圆的一般方程
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圆的一般方程
是指点M的坐标（x,y）满足的关系式
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
பைடு நூலகம்
课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
பைடு நூலகம்
课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
圆的一般方程1
练习： 求过点A(5,-1),圆心为(8,-3)的圆的方程 .
设圆的方程为 x - 8) + ( y + 3) = r (
2 2
2
把点(5,-1)代入得r = 13,
2
( x - 8) + ( y + 3) = 13
2 2
故圆的方程为 + y - 6x - 8 y = 0 x
2 2
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较 (2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方 程用待定系数法求解.
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 . 练习：
设圆的方程为 + y + Dx + Ey + F = 0 x
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组
6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2
F =0
D = -6, E = -8.
所求圆的方程为：
2 + y 2 - 6x - 8 y = 0 x
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
圆的一般方程
2 2 D E （1）当 D + E 4 F > 0 时， ②表示以为 ， 圆心、 ） 圆心、
2
1 为半径的圆； D 2 + E 2 4 F 为半径的圆； 以 2 D E D 2 + E 2 4 F = 0 时， ②表示一个点 ， ； （2）当 ）
2 2
（3）当 D 2 + E 2 4 F < 0 时，②不表示任何曲 ） 线．
【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异 问题 】圆的一般方程的特点，
同． 圆的一般方程的特点 ： 的系数相同，都不为0． （1）x 2 和 y 2的系数相同，都不为 ． （2）没有形如 xy的二次项． 的二次项． 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和 ）圆的标准方程带有明显的几何的影子， 半径一目了然． 半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构， ）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构， 更适合方程理论的运用． 更适合方程理论的运用．
0 一.方程 x + y + 2ax b = （a.b不同时为零） 表示什么曲线？为什么？ 求圆心坐标和半径。 表示什么曲线？为什么？ 求圆心坐标和半径。
2 2 2 2 2 2 解：由 x + y + 2ax b = 0 配方得 ( x + a) 2 + y 2 = a 2 + b 2 a2 + b2 > 0 ,b不同时为零 不同时为零， 而 a ,b不同时为零，所以 方程 x 2 + y 2 + 2ax b 2 = （a.b不同时为零） 0 是表示以（ ,0)为圆心为半径的圆 为圆心为半径的圆. 是表示以（- a ,0)为圆心为半径的圆.
圆的一般方程表达式
圆的表达式是：（x-a）²+（y-b）²=R²。
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。
圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
1、已知：圆半径长R；中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定了。
根据图形的几何尺寸与坐标的可以得出圆的标准方程。
结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A 与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²
2、圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
3、圆的相关信息：由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程。
圆的一般方程
新课开始
展开圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2得: X2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0….(1) 若设D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,(1)式可写成 X2+y2+Dx+Ey+F=0,即任何一个圆的方程都可 以写成X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.
问题 是不是每一个形如X2+y2+Dx+Ey+F=0的 方程表示的曲线都是圆?
可将方程配方得 ( x ) ( y )
D 2 2 E 2 2
1 2
D 2 E 2 4 F 4
....(2)则
E (1)当D 2 E 2 4 F 0时，方程（ 2）表示以（ D ， 2 2 ）为圆心，
D 2 E 2 4 F 为半径的圆。
E （2）当D 2 E 2 4 F 0时，方程（ 2）只有实数解x D , y 2 2 ,
圆的一般方程
教学目标
掌握圆的一般方程及一般方程的特点 能将圆的一般方程化为圆的标准方程 能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 培养学生数形结合思想,方程思想,提高学 生分析问题及解决问题的能力.
重点难点
重点:圆的一般方程及一般方程的特点 难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法 求圆的方程.
课堂小结
圆的一般方程及特征;圆的一般方程与二元 二次方程一般式的关系. 用待定系数法求圆的方程时,注意根据已知 条件及圆的两种形式的特点,合理选择圆的 方程形式. 作业布置: 课本P82习题7.6的5,6,7,8.
例题讲解
例1 (1)A=C≠0是方程AX2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的 ( B )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充 分也不必要. (2)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 ( B )
圆的一般方程点在圆外
圆的一般方程点在圆外
当点在圆外时，其到圆心的距离会大于圆的半径。
通过解圆的一般方程来求得点与圆心的距离，并与半径进行比较，可以判断点是否在圆外。
首先，我们知道圆的一般方程为 (x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0)，其中 (D) 和 (E) 是圆心坐标，(F) 是半径的平方。
假设点 (P(x_0, y_0)) 在圆外，那么它到圆心的距离 (d) 应该大于半径(r)。
根据点到圆心距离的公式，我们有
(d = \sqrt{(x_0 - D)^2 + (y_0 - E)^2})同时，根据圆的一般方程，我们有
(r^2 = D^2 + E^2 - F)由于点 (P) 在圆外，所以 (d > r)，即
(\sqrt{(x_0 - D)^2 + (y_0 - E)^2} > \sqrt{D^2 + E^2 - F})两边平方后化简，得到
(x_0^2 - 2x_0D + D^2 + y_0^2 - 2y_0E + E^2 > D^2 + E^2 - F)整理后得到
(x_0^2 + y_0^2 - 2x_0D - 2y_0E + F > 0)这正是圆的一般方程的形式。
因此，如果一个点满足圆的一般方程，那么它一定在圆内；如果一个点不满足圆的一般方程，那么它一定在圆外。
需要注意的是，这里的判断是基于点到圆心距离和半径的比较。
如果一个点在圆上或者与圆心的距离正好等于半径，那么它既不在圆内也不在圆外。
圆的一般方程
2
当a 2 b2 0时
表示以（-a，0）为圆心，以 径的圆
a b 为半
2 2
当a2 b2 0时
表示点（-a，0）
练习
P134 练习 1 （1）圆心（3，0），r=3 （2）圆心（0，-b），r=|b| （3）圆心（a， 3 a），r=|a|
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2
2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
解析几何
4.1.2圆的一般方程
点到直线距离公式
y
S Q l : Ax By C 0
d
R
P0 (x0,y0)
O
d
| Ax0 By0 C | A2 B 2
x
注意： 化为一般式．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O C x
( x a ) ( y b) r
配方得
( x 1) ( y 2) 4
2 2
(2) x y 2x 4 y ）为圆心，以2为半径的圆 配方得
( x 1) ( y 2) 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
练习
判断下列方程是不是表示圆
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
圆的一般方程
D2E24F0时，此方程表示以
D 2
,
E 2
为圆心, 1 D2 E2 4F为半径的圆；
2
(2)当 D 2E24F0时，此方程只有实数解 ，
x
D, 2
y
E 2
即只表示一个点
D 2
,
E 2
;
(3)当 D2E24F0时，此方程没有实数解，因
的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是 x0, y0
由于点B的坐标 (4,3)且M是线段AB的中点，所
以 x
x0
4 ,
y
y0
3 ,
2
2
①
于是有x0 2x4, y0 2y3
圆的一般方程
【变形训练】
因为点A在圆 x12y2 4上运动，所以点A的
坐标满足方程 x12y2 4 ,
上，代入圆的方程并化简，得
D E F 2
D
4E
F
17
,
解4D得D2＝E－ F7， E＝20－3，F＝2
∴所求圆的方程为 x2y27x3y20.
圆的一般方程
【变形训练】
1、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），
端点A在圆上x12y2 4运动，求线段AB
注：在圆的一般方程 x2y2D xE yF0 中，系数D、E、F必须满足 D2E24F0
圆的一般方程
【典型例题】
2、求经过三点A(1,－1)、B(1,4) 、C(4,－2)的圆 的方程.
解：设所求圆的方程为 x2y2D xE yF0, ∵ A(1,－1)、B(1,4) 、C(4,－2)三点在圆
圆的一般方程
解：设所求圆的方程为：
( x a ) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 0 表示点（2，3）
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2
2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a ) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 0 表示点（2，3）
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2
2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
圆的一般方程(用)
y=-E/2，表示一个点（
D 2
,
E 2
）.
( x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
圆的一般方程：
所以 x x0 4 , y y0 3
整理得
x0
2
2x
4,
2
y0
2y
3.
又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足
y B
AM
o
x
方程，又有（x0+1）2+y02=4
所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4
整理得 (x 3)2 ( y 3)2 1
所以，点Ｍ的2轨迹是以2（ 3，3 ）为圆心，１为半径的圆
解2:设圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r2 r 5
.
（-1，0） O
.
A(3,0)
x
62 4 (9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例
例4. 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）
圆的一般方程
（1）任何一个圆的方程都可以写成： x2 y2 Dx Ey F 0 的形式 ，
（3）要画出圆的图象，必须要知道圆心坐标和半径，因此应 掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法。
作业：
习题7.6 5，6，7，8
习题 7.6
3
3. 已知一个圆的直径的端 点是 A( x1，y1)、B( x2，y2)， 求证圆的方程是 ( x x1)(x x2) ( y y1)( y y2) 0 .
圆的方程为 x 2 y 2 2x 4 y 8 0或x 2 y 2 6x 8 y 0
例3：求经过点A(2,4)及B(3,1)，且在x轴上 截得的弦长等于6的圆的方程。
2 解三： ( x a) ( y b) r（ *） 2
2
分析：（a,b）在线段AB的垂直平分线上, AB的垂直平分线方程： 所以：a-b+1=0 且满足
问：二元二次方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是什么？
（1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0； （2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 .
2 2 E F 2D D E F 2 2 ( 3 ) ( ) ( ) 4 ( )0 x y x y 0 （ 3） D + E 4AF > 0 AA A A AA
比较圆的标准方程和圆的一般方程：
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 圆的标准方程
2 2 ( D E 4F 0) 圆的一般方程 x y Dx Ey F 0
2
2
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，
而圆的一般方程和 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 比较，突出了 方程形式上的特点： （1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0； （2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 .
圆的方程公式一般式
圆的方程公式一般式
圆是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和特点。
圆的方程公式一般式为x^2 + y^2 = r^2，其中(x, y)是圆上任意一点的坐标，r是圆的半径。
圆的美妙之处在于它的完美对称性和无限延伸性。
无论我们从哪个角度观察，圆都是一样的，没有任何尖锐的边缘或角落。
这种和谐的形状给人一种安心和宁静的感觉。
在自然界中，我们可以看到许多圆形的事物。
例如，太阳是一个巨大的圆形物体，它给我们带来温暖和光明。
月亮也是一个圆形的天体，它的光芒在黑暗的夜空中照亮了我们的世界。
圆也在人类的日常生活中扮演着重要角色。
例如，我们常见的钟表就是圆形的，它帮助我们记录时间，让我们能够高效地组织我们的生活。
轮胎也是圆形的，它们给汽车提供了平稳的行驶和舒适的乘坐体验。
除了实际应用，圆也在艺术领域中得到了广泛的运用。
许多艺术家喜欢使用圆形来表达他们的创作理念。
圆的柔和曲线和无限延伸的特性使得它成为了许多优美画作和雕塑的主题。
总的来说，圆作为一个数学概念和几何形状，具有丰富的内涵和广泛的应用。
它不仅存在于自然界和我们的日常生活中，还在艺术中扮演着重要角色。
圆给人一种和谐、完美和平静的感觉，让我们感
受到宇宙中的秩序和美丽。
无论是在数学上还是在现实生活中，圆都是一种令人赞叹的形状。
圆的一般方程
x y8 0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)，B(x2， y2)，则以线段y AB为P 直径的圆方程如何？
B A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
例题分析
例1：求过三点A（0，0），M1（1，1），M2（4，2） 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
第一课时
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆 的标准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
解：设所求的圆的方程为： x2 y2 Dx Ey F 0
A（0，0）， M1 （1，1）， M2 （4，2)在圆
上 F 0
D
E
F
2
∵
0
D 8, E 6, F 0
新疆 王新敞
学案
4D 2E F 20 0
x y 8x 6y 0 2 2
新疆 王新敞
学案
r1
DF D2 E2 4F 5 4, 3
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）
二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系:
1、A ＝ C ≠ 0 2、B=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)，B(x2， y2)，则以线段y AB为P 直径的圆方程如何？
B A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
例题分析
例1：求过三点A（0，0），M1（1，1），M2（4，2） 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
第一课时
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆 的标准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
解：设所求的圆的方程为： x2 y2 Dx Ey F 0
A（0，0）， M1 （1，1）， M2 （4，2)在圆
上 F 0
D
E
F
2
∵
0
D 8, E 6, F 0
新疆 王新敞
学案
4D 2E F 20 0
x y 8x 6y 0 2 2
新疆 王新敞
学案
r1
DF D2 E2 4F 5 4, 3
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）
二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系:
1、A ＝ C ≠ 0 2、B=0
圆的一般方程
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆 的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的 一般方程用待定系数法求解.
所求圆的方程为
a=4 b=-3 r=5
即（x-4）2+（y+3）2=25
求过三点O(0,0)，A(1,1),B(4,2)的圆的方程. y
方法三： 几何方法
0 A(1,1) B(4,2)
x
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x 2 y 2 Dx Ey F 0 2 D E 2 4F 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 一般方程
（代数形式）
展开
配方
标准方程(圆心,半径)
（几何特征）
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(用配方法求解)
小结
4. 要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
2 2
( x 1) ( y 2) 4 圆心（1，-2），r=2
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0 2 2 ( x 1) ( y 2) 1 不是圆
2 2
方程x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
(1) x y 2x 4 y 1 0
2.3.2 圆的一般方程
复习
圆的标准方程是什么？
x a y b
2
2
r
2
这个方程表示的圆的圆心是
( a , b )，半径是 r
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2
4.1.2圆的一般方程
D E y=-E/2，表示一个点（ , ）. 2 2
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所
以不表示任何图形.
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
一般方程的特点： 1. x2与y2系数相同并且不等于0； 2.没有xy这样的二次项 3.D2+E2-4F>0
变式训练2
如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A 是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上 运动时，线段PA的中点M的轨迹方程是什么？
y
答案: (x-6)2+y2=4
x
o
课堂小结
1. 圆的一般方程的定义及特点
2 2 x y Dx Ey F 0 2 2 D E 4F 0
令 2a D,2b E , a b r F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线是圆呢？
练习 1. P.123练习第3题.
2. 已知一曲线是与两定点O(0, 0),A(3, 0)
的距离的比为 的点的轨迹，求这个
曲线的方程，并画出曲线
解：设点M(x,y)是曲线C的任意一点，也就是M属于集合 OM P＝ M ＝1 2 AM 2 2 ( x ＋ y ) ＝ 1 点M所适合的条件可以表示为: ① 2 2 2 2 2 (x － 3 ) ＋ y x ＋ y 1 将①式两边平方得： ＝ ( x －3)2＋y2 4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所
以不表示任何图形.
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
一般方程的特点： 1. x2与y2系数相同并且不等于0； 2.没有xy这样的二次项 3.D2+E2-4F>0
变式训练2
如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A 是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上 运动时，线段PA的中点M的轨迹方程是什么？
y
答案: (x-6)2+y2=4
x
o
课堂小结
1. 圆的一般方程的定义及特点
2 2 x y Dx Ey F 0 2 2 D E 4F 0
令 2a D,2b E , a b r F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线是圆呢？
练习 1. P.123练习第3题.
2. 已知一曲线是与两定点O(0, 0),A(3, 0)
的距离的比为 的点的轨迹，求这个
曲线的方程，并画出曲线
解：设点M(x,y)是曲线C的任意一点，也就是M属于集合 OM P＝ M ＝1 2 AM 2 2 ( x ＋ y ) ＝ 1 点M所适合的条件可以表示为: ① 2 2 2 2 2 (x － 3 ) ＋ y x ＋ y 1 将①式两边平方得： ＝ ( x －3)2＋y2 4
圆的一般方程
x
解：设点M的坐标是（x, y ),点A的坐标是（x0 , y0 ). 由于点B的坐标是（ 4,3），且点M是线段AB的中点， x0 4 y0 3 x ,y , 于是有： 2 2 x0 2 x 4, y0 2 y 3 （x 1) y 4，即（x0 1) y0 4
②没有xy这样的二次项 圆 的 标 准 方 程
圆 的 一 般 方 程
展 开 整 理
( x a) ( y b) r
2 2
2
标准方程易于看出圆心与半径
当(D2+E2-4F>0)时，配方
例 题
讲解
例4（课本P122）
求过三点O（0,0）M （ ），M （ ）的圆 1 1,1 1 4,2 的方程，并求这个圆的 半径长和圆心坐标。
(1) x 2 y 2 2 x 4 y 1 0, (2) x y 2 x 4 y 6 0
2 2
(1) x y 2x 4 y 1 0
2 2
配
2
方
2
( x 1) ( y 2) 4
(2) x y 2x 4 y 6 0
(2)
配
方
①
D 2 E 2 D 2 E 2 4F （x ) ( y ) 2 2 4
1 当D 2 E 2 4F 0时，方程 (2) 表示 D E D E 4F 以( , )为圆心， 为半径的圆 2 2 2
2 2
2 当D 2 E 2 4 F 0时，方程（ 2）只有实数解 D E D E x , y ，它表示一个点 ( , )。 2 2 2 2
2 2
由于a, b, r均为常数
圆的标准方程与一般方程的互化
圆的标准方程与一般方程的互化圆的标准方程与一般方程是用来描述圆的数学方程形式。
它们可以相互转化，具体如下：1. 圆的标准方程：圆的标准方程是一种常用形式，以圆心坐标(h, k) 和半径r 为参数。
标准方程形式为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中，(x, y) 是圆上的任意点。
2. 圆的一般方程：圆的一般方程是另一种常用形式，以圆心坐标(a, b) 和半径r 为参数。
一般方程形式为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0其中，D、E 和 F 是常数。
互化过程如下：●从标准方程到一般方程：为了将标准方程转化为一般方程，我们需要进行一些代数运算。
首先，对标准方程两边进行展开：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2得到：x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = r^2然后，将这个等式重写为一般方程的形式：x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0将此表达式与一般方程的形式进行比较，我们可以得到：D = -2hE = -2kF = h^2 + k^2 - r^2●从一般方程到标准方程：为了将一般方程转化为标准方程，我们可以通过完成平方项来实现。
假设一般方程为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0我们可以将一般方程重写为完全平方的形式：(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = - F然后，完成平方项：(x + D/2)^2 - (D/2)^2 + (y + E/2)^2 - (E/2)^2 = - F化简后得到标准方程的形式：(x + D/2)^2 + (y + E/2)^2 = (D/2)^2 + (E/2)^2 - F比较这个表达式与标准方程的形式，我们可以得到：h = -D/2k = -E/2r^2 = (D/2)^2 + (E/2)^2 - F通过这些变换，我们可以在标准方程和一般方程之间相互转换。
圆的一般方程
4、下列方程各表示什么图形： （1） x2+y2=0 （2） x2+y2-2x+4y-6=0 （3） x2+y2+2ax +1=0
例1.已知△ABC的顶点A(0,0),B(1,2),
C(-2,4).求△ABC的外接圆方程.
例2.已知圆经过点A(1,2),B(-2,4),并且
圆心在直线x-2y+1=0上,求这个圆的方 程.
例3、已知线段AB的端点B的坐标是
2 2 （4，3），端点A在圆 ( x 1 ) y 4 上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
例4.
自点A(-3，3)发射的光线L 射到x轴上 并被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆: X2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线 Y 的方程. A(-3，3)
圆的一般方程
我们知道，以C（a, b）为圆心, r为半径 的圆的标准方程为： （x-a）2+(y-b)2=r2 展开整理得： X2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 记 D=-2a ,E=-2b,F=a2+b2-r2 得到方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
①
圆的一般方程
提问：方程①表示的曲线是不是圆呢？
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
表示圆， 时，
D E 圆心 - , 2 2
（2）当 （3）当
D2 E 2 4F r 2 D E - , D2 E 2 4F 0 时，表示点 2 2
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（1）配方得：(x-1)2+(y+2)为圆心，2为半径长的圆 （2）配方得：(x-1)2+(y-2)2=-1 ）配方得： 由于不存在点的坐标（ ， ）满足方程， 由于不存在点的坐标（x，y）满足方程，所以不表示 任何图形
探究： 探究：
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下 表示圆？ 表示圆？
配方后整理得： 配方后整理得：
D + E = D +E (x+ ) ( y + ) 4 2 2
2
2
2
2
4F
2+E2-4F>0时，表示以（ D , E ） （1）当D ） 时 表示以（
为圆心， 为圆心，(
1 D2 + E2 4F ) 2
r
新课： 新课：
圆的标准方程: 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 展开得:x 展开得 2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 令：-2a=D; -2b=E; a2+b2-r2=F 得 任何圆的方程都可以通过展开化成形如： 任何圆的方程都可以通过展开化成形如：
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x
）为
此时我们称方程: 此时我们称方程:
2 ） x 2 + y + Dx + Ey + F = 0 （D2+E2-4F>0）
叫做圆的一般方程． 叫做圆的一般方程．
思考： 思考：
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
（1）形式不同：(x-a)2+(y-b)2=r2 形式不同：(x- +(yx2+y2+Dx+Ey+F=0 圆的一般方程的特点: （2）圆的一般方程的特点: 的系数为1 (a)x2 , y2 的系数为1 (b)没有 y项 没有x (b)没有x y项 (c)D2 +E2 -4F＞0 4F＞ 圆的标准方程几何特征明显，明确指出了圆的圆心及半径 圆的标准方程几何特征明显，明确指出了圆的圆心及半径 几何特征明显 圆的一般方程代数特征明显，突出了方程形式上的特点. 圆的一般方程代数特征明显，突出了方程形式上的特点. 代数特征明显
例2：
求过三点O 求过三点O（0，0），M1（1，1 ）， M 2 ），M1（ M1 的圆的方程， （4，2 ）的圆的方程，并求其圆心坐标和半 径。 解：设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 因为O,M1,M2,在圆上，所以有 在圆上， 因为 在圆上 F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 于是所求方程是 x2+y2-8x+6y=0 圆心坐标是（ ， ），半径r=5. ），半径 圆心坐标是（4，-3），半径
圆的一般方程与 标准方程在运用上的比较
(1)若已知圆心和半径求圆的方程, (1)若已知圆心和半径求圆的方程,我们一般采用圆的标 若已知圆心和半径求圆的方程 准方程求解. 准方程求解. (2)若已知三点求圆的方程, (2)若已知三点求圆的方程,我们一般采用圆的一般方程 若已知三点求圆的方程 用待定系数法求解. 用待定系数法求解.
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型， 分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应 按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出. 按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出. 解：设点M(x,y)是曲线 的任意一点，也就是M属于集合 设点 是曲线C的任意一点，也就是 属于集合 是曲线 的任意一点 OM P＝ M ＝1 2 AM ( x 2＋y2 ) ＝ 1 所适合的条件可以表示为: 点M所适合的条件可以表示为 所适合的条件可以表示为 2 ① 2 (x －3 )＋y 2 ＋ x2 ＋ y 2 1 式两边平方得： 将①式两边平方得： 2 2＝ 4 ( x －3) ＋y
的方程。 的方程。
思考：
形如
2 x 2 + y + Dx + Ey + F = 0
方程的曲线是不是都表示圆？ 方程的曲线是不是都表示圆？
表示什么图形？ （1）方程 2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？ ）方程x 表示什么图形 表示什么图形？ （2）方程 2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形？ ）方程x 表示什么图形
2 2 化简得： x ＋ y ＋2x－3＝0 ② 化简得：
这就是所求的曲线方程。 这就是所求的曲线方程。
例3：
已知线段AB的端点 的坐标是 端点A 已知线段 的端点B的坐标是 的端点 的坐标是(4,3),端点 在圆 端点 (x+1)2+y2=4 上运动，求线段 的中点 的轨迹 上运动，求线段AB的中点 的中点M的轨迹 方程. 方程
圆的一般方程
复习: 复习:
圆的标准方程的形式是怎样的？ 圆的标准方程的形式是怎样的？
2+(y-b)2=r2 (x-a)
其中圆心的坐标和半径各是什么？ 其中圆心的坐标和半径各是什么？
（a， ，
特别地， 表示圆心在坐标原点半径为r的圆 特别地，方程x2+y2=r2表示圆心在坐标原点半径为 的圆
b） ）
2
2
为半径长的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一个解 ） 时
D E X=-D/2，y=-E/2，表示一个点（ 2 , 2 ） ， ，表示一个点（
实数解， （3）当D2+E2-4F＜0时，方程没有实数解， ） ＜ 时 不表示任何图形
定义： 定义：
D E 当D2+E2-4F>0时，方程表示以（ 2 , 2 时 方程表示以（ 圆心，（ 为半径长的圆。 圆心，（ 1 D2 + E2 4F）为半径长的圆。 2
例1：
(1)A=C≠0是方程A (1)A=C≠0是方程AX2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的( B +Dx+Ey+F=0表示圆的( 条件 A.充分不必要 B.必要不充分 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要. C.充要 D.既不充分也不必要. (2)方程x (2)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 +4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 ( B ) A：1/4<m<1 B:m<1/4或m>1 C:m<1/4 D: m>1 B:m<1/4或 )
待定系数法：
用“待定系数法”求圆的方程的步骤： 待定系数法”求圆的方程的步骤： （1）根据题意设所求圆的方程为标准方程或一般方 程； 的方程； （2）根据条件例出关于a，b，r或D﹑E﹑F的方程； 解方程组， 的值， （3）解方程组，求出a，b，r或D﹑E﹑F的值，代入 所设方程
已知一曲线是与两定点O(0,0)、P(3,0)距离的比为 、 已知一曲线是与两定点 距离的比为 1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。 的点的轨迹， 的点的轨迹 求此曲线的方程，并画出曲线。
小结 ：
（1）圆的一般方程及其特点． ）圆的一般方程及其特点． （2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准 ） 方程，求圆心坐标和半径． 方程，求圆心坐标和半径．(也可以用公式 求） （3）用待定系数法求圆的方程． ）用待定系数法求圆的方程．
作业： 作业： ）（4 P90 5，6（2）（4）
探究： 探究：
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下 表示圆？ 表示圆？
配方后整理得： 配方后整理得：
D + E = D +E (x+ ) ( y + ) 4 2 2
2
2
2
2
4F
2+E2-4F>0时，表示以（ D , E ） （1）当D ） 时 表示以（
为圆心， 为圆心，(
1 D2 + E2 4F ) 2
r
新课： 新课：
圆的标准方程: 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 展开得:x 展开得 2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 令：-2a=D; -2b=E; a2+b2-r2=F 得 任何圆的方程都可以通过展开化成形如： 任何圆的方程都可以通过展开化成形如：
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x
）为
此时我们称方程: 此时我们称方程:
2 ） x 2 + y + Dx + Ey + F = 0 （D2+E2-4F>0）
叫做圆的一般方程． 叫做圆的一般方程．
思考： 思考：
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
（1）形式不同：(x-a)2+(y-b)2=r2 形式不同：(x- +(yx2+y2+Dx+Ey+F=0 圆的一般方程的特点: （2）圆的一般方程的特点: 的系数为1 (a)x2 , y2 的系数为1 (b)没有 y项 没有x (b)没有x y项 (c)D2 +E2 -4F＞0 4F＞ 圆的标准方程几何特征明显，明确指出了圆的圆心及半径 圆的标准方程几何特征明显，明确指出了圆的圆心及半径 几何特征明显 圆的一般方程代数特征明显，突出了方程形式上的特点. 圆的一般方程代数特征明显，突出了方程形式上的特点. 代数特征明显
例2：
求过三点O 求过三点O（0，0），M1（1，1 ）， M 2 ），M1（ M1 的圆的方程， （4，2 ）的圆的方程，并求其圆心坐标和半 径。 解：设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 因为O,M1,M2,在圆上，所以有 在圆上， 因为 在圆上 F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 于是所求方程是 x2+y2-8x+6y=0 圆心坐标是（ ， ），半径r=5. ），半径 圆心坐标是（4，-3），半径
圆的一般方程与 标准方程在运用上的比较
(1)若已知圆心和半径求圆的方程, (1)若已知圆心和半径求圆的方程,我们一般采用圆的标 若已知圆心和半径求圆的方程 准方程求解. 准方程求解. (2)若已知三点求圆的方程, (2)若已知三点求圆的方程,我们一般采用圆的一般方程 若已知三点求圆的方程 用待定系数法求解. 用待定系数法求解.
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型， 分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应 按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出. 按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出. 解：设点M(x,y)是曲线 的任意一点，也就是M属于集合 设点 是曲线C的任意一点，也就是 属于集合 是曲线 的任意一点 OM P＝ M ＝1 2 AM ( x 2＋y2 ) ＝ 1 所适合的条件可以表示为: 点M所适合的条件可以表示为 所适合的条件可以表示为 2 ① 2 (x －3 )＋y 2 ＋ x2 ＋ y 2 1 式两边平方得： 将①式两边平方得： 2 2＝ 4 ( x －3) ＋y
的方程。 的方程。
思考：
形如
2 x 2 + y + Dx + Ey + F = 0
方程的曲线是不是都表示圆？ 方程的曲线是不是都表示圆？
表示什么图形？ （1）方程 2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？ ）方程x 表示什么图形 表示什么图形？ （2）方程 2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形？ ）方程x 表示什么图形
2 2 化简得： x ＋ y ＋2x－3＝0 ② 化简得：
这就是所求的曲线方程。 这就是所求的曲线方程。
例3：
已知线段AB的端点 的坐标是 端点A 已知线段 的端点B的坐标是 的端点 的坐标是(4,3),端点 在圆 端点 (x+1)2+y2=4 上运动，求线段 的中点 的轨迹 上运动，求线段AB的中点 的中点M的轨迹 方程. 方程
圆的一般方程
复习: 复习:
圆的标准方程的形式是怎样的？ 圆的标准方程的形式是怎样的？
2+(y-b)2=r2 (x-a)
其中圆心的坐标和半径各是什么？ 其中圆心的坐标和半径各是什么？
（a， ，
特别地， 表示圆心在坐标原点半径为r的圆 特别地，方程x2+y2=r2表示圆心在坐标原点半径为 的圆
b） ）
2
2
为半径长的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一个解 ） 时
D E X=-D/2，y=-E/2，表示一个点（ 2 , 2 ） ， ，表示一个点（
实数解， （3）当D2+E2-4F＜0时，方程没有实数解， ） ＜ 时 不表示任何图形
定义： 定义：
D E 当D2+E2-4F>0时，方程表示以（ 2 , 2 时 方程表示以（ 圆心，（ 为半径长的圆。 圆心，（ 1 D2 + E2 4F）为半径长的圆。 2
例1：
(1)A=C≠0是方程A (1)A=C≠0是方程AX2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的( B +Dx+Ey+F=0表示圆的( 条件 A.充分不必要 B.必要不充分 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要. C.充要 D.既不充分也不必要. (2)方程x (2)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 +4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 ( B ) A：1/4<m<1 B:m<1/4或m>1 C:m<1/4 D: m>1 B:m<1/4或 )
待定系数法：
用“待定系数法”求圆的方程的步骤： 待定系数法”求圆的方程的步骤： （1）根据题意设所求圆的方程为标准方程或一般方 程； 的方程； （2）根据条件例出关于a，b，r或D﹑E﹑F的方程； 解方程组， 的值， （3）解方程组，求出a，b，r或D﹑E﹑F的值，代入 所设方程
已知一曲线是与两定点O(0,0)、P(3,0)距离的比为 、 已知一曲线是与两定点 距离的比为 1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。 的点的轨迹， 的点的轨迹 求此曲线的方程，并画出曲线。
小结 ：
（1）圆的一般方程及其特点． ）圆的一般方程及其特点． （2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准 ） 方程，求圆心坐标和半径． 方程，求圆心坐标和半径．(也可以用公式 求） （3）用待定系数法求圆的方程． ）用待定系数法求圆的方程．
作业： 作业： ）（4 P90 5，6（2）（4）