:Ａ型车７辆，Ｂ型车６辆，Ｃ型车８辆；（３）设总运费为Ｗ元，则Ｗ＝１５００ｘ+１８００（－３ｘ+２７）+２０００（２１－ ｘ+３ｘ－２７）＝１００ｘ+３６６００，因为ｋ＝１００大于０，所以Ｗ随ｘ的增大而增 大，所以当ｘ＝５时，Ｗ的值最小，且为Ｗ＝３７１００，所以第一种方案最节约运费． 答：为节约运费，应采用 ⑵中方案一，最少运费为37100元．展播三 战自然灾害，选方案使得调水量最小例３ 今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有A 、B 两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A 地到甲地50千米，到乙地30千米；从B 地到甲地60千米，到乙地45千米．⑴设从A 水库调往甲地的水量为x 万吨，完成下表⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨•千米）分析：要想确定出最小的方案，同学们就必须理清思路，确定好一次函数的解析式和不 等式，界定好ｘ的范围．解答时不妨采用如图４所示的图示揭示信息：解：⑴如图５所示：⑵设总调运量为ｙ万吨，则ｙ＝５０ｘ+３０（１４－ｘ）+６０（１５－ｘ）+４５（ｘ－１）＝５ｘ+１２７５.因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≥-≥014015010x x x x ，解得１≤ｘ≤１４，因为ｙ＝５ｘ+１２７５中ｋ＝５＞０，所以ｙ随ｘ的增大而增大，且ｘ是整数，所以当ｘ＝１时，ｙ取得最小值，且为ｙ＝５+１２７５＝１２８０，所以调水量最小的方案是：把Ａ水库的水调往调往甲地１万吨，调往乙地１３万吨，把Ｂ水库的水调往调往甲地１４万吨最节省．展播四 园艺造型，选方案使得成本最低例４ 某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A 种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B 种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．(l ）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；(2）若搭配一个A 种造型的成本是200元，搭配一个B 种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？分析：解答这类问题时，需要把握好三个要领：（１）建立一个等式：Ａ造型数+Ｂ造型数＝５０；（２）明确一个比例：１个Ａ＝８甲+４乙，一个Ｂ＝５甲+９乙，（３）建立两个不等式：Ａ造型数甲+Ｂ造型数甲≤总甲，Ａ造型数乙+Ｂ造型数乙≤总乙． 其次就是要自己理清花盆数一定是整数，这是一个隐含条件．这里要学会主动设元引入方程的思想，后与不等式思想联袂完成问题解答．解：⑴设搭建A 种园艺造型x 个，则搭建B 种园艺造型（50-x ）个.根据题意得：⎩⎨⎧≤-+≤-+295)50(94349)50(58x x x x ，解得：3１≤ｘ≤33，因为x 是整数，所以x=31，或x=32，或x=33，所以共有三种方案．分别是第一种方案：A 造型31个，B 造型19个；第二种方案：A 造型32个，B 造型18个；第三种方案：A 造型33个，B 造型17个；⑵第一种方案的造价为：31×200+19×360=130400（元），第二种方案的造价为：32×200+18×360=12880（元），第三种方案的造价为：33×200+17×360=12720（元），所以应该搭配A 种33个，B 种17个最省钱，成本：33×200+17×360=12720（元） 专题训练1潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A 、B 两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户 种植A 类蔬菜面积 （单位：亩） 种植B 类蔬菜面积 （单位：亩） 总收入 （单位：元）甲 3 1 12500乙 2 3 16500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．⑴ 求A 、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？⑵ 某种植户准备租20亩地用来种植A 、Ｂ两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案.2某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T 恤或一本影集作为纪念品．已知每件T 恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T 恤和5本影集． ⑴求每件T 恤和每本影集的价格分别为多少元？⑵有几种购买T 恤和影集的方案？3.某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？4.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？参考答案：1.解：(1)设A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元，y 元．由题意得：3125002316500x y x y +=⎧⎨+=⎩ ， 解得：30003500x y =⎧⎨=⎩， 答：A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．（2）设用来种植A 类蔬菜的面积a 亩，则用来种植B 类蔬菜的面积为(20-a ）亩． 由题意得：30003500(20)6300020a a a a+-≥⎧⎨-⎩＞ ，解得：10＜a ≤14.因为a 取整数为：11、12、13、14.所以租地方案为：2.（1）设T 恤和影集的价格分别为x 元和y 元．则⎩⎨⎧=+=-200529y x y x 解得⎩⎨⎧==2635y x 答：T 恤和影集的价格分别为35元和26元．（2）设购买T 恤t 件，则购买影集 (50-t ) 本，则()15305026351500≤-+≤t t ，解得92309200≤≤t ，因为t 为正整数，所以t = 23，24，25，即有三种方案．第一种方案：类别 种植面积 单位：（亩） A 11 12 13 14 B 9 8 7 6购T 恤23件，影集27本；第二种方案：购T 恤24件，影集26本；第三种方案：购T 恤25件，影集25本．3.解：（1）设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为（30-x ）个．由题意，得 ⎩⎨⎧≤-+≤-+16203060501900303080）（）（x x x x ，解这个不等式组，得18≤x ≤20． 由于x 只能取整数，∴x 的取值是18，19，20． 当x =18时，30-x =12；当x =19时，30-x =11；当x =20时，30-x =10． 故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．（2）方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）．故方案一费用最低，最低费用是22320元．4.解：（1）设平均每次下调的百分率x ，则 6000（1－x ）2=4860，解得：x 1=0.1 x 2=1.9（舍去）所以平均每次下调的百分率10%．（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元，方案②可优惠：100×80=8000元 所以方案①更优惠．。
2019届中考数学(通用版)复习专题学案：几何综合题
几何综合题【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.类型一以三角形为背景的综合题典例1(2019·江苏泰州)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,EF∥AC.(1)求证:BE=AF;(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积.【技法梳理】(1)由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC的角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论;(2)首先过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,易求得DG与DE的长,继而求得答案.【解析】(1)∵DE∥AB,EF∥AC,∴四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE.∴AF=DE.∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBE.∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.∴BE=AF.(2)过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠EBD=30°.∴DE=BE=2.∴四边形ADEF的面积为DE·DG=6.举一反三1. (2019·湖北武汉)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm 的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值;(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.(1)(2)(第1题)【小结】此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.类型二以四边形为背景的综合题典例2(2019·安徽)如图(1),正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于点N.(1)①∠MPN=;②求证:PM+PN=3a;(2)如图(2),点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;(3)如图(3),点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由.(1)(2)(3)【全解】(1)①∵四边形ABCDEF是正六边形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.∵PM∥AB,PN∥CD,∴∠BPM=60°,∠NPC=60°.∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°.故答案为60°.②如图(1),作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,(1)(2)如图(2),连接OE.(2)∵四边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC, ∴AM=BP=EN.又∠MAO=∠NOE=60°,OA=OE,在△ONE和△OMA中,∴△OMA≌△ONE(SAS).(3)如图(3),连接OE.(3)由(2)得,△OMA≌△ONE,∴∠MOA=∠EON.∵EF∥AO,AF∥OE,∴四边形AOEF是平行四边形.∴∠AFE=∠AOE=120°.∴∠MON=120°.∴∠GON=60°.∵∠GON=60°-∠EON,∠DON=60°-∠EON,∴∠GOE=∠DON.∵OD=OE,∠ODN=∠OEG,在△GOE和∠DON中,∴△GOE≌△NOD(ASA).又∠GON=60°,∴△ONG是等边三角形.∴ON=NG.∵OM=ON,∠MOG=60°,∴△MOG是等边三角形.∴MG=GO=MO.∴MO=ON=NG=MG.∴四边形MONG是菱形.【技法梳理】(1)①运用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解,②作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解;(2)连接OE,由△OMA≌△ONE证明;(3)连接OE,由△OMA≌△ONE,再证出△GOE≌△NOD,由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形.举一反三2. (2019·山东烟台)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图(1),当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由.(2)如图(2),当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)(3)如图(3),当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(4)如图(4),当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.(1)(2)(3)(4)(第2题)【小结】主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段.类型三以圆为背景的综合题典例3(2019·江苏苏州)如图,已知l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,☉O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD,AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若☉O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,☉O的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s),(1)如图,连接OA,AC,则∠OAC的度数为°;(2)如图,两个图形移动一段时间后,☉O到达☉O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).【全解】(1)∵l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,∴∠OAD=45°.∵AB=4cm,AD=4cm,∴CD=4cm,AD=4cm.∴∠DAC=60°.∴∠OAC的度数为∠OAD+∠DAC=105°.(2)如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设☉O1与l1的切点为点E, 连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1,在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4,∴tan∠C1A1D1=.∴∠C1A1D1=60°.∴OO1=3t=2+6.(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,如图,此时☉O移动到☉O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置,设☉O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2,∴O2F⊥l1,O2G⊥A2G2.由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°.∴∠O2A2F=60°.在Rt△A2O2F中,O2F=2,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时为位置二,第二次相切时为位置三, 由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,【提醒】本题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识,利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键.【技法梳理】(1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°,∠DAC=60°,进而得出答案;(2)首先得出,∠C1A1D1=60°,再利用A1E=AA1-OO1-2=t-2,求出t的值,进而得出OO1=3t得出答案即可;(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,分别求出即可.举一反三3. (2019·浙江宁波)木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:方案一:直接锯一个半径最大的圆;方案二:圆心O1,O2分别在CD,AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.(1)写出方案一中圆的半径.(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?(3)在方案四中,设CE=x(0<x<1),圆的半径为y.①求y关于x的函数表达式;②当x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大.方案一方案二方案三方案四方案备用图方案备用图(第3题)【小结】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容,题目虽看似新颖不易找到思路,但仔细观察每一小问都是常规的基础考点,所以总体来说是一道质量很高的题目,值得认真练习.类型一2. (2019·浙江嘉兴)如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB 上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论:①CE=CF;②线段EF的最小值为2;③当AD=2时,EF与半圆相切;④若点F恰好落在上,则AD=2;⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是16.其中正确结论的序号是.(第2题)类型二3. (2019·广东珠海)如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;.(第3题)4. (2019·浙江温州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标.(2)当点C在线段OB上时,求证:四边形ADEC为平行四边形.(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在一,四象限,在运动过程中▱PCOD的面积为S.①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.(第4题)类型三5. (2019·湖南怀化)如图,E是长方形ABCD的边AB上的点,EF⊥DE交BC于点F.(1)求证:△ADE∽△BEF;(2)设H是ED上一点,以EH为直径作☉O,DF与☉O相切于点G,若DH=OH=3,求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位,≈1.73,π≈3.14).(第5题)6. (2019·黑龙江大庆)如图(1),已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.(1)用x表示AD和CD;(2)用x表示S,并求S的最大值;(3)如图(2),当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E和点F分别是AB 和CD的中点,求☉O的半径R的值.(1)(2)(第6题)参考答案【真题精讲】(2)如图(1),过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,(第1题(1))∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.∴△ACQ∽△CMP.(3)如图(2),仍有PM⊥BC于点M,PQ的中点设为点D,再作PE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,(第1题(2))∵∠ACB=90°,∴DF为梯形PECQ的中位线.∵BC=8,过BC的中点R作直线平行于AC,∴RC=DF=4成立.∴D在过R的中位线上.∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上.2. (1)AE=DF,AE⊥DF.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF.∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.由于∠CDF+∠ADF=90°.∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF;(2)是.(3)成立.理由如下:由(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF,如图(1),延长FD交AE于点G,(第2题(1))则∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°.∴AE⊥DF;(4)如图(2):(第2题(2)) 由于点P在运动中保持∠APD=90°,∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,设AD的中点为O,连接OC交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△ODC中,OC===,∴CP=OC-OP=-1.3. (1)方案一中的最大半径为1.分析如下:因为长方形的长宽分别为3,2,那么直接取圆直径最大为2,则半径最大为1.(2)如图(1),方案二中连接O1,O2,过O1作O1E⊥AB于E,方案三中,过点O分别作AB,BF的垂线,交于M,N,此时M,N恰为☉O与AB,BF的切点.方案二方案三(第3题)方案二:设半径为r.在Rt△O1O2E中,∵O1O2=2r,O1E=BC=2,O2E=AB-AO1-CO2=3-2r,∴(2r)2=22+(3-2r)2,比较知,方案三半径较大.(3)①∵EC=x,∴新拼图形水平方向跨度为3-x,竖直方向跨度为2+x.类似题(1),所截出圆的直径最大为3-x或2+x较小的.∴方案四时可取的圆桌面积最大.【课后精练】1.①②③④解析:①∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠C.∴△ADE∽△ACD.故①结论正确.故③正确.④易证得△CDE∽△BAD,由②可知BC=16, 设BD=y,CE=x,整理,得y2-16y+64=64-10x,即(y-8)2=64-10x,∴0<y<8,0<x<6.4.故④正确.2.①③⑤解析:①连接CD,如图(1)所示.(第2题(1))∵点E与点D关于AC对称,∴CE=CD.∴∠E=∠CDE.∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°.∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.∴∠F=∠CDF.∴CD=CF.∴CE=CD=CF.∴结论“CE=CF”正确.②当CD⊥AB时,如图(2)所示.(第2题(2))∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=8,∠CBA=30°,∴∠CAB=60°,AC=4,BC=4.∵CD⊥AB,∠CBA=30°,根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:点D在线段AB上运动时,CD的最小值为2.∵CE=CD=CF,∴EF=2CD.∴线段EF的最小值为4.∴结论“线段EF的最小值为2”错误.③当AD=2时,连接OC,如图(3)所示.(第2题(3))∵OA=OC,∠CAB=60°,∴△OAC是等边三角形.∴CA=CO,∠ACO=60°.∵AO=4,AD=2,∴DO=2.∴AD=DO.∴∠ACD=∠OCD=30°.∵点E与点D关于AC对称,∴∠ECA=∠DCA.∴∠ECA=30°.∴∠ECO=90°.∴OC⊥EF.∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF,∴EF与半圆相切.∴结论“EF与半圆相切”正确.④当点F恰好落在上时,连接FB,AF,如图(4)所示.(第2题(4))∵点E与点D关于AC对称,∴ED⊥AC.∴∠AGD=90°.∴∠AGD=∠ACB.∴ED∥BC.∴△FHC∽△FDE.∴DB=4.∴AD=AB-DB=4.∴结论“AD=2”错误.⑤∵点D与点E关于AC对称,点D与点F关于BC对称,∴当点D从点A运动到点B时,点E的运动路径AM与AB关于AC对称,点F的运动路径NB与AB关于BC对称.∴EF扫过的图形就是图(5)中阴影部分.(第2题(5))∴EF扫过的面积为16.∴结论“EF扫过的面积为16”正确.3. (1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BF.∵AE=CF,∴四边形ACFE是平行四边形.∴EF∥AC.(2)连接BG,(第3题)∵EF∥AC,∴∠F=∠ACB=45°.∵∠GCF=90°,∴∠CGF=∠F=45°.∴CG=CF.∵AE=CF,∴AE=CG.在△BAE与△BCG中,∴△BAE≌△BCG(SAS).∴BE=BG.∵BE=EG,∴△BEG是等边三角形.∴∠BEF=60°.(3)∵△BAE≌△BCG,∴∠ABE=∠CBG.∵∠BAC=∠F=45°,∴△AHB∽△FGB.(2)如图(1),连接CD交OP于点G,(第4题(1))在▱PCOD中,CG=DG,OG=PG,∵AO=PO,∴AG=EG.∴四边形ADEC是平行四边形.(3)①(Ⅰ)当点C在BO上时,第一种情况:如图(2),当点M在CE边上时,(第4题(2))∵MF∥OC,∴△EMF∽△ECO.∴t=1.第二种情况:如图(3),当点N在DE边(第4题(3))∵NF∥PD,∴△EFN∽△EPD.(Ⅱ)当点C在BO的延长线上时,第一种情况:如图(4),当点M在DE边上时,(第4题(4))∵MF∥PD,∴EMF∽△EDP.第二种情况:如图(5),当点N在CE边上时,(第4题(5))∵NF∥OC,∴△EFN∽△EOC.5. (1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=90°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠AED=90°-∠BEF=∠EFB.∵∠A=∠B,∠AED=∠EFB,∴△ADE∽△BEF.(2)∵DF与☉O相切于点G, ∴OG⊥DG.∴∠DGO=90°.∵DH=OH=OG,∴∴图中阴影部分的面积约为6.2.6. (1)作AH⊥CD于点H,BG⊥CD于点G,如图(1),(第6题(1))则四边形AHGB为矩形,∴HG=AB=3x.∵四边形ABCD为等腰梯形,∴AD=BC,DH=CG.在Rt△ADH中,设DH=t,∵∠ADC=60°,∴∠DAH=30°.∴AD=2t,AH=t.∴BC=2t,CG=t.∵等腰梯形ABCD的周长为48,∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x.∴AD=2(8-x)=16-2x,CD=8-x+3x+8-x=16+x.(3)连接OA,OD,如图(2),(第6题(2))当x=2时,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高为(8-2)=6, 则AE=3,DF=9,∵点E和点F分别是AB和CD的中点,∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴.∴EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6.∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上.设OE=a,则OF=6-a.在Rt△AOE中,∵OE2+AE2=OA2,∴a2+32=R2.在Rt△ODF中,∵OF2+DF2=OD2,∴(6-a)2+92=R2.∴a2+32=(6-a)2+92,解得a=5.∴R2=(5)2+32=84.∴R=2.。
浙江省2019年中考数学总复习专题提升试题四 以函数为背景的综合运用
专题提升四 以函数为背景的综合运用热点解读函数的综合问题、一般都会用到待定系数法求函数的解析式、涉及比较大小、两个函数图象的交点等、有时会与几何问题结合、利用数形结合巧妙地将图形与数量关系结合起来、使数学问题更直观、更容易解决．该类问题是中考的热点．母题呈现2017·台州)如图、直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P (1、b )． (1)求b 、m 的值；(2)垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1、l 2分别交于点C 、D 、若线段CD 长为2、求a 的值．对点训练1．(2016·江阴模拟)如图、平面直角坐标系中、△ABC 的顶点坐标分别是A (－3、1)、B (－1、1)、C (－2、2)、当直线y ＝－12x ＋b 与△ABC 有公共点时、b 的取值范围是( )A ．－1≤b≤12B ．－1≤b≤1C ．－12≤b ≤1D ．－12≤b ≤12第1题图2．(2017·金华)在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋、AB ＋BC ＝10m 、拴住小狗的10m 长的绳子一端固定在B 点处、小狗在不能进入小屋内的条件下活动、其可以活动的区域面积为S (m 2)．(1)如图1、若BC ＝4m 、则S ＝____________________m 2；(2)如图2、现考虑在(1)中矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正△CDE 区域、使之变成落地为五边形ABCED 的小屋、其他条件不变、则在BC 的变化过程中、当S 取得最小值时、边BC 的长为____________________m.第2题图3．如图1、在平面直角坐标系中、点A 、C 分别在y 轴和x 轴上、AB ∥x 轴、sinC ＝45、点P 从O 点出发、沿边OA 、AB 、BC 匀速运动、点Q 从点C 出发、以1cm/s 的速度沿边 CO 匀速运动．点P 与点Q 同时出发、其中一点到达终点、另一点也随之停止运动．设点 P 运动的时间为t (s )、△CPQ 的面积为S (cm 2), 已知S 与t 之间的函数关系如图2中曲线段 OE 、线段 EF 与曲线段FG 给出．第3题图(1)点P 的运动速度为____________________cm/s, 点B 、C 的坐标分别为____________________、____________________；(2)求曲线FG 段的函数解析式；(3)当t 为何值时、△CPQ 的面积是四边形OABC 的面积的413？4．(2015·宜宾)如图、在平面直角坐标系中、四边形ABCD 是矩形、AD ∥x 轴、A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32、AB ＝1、AD ＝2.第4题图(1)直接写出B 、C 、D 三点的坐标；(2)将矩形ABCD 向右平移m 个单位、使点A 、C 恰好同时落在反比例函数y ＝kx (x>0)的图象上、得矩形A′B′C′D′.求矩形ABCD 的平移距离m 和反比例函数的解析式．5．如图、直线y ＝－43x ＋8与x 轴交于A 点、与y 轴交于B 点、动点P 从A 点出发、以每秒2个单位的速度沿AO 方向向点O 匀速运动、同时动点Q 从B 点出发、以每秒1个单位的速度沿BA 方向向点A 匀速运动、当一个点停止运动、另一个点也随之停止运动、连结PQ 、设运动时间为t (s )(0＜t ≤3)．(1)写出A 、B 两点的坐标；(2)设△AQP 的面积为S 、试求出S 与t 之间的函数关系式；并求出当t 为何值时、△AQP 的面积最大？(3)当t 为何值时、以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABO 相似、并直接写出此时点Q 的坐标．第5题图参考答案专题提升四 以函数为背景的综合运用【母题呈现】(1)∵点P (1、b )在直线l 1：y ＝2x ＋1上、∴b ＝2×1＋1＝3；∵点P (1、3)在直线l 2：y ＝mx ＋4上、∴3＝m ＋4、∴m ＝－1. (2)当x ＝a 时、y C ＝2a ＋1；当x ＝a 时、y D ＝4－a .∵CD ＝2、∴|2a ＋1－(4－a )|＝2、解得：a ＝13或a ＝53.∴a 的值为13或53.【对点训练】1.C 2.(1)88π (2)523．(1)2 (5、4) (8、0) (2)∵当0≤t ≤2时、S ＝t 2；当2≤t ≤4.5时、S ＝2t ；当4.5≤t ≤7时、S ＝－45t 2＋285t ；∴曲线FG 段的函数解析式为S ＝－45t 2＋285t .(3)t ＝4 或t ＝5.4．(1)∵四边形ABCD 是矩形、∴AB ＝CD ＝1、BC ＝AD ＝2、∵A ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32、AD ∥x 轴、∴B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，12、C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12、D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32. (2)∵将矩形ABCD 向右平移m 个单位、∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋m ，32、C ′⎝⎛⎭⎪⎫－1＋m ，12、∵点A ′、C ′在反比例函数y ＝k x (x >0)的图象上、∴32(－3＋m )＝12(－1＋m )、解得：m ＝4、∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32、∴k ＝32、∴矩形ABCD 的平移距离m ＝4、反比例函数的解析式为：y ＝32x.5．(1)A (6、0)、B (0、8)； (2)由勾股定理得、AB ＝10、∵点P 的速度是每秒2个单位、点Q 的速度是每秒1个单位、∴AP ＝2t 、AQ ＝AB －BQ ＝10－t 、∴点Q 到AP 的距离为AQ ·sin ∠OAB ＝(10－t )×810＝45(10－t )、∴△AQP 的面积S ＝12×2t ×45(10－t )＝－45(t 2－10t )＝－45(t －5)2＋20、∵－45＜0、0＜t ≤3、∴当t ＝3时、 S 最大＝－45(3－5)2＋20＝845；(3)若∠APQ ＝90°、则cos ∠OAB ＝AP AQ 、∴2t 10－t ＝610、得t ＝3013、若∠AQP ＝90°、则cos ∠OAB ＝AQ AP 、∴10－t 2t ＝610、解得t ＝5011、∵0＜t ≤3、∴t 的值为3013、此时、OP ＝6－2×3013＝1813、PQ ＝AP ·tan ∠OAB ＝(2×3013)×86＝8013、∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1813，8013.。
浙江省各市2019年中考数学分类解析 专题4：图形的变换
浙江11市2019年中考数学试题分类解析汇编专题4：图形的变换一、选择题1.（2019浙江湖州3分）下列四个水平放置的几何体中，三视图如图所示的是【】A．B．C．D．【答案】D。
【考点】由三视图判断几何体。
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于从主视图、左视图、俯视图可以看出这个几何体的正面、左面、底面是长方形，所以这个几何体是长方体。
故选D。
2. （2019浙江嘉兴、舟山4分）下列图案中，属于轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此，B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形。
故选A。
3. （2019浙江丽水、金华3分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A．①B．②C．③D．④【答案】B。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称。
故选B。
4. （2019浙江丽水、金华3分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是【】A．①B．②C．⑤D．⑥【答案】A。
【考点】生活中的轴对称现象。
【分析】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入①球洞。
故A。
5. （2019浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【】A．2010B．2019C．2014D．2016【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
浙江省2019年中考数学专题复习专题四 方案设计型问题训练(含答案)
专题四方案设计型问题类型一通过计算比较进行方案设计(2017·山东烟台中考)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【分析】(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；(2)根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【自主解答】1．(2018·四川绵阳中考)有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？类型二利用方程进行方案设计(2018·黑龙江齐齐哈尔中考)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有()A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】设安排女生x人，安排男生y人，由“累计56个小时的工作时间”列出方程求得正整数解．【自主解答】2．(2018·黑龙江龙东地区中考)为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1 200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有( )A．4种B．3种C．2种D．1种类型三利用不等式进行方案设计(2018·湖南娄底中考)“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．(1)请你为该景区设计购买A，B两种设备的方案；(2)已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【分析】(1)设购买A种设备x台，则购买B种设备(10－x)台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式，求出解集，再根据x为正整数求解即可；(2)分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【自主解答】此类题型利用方程、不等式的相关知识，建立相应的数学模型，找到方程(组)的解和不等式(组)的解集，确定未知数的具体数值．未知数有几个值，即有几种方案．有时结合函数应用，进行方案最优化设计．3．(2018·山东济宁中考)“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A15 9 57 000B10 16 68 000(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102 000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？类型四利用函数进行方案设计(2018·天津中考)某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)．(1)根据题意，填写下表：游泳次数10 15 20 (x)方式一的总费用(元) 150 175 _________ …________方式二的总费用(元) 90 135 _________ …________(2)(3)当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．【分析】(1)根据题意可以将表格中空缺的部分补充完整；(2)根据题意可以求得当费用为270元时，两种方式下的游泳次数；(3)根据题意可以计算出x在什么范围内，哪种付费更合算．【自主解答】函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，先确定函数表达式，再利用函数图象的性质获得解决问题的具体方法．解决此类问题的难点主要是正确确定函数表达式，关键还要熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的取值范围．4．(2017·天津中考)用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数)．(1)根据题意，填写下表：一次复印页数(页) 5 10 20 30 …甲复印店收费(元) 0.5 ________ 2 _______ …乙复印店收费(元) 0.6 ________ 2.4 _______ …(2)1212(3)当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．类型五有关图形的方案设计型问题在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．名称四等分圆的面积方案方案一方案二方案三选用的工具带刻度的三角板画出示意图简述设计方案作⊙O两条互相垂直的直径AB，CD，将⊙O 的面积分成相等的四份指出对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形【自主解答】图形方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，把对作图的技能的考查放在一个实际生活的大背景下，从而考查了学生的综合创新能力，给同学们的创造性思维提供了广阔的空间与平台．此类题常利用某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，利用图形的性质，或利用轴对称和中心对称等，拼出符合某些条件的图形．5．(2018·山东德州中考)再读教材：宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN＝2)第一步，在矩形纸片一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处；第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图4中就会出现黄金矩形．问题解决：(1)图3中AB＝(保留根号)；(2)如图3，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；(3)请写出图4中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．实际操作：(4)结合图4，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．参考答案类型一【例1】 (1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x ，根据题意得200×(1－x )2＝162， 解得x ＝0.1＝10%或x ＝1.9(舍去)．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%. (2)100×1011＝1 00011≈91(个)，在A 商城需要的费用为162×91＝14 742(元)， 在B 商城需要的费用为162×100×910＝14 580(元)．14 742＞14 580.答：去B 商场购买足球更优惠． 变式训练1．解：(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x 吨和y 吨．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝18，2x ＋6y ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.5.答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨． (2)设货运公司拟安排大货车m 辆，则安排小货车(10－m )辆． 根据题意可得4m ＋1.5(10－m )≥33， 解得m ≥7.2，令m ＝8，大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小． 则安排方案为大货车8辆，小货车1辆． 类型二【例2】 设安排女生x 人，安排男生y 人． 依题意得4x ＋5y ＝56，则x ＝56－5y 4.当y ＝4时，x ＝9. 当y ＝8时，x ＝4. 当y ＝0时，x ＝14.即安排女生9人，安排男生4人； 安排女生4人，安排男生8人； 安排女生14人，安排男生0人． 共有3种方案．故选C. 变式训练 2．B 类型三【例3】 (1)设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备(10－x )台． 根据题意得12x ＋15(10－x )≥140， 解得x ≤313.∵x 为非负整数， ∴x ＝0，1，2，3， ∴该景区有四种设计方案：方案一：购买A 种设备0台，B 种设备10台； 方案二：购买A 种设备1台，B 种设备9台； 方案三：购买A 种设备2台，B 种设备8台； 方案四：购买A 种设备3台，B 种设备7台． (2)各方案购买费用分别为：方案一：3×0＋4.4×10＝44＞40，实际付款：44×0.9＝39.6(万元)； 方案二：3×1＋4.4×9＝42.6＞40，实际付款：42.6×0.9＝38.34(万元)； 方案三：3×2＋4.4×8＝41.2＞40，实际付款：41.2×0.9＝37.08(万元)； 方案四：3×3＋4.4×7＝39.8＜40，实际付款：39.8万元． ∵37.08＜38.34＜39.6<39.8，∴采用(1)设计的第三种方案，使购买费用最少． 变式训练3．解：(1)设清理养鱼网箱的人均费用为x 元，清理捕鱼网箱的人均费用为y 元．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋9y ＝57 000，10x ＋16y ＝68 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 000，y ＝3 000.答：清理养鱼网箱的人均费用为2 000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3 000元． (2)设分配m 人清理养鱼网箱，则分配(40－m )人清理捕鱼网箱． 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2 000m ＋3 000（40－m ）≤102 000，m ＜40－m ， 解得18≤m ＜20.∵m 为整数，∴m ＝18或m ＝19， 则分配清理人员方案有两种：方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱； 方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱． 类型四【例4】 (1)当x ＝20时，方式一的总费用为100＋20×5＝200，方式二的费用为20×9＝180.当游泳次数为x 时，方式一费用为100＋5x ，方式二的费用为9x . 故答案为200，100＋5x ，180，9x . (2)方式一，令100＋5x ＝270，解得x ＝34. 方式二，令9x ＝270， 解得x ＝30.∵34＞30，∴选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多． (3)令100＋5x ＜9x 得x ＞25， 令100＋5x ＝9x 得x ＝25， 令100＋5x ＞9x 得x ＜25，∴当20＜x ＜25时，小明选择方式二的付费方式， 当x ＝25时，小明选择两种付费方式一样， 但x ＞25时，小明选择方式一的付费方式． 变式训练4．解：(1)当x ＝10时，甲复印店收费为0.1×10＝1； 乙复印店收费为0.12×10＝1.2；当x ＝30时，甲复印店收费为0.1×30＝3， 乙复印店收费为0.12×20＋0.09×10＝3.3. 故答案为1，3；1.2，3.3. (2)y 1＝0.1x (x ≥0)；y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧0.12x （0≤x≤20），0.09x ＋0.6（x ＞20）.(3)顾客在乙复印店复印花费少． 当x ＞70时，y 1＝0.1x ，y 2＝0.09x ＋0.6， 设y ＝y 1－y 2，∴y 1－y 2＝0.1x －(0.09x ＋0.6)＝0.01x －0.6. 记y ＝0.01x －0.6，由0.01＞0，则y 随x 的增大而增大， 当x ＝70时，y ＝0.1， ∴x ＞70时，y ＞0.1， ∴y 1＞y 2，∴当x ＞70时，顾客在乙复印店复印花费少． 类型五 【例5】选用的工具带刻度的三角板 带刻度的三角尺、量角器、圆规 带刻度的三角尺、圆规画出示意图简述设 计方案 作⊙O 两条互相垂直的直径AB ，CD ，将⊙O 的面积分成相等的四份①以点O 为圆心，以3个单位长度为半径作圆．②在大⊙O 上依次取三等分点A ，B ，C.③连结OA ，OB ，O C.则小圆O 与三等份圆环把⊙O 的面积四等分 ①作⊙O 的一条直径A B.②分别以OA ，OB 的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O 1，⊙O 2.则⊙O 1，⊙O 2和⊙O 中剩余的两部分把⊙O 的面积四等分 指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形 轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形5．解：(1) 5 (2)四边形BADQ 是菱形．理由如下：∵四边形ACBF 是矩形，∴BQ ∥AD ，∴∠BQA ＝∠QA D.由折叠得∠BAQ ＝∠QAD ，AB ＝AD ，∴∠BQA ＝∠BAQ ，∴BQ ＝AB ，∴BQ ＝A D.∵BQ ∥AD ，∴四边形BADQ 是平行四边形．∵AB ＝AD ，∴四边形BADQ 是菱形．(3)图4中的黄金矩形有矩形BCDE ，矩形MNDE .以黄金矩形BCDE 为例．理由如下：∵AD ＝5，AN ＝AC ＝1，∴CD ＝AD －AC ＝5－1.又∵BC ＝2，∴CD BC ＝5－12， 故矩形BCDE 是黄金矩形．(4)如图，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所要作的黄金矩形．长GH＝5－1，宽HE＝3－ 5.。
专题04方程与不等式之选择题、填空题、解答题-2019年浙江省11地市中考数学真题分类汇编(解析版)
专题 04 方程与不等式之选择题、填空题、解答题参照答案与试题分析一．选择题（共7 小题）1．（ 2019?杭州）已知九年级某班30 位学生种树72 棵，男生每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵树，设男生有x 人，则（）A ． 2x+3（ 72﹣ x）＝ 30B ． 3x+2（ 72﹣ x）＝ 30C． 2x+3（ 30﹣ x）＝ 72 D ． 3x+2 （ 30﹣ x）＝ 72【答案】解：设男生有x 人，则女生（30﹣ x）人，依据题意可得：3x+2（30﹣ x）＝ 72．应选： D．【点睛】本题主要考察了由实质问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题重点．2．（ 2019?宁波）小慧去花店购置鲜花，若买 5 支玫瑰和 3 支百合，则她所带的钱还剩下10 元；若买 3 支玫瑰和 5 支百合，则她所带的钱还缺 4 元．若只买 8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下（）A．31 元B．30 元C．25 元D．19 元【答案】解：设每支玫瑰x 元，每支百合y 元，依题意，得： 5x+3y+10＝ 3x+5y﹣ 4，∴y＝ x+7，∴5x+3y+10 ﹣ 8x＝5x+3（ x+7）+10 ﹣ 8x＝31．应选： A．【点睛】本题考察了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的重点．3．（2019?舟山）中国清朝算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代钱币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，依据题意可列方程组为（）A．B．C．D．【答案】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，依据题意可列方程组为：．应选： D．【点睛】本题主要考察了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题重点．4．（ 2019?舟山）已知四个实数a， b， c， d，若 a＞ b，c＞d，则（）A ． a+c＞ b+d B． a﹣ c＞ b﹣ d C． ac＞bd D ．【答案】解：∵a＞ b， c＞ d，∴a+c＞ b+d．应选： A．【点睛】本题主要考察了等式的性质，正确掌握等式的基天性质是解题重点．5．（ 2019?宁波）不等式x 的解为（）A ． x＜ 1B． x＜﹣ 1C． x＞1 D ． x＞﹣ 1【答案】解：x，3﹣ x＞2x，3＞ 3x，x＜ 1，应选： A．【点睛】本题考察认识一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、归并同类项、系数化成 1．6．（ 2019?台州）一道来自课本的习题：从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．假如保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走 5km，那么从甲地到乙地需54min ，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？小红将这个实质问题转变为二元一次方程组问题，设未知数x， y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的选项是（）A．B．C．D．【答案】解：设未知数x， y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的选项是：．应选： B ．【点睛】本题主要考察了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题重点．7．（ 2019?金华）用配方法解方程 x 2﹣ 6x ﹣8＝ 0 时，配方结果正确的选项是（）A ．（ x ﹣ 3）2＝ 17B ．（ x ﹣ 3）2＝ 14 C ．（ x ﹣6） 2＝ 44 D ．（ x ﹣3） 2＝ 1【答案】解：用配方法解方程 x 2﹣ 6x ﹣ 8＝ 0 时，配方结果为（ x ﹣3） 2＝ 17，应选： A ．【点睛】本题考察认识一元二次方程﹣配方法，娴熟掌握完整平方公式是解本题的重点．二．填空题（共 4 小题）21．（ 2019?舟山）在 x + ± 4x +4 ＝ 0 的括号中增添一个对于 x 的一次项，使方程有两个相等的实数根．【答案】解：要使方程有两个相等的实数根，则△＝b 2﹣4ac ＝ b 2﹣ 16＝0得 b ＝± 4故一次项为± 4x故答案为± 4x【点睛】本题主要考察一元二次方程的根的鉴别式，利用一元二次方程根的鉴别式（△＝b 2﹣ 4ac ）能够判断方程的根的状况：一元二次方程的根与根的鉴别式有以下关系： ① 当△＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根； ② 当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；③ 当△＜ 0 时，方程无实数根，但有 2 个共轭复根．上述结论反过来也建立．2．（ 2019?温州）不等式组 的解为 1＜ x ≤9 ．【答案】解： ，由 ① 得， x ＞ 1，由 ② 得， x ≤ 9，故此不等式组的解集为：1＜ x ≤ 9．故答案为： 1＜x ≤ 9．【点睛】本题考察的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的重点．3．（ 2019?金华）不等式3x﹣ 6≤ 9 的解是x≤ 5．【答案】解：3x﹣ 6≤ 9，3x≤ 9+63x≤ 15x≤ 5，故答案为： x≤ 5【点睛】本题考察认识一元一次不等式，能依据不等式的性质求出不等式的解集是解本题的重点．4．（ 2019?绍兴）不等式3x﹣ 2≥ 4 的解为x≥ 2．【答案】解：移项得，3x≥ 4+2，归并同类项得，3x≥ 6，把 x 的系数化为 1 得，x≥2．故答案为： x≥ 2．【点睛】本题考察的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的重点．三．解答题（共 2 小题）1．（ 2019?金华）解方程组【答案】解：，将①化简得：﹣ x+8y＝ 5 ③，② +③，得 y＝ 1，将 y＝1 代入②，得 x＝ 3，∴；【点睛】本题考察二元一次方程组的解法；娴熟掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的重点．2．（ 2019?绍兴）（ 1）计算： 4sin60° +（π﹣ 2）0﹣（）﹣ 2 ．（ 2）x 为什么值时，两个代数式2， 4x+1 的值相等？x +1【答案】解：（1）原式＝ 4 1﹣4﹣ 2 3；（ 2）x 2+1＝ 4x+1，2x ﹣ 4x ＝0，x （ x ﹣4）＝ 0，x 1＝ 0，x 2＝ 4．【点睛】考察了实数的运算，因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右侧化为0，再把左侧经过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能获得两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转变为解一元一次方程的问题了（数学转变思想） ．。
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专题四方案设计型问题类型一通过计算比较进行方案设计(2017·山东烟台中考)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【分析】(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；(2)根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【自主解答】1．(2018·四川绵阳中考)有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？类型二利用方程进行方案设计(2018·黑龙江齐齐哈尔中考)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有( )A．1种B．2种 C．3种 D．4种【分析】设安排女生x人，安排男生y人，由“累计56个小时的工作时间”列出方程求得正整数解．【自主解答】2．(2018·黑龙江龙东地区中考)为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1 200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有( ) A．4种 B．3种 C．2种 D．1种类型三利用不等式进行方案设计(2018·湖南娄底中考)“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．(1)请你为该景区设计购买A，B两种设备的方案；(2)已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【分析】(1)设购买A种设备x台，则购买B种设备(10－x)台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式，求出解集，再根据x为正整数求解即可；(2)分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【自主解答】此类题型利用方程、不等式的相关知识，建立相应的数学模型，找到方程(组)的解和不等式(组)的解集，确定未知数的具体数值．未知数有几个值，即有几种方案．有时结合函数应用，进行方案最优化设计．3．(2018·山东济宁中考)“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：(1)(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102 000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？类型四利用函数进行方案设计(2018·天津中考)某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)．(1)根据题意，填写下表：(2)(3)当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．【分析】(1)根据题意可以将表格中空缺的部分补充完整；(2)根据题意可以求得当费用为270元时，两种方式下的游泳次数；(3)根据题意可以计算出x在什么范围内，哪种付费更合算．【自主解答】函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，先确定函数表达式，再利用函数图象的性质获得解决问题的具体方法．解决此类问题的难点主要是正确确定函数表达式，关键还要熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的取值范围．4．(2017·天津中考)用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数)．(1)根据题意，填写下表：1212(3)当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．类型五有关图形的方案设计型问题在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．【自主解答】图形方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，把对作图的技能的考查放在一个实际生活的大背景下，从而考查了学生的综合创新能力，给同学们的创造性思维提供了广阔的空间与平台．此类题常利用某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，利用图形的性质，或利用轴对称和中心对称等，拼出符合某些条件的图形．5．(2018·山东德州中考)再读教材：宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN＝2)第一步，在矩形纸片一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处；第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图4中就会出现黄金矩形．问题解决：(1)图3中AB ＝ (保留根号)；(2)如图3，判断四边形BADQ 的形状，并说明理由；(3)请写出图4中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 实际操作：(4)结合图4，请在矩形BCDE 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．参考答案类型一【例1】 (1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x ，根据题意得200×(1－x)2＝162，解得x ＝0.1＝10%或x ＝1.9(舍去)．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%. (2)100×1011＝1 00011≈91(个)，在A 商城需要的费用为162×91＝14 742(元)， 在B 商城需要的费用为162×100×910＝14 580(元)．14 742＞14 580.答：去B 商场购买足球更优惠． 变式训练1．解：(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x 吨和y 吨．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝18，2x ＋6y ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.5.答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨． (2)设货运公司拟安排大货车m 辆，则安排小货车(10－m)辆． 根据题意可得4m ＋1.5(10－m)≥33， 解得m≥7.2，令m ＝8，大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小． 则安排方案为大货车8辆，小货车1辆． 类型二【例2】 设安排女生x 人，安排男生y 人． 依题意得4x ＋5y ＝56，则x ＝56－5y 4.当y ＝4时，x ＝9. 当y ＝8时，x ＝4. 当y ＝0时，x ＝14.即安排女生9人，安排男生4人； 安排女生4人，安排男生8人； 安排女生14人，安排男生0人． 共有3种方案．故选C. 变式训练 2．B 类型三【例3】 (1)设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备(10－x)台． 根据题意得12x ＋15(10－x)≥140， 解得x≤313.∵x 为非负整数， ∴x＝0，1，2，3， ∴该景区有四种设计方案：方案一：购买A 种设备0台，B 种设备10台； 方案二：购买A 种设备1台，B 种设备9台； 方案三：购买A 种设备2台，B 种设备8台；方案四：购买A 种设备3台，B 种设备7台． (2)各方案购买费用分别为：方案一：3×0＋4.4×10＝44＞40，实际付款：44×0.9＝39.6(万元)； 方案二：3×1＋4.4×9＝42.6＞40，实际付款：42.6×0.9＝38.34(万元)； 方案三：3×2＋4.4×8＝41.2＞40，实际付款：41.2×0.9＝37.08(万元)； 方案四：3×3＋4.4×7＝39.8＜40，实际付款：39.8万元． ∵37.08＜38.34＜39.6<39.8，∴采用(1)设计的第三种方案，使购买费用最少． 变式训练3．解：(1)设清理养鱼网箱的人均费用为x 元，清理捕鱼网箱的人均费用为y 元．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋9y ＝57 000，10x ＋16y ＝68 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 000，y ＝3 000.答：清理养鱼网箱的人均费用为2 000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3 000元． (2)设分配m 人清理养鱼网箱，则分配(40－m)人清理捕鱼网箱． 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2 000m ＋3 000（40－m ）≤102 000，m ＜40－m ， 解得18≤m＜20.∵m 为整数，∴m＝18或m ＝19， 则分配清理人员方案有两种：方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱； 方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱． 类型四【例4】 (1)当x ＝20时，方式一的总费用为100＋20×5＝200，方式二的费用为20×9＝180. 当游泳次数为x 时，方式一费用为100＋5x ，方式二的费用为9x. 故答案为200，100＋5x ，180，9x. (2)方式一，令100＋5x ＝270，解得x ＝34. 方式二，令9x ＝270， 解得x ＝30.∵34＞30，∴选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多． (3)令100＋5x ＜9x 得x ＞25， 令100＋5x ＝9x 得x ＝25， 令100＋5x ＞9x 得x ＜25，∴当20＜x ＜25时，小明选择方式二的付费方式，当x ＝25时，小明选择两种付费方式一样， 但x ＞25时，小明选择方式一的付费方式． 变式训练4．解：(1)当x ＝10时，甲复印店收费为0.1×10＝1； 乙复印店收费为0.12×10＝1.2；当x ＝30时，甲复印店收费为0.1×30＝3， 乙复印店收费为0.12×20＋0.09×10＝3.3. 故答案为1，3；1.2，3.3. (2)y 1＝0.1x(x≥0)；y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧0.12x （0≤x≤20），0.09x ＋0.6（x ＞20）.(3)顾客在乙复印店复印花费少． 当x ＞70时，y 1＝0.1x ，y 2＝0.09x ＋0.6， 设y ＝y 1－y 2，∴y 1－y 2＝0.1x －(0.09x ＋0.6)＝0.01x －0.6. 记y ＝0.01x －0.6，由0.01＞0，则y 随x 的增大而增大， 当x ＝70时，y ＝0.1， ∴x＞70时，y ＞0.1， ∴y 1＞y 2，∴当x ＞70时，顾客在乙复印店复印花费少． 类型五 【例5】5．解：(1) 5(2)四边形BADQ 是菱形．理由如下： ∵四边形ACBF 是矩形， ∴BQ∥AD，∴∠BQA＝∠QAD. 由折叠得∠BAQ＝∠QAD，AB ＝AD ， ∴∠BQA＝∠BAQ，∴BQ＝AB ， ∴BQ＝AD.∵BQ∥AD，∴四边形BADQ 是平行四边形． ∵AB＝AD ，∴四边形BADQ是菱形．(3)图4中的黄金矩形有矩形BCDE ，矩形MNDE. 以黄金矩形BCDE 为例．理由如下： ∵AD＝5，AN ＝AC ＝1， ∴CD＝AD －AC ＝5－1. 又∵BC＝2，∴CD BC ＝5－12，故矩形BCDE 是黄金矩形．(4)如图，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所要作的黄金矩形．长GH ＝5－1，宽HE ＝3－ 5.。