江苏省南京市第十三中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷

南京市第十三中学2014-2015学年第一学期期中试卷
高一数学
2014年11月
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．集合1
,2,03A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
的真子集的个数是 ． 2．函数(
)()2log 21f x x =+- 的定义域是 ． 3．已知{},A x y x x R ==∈，{}
2,B y y x x R ==∈，则A B 等于 ． 4．若集合{}22x 10A x ax =+-=只有一个元素，则实数a 的值为 ．
5．已知函数()1,13,1x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩ ，则52f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
等于 ． 6．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}
121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆ ，则实数m 的取值范围是 ．
7．已知()f x 是偶函数，当0x < 时，()221f x x x =-+ ，若当0x >时，()f x = ． 8．设奇函数()f x 在()0,+∞ 上为减函数，且()20f =，则使
()()0f x f x x
--> 的x 的取值范围为 ． 9．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的通话费（单位：元）(){}()1.060.501f m m =⨯⨯+ 给出，其中0m > ，{}m 是大于或等于m 的最小整数（如{}33=，{}3.74=，{}5.16=），则从甲地到乙地通过时间为7.5 分钟的通话费为 ．
10．定义两种运算：22,a b ab a b a b ⊕=⊗=+ ，则()222
x f x x ⊕=⊗- 为 ． （从以下四项中选择一个：奇函数，偶函数，非奇非偶函数，既是奇函数又是偶函数）
11．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩ 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ．
12．已知函数()243,0,101,1x x x f x x x x x ⎧⎪-++>⎪=-≤≤⎨⎪⎪<-⎩
，()()2g x f x k =+ ，若函数()g x 恰有两个不
同的零点，则实数k 的取值范围为 ．
13．已知函数()2ax,11,1
x x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈ ，12x x ≠ ，使得()()12f x f x =
成立，则实数a 的取值范围是 ．
14．已知()2,f x x x a =-- 当(]0,2x ∈ 时恒有()0f x < ，则实数a 的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（1）设U R = ，()(){}230A x x x =-+≥ , {}210B x x =+≥，求()U C A B ；
（2）已知{}20A x x ax b =++=，{}
2150B x x cx =++=，{}3,5A B = ， {}3A B = ,求a b c ++ 的值．
16．（1）0
13134210.06416;8-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭ （2）232log 3log 52log 52
2+- ．
17．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（1）；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（2）．（注：收益与投资额单位：万元）
（Ⅰ）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；
（Ⅱ）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
18．已知()()1
22log 02x b f x b x b
+=<- （1）求()f x 的定义域；
（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明；
（3）指出()f x 在区间(),b -+∞ 上的单调性，并加以证明．
19．已知函数()2
43f x x x =-+ （1）求()f x 在区间[],1t t + 上的最小值；
（2）作出函数()()g x f x = 的图象，并根据图象写出其单调增区间；
（3）若关于x 的方程()f x a x -= 至少有三个不相等的实数，求实数a 的取值范围．
20.已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-= ．
（1）如果[]1,4x ∈ ，求函数()()()()1h x f x g x =+ 的值域；
（2）求函数()()()()()
2
f x
g x f x g x M x +--= 的最大值；
（3）如果对不等式()()2f x
f k
g x > 中的任意()4,8x ∈ ，
不等式恒成立，求实数k 的取值范围．。