陕西省五校2013年2月高三第一次模拟考试理科数学试题(教师版)
高考模拟数学试题(理)
2013年陕西省高考模拟试题一、选择题1.下列说法中,正确的是【 】.A ．命题“若22am bm <,则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈,02>-x x ”的否定是:“x R ∀∈,02≤-x x ” C ．命题“p 或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D ．已知R x ∈,则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件2.若,x y 满足23x y +=,则24x y +的最小值【 】.A.8B. 6C.D.3.已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ,曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6,则曲线方程为【 】. A ．17922=-yxB ．)0(17922>=-y xyC ．17922=-yx或17922=-xyD ．)0(17922>=-x yx4.按照右图所示框图的相应程序运行,若输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,则输出M 的值是【 】. A.0 B.1 C. 2 D. －15.令1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x 项的系数,则数列1{}na 的前n 项和为【 】. A.(3)2n n + B.(1)2n n + C.1n n + D.21n n +6.某几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为【 】.A.12B.7.如图,矩形O A B C 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成,向矩形O A B C 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为14,则a 的值是【 】.A.712π B.23π C.34π D.56π8.已知集合111{|(),},1ni A z z n Z i+==∈-集合{22,B z z x y ==+,,x y A ∈}x y ≠且,则B A ＝【 】.A.{}1,1i i ±-±B.{}1,0,1-C.{}1,0,1i i ±-±D.Φ9．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计,甲乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙,则下列说法正确的是【 】. A.x 甲>x 乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 B.x 甲>x 乙,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 C.x 甲<x 乙,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 D.x 甲<x 乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛10.若()f x 是奇函数,且()2()f x f x -=,当[]2,3x ∈时,()()2log 1f x x =-,则当[]1,2x ∈时,()fx =【 】.A.()2log 3x --B.()2log 4x -C.()2log 4x --D.()2log 3x -二、填空题11．从1=1,1－4=－(1+2),1－4+9=1+2+3,1－4+9－16=－(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为__________.12.若,x y 满足条件0,0134x y x ya a≥≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩,且11y z x +=+的最小值为14,则a 的值为__________. 13.函数2221()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，和()()ln 1g x x =-的图象的交点个数是__________. 14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法错误．．的是__________. ①若{}n a 是等差数列,则{}132n n a a +-是等差数列；②若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等差数列；③若{}n a 是公比为q 的等比数列,则{}1n n a a +-也是等比数列且公比为q ； ④若{}n a 是公比为q 的等比数列,则232,,k k k k k S S S S S --(k 为常数)k N ∈且也是等比数列且公比为k q .|21|||1x x -<+的解集是 ．三、解答题16.在四棱锥P A B C D -中,已知侧面P C D ⊥底面A B C D ,PD C D ⊥,E 为P C 中点,底面A B C D 是直角梯形.0//,90,AB CD ADC ∠=1,AB AD PD ===2C D =. (Ⅰ)求证://B E 平面APD ； (Ⅱ)求证:B C ⊥平面PBD ；(Ⅲ)设Q 为侧棱P C 上一点,P Q P C λ=,试确定λ的值,使得二面角Q BD P --为45.17.{}项和，的前为数列已知n a S n n a →=()1,n S ,b →=()122,1++-n n a ,a b →→⊥(Ⅰ)求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列； (Ⅱ) 若20131n n n b a n -=+,问是否存在0n , 对于任意k (k N *∈),不等式0n k b b ≤成立.18.设2()6cos 2f x x x =-．(Ⅰ)求()f x 的最大值及最小正周期；(Ⅱ)设A B C ∆中的锐角A 满足()3f A =-12B π=,角A 、B 、C 的对边分别为,,,a b c 求2a b cb a ab ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.19.已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合,且截抛倾斜角为45 的直线l 过点F . (Ⅰ)求该椭圆的方程；(Ⅱ)设椭圆的另一个焦点为1F ,问抛物线24y x =上是否存在一点M ,使得M 与1F 关于直线l 对称,若存在,求出点M 的坐标,若不存在,说明理由.20.某同学参加某高校自主招生3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ,q (p q <),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为(Ⅰ)(Ⅱ)求数学期望E ξ.21.已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+=,(Ⅰ)求)(x f 的极值；(Ⅱ)若函数)(x f 与)(x g =1的图象在区间],0(2e 上有公共点,求实数a 的取值范围；(Ⅲ)设各项为正的数列}{n a 满足:*111,ln 2,n n n a a a a n N +==++∈,求证:21nn a ≤-.参考答案与评分标准一、选择题二、填空题11. ()112149(1)1(12),.n n n n n ++-+-+-=-+++∈12. 113. 2 14. ②③④ 15. A 4π B ()0,2三、解答题16.解:(1)取P D 中点F ,连,EF AF ,因E 为PC 中点,∴//E F CD ,且112E F C D ==,在梯形A B C D 中,//,1AB CD AB =,∴//,,EF AB EF AB =四边形ABEF 为平行四边形,∴//,BE AF B E ⊄平面PAD ,AF ⊂平面PAD ,∴//B E 平面PAD .(2)平面P C D ⊥平面A B C D ,PD C D ⊥,∴P D ⊥平面A B C D ,∴PD AD ⊥.在直角梯形ABCD 中,2,BD BC D C ===∴90,C BD ∠= 即D B BC ⊥.又由P D ⊥平面A B C D ,可得P D ⊥B C , 又PD BD D = ,∴B C ⊥平面PBD .(3)如图,以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -,则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C P ,面PBD 的法向量为(1,1,0),BC =- (0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈,(0,2,1)Q λλ∴-,设面QBD 的法向量为(,,)n a b c = ,(1,1,0),D B = (0,2,1)D Q λλ=-,由02(1)0n DB a b n DQ b c λλ⎧⋅=+=⎨⋅=+-=⎩,∴2(1,1,)1n λλ=-- ∴0cos 452n BC n BC⋅===⋅,注意(0,1)1λλ∈∴=.17. 解:(Ⅰ) a b →→⊥,∴0221=++-+n n n a S , 022211=++-+++n n n a S1122++-=∴n n n a a ,12211-=∴++n n n n a a ,∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列(Ⅱ))1()1(22+-=---=n n a nn ,()20132,nn b n ∴=-()()112012220132,n n n nb b n n ++≥-≥-令20122011201202011,2,20112012.n n b b b n ∴≤==∴=的最大值为或18. 解:(Ⅰ)1cos 2()622xf x x +=-3cos 223x x =-+12sin 2322x x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故()f x 的最大值为3；最小正周期22T π==π．(Ⅱ)由()3f A =-)336A π++=-,故cos 216A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,又由02A π<<得2,666A ππππ<+<+ 故2,6A ππ+=解得512A π=．又12B π=,∴.2C π=∴22222cos 0.a bca b c C b a ab ab +-⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭19.解:(Ⅰ)抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ,准线方程为1-=x , ∴ 122=-b a ①又椭圆截抛物线准线1-=x ∴上交点为)22,1(-, ∴121122=+b a② 由①代入②得01224=--b b ,解得12=b 或212-=b (舍),从而2122=+=b a .∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121xy+=(Ⅱ)∵ 倾斜角为45 的直线l 过点F ,∴ 直线l 的方程为)1(45tan -=x y ,即1-=x y ,由(Ⅰ)知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ,设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称,则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(211100000x y x y ,解得⎩⎨⎧-==2100y x ,即)2,1(-M , 又)2,1(-M 满足x y 42=,故点M 在抛物线上.所以抛物线x y 42=上存在一点)2,1(-M ,使得M 与1F 关于直线l 对称.20.解:用i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”, i =1,2,3.由题意得14(),5P A =()1236125P A A A =(Ⅰ)该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为()123611911125125P P A A A =-=-=(Ⅱ)()()()()()()()12312316111(1)(1)5125P A A A P A P A P A p q =---=--=及()()()()1231234245125P A A A P A P A P A pq ===∴ ()637582490123.1251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．21. 解:(Ⅰ)2)(ln 1)(),,0()(xa x x f x f +-='+∞的定义域为,令a e x x f -=='10)(得,当)(,0)(,),0(1x f x f e x a >'∈-时是增函数； 当)(,0)(,),(1x f x f e x a <'+∞∈-时是减函数； ∴111)()(,)(---===a aaeef x f ex x f 极大值处取得极大值在,无极小值.(Ⅱ)①当21e e a <-时,即时1->a ,由(Ⅰ)知),0()(1a e x f -在上是增函数,在],(21e e a -上是减函数,()11max ()a a f x f e e --∴==又当,0)(,2x f e x a a --==当时,(.0)(],0(2e e x x f e x a a --∈<∈当时],0)(,x x f e x a a --∈==当时,).0()(1-∈a e x f ,∴1)()(=x g x f 与图象的图象在],0(2e 上有公共点,⇔11≥-a e 解得1,1,1≥->≥a a a 所以又 ②当121-≤≥-a e ea即时,],0()(2e x f 在上是增函数,∴2222)(],0()(ea e f e x f +=上的最大值为在所以原问题等价于.2,1222-≥≥+e a ea 解得又1-≤a ∴无解综上,实数a 的取值范围是[)1,+∞. (Ⅲ)令a =1,由(Ⅰ)知,ln 11(0),ln 1x x x x x+≤>∴≤-，11a = ,假设*1()k a k N ≥∈,则1ln 21k k k a a a +=++>,故*1()n a n N ≥∈从而1ln 221n n n n a a a a +=++≤+1112(1)2(1)nn n a a a +∴+≤+≤≤+ 即1221n nn n a a +≤∴≤-.。
2013年陕西高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则M R ð为 ( ) A ．[－1,1] B ．(－1,1) C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞ 【测量目标】函数的定义域，集合的基本运算. 【考查方式】根据根式定义，直接求解定义域. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】要使函数()f x =1－20x …，（步骤1）∴－1…x …1，则M ＝[－1,1]，M R ð＝(－∞，－1) (1，＋∞)．故选D.（步骤2）2．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为 （ ）第2题图A ．25B ．30C ．31D ．61 【测量目标】分段函数，选择结构的程序框图.【考查方式】由算法语句读出其功能，再利用分段函数的解析式求函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ⎧=⎨+(-)>⎩…（步骤1）∴当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.故选C.（步骤2）3．设a ，b 为向量，则“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件.【考查方式】讨论平面向量的共线条件，进一步结合充分、必要的条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若,= a b a b 若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；（步骤1） 若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a b a b cos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即= a b a b ⇒a ∥b .（步骤2）若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴== a b a b a b a b ，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒= a b a b ；（步骤4） 综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【测量目标】系统抽样.【考查方式】根据系统抽样的方法结合不等式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】抽样间隔：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ， 则第k 段抽取的号码为：l ＋(k －1) 20,1…l …20,1…k …42；（步骤1） 令481…l ＋(k －1) 20…720，得25＋120l -…k …37－20l.由1…l …20，（步骤2）则25…k …36.满足条件的k 共有12个．（步骤3）5．如下图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 ()第5题图A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4【测量目标】几何概型.【考查方式】将所求概率转化为几何概型进行求解. 【难易程度】容易【试题解析】取面积为测度，则所求概率为：P ＝2121π12π4124FABCD ADE CB ABCDS S S S ⨯-⨯⨯⨯--==-矩形扇形扇形矩形.6．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假．命题是 ( ) A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z =D ．若12z z =，则2212z z = 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】选项A ，若120z z -=，则12z z =，故12z z =，真命题；（步骤1） 选项B ，若12z z =，则122z z z ==，真命题；（步骤2） 选项C ，12z z =2212z z ⇒=1122z z z z ⇒= ，真命题；（步骤3） 选项D ，如令1z ＝i ＋1，2z ＝1－i ，满足|1z |＝|2z |，而1z 2＝2i ，2z 2＝－2i ，假命题．（步骤4） 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【测量目标】利用正弦定理判断三角形的形状.【考查方式】利用正弦定理的变形将角的正弦值转化为三角形三角之间的关系. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，（步骤1） 即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形．（步骤2） 8．设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,,…则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 （ ） A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 【测量目标】分段函数，二项式定理.【考查方式】利用分段函数的解析式和二项式的通项公式进行求解. 【难易程度】中等【试题解析】 f (x )＝610,0,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,… 当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66(f ⎛== ⎝，（步骤1）663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛==-=- ⎝，（步骤2） 令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.（步骤3）9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是 ()第9题图A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 【测量目标】几何证明.【考查方式】利用三角形相似和面积比例关系求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】设矩形另一边长为y ，如图所示： 由三角形相似知：404040x y -=，∴ y ＝40－x . xy …300，∴x (40－x ) …300，解得10…x …30，故选C ．第9题图10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 ( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]…[x ]＋[y ] D ．[x －y ]…[x ]－[y ]【测量目标】定义新运算.【考查方式】运用创新意识求解此题. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】选项A,取 1.5,x =则[][]1.52,x -=-=-[][]1.51,x -=-=-显然[][].x x -≠-（步骤1） 选项B ，取 1.5x =，则[][]122 1.512x ⎡⎤+==≠=⎢⎥⎣⎦.（步骤2）选项C ，取 1.5,x =则[]2x =[][]233,x ==[][]221.52,x ==显然[][]22x x ≠.故选D （步骤3）第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11. 双曲线222116x y m-=的离心率为54，则m 等于 . 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线的简单几何性质以及离心率求解未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知，216 4.a a =⇒=又54c e a ==5c ∴=22225169,3b c a b ∴=-=-=∴=即3m =．12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．第12题图【测量目标】由三视图求几何体的体积. 【考查方式】利用三视图，想象出几何体，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】π3【试题解析】由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则21π12π323SABV⨯⨯⨯==几何体.第12题图13．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】作出可行域，数形结合求解.【难易程度】中等【参考答案】4-【试题解析】如图，由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-⎧⎨-+<⎩…及y＝2画出可行域如图阴影部分所示，（步骤1）令2x－y＝z，⇒y＝2x－z，（步骤2）画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最小，即minz＝2×(－1)－2＝－4.（步骤3）第13题图14．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为__________．【测量目标】合情推理（归纳推理）.【考查方式】观察等式，灵活运用归纳推理的方法.【难易程度】较难【参考答案】2222121121234(1)(1)n n n n n (+)----＋＋＋＋…＋＝【试题解析】第n 个等式的左边第n 项应是()11n +-n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋()11n +-n 2＝()11n +-12n n (+). 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．【测量目标】基本不等式求最值. 【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)…2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2当且仅当m ＝n “＝”.∴所求最小值为2.B ．(几何证明选做题)如下图，弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.第15题B 图【测量目标】三角形相似.【考查方式】通过逻辑推理判定三角形相似即可求出答案. 【难易程度】较难【试题解析】 ∠C 与∠A 在同一个圆O 中，所对的弧都是弧BD ⇒∠C ＝∠A .（步骤1） 又 PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．（步骤2） 又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△P AE ，则PE PDPA PE=，∴PE 2＝P A PD ．（步骤3）又 PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE （步骤4）C ．(坐标系与参数方程选做题)如下图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．第15题C 图【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用直角坐标方程和参数方程的转化求解参数方程. 【难易程度】中等【参考答案】2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)【试题解析】由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)⇒y ＝x tan θ，（步骤1） 由x 2＋y 2－x ＝0⇒x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，（步骤2） 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意， 故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．（步骤3）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16.(本小题满分12分)已知向量1cos ,2x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ,=b ),cos 2,x x x ∈R ,设函数()=f x a b .(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角恒等变化.【考查方式】利用向量数量积的运算，两角和的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的性质进行求解. 【难易程度】容易 【试题解析】)1()cos,,cos 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin cos 22x x x =-12cos 22x x =-ππcos sin 2sin cos 266x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（步骤1）（1）()f x 最小正周期为2πT ω=2ππ2==,即函数()f x 的最小正周期为π.（步骤2）（2）π0,2x ∴ 剟ππ5π2.666x --剟（步骤3） 由正弦函数图象的性质得，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1.（步骤4）当ππ266x -=-，即0x =时，(0)f =12-.（步骤5）当π5π266x -=，即π2x =时，π1()22f =，（步骤6）()f x ∴的最小值为12-.因此，()f x 在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12-.（步骤7）17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 【测量目标】等比数列的n 项和公式，反证法.【考查方式】利用等比数列的通项公式及概念推导前n 项和公式；利用反证法证明要证的结论. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；（步骤1） 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，（步骤2）∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩（步骤3）(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k *∈N ，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1 a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，（步骤4）∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.（步骤5）又∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，（步骤6）∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．（步骤7）18．(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．第18题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用.【考查方式】利用直线的方向向量与平面内的向量垂直判定线面垂直，进而求出法向量，求解二面角. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图， ∵AB ＝AA 1OA ＝OB ＝OA 1＝1，（步骤1） ∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．11A B ＝AB，∴B 1(－1,1,1)．（步骤2） ∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB＝(－1,0,1)，∴1AC BD ＝0，1AC 1BB＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）第18题（1）图证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．（步骤1） 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，（步骤2） ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，又1BB BD B = ,∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧=-=⎪⎨=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩（步骤4）取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，（步骤5） ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0…θ…π2，∴π3θ=.（步骤6）19．(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望【考查方式】利用古典概型和独立事件的概率求解概率进而求解分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.（步骤1） ∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为：P (A B )＝P (A ) P (B )＝P (A ) [1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫()== ⎪⎝⎭ 或（步骤2） (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，（步骤3） ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为：P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，（步骤4） ∴X 的分布列为（步骤5）∴X 的数学期望4203318140280123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.（步骤6） 20． (本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【测量目标】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中的定点问题.【考查方式】利用曲线方程求解轨迹方程，进一步与直线方程联立求解定点.【难易程度】较难【试题解析】（1）如图（a ），设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A =，（步骤1）=y 2＝8x (x ≠0)．（步骤2） 又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .（步骤3）第20题（1）图（a ）(2)如图（b ），由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，⇒∆＝－32kb ＋64＞0.（步骤4）由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，②（步骤5） x 轴是∠PBQ 的角平分线，⇒121211y y x x =-++，（步骤6） 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③（步骤7）将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时∆＞0，（步骤8）∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．（步骤9）第20题（2）图（b ）21. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由． 【测量目标】函数零点的求解，导数的几何意义，反函数.【考查方式】利用导数的几何意义求解切线斜率，利用零点判断公共点个数，利用分析法求证不等式.【难易程度】较难【试题解析】(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21e k =. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x =与y ＝m 的公共点个数． 令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=，∴φ′(2)＝0. 当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点； 当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点． 综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点； 若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0x …)， 则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ϕ(+)-(-)'=-==(+)(+)(+)…(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ϕ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ϕ(x )＞ϕ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a ) b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2]， 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x …0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝0x xe …(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-.。
2013年高考理科数学模拟试题
2013年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学（理工农医类）注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
[来第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1、已知集合2=-+=∈{|210,}P x x x x R，则集合P的子集个数是二、 A．1 B．2 C．4 D．82、已知函数，下面结论错误的是A.函数的最小正周期为B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数三、3、已知函数f x()的定义域为[0，1?，则函数-f x(1)的定义域为A．[0,1)B．(0,1]C．-[1,1]D．-[1,0)(0,1]4、函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）（B）（C）（D）5、在ΔABC中，、、a b c分别是三内角、、A B C所对边的长，若b a Csin A sin,则ΔABC的形状A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形6、将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）（B）w_w_w.k*s 5*u.c o*m（C）（D）7、如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A.B.C.D.8、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.9、设定义在上的函数满足，若，则( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）10、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）11、过双曲线22221(0)y x b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为 E ,延长FE交抛物线24y cs =于点 P ⋅若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为A ．33+B ．15+C ．5D ．13+12、设，则的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）2 （B）4 （C）（D）5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．展开式中的系数为_____________。
2013年陕西卷数学试题及答案(理)
2013·陕西卷(理科数学)1． 设全集为，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁M 为( ) A ．[－1，1] B ．(－1，1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1．D [解析] 要使二次根式有意义，则M ＝{x ︱1－x 2≥0}＝[－1，1]，故∁M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． 根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )输入x ；If x ≤50 Then y ＝0.5*x Elsey ＝25＋0.6*(x －50) End If 输出y .A ．25B ．30C ．31D ．612．C [解析] 算法语言给出的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6（x －50），x >50，输入x ＝60时，y ＝25＋0.6(60－50)＝31.3．， 设，为向量，则“|＝是”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 由已知中|＝可得，与同向或反向，所以又因为由，可得|cos 〈，〉|＝1，故|＝||cos 〈a ，b 〉|＝||，故|·|＝||·||是∥的充分必要条件．4． 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．144．B [解析] 由系统抽样定义可知，所分组距为84042＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481，720]的数目为(720－480)÷20＝12.5． 如图1－1，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )图1－1A ．1－π4 B.π2－1C ．2－π2 D.π45．A [解析] 阅读题目可知，满足几何概型的概率特点，利用几何概型的概率公式可知：P ＝2－π22＝1－π4.6． 设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 226．D [解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈)，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ＝0⇒a ＝c ，b ＝d ，故A 正确．若z 1＝z 2，则a ＝c ，b ＝－d ，所以z 1＝z 2，故B 正确．若|z 1|＝|z 2|，则a 2＋b 2＝c 2＋d 2，所以z 1·z 1＝z 2·z 2，故C 正确．又z 21＝(a 2－b 2)＋2ab i ，z 22＝(c 2－d 2)＋2cd i ，由a 2＋b 2＝c 2＋d 2不能推出z 21＝z 22成立，故D 错． 7． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．B [解析] 结合已知b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理代入可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ⇒sin(B ＋C )＝sin 2A ⇒sin A ＝sin 2A ⇒sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．8．， 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．158．A [解析] 由已知表达式可得：f [f (x )]＝1x －x 6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 61x6－r (－x )r ＝C r 6·(－1)r ·x r －3，令r －3＝0，可得r ＝3，所以常数项为T 4＝－C 36＝－20.9． 在如图1－2所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )图1－2A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]9．C [解析] 如下图，可知△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则x 40＝40－y40，所以y ＝40－x .又xy ≥300，所以x (40－x )≥300，即x 2－40x ＋300≤0，则10≤x ≤30.10． 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]10．D [解析] 可取特值x ＝3.5，则[－x ]＝[－3.5]＝－4，－[x ]＝－[3.5]＝－3，故A 错．[2x ]＝[7]＝7，2[x ]＝2[3.5]＝6，故B 错．再取y ＝3.8，则[x ＋y ]＝[7.3]＝7，而[3.5]＋[3.8]＝3＋3＝6，故C 错．只有D 正确．11． 双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．11．9 [解析] 由a 2＝16，b 2＝m ，则c 2＝16＋m ，则e ＝16＋m 4＝54，则m ＝9. 12． 某几何体的三视图如图1－3所示，则其体积为________．图1－312.π3 [解析] 由三视图还原为实物图为半个圆锥，则V ＝12×13×π×12×2＝π3. 13． 若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．13．－4 [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x －1∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A (－1，2)时，z 取最小值为－4.14． 观察下列等式： 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝612－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________． 14．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n （n ＋1）2[解析] 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n 项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n （n ＋1）2. 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．2 [解析] 利用柯西不等式式可得：(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.B ．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图1－46 [解析] 利用已知可得，∠BCE ＝∠PED ＝∠BAP ，可得△PDE ∽△PEA ，可得PEP A ＝PDPE，而PD ＝2DA ＝2，则P A ＝3，则PE 2＝P A ·PD ＝6，PE ＝ 6. C ．(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图1－5⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数) [解析] 设P (x ，y )，则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0⇒x －122＋y 2＝14，表示以12，0为圆心，半径为12的圆，可得弦OP ＝1×cos θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OP ·cos θ，y ＝OP ·sin θ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ，故已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)． 16．， 已知向量＝cos x ，－12，＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈，设函数f (x )＝(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 16．解：f (x )＝cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f π2＝12，∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在0，π2上最大值是1，最小值是－12.17． 设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 17．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈＋，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，即a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，即a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列．18．，如图1－6，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．图1－118．解：(1)方法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．∵AB＝AA1＝2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1.∴A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，1)． 由A 1B 1→＝AB →，易知B 1(－1，1，1)． ∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)， BB 1→＝(－1，0，1)，∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D . 方法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， ∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2， ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又 BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1. ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量＝(x ，y ，z )．∵OC →＝(－1，0，0)，OB 1→＝(－1，1，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z .取＝(0，1，－1)， 由(1)知，A 1C →＝(－1，0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.19． 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望． 19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”， B 表示事件“观众乙选中3号歌手，”则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P (AB )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )] ＝23×25＝415.或P (AB )＝C 12·C 34C 23·C 35＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”． 则P (C )＝C 24C 35＝35.∵X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475.P (X ＝1)＝P (AB C )＋P (ABC )＋P (A BC ) ＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P475207533751875∴X 的数学期望EX ＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815.20．， 已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．20．解：(1)如图所示，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝（x －4）2＋y 2，∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42.化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64>0.由求根公式得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2，①x 1x 2＝b 2k 2.② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1. 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1，0)．21． 已知函数f (x )＝e x ，x ∈(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数；(3)设a <b ，比较f （a ）＋f （b ）2与f （b ）－f （a ）b －a的大小，并说明理由． 21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝1x 0， 解得x 0＝e 2，k ＝1e 2. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线y ＝e xx 2与直线y ＝m 的公共点个数． 令φ(x )＝e xx 2，则φ′(x )＝e x （x －2）x 3，∴φ′(2)＝0.当x ∈(0，2)时，φ′(x )<0，φ(x )在(0，2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e 24. 当0<m <e 24时，曲线y ＝e xx 2与直线y ＝m 无公共点； 当m ＝e 24时，曲线y ＝e xx 2与直线y ＝m 恰有一个公共点； 当m >e 24时，在区间(0，2)内存在x 1＝1m，使得φ(x 1)>m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)>m ，由φ(x )的单调性知，曲线y ＝e xx2与y ＝m 恰有两个公共点． 综上所述，x >0时，若0<m <e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点； 若m ＝e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点； 若m >e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)方法一：可以证明f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a.事实上， f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a ⇔e a ＋e b 2>e b －e a b －a ⇔b －a 2>e b －e a e b ＋e a ⇔b －a 2>1－2e a e b ＋ea ⇔b －a 2>1－2e b －a ＋1(b >a )．(*) 令φ(x )＝x 2＋2e x ＋1－1(x ≥0)， 则φ′(x )＝12－2e x（e x ＋1）2＝（e x ＋1）2－4e x 2（e x ＋1）2＝（e x －1）22（e x ＋1）2≥0(仅当x ＝0时等号成立)． ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x >0时，φ(x )>φ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．方法二：f （a ）＋f （b ）2－f （b ）－f （a ）b －a＝e b ＋e a 2－e b －e ab －a＝b e b ＋b e a －a e b －a e a －2e b ＋2e a2（b －a ）＝e a 2（b －a ）[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2]． 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x >0时，u ′(x )>u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x >0时，u (x )>u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2>0，∴e b ＋e a 2－e b －e ab －a>0， 因此，f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a.。
数学_2013年陕西省西安市高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2013年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若向量BA →=(2,3)，向量CA →=(4,7)，则BC →=( )A (−2, −4)B (3, 4)C (6, 10)D (−6, −10)2. 设集合A ={x|−3≤2x −1≤3}，集合B ={x|y =lg(x −1)}，则A ∩B =( )A (1, 2)B [1, 2]C [1, 2)D (1, 2]3. 复数z 满足：(z −i)(1−i)＝2，则z ＝（ ）A −1−2iB −1+2iC 1−2iD 1+2i 4. 图是一个算法的流程图，最后输出的W =( )A 12B 18C 22D 265. 设函数D(x)={1,x 0,x，则下列结论错误的是（ ） A D(x)的值域为{0, 1} B D(x)是偶函数 C D(x)不是周期函数 D D(x)不是单调函数6. 若直线x −y +1=0与圆(x −a)2+y 2=2有公共点，则实数a 取值范围是( )A [−3, −1]B [−1, 3]C [−3, 1]D (−∞, −3]∪[1, +∞)7. 函数y =a x −1a (a >0, a ≠1)的图象可能是( ) A B C D8. 设φ∈R ，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x +φ)(x ∈R)为偶函数”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件9. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A 48B 32+8√17C 48+8√17D 8010. 定义在R 上的偶函数，f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0](x 1≠x 2)，有(x 1−x 2)[f(x 2)−f(x 1)]>0，则当n ∈N ∗时，有（ ）A f(−n)<f(n −1)<f(n +1)B f(n −1)<f(−n)<f(n +1)C f(n +1)<f(−n)<f(n −1)D f(n +1)<f(n −1)<f(−n)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）11. 设不等式组{0≤x ≤20≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．12. (x 2+2)(1x 2−1)5的展开式的常数项是________．13. 已知函数f(x)={2x ，x ≥2(x −1)3，x <2若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是________．14. 在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ．且与该抛物线相交于A 、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60∘．则△OAF 的面积为________．本题有15、16、17三个选答题，每小题5分，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【不等式选讲选做题】15. 若不等式|kx −4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k =________．【坐标系与参数方程选做题】16. 在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=π6(ρ∈R)的距离是________．【几何证明选讲选做题】17. 如图∠ACB =90∘，CD ⊥AB 于点D ．以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．下面的结论正确的是________．①CE ⋅CB =AD ⋅DB ；②CE ⋅CB =AD ⋅AB ；③AD ⋅AB =CD 2．三、解答题（本题6小题，共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）18. 函数f(x)=6cos 2ωx 2+√3sinωx −3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)=8√35，且x 0∈(−103,23)，求f(x 0+1)的值．19. 设数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n =a n+1−2n+1+1，n ∈N ∗，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．20. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =3，AC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE // BC ，DE =2，将△ADE 沿DE 折起到A 1DE 的位置，使A 2C ⊥CD ，如图2．（1）求证：A 1C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√23，且椭圆C 上的点到点Q(0, 2)的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M(m, n)，使得直线l:mx +ny =1与圆O:x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．22. 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．求X=n+2的概率；设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）.23. 已知a>0，b∈R，函数f(x)=4ax3−2bx−a+b．当0≤x≤1时，证明：（1）函数f(x)的最大值力|2a−b|+a；（2）f(x)+|2a−b|+a≥0．2013年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. D3. D4. C5. C6. C7. D8. A9. C10. B11. 4−π412. 313. (0, 1)14. √315. 216. √317. ①18. 解：(1)由已知可得，f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx−3=3cosωx+√3sinωx=2√3sin(ωx+π3)，由于△ABC为正三角形，∴ △ABC的高为2√3，从而BC=4，∴ 函数f(x)的最小正周期T=4×2=8，即2πω=8，ω=π4，∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x0)=8√35，由(1)得f(x 0)=2√3sin(π4x 0+π3)=8√35， 即sin(π4x 0+π3)=45， 由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos(π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin(π4x 0+π4+π3)=2√3sin[(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin(π4x 0+π3)cos π4+cos(π4x 0+π3)sin π4] =2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 19. 解：(1)在2S n =a n+1−2n+l +1中，令n =1得：2S 1=a 2−22+1，即a 2=2a 1+3 ①，令n =2得：2S 2=a 3−23+1，即a 3=6a 1+13 ②，又2(a 2+5)=a 1+a 3 ③，联立①②③得：a 1=1；(2)由2S n =a n+1−2n+l +1，得：2S n+1=a n+2−2n+2+1，两式作差得a n+2=3a n+1+2n+1，又a 1=1，a 2=5满足a 2=3a 1+21，∴ a n+1=3a n +2n 对n ∈N ∗成立，∴ a n+1+2n+1=3(a n +2n )，∴ a n +2n =3n ．则a n =3n −2n ．20. （1）证明：∵ CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，∴ DE ⊥平面A 1CD ，又∵ A 1C ⊂平面A 1CD ，∴ A 1C ⊥DE ，∵ A 1C ⊥CD ，∴ A 1C ⊥平面BCDE ．（2）解：以C 为原点，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(−2, 0, 0)，A 1(0, 0, 2√3)，B(0, 3, 0)，E(−2, 2, 0)，A 1B →=(0, 3, −2√3)，BE →=(−2, −1, 0)，设平面A 1BE 的法向量n →=(x, y, z)，则{BE →⋅n →=−2x −y =0˙，取x =−1，得n →=(−1, 2, √3)，M(−1, 0, √3)，CM →=(−1,0,√3)，cosθ=|CM →|⋅|n →|˙=2⋅2√2=√22， ∴ CM 与平面A 1BE 所成角为45∘．21. 由e =√23得a 2=3b 2，椭圆方程为x 2+3y 2=3b 2 椭圆上的点到点Q 的距离d =√x 2+(y −2)2=√3b 2−3y 2+(y −2)2=√−2y 2−4y +4+3b 2(−b ≤y ≤b)①当−b ≤−1时，即b ≥1，d max =√6+3b 2=3得b =1②当−b >−1时，即b <1，d max =√b 2+4b +4=3得b =1（舍）∴ b =1 ∴ 椭圆方程为x 23+y 2=1假设M(m, n)存在，则有m 2+n 2>1∵ |AB|=2√1−1m 2+n 2，点O 到直线l 距离d =√m 2+n 2 ∴ S △AOB =12×2√1−1m 2+n 2√m 2+n 2=√1m 2+n 2(1−1m 2+n 2) ∵ m 2+n 2>1 ∴ 0<1m 2+n 2<1，∴ 1−1m 2+n 2>0当且仅当1m 2+n 2=1−1m 2+n 2，即m 2+n 2=2>1时，S △AOB 取最大值12， 又∵ m 23+n 2=1解得：m 2=32,n 2=12所以点M 的坐标为(√62,√22)或(−√62,√22)或(√62,−√22)或(−√62,−√22)，△AOB 的面积为12． 22. 解 以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i =1，2.P (X =n +2)=P (A 1A 2)=n m+n ⋅n+1m+n+2=n (n+1)(m+n )(m+n+2)．以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i =1，2.X 的可能取值为n ，n +1，n +2．P (X =n )=P (A 1¯ A 2¯)=n n+n ⋅n n+n =14，P (X =n +1)=P (A 1A 2¯)+P (A 1¯A 2) =n n+n ⋅n+1n+n+2+n n+n ⋅n n+n =12，P (X =n +2)=P (A 1A 2)=n n+n ⋅n+1n+n+2=14， 从而X 的分布列是EX =n ×14+(n +1)×12+(n +2)×14=n +1． 23. 证明：（1）：f′(x)=12ax 2−2b ，当b ≤0时，f′(x)>0，在0≤x ≤1上恒成立，此时最大值为：f(1)=|2a −b|﹢a ； 当b >0时，在0≤x ≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f(x)max =max{f(0), f(1)}={b −a,b ≥2a 3a −b,b <2a=|2a −b|﹢a ； 综上所述：函数在0≤x ≤1上的最大值为|2a −b|﹢a ；（2）要证f(x)+|2a −b|+a ≥0，即证g(x)=−f(x)≤|2a −b|﹢a ．亦即证g(x)在0≤x ≤1上的最大值小于（或等于）|2a −b|﹢a ，∵ g(x)=−4ax 3+2bx +a −b ，∴ 令g′(x)=−12ax 2+2b =0，解得x =√b 6a ；当b ≤0时，g′(x)<0在0≤x ≤1上恒成立，此时g(x)的最大值为：g(0)=a −b <3a −b =|2a −b|﹢a ；当b >0时，g′(x)在0≤x ≤1上的正负性不能判断，∴ g(x)max =max{g(√b 6a ), g(1)}=max{3b 4√b 6a +a −b, b −2a}={3b 4√b6a +a −b ，b ≤6a b −2a,b >6a，∴ g(x)max ≤|2a −b|﹢a ；综上所述：函数g(x)在0≤x ≤1上的最大值小于（或等于）|2a −b|﹢a ． 即f(x)+|2a −b|+a ≥0在0≤x ≤1上恒成立．。
西安市五大名校2013届第一次联考数学(理)试题
BDA西安市五大名校2013届第一次联考数学（理）试题数 学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（5×10=50分）1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5M =，{}4,5N =则集合{}1,6=（ ） A．M N ∪ B．M N ∩ C． ()U C M N ∪ D．()U C M N ∩2. 函数02x y −=A．[)()1,22,∪+∞ B．()()1,22,−∪+∞ C．[)()1,22,−∪+∞ D．()1,−+∞ 3．条件:12p x +>，条件:2q x ≥，则p ¬是q ¬的（ ） A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．函数121yx =−的图像关于x 轴对称的图像大致是（ ）5．tan1000tan10101tan1000tan1010οοοο+−等于（ ）A．C．3−D．36． 若函数()f x 在R 上可导，且()()()222,f x x f x m m R ′=++∈，则 ( ) A．()()05f f < B．()()05f f = C．()()05f f > D．无法确定7．如图，在平行四边形ABCD 中, 22240,90AB BD ABD ο+−=∠=,沿BD 折成直二面角A BD C −−,则三棱锥A BCD −的外接球的表面积是 ( ) A.16π B. 8πC. 4πD. 2π8．已知等差数列{}n a 的公差0d <, 若462824,10a a a a ⋅=+=,则该数列的前n 项和n s 的最大值为 ( ) A．50B．45C．40 D．359．已知双曲线()22221,0,0x y a b a b−=>>的左右焦点是12,F F , 设P 是双曲线右支上一点，12F F uuuu r 在1F P uuu r 上的投影的大小恰好为1F P uuu r ，且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 为( )A．12 B．12+ 1+ 1+ 10. 已知O 为直角坐标系原点，P，Q 坐标均满足不等式组4325022010x y x y x +−≤⎧⎪−+≤⎨⎪−≥⎩，则使cos POQ ∠取最小值时的POQ ∠的大小为（ ） A．2πB．π C．2πD．4π二、填空题（5×5=25分）11．定义某种新运算⊙：s a b = 的运算原理如 右边流程图所示，则5⊙4－3⊙4＝________． 12．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上， 若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____（用数字作答） 13．21dx ⎡⎢⎣∫=_________ 14．观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<式子可以猜想：2222111112342011+++<LL 15．选做题（请考生在三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（A）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 与直线l 的方程分别为：02sin ,x x y ρθ⎧=+⎪=⎨=⎪⎩（t 为参数）。
2013年陕西省高考数学试卷(理科)教师版
2013年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2013•陕西）设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M 为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】求出函数f（x）的定义域得到集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，又全集为R，所以∁R M=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．2．（5分）（2013•陕西）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25B．30C．31D．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=，，＞的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=，，＞的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．3．（5分）（2013•陕西）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若 ⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．4．（5分）（2013•陕西）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编，则抽取的42人中，编落入区间[481，720]的人数为（）A．11B．12C．13D．14【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编481～720共240人中抽取=12人．故选：B．5．（5分）（2013•陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信的区域面积为2﹣，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率．【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=同理可得，扇形CBF的在，面积S2=又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信的概率是P===1﹣故选：A．6．（5分）（2013•陕西）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z1﹣z2|=0，则=B．若z1=，则=z2C．若|z1|=|z2|，则z1•=z2•D．若|z1|=|z2|，则z12=z22【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．【解答】解：对（A），若|z1﹣z2|=0，则z1﹣z2=0，z1=z2，所以为真；对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则，，，所以为真；对（D）若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而，，所以为假．故选：D．7．（5分）（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B．8．（5分）（2013•陕西）设函数f（x）=，＜，，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20B．20C．﹣15D．15【分析】依题意，可求得f[f（x）]=，利用二项展开式的通项公式即可求得f[f（x）]表达式的展开式中常数项．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]==的展开式中，常数项为：=﹣20．故选：A．9．（5分）（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y ＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，由，得y=40﹣x，∴x（40﹣x）≥300，解得10≤x≤30．故选：C．10．（5分）（2013•陕西）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[2x]=2[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]【分析】本题考查的是取整函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用．【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．对B，设x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B选项为假．对C，设x=y=1.8，对A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2013•陕西）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于9．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．12．（5分）（2013•陕西）某几何体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．所以体积．故答案为：．13．（5分）（2013•陕西）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为﹣4．【分析】先根据曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．【解答】解：如图，封闭区域为三角形．令|x﹣1|=2，解得x1=﹣1，x2=3，所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0，），（﹣1，2），（3，2），把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点（﹣1，2）时z取得最小值；所以z min=2×（﹣1）﹣2=﹣4，故2x﹣y在点（﹣1，2）取最小值﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）（2013•陕西）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（2013•陕西）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为2．【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等当且仅当时成立，即可求出（am+bn）则（a2+b2）（bm+an）的最小值．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2可得（am+bn）（bm+an）≥（+）2=mn（a+b）2=2×1=2，当且仅当即m=n时，取得最小值2．故答案为：2．16．（2013•陕西）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．17．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为，θ∈R，且θ≠．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程．【解答】解：将圆方程化为（x﹣）2+y2=，可得半径r=，∴OP=2r•cosθ=cosθ，∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ，则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．故答案为：，θ∈R，且θ≠三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）（2013•陕西）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，，由正弦函数y=sinx在，的性质可知，sinx，，∴sin（2x﹣），，∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．19．（12分）（2013•陕西）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．【分析】（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；（II）分①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，显然不成立；②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，使用反证法即可证明．【解答】解：（I）当q=1时，S n=na1；当q≠0，1时，由S n=a1+a2+…+a n，得qS n=a1q+a2q+…+a n﹣1q+a n q．两式错位相减得（1﹣q）S n=a1+（a2﹣a1q）+…+（a n﹣a n﹣1q）﹣a n q，（*）由等比数列的定义可得，∴a2﹣a1q=a3﹣a2q= 0∴（*）化为（1﹣q）S n=a1﹣a n q，∴．∴，，；（Ⅱ）用反证法：设{a n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a n+1}是等比数列．①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，数列{a n+1}不是等比数列．②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，则==，化为（q n﹣1﹣1）（q﹣1）=0，∵q≠1，∴q﹣1≠0，q n﹣1﹣1≠0，故矛盾．综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．20．（12分）（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【分析】（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证．（Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD；又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD．在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，在Rt△A1OA中，∵，∴A1O=1．设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩E1O=O，∴A1C⊥面BB1D1D；（Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），，，．由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量，，，，，，，，．设平面OCB1的法向量为，，，由，得，取z=﹣1，得x=1．∴，，．则＜，＞=．所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为．21．（12分）（2013•陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1歌手的歌迷，他必选1，不选2，另在3至5中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手的概率；（Ⅱ）X表示3歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手”，观众甲选中3歌手的概率为，观众乙未选中3歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手”，观众甲选中3歌手的概率为，观众乙未选中3歌手的概率为1﹣=，∴P（A）=，∴观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手的概率为；（Ⅱ）X表示3歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．观众甲选中3歌手的概率为，观众乙选中3歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3歌手时，这时X=2，P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=，当观众甲、乙、丙都选中3歌手时，这时X=3，P（X=3）=•（）2=，X的分布列如下：∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22．（13分）（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN 的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．【分析】（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．利用角平分线的性质可得k PB=﹣k QB，可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．当x=0时，也满足上式．∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k PB=﹣k QB，∴，∴，化为8+y1y2=0．直线PQ的方程为，∴，化为，化为，y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，∴直线PQ过定点（1，0）23．（14分）（2013•陕西）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）由f（x）=mx2，令h（x）=＞，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；（III）利用作差法得===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．【解答】解：（I）函数f（x）=e x的反函数为g（x）=lnx，∴．设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），则，解得，k=e﹣2，∴k=e﹣2．（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，令h（x）=＞，则，则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，．∴当，时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；当＞时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．（Ⅲ）===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），则g′（x）=1+（x﹣1）e x．g′′（x）=xe x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）•e x＞0，且a＜b，∴＞，即当a＜b时，＞．。
西安市五大名校2013届第二次联考数学(理)试题
西安市五大名校2013届第二次联考数学（理）模拟考试注意事项：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间150分钟．（2）答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上． （3）选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．（4）非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． （5）考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．复数13z i =+，21z i =−，则复数121z z +的虚部为（ ）A．2 B．2i C．32 D．32i2．已知集合{|(1)(2)0}M x R x x =∈+−>和2{|0}N x R x x =∈+<，则集合M 是集合N 的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数()|2|ln f x x x =−−在定义域内的零点的个数为（ ） A．0B．1C．2D．34．过点P（1,2）的直线l 平分圆C：224610x y x y ++++=的周长，则直线l 的斜率为（ ）A．53 B．1 C．85 D．435．如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）A．D．6．2011年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有（ ）正（主）视图A BCA 1C 1A．25种 B．600种 C．240种 D．360种7．8((0)x a +>展开式中，中间项的系数为70．若实数x y ，满足100x y x y x a ⎧−+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A．−1B．12C．5 D．18．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n A 和n B ，且213n nA nB n +=+，则99a b 等于（ ）A．2B．74C．1912 D．13219．设函数()sin()sin()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕπ=++−><<的最小正周期为π，则（ ）A．()f x 在(0,)2π单调递减 B．()f x 在(0,)4π单调递增 C．()f x 在(0,)2π单调递增 D．()f x 在(0,)4π单调递减 10．椭圆2221(1)x y a a +=>上存在一点P，使得它对两个焦点1F ，2F 张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．(0,2B．[,1)2 C．1(0,2 D．1[,1)2第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）． 11．如图，有一个算法流程图．在集合{|1010}A x R x =∈−≤≤中随机地取一个数值做为x 输入，则输出的y 值落在区间(5,3)−内的概率值为 ．:3y x +:5y x −12．某校为了解高一学生寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6至8小时之间的人数为 ．13．设a，b，c 为单位向量，a，b 的夹角为600， 则（a + b + c）·c 的最大值为 ． 14．给定集合An ={1,2,3,…,n}(n N +∈)，映射:n n f A A →满足：①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈L ．则称映射:nn f A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射:33f A A →是一个“优映射”．表1 表2i 1 2 3 f(i)2 31（1）已知表2表示的映射:44f A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整．（2）若映射:1010f A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是 ．15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（几何证明选讲选做题）如图，已知Rt ABC Δ的两条直角边AC，BC 的长分别为3cm，4cm，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D，则BD 的长为= ； B．（不等式选讲选做题）关于x 的不等式2|1||2|1x x a a −+−≤++的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ；C．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{3cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos(63πρθ−=．点P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．16．（本小题满分12分） 三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量(,),(,)m c a b a n a b c →→=−−=+，若m →//n →．i 1 2 3 4 f(i)3A（I）求角B 的大小；（II）求sin sin A C +的取值范围． 17．（本小题满分12分）如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE//DF，090DEF ∠=． （Ⅰ）求证：BE//平面ADF；（Ⅱ）若矩形ABCD 的一个边，则另一边BC 的长为何值时，二面角B-EF-D 的大小为450？18．（本小题满分12分）设点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程为0Ax By C ++=．请写出点P 到直线l 的距离，并加以证明．19．（本小题满分12分）有甲、乙两种相互独立的预防措施可以降低某地区某灾情的发生．单独采用甲、乙预防措施后，灾情发生的概率分别为0.08和0.10，且各需要费用60万元和50万元．在不采取任何预防措施的情况下发生灾情的概率为0.3．如果灾情发生，将会造成800万元的损失．（设总费用=采取预防措施的费用+可能发生灾情损失费用）（I）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，他们各自总费用是多少？（II）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少的那个方案． 20．（本小题满分13分）已知圆C1的方程为22(2)1x y +−=，定直线l 的方程为1y =−．动圆C 与圆C1外切，且与直线l 相切．（Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；（II）斜率为k 的直线l 与轨迹M 相切于第一象限的点P，过点P 作直线l 的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M 于异于点P 的点Q，记S 为轨迹M 与直线PQ 围成的封闭图形的面积，求S 的值． 21．（本小题满分14分）已知函数f(x)=21x 2－ax + (a－1)ln x ，1a >．（I）讨论函数()f x 的单调性； （II）若2a =，数列{}n a 满足1()n n a f a +=．若首项110a=，证明数列{}na为递增数列；若首项为正整数，数列{}na递增，求首项的最小值．。
陕西省2013届高三年级第一次月考数学(理)试卷(教师版)
陕西省2013届高三年级第一次月考数学（理科）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.2.已知集合{|1}A x x =>，{}2+=<9B x Nx ∈，那么A B = （ ）A.{}2 B. ()-3,3 C. ()1,3 D. ()2,33.已知1F 、2F 为双曲线C ：222x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos FPF ∠=（ ）A ．14 B ．35 C ．34 D ．45 4.已知p 、q 为命题，则“p q ∨为真命题”是“p q ∧为真命题”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 5.一机构为调查某地区中学生平均每人每周零花钱X （单位：元）的使用情况，分下列四种情况统计：①010X ≤≤；②1020X <≤；③ 2030X <≤；④30X>．调查了10000名中学生，下图是此次调查中某一项的程序框图，其输出的结果是7300，则平均每人每周零花钱在[0,20]元内的学生的频率是（ ） A. 0.20 B. 0.80 C. 0.27 D. 0.73A. B. C. D.7.已知,x y 满足线性约束条件1020410x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，若(,2)x =-a ，(1,)y =b ，则z =⋅a b 的最大值是（ ）A. 1-B. 52-C. 5D. 7 8.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈.若则32b =-，1012b =，则8a =（ ）A. 0B. 3C. 8D. 119.对于下列命题：①在△ABC 中，若sin2sin2A B =,则△ABC 为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC的三边长，若2a =，5b =，6A π=,则△ABC 有两组解；③设2012sin 3a π=，2012cos 3b π=，2012tan3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，得到函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象.其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 310.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是（ ） A. 403k ≤≤B. <0k 或4>3kC. 3443k ≤≤D. 0k ≤或4>3k二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上. 11.设,x y ∈R,向量(,1)x =a ,(1,)y =b ，(2,4)=-c 且⊥a c ，//b c ,则_______+=a b .12.已知0sin a xdx π=⎰，则71x x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项 是 （用数字作答）.13.函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导函数()y f x '=的部分图像 如图所示：图象与y轴交点P ⎛ ⎝⎭,与x 轴正半轴的两交 点为A 、C ,B 为图象的最低点 ,则ABCS ∆=___ ___ .14. 将一张边长为12cm 的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则四棱锥的体积是___________．15.函数()22f x x =--.给出函数()f x 下列性质：⑴函数的定义域和值域均为[]1,1-；⑵函数的图像关于原点成中心对称；⑶函数在定义域上单调递增；⑷()0Af x dx =⎰（其中A 为函数的定义域）；⑸A 、B 为函数()f x 2AB ≤.请写出所有关于函数()f x 性质正确描述的序号 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 16.(本小题满分12分)已知函数21()cos cos 2f x x x x --，.x R ∈（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别,,,a b c 且3c =,()0f C =，若sin()2sin ,A C A +=求,a b 的值．已知函数()221()0ax f x x x e a aa ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭图1 图2 图3（Ⅰ）当=1a 时,求函数()f x 的图象在点()0,(0)A f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，离心率为12，在x 轴负半轴上有一点B ，且212.BF BF =（Ⅰ）若过2A B F 、、三点的圆恰好与直线30x -=相切，求椭圆C 的方程； （Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，说明理由．陕西省2013届高三年级第一次月考数学（理科）试题参考答案一、选择题： 题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 答案 CACBDDCBCA8. 【解析】：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==9. 【解析】①sin2sin2A B =，则22A B =,或22A B π+=，∴A B =，或2A B π+=，,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故此命题错；②由正弦定理知sin sin a b A B=，∴15sin 52sin 124b A B a ⨯===>,显然无解，故此命题错；③20123s i ns i 33a ππ==，201221cos cos 332b ππ===-，20122tantan 33c ππ===，∴a b c >>；④2s i n 3+=2s i n 3++=2c o s 366626y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，正确. 10. 【解析】∵圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1.∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点; ∴存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤.∵min AC 即为点C 到直线2y k x =-,2≤,解得403k ≤≤. 二、填空题题号 1112131415答案5602π3⑵⑷ 11. 【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒= ,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||a b +=.12. 【解析】011sin cos 13220a xdx x ππ==-=-+=⎰，因而要求72x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是，即求72x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的1x -的系数，由展开式的通项公式77217722r r r r r r r r T C x x C x ---+=⋅⋅=，则令721r -=-，解得4r =，从而常数项为4472560C = 13.【解析】()y f x '=cos 6x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,点P 的坐标为)时cos 6πω得3ω=，故()3cos 36f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，从而23T AC π==，则13232ABC S ππ∆=⨯⨯=；14. 【解析】设正四棱锥的底面边长为2x,则由其侧棱长为所以此四棱锥的底边长为高为,15.【解析】由22x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩此时()f x =错误（0<2AB ≤）三、解答题16. 解析：（1）()f x = 则()f x 的最大值为0，最小正周期是22T ππ==…………6分 （2）()sin(2)106f C C π=--=则sin(2)16C π-=1100222666C C C πππππ<<∴<<∴-<-<2623C C πππ∴-=∴=sin()2sin A C A += 由正弦定理得12a b =①…………………9分由余弦定理得2222cos3ca b ab π=+- 即229a b ab +-=②由①②解得a =b =分17.【命制意图】本试题主要是考查了古典概型概率的运算，以及随机变量的分布列的求解和期望值的运用。
2013年陕西卷(理科数学)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（陕西卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R，函数()f x =M ，则U C M 为 A.[1,1]- B.(1,1)-C.(,1][1,)-∞-+∞UD.(,1)(1.)-∞-+∞U 2.根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出x 的值为A ．25B ．30C ．31D ．613.设a r ，b r为向量，则“a b a b ⋅=r r r r ”是“a b r r ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为A ．11B ．12C ．13D ．145.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基 站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 A.14π- B.12π- C.22π-D.4π6.设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假命题是A.若120z z -=，则12z z =B.若12z z =，则12z z =C.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若12z z =，则2212z z =7.设ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定8.设函数61()0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x >时，(())f f x 表达式的展开式中常数项为A ．20-B ．20C ．15-D ．15 9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x （单位：m ）的取值范围是A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]10.设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 A.[][]x x -=- B.[2]2[]x x = C.[][][]x y x y +≤+ D.[][][]x y x y -≤- 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，满分25分.11.双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于 . 12.某几何体的三视图如图所示，则其体积为 .40m13.若点(,)x y 位于曲线1y x =-与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为 . 14.观察下列等式:211=，22123-=-，2221263+-=，2222124310-+-=-，…，照此规律，第n 个等式可为 .15.（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）A.（不等式选做题）已知a ，，b ，m ，n 均为正数，且1a b +=,2mn =，则()()am bn bm an ++的最小值为 .B.（几何证明选做题）如图，弦AB 与CD 相交于O e 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知22PD DA ==，则PE = .C.（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量1(cos ,)2a x =-r，,cos 2)b x x =r ，x R ∈，设函数()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值.C17.（本小题满分12分） 设{}n a 是公比为q 的等比数列. （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和公式；（Ⅱ）设1q ≠，证明数列{}1n a +不是等比数列. 18.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB AA ==（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）求平面11OC B 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.19.（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手. （Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分13分）已知动圆过定点(4,0)A ,且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)B -,设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ,Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明：直线l 过定点. 21.（本小题满分14分）ABCDA 1B 1C 1D 1O已知函数()x f x e =，x R ∈.（Ⅰ）若直线1y kx =+与()y f x =的反函数的图像相切,求实数k 的值； （Ⅱ）设0x >，讨论曲线()y f x =与曲线2y mx =（0m >）公共点的个数； （Ⅲ）设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由.。
陕西省西安市高新一中等五校2013届高三第一次联考数学理(附答案) (1)
长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|一3<x<3，x ∈Z ），N={x|x<1}，则M N=A ．{|3x x -<<1}B ．{|02}x x <<C ．{-3，-2，-1，0,1）D ．{-2，一1，0}2．已知直线a 和平面α，那么a//α的一个充分条件是A ．存在一条直线b ，a//b 且b ⊂αB ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥αC ．存在一个平面β，a ⊂β∥且α//βD ．存在一个平面β，α//β且α//β3．如果数列321121,,,,,nn a a a a a a a -…是首项为1，公比为2-的等比数列，则a 5等于A ．32B ．64C ．—32D ．—644．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，若122,||4x x PQ +==，则抛物线方程是A ．24y x =B ．28y x =C ．22y x =D ．26y x = 5．21()nx x -展开式中，常数项为15，则n 的值可以为A ．3B ．4C ．5D ．66．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A ．226++ B ．2(12)6++C ．23D ．32262++7．给出15个数：1，2，4，7，1 l ，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入A ．16?;1i p p i ≤=+-B ．14?;1i p p i ≤=++C ．15?;1i p p i ≤=++D ．15?;i p p i ≤=+8．已知实数x ，y 满足1(10)||,(,)()2cos (0)||12x x x x y f x x x y ππ---≤<⎧⎧≤⎪⎪=⎨⎨≤<⎪⎪≤⎩⎩则点在函数的图象与坐标轴所围成的封闭图形的内部的概率为A ．32πB ．14πC ．34πD ．12π9．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。
陕西届高三年级第一次模拟联考理科数学试卷Word版含答案解析
陕西届高三第一次模拟联考理科数学试卷Word 版含解析 1 / 1
陕西省）届高三第一次模拟联考理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（ ） A.
B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.
【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}． 故选：B ．
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数
的模是（ ） A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】 先将复数化成
形式，再求模。
【详解】 所以模是
故选D. 【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。
3.若抛物线y2=2px 的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（ ） A. B. C. D.
【答案】A。
2013高三理科数学第三次联考试题(陕西省五校有答案)
2013高三理科数学第三次联考试题（陕西省五校有答案）长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第三次模拟考试数学（理）试题命题学校：师大附中审题学校：西安中学第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1.若集合,,则【】.A.B.C.D.2.若复数满足:,则复数的共轭复数【】.A.B.C.D.3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【】.4.若的三个内角满足,则【】.A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形5.函数是【】.A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数6.按右面的程序框图运行后,输出的应为【】.A.B.C.D.7.若数列满足,且,则使的值为【】.A.B.C.D.8.“”是“直线:与:平行”的【】.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【】.A.B.C.D.10.一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成米,米,米,…,米或米；(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔秒．则这个机器人跑米(允许超出米)所需的最少时间是【】.A.秒B.秒C.秒D.秒第Ⅱ卷（共100分）二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.在的展开式中,常数项为.12.若向量,,则的最大值为.13.若实数满足,且,则的取值范围是________.14.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为,则________.15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.A.(不等式选讲)若实数满足,则的最大值为_________.B.(几何证明选讲)以的直角边为直径的圆交边于点,点在上,且与圆相切.若,则_________.C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线与直线的两个交点之间的距离为_________.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①；②；③；④；⑤.(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17.(本题12分)如图,在长方体中,点在棱上.(1)求异面直线与所成的角；(2)若二面角的大小为,求点到面的距离.18.(本题12分)某校设计了一个实验考查方案:考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中考生甲有道题能正确完成,道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望；(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.19.(本题12分)在数列中,,且对任意的都有.(1)求证:是等比数列；(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.20.(本题13分)已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.(1)求直线的斜率；(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.21.(本题14分)设函数有两个极值点,且.(1)求实数的取值范围；(2)讨论函数的单调性；(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.高2013届第三次五校联考数学(理)参考答案一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)题号12345678910答案ABDCCCDABA二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.12.13.14.15.A.B.C.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)解:(1)选择②式计算:.…4分(2)猜想的三角恒等式为:.………6分证明:.………………………………12分17.(本题12分)解法一:(1)连结.由是正方形知.∵平面,∴是在平面内的射影.根据三垂线定理得,则异面直线与所成的角为.…………5分(2)作,垂足为,连结,则.所以为二面角的平面角,.于是,易得,所以,又,所以.设点到平面的距离为,则由于即,因此有,即,∴.…………12分解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.(1)由,得,设,又,则.∵∴,则异面直线与所成的角为.……………………5分(2)为面的法向量,设为面的法向量,则,∴.①由,得,则,即,∴②由①、②,可取,又,所以点到平面的距离.……………12分18.(本题12分)解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为,,则取值分别为；取值分别为.,,.∴考生甲正确完成题数的概率分布列为123.…………………………3分∵,同理:,,.∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:0123.………………7分(2)∵,.（或）.∴.∵,,∴.……………10分从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.……………………12分说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.19.(本题12分)证:(1)由,得.又由,得.因此,是以为首项,以为公比的等比数列.………5分解:(2)由(1)可得,即,,于是所求的问题:“对任意的都有成立”可以等价于问题:“对任意的都有成立”.若记,则显然是单调递减的,故.所以,实数的取值范围为.………………………12分20.(本题13分)解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.从而椭圆的方程可化为:①易知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:.②由①,②有:.③设,弦的中点,由③及韦达定理有:所以,即为所求.………5分(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:,故.……7分又因为点在椭圆上,所以有整理可得:.④由③有:.所以⑤又点在椭圆上,故有.⑥将⑤,⑥代入④可得:.………11分所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点,总存在,使得等式成立.………13分21.(本题14分)解:(1)由可得.令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得.……………………5分(2)由(1)可知,其中,故①当时,,即在区间上单调递增；②当时,,即在区间上单调递减；③当时,,即在区间上单调递增.………9分(3)由(2)可知在区间上的最小值为.又由于,因此.又由可得,从而.设,其中,则.由知:,,故,故在上单调递增.所以,.所以,实数的取值范围为.……………………………14分(事实上,当时,,此时.即,“”是其充要条件.)。
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陕西省五校2013年2月高三第一次模拟考试理科数学试题 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知集合M={x|一3<x<3，x ∈Z ），N={x|x<1}，则M N=
A ．{|3x x -<<1}
B ．{|02}x x <<
C ．{-3，-2，-1，0,1）
D ．{-2，一1，0}
2．已知直线a 和平面α，那么a//α的一个充分条件是
A ．存在一条直线b ，a//b 且b ⊂α
B ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥α
C ．存在一个平面β，a ⊂
β∥且α//βD ．存在一个平面β，α//β且α//β
3．如果数列3
21121
,,,,,n n a a a a a a a - …是首项为1
，公比为的等比数列，则a 5等于
A ．32
B ．64
C ．—32
D ．—64
4．过抛物线2
2(0)y
px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，若
122,||4x x PQ +==，则抛物线方程是
A ．2
4y
x = B ．28y x =
C ．2
2y
x = D ．2
6y
x =
5．2
1
()n x
x
-展开式中，常数项为15，则n 的值可以为 A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A
．2B
．2(1 C ．23 D
．22
+
7．给出15个数：1，2，4，7，1 l ，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图（如右图
所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入
A ．16?;1i p p i ≤=
+- B ．14?;1i p p i ≤=++C ．15?;1i p p i ≤=++D ．15?;i p p i ≤=+
8．已知实数x ，y 满足1(10)
||,(,)()2cos (0)||12
x x x x y f x x x y ππ---≤<⎧⎧≤⎪⎪
=⎨⎨≤<⎪⎪≤⎩⎩则点在函数的图象与坐标轴所围成的
封闭图形的内部的概率为
A ．
32 B ．
14 C ．
34 D ．
12 9．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。
城
市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为 A ．0．5小时 B ．I 小时 C ．1．5小时 D ．2小时
10．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n=m+n ；
当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n=mn 。
则在此定义下，集合
{(,)|M a b a =**12,,}b a N b N =∈∈中的元素个数是
A ．10个
B ．15个
C ．16个
D ．18个
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．设F 1、F 2是双曲线
22
11620
x y -=的两焦点，点P 在双曲线上．若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于 。
12．已知向量(1,2),(4,),,93x y a x b y a b =-=⊥+
若则的最小值为 。
13．若函数
3()63f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 。
14．以下有四种说法：
①若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 与q 必为一真一假； ②若数列2**{}
1,,2,n n n a n S n n n N a n n N =++∈=∈的前项和为则；
③若实数t 满足
(),()f t t t f x =-则称是函数的一个次不动点，设函数()ln f x x =与函数
()(x g x e e =其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则m=0
④若定义在R 上的函数
()(2)(1),f x f x f x +=--满足则b 的函数()f x 的周期。
以上四种说法，其中正确说法的序号为 。
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）
A ．（不等式选讲）已知函数
2()log (|21||2|)f x x x m =+++-．若关于x 的不等式()1f x ≥的解集
是R ，则m 的取值范围是
B ．（坐标系与参数方程）己知圆
C 的极坐标方程为
2cos ,ρθθ=+则圆心C 的一个极坐标为 。
C ．（几何证明选讲）如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB=90°，
D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点
E ，则线段DE 的 长为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步
骤． 16．（本小题满分12分）已知平面上三点A （2，0），B （0，2），C （cos α，sin α）
（I ）若（OA OC + ）2=7（O 为坐标原点），求向量OB 与OC
夹角θ的大小；
（Ⅱ）若AC BC ⊥
，求sin2α的值．
17．（本大题满分12分）
如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、为棱DD 1上任意一点，下为对角线DB 的中点。
（I ）求证：平面CFB 1⊥平面EFB 1； （II ）若三棱锥B —EFC 的体积为1，且
113
,4
D E D D = ①求此正方体的棱长；
②求异面直线EF 与B 1C 所成角的余弦值。
18．（本小题满分12分） 数列{}n b （n ∈N*）是递增的等比数列，且13135, 4.b b bb +==数列{n a }满足2log 3.n n a b =+
（I ）求数列{},{}n n b a 的通项公式：
（II ）设数列{},n n a n S 的前项和为是否存在正整数n ，使得数列411{
}n S n
n
-前n 项和为2(1)4025n n T T n --=满足？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由。
19．（本小题满分12分）
西安市某省级示范高中为了了解学校食堂的服务质量情况，对在校就餐的1400名学生按5%比例进行问卷调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表所示（服务满意度为x ，价格满意度为y ）。
（I ）作出“价格满意度”的频率分布直方图；
（II ）为改进食堂服务质量，现从满足“53x y ≤>且”的人中随机选取2人参加座谈会，记其中满足“31x y <=且”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望。
20．（本小题满分13分）设椭圆D ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，在
x 轴负半轴上有一点B ，满足112,BF FF =
且AB ⊥AF 2．
（I ）若过A 、B 、F 2三点的圆C 恰好与直线l ：30x -=相切，求圆C 方程及椭圆D 的方程；
（II ）若过点T （3，0）的直线与椭圆D 相交于两点M 、N ，设P 为椭圆上一点，且满足
OM ON tOP +=
（O 为坐标原点），求实数t 取值范围．
21．（本小题满分13分）已知函数
1
().(1)ln(1)
f x x x =
++
（I ）求函数
()f x 的单调区间；
（II ）是否存在实数m ，使不等式
1
ln 2ln(1)101
m x x x >+-<<+在时恒成立？若存在，求出实数m
的取值范围；若不存在，请说明理由。
（III ）已知正整数列2
1
(1)
*()
{},()(),{}n f n n n n c C e
n N c +=∈中求数列中的最大项。