最新对数函数中档题(含答案)教学内容
对数(重难点突破)(解析版)
突破4.3 对数一、考情分析二、考点梳理考点一 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.考点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n ＝nmlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1).三、题型突破(一) 求对数型函数的定义域问题例1．（1）、（2020·全国高一课时练习）在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b <2或b >5 B ．2<b <5 C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4【答案】D【解析】由对数的意义得205051b b b ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得25b <<且4b ≠。
所以实数b 的取值范围是25b <<且4b ≠。
选D 。
（2）．（2021·浙江高一单元测试）函数()f x = ） A ．()0,∞+ B ．[)0,+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x =ln 00x x ≥⎧⎨>⎩，解得1≥x ，即函数()f x =[)1,+∞. 故选：D.【变式训练1-1】．（2021·长岭县第三中学高三月考）函数()lg 21y x =- 的定义域是（ ） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可． 【详解】由题意得，320210x x ->⎧⎨->⎩，解得23x >，则函数的定义域是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）（多选题）下列等式不成立的是( ) A ．ln 1e = B ．3log 10=C23a -= D ．lg lg lg MN M N =+ E.222log (5)2log (5)-=-【答案】DE【解析】根据对数式的运算,可得ln 1e =,3log 10=,故A ､B 成立; 23a -=,故C 成立;取2M =-,1N =-,发现D 不成立;22222log (5)log 52log 5-==,故E 不成立.故选：DE(二) 对数与指数互化例2．（1）、（2020·全国高一课时练习）如果2(0,1)a b b b =>≠，则有（ ） A ．2log a b = B ．2log b a = C ．log 2b a = D ．log 2b a =【答案】C【解析】利用指数化对数得可log 2b a =，故选：C ．（2）、（多选题）（2021·全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是( ) A ．0101=与lg 1＝0 B ．1327-＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与129＝3 D ．log 55＝1与51＝5【答案】ABD 【分析】根据指数式与对数式互化的结论逐个分析可得答案. 【详解】对于A ，0101=lg10⇔=，A 正确； 对于B ，132711127log 333-=⇔=-，B 正确； 对于C ，23log 9239=⇔=，C 不正确；对于D ，15log 5155=⇔=，D 正确.故选：ABD.（3）．（2019·全国）若实数a 、b 、c 满足2540320152019a b c ===，则下列式子正确的是A ．122a b c +=B ．221a b c +=C ．112a b c +=D ．212a b c+=【答案】A 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出20191log 52a =，20151log 403b =，20191log 2015c=，利用对数的运算性质和20155403=⨯可得出122a b c+=成立.【详解】由已知，得 2540320152019a b c ===，得 52log 2019a =， 403log 2019b =，22log 015019c =，所以21log 52a=，20191log 403b =，20191log 2015c=， 而54032015⨯=，则201920192019log 5log 403log 2015+=， 所以1112a b c +=，即 122a b c+=. 故选A. 【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）102＝100；（2）lna ＝b ；（3）73＝343；（4）log 6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg 100＝2，（2）e b ＝a ，（3）log 7343＝3；（4）6﹣2＝．【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化： （1）log 216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x ＝N 等价于对数式x ＝log a N ，可将指数式与对数式互化． 【答案】解：（1）log 216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log 464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【变式训练2-3】．（2020·全国高一课时练习）若23x y =，则xy=________. 【答案】2log 3【解析】设23x y t ==，则23log ,log x t y t ==，所以2231log 2log 3log log 31log log 2log 3t t t t t x y t ====. 故答案为：2log 3. (三) 解对数方程例3．（1）（2020·全国高一课时练习）方程21416x -=的解是（ ） A ．32x =-B ．32x =C ．x ＝1D ．x ＝2【答案】B【解析】因为21416x -=，所以24421log 16log 42x -===，所以212x -=，所以32x =.故选：B. （2）．（2021·上海）若1log log 2log log 2a a a a x m n p =--，则x =_____________.【分析】根据对数的运算性质计算可得； 【详解】解：1122221log 2log log log log log log log 2a a a a a a a a m m n p m n p n p --=--==⋅因为1log log 2log log 2a a a a x m n p =--，所以x =【变式训练3-1】．（多选题）已知a ，b 均为正实数，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则ab=（ ）A ．12 B C D ．2【答案】AD 【分析】令log a t b =，代入可求出t ，可得a 与b 的关系式，再代入b a a b =即可求出a ，b 的值. 【详解】令log a t b =，则152t t +=，所以22520t t -+=，即(21)(2)0t t --=， 解得12t =或2t =，即1log 2a b =或log 2a b =，所以2a b =或2a b =，因为b a a b =，代入得22b a b ==或22b a a ==， 所以4a =，2b =或2a =，4b =，所以2a b=或12a b =.故选：AD. 【点睛】本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题.【变式训练3-2】．（2019·全国）方程4(1)log (133)log 21x x --⋅=的解是__________. 【答案】3x = 【分析】 根据2(1)1log (1)log 2x x -=-,将原方程化成两边以2为底数的对数,再根据对数函数的单调性可化成一元二次方程解决. 【详解】由方程4(1)log (133)log 21x x --⋅=得42(1)1log (133)log (1)log 2x x x --==-,得221log (133)log (1)2x x -=-, 得22log (133)2log (1)x x -=-, 得222log (133)log (1)x x -=-,且1x >, 得2133(1)x x -=-,且1x >, 化简得,2120x x +-=,且1x >, 解得3x =, 故答案为:3x =. 【点睛】本题考查了对数型函数的方程的解法,解题关键是利用1log log a b b a=,将方程变成两边同底数的对数.属于中档题.(四) 用对数型公式及换底公式化简求值 例4．（1）、（2020·全国高一课时练习）log 513＋log 53等于（ ） A ．0 B ．1C ．－1D ．log 5103【答案】A 【解析】因为555511log log 3log 3log 1033⎛⎫+=⨯== ⎪⎝⎭. 故选：A.（2）．（2020·浙江高一课时练习）化简()1002lg lg 2lg(lg )a a +的结果是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】原式2lg(100lg )2[lg100lg(lg )]22lg(lg )2lg(lg )a a a a +===++.故选：C.例5．（2021·金寨县青山中学高三开学考试）计算：（1）5log 3333322log 2log log 8259-+- （2）0.5729⎛⎫ ⎪⎝⎭＋20.1-＋2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－3π0＋3748； 【答案】（1）7-；（2）100. 【分析】（1）利用对数的运算法则和对数恒等式化简运算即得； （2）利用分数指数幂的运算化简即得. 【详解】解：（1）原式=5log 333332log 4log log 8259-+- =5log 939log 48532⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭297=-=-;（2）原式＝122232516437319102748--⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⨯+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ＝5937100331648++-+ ＝100.【变式训练5-1】．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：（1）12lg 25lg 2lg ++()1lg 0.01+－； （2）332log 2log -32935log 83log 5+-； （3）()2lg5+lg 2lg50⋅；（4） 【答案】（1）72；（2）－1；（3）1；（4）12.【解析】（1）原式＝()11222lg 252100.1-⎡⎤⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦()172227lg 521010lg 102⎛⎫=⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭；（2）原式＝23332g 22+5l o o og l g l 3-33log 23+-3332+2+3log 232312log 25log -=--=-=；（3）原式＝()2)lg5+lg 2l (g 2+2lg5()()22lg5+2lg5lg 2+lg 2=⋅2lg 5lg 21()=+=.（4）原式＝12lg＋2＝(lg 6+2＝12lg(6+4)=12lg10＝12. (五) 与对数有关的条件求值问题例6．（1）、（2020·浙江高一课时练习）已知二次函数2()(lg )24lg f x a x x a =++的最小值为3，求()2log 5a +log 2log 50a a ⋅的值.【答案】1.【解析】∵2()(lg )24lg f x a x x a =++的最小值为3， ∴lg 0a >，min 21111()lg 24lg 4lg 3lg (lg )lg lg f x f a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=⨯+⨯-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即24(lg )3lg 10a a --=，∴(4lg 1)(lg 1)0a a +-=，则lg 1a =，∴10a =.∴()222log 5log 2log 50(lg5)lg2lg50(lg5)lg2(lg51)lg5(lg5lg2)lg21a a a +⋅=+⋅=++=++=. （2）．（2021·全国高一课时练习）已知222log ()log log x y x y +=+. 求（1）2x y +的最小值； （2）4911x yx y +--的最小值； （3）正数z 满足111x y z +=+，求z 的取值范围.【答案】（1）3+（2）25；（3）41,3⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】（１）利用对数的运算得到x y xy +=，0x >，0y >，所以111x y+=，然后利用“乘1法”，使用基本不等式求最值； （2）将4911x yx y +--通分合并，并利用x y xy +=化简为94x y +，然后利用“乘1法”，使用基本不等式求最值； （3）根据x y xy +=，利用基本不等式的变形不等式2()2x y xy +，求得4x y +，进而求得z 的取值范围. 【详解】解：（1）因为2222log ()log log log x y x y xy +=+=， 所以x y xy +=，0x >，0y >， 所以111x y+=，所以1122(2)()3322y x x y x y x y x y+=++=+++，当且仅当2y x x y =且111x y +=，即1x =1y =时取等号，此时2x y +取得最小值3+ （2）4949494913491313111111()1x y y x x y x y x y xy x y +-+=+++=++=+-------++， 1149494(94)()1313225y x x y x y x y x y x =+=++=+++，当且仅当49y x x y =且111x y +=，即53x =，52y =时取等号，此时4911x y x y +--的最小值25； （3）因为2()2x y x y xy ++=，当且仅当2x y ==时取等号， 解得4x y +，所以11(0,]13x y ∈+-， 因为正数z 满足111x y z +=+，所以1411,13z x y ⎛⎤=+∈ ⎥+-⎝⎦， 故z 的取值范围41,3⎛⎤⎥⎝⎦.【变式训练6-1】．（2020·浙江高一课时练习）设a 、b 、c 为正数，且满足222+=a b c .（1）求证：22log 1log 11b c a c a b +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若4log 11b c a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6a =，8b =，10c =． 【解析】（1）左边2log 11log b c a c a b c a b c a b a b ⎡+-⎤+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()22222222log log log 21a b a b a b c ab ab+-++-=====右边；（2）由4log 11b c a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即4log 1a b ca++=，得30a b c -++=，①由()82log 3a b c +-=，得 4a b c +-=，② 由题设知 222+=a b c ，③由①②③及a 、b 、c 为正数，可得6a =，8b =，10c =．【变式训练6-2】．（2021·安顺市第三高级中学（文））（1）已知2lg(2)lg lg x y x y -=+，求xy的值． （2）设1x 满足2ln 3x x +=，2x 满足ln(1)21x x --=求12x x +的值． 【答案】（1）4xy=；（2）1. 【分析】（1）利用对数运算化简已知条件，因式分解然后求得xy的值. （2）利用换元法化简已知条件，结合函数()2ln f x x x =+的单调性求得121x x =+. 【详解】（1）由2lg(2)lg lg x y x y -=+得2lg(2)lg()x y xy -=， ∴2(2)x y xy -=∴22540x xy y -+=，∴()(4)0x y x y --=， 即1xy=或4． 又0,0,20x y x y >>->， ∴1x y =舍去，故4xy=． （2）由题意得()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，()()22ln 1213x x -+-=， 令21x t -=，则2ln 3t t +=． ∴()2ln f x x x =+在(0,)+∞单调递增， ∴1t x =， ∴121x x =+． 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数型函数的单调性，属于中档题. (六) 对数的综合应用例7．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=．现已知26,336a b==，则49ab =________，12a b +=________ 【答案】1361 【解析】26,336a b ==，23log 6,log 36a b ∴==，222233log 6log 6log 362log 364423619936363a b ====∴； 66231212log 2log 3=1log 6log 36a b +=+=+. 故答案为：136；1 【变式训练7-1】．（2022·全国高三专题练习）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为a （参考数据：lg 20.3≈）.（1）写出该元素的存量y 与时间x （年）的关系；（2）经检测古生物中该元素现在的存量为25a ，请推算古生物距今大约多少年？ 【答案】（1）420012x y a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，0x ≥；（2）5600.【分析】（1）根据半衰期的定义可得出函数解析式；（2）利用指数与对数式的互化解方程42001225xa a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，求得x 即可得解. 【详解】（1）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的1420012⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，该元素的存量y 与时间x （年）的关系式为420012x y a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，0x ≥；（2）由42001225x a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭可得42001242510x ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以，124lg412lg 210log 1420010lg 2lg 2x -===，()420012lg 25600lg 2x -∴=≈.因此，该古生物距今大约5600年.。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数的定义域是 .【答案】【解析】由得，则函数的定义域为：.【考点】函数的定义域.2.若函数，则=_______________。
【答案】2014【解析】===++++++++=++++=【考点】1.对数的运算.2.数列的递推的思想.3.分类归纳的思想.3.若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lg x)>g(1)，x的取值范围是________．【答案】∪(10，＋∞)【解析】因为g(lg x)>g(1)，所以f(|lg x|)>f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|>1，从而lg x>1或lg x<－1.解得0<x<或x>10.4.若已知函数f(x)=则f(f(1))+f的值是__________.【答案】7【解析】f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log3<0,所以f=+1=+1=+1=+1=4+1=5,所以f(f(1))+f=2+5=7.5.已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【答案】C【解析】解:因为，所以又,成等比数列，所以（当且仅当即时等号成立）所以，故选C．【考点】1、基本不等式的应用；2、对数函数的性质．6.设，则a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．【答案】C【解析】由，得：，因为0＜a＜1，所以，取交集得：0＜a＜．所以a的取值范围是．故选C．7. 2log510+log50.25=（）A．0B．1C．2D．4【答案】C【解析】∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选C．8.如果函数的图像过点，则________.【答案】1【解析】依题意得.所以.【考点】1.函数的知识.2.数列的求和公式.3.极限的运算.9.已知函数，若且，则的取值范围是【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示．∵若且，∴，即，而，∴，∴的取值范围是．【考点】对数函数的单调性．10.的值是____________.【答案】2【解析】.【考点】对数的基本运算.11.= .【答案】-【解析】原式.【考点】对数运算.12.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，根据的图象，设，∵关于x的方程有有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上．设，①当有一个根为时，，，此时另一根为，符合题意．②当没有根为时，则：，解得，综上可得，m的取值范围是．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．13.函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是________．(填序号)【答案】①【解析】f(x)＝ln(x2＋1)，x∈R，当x＝0时，f(0)＝ln1＝0，即f(x)过点(0，0)．又f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，即f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，所以选①.14.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，∀x1≥0，∀x2≥0，若x1≠x2，则＜0.如果f＝，4f()＞3，那么x的取值范围为()A．B．C．∪(2，＋∞)D．∪【答案】B【解析】依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f()＞3等价于f()>，f(||)＞f，||＜，即－＜＜，由此解得＜x＜2，故选B.15.若点(a,b)在y=lgx的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是()A．(,b)B．(10a,1-b)C．(,b+1)D．(a2,2b)【答案】D【解析】∵点(a,b)在函数y=lgx的图象上,∴b=lga,则2b=2lga=lga2,故点(a2,2b)也在函数y=lgx的图象上.16.函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.【答案】(2,2)【解析】∵loga1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).17.下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B．C．D．[1,2)【答案】D【解析】法一：当2－x>1，即x<1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.法二：f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图所示．由图像可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.18. lg ＋lg 的值是________．【答案】1【解析】lg ＋lg ＝lg(·)＝lg＝lg 10＝119.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，都有不等式f(x)＋xf′(x)＞0成立，若a＝40.2f(40.2)，b＝(log43)f(log43)，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．【答案】c＞a＞b【解析】由f(x)＋xf′(x)＞0得(xf(x))′＞0，令g(x)＝xf(x)，则g(x)在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a＝g(40.2)，b＝g(log43)，c＝g＝g(－2)＝g(2)，因为0＜log43＜1＜40.2＜2，所以c＞a＞b.20.已知幂函数y=f(x)的图象过点(),则log2f(2)的值为（）A．B．-C．2D．-2【答案】A【解析】假设幂函数为.代入点(),则可得.所以.即选A.本题的解题思路是把握幂函数的概念即可求出幂函数的解析式.然后通过对数函数的运算求出结论.【考点】1.幂函数的概念.2.对数函数的运算.21.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.22.已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内的所有“优数”的和为( )A．1024B．2012C．2026D．2036【答案】Ｃ}的通项为，所以【解析】因为数列{an，又因为，所以在内最大的“优数”为，即，在内的所有“优数”的和为．【考点】对数的运算．23.，则( )A．R<Q<P B．P<R<Q C．Q<R<P D．R<P<Q【答案】A【解析】由对数函数的性质，，故选A.【考点】对数函数的性质24.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）函数的定义域为；（Ⅱ）的取值范围是．【解析】（Ⅰ）当时，求函数的定义域，求函数定义域首先考虑，分母不等于零，偶次方根被开方数大于等于零，对数的真数大于零，此题将代入后，考虑对数的真数大于零，即，这是一个解绝对值不等式，可分类讨论来解，也可数形结合，从而解出不等式，得函数的定义域；（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围，这是一个恒成立问题，首先利用对数函数的单调性，去掉对数符号，转化为代数不等式，然后把不等式化为含的放到不等式一边，不含的放到不等式另一边，转化为求最大值与最小值问题，本题整理得，只需求出的最小值即可．试题解析：（Ⅰ）由题设知：，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或解得函数的定义域为；（Ⅱ）不等式即，时，恒有，不等式解集是R，的取值范围是【考点】函数的定义域，绝对值不等式的解法．25.化简的结果为；【答案】【解析】.【考点】指数运算.26.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.27.已知数列等于（）A．2B．—2C．—3D．3【答案】D【解析】∵，∴是等差数列，∴，∴，∴.【考点】1.等差数列的定义；2.等差数列的通项公式；3.对数的运算.28.已知幂函数的图象过点，则.【答案】3【解析】依题意，得， .【考点】1.幂函数的性质；2.指数的运算；3.对数运算.29.已知函数满足：，则；当时，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.又，所以，即.故选D.【考点】1.分段函数求值；2.对数值比较大小.30.如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项是（）A．是区间上的减函数，且B．是区间上的增函数，且C．是区间上的减函数，且D．是区间上的增函数，且【答案】A【解析】由题意知，，由基本不等式知，解得；由得，因，所以是区间上的减函数，且.【考点】1.函数的单调性；2.基本不等式求最值；3.对数运算.31.已知函数.(1)若是函数的极值点,求的值；(2)求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解)
专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <- C ．01b a << D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（ ）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（ ） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ）A b a <<B ．b a <C a b <D ．a b <<二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减． 其中所有正确结论的序号为______． 四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==， 而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-， 则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】 【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误； 对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确． 故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=， 所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =， 所以4x =，2y =，所以6x y +=， 故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤； 当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =， 方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=， 从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =， 所以原方程的根为9x =或181x =； （2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =， 即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =， 所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=， 所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点， 由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <， 其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <． 故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2． 故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分1a >和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <； 由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】 【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥， 令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<， 因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥， 所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同， 所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数， 所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则＝ .【答案】.【解析】，且函数是定义在上的奇函数，且当时，，.【考点】函数的奇偶性.2.对于任意实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，；，那么的值为．【答案】857.【解析】由题意可设，则，；为增函数，当时，，则，时，；当时，同理，时，；时，；时，；时，；时，；【考点】对数的性质、归纳推理.3.．【答案】【解析】.【考点】指数式与对数式的运算.4.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增. 若实数满足, 则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，又因为.所以由可得.区间单调递增且为偶函数.所以.故选D.【考点】1.对数的运算.2.函数的奇偶性、单调性.3.数形结合的数学思想.5.已知函数（1）求函数的定义域；（2）求函数的零点；（3）若函数的最小值为-4，求a的值．【答案】（1）函数的定义域为；（2的零点是；（3）.【解析】(1)函数的定义域是使函数有意义的取值范围，而对数有意义则真数大于0，即；（2）函数的零点等价于方程的根，可先利用对数运算性质进行化简，即，要注意定义域的范围，检验解得的根是否在定义域内；（3）可利用函数的单调性求最值来解参数，由（2）可知，令，在单调递减，则在取最大值时函数的最小值取-4，而，当时，则，.试题解析：21.（普通班）（1）要使函数有意义，则有解之得，所以函数的定义域为．（2）函数可化为由，得，即，，，的零点是．21.（联办班）（1）要使函数有意义：则有，解之得：，所以函数的定义域为：．（2）函数可化为由，得，即，，，的零点是．（3）．，，．由，得，．【考点】1、对数函数的定义域；2对数的运算性质；3、函数的零点；4、对数方程的解法；5、复合函数的最值问题；6、二次函数的最值.6.式子的值为．【答案】5【解析】根据对数公式，可知，=5+0=5【考点】对数公式7.已知，且，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】故选：D.【考点】对数的运算8. .【答案】1【解析】对数的运算性质，故.【考点】对数的运算性质.9.已知，且，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】故选：D.【考点】对数的运算10.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A．-1，3B．-1，1C．1，3D．-1，1，3【答案】C【解析】根据题意定义域为R得，时，函数定义域为[0,+∞）所以不可能是奇函数，所以排除A,B,D选项.所以的值为1,3.故选C.【考点】本题考查幂函数的知识点，当指数为正，负时的函数图像走向.11.，则 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由得故选B【考点】对数运算12.已知函数（1）判断函数的奇偶性，并说明理由。
高中数学对数函数经典练习题及答案(优秀4篇)
高中数学对数函数经典练习题及答案（优秀4篇）对数函数练习题篇一一、选择题1、下列函数(1)y= x (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、A 、B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点，若则( )A.t0 C.t>1 D. t≤13、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的三角形最多有( )A. 5个B.6个C.7个D.8个4、把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )A.11 D.m0的解集是( )A.x>3B.-2-29.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x轴上一点，那么a:b等于( )A. B.C. D.以上答案都不对10、函数y=kx+b，那么当y>1时，x的取值范围是：( )A、x>0B、x>2C、x212、在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(-2，4),B(4，2),直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是( )A.5B.-5C.-2D.3二、填空题13、如果直线y = -2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____.14、平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4.则m的值是。
15、直线y=kx+2经过点(1,4),则这条直线关于x轴对称的直线解析式为：。
16、已知一条直线经过点A(0，2)、点B(1，0)，将这条直线向左平移与x 轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 .17、点A的坐标为(-2，0)，点B在直线y=x-4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________。
18、已知三个一次函数y1=x,y2= x+1,y3=- x+5。
对数函数练习题及答案
对数函数练习题及答案一、选择题：1. 函数y=log_{2}x的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)2. 若log_{3}9=2，则log_{3}3的值为：A. 1B. 2C. 3D. 93. 函数y=log_{10}x的值域是：A. (-∞, 0)B. (-∞, 1]C. (0, +∞)D. R4. 以下哪个等式是正确的？A. log_{a}a=1B. log_{a}1=0C. log_{a}a^2=2D. 所有选项都正确5. 若log_{5}25=b，则b的值为：A. 2B. 5C. 25D. 125二、填空题：1. 函数y=log_{x}e的值域为______。
2. 若log_{2}8=3，则2^{3}=______。
3. 对于函数y=log_{a}x，当a>1时，函数在(0,+∞)上是______的。
4. 根据对数的定义，log_{10}100=______。
5. 若log_{4}16=2，则4^{2}=______。
三、解答题：1. 求函数y=log_{4}x的反函数，并证明其正确性。
2. 已知log_{3}27=3，求log_{9}3。
3. 证明：对于任意正数a>1，log_{a}1=0。
4. 已知log_{2}32=5，求2^{5}的值。
5. 已知函数f(x)=log_{a}x，求f(a)的值，并讨论a的取值范围。
四、应用题：1. 某工厂的产量每年以相同的比率增长，如果第一年的产量是100吨，第二年的产量是121吨，求第三年的产量。
2. 某药物的半衰期是4小时，如果初始剂量是100毫克，4小时后剩余多少？3. 某城市的人口增长率是每年2%，如果当前人口是100万，求5年后的人口。
答案：一、选择题：1. A2. A3. D4. D5. A二、填空题：1. (0, +∞)2. 83. 增4. 25. 16三、解答题：1. 反函数为x=4^y，证明略。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(e x)＜0的x的取值范围为．【答案】(0，1)【解析】因为由得：，又，所以由f(e x)＜0得：【考点】利用导数解不等式2.函数的图象大致是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为f(－x)＝f(x)，可知函数图象关于y轴对称，且f(0)＝0，可知选A【考点】对数的性质，函数的图象3.设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（）A．B．2C．D．4【答案】D【解析】因为，所以是增函数，所以=，解得，故选D.【考点】对数函数的单调性，对数方程4.计算的结果是( )A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.5.计算的结果是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.6.已知函数为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选D.【考点】对数函数的图象和性质.7.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.8.若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lg x)>g(1)，x的取值范围是________．【答案】∪(10，＋∞)【解析】因为g(lg x)>g(1)，所以f(|lg x|)>f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|>1，从而lg x>1或lg x<－1.解得0<x<或x>10.9.函数的单调递增区间是．【答案】【解析】当时，，增区间为，当时，，增区间为．填．【考点】分段函数的单调区间．10.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，对任意实数a,b定义运算如下，所以，==，故，选B.【考点】分段函数，对数函数的性质，新定义.11.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，根据的图象，设，∵关于x的方程有有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上．设，①当有一个根为时，，，此时另一根为，符合题意．②当没有根为时，则：，解得，综上可得，m的取值范围是．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．12. (1)解方程：(2)已知命题命题且命题是的必要条件，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解对数方程，一般把利用对数的运算法则把对数方程变形为，转化为代数方程，但解题过程中要注意对数函数的定义域，即，；（2）这类问题的解决，首先要把两个命题化简，本题中命题化为：，命题是命题的必要条件，说明由命题成立可推导出命题也成立，若把命题成立时的变量的集合分别记为，从集合角度，即有，由此我们可得出关于的不等关系，从而求出的取值范围. 试题解析：（1）解：由原方程化简得，即：所以，，解得.（2）解：由于命题是的必要条件，所以，所以.【考点】（1）对数方程；（2）充分与必要条件.13.不等式lg(x－1)<1的解集为________.【答案】(1，11)【解析】由0<x－1<10，∴1<x<11.14.作函数的y＝ [3(x＋1)]图．【答案】见解析【解析】由y＝3＋(x＋1)＝(x＋1)－1，将函数y＝x的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝[3(x＋1)]的图象，图略．15.若|loga |=loga,|logba|=-logba,则a,b满足的条件是()A．a>1,b>1B．0<a<1,b>1C．a>1,0<b<1D．0<a<1,0<b<1【答案】B【解析】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a和b的范围.∵|loga |=loga,∴loga ≥0=loga1,根据对数函数的单调性可知0<a<1.∵|logb a|=-logba,∴logb a≤0=logb1,但b≠1,所以根据对数函数的单调性可知b>1.16.函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.【答案】(2,2)【解析】∵loga1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).17.使不等式（其中）成立的的取值范围是．【答案】【解析】即，而，所以，，答案为.【考点】对数函数及其性质18.函数的递减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则在是减函数.由及其在为减函数，在是增函数，得，函数的递减区间为，故选D.【考点】对数函数的性质，复合函数的单调性.19.已知，则________.【答案】1【解析】因为，，所以，，，故答案为1.【考点】对数的性质及对数运算20.已知，则的大小关系为____________.【答案】【解析】因为，，由，所以，.【考点】对数的性质及其运算21.已知函数．(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.试题解析：(1)∵，设，则为减函数，时，t最小值为， 2分当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分又，∴ 6分(2)令，则；∵，∴函数为减函数，又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分所以时，最小值为，此时最大值为；9分又的最大值为1，所以， 10分∴，即，所以，故这样的实数a存在． 12分【考点】1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式22.如果，则的最小值是．【答案】4【解析】由得，所以且，，当且仅当即时，取得最小值4.【考点】基本不等式，对数的运算.23.已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调减区间是（）A．B．C．D．【解析】由函数在其定义域上单调递减得到.又的定义域为 .故根据复合函数的单调性法则“同增异减”可知的单调递减区间就是的单调递增区间，即 .【考点】1.对数函数的单调性；2.复合函数的单调性.24.已知函数的定义域为为正整数），值域为［0,2］，则满足条件的整数对（m，n）共有（）A．1个B．7个C．8个D．16个【答案】B．【解析】满足要求的有：．故选B．【考点】对数函数的定义域、值域．25.定义：区间长度为.已知函数定义域为，值域为，则区间长度的最小值为 .【答案】【解析】如下图所示，解方程得或，令，即，得，由于函数在定义域上的值域为，则必有或，（1）当时，则，此时区间长度的最小值为；（2）当时，则，此时区间长度的最小值为；综上所述，区间长度的最小值为.【考点】对数函数、函数的定义域与值域26.已知，且，，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，符合题意；当时，，.故选B.27.若集合,, 则等于( )A．B．C．D．【解析】集合：，集合：，所以.【考点】1.指数不等式的解法；2.对数不等式的解法；3.集合的运算.28.函数y=ln(1-x)的定义域为（）A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1)【答案】D【解析】为使函数有意义，须，解得，所以，函数定义域为[0,1)，选D。
对数函数练习题(含答案)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版对数函数一、选择题1.设0.32a =,20.3b =,2log 0.3c =,则,,a b c 的大小关系( )A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<2.已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a <<3.式子25123lg lg lg +-= ( )A.2B.1C.0D.﹣24.使式子 2(1)log (1)x x -- 有意义的 x 的值是（ ）A. 1x <- 或 1x >B. 1x > 且 2x ≠C. 1x >D. 2x ≠5.函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是( )A. []3,1-B. ()3,1-C. (][),31,-∞-⋃+∞D. (,3)(1,)-∞-⋃+∞6.已知0a >,且1a ≠,函数x y a =与log ()a y x =-的图像只能是图中的( ) A. B. C. D.7.函数()2()ln 28f x x x =--的单调递增区间是( )A. (),2-∞-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()4,+∞ 8.函数()()20.5f log 2x x x =-++的单调递增区间为( ) A. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.前三个答案都不对二、填空题9.计算: =-⨯5log 3132log 9log 125278__________.10.计算: 4413log 3log 32⨯=__________.11.如图所示的曲线是对数函数log a y x =当a 取4个不同值时的图像,已知a 的值分别为4313,,,3510,则相应于1234,,,C C C C 的a 值依次为__________.12.函数()()log 21a f x x =--(0,)a a >≠的图像恒过定点__________.13.函数()log 23a y x =++ (0a >且1a ≠)的图像过定点__________.14.若3436x y ==,则21 x y+=__________. 15.已知()()0.450.45log 2log 1x x +>-,则实数x 的取值范围是______.三、解答题16.解不等式: ()()2log 4log 2a a x x ->-.17. 求函数()22log 65y x x =-+的定义域和值域.18.求函数212log (32)y x x =+-的值域.19.已知()()4log 41x f x =-.1.求()f x 的定义域;2.讨论()f x 的单调性;3.求()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.20.已知指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠且.(1)写出()f x 的反函数()g x 的解析式；(2)解不等式()log (23)a g x x ≤-参考答案1.答案：C解析：因为1a >,01b <<,0c <,所以c b a <<,故选C.2.答案：C解析：由对数和指数的性质可知，∵2log 0.30a =<，0.10221b =>=，1.300.20.21c =<=，∴a c b <<.3.答案：A解析：4.答案：B解析：由 210{1011x x x ->->-≠,解得 1x > 且 2x ≠. 5.答案：D解析：由题意,得2230x x +->,事实上,这是个一元二次不等式,此处,我们有两种解决方法:一是利用函数223y x x =+-的图像观察得到,要求图像正确、严谨;二是利用符号法则,即2230x x +->可因式分解为()()310x x +⋅->,则30,{10x x +>->或30,{10,x x +<-<解得1x >或3x <-, 所以函数()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞.6.答案：B解析：可以从图象所在的位置及单调性来判别.也可以利用函数的性质识别图象,特别注意底数a 对图象的影响。
(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识题库
(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识题库高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识题库单选题1、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减 答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称， 又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f(x)在(−∞,−12)上单调递减，D正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f(−x)与f(x)的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.2、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个，故选：A3、已知对数式log(a+1)24−a（a∈Z）有意义，则a的取值范围为（）A．(−1,4)B．(−1,0)∪(0,4)C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}. 故选：C.4、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（ ） A ．a >0B ．a >1 C ．a <1D ．0<a <1 答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1． 故选：D5、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ） A ．−1B ．−5C ．11D ．13 答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值. 令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x) =log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.6、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+a与对数函数y=log a x（a>0且a≠1）的图象关系可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．7、若y=log3a2−1x在(0,+∞)内为增函数，且y=a−x也为增函数，则a的取值范围是（）A．(√33,1)B．(0,12)C．(√33,√63)D．(√63,1)答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果.若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 8、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12， 故选：B.9、已知y 1=(13)x ，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x=(110)x是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ． 故选：A10、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3， 答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13. 故选：C ． 多选题11、下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ） A ．y =2x −3B ．y ={−x +1,x ≥0x +1,x <0C ．y =x 2−3x +3D ．y =|x −2| 答案：AB分析：根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 对于选项A ，当x =1时，y =21−3=−1<0，当x =12时，y =212−3=1>0，所以能用二分法求零点的近似值．对于选项B ，当x =2时，y =−2+1=−1<0，当x =12时，y =−12+1=12>0，能用二分法求零点的近似值．对于选项C ，y =x 2−3x +3=(x −32)2+34>0，故不能用二分法求零点的近似值． 对于选项D ，y =|x −2|≥0，故不能用二分法求零点的近似值． 故选：AB ．12、下列命题正确的是（ ）A ．若a >0，且a ≠1，则∀x >0，y >0，log a (x +y )=log a x +log a yB ．若a >0，且a ≠1，则∃x >0，y >0，log a x ⋅log a y =log a (xy )C ．∀a >0，b >0，ln (ab )=lna +lnbD ．∀a >1，b >0，a log a b =b 答案：BCD分析：根据对数的运算法则即可判断.解：对于选项AC ，由对数的运算性质知∀x >0，y >0有log a (xy )=log a x +log a y ，而log a (x +y )≠log a x +log a y ，选项A 错误，C 正确；对于选项B ，当x =y =1时，log a x ⋅log a y =log a (xy )成立，选项B 正确； 对于选项D ，由对数的概念可知选项D 正确． 故选:BCD ．13、已知函数f(x)=log 2(2x +8x )−2x ，以下判断正确的是（ ） A ．f （x ）是增函数B ．f （x ）有最小值 C ．f （x ）是奇函数D ．f （x ）是偶函数 答案：BD分析：由题设可得f(x)=log 2(12x +2x )，根据复合函数的单调性判断f(x)的单调情况并确定是否存在最小值，应用奇偶性定义判断奇偶性.由f(x)=log 2(2x +23x )−log 222x =log 2(12x+2x )，令μ=2x >0为增函数；而t =1μ+μ在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增； 所以t 在x ∈(−∞,0)上递减，在x ∈(0,+∞)上递增；又y =log 2t 在定义域上递增，则y 在x ∈(−∞,0)上递减，在x ∈(0,+∞)上递增； 所以f(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，故最小值为f(0)=1， f(−x)=log 2(12−x +2−x)=log 2(2x +12x)=f(x)，故为偶函数.故选：BD14、定义运算a ⊕b ={a(a ≥b)b(a <b)，设函数f(x)=1⊕2−x ，则下列命题正确的有（ ）A ．f(x)的值域为 [1,+∞)B ．f(x)的值域为 (0,1]C ．不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(−∞,0)D ．不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(0,+∞) 答案：AC分析：求得f (x )的解析式，画出f (x )的图象，由此判断f (x )的值域，并求得不等式f(x +1)<f(2x)的解. 由函数f(x)=1⊕2−x ，有f(x)={1(1≥2−x )2−x(1<2−x )，即f(x)={2−x(x <0)1(x ≥0)，作出函数f(x)的图像如下，根据函数图像有f(x)的值域为[1,+∞)，所以A 选项正确，B 选项错误. 若不等式f(x +1)<f(2x)成立，由函数图像有 当2x <x +1≤0即x ≤−1时成立， 当{2x <0x +1>0即−1<x <0时也成立. 所以不等式f(x +1)<f(2x)成立时，x <0.所以C 选项正确，D 选项错误. 故选：AC.小提示：本小题主要考查分段函数图象与性质，属于中档题.15、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C，函数f(x)定义域{x|x>0}内任意的x1,x2，f(x1)+f(x2)=log12x1+log12x2=log12(x1x2)=f(x1⋅x2)，C是；对于D，函数f(x)定义域{x|x>0}内任意的x1,x2，f(x1)+f(x2)=log3x1+log3x2=log3(x1x2)=f(x1⋅x2)，D是．故选：CD填空题16、函数f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)仅有一个零点，则k的取值范围为________．答案：(−∞,0)∪{4}分析：由题意f(x)仅有一个零点，令y1=kx、y2=(x+1)2，即y1、y2在f(x)定义域内只有一个交点，讨论k>0、k<0并结合函数图象，求k的范围.由题意，f(x)=lg(kx)−2lg(x+1)=0，即lg(kx)=lg(x+1)2，∴在f(x)定义域内，y1=kx、y2=(x+1)2只有一个交点，当k>0时，即(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；∴仅当y1、y2相切，即x2+(2−k)x+1=0中Δ=(2−k)2−4=0，得k=4或k=0(舍)，∴当k=4时，(0,+∞)上y1、y2只有一个交点；当k<0时，即(−1,0)上y1、y2只有一个交点，显然恒成立.∴k∈(−∞,0)∪{4}.所以答案是：(−∞,0)∪{4}17、计算：1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= ________.答案：−6分析：结合指数幂的运算性质，计算即可.由题意，1634−8×(6449)−12−8×(87)−1=(24)34−8×[(87)2]−12−8×78=23−8×(87)−1−7=8−8×78−7=8−7−7=−6.所以答案是：−6.18、函数y=log12(3x−1)的单调递减区间为_____答案：(13,+∞)分析：根据复合函数单调性规律即可求解函数y=log12(3x−1)的定义域为(13,+∞)又y=log12(3x−1)是由y=log12u与u=3x−1复合而成，因为外层函数y=log12u单调递减，所以求函数y=log12(3x−1)的单调递减区间即是求内层函数u=3x−1的增区间，而内层函数u=3x−1在(13,+∞)上单调递增，所以函数y=log12(3x−1)的减区间为(13,+∞)所以答案是：(13,+∞)解答题19、计算：(1)lg14−2lg73+lg7−lg18；(2)log535+2log5√2−log515−log514；(3)12lg3249−43lg√8+lg√245.答案：(1)0(2)2(3)12分析：直接利用对数的运算性质进行运算即可.(1)原式=lg(2×7)−2(lg7−lg3)+lg7−lg(32×2) =lg2+lg7−2lg7+2lg3+lg7−2lg3−lg2=0.(2)原式=log535+log52−log515−log514=log535×215×14=log535014=log525=2.(3)原式=12(5lg2−2lg7)−43×32lg2+12(2lg7+lg5)=52lg2−lg7−2lg2+lg7+12lg5=12lg2+12lg5=12(lg2+lg5)=12lg10=12.20、当0<x<1时，若关于x的二次方程x2+2mx+1=−2m有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.答案：{m|−12<m<1−√2}.分析：根据二次函数在区间上的零点问题，数形结合列式求解即可.令y=x2+2mx+2m+1(0<x<1)，则由题意知其图象与x轴有2个交点，故当x=0,1时y>0，判别式大于0且对称轴在0到1之间，则{2m+1>0 4m+2>04m2−4(2m+1)>0 0<−m<1，即{m>−12(m−1)2>20<−m<1，得−12<m<1−√2.故实数m的取值范围是{m|−12<m<1−√2}.。
高中数学人教版必修1专题复习—对数与对数函数(含答案)
必修1专题复习——对数与对数函数1．23log 9log 4⨯=（ ） A ．14 B ．12C ．2D ．4 2．计算()()516log 4log 25⋅= （ ）A ．2B ．1C ．12 D ．14 3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3a b - B ．3a b - C ．3a bD ．3ab4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．45．已知31ln 4,log ,12===-x y z ，则（ ） A.<<x z y B.<<z x y C.<<z y x D.<<y z x6．设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a c b >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）c a b >> 7．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A.c b a >> B ．c a b >> C.a b c >> D.a c b >> 8．已知a =312,b =l og 1312,c =l og 213,则（ ）A. a >b >cB.b >c >aC. c>b>acD. b >a >c 9．函数y =A ．[1，2]B ．[1,2)C ．1(,1]2D ．1[,1]210．函数)12(log )(21-=x x f 的定义域为（ ）A ．]1,-(∞B ．),1[+∞C ．]121，（D ．），（∞+2111．已知集合A 是函数)2ln()(2x x x f -=的定义域，集合B={}052>-x x ，则（ ）A ．∅=B A B ．R B A =C ．A B ⊆D ．B A ⊆ 12．不等式1)2(log 22>++-x x 的解集为( )A 、()0,2-B 、()1,1-C 、()1,0D 、()2,113．函数)1,0)(23(log ≠>-=a a x y a 的图过定点A ，则A 点坐标是 （ ） A 、（32,0） B 、（0,32） C 、（1,0） D 、（0,1） 14．已知函数log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）A.1,1ac >> B.1,01a c ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<< 15．函数y ＝2|log 2x|的图象大致是( )16．若0a >且1a ≠,则函数2(1)y a x x =--与函数log a y x =在同一坐标系内的图像可能是( )17．在同一坐标系中画出函数x y a log =，xa y =，a x y +=的图象，可能正确的是( )．18．将函数2()log (2)f x x =的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（ ）（A ）2log (21)y x =+ （B ）2log (21)y x =- （C ）2log (1)1y x =++ （D ）2log (1)1y x =-+19．在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）20．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ． 21．若当R x ∈时，函数()xa x f =始终满足()10<<x f ，则函数xy a1log =的图象大致为（ ）22．（本题满分12分）已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。
对数函数教案 习题 及答案
对数函数知识点一：定义： 如果)1,0(≠>=a a N a b,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a 即有：⇔=N a b)1,0(log ≠>=a a N b a性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a ； 知识点二： 恒等式：N aNa =log ；b a b a =log )1,0(≠>a a基本运算法则：N M MN a a a log log log )1(+=N M NMa a a log log log )2(-=M n M a n a log log )3(= 其中a>0,a≠0,M>0,N>0(4)Ma M a nn log 1log =5、换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且知识点三：对数函数y=log a x (a>0 , a≠1)的图象与性质：a ＞1 0＜a ＜1图 象性 质（1）定义域（0，+∞）； （2）值域R ； （3）过点（1，0），即当x =1，y =0； （4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数题型一．对数式的化简和运算 计算：题型二、比较大小（1）4.3log 2，5.8log 2 （2）2log 6 121log 7； （3）6log )32(2+-a a 8log )32(2+-a a （4）8.0log ,log 23π题型三、定义域和值域例：求函数)65(log 22+-=x x y 定义域、值域题型四：对数函数的单调性——同增异减 例1：求函数y=log0.3(x2-4x+3)的单调区间例2：若函数y=–log2(x2 –2ax +a)在(–∞ , –1)上是增函数，求a 的取值范围．题型五：对数函数的奇偶性例：判断的单调性课堂练习：1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）.A. (2,)+∞B. (,2)-∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞3. 不等式的41log 2x >解集是（ ）.A. (2,)+∞B. (0,2) B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)24.已知f(x)=a x ,g(x)=log a x(a>0,a≠1)，若f(3)×g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为（ ）5.已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) A （0，1） B （1，2） C （0，2） D ∞[2，+）6.求值：(1)； (2)； (3).7.右图是函数1log a y x =，2log a y x =3log a y x =， 4log a y x =的图象，则底数之间的 关系为 .8.已知3a =5b =c ，，求c 的值.9.求函数y=(-x 2+2x+3)的值域和单调区间.10.判断奇偶性课后练习： 1．3log 9log 28的值是（ ） A ．32 B ．1 C ．23D ．2 2．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ） A ．z ＜x ＜y B ．x ＜y ＜z C ．y ＜z ＜x D ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 C.0 D.214．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．b a b a +++12 B ．b a ba +++12 C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+125．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为 ( ）A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或6.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．(21，1] D ．(－∞，1) 7．已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞ 1B ．0≤a ＜ 1C ．0＜a ＜1D ．0≤a ≤18.已知f (e x)=x ，则f (5)等于（ ）A ．e 5 B ．5eC ．ln5D ．log 5e9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ）A B C D10．若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[223,2]- B ．)223,2⎡-⎣C ．(223,2⎤-⎦D ．()223,2-11.若2log 2,log 3,m na a m n a +=== 。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.设命题函数的定义域为;命题对一切的实数恒成立,如果命题“”为假命题,求实数的取值范围.【答案】a≤2．【解析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假p，q至少有一个为假命题，故其反面为：p，q都为真命题；先求出p，q都为真命题时实数k的取值范围，再求其在实集上的补集就是所求实数k的取值范围．试题解析：要使函数的定义域为R，则不等式对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为-x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．记，∴要使3x-9x＜a对一切的实数x恒成立，则a＞，即q：a＞．要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．【考点】复合命题的真假．2.函数y＝(x2－4x＋3)的单调递增区间为()A．(3，＋∞)B．(－∞，1)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.∴函数y＝(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．3.函数y＝的定义域为________．【答案】(－2,8]【解析】由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤lg 10，则，解得－2<x≤8，故函数y＝的定义域为(－2,8]．4.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.5.（5分）（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍．【答案】6，10000【解析】根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴．故答案耿：6，10000．点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．6.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则 ()A．a<c<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c 【答案】D【解析】因为log45>1,0<log54<1,0<log53<1，所以(log53)2<log53<log54，所以b<a<c，选D.7.函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选C．8.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.9.定义“正对数”：现有四个命题:①若，则;②若，则;③若，则;④若，则．其中的真命题有．(写出所有真命题的编号)【答案】①③④【解析】对于①:当时，有，此时;当时，有，此时;当时，有，此时，而综合知①正确对于②:令，则，而，故不成立，②错误对于③:当时，有，或，或验证知: 成立;当时，有，或，或，验证知:成立;当时，成立，故③正确对于④:分四种情况讨论:当时，不妨令，有此时成立;同理，当或或时，成立，故④正确综合知①③④正确10.如果函数的图像过点，则________.【答案】1【解析】依题意得.所以.【考点】1.函数的知识.2.数列的求和公式.3.极限的运算.11..【答案】2【解析】由对数运算法则得：.【考点】对数运算.12.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求函数f(x)的值域．【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0]【解析】(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝lg(1－x2)＋x4－2x2，设t＝1－x2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．所以y＝lg(1－x2)＋x4－2x2＝lgt＋(t2－1)，t∈(0，1]，设0<t1<t2≤1，则lgt1<lgt2，<，所以lgt1＋(－1)<lgt2＋(－1)，所以函数y＝lgt＋(t2－1)在t∈(0，1]上为增函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．13.设a是实数，讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实数解的个数．【答案】两个【解析】原方程等价于方程组即在同一坐标系下作直线y＝a 与抛物线y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图象，由图可知，当1<a≤3或a＝时，原方程只有一个实数解；当3<a< 时，原方程有两个不同的实数解．14.求下列各式的值．(1)log535＋2－log5－log514；(2)log2×log3×log5.【答案】（1）2（2）－12 【解析】(1)原式＝log 5＋2＝log 553－1＝2.(2)原式＝＝－12.15. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．【答案】【解析】左边＝log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a＝log a (m ＋n)，∴已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m 、n 为正整数，∴解得16. 若点(a,b)在y=lgx 的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( )A ．(,b)B ．(10a,1-b)C ．(,b+1)D ．(a 2,2b)【答案】D【解析】∵点(a,b)在函数y=lgx 的图象上, ∴b=lga,则2b=2lga=lga 2,故点(a 2,2b)也在函数y=lgx 的图象上.17. 已知实数a,b 满足等式2a =3b ,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中可能成立的关系式有( ) A ．①②③ B ．①②⑤ C ．①③⑤ D ．③④⑤【答案】B【解析】设2a =3b =k, 则a=log 2k,b=log 3k.在同一直角坐标系中分别画出函数y=log 2x,y=log 3x 的图象如图所示,由图象知:a<b<0或0<b<a 或a=b.18. 已知函数f(x)=|log 2x|,正实数m,n 满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2,则m,n 的值分别为( )A ．,2B ．,4C ．,D ．,4【答案】A【解析】f(x)=|log2x|=则函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, 又m<n且f(m)=f(n),则0<m<1,n>1,∴0<m2<m<1,∴f(m2)>f(m)=f(n),即函数f(x)在区间[m2,n]上的最大值为f(m2).由题意知f(m2)=2,即-log2m2=2,∴m=,由f(m)=f(n)得-log2=log2n,∴n=2.19.已知函数，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数，所以，，所以=，选A.【考点】分段函数，对数运算，指数运算.20.已知，不等式成立，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，，所以恒成立，须恒成立.所以，故答案为.【考点】绝对值的几何意义，对数函数的性质.21.已知函数.（1）若，当时，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，当时，，故，当然求反函数还要求出反函数的定义域即原函数的值域；（3）可转化为，这样利用对数函数的性质得，变成了整式不等式，问题转化为不等式在区间上有解，而这个问题通常采用分离参数法，转化为求相应函数的值域或最值．试题解析：（1）原不等式可化为 1分所以，， 1分得 2分（2）因为是奇函数，所以，得 1分当时，2分此时，，所以 2分（3）由题意， 1分即 1分所以不等式在区间上有解，即 3分所以实数的取值范围为 1分【考点】(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式有解问题．22.______________.【答案】【解析】.故填.本题关键是对数的基本运算.同底的对数的加减运算，运算法则是底数不变真数相乘或相除.结合对数的性质及可得结论.【考点】1.对数的性质.2.对数的加减运算.23.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.24.关于的不等式（为实常数）的解集为，则关于的不等式的解集为 .【答案】【解析】，则.由题意得：不等式的解为.所以，不等式即为，.【考点】1、一元二次不等式、指数不等式及对数不等式的解法；2、韦达定理.25.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】解得：.【考点】求函数的定义域26.的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】1、对数的性质及求值；2、三角函数的恒等变换及化简求值.27.给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】①在区间上，，是减函数，，是增函数，错误；②如图在第一象限，底数越大，函数的图像越高，∴，正确；③函数的图像向右平移一个单位，得到的图像，对称中心为（1,0），正确；④或或或，正确.【考点】幂函数，对数函数，指数函数的图像与性质.28.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，且，.【考点】指数与对数运算29.已知数列满足，且，则的值是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由可以推出，数列是以3为公比的等比数列，故，故.【考点】等比数列性质和对数运算.30.已知函数.（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；（2）用定义证明函数在上是增函数；（3）如果当时，函数的值域是，求与的值.【答案】．解：（1），函数是奇函数.（2）设、算、证、结（3），【解析】思路分析：（1）由，求得计算知函数是奇函数.另证：对任意0，（2）利用“定义”“设、算、证、结”。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)【答案】Ｄ【解析】首先由得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令，则在（０，＋∞）是减函数，又因为在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ．【考点】复合函数的单调性．2.已知函数为奇函数则实数的值为【答案】1【解析】由奇函数得：，，，因为，所以【考点】奇函数3.计算．【答案】2【解析】【考点】对数式的运算.4.已知函数为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选D.【考点】对数函数的图象和性质.5.设且.若对恒成立,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时显然不成立.当时，结合图象可知：.【考点】对数函数与三角函数.6.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.7. (1)解方程：(2)已知命题命题且命题是的必要条件，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解对数方程，一般把利用对数的运算法则把对数方程变形为，转化为代数方程，但解题过程中要注意对数函数的定义域，即，；（2）这类问题的解决，首先要把两个命题化简，本题中命题化为：，命题是命题的必要条件，说明由命题成立可推导出命题也成立，若把命题成立时的变量的集合分别记为，从集合角度，即有，由此我们可得出关于的不等关系，从而求出的取值范围. 试题解析：（1）解：由原方程化简得，即：所以，，解得.（2）解：由于命题是的必要条件，所以，所以.【考点】（1）对数方程；（2）充分与必要条件.8.函数f(x)＝ln是________(填“奇”或“偶”)函数．【答案】奇【解析】因为f(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．9.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．【答案】(3，＋∞)【解析】因为f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，得a＋2b＝a＋.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)＝a＋，则f′(a)＝1－＜0，所以f(a)在a∈(0，1)上为减函数，得f(a)>f(1)＝1＋2＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．10.设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则a、b、c的大小关系是________．【答案】a＞c＞b【解析】本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c＝lge，作商比较知c>b，故a>c>b.x|,正实数m、n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2, 11.已知函数f(x)=|log2则m+n等于()A．-1B．C．1D．2【答案】B【解析】由函数f(x)=|log2x|的图象知,当m<n且f(m)=f(n),得mn=1,且0<m<1<n.∴0<m2<m<1<n.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,∴|log2m2|=2,∴m=,n=2,∴m+n=.12.设则a，b，c的大小关系为A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.13.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，∀x1≥0，∀x2≥0，若x1≠x2，则＜0.如果f＝，4f()＞3，那么x的取值范围为()A．B．C．∪(2，＋∞)D．∪【答案】B【解析】依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f()＞3等价于f()>，f(||)＞f，||＜，即－＜＜，由此解得＜x＜2，故选B.14.计算:lg-lg+lg7=.【答案】【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.15.已知函数.（1）若，当时，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，当时，，故，当然求反函数还要求出反函数的定义域即原函数的值域；（3）可转化为，这样利用对数函数的性质得，变成了整式不等式，问题转化为不等式在区间上有解，而这个问题通常采用分离参数法，转化为求相应函数的值域或最值．试题解析：（1）原不等式可化为 1分所以，， 1分得 2分（2）因为是奇函数，所以，得 1分当时，2分此时，，所以 2分（3）由题意， 1分即 1分所以不等式在区间上有解，即 3分所以实数的取值范围为 1分【考点】(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式有解问题．16.设，则之间的关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调增，因为，则，综上所述选A．【考点】1.对数函数;2.幂函数的单调性17.使不等式（其中）成立的的取值范围是．【答案】【解析】即，而，所以，，答案为.【考点】对数函数及其性质18.已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，因为且，所以.【考点】对数的运算.19.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数的值为．【答案】．【解析】由题意函数的值域为，，则，当即时，，；当即时，，，．【考点】对数函数的值域.20.设，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】对数比较大小21.函数，其中满足且∥，则_________。
对数函数性质及练习(有答案)
对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较(3)底数a对对数函数的图象的影响①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A 43，35，110B ，43，110，35C ．43，35，110 D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110．答案：A点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 (1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． (2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称． (3)求已知函数的反函数，一般步骤如下： ①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ； ②把x 替换为y ，y 替换为x ；③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12x C ．12log x D ．2x －2解析：因为函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ， 又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ． 答案：A 【例3－2】函数f (x )＝3x(0＜x ≤2)的反函数的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞) 解析：∵ 0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9，即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点( ) A．(5,1) B．(1,5) C．(1,1) D．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝log a x(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m＝n，这时先把对数式log a m＝n化为指数式的形式a n＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝k n(k＞0，且k≠1)，则解得a＝k＞0．还可以直接写出1na m=，再利用指数幂的运算性质化简1nm．例如：解方程log a4＝－2，则a－2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a=±．又a＞0，所以12a=．当然，也可以直接写出124a-=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a---====．【例4－1】已知f(e x)＝x，则f(5)＝( )A．e5B．5e C．ln 5 D．log5e解析：(方法一)令t＝e x，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t，即f(x)＝ln x．所以f(5)＝ln 5．(方法二)令e x＝5，则x＝ln 5，所以f(5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f(x)的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f(3)的值．分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，∵对数函数f(x)的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log299af⎛⎫==⎪⎝⎭．∴a2＝19．∴a＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f(x)＝13log x．∴f(3)＝111331log 3log3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)＝12，试求b的值．解：设f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，则它的反函数为y＝a x(a＞0，且a≠1)，由条件知a2＝9＝32，从而a＝3．于是f(x)＝log3x，则f(b)＝log3b＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝log 5(1－x )；(2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)y=．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解． 解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1， 所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y=的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数； ②求f (x )的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4． 又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2． 答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况： (1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小． 要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较log a ab，log bba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜ba＜b，∴0＜log bba＜1．由log b a－log bba＝2logbab，∵a2＞b＞1，∴2ab＞1．∴2logbab＞0，即log b a＞log bba．∴log a b＞log b a＞log b ba＞log aab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a＞0，且a≠1时，有①log a f(x)＝log a g(x)⇔f(x)＝g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；②当a＞1时，log a f(x)＞log a g(x)⇔f(x)＞g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；③当0＜a＜1时，log a f(x)＞log a g(x)⇔f(x)＜g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f(x)＞log a g(x)的不等式，借助函数y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．②形如log a f(x)＞b的不等式，应将b化为以a为对数的对数式的形式，再借助函数y＝log a x的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集． ④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33xx x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32．(2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ． ∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )的定义域是⎝⎛⎭⎫－∞，32．设u ＝3－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32，∵u ＝3－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数，且y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝log 2(3－2x )在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数．∴函数y ＝log 2(3－2x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，32．【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x)的单调区间．解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x)在(－∞，1)上递减． (2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x)在(1，＋∞)上递减． 综上所述，函数y ＝log a (a －a x)在其定义域上递减．析规律 判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法 函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围． 解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立． ∴1,2210,2au ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩ ∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝log )a x ＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1ax x +-(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11x x+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (－x )＝1log 1a x x -+＝1log 1a x x+--＝－f (x )， 又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数． (3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11x x+-＞1，解得0＜x ＜1； 当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11x x +-＜1，解得－1＜x ＜0． 故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(单位：km/s)关于燃料重量x(单位：吨)的函数关系式为y＝k ln(m＋x)－k)＋4ln 2(k≠0)，其中m是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m吨时，火箭的最大速度是4 km/s．(1)求y＝f(x)；(2)已知长征二号F型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8 km/s，求装载的燃料重量(e＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x＝1)m时，y＝4，则4＝k ln[m＋－1)m]－k)＋4ln 2，解得k＝8．所以y＝8ln(m＋x)－)＋4ln 2，即y＝8ln m x m+．(2)由于m＋x＝479.8，则m＝479.8－x，令479.888ln479.8x=-，解得x≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。
对数函数含答案
一、对数函数的图像及性质①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下②对数函数的性质：定义域：()0,+∞； 值域：R ； 过点()1,0，即当1x =时，0y =. 当0a >时，在()0,+∞上是增函数；当01a <<时，在()0,+∞上是减函数。
二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图像关于直线y x =对称.。
题型一 对数函数的基本性质【例1】 下面结论中，不正确的是A.若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数B.函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >>【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 两个函数的定义域不同，2log a y x =的定义域为{}|0,x x x R ≠∈，而2l o g ay x =的定义域为{}|0,x x x R >∈.【答案】C【例2】 图中的曲线是log a y x =的图象，已知a的值为43，310，15，则相应曲线典例分析板块二.对数函数1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A. 43，15，310B. 43，310，15C. 15，310，43D. 43310，15【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例3】 当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.A B C D 【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】C【例4】 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.B. 2C. D. 4 【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2007年,全国卷.高考 【解析】 【答案】D【例5】 若23log 1a <，则a 的取值范围是A.203a <<B.23a >C.213a <<D.203a <<或a ＞1【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 显然答案中应该包括1，而只有B 选项包含1，故应选B. 【答案】B【例6】 比较两个对数值的大小：ln 7 l n 12 ； 0.5log 0.7 0.5l o g 0.8. 【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】 <, > ；【例7】 若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<< 【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【答案】C【例8】 已知111222log log log b a c <<，则（）A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b >>【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2005年，天津文，高考【解析】 ≧1012<<，111222log log log b a c <<∴b a c >>，又21>，∴222b a c >>【答案】A【例9】 下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【答案】B【例10】 下列大小关系正确的是（ ）.A. 30.440.43log 0.3<<B. 30.440.4log 0.33<<C. 30.44log 0.30.43<<D. 0.434log 0.330.4<<【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2005年，山东卷文，高考 【解析】 在同一坐标系中分别画出0.4x y =，3x y =，4log y x =的图象，分别作出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【答案】C【例11】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞b ＞cD.b ＞a ＞c【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】 做直线y =1，与三个图象分别交于横坐标为,,a b c 三点，显然b a c <<，故选A【答案】A【例12】 指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00x y a =.由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称.两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.【答案】两个函数图象关于直线y x =对称.【例13】 如果log 2log 20a b <<，那么a ，b 的关系及范围.【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 由log 20log 1a a <=，可判断01a <<，同理可得01b <<；然后比较两个同真数的对数的大小，利用换底公式很快可找到大小关系.log 20a <即log 2log 1a a <，∴01a <<，同理可得01b <<. 又log 2log 20a b <<，∴110log 2log 2a b >>，即22log log b a <， ∴b a <.即01b a <<<【答案】01b a <<<【例14】 若log 2log 20a b <<，则（）A.01a b <<<B.01b a <<<C.1a b >>D.1b a >>【考点】对数函数的基本性质 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 法一≧log 2log 20a b <<，即22110log log a b<<，≨22log log 0b a <<，≨01b a <<<；法二由log 2log 20a b <<得01a b <<、，再由对数函数的图象得01b a <<<；【答案】B.【例15】 若log 3log 3m n <，求m n 和的关系。
对数函数基础习题(有答案)
1．log 5b ＝2，化为指数式是 ( )A ．5b ＝2B ．b 5＝2C ．52＝bD ．b 2＝5 答案：C2．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是 ( )A ．a >5或a <2B ．2<a <3或3<a <5C ．2<a <5D ．3<a <4 答案：B3．以下结论正确的选项是 ( )①lg(lg10)＝0 ②lg(lne)＝0 ③假设10＝lg x 那么x ＝10 ④假设e ＝ln x ，那么x ＝e 2A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 答案：C4．假设log 31－2x 9＝0，那么x ＝________.答案：－4 5．假设a >0，a 2＝49，那么log 23a ＝________.答案：1 1．log x 8＝3，那么x 的值为 ( )B ．2C ．3D ．4 答案：B2．方程2log 3x ＝14的解是 ( )A ．9 答案：D3．假设log x 7y ＝z 那么 ( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7xD ．y ＝z 7x 答案：B 4．log 5[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-等于 ( )答案：C5．log 6[log 4(log 381)]＝________. 答案：06．log 23278＝________.答案：－3 7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1－x ，x ＞1，假设f (x )＝2，那么x ＝________.答案：log 32 8．假设log a 2＝m ，log a 3＝n ，那么a 2m ＋n ＝________.答案：129．求x . (1)log 2x ＝－23； (2)log 5(log 2x )＝0. 解：(1)x ＝223-＝(12)23 (2)log 2x ＝1，x ＝2. 10．二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值． ∴a ＝1014-.1．假设a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，那么以下各式不恒成立的是 ( )①log a x 2＝2log a x ； ②log a x 2＝2log a |x |；③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |.A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③ 答案：B2计算log 916·log 881的值为 ( )A ．18 答案：C3．lg2＝a ，lg3＝b ，那么log 36＝ ( )答案：B4．log 23＝a,3b ＝7，那么log 1256＝________. 答案：ab ＋3a ＋2 5．假设lg x －lg y ＝a ，那么lg(x 2)3－lg(y 2)3＝________. 6．求值．(1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)log 225·log 34·log 59. 解：(1)－12. (2) 8. 一、1．lg8＋3lg5的值为 ( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案：D2．假设log 34·log 8m ＝log 416，那么m 等于 ( )A ．3B ．9C ．18D ．27 答案：D3．a ＝log 32，用a 来表示log 38－2log 36 ( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 答案：A4．方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两根为α、β，那么(14)α·(14)β＝ ( ) B ．36 C ．－6 D ．6 答案：B5．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1＝________. 答案：16．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0ln x ，x >0，那么g (g (12))＝________ .答案：12 7．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________ ．答案：x ＝48．x 3＝3，那么3log 3x －log x 23＝________. 答案：－129.求值(1)log 34log 98； (2)lg2＋lg50＋31－log 92；解：(1) 43. (2) 2＋322. (3) 2. (3)221log 4＋(169)12-＋lg20－lg2－(log 32)·(log 23)＋(2－1)lg1.10．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值． ＝1.1．函数f (x )＝3x 21－2x＋lg(2x ＋1)的概念域是 ( ) A ．(－12，＋∞) B ．(－12，1) C ．(－12，12) D ．(－∞，－12答案C 2．函数y ＝log a x 的图像如以下图，那么实数a 的可能取值是( )A ．5答案：A3．设a ＝log 123，b ＝(13)，c ＝213，那么a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c 答案：A4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，那么f (f (14))＝________.答案：19 5．(x ＋2)>(1－x )，那么实数x 的取值范围是________．答案：(－2，－12) 6．函数y ＝log a (x ＋b )的图像如以下图，求实数a 与b 的值．b ＝4，a ＝2.1．函数f (x )＝11－x 的概念域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的概念域为N ，那么M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅ 答案：C2．函数f (x )＝log 2(3x ＋3－x )是 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．不是奇函数又不是偶函数答案：B3．如图是三个对数函数的图像，那么a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b 答案：D4．函数f (x )＝|lg x |.假设a ≠b ，且f (a )＝f (b )，那么a ＋b 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案：C5．对数函数的图像过点(16,4)，那么此函数的解析式为________．答案：f (x )＝log 2x6．函数y ＝3＋log a (2x ＋3)(a >0且a ≠1)的图像必通过定点P ，那么P 点坐标________．答案：(－1,3)7．方程x 2＝log 12x 解的个数是________．答案：18．假设实数a 知足log a 2>1，那么a 的取值范围为________．答案：1<a <29．(1)函数y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的概念域为R ，求实数a 的取值范围；(1，＋∞)．(2)函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1]，假设f (x )的概念域为R ，求实数a 的取值范围．a <－54. 10．函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的概念域：此函数的概念域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)判定函数的奇偶性．f (x )为奇函数．1．(2021·天津高考)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，那么 ( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：由于b ＝(log 53)2＝log 53·log 53＜log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c .答案：D2．函数y ＝log 3x －3的概念域是 ( )A ．(9，＋∞)B ．[9，＋∞)C ．[27，＋∞)D ．(27，＋∞) 答案：C3．假设<<0，那么m ，n 知足的条件是 ( )A ．m >n >1B ．n >m >1C ．0<n <m <1D ．0<m <n <1 答案：C4．不等式log 13 (5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．答案：{x |－2<x <1}5．y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，那么a 的取值范围是________．答案：(12，1) 6．函数f (x )＝log a (3－ax )，当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒成心义，求实数a 的取值范围． ∴a 的取值范围是(0,1)∪(1，32)． 1．与函数y ＝(14)x 的图像关于直线y ＝x 对称的函数是 ( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4－x C ．y ＝log 14x D ．y ＝log 4x 答案：C2．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为 ( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案：C3．假设log a (a 2＋1)<log a 2a <0，那么a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞) 答案：B4．函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为减函数，那么a 的取值范围为 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(2，＋∞) 答案：B5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b (x ≤0)log c (x ＋19)(x >0)的图像如以下图，那么a ＋b ＋c ＝________.答案：133 ∴a ＝2，b ＝2.∴c ＝13. 6．集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )假设A ⊆B ，那么a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案：47．函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在[2,3]上的最大值为1，那么a ＝________.答案：38．关于函数f (x )＝lg x x 2＋1有以下结论：①函数f (x )的概念域是(0，＋∞)；②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的最小值为－lg2；④当0<x <1时，函数f (x )是增函数；当x >1时，函数f (x )是减函数．其中正确结论的序号是________．答案：①④9．对a ，b ∈R 概念运算“*〞为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，假设f (x )＝[log 12(3x －2)]*(log 2x )，试求f (x )的值域．解：f (x )＝⎩⎨⎧ log 12(3x －2) (x ≥1)，log 2x (23<x <1) 当x ≥1时，log 12(3x －2)≤0，当23<x <1时，1－log 23<log 2x <0， 故f (x )的值域为(－∞，0]．。
2023年高考数学总复习：对数函数(附答案解析)
2023年高考数学总复习：对数函数一．选择题（共11小题）1．（2021秋•成都期中）函数log (1)(0a y x a =+>，且1)a ≠与函数221y x ax =-+在同一直角坐标系中的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．（2021秋•成都期中）已知函数()log 2(0,1)a f x x a a =+>≠在区间1[2，4]上的最大值为4，则a 的值为( ) A ．12B ．2C ．22D ．2或223．（2021秋•仙桃月考）已知集合2{|20}M x x x =+-<，{|(2)0}N x lg x =+>，则(MN =)A ．(2,)-+∞B ．(1,1)-C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞4．（2021秋•河北月考）函数1(1)y ln x =+的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．5．计算72log 22341277log 2225(64lne lg lg ⨯-+--= ) A ．20B ．21C ．9D ．116．计算3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是( ) A ．1B ．32C ．2D ．37．（2021春•昌江区校级期末）已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．3e e π< B ．3log log e e π>C ．2233e e ππ--⋅<⋅D ．3log 3log e e ππ>8．（2021春•烟台期末）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的23．若该物质的剩余质量变为原来的14，则经过的时间大约为( )(20.301lg ≈，30.477)lg ≈A ．2.74年B ．3.42年C ．3.76年D ．4.56年9．（2021秋•西城区校级期中）已知2log 3a =，则44a a -+的值为( ) A ．52B ．103C ．376D ．82910．（2021秋•10月份月考）方程24log log (23)x x =+的解为( ) A ．1- B ．1C ．3D ．1-或311．1223(0.25)(log 3)(log 4)-+⋅的值为( )A ．52B ．2C ．3D ．4二．填空题（共7小题）12．（2021秋•裕安区校级月考）已知函数()log (2)a f x x a =-在区间12[,]33上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围为 ．13．（2020秋•赣榆区校级月考）已知函数()log ()a f x x m n =-+的图象恒过定点(3,5)，则lgm lgn +的值是 ．14．（2021春•南开区期末）计算：23192log 3log 8⋅= ．15．（2021春•温州期末）若2log 3a =，3log 4b =，则4a = ；22log log a b += ． 16．（2021春•金山区校级期末）方程22log 13x +=的解x = ．17．（2021春•杭州期末）已知2lg a =，3lg b =，则2log 12= （用a ，b 表示）． 18．（2021•梁园区校级模拟）已知0.12a -=，2log 3b =，4log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系为 （按从大到小顺序排列）．2023年高考数学总复习：对数函数参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2021秋•成都期中）函数log (1)(0a y x a =+>，且1)a ≠与函数221y x ax =-+在同一直角坐标系中的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换；对数函数的图象与性质 【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象【分析】由函数log (1)a y x =+与函数221y x ax =-+的图象特征，结合选项直接得解． 【解答】解：函数221y x ax =-+的对称轴为x a =，且恒过定点(0,1)，观察选项可知，选项C 可能符合，若选C ，则由图象可知，此时01a <<，函数log (1)a y x =+单调递减，且恒过定点(0,0)，符合题意． 故选：C ．【点评】本题主要考查二次函数与对数函数的图象，考查数形结合思想，属于基础题． 2．（2021秋•成都期中）已知函数()log 2(0,1)a f x x a a =+>≠在区间1[2，4]上的最大值为4，则a 的值为( )A ．12B ．2CD ．2 【答案】D【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质 【专题】分类讨论；数学运算【分析】对数函数的底数的范围不确定时，要分类讨论．【解答】\解：当1a >时，()max f x f =（4）log 424a =+=，所以2a =．当01a <<时，11()()log 2422max a f x f ==+=，所以a ．故选：D ．【点评】利用对数函数的单调性解最值．3．（2021秋•仙桃月考）已知集合2{|20}M x x x =+-<，{|(2)0}N x lg x =+>，则(MN =)A ．(2,)-+∞B ．(1,1)-C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞【答案】A【考点】并集及其运算；对数函数的图象与性质 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算 【分析】求出集合M ，N ，利用并集定义能求出MN ．【解答】解：集合2{|20}(2,1)M x x x =+-<=-，{|(2)0}(1N x lg x =+>=-，)+∞， 则(2,)MN =-+∞，故选：A ．【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2021秋•河北月考）函数1(1)y ln x =+的大致图象为( )A．B．C．D．【答案】A【考点】对数函数的图象与性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】由12x=-时，0y<，排除B，D，再取12x=时，0y>，故排除C，即可得到答案．【解答】解：由题意可得10(1)0xln x+>⎧⎨+≠⎩，解得定义域{|1x x>-且0}x≠，当12x =-时，1110112(1)22y ln ln ln ===-<-+，∴排除B ，D ； 当12x =时，11013(1)22y ln ln ==>+，故排除C ， 故选：A ．【点评】本题考查了对函数图象，通过对函数性质的探究，排除不合题意的选项，可得出正确结果，属于基础题． 5．计算72log 22341277log 2225(64lne lg lg ⨯-+--= ) A ．20 B ．21 C ．9 D ．11【答案】B【考点】对数的运算性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算；计算题 【分析】利用有理数指数幂和对数的运算性质求解． 【解答】解：原式233343242222592322(25)1832221log lg lg lg lg ⨯-=⨯-+--=⨯++-+=++-=．故选：B ．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础题． 6．计算3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是( ) A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【考点】对数的运算性质【专题】转化思想；转化法；计算题；函数的性质及应用；数学运算 【分析】利用对数的运算法则及换底公式求解即可． 【解答】解：3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅ 24589932323458333lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg =⋅⋅⋅====． 故选：C ．【点评】本题考查了对数运算法则及换底公式的运用，属于基础题．7．（2021春•昌江区校级期末）已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．3e e π< B ．3log log e e π>C ．2233e e ππ--⋅<⋅D ．3log 3log e e ππ>【答案】D【考点】对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据幂函数的单调性即可判断A 错误；根据对数的换底公式和对数函数的单调性即可判断B 错误；根据幂函数的单调性即可判断C 错误；根据不等式的性质即可判断D 正确．【解答】解：A ．3π>，0e >，3e e π∴>，A ∴错误； 311.,3B log e log e ln ln ππ==，且30ln ln π>>， ∴113ln ln π<， 3log log e e π∴<，B ∴错误；C ．30e -<，333e e π--∴>， 212133e e ππ----∴⋅>⋅， 2233e e ππ--∴⋅>⋅，C ∴错误；D．330log e log e ππ>⎧⎨>>⎩， 3log 3log e e ππ∴>，D ∴正确．故选：D ．【点评】本题考查了幂函数和对数函数的单调性，不等式的性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．8．（2021春•烟台期末）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的23．若该物质的剩余质量变为原来的14，则经过的时间大约为( )(20.301lg ≈，30.477)lg ≈A ．2.74年B ．3.42年C ．3.76年D ．4.56年【答案】B【考点】对数的运算性质【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】该物质的剩余质量变为原来的14，设经过的时间大约为n 年，设该种放射性物质原来质量为a ，列出方程，再由对数的运算能求出结果． 【解答】解：该物质的剩余质量变为原来的14，设经过的时间大约为n 年， 设该种放射性物质原来质量为a ， 则21()34n a a ⋅=⋅，23112220.3014 3.4224230.3010.4773lglg n log lg lg lg --⨯∴===≈≈--（年)．故选：B ．【点评】本题考查对数在生产生活中的应用，考查对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（2021秋•西城区校级期中）已知2log 3a =，则44a a -+的值为( ) A ．52B ．103C ．376D ．829【答案】D【考点】对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】利用对数的运算性质求解．【解答】解：2log 3a =，222223393282444422939log log log log a a ----∴+=+=+=+=， 故选：D ．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．10．（2021秋•10月份月考）方程24log log (23)x x =+的解为( ) A ．1- B ．1 C ．3 D ．1-或3【答案】C【考点】对数的运算性质【专题】计算题；方程思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据对数的运算性质解方程即可．【解答】解：24log log (23)x x =+，即为221log log (23)2x x =+，即222log log (23)x x =+，则2023x x x >⎧⎨=+⎩，解得3x =，故选：C ．【点评】本题考查了对数的运算方程，考查了运算求解能力，属于基础题． 11．1223(0.25)(log 3)(log 4)-+⋅的值为( )A ．52B ．2C ．3D ．4【答案】D【考点】对数的运算性质【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】根据对数的运算性质计算即可． 【解答】解：1223(0.25)(log 3)(log 4)-+⋅12()23220.522423lg lg lg lg ⨯-=+⋅=+=， 故选：D ．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题． 二．填空题（共7小题）12．（2021秋•裕安区校级月考）已知函数()log (2)a f x x a =-在区间12[,]33上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围为 1(3，2)3 ．【答案】1(3，2)3．【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，函数的恒成立问题，求得实数a 的取值范围．【解答】解：函数()log (2)a f x x a =-在区间12[,]33上恒有()0f x >，即当1a >时，21x a ->，或当01a <<时，021x a <-<．∴11213a a >⎧⎪⎨⨯->⎪⎩①，或011021320213a a a ⎧⎪<<⎪⎪<⨯-<⎨⎪⎪<⨯-<⎪⎩②．由①求得a ∈∅，由②求得1233a <<．综合可得实数a 的取值范围为1(3，2)3，故答案为：1(3，2)3．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，函数的恒成立问题，属于中档题． 13．（2020秋•赣榆区校级月考）已知函数()log ()a f x x m n =-+的图象恒过定点(3,5)，则lgm lgn +的值是 1 ．【答案】1．【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】先利用对数函数恒过的定点，由函数的图象变换，即可求出m ，n 的值，再利用对数的运算性质求解即可．【解答】解：因为函数log a y x =的图象恒过定点(1,0)，又函数log a y x =的图象向右平移m 个单位，向上平移n 的个单位，即可得到函数()log ()a f x x m n =-+的图象，则函数()log ()a f x x m n =-+的图象恒过定点(1,)m n + 又函数()log ()a f x x m n =-+的图象恒过定点(3,5)， 故13m +=，5n =， 即2m =，5n =，所以25101lgm lgn lg lg lg +=+==． 故答案为：1．【点评】本题考查了对数函数图象和性质的应用，函数图象变换的应用，对数运算性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．14．（2021春•南开区期末）计算：23192log 3log 8⋅= 1- ．【答案】1-．【考点】对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】根据对数的换底公式和对数的运算性质运算即可． 【解答】解：原式2923log 3log 4log 3log 21=-⋅=-⋅=-． 故答案为：1-．【点评】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 15．（2021春•温州期末）若2log 3a =，3log 4b =，则4a = 9 ；22log log a b += ． 【答案】9，1． 【考点】对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】根据2log 3a =可得出23a =，进而得出4a 的值，可得出223b log =，从而可求出ab 的值，进而得出22log log a b +的值． 【解答】解：2log 3a =， 23a ∴=，24(2)9a a ∴==， 又3log 4b =，∴2224323log ab log log =⋅=， 2222log log log log 21a b ab ∴+===．故答案为：9，1．【点评】本题考查了对数的定义，对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．16．（2021春•金山区校级期末）方程22log 13x +=的解x = 2 ． 【答案】2．【考点】对数的运算性质【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】根据已知条件，运用对数的运算公式，即可求解． 【解答】解：22log 13x +=， 2log 1x ∴=，即2x =．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 17．（2021春•杭州期末）已知2lg a =，3lg b =，则2log 12= 2a ba+ （用a ，b 表示）． 【答案】2a ba+． 【考点】对数的运算性质【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】利用对数的运算法则知212223log 1222lg lg lg lg lg +==，由此能求出结果． 【解答】解：2lg a =，3lg b =， 2122232log 1222lg lg lg a blg lg a ++∴===． 故答案为：2a ba+． 【点评】本题考查对数的运算，考查对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（2021•梁园区校级模拟）已知0.12a -=，2log 3b =，4log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系为 c b a >> （按从大到小顺序排列）． 【答案】c b a >>． 【考点】对数值大小的比较【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】利用指数函数的性质、对数函数的性质与特殊值0和1进行比较，即可得到答案．【解答】解：因为0.10221a -=<=，422log 10log log 21c b ==>>=， 所以a ，b ，c 的大小关系为c b a >>． 故答案为：c b a >>．【点评】本题考查了对数值、指数值大小的比较，解题的关键是掌握指数函数的性质、对数函数的性质的应用，与特殊值0和1进行比较，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．。
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3.2 对数函数中档题一．填空题（共10小题）1．（2016•长沙校级模拟）函数y=2x+log2x在区间[1，4]上的最大值是．2．（2016•江西模拟）若函数f（x）=alog2x+blog3x+2，且，则f（2012）的值为．3．（2016•普陀区一模）方程的解x=．4．（2016•静安区一模）方程的解为．5．（2016•延边州模拟）已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=log a（ax2﹣2x+3）在[，2]上是增函数，则a的取值范围是．6．（2016•泰州二模）已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．7．（2016春•高安市校级期末）若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是．8．（2016春•丰城市校级期末）若函数f（x）=|log a x|（0＜a＜1）在区间（a，3a﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围是．9．（2016春•宝应县期中）已知a=log0.23，b=（π﹣3）﹣1，c=2﹣1；则a，b，c从小到大排列是．（用“＜”连接）10．（2016春•桐城市校级月考）函数f（x）=|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b ﹣a的最小值为．二．解答题（共12小题）11．（2016•广州二模）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．12．（2016春•徐州期末）已知函数f（x）=log2．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=3x2+6x+2在[﹣1，a]（a＞﹣1）内的值域为B，且A∩B=∅，求实数a 的取值范围．13．（2016春•泉州校级期末）设a、b∈R，且a≠1，若奇函数f（x）=lg在区间（﹣b，b）上有定义．（1）求a的值；（2）求b的取值范围；（3）求解不等式f（x）＞0．14．（2016春•宁夏校级期末）已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．15．（2016春•重庆校级期中）已知函数g（x）=log2（x﹣1），f（x）=log（x+1），（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．16．（2016春•淄博校级月考）已知函数f（x）=lg（m x﹣2x）（0＜m＜1）．（1）当m=时，求f（x）的定义域；（2）试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，求m的取值范围．17．（2015•天津校级模拟）对于函数f（x）=log（x2﹣ax+3），解答下列问题：（1）若f（x）的定义域是R，求a的取值范围；（2）若f（x）的值域是R，求a的取值范围；（3）若f（x）在[﹣1，+∞）内上有意义，求a的取值范围；（4）若f（x）的值域是（﹣∞，﹣1]，求a的取值范围；（5）若f（x）在（﹣∞，﹣1]内为增函数，求a的取值范围．18．（2015•信阳模拟）已知函数f（x）=log2（2x+1）（Ⅰ）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（Ⅱ）若g（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），且关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．19．（2015•万州区模拟）函数f（x）=（m＞0），x1，x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=．（1）求m的值；（2）解不等式f（log2（x﹣1）﹣1）＞f（（x﹣1）﹣）．20．（2015春•临沂校级期中）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），其中（a ＞0且a≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求h（x）的定义域；（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若a=log327+log2，求使f（x）＞1成立的x的集合．21．（2015秋•莆田校级月考）在对数函数y=log x的图象上（如图），有A、B、C三点，它们的横坐标依次为t、t+2、t+4，其中t≥1，（1）设△ABC的面积为S，求S=f（t）；（2）判断函数S=f（t）的单调性；（3）求S=f（t）的最大值．22．（2014秋•抚顺期中）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．（1）求f（3）的值；（2）若令t=log3x，求实数t的取值范围；（3）将y=f（x）表示成以t（t=log3x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．3.2 对数函数中档题参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2016•长沙校级模拟）函数y=2x+log2x在区间[1，4]上的最大值是．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性直接求解即可．【解答】解：∵y=2x和y=log2x在区间[1，4]上都是增函数，∴y=2x+log2x在区间[1，4]上为增函数，即当x=4时，函数y=2x+log2x在区间[1，4]上取得最大值y=y=24+log24=16+2=18，故答案为：18【点评】本题主要考查函数最值的计算，利用指数函数和对数的函数的单调性是解决本题的关键．2．（2016•江西模拟）若函数f（x）=alog2x+blog3x+2，且，则f（2012）的值为．【分析】利用对数的运算性质，可得，由此，即可求解f（2012）的值．【解答】解：由函数f（x）=alog2x+blog3x+2，得f（）=alog2+blog3+2=﹣alog2x﹣blog3x+2=4﹣（alog2x+blog3x+2），因此f（x）+f（）=4再令x=2012得f（2012）+f（）=4所以f（2012）=4﹣=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了对数的运算性质，函数的简单性质，利用互为倒数的两个自变量的函数值之间的关系，是解决本题的关键．3．（2016•普陀区一模）方程的解x=．【分析】化简可得4x﹣5=4（2x﹣2），从而可得（2x）2﹣4•2x+3=0，从而解得．【解答】解：∵，∴4x﹣5=4（2x﹣2），即（2x）2﹣4•2x+3=0，∴2x=1（舍去）或2x=3；∴x=log23，故答案为：log23．【点评】本题考查了对数运算及幂运算的应用，同时考查了指数式与对数式的互化．4．（2016•静安区一模）方程的解为．【分析】利用换底公式变形，转化为一元二次方程，求解后验根得答案．【解答】解：由方程，得=3，即，∴，∴2lg（x﹣1）=lg（x2+x﹣8）．∴（x﹣1）2=x2+x﹣8解得：x=3．验证当x=3时，原方程有意义，∴原方程的解为x=3．故答案为：x=3．【点评】本题考查对数的运算性质，考查了对数方程的解法，关键是注意验根，是基础题．5．（2016•延边州模拟）已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=log a（ax2﹣2x+3）在[，2]上是增函数，则a的取值范围是．【分析】对a是否大于1进行分情况讨论，利用复合函数的单调性得出二次函数在[，2]的单调性，列出不等式组解出a的范围．【解答】解：设g（x）=ax2﹣2x+3，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=．（1）若0＜a＜1，则g（x）在[，2]上是减函数，且g min（x）＞0，∴，解得；（2）若a＞1，则g（x）在[，2]上是增函数，且g min（x）＞0，∴，解得a≥2．综上，a的取值范围是（，]∪[2，+∞）．【点评】本题考查了复合函数的单调性，对数函数，二次函数的性质，属于中档题．6．（2016•泰州二模）已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，∴，解得：∴a+b=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数的图象，方程思想，难度中档．7．（2016春•高安市校级期末）若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是．【分析】若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，由函数y=log a t为增函数，且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正，由此构造不等式组，解得答案．【解答】解：若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，由函数y=log a t为增函数，且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正，即，解得：a＞2，故实数a的取值范围是：a＞2．故答案为：a＞2【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．8．（2016春•丰城市校级期末）若函数f（x）=|log a x|（0＜a＜1）在区间（a，3a﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围是．【分析】由f（x）在（a，3a﹣1）上递减，知（a，3a﹣1）⊆（0，1），结合已知a的范围可求．【解答】解：当0＜x＜1时，f（x）=log a x递减；当x＞1时，f（x）=﹣log a x递增，所以f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，因为f（x）在（a，3a﹣1）上递减，所以（a，3a﹣1）⊆（0，1），所以，解得a，故答案为：a．【点评】本题考查复合函数单调性，解决本题的关键是正确理解“f（x）在区间（a，3a﹣1）上单调递减”的含义，注意（a，3a﹣1）为减区间的子集．9．（2016春•宝应县期中）已知a=log0.23，b=（π﹣3）﹣1，c=2﹣1；则a，b，c从小到大排列是．（用“＜”连接）【分析】由于a=log0.23＜0，b=（π﹣3）﹣1＞1，c=2﹣1=，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=log0.23＜0，b=（π﹣3）﹣1＞1，c=2﹣1=，∴a＜c＜b，故答案为：a＜c＜b．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（2016春•桐城市校级月考）函数f（x）=|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b ﹣a的最小值为．【分析】先画出函数图象，再数形结合得到a、b的范围，最后计算b﹣a的最小值即可【解答】解：函数f（x）=|log3x|的图象如图而f（）=f（3）=1由图可知a∈[，1]，b∈[1，3]b﹣a的最小值为a=，b=1时，即b﹣a=故答案为【点评】本题考查了数形结合解决函数问题的方法，解题时要准确画图，精确分析，善于用形解决代数问题二．解答题（共12小题）11．（2016•广州二模）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3；又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；∴a+8≤3，即a≤﹣5；∴a的最大值为﹣5．【点评】本题考查对数的真数大于0，函数定义域的定义及求法，不等式的性质，以及含绝对值不等式的解法，恒成立问题的处理方法．12．（2016春•徐州期末）已知函数f（x）=log2．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=3x2+6x+2在[﹣1，a]（a＞﹣1）内的值域为B，且A∩B=∅，求实数a 的取值范围．【分析】（1）通过对数定义域求得f（x）定义域（2）根据g（x）单调性，求g（x）的值域，并计算两集合关系【解答】解：（1）由题知，即（2x﹣1）（x+2）＞0，所以定义域A=（2）g（x）的轴为x=﹣1，∴g（x）在[﹣1，a]上单调递增，∴B=[﹣1，3a2+6a+2]，由A∩B=∅，得，解得【点评】本题考查了对数函数定义域及二次函数值域的求法13．（2016春•泉州校级期末）设a、b∈R，且a≠1，若奇函数f（x）=lg在区间（﹣b，b）上有定义．（1）求a的值；（2）求b的取值范围；（3）求解不等式f（x）＞0．【分析】（1）根据f（x）为奇函数便可得出，这样便可得出1﹣a2x2=1﹣x2，从而有a2=1，再根据a≠1即可得出a的值；（2）求出a便得出，从而可求出该函数的定义域，进而求出b的取值范围；（3）由f（x）＞0即可得出，这样便可建立关于x的不等式，解不等式即可得出原不等式的解集．【解答】解：（1）f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x），即；即，整理得：1﹣a2x2=1﹣x2；∴a=±1；又a≠1，故a=﹣1；（2）f（x）=lg的定义域是（﹣1，1）；∴0＜b≤1；∴b的取值范围为（0，1]；（3）f（x）=；∴；解得﹣1＜x＜0；∴原不等式的解集为（﹣1，0）．【点评】考查奇函数的定义，多项式相等的充要条件，对数的真数满足大于0，以及对数函数的单调性，分式不等式的解法．14．（2016春•宁夏校级期末）已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）=（log2x）2﹣log2x+1，2≤x≤4，令t=log2x，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2﹣，由此能求出函数的值域．（2）令t=log2x，得t2﹣t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立，从而得到m＜t+﹣对于t∈[2，4]恒成立，构造函数g（t）=t+﹣，t∈[2，4]，能求出m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）=（log2x）2﹣log2x+1，2≤x≤4令t=log2x，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2﹣，∵2≤x≤4，∴1≤t≤2．当t=时，y min=﹣，当t=1，或t=2时，y max=0．∴函数的值域是[﹣，0]．（2）令t=log2x，得t2﹣t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．∴m＜t+﹣对于t∈[2，4]恒成立，设g（t）=t+﹣，t∈[2，4]，∴g（t）=t+﹣=（t+）﹣，∵g（t）=t+﹣在[2，4]上为增函数，∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，∴m＜0．【点评】本题考查函数的值域的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．15．（2016春•重庆校级期中）已知函数g（x）=log2（x﹣1），f（x）=log（x+1），（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．【分析】（1）由对数函数的单调性和换底公式，可得x﹣1≥＞0，由不等式的解法，即可得到所求解集；（2）由复合函数的单调性：同增异减，求得函数y在[，+∞）为增函数，即可得到所求值域．【解答】解：（1）由g（x）≥f（x）得log2（x﹣1）≥log（x+1），即为x﹣1≥＞0，有x≥或x≤﹣，且x+1＞0，x﹣1＞0，则不等式g（x）≥f（x）的解集为{x|x≥}；（2）y=g（x）+f（x）=log2（x﹣1）﹣log2（x+1）=log2，由y=log2（1﹣），由t=1﹣在（1，+∞）递增，y=log2t在（0，+∞）递增，可得函数y=log2在[，+∞）为增函数，则x=时，y取得最小值log2（3﹣2），且t＜1，可得y=log2t＜0，即有函数y=g（x）+f（x）的值域为[log2（3﹣2），0）．【点评】本题考查对数函数的单调性的运用，以及复合函数的单调性：同增异减，考查不等式的解法，属于中档题16．（2016春•淄博校级月考）已知函数f（x）=lg（m x﹣2x）（0＜m＜1）．（1）当m=时，求f（x）的定义域；（2）试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，求m的取值范围．【分析】（1）须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，根据单调性求解即可（2）利用函数单调性判断即可（3）利用函数的单调性得出，f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值为f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1），所以要使f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，只需f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）＞0【解答】解：（1）当m=时，要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，可得：﹣x＞x，∴x＜0∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}．（2）设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则△=x2﹣x1＞0令g（x）=m x﹣2x，则g（x2）﹣g（x1）=m x2﹣2x2﹣m x1+2x1=m x2﹣m x1+2x1﹣2x2∵0＜m＜1，x1＜x2＜0，∴m x2﹣m x1＜0，2x1﹣2x2＜0g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，∴△y=lg（g（x2））﹣lg（g（x1））＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．（3）由（2）知：f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上也为减函数，∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值为f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）所以要使f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，只需f（﹣1）=lg（m﹣1﹣2﹣1）＞0，即m﹣1﹣2﹣1＞1，∴＞1+=，∵0＜m＜1，∴0＜m＜．【点评】本题综合考查了函数的单调性，运用转化出不等式求解问题，属于中档题，但是难度不大．17．（2015•天津校级模拟）对于函数f（x）=log（x2﹣ax+3），解答下列问题：（1）若f（x）的定义域是R，求a的取值范围；（2）若f（x）的值域是R，求a的取值范围；（3）若f（x）在[﹣1，+∞）内上有意义，求a的取值范围；（4）若f（x）的值域是（﹣∞，﹣1]，求a的取值范围；（5）若f（x）在（﹣∞，﹣1]内为增函数，求a的取值范围．【分析】（1）转化为x2﹣ax+3＞0在R上恒成立，利用二次函数性质求解即可．（2）判断得出y=x2﹣ax+3的图象不能在x轴上方，即△=a2﹣12≥0求解．（3）转化x2﹣ax+3＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，根据二次函数性质得出△＜0或．（4）利用复合函数性质得出：y=x2﹣ax+3的值域为[2，+∞），最小值=2，求解即可．（5）根据复合函数的单调性得出y=x2﹣ax+3在（﹣∞，﹣1]内为减函数，且x2﹣ax+3＞0在（﹣∞，﹣1]恒成立．再利用二次函数性质求解即可．【解答】解：对于函数f（x）=log（x2﹣ax+3），（1）∵f（x）的定义域是R，∴x2﹣ax+3＞0在R上恒成立，即△=a2﹣12＜0，得：a∈（﹣2，2）（2）∵f（x）的值域是R，∴y=x2﹣ax+3的图象不能在x轴上方，即△=a2﹣12≥0，得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）（3）∵f（x）在[﹣1，+∞）内上有意义，∴x2﹣ax+3＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，即△＜0或得a∈（﹣2，2）∪（﹣4，﹣2），（4）∵f（x）的值域是（﹣∞，﹣1]，∴y=x2﹣ax+3的值域为[2，+∞），=2，即a=±2，故a的取值范围：a=﹣2或a=2（5）∵f（x）在（﹣∞，﹣1]内为增函数，∴y=x2﹣ax+3在（﹣∞，﹣1]内为减函数，且x2﹣ax+3＞0在（﹣∞，﹣1]恒成立．∴即a≥﹣2．【点评】本题结合对数函数的单调性，复合函数的单调性的应用与二次函数及对数函数的性质，还考查了二次函数在区间上单调，但不要忽略了函数的定义域，18．（2015•信阳模拟）已知函数f（x）=log2（2x+1）（Ⅰ）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（Ⅱ）若g（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），且关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．【分析】（1）根据定义对函数的单调性判断证明．（2）转化为m=g（x）﹣f（x）值域求解范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log2（2x+1），任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log2（2x+1+1）﹣log2（+1）=log2，∵x1＜x2，∴0＜＜1，∴log2＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）∵g（x）=m+f（x），∴m=g（x）﹣f（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）=log2=log2（1﹣），∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，∴log2≤log2（1﹣）≤log2，故m的取值范围．[log2，log2]．【点评】本题综合考查了指数函数，对数函数的单调性，函数的定义，不等式，方程与函数的关系，属于中档题．19．（2015•万州区模拟）函数f（x）=（m＞0），x1，x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=．（1）求m的值；（2）解不等式f（log2（x﹣1）﹣1）＞f（（x﹣1）﹣）．【分析】（1）由得，代入x1+x2=1化简可得或2﹣m=0；从而解m；（2）由（1）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，故不等式可化为，从而解得．【解答】解：（1）由得，，∴，∵x1+x2=1，∴，∴或2﹣m=0；∵，而m＞0时2﹣m＜2，∴，∴m=2．（2）由（1）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，由得，，∴，∴不等式的解集为．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．20．（2015春•临沂校级期中）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），其中（a ＞0且a≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求h（x）的定义域；（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若a=log327+log2，求使f（x）＞1成立的x的集合．【分析】（1）根据对数的定义得出不等式组，求解即可得出定义域．（2）先判断定义域关于原点对称，利用定义h（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣h（x），判断即可．（3）了；利用对数的运算得出即log2（1+x）＞log22，再根据对数函数的单调性得出1+x＞2，即可求解不等式．【解答】解：（1）由题意得，即﹣1＜x＜1．∴h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）∵对任意的x∈（﹣1，1），﹣x∈（﹣1，1）h（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣h（x），∴h（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）是奇函数；（3）由a=log327+log2，得a=2．f（x）=log a（1+x＞1，即log2（1+x）＞log22，∴1+x＞2，即x＞1．故使f（x）＞1成立的x的集合为{x|x＞1}【点评】本题本题考察了对数函数的概念性质，解不等式，考察了学生的化简运算能力，属于容易题．21．（2015秋•莆田校级月考）在对数函数y=log x的图象上（如图），有A、B、C三点，它们的横坐标依次为t、t+2、t+4，其中t≥1，（1）设△ABC的面积为S，求S=f（t）；（2）判断函数S=f（t）的单调性；（3）求S=f（t）的最大值．【分析】根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为（t，log t），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），对于（1）由图形得S ABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF﹣S梯形ACNE，根据面积公式代入相关数据即可得到三角形面积的表达式（2）根据（1）中所求的表达式研究函数的单调性并进行证明即可（3）由（2）所求的单调性求出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）A、B、C三点坐标分别为（t，log t），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），由图形，当妨令三点A，B，C在x轴上的垂足为E，F，N，则△ABC的面积为S ABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF﹣S梯形ACNE=﹣[log t+log（t+2）]﹣[log（t+2）+log（t+4））]+2[log t+log（t+4））] =[log t+log（t+4）﹣2log（t+2）]==即△ABC的面积为S=f（t）=（t≥1）（2）f（t）=（t≥1）是复合函数，其外层是一个递增的函数，t≥1时，内层是一个递减的函数，故复合函数是一个减函数，（3）由（2）的结论知，函数在t=1时取到最大值，故三角形面积的最大值是S=f（1）==【点评】本题考查对数函数的图象和性质的综合运算，解题时要结合图象进行分析求解，注意计算能力的培养．22．（2014秋•抚顺期中）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．（1）求f（3）的值；（2）若令t=log3x，求实数t的取值范围；（3）将y=f（x）表示成以t（t=log3x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．【分析】（1）根据解析式求解，（2）根据对数函数的单调性求解．（3）转化二次函数求解，g（t）=t2+3t+2，﹣2≤t≤2，【解答】解：（1）∵函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．∴f（3）=log3（9×3）•log3（3×3）=3×2=6，（2）令t=log3x，∵f（x）=log3（9x）•log3（3x），且≤x≤9．∴≤t（x）≤log39，∴实数t的取值范围：﹣2≤t≤2，（3）g（t）=t2+3t+2，﹣2≤t≤2，对称轴t=﹣，根据二次函数的性质可得：g（）=﹣，，x=，g（2）=12，log3x=2，x=9故函数y=f（x）的最大值12，x=9，最小值，x=，【点评】本题考查了二次函数的性质，对数函数的性质，属于中档题．。