第六七八章线性方程的数值解
解线性方程组的数值解法
例题
第一步：-2 x（1）+(3)得
x x x 6 1 2 3 4 x2 x3 5 4 x2 x3 11
高斯顺序消去法
(3)if 1) a nn 0 then 输出算法失败信息 , 并停机else做
bn x n bn / a nn；
2)对i n 1,...,2,1做 bi xi (bi
j i 1
a
n
ij
x j ) / aii；
3)det ( A) a11 a 22 ...a nn； (4)输出：方程组的解 xi (i 1,2,...,n), 系数矩阵A的行列式的值det(A)
高斯顺序消去法
( 2) (1) aij aij li1a1(1j) (1) aij 1) (1) ai(1 a1 j
a
(1) 11
(i 2,...,n; j 2,...,n)
bi( 2) bi(1) b1(1)li1
(1) a (1) bi(1) i(1 . b (i 2,...,n) 1) 1 a11
高斯顺序消去法
设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b 1、第一次消元。设 aii 0
1) ai(1 第一行 ( (1) ) 第i行（i 2， 3， ..., n） a11 1) ai(1 令li1 (1) , i 2,3,...,n a11 (1) (1) ) a11 a11 ...... a1(1 n ( 2) ( 2) a ...... a （1） 22 2n A A ( 2) ...... ( 2) ( 2) an 2 ...... ann ( 2) ( 2) T b (1) b ( 2 ) [b1(1) b2 ...... bn ]
浅谈线性方程组的数值解法及其应用
浅谈线性方程组的数值解法及其应用1、相关定义1.1、分形油藏基本概念定义3.1[32]:维数为的分形渗透网嵌入到d(d=2,3)维岩块中,即整个导流系统是一个分形体,称具有这种特性的油藏为分形油藏。
df 3.1.1 分形孔隙度θf和渗透率Kf (r) 假设分形体内流体储集在体积为的座点处(设每个座点体积相同),座点密度为。
分形体中,座点孔隙体积为常数。
用描述某种相应对称性(如, Vs N( r ) Vs B B= A 2π h和4π 分别描述直线对称,圆柱面对称和球对称),a为位置-浓度参数[33], 为岩块的欧几里德维数,定义分形孔隙度d θf有: θf= aBVs rdf ?d (3-1) 这说明分形网格的θf 不再是常数,而是随波及半径r 成幂律关系。
取,则有: w r =r df d f w w r θ θr θw=aVBs rwd f ? d,得到分形孔隙度= ,θw 为r = rw 处的孔隙度。
同样渗透率定义为:Kf( r)= aVsB m rd f ?d ? θ (3-2) ( ) r= rw处的渗透率Kw=aVs Bm r wdf ?d ?θ ,得到渗透率Kf r= Kw rrw d f? d ?θ 。
3.1.2 分形参数的物理意义(1)分形维数df 分形维数df 严格地是一个分形体的几何特征,是分形体复杂程度的重要标志。
一般认为,d f值不同,复杂程度也不一样。
随复杂程度加剧,d f 值会愈高。
151.2、分数阶的基本定义从十七世纪分数阶微积分诞生之日起,数学家们就不断的探讨分数阶算子的理论体系。
后经多位数学家的努力,从不同的角度入手,建立了多种不同形式的分数阶算子定义,现在主要通用的三种定义[1]形式为: (1). Grümwald-Letnikov 定义:对于任意的实数α ,记α 的整数部分为[α ] ([α ] 为小于α 的最大整数),假如函数f ( t ) 在区间[α,t ]上有m+ 1 阶连续的导数,α > 0 时, m 至少取[α ],则定义分数阶α 阶导数为: ( ) li0m 0 ( ) n G aD tα f tΔ nhh→ =t ?a h ?α i =∑ ??? ?iα ??? f t ? ih (1-1) ( )( 1)( 2) ( 1) ! i i i 其中,?α = ?α ?α + ?α + L ?α + ? 。
第三章线性方程组数值解法
a 11 Di xi , D det( A ), D i det D a n1
a 1i 1
b1 bn
a1i 1 a ni 1
a ni 1
a1 n a nn
第3章
线性方程组的数值解法
但Gram法则不能用于计算方程组的解，如n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年
所以，Gauss消元法的可行条件为： a ( k ) 0 kk
《 计 算 方 法 与 实 习 》
因此，有些有解的问题，不能用Gauss消元求解
另外，如果某个 a kk
(k )
很小的话，会引入大的误差
第3章
线性方程组的数值解法
高斯主元素消元法是消去法的一种改进。它的基
本思想是在逐次消元时总是选绝对值最大的元素(称之 为主元)做除数,按消元法的步骤消元。
《 n次运算 ① 计 算 方 A diag ( a , a , , a ) x b i , i 1, , n 11 22 nn i 法 a ii 与 实② （n＋1）n/2次运算 习 i 1 》 l11
l 21 A l n1
l 22 ln 2 l nn
《 解线性方程组的方法可以分为2类： 计 ①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的,但由于计算中有舍入误差,故 算 得到的也是近似解. 方 法 ②迭代法：速度快，但有误差（雅可比迭代法、高斯—赛得尔迭代法） 与 实 习 》
第3章
线性方程组的数值解法
3.2 消元法
我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：
运算量： (n-2)*(1+n-1)=(n-2)n
数值计算08-线性方程组数值解法(优选.)
0
(k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。
引理
A的主元素
a(k) kk
0
(k=1,2,…,n) 的充要条件
是矩阵A的各阶顺序主子式不为零，即
a11
a1k
D1 a11 0 Dk
0, k 2, 3, , n
ak1
akk
定理2 Ax=b 可用高 斯消元法求解的充分必要条件是： 系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。
Page 5
线性代数方程组的计算机解法常用方法：
直接法 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
Page 6
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原
始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
a(k) ik
a(k) kk
aijk
mik
a
k
kj
bik1 bik mikbkk
xn
bnn annn
bii
n
a
i
ij
x
j
,
xi
ji1
aiii
i, j k 1, k 2,, n
i n 1,,2,1
高斯消元法的条件
Page 20
定理1
如果在消元过程中A的主元素
a(k) kk
即:
a111
a112 a222
a11n a22n
x1 x2
bb1212
an22
an2n
xn
bn2
其中：
数值分析第7-8章
作为主元素 解：选择所有系数中绝对值最大的40作为主元素， 选择所有系数中绝对值最大的 作为主元素， 交换第一、二行和交换第一、 交换第一、二行和交换第一、二列使该主元素位于 对角线的第一个位置上， 对角线的第一个位置上，得 40x2 - 20x1 + x3 =4 -19x2+10x1 - 2x3=3 4x2+ x1 +5x3=5 (4) (5) (6)
(5)- l21(4), (6)- l31(4)得
x2 – 1.5x3=5 选6为主元素 为主元素 6x2 + 5.05x3=5.2 (9) x2 – 1.5x3=5 (10) 计算l 计算 32=1/6=0.16667， ， (10)- l32(9) 得 -2.34168x3=4.13332 (11) (7) 6x2 + 5.05x3=5.2 (8)
记笔记
计算l21=-19/40=0.475， l31=4/40=0.1 (5)- l21(4), (6)- l31(4)得
0.5x1 –1.525x3=4.9 3x1 + 4.9x3=4.6 选4.9为主元素 为主元素 4.9x3 + 3x1=4.6 1.525x3 +0.5x1=4.9 (7) (8) (9) (10)
| a i k , k | = max | a ik | ≠ 0
k ≤i≤n
10 − 9 例： 1
1 1
1 2
⇒
1 10 − 9
1 1
2 1
⇒
1 0
1 1
2 1
⇒
x2 = 1 ,
x1 = 1
注：列主元法没有全主元法稳定。 列主元法没有全主元法稳定。
例：用高斯消去法解方程组
线性方程组的数值解法
对每行计算乘数
mi1aa1i1111, i2,3,,n
用 mi1 乘以第1个方程，加到第 i个方程，消去
第 2个方程到第 n个方程的未知数x1 ，得 A2xb2
即:
a111
a112 a222
aa1212nnxx12
bb1212
an22 an2nxn bn2
其中： a bii2 2 j a bii1 1j m m ii1 1b a1 1 1 1j i,j2,3, ,n
an1 ann
x1
x
x n
b1
b
b n
若矩阵A非奇异，即A的行列式 deAt0，根据
克莱姆（Gramer）法则，方程组有唯一 解：
xi
Di D
i1,2, ,n
其中D表示 detA，D i 表示 D 中第 i列换成 b后
所得的行列式。
当阶数较高时用这种方法求解是不现实的。n阶行
综上所述，高斯消去法的框图如图3-1所示。从 中可看出高斯消去法的计算机运算和存储方式的特点：
1〉按消元规则进行运算后，对角线以下元素为0。 故对于对角线以下元素不用作计算，减小了计算量。
2〉对角线以下元素对回代求解无影响，故可将乘 数放在该处，即
a akikkaik,ik1,k2, ,n
以节省存储单元。
列式有 n项!，每项又是 个n数的乘积。对较大的 ，
其计n算量之大，是一般计算机难以完成的。而且， 这时的舍入误差对计算结果的影响也较大。
例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需 3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行 9.71020次 运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。
线性代数方程组的计算机解法常用方法：
线性方程组的数值解法详解演示文稿
n
非行零交判换断的次元数素最个多数为为：：kn1(1nnk1()n12kn)(n
k 1
1)
1 2
n(n
1)
二、矩阵三角分解法
设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n
x1
b1
A
a21
a22
a2
n
,
X
x2
,
b
b2
.
an1 an2 ann
xn
bn
矩阵三角分解法包括不选主元和选主元两种方法。
1、不选主元三角分解算法 当A非奇异时，可以将A作LU分解：
1 0
0 u11 u12 u1n
A
LU
l21
1
0
0
u22
,
ln1 ln,n1 1 0 0 unn
其中：(矩阵LU分解)
(1) u1 j a1 j (i 1,2,,n), li1 ai1 / u11(i 2,,n),
1
0 0
1
2，y
2 ,
x
0
.
1 1 1 0 0 1
1 1
§3 解线性方程组的迭代法
考虑线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2
a2n xn
b2
an1x1 an2x2 annxn bn
也就是
Ax=b.
进行矩阵分裂
A=M-N,
(2.1) (2.2)
其中
a1(11)
0
0
a1(12) a2(22)
an(22)
a1(1n) a2(2n)
an(2n)
线性方程组的数值解法及其应用
线性方程组的数值解法及其应用一、问题描述现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动。
这些现象大多是用若干个微分方程描述。
用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，得到线性方程组（离散问题，因为未知数的维数是有限的）。
因此线性方程组的求解在科学与工程中的应用非常广泛。
经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。
二、基本要求1）掌握用MATLAB软件求线性方程初值问题数值解的方法；2）通过实例学习用线性方程组模型解决简化的实际问题；3）了解用高斯赛德尔列主元消去法和雅可比迭代法解线性方程组。
三、测试数据1） 直接法：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];b=[52.90;38.44];2） 迭代法：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];b=[7.2;8.3;4.2];四、算法程序及结果1）function[RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnif RA==RBif RA==ndisp('因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')x=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);x(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1x(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.')endend测试：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];>> b=[52.90;38.44];>> [RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =2RB =2n =2x =10.00001.00002）function Jacobi(A,b,x0,P,error,max1)[n n]=size(A);x=zeros(n,1);for k=1:max1for j=1;nx(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:n])*x0([1:j-1,j+1:n]))/A(j,j);endxerrx=norm(x-x0,P);x0=x;x1=A\b;if(errx<error)disp('迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：')kx1xreturnendendif(errx>=error)disp('请注意：Jacobi迭代次数已经超过最大迭代次数max1.') end测试：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];>>b=[7.2;8.3;4.2];>>x0=[0;0;0];>>Jacobi(A,b,x0,inf,0.001,100)n =3x =0.7200迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：k =2x1 =1.10001.20001.3000x =0.7200五、应用举例1）营养学家配制一种具有1200卡，30g蛋白质及300mg维生素C的配餐。
线性方程组的数值解法LU分解法市公开课金奖市赛课一等奖课件
推论 2 D 并入 L，则
A (L D)R L U
此时， L 是下三角阵， U 是单位上三角阵，称之为
Crout 分解.
第8页
矩阵分解理论
推论 3 如果 A AT ,则A LDLT
其中，L 是单位下三角阵，D 是对角阵.
由a2 j l21u1 j 1 u2 j 得u2 j a2 j l2iu1 j ( j 2,3,..., n)；
再由ai2 li1u12 li2u22
得li 2
ai 2
li1u12 u22
(i 3,4,..., n)。
第14页
Doolittle分解
第k步时：计算ukk , ukk1,n j k
i 1
yi bi lij y j i 1,2,..., n j 1 n
xi ( yi uij x j ) / uii i n, n 1,...1 j i 1
x 可获解 (x1, x2 ,..., xn )T。
第18页
例题
例1.试用Doolittle分解求解方程组.
2 5 6 x1 10
3.5 LU分解法 我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相
称于用相应初等矩阵去左乘本来矩阵。因 此我们从这个观点来考察Gauss消元法并 用矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方 程组另一个直接法：矩阵三角分解。
第1页
高斯消元过程矩阵表示
第1步等价于
:
a (1) 11
0时，将a（211）, a（311）,..., a（n11）消零, 令li1
d1
令
U1
d2
d
n
第29页
第六章 方程组的数值解法
解：
2 2 1 2 0 1 7 8 0 9 2 1 1
x3 1 x2 8 7 x3 1 x1 2 2x2 2x3 2
2008年10月6日12时7分
2008年10月6日12时7分 沈阳航空工业学院飞机设计教研室
第14页，共42页
举例（二）
例：采用十进制八位浮点数，分别用Gauss消去法和
列主元Gauss消去法求解线性方程组: x1 x2 1 ( 109 )
x1 x2 2
x1
解： 精确解为
1 1 10 9
《计算方法》
方程组的 6 数值解法
主要知识点
★ 1、高斯消去法 ☆ 2、选主元素的高斯消去法 ☆ 3、矩阵的三角分解 ※ 4、方程组的迭代解法
2008年10月6日12时7分
沈阳航空工业学院飞机设计教研室
第2页，共42页
引言（一）
快速、高效地求解线性方程组是数值线性代数研究中 的核心问题，也是目前科学计算中的重大研究课题之一。 各种各样的科学和工程问题，往往最终都要归结为求 解一个线性方程组。 线性方程组的数值解法有：直接法和迭代法。
第11页，共42页
基本Gauss消元法的工作量 消元过程：
n 1 n 1
O(n )
n n n 2 n 3 3 3
3 3
3
乘 除 法 的 次 数
(n k ) (n k )(n 1 k )
k 1 k 1
n n 5n 3 2 6
回代过程：
3
2
加减法的次数
解：增广矩阵
线性方程组的数值解法
线性方程组的数值解法
10
第n-1次消元得到的等价上三角形方程组A(n)x = b(n)
a(1) 11
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
x1 x2
b(1) 1
b(2) 2
(2.1.7)
a(n) nn
绝对值很大，势必造成误差的严重扩散，使得
计算结果失真。
li k
a(k ) ik
/
a(k ) kk
,
a(1) 1n
a(2) 2n
x1 x2
b(1) 1
b(2) 2
a(k) kn
b(k ) k
a(k 1) k 1,n
b(k 1) k 1
a(k 1) nn
3 1
5 0
6 2
l32= 1/3
1 1 1 3 0 3 5 6 0 0 5 / 3 0
写成与原方程组等价的线性方程组为
2019/11/8
线性方程组的数值解法
13
等价的线性方程组为
x1 x2 x3 3, 3x2 5x3 6, 5 3 x3 0.
x3 3, 3x3
0,
x1 2x2 x3 5.
2019/11/8
七年级数学线性方程的解
七年级数学线性方程的解线性方程是数学中的重要概念，它在解决各类实际问题中起到了至关重要的作用。
在七年级的数学课程中，学生将开始学习线性方程及其解法。
本文将介绍七年级数学课程中线性方程的解法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、什么是线性方程在数学中，线性方程是形如“ax + b = 0”的方程，其中a和b是已知的常数，x是未知数。
其中，a称为线性方程的系数，b称为常数项。
线性方程由未知数x的一次项和常数项组成，通过解方程，我们可以找到使等式成立的x的值。
二、线性方程的解法1. 增减方法解线性方程的一种常用方法是增减方法，也称为加减消元法。
首先，我们要找到一个适当的数，使得方程中的某一项系数经过变换后相互抵消，从而得到一个更简单的方程。
接着，我们按照这个变换的顺序将原方程进行变换，直到得到一个简单的一元一次方程，最后求解得到方程的解。
举个例子，假设有一个线性方程3x + 5 = 14，我们可以通过增减方法解方程。
首先，我们将方程两边同时减去5，得到3x = 9。
然后，再将方程两边同时除以3，得到x = 3。
所以，方程的解为x = 3。
2. 代入方法除了增减方法外，另一种常用的解线性方程的方法是代入方法。
代入方法的基本思路是将已知的一个方程中的一个变量表示成另一个变量的表达式，然后将该表达式代入另一个方程中，从而得到一个更简单的方程。
最后，求解该简化后的方程，得到方程的解。
举个例子，假设有两个线性方程2x + 3y = 14和x + y = 7，我们可以通过代入方法解方程。
首先，将第二个方程中的y表示成x的表达式，得到y = 7 - x。
然后，将该表达式代入第一个方程中，得到2x + 3(7 - x) = 14。
将该方程进行化简，得到2x + 21 - 3x = 14。
继续化简，得到-x + 21 = 14。
最后，解出x = 7。
将该值代入第二个方程中，得到y = 7 - 7，即y = 0。
所以，方程的解为x = 7，y = 0。
线性方程的求解方法总结
线性方程的求解方法总结线性方程是数学中最基础的方程形式之一，其求解方法有多种，包括代入法、消元法、矩阵法等。
本文将对这些求解方法进行总结，并给出实例分析，以帮助读者更好地理解和应用线性方程的求解方法。
代入法是求解线性方程组的一种常用方法。
其基本思想是将一个未知数的表达式表示成另一个未知数的形式，并代入其他方程中进行求解。
例如，考虑以下线性方程组：2x + 3y = 8 ——（1）4x - 2y = 10 ——（2）首先，可以从（1）中解出 x 的表达式为：x = (8 - 3y) / 2。
然后将 x 的表达式代入（2）中，得到 4((8 - 3y) / 2) - 2y = 10。
通过化简和整理，最终可以得到一个关于 y 的一元一次方程。
求解这个方程，即可得到 y 的值。
将 y 的值代回 x 的表达式，即可求出 x 的值。
消元法是求解线性方程组的另一种常用方法。
其基本思想是通过变换方程组，将未知数逐个消去从而得到简化的方程组。
然后，通过反向代入的方式求解出各个未知数的值。
以下是一个实例来说明消元法的应用。
考虑以下线性方程组：2x + 3y - z = 1 ——（1）3x + 2y + z = 7 ——（2）x + 2y + 2z = 12 ——（3）先通过第一步消元，由（2）的系数3和（1）的系数2做第一次消元，得到以下新方程：7x + 10y = 17 ——（4）x + 2y + 2z = 12 ——（3）然后通过第二步消元，利用（4）和（3）中的系数进行第二次消元，得到以下新方程：11y + 14z = 20 ——（5）x + 2y + 2z = 12 ——（3）最后，用（5）和（3）中的系数再次进行第三次消元，得到最简化的方程：x + 2y + 2z = 12 ——（3）11y + 14z = 20 ——（5）现在我们可以通过反向代入来求解出 z、y 和 x 的值。
一旦得到这些值，就可以得到线性方程组的解。
线性代数方程组的数值解法_百度文库
线性代数方程组的数值解法【实验目的】1. 学会用MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。
【实验内容】【题目1】通过求解线性方程组A1x=b1和A2x=b2，理解条件数的意义和方程组的性态对解的影响。
其中A1是n阶范德蒙矩阵，即⎡1x0⎢1x1⎢A1=⎢⎢⎢⎣1xn-12x0x12 2xn-1n-1⎤ x0⎥ x1n-1⎥1,...,n-1 ，xk=1+0.1k，k=0,⎥ n-1⎥ xn-1⎥⎦A2是n阶希尔伯特矩阵，b1，b2分别是A1，A2的行和。
（1）编程构造A1（A2可直接用命令产生）和b1，b2；你能预先知道方程组A1x=和A2x=。
b2的解吗？令n=5，用左除命令求解（用预先知道的解可检验程序）b1（2）令n=5,7,9,…，计算A1，A2的条件数。
为观察它们是否病态，做以下试验：b1，b2不变，A1和A2的元素A1(n,n)，A2(n,n)分别加扰动ε后求解；A1和A2不变，b1，b2的分量b1(n)，分析A和b的微小扰动对解的影响。
b2(n)分别加扰动ε求解。
ε取10-1010，-8，10-6。
（3）经扰动得到的解记做x~，计算误差-x~x，与用条件数估计的误差相比较。
1.1构造A1，A2和b1，b2首先令n=5，构造出A1，A2和b1，b2。
首先运行以下程序，输出A1。
运行以下程序对A1,A2求行和：由于b1，b2分别是A1，A2的行和，所以可以预知x1=运行下列程序，用左除命令对b1，b2进行求解：得到以下结果： T。
x2=(1,1, ,1)1.2 计算条件数并观察是否为病态1.不加扰动，计算条件数。
运行以下程序：由此可知，A1，A2的条件数分别是3.574∗10, 4,766∗10。
2.b1，b2不变，A1(n,n)，A2(n,n)分别加扰动（1）n=5时设x11,x12,x13分别为A1添加扰动10−10，10−8,10−6后的解。
第六章：线性方程组的数值解法
l l
21 31
1
l
32
1
UX
l l u u u
n1 n2 11
l
12 22
n ( n 1)
... ... ...
( a11) n ( 2) a2n . . . (n a nn )
( x1 b11) x ( 2) 2 b2 . . . . . . ( n) x n bn
20
Doolittle分解法：
思 路 通过比较法直接导出L 和 U 的计算公式。
a11 ... a1n 1 . . l . . . . 21 1 . . . . ... . . . . . an1 ... ann l n1 ...
(n 30, 为9890)
通常也说Gauss消去法的运算次数与n3同阶，记为O(n3)
12
二、 选主元消去法
在高斯消去法消去过程中可能出现a 0的情况，这时 (k akk ) 0 但很小， 高斯消去法将无法进行；即使主元素 其作除数 ，也会导致其它元素数量级的严重增长和舍入 误差的扩散.
(1) If p k then 交换第 k 行与第p行; If q k then 交换第 k 列与第 q 列; (2) 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序， 解完后再换回来。
16
6.1.2 三角分解法
高斯消元法的矩阵形式 每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
记： 其中 1 l 21 1 L1 l 31 0 1 l n1 0 0 1
线性方程组
(2.10)的求解过程(2.11)称为回代.
22
如果 a11 0, 由于 A 为非奇异矩阵，所以 A 的第一列一 定有元素不等于零.
例如 a i11 0 , 于是交换两行元素(即 r1 ri1 ），将 a i11 调到(1,1)位置，然后进行消元计算，这时 A (2 ) 右下角矩阵 为 n 1 阶非奇异矩阵.
2
4.1.2 向量和矩阵
用 R mn 表示全部 m n 实矩阵的向量空间， C mn 表
示全部 m n 复矩阵的向量空间.
a11 a12 a1n
A R mn
A
( a ij
)
a
21
a 22
a
2n
a
m
1
am2
a mn
这种实数排成的矩形表，称为 m 行 n 列矩阵.
a ( k 1) ij
a (k ) ij
m ik
a (k ) kj
b ( k 1) i
b (k ) i
m
ik
b (k ) k
( i k 1, , m ; j k 1, , n ), ( i k 1, , m ).
显然 A ( k 1) 中从第1行到第 k 行与 A ( k ) 相同.
4
矩阵的基本运算：
(1) 矩阵加法 C A B , cij a ij bij ( A, B ,C R mn )
(2) 矩阵与标量的乘法 C A, cij aij .
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n2
L1b
(1)
A
(1)
L1
1
L 2 L n1 A L A LU
19
1
定理 1.1：如果Gauss消去法能顺序进行消去，则 矩阵A可进行三角分解，即A＝LU
注： （1） L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角阵的分 解称为Doolittle 分解 （2）L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分 解称为Crout 分解。
u11 ... ... 1
u1n . . . . . . unn
ai j
min( i , j )
k 1
l i k uk j
21
一般计算公式
u a , l a u
1j 1j i1 i1
j 1, ,n , i 2, , n
Chapter 6
Numerical Solution of Linear Equations
线性方程组的数值解法
1
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
其中
( ( ( aijk 1) aijk ) lik akjk ) ( k 1) ( bi bi( k ) lik bk k ) (i, j k 1, ..., n)
8
共进行 n 1步，得到
(1 a11) (1 a12) (2 a 22 )
n
除法运算总次数为: (n-1)+…+1=n(n-1)/2
11
回代过程的计算
除法运算次数为n次. 乘法运算的总次数为 n+(n-1)+…+1=n(n-1)/2次 Gauss消去法
除法运算次数为:n(n-1)/2+n=n(n+1)/2，
乘法运算次数为:
ห้องสมุดไป่ตู้
n(n-1)(n+1)/3+n(n-1)/2=n(n-1)(2n+5)/6，
11
对 k 2, 3, , n 计算
u a l u
kj kj r 1 kr
k 1
rj
j k , , n i k 1 , , n
22
l
ik
(a ik
r 1
k 1
l u )/u
ir rk
kk
LU 分解求解线性方程组
AX b
LY 1
(1) (1)
将增广矩阵的第 i 行 + li1 第1行，得到：
a
(1) 11
a
(1) 12
... a
(1) 1n
b
A
( 2)
(2) b
(1) 1
其中
aij aij li1a1 j , i, j 2,3,, n ( 2 ) (1) (1) bi bi li1b1
... ... ...
( a11) n ( 2) a2n . . . (n a nn )
( x1 b11) x ( 2) 2 b2 . . . . . . ( n) x n bn
A
(2)
LA
1
(1)
,
b
(2)
Lb
1
(1)
l a
i1
(1) i1
i 2 ,3, ,n
a
(1) 11
17
记：
A
(3)
L2 A 1 l 32
(2)
,
b
(3)
L 2b
(2)
L2
1 0 0 0
l
n2
1 0 1
(n 30, 为9890)
通常也说Gauss消去法的运算次数与n3同阶，记为O(n3)
12
二、 选主元消去法
在高斯消去法消去过程中可能出现a 0的情况，这时 (k akk ) 0 但很小， 高斯消去法将无法进行；即使主元素 其作除数 ，也会导致其它元素数量级的严重增长和舍入 误差的扩散.
矩阵表示记为 这里 A X (x , 1
ij
(1)
AX b
nn
a
, 我们假设 A 0, T , b (b , 1
, xn )
, bn ) .
2
T
解线性方程组的两类方法
直接法: 经过有限步运算后可求得方程组精确解的方 法(不计舍入误差!)
迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷 序列去逼近精确解的方法。分为两类： 逐次逼近法(一般有限步内得不到精确解)
LY b , UX Y
1 y1 b1 y2 b2 b y b n n x1 y1 x2 y2 Y x y n n
下形状的方程组，此过程称为回代求解 ( backward substitution )。
=
6
消去过程：
记A
(1) A (aij ) nn , b(1) b ( b(1) bn )T 1 (1 ) ai 1 (1) 第一步：设 a11 0 ，计算因子 li1 (1) a11
1 0 1 0 0 1
l
i 1,i
l
ni
1 1
i列
n 1 n2
A L L b L L
(n) (n) n 1
L1 A
1 (n)
(1 )
A 的 LU 分解
( LU factorization )
8个 a22 1 l21 1 0.0...01 109 109 109
b2 2 l21 1 109
10 0
9
1 10 9
1 9 10
小主元 Small pivot
element
x2 1,
x1 0
14
（1）用克莱姆（Cramer）法则求解n阶线性方程组
Di xi , i 1, 2,..., n D
每个行列式由n!项相加，而每项包含了n个因子 相乘，乘法运算次数为(n-1)n !次.
仅考虑乘(除)法运算,计算解向量包括计算 n+1个行列式和n次除法运算,乘(除)法运算次 数N=(n+1)(n-1)n!+n. 当n=8时,N＝200，0000
20
Doolittle分解法：
思 路 通过比较法直接导出L 和 U 的计算公式。
a11 ... a1n 1 . . l . . . . 21 1 . . . . ... . . . . . an1 ... ann l n1 ...
共轭斜量法（不考虑计算过程的舍入误差，只用有 限步就收敛于方程组的精确解）
3
Direct Method for Solving Linear Systems
直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑 计算过程中的舍入误差，那么通过有限步运 算可以获得方程解的精确结果.
Gauss 逐步（顺序）消去法、
(2) (1 ) (1 )
7
(k ( (k akk ) 0 ，计算因子 lik aikk ) / akk ) 第k步：设
(i k 1, ..., n)
将增广矩阵的第 i 行 + lik 第k行，得到：
(1) a11 0 0 0
a
(1) 1k
为避免这种情况的发生, 可通过交换方程的次序， 选取绝对值大的元素作主元. 基于这种思想导出了 “选主元消去法” 列主元消去法
在第k 步消元前，在系数矩阵第k 列的对角线以 下的元素中找出绝对值最大的元。 k | a k | max | aik | 0 pk
k i n
若p≠k，交换第k个与第p个方程后，再继续消去计算.
5
§6.1 解线性方程组的直接法 ( Direct Method for Solving Linear Systems)
6.1.1求解
A x b的高斯消去法和选主元高斯消去法
高斯消去法 (Gaussian Elimination)
思 首先将A化为上三角阵 ( upper-triangular 路 matrix )，此过程称为消去过程，再求解如
回代过程：
( (n xn bnn) / ann )
b
(i ) i
xi
a
j i 1 (i ) ii
( aiji ) x j
n
( i n 1, ..., 1)
定理：若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消
去法能顺序进行消元，得到唯一解。
9
运算量 （Amount of Computation）
(k ) kk
13
Ex：单精度解方程组
精确解为 x1
1 1 109
109 x1 x1
x2 x2
1 2
8个 8个 1.00...0100...和 x 2 2 x1 0.99 ... 9899 ...
用Gauss消去法计算：
l21 a21 / a11 109
l a
i2
(2) i2
i 3, 4 , ,n
a
(2) 22