湖南长沙市高二数学暑假作业28几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲(1)理湘教版.
高二数学几何选讲试题答案及解析
高二数学几何选讲试题答案及解析1.如图，在梯形中，，若，，，则梯形与梯形的面积比是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】延长，相交于，由相似三角形知识，则有，设，，（），则梯形的面积，梯形的面积，所以梯形与梯形的面积比是，故选择D.【考点】平面几何中的相似三角形.2.如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P.（1）求证：;（2）若⊙O的半径为，OA=OM,求MN的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】解题思路：（1）利用等腰三角形与切割线定理进行证明；（2）利用三角形的相似性进行求解. 规律总结：直线与圆的位置关系，是平面几何问题的常见题型，常考知识由：圆内接四边形、切割线定理、相似三角形、全等三角形等.试题解析：（1）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN由条件，根据切割线定理，有所以（2）OM=2，在Rt△BOM中，延长BO交⊙O于点D，连接DN由条件易知△BOM∽△BND，于是即，得BN=6所以MN=BN-BM=6-4=2.【考点】1.切割线定理；2.相似三角形.3.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这里有弦切角可以利用).（2）欲求,因,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.试题解析：(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以.因为，所以，∴. 2分因为，所以. 4分因为，又因为，所以. 5分(2)解因为，，所以， 7分所以，即 8分因为，，所以.所以. 10分【考点】（1）三角形全等的证明；（2）三角形相似的证明与应用；（3）圆性质的应用.4.如图，是⊙的直径延长线上一点，与⊙相切于点，的角平分线交于点，则的大小为_________．【答案】【解析】如图所示，连接OC，则又因为∠APC的角平分线为PQ，，在中，又【考点】圆的切线的性质及判定定理5.如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于H，E是AB的中点，EF⊥BC于F，若HC＝BH，则FC∶BF等于A．B．C．D．【答案】D【解析】由AH⊥BC，EF⊥BC知EF∥AH，又∵AE＝EB，∴BF＝FH，∴HC＝BH＝BF，∴FC＝BF.6.如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】根据割线定理知①式正确，②③④不正确．7.如图所示，PA切圆于A，PA＝8，直线PCB交圆于C、B，连接AB、AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，则的值等于A. B. C．2 D．4【答案】B【解析】要求，注意到sin α＝，sin β＝，即＝，又△PAC∽△PBA，得＝＝＝.8.如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．【答案】4π【解析】∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径为2，∴圆O的面积为4π.9.若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的长度之和为A．24 cm B．21 cm C．19 cm D．9 cm【答案】A【解析】设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则＝＝，解得x＝15 cm，y＝9 cm.故x＋y＝24 cm.10.如图所示，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.【答案】8【解析】EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，∴＝，又DF＝20，∴DE＝8.11.若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50 cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．【答案】20 cm,30 cm【解析】设较大的三角形的周长为x cm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意得＝，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.12.如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的长．【答案】9【解析】解∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA.∴＝＝.∴AC＝，AC＝.∴＝.设CD＝x，则＝，解得x＝9.故DC＝9.13.如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为A．1,2 B．2,2 C．2,6 D．1,6【答案】C【解析】∵PA、PB为⊙O切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB.∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：△OAB，△ABP.14.如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．【答案】3【解析】∵CE为⊙O切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.15.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于A．40° B．55°C．65° D．70°【答案】B【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.16.如图所示，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________________________．【答案】∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB【解析】弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．17.如图所示，已知BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．【答案】55°【解析】解因为PA与⊙O相切于点A，所以∠PAC＝∠ABP＝25°.又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.18.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于A．4π B．8πC．12π D．16π【答案】D【解析】连接OA、OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S＝π·42＝16π.⊙O19.如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝3 cm，BC＝4 cm，CD⊥AB，垂足为D，求AD、BD 和CD的长．【答案】cm cm cm【解析】解∴AB是⊙O的直径，∵AC⊥BC.∵CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∵AC＝3 cm，BC＝4 cm，∴AB＝5 cm.∴AD＝cm，BD＝cm.∵CD2＝AD·BD＝×＝cm2.∴CD＝＝cm，AD＝cm，BD＝cm.20.如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．【答案】①③【解析】因为四边形ABCD为矩形，所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.因为∠1＋∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠2.又因为∠A＝∠D＝90°，所以△ABE∽△DEF.21.如图，已知Rt△ABC的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【答案】(1) 20 cm,12 cm,16 cm (2)cm， cm【解析】解(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由Rt△ADC≌Rt△ADE可知，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48，又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝＝＝ (cm)；同理：BF＝＝＝ (cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为cm， cm.22.如图，设AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为__________．【答案】2【解析】∵AB∥A1B1且AB＝A1B1，∴△AOB∽△A1OB1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比．∴△A1OB1的外接圆直径为2.23.如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为A．2∶1B．3∶1C．4∶1D．5∶1【答案】C【解析】要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D是BC的中点，可过D作DG∥AC交BE于G，则DG＝EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.24.如图所示，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为________．【答案】3∶10【解析】由AE∶EC＝7∶3，有EC∶AC＝3∶10.根据MN∥DE∥BC，可得DB∶AB＝EC∶AC，即得DB∶AB＝3∶10．25.如图所示，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，求＋的值．【答案】【解析】解过点D作DG∥AB交EC于G，则＝＝＝，而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝DF，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.26.如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________.【答案】【解析】由平行线等分线段定理可直接得到B′C′＝.27.已知梯形的中位线长10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm，则该梯形中的较大的底是________ cm.【答案】13【解析】设梯形较大，较小的底分别为a，b，则有可得：a＝13.28.如图，在▱ABCD中，设E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P、Q 两点．求证：AP＝PQ＝QC.【答案】见解析【解析】证明∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，∴DF綉BE，∴四边形BEDF是平行四边形．∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ，∴AP＝PQ＝QC.29.如图，直线交圆于两点，是直径，平分，交圆于点，过作丄于.(1)求证：是圆的切线；(2)若,求的面积【答案】（1）连结OD，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA．，然后利用∠EDA＋∠ODA＝90°，即DE⊥OD来得到证明。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。
高二线性回归方程试题及答案
回归直线方程1、某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.] （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);（3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:广告投入(单位:万元) 1 2 3 4 5 销售收益(单位:万元)2 3 27由表中的数据显示,与之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.401221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-==--∑∑4x y x y y x2、某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调（）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为选题与性 别有关.（Ⅰ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望． 附： ，其中．ξξE ξ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++3、面向全市招聘事业编工作人员，由人事、劳动、纪检等部门联合组织招聘考试，招聘考试分为两个阶段：笔试和面试.现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（Ⅱ）按规定，笔试成绩不低于90分的应聘人员可以参加面试，且面试的方式采用单循环，以参加面试人员胜出的场数决定是否录用（即参加面试的所有人员中每两人必需进行一个场次的PK比赛）．已知松山区有两名应聘人员取得面试资格，在所有的比赛中，求有松山区选手参加比赛的概率．答案1、某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.] （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);（3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:广告投入(单位:万元) 1 2 3 4 5 销售收益(单位:万元)2 3 27由表中的数据显示,与之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.解：（1）设各小长方形的宽度为,由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1,可知,故，即图中各小长方形的宽度为2. …3分（2）由（1）知各小组依次是, 其中点分别为,对应的频率分别为,故可估计平均值为.7分 （3）由（2）可知空白栏中填5.由题意可知, ，401221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-==--∑∑4x y x y y x m (0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++⋅==2m =[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]1,3,5,7,9,110.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.0410.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12345232573, 3.855x y ++++++++====,,根据公式,可求得 ………………10分, ………………11分 所以所求的回归直线方程为. ………………12分2、某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调（）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为选题与性别有关.（Ⅰ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望． 附： ，其中．【解析】（Ⅰ）51122332455769i ii x y=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑522222211234555ii x==++++=∑26953 3.8121.2,555ˆ310b-⨯⨯===-⨯3.8 1.230ˆ.2a=-⨯= 1.20.2y x =+ξξE ξ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++，故不能认为选题与性别有关．…………………5分（Ⅱ）选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数比例为100：60＝5：3， 所以抽取的8人中倾向“坐标系与参数方程”的人数为5，倾向“不等式选讲”的人 数为3．依题意，得，，，， ． …………………9分 故的分布列如下:所以． …………………12分 3、面向全市招聘事业编工作人员 ，由人事、劳动、纪检等部门联合组织招聘考试，招聘考试分为两个阶段：笔试和面试.现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）求出上表中的x ，y ，z ，s ，p 的值；（Ⅱ）按规定，笔试成绩不低于90分的应聘人员可以参加面试，且面试的方式采用单循环，以参加面试人员胜出的场数决定是否录用（即参加面试的所有人员中每两人必需进行一个场次的 PK 比赛）．已知松山区有两名应聘人员取得面试资格，在所有的比赛中，求有松山区选手参加比赛的概率． 解：（1）由题意知，参加招聘考试的人员共有p == 50人， ∴x == 0.18， 22160(9001800) 3.74 5.0241055510060K -=≈<⨯⨯⨯3,1,1,3=--ξ33381(3)56C P C =-==ξ12533815(1)56C C P C =-==ξ21533830(1)56C C P C ===ξ30533810(3)56C C P C ===ξξ115301033(1)135********E =-⨯+-⨯+⨯+⨯=ξ160.32950y = 50×0.38 = 19， Z = 50﹣9﹣19﹣16 = 6， S = = 0.12 ----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅱ）知，参加面试的应聘人员共6人.若参加面试的6人分别记为：S 1 , S 2 , a , b , c , d .( 其中S 1 , S 2 表示松山区的参赛选手，a , b , c , d 表示其他旗、县的选手)则所有的比赛为： （S 1 , S 2 ） （S 1 , a ） （S 1 ,b ） （S 1 ,c ） （S 1 , d ） （S 2 , a ） （S 2 , b ） （S 2 , c ） （S 2 ,d ） （a , b ） （ a , c ） （ a , d ） （ b , c ） （b , d ） （c , d ） 共十五个场次的比赛，有松山区选手出现的比赛有9场. 若有松山区选手参加比赛的事件为：A 则P (A ) =-------------------------------12分65035。
极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题12极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题题型/考向一：极坐标与参数方程题型/考向二：不等式选讲○热○点○题○型一极坐标与参数方程1.极坐标系：极径OM =ρ,即M 点与极点O 间的距离极角=θ∠XOM ，即以极轴OX 为始边，OM 为终边的角2．极坐标与直角坐标的互化例如()1-3-,，则()()33=3-1-=2=1-+3-=22θρtan ,又()1-3-, 在第三象限，所以πθ34=，⎪⎭⎫⎝⎛342∴π,3．常见曲线的极坐标方程4．常见曲线的参数方程①圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是：cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数②椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数③过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数5：直线的标准参数方程中t的几何意义过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数00(,)P x y 点所对应的参数为0t =0，记直线l 与任意曲线相交于,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则①线段AB 的中点O 所对应的参数为t =2+21t t ，如果线段AB 的中点恰好是P ,则有0=+21t t ②12AB t t =-=，③1212121212,0t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-=⋅<⎪⎩，④1212121212,00t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅<⎪-=-=⎨-=⋅>⎪⎩⑤1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅注：①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于t 的二次方程，则由韦达定理得出：abt t -=+21、ac t t =216、直线一般式：过定点00(,)P x y 斜率αtan =k =ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)①若1=+22b a ,即为标准式，此时参数t 具备几何意义②若1≠+22b a ，参数t 不具备标准式中t 的几何意义.标准式与一般式的联系与互化：直线的普通参数方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向向量化为直线的单位向量，即是化为参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=220220t b a b y y t b a a x x (t 为参数)7、经过极点或原点的三种直线方程：①普通方程：②极坐标方程：③参数方程：1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），抛物线C的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．(1)求直线l 和抛物线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 被抛物线C 截得的弦长.2．在平面直角标系xOy 中，曲M 的参数方程为2sin y α⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线M 的普通方程；(2)若D 为曲线M 上一动点，求D 到l 距离的取值范围．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为y α=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线l 与x 轴相交于点P ，求PA PB ⋅的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin y ϕ⎨=+⎩（其中ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l πcos 44θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上的一动点，求PAB 面积的最大值．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0M ，且倾斜角为π4，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程是为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ参数）．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)已知曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点，则AB 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||2||22OP OA ∴≤=,22(323)22x x ∴+-≤,两边平方得解得353522x -+≤≤,3⎡-2240x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 于两点A ，B ，求AOB ∠的大小.直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1sin y ϕ⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．(1)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)直线l ：()6πθρ=∈R 与曲线1C ，2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为2C 上的动点，求△PMN 面积的最大值．y =⎪⎩极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值；(2)若点P 是椭圆上任意一点，求PAB 的面积最大值.83○热○点○题○型二不等式选讲【考点1】基本不等式基本不等式的常见结论：（1）222a b ab +≥（,a b R ∈），当且仅当a b =时，等号成立；（2）2a b ab +≥（,0a b >），当且仅当a b =时，等号成立；（3）33a b c abc ++≥a b c ==时，等号成立（4）2b a a b+≥（,a b 同号，a b =时取等号。
4-28几何证明选讲(选修4-1)
高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.答案：4 22.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形．∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1.又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD .∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12. ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23，∴AF ＝233. 答案：2333．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________.解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得△CAB 与△CED 相似，于是AC EC ＝CB CD. 即4x ＋10＝x 4＋x⇒x ＝2. 又因为AC 是小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，由于∠CDE ＝∠CBA ，所以∠CDE ＝90°.在直角三角形CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝122－62＝6 3.答案：6 34．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE， ∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°5.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ，∴BD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2. 答案：a 2二、解答题(每小题10分，共70分) 6．如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)求证：B ，D ，H ，E 四点共圆；(2)求证：CE 平分∠DEF .证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝AD AB，∴AB 2＝AF ·AD . 8．(2011·辽宁)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA ，所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆．9．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝GE ·GF .证明：(1)连接CB ，∵∠ACB ＝90°，AG ⊥FG ，又∵∠EAG ＝∠BAC ，∴∠ABC ＝∠AEG .∵∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－∠AEG ＝∠CEF ，∴∠ADC ＋∠FDC ＝∠CEF ＋∠FDC ＝180°，∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)由C ，D ，F ，E 四点共圆，知∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF ，∴△GCE ∽△GFD ，故GC GF ＝GE GD，即GC ·GD ＝GE ·GF .∵GH 为圆的切线，GCD 为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF .10．(2011·课标)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC .∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB， ∴FB 2＝FA ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∴∠D ＝30°.∵BC ＝6 cm ，∴AC ＝23cm ，∴AD ＝2AC ＝43cm.。
高三数学考试范围与要求
高三数学考试范围与要求本部分包括必考内容和选考内容两部分.必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列1的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等3个专题.（一）必考内容与要求1.集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩（V e n n)图表达集合的关系及运算.2.函数概念与基本初等函数I (指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.④知道指数函数是一类重要的函数模型.（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.③知道对数函数是一类重要的函数模型.④了解指数函数与对数函数互为反函数（a>0，且a≠1 ).（4）幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数的图像，了解它们的变化情况.（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.3.立体几何初步(1)空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求）.⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.(2)点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.•公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.•公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.•公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.•公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.•定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.•如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.•如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.•如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.•如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.•如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.•如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.•垂直于同一个平面的两条直线平行.•如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.4.平面解析几何初步（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（2）圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.（3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.②会推导空间两点间的距离公式.5.算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想.②理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6.统计（1）随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.7.概率（1）事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. ②了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.8.基本初等函数Ⅱ（三角函数）（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念.②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y = s i n x ，y = c o s x ,y = t a n x 的图像，了解三 角函数的周期性.③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x 轴的交点等），理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调性. ④理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x = 1,sin tan .cos x x x= ⑤了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义;能画出sin()y A x ωϕ=+的图像，了解参数,,A ωϕ对函数图像变化的影响.⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角 函数解决一些简单实际问题.9.平面向量（1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.③理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义.②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.10.三角恒等变换：(1)和与差的三角函数公式：①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公武导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.(2)简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.11.解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.12.数列（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.13.不等式（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）—元二次不等式：①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.)①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.14.常用逻辑用语（1）命题及其关系：①理解命题的概念.②了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.（2）简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.（3）全称量词与存在量词：①理解全称量词与存在量词的意义.②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.15.圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.④理解数形结合的思想.⑤了解圆锥曲线的简单应用.16.导数及其应用(1)导数概念及其几何意义：①了解导数概念的实际背景.②理解导数的几何意义.(2)导数的运算导数.②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+c)的复合函数）的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则 1:法则 2:法则3:(3)导数在研究函数中的应用①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.(4)生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.17.统计案例：了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.（1）独立性检验：了解独立性检验（只要求2x2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.（2）回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.18.推理与证明（1）合情推理与演绎推理①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明①了解直接证明的两种基本方法—分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.②了解间接证明的一种基本方法—反证法；了解反证法的思考过程、特点.19.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念：①理解复数的基本概念.②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算.②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.20.框图：(1)流程图①了解程序框图.②了解工序流程图（即统筹图）.③能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用.(2)结构图：①了解结构图.②会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息.(二）选考内容与要求1.几何证明选讲（1）了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.（2）会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.（4）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影;会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.（5）了解下面的定理.定理:在空间中，取直线l为轴，直线l’与l相交于点O，其夹角为α,l’围绕l旋转得到以O为顶点，l’为母线的圆锥面，任取平面π,若它与轴l交角为β(π与l平行，记β=0)，则：①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆.②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线.③β=α，平面π与圆锥的交线为双曲线.(6)会利用丹迪林（Dandelin)双球（如下图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为E，F）证明上述定理①的情形：当β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.(图中上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A. )(7)会证明以下结果：①在（6)中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在平面为π'.②如果平面π与平面π'的交线为m，在(5)①中椭圆上任取一点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率).（1）了解定理(5)③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果.2.坐标系与参数方程（1）坐标系①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.（2）参数方程①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.3.不等式选讲(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a+b| ≤ | a | + |b | .②| a-b|≤| a-c | + | c-b |.③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：| ax+b| ≤c; | ax+b丨≥c; | x-a | + | x-b丨≥c.（2）了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.①柯西不等式的向量形式：(此不等式通常称为平面三角不等式.）（3）会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：（4）会用向量递归方法讨论排序不等式.（5）了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.（6）会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.（7）会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.（8）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.。
高考专题复习(几何证明选讲、参数方程)PPT教学课件
四、本部分考查能力 1、识图能力； 2、逻辑推理能力； 3、概念、定理灵活运用的能力。
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第一部分：几何证明选讲
一、高考考查内容和要求
1、理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理 2、会证明和应用以下定理 （1）直角三角形射影定理； （2）圆周角定理； （3）圆的切线判定定理与性质定理； （4）相交弦定理； （5）圆内接四边形的性质定理与判定定理； （6）切割线定理
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(2008)如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP
垂直直线OM，垂足为P。
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点
的切线交直线ON于K。证明：∠OKM = 90°。
B A
N
O
P
K M
考查内容：1、割线定理的运用； 2、相似三角形的判定及应用
考查内容： 1、弦切角定理； 2、三角形相似性的判定（证两次相似，找边角关系）
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三、本部分常考知识点： 1、相似三角形的判定及应用； 2、四点共圆的判定及性质的应用； 3、圆弧与圆周角的关系（同弧所对的圆周角相等）； 4、 弦切角定理（过同一点的切线与割线构成的夹角问题）； 5、切割线定理； 6、相交弦定理；
几何证明选讲、坐标系与参数方程
几何证明选、坐标系与参数方程为高考3道选修题 中的两道，是每年高考必考题，从2007年—2012年考 查的情况来看，两道题考查的知识点均与课本上所提及 的公理、定理、定义、公式等的运用为主，题型变化不 大。因高考中考生从3道题中选择一道题作答，下面就 分几何证明选讲、坐标系与参数方程两部分对高考考查 情况进行分析
高二数学几何选讲试题答案及解析
高二数学几何选讲试题答案及解析于点，过点作两1.如图，已知⊙与⊙相交于、两点，过点A作⊙的切线交⊙O2圆的割线，分别交⊙、⊙于点、，与相交于点.（1）求证：；（2）若是⊙的切线，且，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）圆的切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径，推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过切点，推论2经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；（2）圆的切线的性质定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线；若已知条件中直线与圆的公共点不明确，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆的半径；（3）掌握与圆有关的比例线段，如相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理.试题解析：解：（I）∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝∠D，1又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC. 5分（II）设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴＝12 ①∵AD∥EC，∴，∴②由①、②解得（∵x>0，y>0）∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12. 11分2【考点】（1）证明直线与直线平行；（2）求切线长.2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，D是AB的中点，∠ADE=∠ACB，则DE=_________．【答案】.【解析】首先由知，∽，所以.然后因为AB=8，D是AB的中点，所以.又AC=7，BC=6，所以，即.【考点】相似三角形的性质.3.如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则MN=_________．【答案】1.【解析】因为AC为⊙O的直径，OB⊥AC，且OC=，OM=1，所以，. 设，由相交弦定理知，即，所以，即.【考点】与圆有关的比例线段.4.如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点，若，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】四边形是圆的内接四边形，它的两对对角互补，进而得到∽，因而有，故选择B.【考点】平面几何中的圆与四边形.5.如图在△中,∥,,交于点,则图中相似三角形的对数为( ).A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】,;又,,故选B.【考点】相似三角形.6.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这里有弦切角可以利用).（2）欲求,因,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.试题解析：(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以.因为，所以，∴. 2分因为，所以. 4分因为，又因为，所以. 5分(2)解因为，，所以， 7分所以，即 8分因为，，所以.所以AE. 10分【考点】（1）三角形全等的证明；（2）三角形相似的证明与应用；（3）圆性质的应用.7.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，求线段CE的长.【答案】【解析】利用相交弦定理可得到的等量关系，并结合已知条件可计算出,利用切割线定理可得到的等量关系，并结合前面所得可得结果.试题解析：由相交弦定理得，由于，可解得，所以.由切割线定理得，即.【考点】相交弦定理，切割线定理.8.若一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为A．7.2 cm2B．6 cm2C．12 cm2D．24 cm2【答案】B【解析】长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8 (cm)，故由射影定理知斜边长为＝5 (cm)，∴三角形的面积为×5×2.4＝6 (cm2)．9.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.【答案】【解析】连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝a，即BC＝DE＝a，∴BD＝＝a，∴EF＝BD＝.10.如图所示，圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA＝PB＝4，PC＝PD.求CD 的长．【答案】10【解析】解设CD＝x，则PD＝x，PC＝x.由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD，∴4×4＝x·x，x＝10.∴CD＝10.11.如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2.AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径r＝________.【答案】【解析】依题意，△PBA∽△ABC，所以＝，即r＝＝＝.12.如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则等于A．3∶14B．14∶3C．17∶3D．17∶14【答案】B【解析】过Q点作QM∥AP交BC于M，则＝＝，又∵＝，∴＝.又＝＝，＝＝，∴＝，∴＝.13.如图所示，点D、E分别在AB、AC上，下列条件能判定△ADE与△ACB相似的有①∠AED＝∠B②＝③＝④DE∥BCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】由判定定理1知①正确，由判定定理2知②正确，由预备定理1知④正确，③不符合相似三角形的判定定理，故不正确，从而选C.14.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3.设边AB上的一点P，使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【解析】设AP＝x，则PB＝7－x.(1)若△PAD∽△PBC，则＝，即＝，得x＝<7，符合条件．(2)若△PAD∽△CBP，即＝，x2－7x＋6＝0，解得x1＝1，x2＝6也符合条件，故满足条件的点P 有3个．15. 在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，AD ＝2，则四边形ABCD 的面积是______． 【答案】4【解析】因∠B ＝∠D ＝90°，于是设想构造直角三角形，延长BA 与CD 的延长线交于E ，则得到Rt △BCE 和Rt △ADE ，由题目条件知，△ADE 为等腰直角三角形，所以DE ＝AD ＝2，所以S △ADE ＝×2×2＝2. 又可证Rt △EBC ∽Rt △EDA ， 所以＝2＝2＝3.∴S △EBC ＝3S △EDA ，∴S 四边形ABCD ＝S △EBC －S △ADE ＝4.16. 如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝8，BD ＝7，求DC 的长．【答案】9【解析】解 ∵∠CAD ＝∠B ，∠C ＝∠C ， ∴△CAD ∽△CBA.∴＝＝.∴AC ＝，AC ＝.∴＝.设CD ＝x ， 则＝，解得x ＝9.故DC ＝9.17. 如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．【答案】5【解析】由相交弦定理知 EA·EB ＝EC·ED. (*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3， ∴(*)式可化为22＝EC(CE ＋3)＝CE 2＋3CE ， ∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5.18. 如图所示，已知BC 是⊙O 的弦，P 是BC 延长线上一点，PA 与⊙O 相切于点A ，∠ABC ＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．【答案】55°【解析】解因为PA与⊙O相切于点A，所以∠PAC＝∠ABP＝25°.又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.19.(拓展深化)如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】(1)见解析 (2)cm【解析】(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，所以△ABE≌△ACD.(2)解因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，＝，AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝cm.20.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为A．1B．C．D．【答案】C【解析】⊙O与AC相切于C，则∠ACB＝90°，又AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，连接OE，且设⊙O的半径为R，则由△OEB∽△ACB，∴OB＝＝R，∴BC＝OC＋OB＝R＋R＝R＝3，∴R＝，∴BD＝BC－2R＝3－＝.21.若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.【答案】1或－1【解析】由圆内接四边形的性质，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a＝±1. 22.(拓展深化)如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.【答案】见解析【解析】证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆．所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.23.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于A．4π B．8πC．12π D．16π【答案】D【解析】连接OA、OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S＝π·42＝16π.⊙O24.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD的长为A．m sin2α B．m cos2αC．m sin αcos α D．m sin αtan α【答案】C【解析】由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcos αsin α.故选C.25.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________．【答案】【解析】在Rt△DAO及Rt△DEA中，∠ADO为公共角，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴＝，即＝.∵E为AB的中点，∴＝＝，∴＝.26. (拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．【答案】(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，证明见解析 (2)【解析】解(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.以下证明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC.∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2.又∵△AMF∽△BGM，∴＝∴BG＝＝＝.又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，∴CG＝4－＝.∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.27.如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________，AD∶DB＝________.【答案】3∶22∶1【解析】∵DE∥BC，∴＝＝.∵BF∶EF＝3∶2，∴＝＝.∴AC∶AE＝3∶2.又DE∥BC，得AB∶AD＝3∶2，即＝.∴＝.即＝＝2，即＝2.∴AD∶BD＝2∶1.28.如图，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于点F，求证：EF＝BF.【答案】见解析【解析】证明如图所示，连接AE交DC于O.∵四边形ACED是平行四边形．∴O是AE的中点．∵在梯形ABCD中，DC∥AB，在△EAB中，OF∥AB，又∵O是AE的中点，∴F是EB的中点，∴EF＝BF.29.如图甲,四边形是等腰梯形,.由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形中度数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由于上底和两腰长已知，故要求梯形面积，关键是要找出底边上和高，由于图形中无法再分析出边与边的关系，所以我们可以从角的方向入手，求梯形的内角。
高三数学几何证明选讲坐标系与参数方程知识精讲
高三数学几何证明选讲；坐标系与参数方程、综合复习（理）人教实验版（A ）【本讲教育信息】一. 教学内容：4—1模块 几何证明选讲4—4模块 坐标系与参数方程、综合复习二. 重点、难点：1. 相似三角形的判定及有关性质2. 直角三角形的射影定理3. 直线与圆的位置关系4. 圆锥曲线性质5. 极坐标系，柱坐标系，球坐标系6. 曲线的参数方程及其应用7. 渐开线与摆线【典型例题】[例1] 梯形ABCD 中，BA//CD ，对角线AC 、BD 交于点E ，过E 作FG//AB ，交AD 、BC 于G 、F 点。
（1）求证：EF=EG ；（2）求证：FGCD AB 211=+； （3）若直线l 平行于底边但不过E ，与BC 、AC 、BD 、AD 分别交于F '、M 、N 、G '，试问：M F '与N G '有何关系？并说明理由。
证明：（1）∵AB//FG//CD ∴ABEGDA DG CB CF AB EF === ∴EF=EG（2）∵EF//AB EC EFAC AB EC AC EF AB ⋅=⇒=⇒同理，AEEGAC CD ⋅= 由（1）知EF=EG∴ EG AC AE EC CD AB ⋅+=+11FGEG EF EG EG 22221=+=== （3）∵G F FG ''// ∴ GENG DG G D CF F C EF M F '='='='而GE EF = ∴N G M F '='[例2] △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，D 、E 为垂足，求证：AEBEAC AB =22。
思路分析：左边是平方，需设法将左边降幂或将右边升幂或者利用相似三角形面积比等于相似比的平方。
证法一：由射影定理得BC CD AC BC BD AB ⋅=⋅=22,∴ CD BDBC CD BC BD AC AB =⋅⋅=22 ∵DE ⊥AB ∴ CA ⊥AB ∴DE//AC ∴ AE BECD BD =∴ AEBE AC AB =22 证法二：∵ DE//AC ∴ △BED ∽△BAC ∴DEBEAC AB =∴ 2222DE BE AC AB = 由射影定理BE AE DE ⋅=2∴ AEBEBE AE BE AC AB =⋅=222 证法三：易证△ABD ∽△CAD ∴ 222)(AC AB AC AB S S ACD ABD ==∆∆ 又DC BD AD CD ADBD S S ACDABD=⋅⋅=∆∆2121∵ DE//AC ∴ AE BE DC BD = ∴ AE BEACAB =22 证法四：∵△ABD ∽△CBA ∴ADBDAC AB = ① ∵ △ACD ∽△BCA ∴ CDADAC AB = ② ∴ ①×②，CD BDCD AD AD BD ACAB =⋅=22而∵ACDE//，∴AEBECDBD=∴AEBEACAB=22[例3] 已知△ABC中，DE//BC，且ABAFAD⋅=2，求证：EF//CD。
极坐标和参数方程
求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围及不等式的证明,常与基本不等式、恒成立问
题等结合考查.
考向
分析
KAOXIANG FENXI
一、坐标系与参数方程
(一)高考主要考查平面直角坐标系中的坐标伸缩变换、直线和圆的极坐标方程以及极坐标
解析
基础
检测
JICHU JIANCE
(1)由题意得P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos
= cos + cos2,
M的轨迹的参数方程为ቊ
(α为参数,0<α<2π).
= sin + sin2
(2)点M到坐标原点的距离d= 2 + 2 = 2 + 2cos(0<α<2π),
2
返
微专题
18
坐标系与参数方程
基础
检测
JICHU JIANCE
1.已知动点P,Q都在曲线C:ቊ
= 2cos,
(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ
= 2sin
的中点.
(1)求点M的轨迹的参数方程;
(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.
解析
考向
分析
KAOXIANG FENXI
2
解析▶
= 3cos,
′ = 2cos,
′ = x,
3 得C'的参数方程为ቊ
(1)将ቊ
代入ቐ
(θ为参数).
= 2sin
步步高高二数学暑假作业：【文】作业20选修4-4：坐标系与参数方程选修4-5：不等式选讲
步步高高二数学暑假作业：【文】作业20选修4－4：坐标系与参数方程选修4－5：不等式选讲学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知P 为半圆C:{x =cosθy =sinθ（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为π3。
（Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的坐标；（Ⅱ）求直线AM 的参数方程2．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈[0,π2]. （1）求C 的参数方程；（2）若半圆C 与圆D ：(x −5)2+(y −√3)2=m (m 是常数，m >0)相切，试求切点的直角坐标．3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭射线OM ：6πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．4．已知函数()4()f x x x a a R =-+-∈的最小值为a .（1）求实数a 的值；（2）解不等式()5f x ≤.5．已知231x -≤的解集为[,]m n .（1）求m n +的值；（2）若x a m -<，求证：1x a <+.6．设函数()2()f x x x a a R =++-∈.（1）若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式3()2f x x 恒成立，求实数a 的取值范围．7．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，点)4πR ． （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时P 点的直角坐标．8．设函数f(x)=|x −a |.（1）当a =2时，解不等式f(x)≥7−|x −1|；（2）若f(x)≤1的解集为[0,2]，1m +12n =a(m >0,n >0)，求证：m +4n ≥2√2+3.参考答案1．【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为（π3，π3）. ……5分（Ⅱ）M 点的直角坐标为（π6,√3π6），A （0,1），故直线AM 的参数方程为 {x =1+(π6−1)t y =√3π6t （t 为参数） ……10分 考点：本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，直线的参数方程。
应用性质,注重逻辑——《几何证明选讲》的高频考点分析
应用性质,注重逻辑——《几何证明选讲》的高频考点分析廖庆伟
【期刊名称】《中学生数理化（高二高三版）》
【年(卷),期】2014(000)006
【总页数】2页(P3-4)
【作者】廖庆伟
【作者单位】
【正文语种】中文
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湖南省长沙市高二数学 暑假作业28 几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲(1)理 湘教版
作业28 几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲（1）参考时量：分钟完成时间：月日一. 选择题:1、在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．=0()cos =2θρρθ∈R 和B ．=()cos =22πθρρθ∈R 和C ．=()cos =12πθρρθ∈R 和 D ．=0()cos =1θρρθ∈R 和2、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆3、如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若P B 1P C 1=,=P A 2P D 3,则BCAD的值为( )A BC ．3D ．64、如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③5、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 距离为10的点的个数为 （ ） A 、1B 、2C 、3D 、46、在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，.在极 坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为( )A．3 B．6 C．3．6二.填空题:7、如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过 点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若 AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为______.8、在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为__ ____．9、已知c b a ,,都是正数，932=++c b a ，则cb a 108118141++的最小值为 ． 10、若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为 ． 三.解答题:11、 如图,直线AB 为圆的切线,切点为B,点C 在圆上,∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E,DB垂直BE 交圆于D. (Ⅰ)证明:DB=DC ；(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE 交AB 于点F,求△BCF 外接圆的半径.12、已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线2C 的坐标系方程是2=ρ,正方形ABCD 的顶点都在2C 上, 且,,,A B C D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,)3π(Ⅰ)求点,,,A B C D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点,求2222PA PB PC PD +++的取值范围.13、已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =-2时,求不等式()f x <()g x 的解集；(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.作业28 几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲（1）参考答案 1——6 BCDABC 7、83 8、3)4π9、91 10、4-或8 11、(Ⅰ)连结DE,交BC 与点G.由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE ,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE, 又∵DB⊥BE,∴DE 是直径,∠DCE=090,由勾股定理可得DB=DC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG 是BC设DE 中点为O,连结BO,则∠BOG=o60,∠ABE=∠BCE=∠CBE=o30,∴CF⊥BF, ∴Rt△B CF. 12 、 (Ⅰ)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)-- (Ⅱ)设00(,)P x y ;则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈13、当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a-≥2a -,即a ≤43,∴a 的取值范围为(-1,43].。
湖南省长沙市高二数学暑假作业29几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲(2)理湘.docx
作业29几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲（2）参考时量：60分钟完成时间：_____________________ 月_______________ 日一.选择题：1＞在极坐标系屮，圆P =-2sin 0的圆心的极坐标是（）A. （1,-—）B. （1,—）C. （1,0）D. （1,兀）2 22、已知抛物线C的参数方程为4 ■（/为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆A"）相切，则厂二（）A. 1B.血C. ＞/3D. 23、如图，已知圆中两条弦AB与CQ相交于点F, E是AB延长线上一点，且DF=CF=42, AF:FB:BE = 4:2:1,若CE与圆相切,则线段CE的长为（）V7 V6 V5A. —B. —C. —D. 22 2 24.如图，DABC是圆的内接三角形，DB4C的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分D CBF ；②FB?二FD2FA；③AE2CE BE2DE；④ AF2BD AB2BF ・则所有正确结论的序号是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②④1 1 yvy5、己知x,ye （0,4-oo）, 2心=（_）『,若一 + 一,（加＞0）的最小值为3,则m等于2x y（）A. 1B. 2C. 4D. 166 已知实a,〃,c, 〃满足a + b + c + d = 3才 + 2胪 + 3c? + 6〃2 = 5,则a的取值范A. [2, 3]B. [1,2]C. [1,3]D. [2, 4]二.填空题：7、在极坐标系中，曲线G和C?的方程分别为psin2^ = cos^和psin& = l,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为兀轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线G和G交点的直角坐标为____ ________ .8、如图，在DABC中，ZC = 90°,.Zz4 = 60(),AB = 20,iiC作DABC的外接圆的切线CD, BD丄CD, 3D与外接圆交于点E,则DE的长为 ______________ .9、已知不等式2 I x-3 I + I x-4 | <28.解集不是空集，则实数a的取值范围为____________ -10、在极坐标系中，过曲线厶：psin2 0 = 2dcos0(d>O)外的一点人(2石,龙+ &)(其中7Ttan& = 2, &为锐角)作平行于&二扌(pw R)的直线/与曲线分别交于B,C .若\AB\,\BC AC |成等比数列，则实数a的值等于 __________________ .三•解答题：11、如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D, 分别为眩AB与弦AC上的点，且B CAE二DCAF, B,E,F,C四点共圆.(I)证明：CA是厶ABC外接圆的直径；(II)若DB = BE = EA，求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ ABC外接圆面积的比值.x = si n& + cos &12、在直角坐标系xoy中，曲线M的参数方程为彳（&为参数），若以直[ y = sin 20角坐标系的原点。
湖南省长沙市高二数学 暑假作业26 不等式(2)理 湘教版
作业26 不等式（2）参考时量：分钟完成时间：月日一. 选择题:1．给出下面四个推导过程：①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵x 、y 为正实数，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x)]≤－2 －x y－yx＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④2．已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值为( )A ．6B ．4 2C ．2 3D ．2 63、已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]4、设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)5、设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94D ．36、设a ，b ∈R ，若a －|b |＞0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a ＞0B ．a 3＋b 3＜0C ．b ＋a ＞0D ．a 2－b 2＜0 二.填空题: 7．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m＋1n的最小值为________．8．某校要建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为________元．9、若点(x ，y)位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．10、若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是________．三.解答题:11．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）.当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）.每件．．商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（Ⅰ）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？12．某企业生产A 、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？13．（1）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围；（2）是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|x |≤2的一切实数x 的取值都成立．作业26 不等式（2）参考答案1——6 D B C A B A7、4 8、3 520 9、－4 10、⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35 11、解：12、答案：设生产A 、B 两种产品各为x 、y 吨，利润为z 万元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,02005436049300103y x y x y x y x z ＝7x ＋12y作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M （20，24）时z 取最大值． ∴该企业生产A 、B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．13、(1)解：令f (m )＝2x －1－m (x 2－1)＝(1－x 2)m ＋2x －1，可看成是一条直线，且使|m |≤2的一切实数都有2x －1＞m (x 2－1)成立。
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作业28 几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲（1）
参考时量： 60分钟 完成时间： 月 日
一. 选择题:
1、在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A ．=0()cos =2θρρθ∈R 和
B ．=
()cos =22
π
θρρθ∈R 和
C ．=
()cos =12
π
θρρθ∈R 和 D ．=0()cos =1θρρθ∈R 和
2、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
3、如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若P B 1P C 1
=,=P A 2P D 3
,
则
BC
AD
的值为( )
A ．
3 B ．6
C ．3．6
4、如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，
延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG
其中正确结论的序号是
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
5、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ=+⎧⎨
=-+⎩
（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，
则曲线C 上到直线l 的点的个数为 （ ） A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
6、在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θ
θ
=⎧⎨
=⎩(
)0a b ϕ>>为参数，.在极 坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,
直线l 与圆O
的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭()m 为非零常数与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为( )
A
B
C
二.填空题:
7、如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过 点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若 AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为______.
8、在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与
cos 1p θ=- 的交点的极坐标为__ ____．
9、已知c b a ,,都是正数，932=++c b a ，则
c
b a 1081
18141++的最小值为 ． 10、若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为 ． 三.解答题:
11、 如图,直线AB 为圆的切线,切点为B,点C 在圆上,∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E,DB
垂直BE 交圆于D. (Ⅰ)证明:DB=DC ；
(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=
,延长CE 交AB 于点F,求△BCF 外接圆的半径
.
12、已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系,曲线2C 的坐标系方程是2=ρ,正方形ABCD 的顶点都在2C 上, 且,,,A B C D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,)3
π
(Ⅰ)求点,,,A B C D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点,求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围.
13、已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.
(Ⅰ)当a =-2时,求不等式()f x <()g x 的解集；
(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,1
2
)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.
作业28 几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲（1）参考答案 1——6 BCDABC 7、
83 8
、3)4π9、9
1
10、4-或8 11、(Ⅰ)连结DE,交BC 与点
G.
由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE ,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE, 又∵DB⊥BE,∴DE 是直径,∠DCE=0
90,由勾股定理可得DB=DC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG 是BC
设DE 中点为O,连结BO,则∠BOG=o
60,∠ABE=∠BCE=∠CBE=o
30,
∴CF⊥BF, ∴Rt△B CF
. 12 、 (Ⅰ)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,
),(2,
),(2,),(2,)3
636
π
πππ 点,,,A B C D
的直角坐标为(11,1)-- (Ⅱ)设00(,)P x y ;则002cos ()3sin x y ϕ
ϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数
2
2
2
2
224440t PA PB PC PD x y =+++=++
2
5620sin
[56,76]ϕ=+∈
13、当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,
设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
--≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
,
其图像如图所示
从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.
(Ⅱ)当x ∈[2a -
,1
2
)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -
,12)都成立,故2
a
-≥2a -,即a ≤43,
∴a 的取值范围为(-1,
4
3
].。