乘法运算律
乘法的运算律
乘法的运算律
乘法的运算律
乘法运算定律有乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
字母公式：
1、乘法交换率：a×b=b×a。
2、乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
3、乘法分配率：（a-b）×c=a×c+b×c。
乘法交换律：乘法交换律是两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，和不变。
实数和纯虚数的积等于纯虚数。
实数和实数的和等于实数，纯虚数和纯虚数的和等于纯虚数，实数加纯虚数等于复数。
1。
乘除法的关系和运算律
乘除法的关系和运算律一、加法运算律只有：交换律和结合律。
没有分配律1、交换律：两个加数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律例：a+b=b+a .扩展：A+B+C=A+C+B=C+B+A2、结合律：三个数相加,先把前两个数相加,再和第三个数相加,或者先把后两个数相加,在和第一个数相加,和不变,这叫做加法结合律.。
(A+B)+C=A+（B+C）二、乘法运算律：交换律、结合律和分配律。
乘法才有分配律乘法交换律是两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
a×b=b×a三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘，积不变。
如a×b×c=a×(b×c)a×c+b×c=（a+b）×c两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。
字母表达是：a×(b+c) =a×b+a×c扩展：变式一a×(b-c) =a×b-a×c变式二a×b+a=a×(b+1)乘法分配律的拓展：两个数的差与一个数相乘，可以用这个数分别去乘相减的两个数，再把积相减。
用字母表示为：(a-b)·c=a·c-b·c a·c-b·c=(a-b)·c三、乘除法各部分之间的关系：（1）乘法各部分之间的关系：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数（2）除法各部分之间的关系：没有余数的除法：有余数的除法：被除数=商×除数被除数=商×除数 + 余数除数=被除数÷商除数=（被除数-余数）÷商商= 被除数÷除数商= （被除数-余数）÷除数（3）乘、除法之间的关系：除法是乘法的逆运算注意：0不能作除数。
乘除法运算律和性质
• 3.乘、除法混合运算的性质
• (1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘 数或除数可以连同运算符号一起交换 位置。例如，
• a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
• (2)在乘、除混合运算中，去掉或添加 括号的规则去括号情形：
• 括号前是“×”时，去括号后，括 号内的乘、除符号不变。即
• a×(b×c)=a×b×c， • a×(b÷c)=a×b÷c。
• 我们在第1讲中介绍了加、减法的 运算律和性质，利用它们可以简化一 些加、减法算式的计算。本讲将介绍 在巧算中常用的一些乘、除法的运算 律和性质，其目的也是使一些乘、除 法计算得到简化。
• 1.乘法的运算律 • 乘法交换律：两个数相乘，交换
两个数的位置，其积不变。即
• a×b=b×a。 • 其中，a，b为任意数。 • 例如，35×120=120×35=4200。
• (3)两个数之积除以两个数之积，可以 分别相除后再相乘。即
• 乘法结合律：三个数相乘，可以 先把前两个数相乘后，再与后一个数 相乘，或先把后两个数相乘后，再与 前一个数相乘，积不变。即
• a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。
• 注意：
• (1)这两个运算律中数的个数可以推广 到更多个的情形。即多个数连乘中， 可以任意交换其中各数的位置，积不 变；多个数连乘中，可以任意先把几 个数结合起来相乘后，再与其它数相 乘，积不变。
• 括号前是“÷”时，去括号后，括 号内的“×”变为“÷”，“÷”变为 “×”。即
• a÷(b×c)=a÷b÷c，
• a÷(b÷c)=a÷b×c。
• 添加括号情形：
• 加括号时，括号前是“×”时，原 符号不变；括号前是“÷”时，原符号 “×”变为“÷”，“÷”变为“×”。 即
四年级乘法运算律
乘法运算律【知识点一】乘法结合律定义：三个数相乘，先把前两个数相乘再乘第三个数，或者先把后两个数相乘再乘第一个数，积不变。
用字母表示为：（a﹒b）﹒c=a﹒（b﹒c）【例】7×25×4【练习】23×125×8 37×5×20 176×4×25【知识点二】乘法交换律定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
用字母表示为：a·b=b·a【例】用简便方法计算25×27×4【练习】用简便算法计算下面各式8×7×125 25×3×4 50×14×2运用乘法结合律、交换律进行简便运算：25×（23×4） 2×56×5 8×33×125【知识点三】乘、除法各部分之间的关系：乘法各部分之间的关系：因数×因数=积一个因数=积÷因数除法各部分之间的关系：被除数÷除数=商被除数÷商=除数除数×商=被除数【例】写出下面式子的另外两种形式：32×5=160【练习】1000÷20=50【知识点四】除法的运算顺序除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个除数的乘积。
用字母表示：a÷b÷c=a÷（b×c）反用除法的性质仍然成立：即a÷（b×c）=a÷b÷c【例】用简便算法计算1000÷4÷25【练习】32÷4÷2 84÷3÷2 2000÷125÷8【知识点五】拆分【例】125×32×25【练习】50×16×125 25×16×25【达标测试】1、计算下面各题，能用简便算法的用简便算法25×1635×24 360÷5÷8 35×2×1212×（4×15） 25×28 810÷（9×5）32×125 500÷25×4 500÷6÷22、我们班有12个小组，每组4人，每人折5个纸鹤，一共折多少个纸鹤？3、共有5箱电饭煲，每箱有电饭煲20个，每个电饭煲98元，全部卖掉后能卖多少元？4、一台织布机平均每分钟织13米布，照这样计算4台织布机5小时织布多少米？5、每个书架4层，每层25本，两个书架一共可以放多少本书？【家庭作业】某标准件厂平均每天卖出125个标准件，每个标准件40元钱，照这样计算8天能进账多少钱？。
乘法运算律的应用
三：先算一算，再观察每组两个算式，说说 它们有什么关系。 1.2+4.8 = 4.8+1.2 6.4+8.9+3.6 = (6.4+3.6)+8.9 0.4×0.9×0.5 = 0.9×(0.4×0.5） （2.4+3.6）×0.5 = 2.4×0.5+3.6×0.5
(1）小组讨论交流： （2）结论：
二：赵大伯在一块长方形菜地里种了茄子 和辣椒。这块菜地的面积是多少平方米？
3.8m 茄子 6.5m 辣椒 3.5m
1、想想题目中给出了什么信息? 2、说说怎样算出这块菜地的面积。 3、组内交流计算方法，说说你发现了什么?
计算6.5×3.8+3.5×3.8时，先用（ 6.5）+（ 3.5 ）= （ 10 ），再用（ 10 ）×（ 3.8）=（ 38 ）较简便， 这是根据（ 乘法分配律来计算的 ）。
五：检测
运用运算定律填空： 4.2×1.69=( 1.69)×( 4.2 ) 2.5×0.77×0.4=( 2.5 × 0.4 )×(0.77 ) 6.1×3.6+3.9×3.6=（ 6.1 + 3.9 ）×（3.6 ） 9.8×124=（10 — 0.2 ）×124 =（ 10 ）×（ 124 ）—（ 0.2 ）×（ 124 )
五年级数学上册
乘ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运算律的应用
一:用字母表示整数加、乘法的运算定律:
a+b=b+a 加法交换律： 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律： a×b=b×a 乘法结合律： (a×b)× c=a×(b×c) 乘法分配律： (a+b)×c=ab+ac 变式1： a×( b –c)=ab-ac 变式2： a×b+a=a×(b+1)
运算律
授课学案学生姓名授课教师班主任上课时间主任审批授课标题运算律学习目标1、要仔细观察算式，如果算式里只有乘法，一般用到乘法交换和结合律，如果只有加法，一般用到加法交换和结合律，如果既有加又有乘，一般用到乘法分配律。
当然要注意一些变式。
2、还要观察算式里面的特殊数字，如25和4,125和8,2和5等，有时101可以变成（100+1），想想如何利用好这些特殊数字。
3、要熟练掌握运算定律的字母表示形式，并注意多动脑思考。
重点难点1、乘法交换律：a×b=b×a2、乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)3、乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c（合起来乘等于分别乘）4、衍生：(a-b)×c=a×c-b×c授课内容．运算定律简便运算（做前必读）要想运用运算定律做好简便运算，要注意以下几点：1、要仔细观察算式，如果算式里只有乘法，一般用到乘法交换和结合律，如果只有加法，一般用到加法交换和结合律，如果既有加又有乘，一般用到乘法分配律。
当然要注意一些变式。
2、还要观察算式里面的特殊数字，如25和4,125和8,2和5等，有时101可以变成（100+1），想想如何利用好这些特殊数字。
3、要熟练掌握运算定律的字母表示形式，并注意多动脑思考。
简便运算越做越有趣，祝大家学得开心。
（1）乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）38×25×4 42×125×8 25×17×4 （25×125）×（8×4） 49×4×538×125×8×3 (125×25)×4 5 ×289×2 （125×12）×8 125×（12×4）(2) 乘法交换律和结合律的变化练习125×64 125×88 44×25 125×24 25×28（3）加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）357＋288＋143 158＋395＋105 167＋289＋33 129＋235＋171＋165378＋527＋73 169＋78＋22 58＋39＋42＋61 138＋293＋62＋107（4）乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c 练习（80＋4）×25 （20＋4）×25 （125＋17）×8 25×（40＋4） 15×（20＋3）（5）乘法分配律正用的变化练习：36×3 25×41 39×101 125×88 201×24（6）乘法分配律反用的练习：34×72＋34×28 35×37＋65×37 85×82＋85×18 25×97＋25×3 76×25＋25×24（7）乘法分配律反用的变化练习：38×29＋38 75×299＋75 64×199＋64 35×68＋68＋68×64☆思考题：（8）其他的一些简便运算。
8条运算律
8条运算律
1. 加法交换律：加法交换律是指加法满足交换律，即a和b相加与b和a相加的结果相同。
它是数学中最基本的运算律之一，也是加法定义的基础。
2. 加法结合律：加法结合律是指加法满足结合律，即a、b和c 相加时，先加a和b再与c相加的结果与先加b和c再与a相加的结果相同。
它是数学中最基本的运算律之一，也是加法定义的基础。
3. 乘法交换律：乘法交换律是指乘法满足交换律，即a和b相乘与b和a相乘的结果相同。
它是数学中最基本的运算律之一，也是乘法定义的基础。
4. 乘法结合律：乘法结合律是指乘法满足结合律，即a、b和c 相乘时，先乘a和b再与c相乘的结果与先乘b和c再与a相乘的结果相同。
它是数学中最基本的运算律之一，也是乘法定义的基础。
5. 乘法分配律：乘法分配律是指乘法满足分配律，即a与(b+c)的乘积等于a与b的乘积加上a与c的乘积。
它是数学中非常重要的运算律之一，广泛用于因式分解、多项式的展开和求值等方面。
6. 减法的反交换律：减法的反交换律是指减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b等于a加上-b。
它是数学中基本的运算律之一，也是减法定义的基础。
7. 减法的反结合律：减法的反结合律是指减去一个数时，先减去另一个数再减去第三个数与先减去第三个数再减去第二个数结果相同，即a-(b-c)等于a-b+c。
它是数学中基本的运算律之一，也是
减法定义的基础。
8. 除法的反交换律：除法的反交换律是指除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a/b等于a乘以(1/b)。
它是数学中基本的运算律之一，也是除法定义的基础。
乘除法的关系和运算律
【知识要点】（一）、乘除法各部分之间的关系：（1）乘法各部分之间的关系：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数（2）除法各部分之间的关系：没有余数的除法：有余数的除法：被除数=商×除数被除数=商×除数 + 余数除数=被除数÷商除数=（被除数-余数）÷商商= 被除数÷除数商= （被除数-余数）÷除数（3）乘、除法之间的关系：除法是乘法的逆运算注意：0不能作除数。
(4)整除：a÷b(b≠0)＝c 则a能被b整除，b能整除a。
（二）乘法运算律1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
这个规律叫做乘法交换律。
用字母表示为：a·b=b·a2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘再乘第三个数，或先将后两个数相乘再乘第一个数，它们的积不变。
这个规律叫做乘法结合律。
用字母表示为：(a·b)·c=a·(b·c)3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，再把积相加。
这个规律叫做乘法分配律。
用字母表示为：(a+b)·c=a·c+b·c a·c+b·c=(a+b)·c乘法分配律的拓展：两个数的差与一个数相乘，可以用这个数分别去乘相减的两个数，再把积相减。
用字母表示为：(a-b)·c=a·c-b·c a·c-b·c=(a-b)·c（三）减法简便运算：1、一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。
用字母表示：a－b－c＝a－(b＋c)2、一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。
用字母表示：a－b－c＝a—c－b（四）除法简便运算：1、一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。
《乘法结合律》运算律
工程学中的应用
在工程学中，特别是在机械、电子和计算机 等领域，乘法结合律在各种计算和设计中被 广泛应用。例如，在电路分析和设计、控制 系统分析和优化等方面，乘法结合律都是不 可或缺的重要工具。
05
乘法结合律的练习题
基础练习题
总结词
理解乘法结合律的基本概念
详细描述
基础练习题主要针对乘法结合律的基本概念 进行训练，包括简单的乘法算式和乘法分配 律的运用。这些题目旨在帮助学生理解乘法 结合律的基本原理，掌握基本的运算技巧。
THANKS
谢谢您的观看
而证明了乘法结合律。
证明方法二
要点一
总结词
利用分配律证明
要点二
详细描述
首先，我们知道乘法分配律是$(a+b) times c = a times c + b times c$。然后，我们利用这个分配律来证明乘法结 合律。具体来说，我们可以将$(a+b) times (c+d)$展开为 $(a+b) times c + (a+b) times d$，然后利用乘法分配律 将其化简为$a times c + b times c + a times d + b times d$。最后，我们将其化简为$a times (c+d) + b times (c+d)$，即$(a+b) times (c+d)$。因此，我们证明 了乘法结合律。
02
乘法结合律的证明
证明方法一
总结词
通过数学归纳法证明
详细描述
首先，我们假设有一个正整数$n$，然后考虑三个乘积项$a times b$，$(a+b) times c$和$a times (b+c)$。通过数学归纳法，我们可以证明当$n=1$时，这三个乘积项相 等。然后，我们假设当$n=k$时，这三个乘积项相等，再证明当$n=k+1$时，这三个 乘积项也相等。最后，我们得出结论：对于任何正整数$n$，这三个乘积项都相等，从
所有的运算律
所有的运算律运算律是数学中的基本概念，它是指在数学运算中所遵循的一些规则和原则。
这些规则和原则可以帮助我们更好地理解数学运算的本质和特点，从而更加高效地进行数学计算和推理。
在本文中，我们将以所有的运算律为标题，分别介绍它们的定义、性质和应用。
一、加法运算律加法运算律是指在加法运算中，任意两个数的和与它们的顺序无关。
具体来说，对于任意的实数a、b和c，有以下两个加法运算律：1.交换律：a+b=b+a2.结合律：(a+b)+c=a+(b+c)这两个运算律是加法运算的基本性质，它们可以帮助我们更加方便地进行加法运算。
例如，当我们需要计算多个数的和时，可以根据结合律将它们分组，从而简化计算过程。
二、减法运算律减法运算律是指在减法运算中，减数和被减数的顺序不能随意交换。
具体来说，对于任意的实数a、b和c，有以下减法运算律：1.非交换律：a-b≠b-a2.非结合律：(a-b)-c≠a-(b-c)这两个运算律告诉我们，在减法运算中，顺序是非常重要的。
如果我们将减数和被减数的顺序颠倒，就会得到不同的结果。
因此，在进行减法运算时，我们需要特别注意顺序的问题。
三、乘法运算律乘法运算律是指在乘法运算中，任意两个数的积与它们的顺序无关。
具体来说，对于任意的实数a、b和c，有以下两个乘法运算律：1.交换律：a×b=b×a2.结合律：(a×b)×c=a×(b×c)这两个运算律是乘法运算的基本性质，它们可以帮助我们更加方便地进行乘法运算。
例如，当我们需要计算多个数的积时，可以根据结合律将它们分组，从而简化计算过程。
四、除法运算律除法运算律是指在除法运算中，除数和被除数的顺序不能随意交换。
具体来说，对于任意的实数a、b和c，有以下两个除法运算律：1.非交换律：a÷b≠b÷a2.非结合律：(a÷b)÷c≠a÷(b÷c)这两个运算律告诉我们，在除法运算中，顺序同样是非常重要的。
(完整版)加减乘除运算定律
加法
1.加法交换律：a+b = b+a
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
2.加法结合律：a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)
三个数相加，先把前两个数相加，再和第三个数相加，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变。
3.加法运算中综合运用交换律和结合律: a+b+c = (a+c)+b
减法
1.减法的性质：a–b–c = a–(b+c)
一个数连续减去两个数，可以用第一个数减去后面两个数的和，差不变。
乘法
1.乘法交换律：a×b = b×a
两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
2.乘法结合律：a×b×c = (a×b)×c = a×(b×c)
三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。
3.乘法运算中综合运用交换律和结合律: a×b×c = ( a×c)×b
4.乘法分配律：(a+b)×c = a×c+b×c
两个数的和与第三个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把它们的积加起来，结果不变。
5.乘法分配律的逆运用：a×c+b×c =(a+b)×c
除法
1.除法的性质：a÷b÷c = a÷（b×c)
一个数连续除以两个数，等于被除数除以两个除数的积，商不变。
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思维拓展
1.35的18倍是多少？ 2.42与18的积减去70，差是多少？ 3.45与14的积，再除以5，商是多少？ 4.6个15的和除18与72的和，商是多少？ 5.156减去108除以27的商，差是多少？
能力迁移
1.小红看一本故事书，平均每天看15页，看了8天 后，还剩85页，这本故事书有多少页？ 2.一辆卡车每次可以装沙5吨，照这样计算，8辆 卡车6次可以装沙多少吨？ 3.学校用600元买了6盒钢笔奖给三好学生，每盒 10枝，平均每枝钢笔多少元？ 4.虹桥小学开展为希望工程献爱心活动，二年级 捐了384元，比一年级多捐56元，一、二年级共 捐多少元？ 5.某超市运来18筐西瓜，每筐25千克，又运来葡 萄300千克，西瓜比葡萄多多少千克？
智力拼盘
1、176-25-35＝176-（□+□） 2、a×9×25＝a×（ ）×9是运用了 （ ）律。 3、24+36＝36+24是运用了（ ）律。 4、37＋24＋36＝37＋（24＋36）是运用 了（ ）律。 5、783比120的4倍多（ ）。
择优录取
1、25＋38＋75＝（25＋75）＋38，这里运用了（ ）。 ①加法交换律 ②加法结合律 ③加法交换律和结合律 2、25×24计算时比较简便的方法是（ ）。 ①25×4×6 ②25×3×8 ③25×20×4 3、20＋21＋……＋29正确的和是（ ）。 ① 225 ② 70 ③ 245 5、279－（179－43），计算时用简便的方法是（ ）。 ① 279－179－43 ②279－179＋43 ③279＋179－43 6、□÷36＝24……□，余数最大是（ ）。 ① 36 ② 35 ③ 0 7、（42＋a）＋75＝（a＋42）＋75，这里运用了（ ） ①乘法交换律 ②加法结合律 ③加法交换律
拓展延伸
47+58+42 18+（159+82 175+201 204+417 25×32×125 39×5×4 18×35 32×25 387+98 387+102 387﹣98 387﹣102 387﹣78﹣22 180﹣36﹣44
拓展延伸
159﹣（59+37） 268﹣（35+68） 280÷5÷2 2800÷25÷4 160÷（4×8） 720÷45 800÷25 1600÷25 7000÷125 8000÷125 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 1+2+3+……+100 1+3+5+……+19
速算巧算
175＋36＋25 235＋167＋65＋33 4×3×25 45×18 50×15×8
367-145＋133-55 199＋298＋3
297－（197＋34）
脱式计算
（932－132）÷80 732÷12－31 （426－383）×12 18×34－235 480÷（180－100） 920÷40＋23
运算律
四上数，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a 加法结合律：三个数相加，可以先加前两个数，也可以先 加后两个数，和不变。(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 a×b=b×a 乘法结合律：三个数相乘，可以先乘前两个数，也可以先 乘后两个数，积不变。(a×b)×c=a×(b×c) 减法的性质：被减数连续减去两个数，可以减去这两个数 的和。a-b-c=a-(b+c) 除法的性质：被除数连续除以两个数，可以除以这两个数 的积。a÷b÷c=a÷(b×c)