最新人教版高中数学必修42.2.2 向量减法运算及其几何意义教学设计

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义说课稿

b
a
ab
b a
b
ab
a
（二）引入新课
问题: 一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们把北京记作A点,香港记作B点,那么这辆飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢?
北京 (A)
上海
AB+BA=0
香港
(B)
相反向量
像上面例子一样,我们把与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作 – a。其中 a 和 – a 互为相反向量。规定：零向量的相反向量还是零向量。
1、若 a , b 是互为相反向量,那么,a与b满足什么关系? 2 、 – （ – a ) = ________
已知向量a、b，求作向量ab
1 BA 表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数 2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
四、教学重点和难点
教学重点：向量减法的运算和几何意义教学难点：减法运算时差向量方向的确定
五、教学方法及教学手段
教学方法：类比法、探究法、讲练结合教学手段：采用多媒体与学案相结合，提高课堂的利用率。
六、教学过程
（一）回顾旧知 1.用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分别如何操作？
（三）课堂练习
（四）课堂小结
1.相反向量的概念及其应用； 2.向量减法的定义及其运算法则：三角形法则； 3.同起点、连终点、指向被减； 4.解决向量加法，减法问题，数形结合必不可少；
向量的加法与减法运算法则比较
向量的加法定义三角形法则
AC AB BC
向量的减法
CB AB AC

数学：2.2.2《向量减法运算及其几何意义》教案(必修4) 最新!!

（2）与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作，互为相反向量．
①规定的相反向量仍是．
②相反向量性质：，．
（3）向量的减法：加上的相反向量，叫做的差，记作．求两个向量差的运算，叫做向量的减法．记作：．
已知，在平面内任取一点，作，，则．即
可以表示为从（减向量）的终点，指向（被减向量）的终点的向量．
②本题中，当满足什么条件时，？（互相垂直）
③本题中，和有可能是相等向量吗？（不可能，因为平行四边形的对角线的方向不可能相同．）
例3．化简；．（
练习：（1）P96练习
(2)如图，已知D、Ｅ、Ｆ分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，则．
(3)如图， ∥ ，怎样作出呢？
作业
Ｐ101习题2.2 / 4.(4)~(7) . 8
教学内容：§2.2.2向量减法运算及其几何意义
教学目标
1．明确相反向量的意义，在此基础上理解向量减法的意义；
2．能准确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律；
3．知道向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，是加法运算的逆运算；
４．通过本节课的学习，对学生渗透化归思想和数形结合的思想，继续培养学生识图和作图的能力，及运用图形解题的能力．
后记
(强调：同起点时，是连结的终点，反思
主要内容及板书
想一想：向量．
(4)P95/思考
例1． (P95/例3)如图，已知向量求作向量．
例2．（P96例4）在平行四边形ABCD中，，你能用表示向量，吗？
追问：①本题中，当满足什么条件时，和互相垂直？（）
本节重点
向量的减法运算及其几何意义

高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义教案新人教版

2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)了解相反向量的概念.
(2)掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义.
2.过程与方法
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
3.情感、态度与价值观
通过本节学习,使学生利用类比的方法探究向量减法的运算法则,培养学生的探索精神与创新
意识.
重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.
难点:减法运算时方向的确定.
重难点突破:向量的减法运算是加法运算的逆运算.在进行减法运算时,有时可转化为加法运算.向量的减法满足三角形法则:连接两个向量的终点,箭头指向被减向量,所得的向量即为差向量.要
注意在用三角形法则时两向量必须是同一个起点.
非零向量a,b的差向量的三角不等式:(1)当a,b不共线时,如图①,作=a,=b,则a-b=.
(2)当a,b共线且同向时,若|a|>|b|,则a-b与a,b同向(如图②),
于是|a-b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a-b与a,b反向(如图③),
于是|a-b|=|b|-|a|.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向.于是|a-b|=|a|+|b|(如图④).
可见,对任意两个向量,总有下列向量不等式成立:
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
说明:若a,b至少有一个零向量时,向量不等式的等号成立.。

高中数学必修四教案：2.2.2 向量减法运算及其几何意义

2.2.2 向量减法运算及其几何意义（一）导入新课思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.（二）推进新课、新知探究、提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则图1如图1,设向量AB=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b.又b+=a,所以=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?讨论结果:①=b-a.②略.（三）应用示例如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.变式训练(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+BC=0分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,-=错误,D 中,+=+=0正确.答案:C例2 如图4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、吗?图4活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b,同样,由向量的减法,知=-=a-b.变式训练1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？图6解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得=a+b,=-=a-b.由此问题就可转换为:①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若||=8,||=5,则||的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:=-.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当、不共线时,3<||<13.综上,可知3≤||≤13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,(1)必要性:作=a,=b,则由假设=c,另一方面a+b=+=.由于与是一对相反向量,∴有+=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0,∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.。

新人教A版必修四2.2《向量的减法运算及其几何意义》word教案

§2.2.2向量的减法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：求作两个向量和的方法有法则和法则.（二）自主探究：（预习教材P85—P87）探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 1、相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作a - .零向量的相反向a 与其相反向量a - 的和是什么？如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ， b = ，a b += .2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+a b 是互为相反的向量，那么 a =____________， b =____________，+ a b =____________。

问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +- 的作图方法. 3、已知 a ， b ，在平面内任取一点O ，作== ,OA a OB b ，则__________=- a b ，即- a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所得向量是________。

这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.二、合作探究1例3和例4ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. AB →＝DC →B. AD →＋AB →＝AC →C. AB →－AD →＝BD →D. AD →＋CB →＝2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+ ； ⑵OE OA EA -+ .变式：化简AB FE DC ++ .三、交流展示1、化简下列各式：①AB AC DB -- ； ②AB BC AD DB +-- .2、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +- 等于（）A ．BAB ．BDC ．ACD ．AB3、下列各式中结果为 O 的有（）①++ AB BC CA ②+++ OA OC BO CO ③-+- AB AC BD CD ④+-+ MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③ 4、下列四式中可以化简为 AB 的是（）①+ AC CB ②- AC CB ③+ OA OB ④- OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④ 5、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中=== ,,OA a OB b OC c 则 EF =（）A ．a b +B ．b a -C ．- c bD ．-b c 四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 下列等式中正确的个数是（）. ①a o a -= ；②b a a b +=+ ；③()a a --= ； ④()0a a +-= ；⑤()a b a b +-=- A.2 B.3 C.4 D.5 2. 在△ABC 中，,BC a CA b == ，则AB 等于（）. A.a b + B.()a b -+- C.a b - D.a b -+3. 化简OP QP PS SP -++ 的结果等于（）. A.QP B.OQ C.SP D.SQ4. 在正六边形ABCDEF 中，AE m = ，AD n = ，则BA = .5. 已知a 、b 是非零向量，则a b a b -=+ 时，应满足条件 .B 组：1、化简：AB DA BD BC CA ++-- =_______________。

高中数学2.2.2向量减法运算及其几何意义教案新人教A版必修4

课题 2.2.2 向量减法运算及其几何意义教学目标知识与技能理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．过程与方法掌握向量减法的几何意义情感态度价值观启发引导，讲练结合重点理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．难点能熟练地进行向量的加、减运算．教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：根据相反向量的含义，完成下列结论：(1)－AB→＝___；(2)－(－a)＝__；(3)－0＝__；(4)a＋(－a)＝__；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝____，b＝____，a＋b＝__.探究点二向量减法的三角形法则(1)由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a－b.(2)当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：①连接两个向量(a与b)的终点；②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b.探究点三|a－b|与|a|、|b|之间的关系(1)若a与b共线，怎样作出a－b?（2)通过上面的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：当a与b不共线时，有：_____________________；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：_______________；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：_______________.教学内容教学环节与活动设计【典型例题】例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .解如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . BA →＝a －b ，DC →＝c －d .跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .例2 化简下列式子：(1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.原式＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．例3 若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(1)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ (2)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (3)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？(4)a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．。

人教版高中数学必修四 2.2.2向量减法运算及其几何意义教案

a b2.2.2向量减法运算及其几何意义【学习目标】1.了解相反向量的概念；1. 2.理解向量减法的几何意义，掌握向量的减法运算；会作两个向量的差向量，并能和向量的加法综合运用.【新知自学】知识回顾：1.如何用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两向量的和？2.向量加法的运算律：新知梳理：1、 “相反向量”的定义：与向量长度相同、方向相反的向量.记作2、规定：（1）零向量的相反向量仍是零向量. （2( a ) = a .（3）任一向量与它的相反向量的和是零向量. 即a + (a ) =(4)如果a 、b 互为相反向量，则a = b ， b = a ， a + b =3、向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做，即： a b = 求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量减法的几何意义是4、若b + x =a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 求作差向量：已知向量a ，b ，求作向量a b 作法：思考感悟：（1）向量a 的起点与向量b 的起点相同时，如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是（2）若a ∥b ，如何作出ab ？对点练习：1. 化简OP →- QP → + PS → + SP →的结果是( )A. QP →B. OQ →C. SP →D. SQ →2. 下列四式中不能化简为AD →的是( ）A. AB →+CD →+BC →B. AD →+MB →+BC →+CM →C. OC →- OA → + CD →D. MB →+AD →-BM →ABCD 中，设AB a =，AD b =，BC c =，3.如图四边形则DC =（） A ．a b c -+ B ．()b a c -+C ．a b c++D ．b a c -+别是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，4.如图，D 、E 、F 分则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-=D ．0BD BE CF +-=【合作探究】典例精析：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量ab 、cd .DC B Aba cdbacP练习1.变式练习：1课本87例2、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ，用a 、b 表示向量、DB .A BD C变式练习：2 已知a OA =，b OB =︒=∠==90,512AOB -=【课堂小结】【当堂达标】1、在△ABC 中， = a ， = b ，则等于(A. a + bB.- a +(-b C. a -b D. b -a 2. 可以写成：①+；②-；③-；④-,其中正确的是（） A.①② B. ②③C. ③④D. ①④3.如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA BC OA OD DA --++=_______4、化简()()---【课时作业】1、在△ABC 中，向量BC 可表示为①-AB AC ②-AC AB ；③+BA AC ；④-BA CA ；中的是（）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④2. 在ABCD 中，|AB →+AD →| = |AB →-AD →|，则必有( )A. AD → = 0→B. AB → = 0→或AD →=0→C. ABCD 是矩形D. ABCD 是正方形*3. 设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+( )A.ADB.12AD C.12BC D.4. 若非零向量和互为相反向量，则错误的是（）A 、//B 、≠C 、||||≠D 、-=5. 已知ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，则下列等式成立的是______________。

高中人教版数学必修4学案：第2章 2.2.2 向量减法运算及其几何意义【含答案】

2.2.2 向量减法运算及其几何意义学习目标核心素养1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点)2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点) 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点) 1.类比数的运算给出向量减法的三角形法则，培养了学生的数学抽象素养.2.通过向量的减法的应用，提升学生的数学运算素养.1．相反向量(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量． 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示．3．|a |、|a ±b |与|b |三者之间的关系 ||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； ||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.思考：在什么条件下，|a －b |＝|a |＋|b |?[提示] 当a ，b 至少有一者为0或a ，b 非零且反向时成立．1．非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( ) A ．m ＝n B ．m ＝－n C ．|m |＝|n |D ．方向相反A [由条件可知，当m ≠0且n ≠0时B ，C ，D 项都成立，故选A.] 2．在菱形ABCD 中，下列等式中不成立的是( ) A.AC→－AB →＝BC → B.AD→－BD →＝AB → C.BD→－AC →＝BC → D.BD→－CD →＝BC → C [如图，根据向量减法的三角形法则知A 、B 、D 均正确，C 中，BD →－AC →＝AD→－AB →－(AB →＋AD →)＝－2AB →≠BC →，故选C.]3．化简OP→－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( )A.QP →B.OQ →C.SP→ D.SQ→ B [原式＝(OP→＋PQ →)＋(PS →＋SP →)＝OQ →＋0=OQ →.]4．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示向量AC →，BD →，则AC →＝________，BD→＝________.a ＋b b －a [由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a .]向量减法的几何意义【例1】 (1)如图所示，四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c(2)如图所示，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将DC →向AB →，BC →，AD →转化；(2)利用几何意义法与定义法求出a ＋b －c 的值． (1)A [DC→＝AC →－AD →＝(AB →＋BC →)－AD →＝a ＋c －b .](2)[解] 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB→＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c . 法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作BC→＝－c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .图① 图②求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[跟进训练]1．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .[解] 法一：先作a －b ，再作a －b －c 即可．如图①所示，以A 为起点分别作向量AB→和AC →，使AB →＝a ，AC →＝b .连接CB ，得向量CB→＝a －b ，再以C 为起点作向量CD →，使CD →＝c ，连接DB ，得向量DB →.则向量DB→即为所求作的向量a －b －c .图① 图②法二：先作－b ，－c ，再作a ＋(－b )＋(－c )，如图②. (1)作AB→＝－b 和BC →＝－c ； (2)作OA →＝a ，则OC →＝a －b －c .向量减法的运算及简单应用【例2①用a ，b 表示DB→；②用b ，c 表示EC →.(2)化简下列各向量的表达式： ①AB→＋BC →－AD →； ②(AB→－CD →)－(AC →－BD →)； ③(AC→＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．[解] (1)∵BC→＝a ，CD →＝b ，DE →＝c .①DB→＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－a －b . ②EC→＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－b －c . (2)①AB→＋BC →－AD →＝AC →－AD →＝DC →. ②(AB→－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. ③(AC→＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝(AC →＋BA →)－(OC →－OB →)＝BC →－BC →＝0. [一题多解](2)②法一：(加法法则) 原式＝AB→－CD →－AC →＋BD →＝(AB→＋BD →)－(AC →＋CD →) ＝AD→－AD →＝0；法二：减法法则(利用相反向量) 原式＝AB→－CD →－AC →＋BD →＝(AB→－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB→＋BC →＝0；法三：减法法则(创造同一起点) 原式＝AB→－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB→－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 3．与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．[跟进训练]2．化简下列向量表达式： (1)OM→－ON →＋MP →－NA →； (2)(AD→－BM →)＋(BC →－MC →)． [解] (1)OM→－ON →＋MP →－NA →＝NM →＋MP →－NA →＝NP →－NA →＝AP →.(2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →＋0＝AD→. 向量减法几何意义的应用[1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a ＋b 和a －b 放在这个图形中？提示：如图所示平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＋b ＝AC →，a －b＝DB→.2．已知向量a ，b ，那么|a |－|b |与|a ±b |及|a |＋|b |三者具有什么样的大小关系？提示：它们之间的关系为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (1)当a ，b 有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a ，b 不共线时，作OA→＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图①所示，根据三角形的性质，有||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |.同理可证||a |－|b ||<|a －b |<|a |＋|b |.(3)当a ，b 非零且共线时，①当向量a 与b 同向时，作法同上，如图②所示，此时|a ＋b |＝|a |＋|b |.②当向量a ，b 反向时，不妨设|a |>|b |，作法同上，如图③所示，此时|a ＋b |＝|a |－|b |.综上所述，得不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.【例3】 (1)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定(2)已知|AB→|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．思路点拨：(1)先由AB →＝DC →判断四边形ABCD 是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|AD→－AB →|＝|BC →－BA →|变形，进一步判断此四边形的形状． (2)由||AB→|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|求范围．(1)B [∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，又∵|AD→－AB →|＝|BC →－BA →|，∴|BD →|＝|AC →|. ∴四边形ABCD 为矩形．](2)[解] ∵||AB→|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD→|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15. 当AD→与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3；当AD→与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB→－AD →|的取值范围为[3,15]．1．将本例(2)的条件改为“|AB→|＝8，|AD →|＝5”，求|BD →|的取值范围．[解] 因为BD→＝AD →－AB →，|AB →|＝8，|AD →|＝5，||AD→|－|AB →||≤|AD →－AB →|≤|AD →|＋|AB →|，所以3≤|BD →|≤13，当AB→与AD →同向时，|BD →|＝3；当AB→与AD →反向时，|BD →|＝13. 所以|BD→|的取值范围是[3,13]． 2．在本例(2)条件不变的条件下，求|AB→＋AD →|的取值范围．[解] 由||AB →|－|AD →||≤|AB →＋AD →|≤|AB →|＋|AD →|，∵|AB →|＝6，|AD →|＝9，∴3≤|AB →＋AD →|≤15.当AB→与AD →同向时，|AB →＋AD →|＝15；当AB→与AD →反向时，|AB →＋AD →|＝3. 3．本例(2)中条件“|AD→|＝9”改为“|BD →|＝9”，求|AD →|的取值范围．[解] AD→＝BD →－BA →，又|BA →|＝|AB →|，由||BD →|－|BA →||≤|BD →－BA →|≤|BD →|＋|BA →|， ∴3≤|AD→|≤15.1．用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量． (2)化归为向量问题，进行向量运算． (3)将向量问题还原为平面几何问题．2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB→＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误．] 2．化简BA→－CA →＋DB →－DC →＝________.0 [BA→－CA →＋DB →－DC → ＝(BA →＋AC →)＋(DB →－DC →) ＝BC →＋CB → ＝0.]3．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 0 2 [因为a ，b 为相反向量，∴a ＋b ＝0，即|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，∴|a －b|＝|2a |＝2.]4．如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE→＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.[解] ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴CD→＝AE →＝c ， BC→＝AC →－AB →＝b －a ， BE→＝AE →－AB →＝c －a ， CE→＝AE →－AC →＝c －b ， ∴BD→＝BC →＋CD →＝b －a ＋c.。

人教课标版高中数学必修四《向量减法运算及其几何意义》教案-新版

2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握向量的减法运算及其几何意义，会根据向量减法的法则的几何意义进行代数与图形之间的转换，在数学抽象与具象的转化过程中体会数形结合的思想.（二）学习目标1．理解相反向量的概念，通过类比实数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法，体会类比的数学思想．2．掌握向量减法的几何意义并明确向量加减法的内在联系，体会转化、数形结合的数学思想方法.3．通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识.（三）学习重点1．向量减法运算的定义．2．向量减法运算的三角形法则与平行四边形法则．3．差向量的作法．（四）学习难点1．向量减法运算的定义的理解．2．向量减法的运用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第96页至第97页，填空：①与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a，零向量的相反向量是零向量.②向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.③向量减法的几何意义是a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量（a,b起点相同）. （2）写一写：-(-a)=a,a+(-a)=a-a=02．预习自测（1）下列等式中正确的个数是（）①a-0=a；②b+a=a+b；③-(-a)=a；④a+(-a)=0；⑤a+(-b)=a-bA.2B.3C.4D.5答案：D.解析：【知识点】向量的减法运算.【解题过程】①②③④⑤均正确.点拨：明确向量减法的定义.（2）在△ABC中，BC=a,AC=b则AB等于（）A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.-a+b答案：D.解析：【知识点】向量减法法则.【解题过程】AB AC BC=-=b-a=-a+b.点拨：明确向量减法法则.（3）非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )A.m=nB.m=-nC.|m|=|n|D.方向相反答案：A.解析：【知识点】相反向量的概念.【解题过程】非零向量m与n是相反向量，则长度相等，方向相反，则有m=-n，|m|=|n|. 点拨：明确相反向量的概念.（4）设a表示向西走10km,b表示向北走则a-b表示（）A.南偏西30°走20kmB.北偏西30°走20kmC.南偏东30°走20kmD.北偏东30°走20km【知识点】向量减法运算的三角形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】作出差向量a-b，由图知，a-b表示南偏西30°走20km.点拨：作两个向量的差向量要注意起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点.答案：A.(二)课堂设计1．知识回顾（1）向量加法的概念：已知向量a,b在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即：a+b=+=.AB BC AC（2）向量加法的三角形法则与平行四边形法则：（3）向量加法的运算律：①交换律：a+b=b+a ②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2．问题探究探究一向量减法的定义★●活动①结合生活实例，归纳提炼相反向量的概念我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？生活情境一：一架飞机由重庆到北京,再由北京返回重庆,飞机的两次位移分别是什么？生活情境二：在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢？两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢？大小相等，方向相反.满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量.a的相反向量怎样用数学符号表示？-a.【设计意图】问题从类比减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣.教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结.●活动②用相反向量定义向量的减法思考1：-a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？- (-a)=a规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考2：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量a-b可以怎样理解？定义：a-b＝a+(-b). 并强调：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.【设计意图】遵循数学研究问题的一般规律，即用已知的相反向量定义来探究未知，让学生自己发现问题并解决问题.●活动③用加法的逆运算定义向量的减法我们知道，实数的减法是加法的逆运算，即如果实数a,b,x,满足b+x=a,那么x叫做a与b的差，记x=a-b,类似的，向量的减法运算该如何定义？对于向量a，b，c，若a+c＝b，则c=b－a，c叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法.【设计意图】通过类比实数的减法运算得到向量减法的定义，体现了数学学习中由已知探索未知的转化过程.探究二向量减法的几何意义★▲●活动①向量减法运算的三角形法则思考1：如果向量a与b同向，如何作出向量a－b？思考2：如果向量a与b反向，如何作出向量a－b？思考3：设向量a与b不共线，设OA=a,OB=b,探究：如何作出a-b？差向量a-b的“箭头”指向有何特点？根据结论能否直接求a-b?如图,作OA=a,OB=b,则a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，-=a-b=OA OB BA作两个向量的差时，需要三个步骤：①将两个向量平移，使它们的起点重合；②将两个向量的终点相连；③差向量指向被减向量.概括为：作平移，共起点，两尾连，指被减.【设计意图】从研究两向量共线时的几何意义到不共线的情况，让学生体会从特殊到到一般、分类讨论的数学思想.●活动②向量减法的平行四边形法则如图，设向量AB＝b，AC＝a，则AD＝－b，由向量减法的定义，知AE＝a＋(－b)＝a－b.→＝a－b，由此，我们得到a－b的作图方法．又b＋BC＝a，所以BC【设计意图】由向量加法的平行四边形法则得出向量减法的平行四边形法则，进一步完善其几何意义.●活动③向量减法几何意义的深入理解思考1：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？a－b与b－a是相反向量.|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取等号；|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时取等号.思考2：|a－b|与|a＋b|有什么大小关系吗？为什么？|a－b|与|a＋b|表示平行四边形对角线长度，没有大小关系.【设计意图】向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．探究三向量的减法的运用★▲●活动①归纳梳理、理解提升1.向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.对于向量的加减运算，做加法时要首尾相接，如AB＋BD＝AD，做减法时要保证起点相同，如AB－AC＝CB.同时，注意交换一个向量的起点和终点，所得向量与原向量是相反向量，如AB＝-BA，BD－CD＝BD＋DC＝BC，AB＋CA＝AB－AC＝CB.【设计意图】总结梳理本节课所学新知识，并强调重难点.●活动②巩固基础，检查反馈例1.如图,不共线的两个非零向量a,b，求作向量a-b,b-a【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】作OA=a,OB=b,则BA=a-b,AB=b-a，如图：【思路点拨】求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量的减法的三角形法则.【答案】见解题过程．同类训练如图，已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.答案：见解题过程解析：【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】以A为起点分别作AB和AC，使AB=a,AC=b.连接CB,得向量CB，再作向量CD=c,连接DB,得向量DB.则向量DB即为所作的向量.点拨：先作a-b,再作(a-b)-c即可.例2．化简：(AB＋DB)＋(BC－DC)．答案：AB.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()().AB DB BC DC AB BC DB DC AC CB AB ++-=++-=+=点拨：利用向量加减法法则化简.同类训练下面给出了四个式子：① +AB BC CA +； ②+OA OC BO CO ++；② AB AC BD CD -+-； ④+-NQ QP MN MP +其中值为0的有（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③答案：C.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】①+=+AB BC CA AC CA +=0③ +=()()OA OC BO CO CO OA BO OC CA BC BA +++++=+=；④ =AB AC BD CD CB BC -+-+=0；⑤ +-=NQ QP MN MP NP PN ++=0.点拨：利用向量加减法法则化简.【设计意图】巩固向量减法的定义与差向量的作法.●活动② 强化提升，灵活运用例3.在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-，则必有（）A ．AD =0B ．AB =0或AD =0C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-,即||||AC DB =，可得ABCD 是一个特殊的平行四边形——矩形.【思路点拨】利用向量加减法的几何意义求解.【答案】C.同类训练求|a +b |=|a -b |的充要条件.注：若A B B A ⇒⇒且，则称A 是B 的充要条件.答案：a ⊥b .解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】(1)当a ,b 不共线时，以a 与b 为邻边作平行四边形ABCD,如图，则AC =a +b , DB =a -b ,∴|a +b |=|a -b |||=||AC BD AB AD ⇔⇔⊥⇔ a ⊥b .(2)当a 与b 共线时，则当且仅当a 与b 中至少有一个为0时，才有|a +b |=|a -b |成立.此时也有|a +b |=|a -b |⇔a ⊥b .故所求的充要条件是a ⊥b .点拨：利用|a +b |与|a -b |的几何意义来探索求其充要条件.例4.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB =a ,AC =b ,AE =c ，试用a ,b ,c 表示向量,,,BD BC BE CD CE 及.【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ACDE 是平行四边形，∴=CD AE =c ,=BC AC AB -=b -a .=BE AE AB -=c -a , =CE AE AC -=c -b , ∴BD BC CD =+=b-a +c【思路点拨】先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示BD ．【答案】∴CD =c , =BC b -a . =BE c -a , =CE c -b , ∴BD =b-a +c同类训练如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，=OA a , =OB b , =OC c ,求OD .答案：c-a +b , b -a , c -a , c , c -b解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴=CD BA =a -b ，∴=+OD OC CD =c +a -b 点拨：先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示OD ．3.课堂总结知识梳理（1）与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为-a .规定：零向量的相反向量是零向量.（2）向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a -b =a +(-b )，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（3）向量减法的几何意义是a -b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（a ,b 起点相同）.重难点归纳（1）向量减法法则的两点说明①向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a ，b 不共线时，a ，b 与a -b 围成一个三角形；当a ，b 共线时，a ，b 与a -b 不能围成一个三角形.②向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.（2）两个向量的差可用平行四边形法则及三角形法则求得，用三角形法则时，把减向量与起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点被减向量的终点，解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．（3）以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB ＝a ，AD ＝b ，则两条对角线表示的向量为AC ＝a ＋b ，BD ＝b －a ，DB ＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.（三）课后作业基础型自主突破1．已知AB 是单位向量，点M 是AB 的中点，点P 是平面上任意一点，则PA PB -等于（）A.BM AM -B.AM BM -C.AM BM +D.AB答案：A ．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】PA PB -=+=BA BM MA BM AM =-．点拨：掌握向量加减法化简的技巧．2.设平面内有四边形ABCD 和点O, =OA a , =OB b , =OC c , =OD d ,若a +c =b +d ，则四边形ABCD 的形状是_________.答案：平行四边形．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想.【解题过程】∵a +c =b +d ，∴+=+OA OC OB OD ,=OA OB OD OC --,=BA CD ∴,∴四边形ABCD 为平行四边形.点拨：将等式a +c =b +d 进行适当变形转化．3.平面上有不同的三点A,B,C ，设m =AB BC +,n =-AB BC ,若m ,n 的长度恰好相等，则有（）A.A 、B 、C 三点必在同一直线上.B.△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶点.C.△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角.D.△ABC 必为等腰直角三角形.答案：C ．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】m ==AB BC AC +，n =-AB BC ，如图，延长CB 至D,使得BD =CB,则： n =-=++AB BC AB CB AB BD AD == ，因|m |=|n |,则：||||AC AD =，∴△ABC 是等腰三角形,且点B 为底边DC 的中点,则△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形.点拨：利用m ,n 的几何意义求解.4.如图，向量AB =a , AC =b , CD =c ,则向量BD 可以表示为（）A.a +b -cB.a -b +cC.b -a +cD.b +a -c答案：C.解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵=CB AB AC -=a -b , ∴=BD CD CB -=c -(a -b )=b +c -a .点拨：熟练掌握向量加减法的运算法则.5.若向量a ,b 满足|a |=8,|b |=12，则|a +b |的最小值为______，|a -b |的最大值为_______.答案：4；20．解析：【知识点】向量加减的三角形不等式．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】根据向量加减的三角形不等式得：| |a |-|b | |≤|a ±b |≤|a |+|b |，∴4≤|a ±b |≤20，故|a +b |最小值是4，|a -b |最大值是20．点拨：利用向量加减的三角形不等式．能力型师生共研6．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.答案：（1）（2）2.解析：【知识点】向量加减法法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】 (1)由已知得a ＋b ＝AB ＋BC ＝AC ，又∵AC ＝c ，∴延长AC 到E ，使||||CE AC =则a ＋b ＋c ＝AE ，且||=22AE |a ＋b ＋c |＝(2)作BF ＝AC ，连接CF ，则+=DB BF DF ，而=DB AB AD -＝a －BC ＝a －b ，∴a －b ＋c ＝+=DB BF DF 且||=2DF ，∴|a －b ＋c |＝2.点拨：掌握向量加减法法则．7.若AC＝a＋b，DB＝a－b.①当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？②当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|？③当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？④a＋b与a－b可能是相等向量吗？答案：①|a|＝|b|；②a、b互相垂直；③|a|、|b|相等；④不可能，因为对角线方向不同.解析：【知识点】向量加减法的平行四边形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】如图，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线且AB＝a，AD＝b.由平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.由此问题就可转换为：①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等)④a＋b与a－b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点拨：利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题.探究型多维突破8．如图，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，⊙O为△ABC的外接圆，且()=++，OH m OA OB OC则m=_______.答案：1．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】作直径BD,连接DA,DC,有OB OD =-,DA ⊥AB,DC ⊥BC,CH ⊥AB,故CH ∥DA,AH ∥DC,则四边形ABCD 是平行四边形，进而AH DC =.又DC OC OD OC OB =-=+,则OH OA AH OA DC OA OB OC =+=+=++.∴m =1.点拨：通过添加辅助线将OH 用OA OB OC ,,表示出来. 自助餐1．化简：()()AC BO OA DC DO OB ++---.答案：0解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC DO OB BC DC DBBD DB ++---=+-++=-+=+=0点拨：利用向量加减法法则化简.2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（）A ．AB －DC ＝0B ．AD BA AC -=C ．AB AD BD -=D ．AD CB +=0答案：C ．解析：【知识点】向量加减法运算．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵AB ＝DC ，∴AB －DC ＝0，A 正确；∵AD BA AD AB AC -=+=,B 正确；∵AB AD AB DA DB -=+=，C 错误；∵,AD BC AD CB =∴=-,AD CB ∴+=0，D 正确．点拨：掌握向量加减法的运算．3．已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n 则|m +n |=______.答案：3．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由平行四边形的对角线与边的关系及|m -n |与|m +n |为以m ,n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m -n |2+|m +n |2=2|m |2+2|n |2=26,又|m -n |=故|m +n |2=26-17=9,故|m +n |=3. 点拨：利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.4.已知a ,b ,c 是任意三个向量，求证:|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.答案：见解题过程.解析：【知识点】向量加减的三角形不等式.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：|a -b -c |≥||a -b |-|c ||,又∵|a -b |≥||a |-|b ||,∴|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.点拨：利用向量加减的三角形不等式证明.5.已知A,B,C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若OA OB OC ++=0，求证：O 是△ABC 的重心.答案：见解题过程．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由于OA OB OC ++=0, ∴()OA OB OC =-+,即OB OC +是与OA 方向相反且长度相等的向量.如图所示,以OB,OC 为相邻的两边作□BOCD ,则OD OB OC =+,∴OD OA =-.在□BOCD 中,设BC 与OD 相交于点E,则,BE EC OE ED ==,∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =.同理,可证BO,CO 分别在△ABC 的AC,AB 边的中线上, ∴点O 是△ABC 的重心,得证.++=0进行变形转化.。

[精品]新人教A版高中数学必修42.2.2向量减法运算及其几何意义优质课教案

2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。

易知-(-a ) = a.（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. →→=-00 。

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0（3）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - bA作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， OB = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.注意：1︒表示a - b . 强调：差向量“箭头”指向被减向量。

2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) OAB aBb-bBa +abO abBaba -b4．探究：１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是２）若a∥b，如何作出a-b ？三、例题：d 例1、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. bac例2、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、.变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？变式三：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？AA BD C.,,,.3 c b a c b a C B A ABCDO 表示试用向量，的向量分别为、、的三个顶点到平行四边形已知一点如图，例→→→→→→OOC5．练习：1。

[精品]新人教版高中数学必修42.2.2 向量减法运算及其几何意义优质课教案

222 向量减法运算及其几何意义一、教分析向量减法运算是加法的逆运算生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算因此类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)首先引进相反向量的概念然后引入向量的减法(减去一个向量等于加上这个向量的相反向量)通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则结合一定数量的例题深刻理解向量的减法运算通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算渗透化归的数思想使生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想同时由于向量的运算能反映出一些物理规律从而加强了数与物理之间的联系提高生的应用意识二、教目标：1、知识与技能：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

2、过程与方法：通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数方法。

3、情感态度与价值观：通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。

三、重点难点教重点向量的减法运算及其几何意义教难点对向量减法定义的理解四、法指导减法运算是加法运算的逆运算，生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。

[]五、教设想（一）导入新课思路1(问题导入)上节课我们定义了向量的加法概念并给出了求作和向量的两种方法由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算减去一个数等于加上这个数的相反数向量的减法是否也有类似的法则呢?引导生进一步探究由此展开新课思路2(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算本节课我们继续习向量加法的逆运算——减法引导生去探究、发现（二）推进新课、新知探究、提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则那么向量的减法是否也有类似的法则？活动数的减法运算是数的加法运算的逆运算数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数因此定义数的减法运算必须先引进一个相反数的概念类似地向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算可类比数的减法运算我们定义向量的减法运算也应引进一个新的概念这个概念又该如何定义?引导生思考相反向量有哪些性质?由于方向反转两次仍回到原的方向因此a和-a互为相反向量于是-(-a)=a我们规定零向量的相反向量仍是零向量任一向量与其相反向量的和是零向量即a+(-a)=(-a)+a=0所以如果a、b是互为相反的向量那么a=-bb=-aa+b=0(1)平行四边形法则图1如图1设向量AB=b AC=a则AD=-b由向量减法的定义知AE=a+(-b)=a-b又b+BC=a所以BC=a-b由此我们得到a-b的作图方法图2(2)三角形法则如图2已知a、b在平面内任取一点O作OA=a OB=b则BA=a-b即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量这是向量减法的几何意义讨论结果①向量也有减法运算②定义向量减法运算之前应先引进相反向量与数的相反数是-类似我们规定与a长度相等方向相反的量叫做a的相反向量记作-a③向量减法的定义我们定义a-b=a+(-b)即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量规定零向量的相反向量是零向量④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则这也正是向量的运算的几何意义所在是数形结合思想的重要体现提出问题①上图中如果从a的终点到b的终点作向量那么所得向量是什么?②改变上图中向量a、b的方向使a∥b怎样作出a-b呢?讨论结果①AB=b-a②略（三）应用示例如图3(1)已知向量a、b、c、d求作向量a-bc-d图3活动教师让生亲自动手操作引导生注意规范操作为以后解题打下良好基础;点拨生根据向量减法的三角形法则需要选点平移作出两个同起点的向量作法如图3(2)在平面内任取一点O作OA=a OB=b OC=c OD=d则BA=a-b DC=c-d变式训练(2006上海高考) 在ABD中下列结论中错误的是( )A AB=DC BAD+AB=AC AB-AD=BD DAD+BC=0分析A显然正确由平行四边形法则可知B正确中AB-AD=BD错误D中AD+BC=AD+DA=0正确答案例2 如图4ABD中AB=a AD=b你能用a、b表示向量AC、DB吗?图4活动本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量这是用向量证明几何问题的基础要多注意这方面的训练特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系解由向量加法的平行四边形法则我们知道AC=a+b同样由向量的减法知DB=AB-AD=a-b变式训练[]1(2005高考模拟) 已知一点O到ABD的3个顶点A、B、的向量分别是a、b、c则向量OD等于( )Aa+b+c Ba-b+c a+b-c Da-b-c图5解析如图5点O到平行四边形的三个顶点A、B、的向量分别是a、b、c结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c答案B2若AC=a+b DB=a-b①当a、b满足什么条件时a+b与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时|a+b|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？图6解析如图6用向量构建平行四边形其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线由平行四边形法则得AC=a+b DB=AB-AD=a-b由此问题就可转换为①当边AB、AD满足什么条件时对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能因为对角线方向不同点评灵活的构想独特巧妙数形结合思想得到充分体现由此我们可以想到在解决向量问题时可以利用向量的几何意义构造几何图形转化为平面几何问题这就是数形结合解题的威力与魅力教师引导生注意领悟例3 判断题(1)若非零向量a与b的方向相同或相反则a+b的方向必与a、b 之一的方向相同(2)△A B中必有AB+BC+CA=0(3)若AB+BC+CA=0则A、B、三点是一个三角形的三顶点(4)|a+b|≥|a-b|活动根据向量的加、减法及其几何意义解(1)a与b方向相同则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反则有可能a与b互为相反向量此时a+b=0的方向不确定说与a、b之一方向相同不妥(2)由向量加法法则AB+BC=AC AC与A是互为相反向量所以有上述结论(3)因为当A、B、三点共线时也有AB+BC+AC=0而此时构不成三角形(4)当a与b不共线时|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长其大小不定当a、b为非零向量共线时同向则有|a+b|>|a-b|异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时|a+b|=|a-b|综上所述只有(2)正确例4 若|AB|=8|AC|=5则|BC|的取值范围是( )A[38] B(38) [313] D(313)解析BC=AC-AB(1)当AB、AC同向时|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时3<|BC|<13[]综上可知3≤|BC|≤13答案点评此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解[]变式训练已知a、b、c是三个非零向量且两两不共线顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0证明已知a≠0b≠0c≠0且a bb cc a(1)必要性作AB=a BC=b则由假设CA=c另一方面a+b=AB+BC=AC由于CA与AC是一对相反向量∴有AC+CA=0故有a+b+c=0[](2)充分性作AB=a BC=b则AC=a+b又由条件a+b+c=0∴AC+c=0等式两边同加CA得CA+AC+c=CA+0∴c=CA故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形（四）课堂小结1先由生回顾本节习的数知识相反向量向量减法的定义向量减法的几何意义向量差的作图2教师与生一起总结本节习的数方法类比数形结合几何作图分类讨论（五）作业。

高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义学案设计新人教A版必修4

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算2.2.2 向量减法运算及其几何意义学习目标1.了解相反向量的概念;掌握向量的减法,会作两个向量的减向量.2.通过实例,掌握向量减法的运算,并理解其几何意义.3.初步体会数形结合在向量解题中的应用.学习过程一、设计问题,创设情境问题1:如图,已知a,b,求作向量c,使c=a+b .问题2:向量是否有减法?如何理解向量的减法?二、学生探索,尝试解决我们知道,减法是加法的逆运算,类比实数的减法运算,能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入?问题3:小东从A地走10米到B地,再从B地走10米到A地,他的位移是多少?什么叫做相反向量?已知两个向量a,b,如何作两个向量的差?三、信息交流,揭示规律四、运用规律,解决问题【例1】已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.【例2】平行四边形中,=a,=b,用a,b表示向量.变式1:当a,b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?变式2:当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?【例3】试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.五、变式演练,深化提高1.编题不是教师的专利,同学们能否编出属于自己的题目呢?让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案.2.练习(1)在三角形ABC中,=a,=b,则等于( )A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a(2)在平行四边形ABCD中,若||=||,则边AB与AD的关系是.(3)若向量a,b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为,|a-b|的最大值为.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业课本P91习题2.2A组第4,6,7题.参考答案二、学生探索,尝试解决问题3:解:显然小东的位移是0相反向量就是等长反向的非零向量,规定零向量的相反向量是零向量.已知两个向量时,只需一个向量加上另一个向量的相反向量.三、信息交流,揭示规律与数的运算相类似,可以将向量a与向量b的相反向量的和定义为向量a与向量b的差.即a-b=a+(-b).设a=,b=,则+(-)=.即.观察下图可以得到:起点相同的两个向量a,b,其差a-b仍然是一个向量,叫做a与b的差向量,其起点是减向量b的终点,终点是被减向量a的终点.四、运用规律,解决问题【例1】解:在平面上取一点O,作=a,=b,=c,=d,作,则=a-b,=c-d.【例2】解:由平行四边形法则得:=a+b,=a-b.变式1:|a|=|b|.变式2:a,b互相垂直.【例3】证明:由向量加法法则:,由已知:,∴,即AB与CD平行且相等,∴ABCD为平行四边形.五、变式演练,深化提高练习:(1)B (2)垂直(3)4 20六、反思小结,观点提炼1.相反向量的定义、性质.2.向量减法的意义.3.两向量和、差的作法及比较.。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义教学设计.doc

2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、【内容与解析】（一）内容：向量减法运算及其几何意义（二）解析：《向量的减法运算及几何意义》是高中必修4第二章第二节内容，是平面向量线性运算的一种。

在学完向量的加法运算及几何意义后，本节课是向量加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识。

通过类比数的减法，得到向量的减法及几何意义，培养了学生的化归思想和数形结合思想。

这样，不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解，也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。

所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位，起到承上启下的重要作用.本节课的重点是向量减法的运算及其几何意义.解决重点的关键是教师通过类比法、探究法、讲练结合的方式，类比数的运算，减法运算是加法运算的逆运算，引导学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形法则和平行四边形法则做出减向量。

本课计划用2节课进行学习，其中正课 1节，作业及讲评1节.二、【教学目标与解析】目标：1、掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用.2、掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义.解析：1、目标1在于让学生理解相反向量的概念，为学习向量的减法做准备.2、目标2在于让学生掌握向量减法的概念，通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算.渗透类比的数学方法。

人教课标版高中数学必修四《向量减法运算及其几何意义》教案(1)-新版

2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握向量的减法运算及其几何意义，会根据向量减法的法则的几何意义进行代数与图形之间的转换，在数学抽象与具象的转化过程中体会数形结合的思想.（二）学习目标1．理解相反向量的概念，通过类比实数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法，体会类比的数学思想．2．掌握向量减法的几何意义并明确向量加减法的内在联系，体会转化、数形结合的数学思想方法.3．通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识.（三）学习重点1．向量减法运算的定义．2．向量减法运算的三角形法则与平行四边形法则．3．差向量的作法．（四）学习难点1．向量减法运算的定义的理解．2．向量减法的运用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第96页至第97页，填空：①与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a，零向量的相反向量是零向量.②向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.③向量减法的几何意义是a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量（a,b起点相同）. （2）写一写：-(-a)=a,a+(-a)=a-a=02．预习自测（1）下列等式中正确的个数是（）①a-0=a；②b+a=a+b；③-(-a)=a；④a+(-a)=0；⑤a+(-b)=a-bA.2B.3C.4D.5答案：D.解析：【知识点】向量的减法运算.【解题过程】①②③④⑤均正确.点拨：明确向量减法的定义.（2）在△ABC中，BC=a,AC=b则AB等于（）A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.-a+b答案：D.解析：【知识点】向量减法法则.【解题过程】AB AC BC=-=b-a=-a+b.点拨：明确向量减法法则.（3）非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )A.m=nB.m=-nC.|m|=|n|D.方向相反答案：A.解析：【知识点】相反向量的概念.【解题过程】非零向量m与n是相反向量，则长度相等，方向相反，则有m=-n，|m|=|n|. 点拨：明确相反向量的概念.（4）设a表示向西走10km,b表示向北走则a-b表示（）A.南偏西30°走20kmB.北偏西30°走20kmC.南偏东30°走20kmD.北偏东30°走20km【知识点】向量减法运算的三角形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】作出差向量a-b，由图知，a-b表示南偏西30°走20km.点拨：作两个向量的差向量要注意起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点.答案：A.(二)课堂设计1．知识回顾（1）向量加法的概念：已知向量a,b在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即：a+b=+=.AB BC AC（2）向量加法的三角形法则与平行四边形法则：（3）向量加法的运算律：①交换律：a+b=b+a ②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2．问题探究探究一向量减法的定义★●活动①结合生活实例，归纳提炼相反向量的概念我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？生活情境一：一架飞机由重庆到北京,再由北京返回重庆,飞机的两次位移分别是什么？生活情境二：在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢？两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢？大小相等，方向相反.满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量.a的相反向量怎样用数学符号表示？-a.【设计意图】问题从类比减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣.教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结.●活动②用相反向量定义向量的减法思考1：-a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？- (-a)=a规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考2：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量a-b可以怎样理解？定义：a-b＝a+(-b). 并强调：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.【设计意图】遵循数学研究问题的一般规律，即用已知的相反向量定义来探究未知，让学生自己发现问题并解决问题.●活动③用加法的逆运算定义向量的减法我们知道，实数的减法是加法的逆运算，即如果实数a,b,x,满足b+x=a,那么x叫做a与b的差，记x=a-b,类似的，向量的减法运算该如何定义？对于向量a，b，c，若a+c＝b，则c=b－a，c叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法.【设计意图】通过类比实数的减法运算得到向量减法的定义，体现了数学学习中由已知探索未知的转化过程.探究二向量减法的几何意义★▲●活动①向量减法运算的三角形法则思考1：如果向量a与b同向，如何作出向量a－b？思考2：如果向量a与b反向，如何作出向量a－b？思考3：设向量a与b不共线，设OA=a,OB=b,探究：如何作出a-b？差向量a-b的“箭头”指向有何特点？根据结论能否直接求a-b?如图,作OA=a,OB=b,则a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，-=a-b=OA OB BA作两个向量的差时，需要三个步骤：①将两个向量平移，使它们的起点重合；②将两个向量的终点相连；③差向量指向被减向量.概括为：作平移，共起点，两尾连，指被减.【设计意图】从研究两向量共线时的几何意义到不共线的情况，让学生体会从特殊到到一般、分类讨论的数学思想.●活动②向量减法的平行四边形法则如图，设向量AB＝b，AC＝a，则AD＝－b，由向量减法的定义，知AE＝a＋(－b)＝a－b.→＝a－b，由此，我们得到a－b的作图方法．又b＋BC＝a，所以BC【设计意图】由向量加法的平行四边形法则得出向量减法的平行四边形法则，进一步完善其几何意义.●活动③向量减法几何意义的深入理解思考1：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？a－b与b－a是相反向量.|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取等号；|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时取等号.思考2：|a－b|与|a＋b|有什么大小关系吗？为什么？|a－b|与|a＋b|表示平行四边形对角线长度，没有大小关系.【设计意图】向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．探究三向量的减法的运用★▲●活动①归纳梳理、理解提升1.向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.对于向量的加减运算，做加法时要首尾相接，如AB＋BD＝AD，做减法时要保证起点相同，如AB－AC＝CB.同时，注意交换一个向量的起点和终点，所得向量与原向量是相反向量，如AB＝-BA，BD－CD＝BD＋DC＝BC，AB＋CA＝AB－AC＝CB.【设计意图】总结梳理本节课所学新知识，并强调重难点.●活动②巩固基础，检查反馈例1.如图,不共线的两个非零向量a,b，求作向量a-b,b-a【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】作OA=a,OB=b,则BA=a-b,AB=b-a，如图：【思路点拨】求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量的减法的三角形法则.【答案】见解题过程．同类训练如图，已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.答案：见解题过程解析：【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】以A为起点分别作AB和AC，使AB=a,AC=b.连接CB,得向量CB，再作向量CD=c,连接DB,得向量DB.则向量DB即为所作的向量.点拨：先作a-b,再作(a-b)-c即可.例2．化简：(AB＋DB)＋(BC－DC)．答案：AB.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()().AB DB BC DC AB BC DB DC AC CB AB ++-=++-=+=点拨：利用向量加减法法则化简.同类训练下面给出了四个式子：① +AB BC CA +； ②+OA OC BO CO ++；② AB AC BD CD -+-； ④+-NQ QP MN MP +其中值为0的有（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③答案：C.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】①+=+AB BC CA AC CA +=0③ +=()()OA OC BO CO CO OA BO OC CA BC BA +++++=+=；④ =AB AC BD CD CB BC -+-+=0；⑤ +-=NQ QP MN MP NP PN ++=0.点拨：利用向量加减法法则化简.【设计意图】巩固向量减法的定义与差向量的作法.●活动② 强化提升，灵活运用例3.在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-，则必有（）A ．AD =0B ．AB =0或AD =0C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-,即||||AC DB =，可得ABCD 是一个特殊的平行四边形——矩形.【思路点拨】利用向量加减法的几何意义求解.【答案】C.同类训练求|a +b |=|a -b |的充要条件.注：若A B B A ⇒⇒且，则称A 是B 的充要条件.答案：a ⊥b .解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】(1)当a ,b 不共线时，以a 与b 为邻边作平行四边形ABCD,如图，则AC =a +b , DB =a -b ,∴|a +b |=|a -b |||=||AC BD AB AD ⇔⇔⊥⇔ a ⊥b .(2)当a 与b 共线时，则当且仅当a 与b 中至少有一个为0时，才有|a +b |=|a -b |成立.此时也有|a +b |=|a -b |⇔a ⊥b .故所求的充要条件是a ⊥b .点拨：利用|a +b |与|a -b |的几何意义来探索求其充要条件.例4.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB =a ,AC =b ,AE =c ，试用a ,b ,c 表示向量,,,BD BC BE CD CE 及.【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ACDE 是平行四边形，∴=CD AE =c ,=BC AC AB -=b -a .=BE AE AB -=c -a , =CE AE AC -=c -b , ∴BD BC CD =+=b-a +c【思路点拨】先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示BD ．【答案】∴CD =c , =BC b -a . =BE c -a , =CE c -b , ∴BD =b-a +c同类训练如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，=OA a , =OB b , =OC c ,求OD .答案：c-a +b , b -a , c -a , c , c -b解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴=CD BA =a -b ，∴=+OD OC CD =c +a -b 点拨：先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示OD ．3.课堂总结知识梳理（1）与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为-a .规定：零向量的相反向量是零向量.（2）向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a -b =a +(-b )，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（3）向量减法的几何意义是a -b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（a ,b 起点相同）.重难点归纳（1）向量减法法则的两点说明①向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a ，b 不共线时，a ，b 与a -b 围成一个三角形；当a ，b 共线时，a ，b 与a -b 不能围成一个三角形.②向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.（2）两个向量的差可用平行四边形法则及三角形法则求得，用三角形法则时，把减向量与起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点被减向量的终点，解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．（3）以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB ＝a ，AD ＝b ，则两条对角线表示的向量为AC ＝a ＋b ，BD ＝b －a ，DB ＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.（三）课后作业基础型自主突破1．已知AB 是单位向量，点M 是AB 的中点，点P 是平面上任意一点，则PA PB -等于（）A.BM AM -B.AM BM -C.AM BM +D.AB答案：A ．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】PA PB -=+=BA BM MA BM AM =-．点拨：掌握向量加减法化简的技巧．2.设平面内有四边形ABCD 和点O, =OA a , =OB b , =OC c , =OD d ,若a +c =b +d ，则四边形ABCD 的形状是_________.答案：平行四边形．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想.【解题过程】∵a +c =b +d ，∴+=+OA OC OB OD ,=OA OB OD OC --,=BA CD ∴,∴四边形ABCD 为平行四边形.点拨：将等式a +c =b +d 进行适当变形转化．3.平面上有不同的三点A,B,C ，设m =AB BC +,n =-AB BC ,若m ,n 的长度恰好相等，则有（）A.A 、B 、C 三点必在同一直线上.B.△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶点.C.△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角.D.△ABC 必为等腰直角三角形.答案：C ．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】m ==AB BC AC +，n =-AB BC ，如图，延长CB 至D,使得BD =CB,则： n =-=++AB BC AB CB AB BD AD == ，因|m |=|n |,则：||||AC AD =，∴△ABC 是等腰三角形,且点B 为底边DC 的中点,则△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形.点拨：利用m ,n 的几何意义求解.4.如图，向量AB =a , AC =b , CD =c ,则向量BD 可以表示为（）A.a +b -cB.a -b +cC.b -a +cD.b +a -c答案：C.解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵=CB AB AC -=a -b , ∴=BD CD CB -=c -(a -b )=b +c -a .点拨：熟练掌握向量加减法的运算法则.5.若向量a ,b 满足|a |=8,|b |=12，则|a +b |的最小值为______，|a -b |的最大值为_______.答案：4；20．解析：【知识点】向量加减的三角形不等式．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】根据向量加减的三角形不等式得：| |a |-|b | |≤|a ±b |≤|a |+|b |，∴4≤|a ±b |≤20，故|a +b |最小值是4，|a -b |最大值是20．点拨：利用向量加减的三角形不等式．能力型师生共研6．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.答案：（1）（2）2.解析：【知识点】向量加减法法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】 (1)由已知得a ＋b ＝AB ＋BC ＝AC ，又∵AC ＝c ，∴延长AC 到E ，使||||CE AC =则a ＋b ＋c ＝AE ，且||=22AE |a ＋b ＋c |＝(2)作BF ＝AC ，连接CF ，则+=DB BF DF ，而=DB AB AD -＝a －BC ＝a －b ，∴a －b ＋c ＝+=DB BF DF 且||=2DF ，∴|a －b ＋c |＝2.点拨：掌握向量加减法法则．7.若AC＝a＋b，DB＝a－b.①当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？②当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|？③当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？④a＋b与a－b可能是相等向量吗？答案：①|a|＝|b|；②a、b互相垂直；③|a|、|b|相等；④不可能，因为对角线方向不同.解析：【知识点】向量加减法的平行四边形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】如图，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线且AB＝a，AD＝b.由平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.由此问题就可转换为：①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等)④a＋b与a－b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点拨：利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题.探究型多维突破8．如图，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，⊙O为△ABC的外接圆，且()=++，OH m OA OB OC则m=_______.答案：1．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】作直径BD,连接DA,DC,有OB OD =-,DA ⊥AB,DC ⊥BC,CH ⊥AB,故CH ∥DA,AH ∥DC,则四边形ABCD 是平行四边形，进而AH DC =.又DC OC OD OC OB =-=+,则OH OA AH OA DC OA OB OC =+=+=++.∴m =1.点拨：通过添加辅助线将OH 用OA OB OC ,,表示出来. 自助餐1．化简：()()AC BO OA DC DO OB ++---.答案：0解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC DO OB BC DC DBBD DB ++---=+-++=-+=+=0点拨：利用向量加减法法则化简.2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（）A ．AB －DC ＝0B ．AD BA AC -=C ．AB AD BD -=D ．AD CB +=0答案：C ．解析：【知识点】向量加减法运算．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵AB ＝DC ，∴AB －DC ＝0，A 正确；∵AD BA AD AB AC -=+=,B 正确；∵AB AD AB DA DB -=+=，C 错误；∵,AD BC AD CB =∴=-,AD CB ∴+=0，D 正确．点拨：掌握向量加减法的运算．3．已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n 则|m +n |=______.答案：3．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由平行四边形的对角线与边的关系及|m -n |与|m +n |为以m ,n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m -n |2+|m +n |2=2|m |2+2|n |2=26,又|m -n |=故|m +n |2=26-17=9,故|m +n |=3. 点拨：利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.4.已知a ,b ,c 是任意三个向量，求证:|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.答案：见解题过程.解析：【知识点】向量加减的三角形不等式.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：|a -b -c |≥||a -b |-|c ||,又∵|a -b |≥||a |-|b ||,∴|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.点拨：利用向量加减的三角形不等式证明.5.已知A,B,C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若OA OB OC ++=0，求证：O 是△ABC 的重心.答案：见解题过程．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由于OA OB OC ++=0, ∴()OA OB OC =-+,即OB OC +是与OA 方向相反且长度相等的向量.如图所示,以OB,OC 为相邻的两边作□BOCD ,则OD OB OC =+,∴OD OA =-.在□BOCD 中,设BC 与OD 相交于点E,则,BE EC OE ED ==,∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =.同理,可证BO,CO 分别在△ABC 的AC,AB 边的中线上, ∴点O 是△ABC 的重心,得证.++=0进行变形转化.。

高中数学人教版必修四讲读设计：2.2.2向量的减法运算及几何意义

2.2.2向量的减法运算及其几何意义讲读设计教学目标：1.理解向量减法的概念；2.会做两个向量的差；3.会进行向量加、减得混合运算教学重点：向量加、减混合运算.教学难点：三角形法则，向量加、减混合运算. 教学过程：一、预习反馈（预习教材P85—P87）1.向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；注意：向量的减法是向量加法的逆运算。

2.向量a b -r r的减法的作图方法：3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量()a b a b -=+-r r r r4.关于向量减法需要注意一下几点：①在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.二、学习目标1.理解向量减法的概念；2.会做两个向量的差；3.会进行向量加、减得混合运算三、自学与探究(一)自学提示整合教材知识,落实基本能力探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？1、相反向量：与a r 的向量，叫做a r的相反向量，记作a -r .零向量的相反向量仍是 .问题2：任一向量a r与其相反向量a -r 的和是什么？如果a r 、b r 是互为相反的向量，那么a =r ， b =r ，a b +=r r.2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+v va b 是互为相反的向量，那么v a =____________，vb=____________，+vva b =____________。

问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +-r r的作图方法.3、已知va ，vb ，在平面内任取一点O ，作==u u v v u u v v,OA a OB b ，则__________=-v v a b ，即-v v a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量v a 的终点到vb 的终点作向量，那么所得向量是________。