圆与圆的方程教案+答案
数学(文)一轮教学案：第九章第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系 Word版含解析
第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系考纲展示 命题探究1 圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程(2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2 点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点M 在圆上；(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点M 在圆外；(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点M 在圆内．注意点 圆的标准方程与一般方程的关系圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别.1．思维辨析(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12 －3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )(5)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．圆心在曲线y ＝14x 2(x <0)上，并且与直线y ＝－1及y 轴都相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4答案 D解析 设圆心的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，14x 2，据题意得14x 2＋1＝－x ，解得x ＝－2，此时圆心的坐标为(－2,1)，圆的半径为2，故所求圆的方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.3．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( )A ．2 2B.2－1 C ．22－1D ．1答案 C解析 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，故所求距离d min ＝22－1.[考法综述] 求圆的方程是考查圆的方程中的一个基本点，一般涉及圆的性质，直线与圆的位置关系等．主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用代数方法和几何方法解决问题．命题法1 求圆的方程典例1 (1)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O ′位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O ′的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5(2)求经过A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程．[解析] (1)设圆心坐标为(a,0)(a <0)，因为圆与直线x ＋2y ＝0相切，所以5＝|a ＋2×0|5，解得a ＝－5，因此圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.(2)解法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. ∴⎩⎨⎧ 52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，32＋22＋3D ＋2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－10，F ＝31.∴圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0.解法二：从形的角度，AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P 应在AB 中垂线x ＝4上，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＝4，得圆心P (4,5)． ∴半径r ＝|P A |＝10.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.[答案] (1)D (2)见解析【解题法】 用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程．(2)根据所给条件，列出关于D ，E ，F 或a ，b ，r 的方程组．(3)解方程组，求出D ，E ，F 或a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．命题法2 与圆有关的最值问题典例2 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)y x 的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，半径r ＝3的圆．(1)设yx＝k，即y＝kx，由题知，直线y＝kx与圆恒有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径 3.∴|2k－0|k2＋1≤ 3.∴k2≤3，即－3≤k≤3，∴yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y－x＝b，则当直线y－x＝b与圆相切时，b取最值，由|2－0＋b|2＝3，得b＝－2±6，∴y－x的最大值为6－2，最小值为－2－ 6.(3)令d＝x2＋y2表示原点与点(x，y)的距离，∵原点与圆心(2,0)的距离为2，∴d max＝2＋3，d min＝2－ 3.∴x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.【解题法】与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．命题法3与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x 0，y 0)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x 0－2,2y 0)．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x 0－2)2＋(2y 0)2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ′，y ′)．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |. 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝04D ＋2E ＋F ＋20＝0D －7E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.故选C.2．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________________；(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③解析 (1)依题意，设C (1，r )(r 为圆C 的半径)，因为|AB |＝2，所以r ＝12＋12＝2，所以圆心C (1，2)，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0(x －1)2＋(y －2)2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2－1或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2＋1，因为B 在A 的上方，所以A (0，2－1)，B (0，2＋1)．不妨令直线MN 的方程为x ＝0(或y ＝2－1)，M (0，－1)，N (0,1)，所以|MA |＝2，|MB |＝2＋2，|NA |＝2－2，|NB |＝ 2.所以|NA ||NB |＝2－22＝2－1，|MA ||MB |＝22＋2＝2－1，所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，所以|NB ||NA |－|MA ||MB |＝22－2－(2－1)＝2＋1－(2－1)＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22－2＋(2－1)＝2＋1＋2－1＝22，正确结论的序号是①②③.3.设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 解法一：当x 0＝0时，M (0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N (－1,0)或N (1,0)，使∠OMN ＝45°.当x 0≠0时，过M 作圆的两条切线，切点为A 、B .若在圆上存在N ，使得∠OMN ＝45°，应有∠OMB ≥∠OMN ＝45°，∴∠AMB ≥90°，∴－1≤x 0<0或0<x 0≤1.综上，－1≤x 0≤1.解法二：过O 作OP ⊥MN ，P 为垂足，OP ＝OM ·sin45°≤1，∴OM ≤1sin45°，∴OM 2≤2，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1.4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 因为(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆C 是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.注意点 切线长的计算涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解.1．思维辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1， 又∵r ＝2，∴0<d <r .显然圆心(0,0)不在直线y ＝kx ＋1上，故选C.3．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．答案 23解析 圆C 1的方程减圆C 2的方程，即得公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到l 的距离d ＝12，由条件知，r 2－d 2＝234，∴弦长为23. [考法综述] 直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想考查直线和圆的几何性质．命题法 直线与圆的位置关系及应用典例 (1)直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 (2)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] (1)直线ax －y ＋2a ＝0⇒a (x ＋2)－y ＝0，即直线恒过点(－2,0)，因为点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交．(2)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]． [答案] (1)C (2)C【解题法】 1.有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l 2，弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，即r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2. (2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k (－3)－2－2k －3|1＋k 2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.2.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 答案 D解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2x 0y 1＋y 2＝2y 0. 又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2B ．4 2C ．6D ．210 答案 C解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4 C ．(6－25)πD.5π4 答案 A解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝45. ∴圆C 面积的最小值为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.故选A. 解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半． 因此，圆C 半径的最小值为r min ＝45×12＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝4π5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.答案 2解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 答案 2555解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555.8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15.9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253， P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：注意点判别式与两圆的位置关系在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ>0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ<0是两圆外离(内含)的必要不充分条件.1．思维辨析(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y ＝r2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案 B解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.3．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l 对称，则直线l的方程是()A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0答案 C解析圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.[考法综述] 根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题．命题法 圆与圆的位置关系典例 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是______．[解析] (1)两圆心之间的距离为d ＝(－2－2)2＋(0－1)2＝17，两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝3.则r 2－r 1＝1<d <r 1＋r 2＝5，故两圆相交．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1.由题意知，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x ，kx －2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解得0≤k ≤43，故k 的最大值为43.[答案] (1)B (2)43【解题法】 两圆位置关系的相关问题(1)圆与圆的位置关系有5种：外离、外切、相交、内切、内含．在高考中涉及两圆位置关系时，常见有两种命题方式：①已知两圆方程判断两圆的位置关系，一般采用几何法求解． ②圆与圆位置关系的应用，即通过圆与圆的位置关系，研究公共弦及公切线等问题．(2)两圆相交公共弦问题①求相交圆公共弦问题设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如果先求交点坐标，再用两点式求直线方程，显然太繁琐，为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．设两圆任一交点坐标是(x0，y0)，则有：x20＋y20＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①x20＋y20＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②①－②得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0.显然，两交点坐标均满足此方程．因此，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0就是两圆的公共弦方程．②求两圆公共弦长的步骤第一步，先求两圆公共弦所在的直线方程；第二步，利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两圆公共弦长．(3)两圆位置关系与公切线条数，12M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析圆C1，C2如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理可得|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.选A.2．已知两圆⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y －3＝0和⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y －3＝0都经过点A (2，－1)，则同时经过点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)的直线方程为( )A ．2x －y ＋2＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．2x ＋y －2＝0 答案 A解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋2D 1－E 1－3＝05＋2D 2－E 2－3＝0即⎩⎪⎨⎪⎧2D 1－E 1＋2＝02D 2－E 2＋2＝0，∴点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)都在直线2x －y ＋2＝0上，故同时经过(D 1，E 1)和(D 2，E 2)的直线方程为2x －y ＋2＝0.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.答案 1解析 两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y ＝1a ，如图，由已知得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a ＝1，∴a ＝1.创新考向与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最值等．常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等．创新例题设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)答案 D解析 由圆的方程得圆心为(1,1)，半径为r ＝1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为d ＝|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1. 整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22 设m ＋n ＝x ，则有x ＋1≤x 24解得，x ≥2＋22或x ≤2－2 2.则m ＋n 的取值范围是(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选D.创新练习1．M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，则M ∩N ≠∅时，a 的最大值与最小值分别为________、________.答案 2＋22 22－2 解析 由已知可得集合M 表示圆x 2＋y 2＝2a 2的上半部分，而集合N 表示圆心(1，3)半径为a 的圆，若M ∩N ≠∅，则圆N 与半圆M 有公共点，设两圆的圆心距为d ，且d ＝2.则(2－1)a ≤d ≤(2＋1)a ，解得a ≥22－2或a ≤22＋2.2．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．答案 5－1解析根据条件画出可行域如图．设z＝|PQ|表示圆上的点到可行域的距离．当点P在A处时，求出|PQ|＝5，即|PQ|min＝5－1.创新指导1．准确转化：解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决．2．方法选取：对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，对于涉及参数的问题，要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否需要分类讨论．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点P(－1,1)的圆的切线方程为________．[错解][错因分析]没有对k进行分类讨论，从而遗漏了k不存在的情况．[正解](1)当直线的斜率不存在时，方程为x＝－1.此时圆心C(1，－2)到直线x＝－1的距离d＝|－1－1|＝2.故该直线为圆的切线．(2)当直线的斜率存在时，设为k，则其方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0.由已知圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k×1－(－2)＋k＋1|k2＋(－1)2＝2，整理得|2k＋3|k2＋1＝2，解得k＝－512，故此时切线方程为－512x－y＋712＝0，即5x＋12y－7＝0，综上，圆的切线有两条：x ＝－1或5x ＋12y －7＝0.[答案] x ＝－1或5x ＋12y －7＝0[心得体会] ………………………………………………………………………………………………时间：50分钟基础组1.[2016·衡水二中仿真]已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8答案 A解析 根据题意，直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －y ＋1＝0，得(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．[2016·枣强中学期中]已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13 答案 C解析 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣孤所对圆心角为23π，设圆心为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.3．[2016·衡水二中热身]圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋()y －32＝3C ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝34D ．x 2＋(y －2)2＝4答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A.4．[2016·武邑中学期末]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11答案 A解析 由题意可知，将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度后，所得直线l 的方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O (－1,2)，半径为 5.解法一：直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离等于圆的半径，即|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或λ＝7.解法二：设直线l 与圆相切的切点为C (x ，y )，由直线与圆相切，可知CO ⊥l ，所以y －2x ＋1×2＝－1.又C (x ，y )在圆上，满足方程x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，解得切点坐标为(1,1)或(－3,3)．又C (x ，y )在直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝7.5. [2016·衡水二中一轮检测]已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径为2，直线l 的斜率为－1，方程为x ＋y －1＝0.圆心到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为22，∴△OAB 的面积为12×22×22＝1，故选A.6．[2016·衡水二中猜题]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0，则|2x －y －2|的最小值是( )A ．5－ 5B ．4－ 5 C.5－1 D ．5 5答案 A解析 将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，|2x －y －2|＝5×|2x －y －2|5，几何意义表示圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上的点到直线2x －y －2＝0的距离的5倍，要使其值最小，只使|2x －y －2|5最小，由直线和圆的位置关系可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －y －2|5min ＝|2×2＋3－2|5－1＝5－1，∴|2x －y －2|的最小值为5×(5－1)＝5－5，选A. 7．[2016·衡水二中猜题]已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(注：此题条件还经常论述为“圆x 2＋y 2－2y －5＝0关于直线ax ＋by ＋c －1＝0对称”．)答案 A解析 依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎨⎧b ＋c ＝1(bc >0)4c b ＝bc，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9，选A.8. [2016·衡水二中一轮检测]已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)答案 C解析 如右图，当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故2<k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．[2016·冀州中学周测]已知点N (3,4)，圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，M 是圆C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 52－1解析 作点N 关于x 轴的对称点N ′(3，－4)，则(|PC |＋|PN |)min＝|CN ′|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－1.10．[2016·冀州中学热身]已知圆C 过定点A (0，a )(a >0)，且被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，若∠MAN ＝45°，则圆C 的方程为________．答案 (x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2 解析 设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，依题意，圆C 的半径r ＝x 2＋(y －a )2，又圆C 被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，所以|y |2＋a 2＝r 2，即y 2＋a 2＝x 2＋(y －a )2，化简得x 2＝2ay .因为∠MAN ＝45°，所以∠MCN ＝90°.从而y ＝a ，x ＝±2a ，圆的半径r ＝x 2＋(y －a )2＝2a ，所以圆C 的方程为(x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2.11．[2016·枣强中学周测]设圆C ：(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1，则圆C 的圆心轨迹方程为________，若k ＝0，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为________．答案 2x －y －1＝0 2155解析 由圆的方程(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1得圆心坐标C (k,2k －1)，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝2k －1，消去k ，得2x －y －1＝0，即圆C 的圆心轨迹方程为2x －y －1＝0；当k ＝0时，圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心到直线l ：3x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1－1|10＝105，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为21－25＝2155.12．[2016·冀州中学预测]已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．答案 1或－7解析 由圆的性质易知，当切线过圆M 的圆心(1,3)时，|PQ |取最大值，这个最大值即为圆M 的直径，设此直线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0(k 显然存在)．由|k －3|k 2＋1＝2得k ＝1或－7.能力组13.[2016·衡水二中月考]圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911答案 C解析 因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.14．[2016·枣强中学模拟]在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差为d ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6,7}B ．{4,5,6}C ．{3,4,5,6}D ．{3,4,5,6,7}答案 A解析 圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，∴圆心为⎝⎛⎭⎪⎫52，0，半径r＝52，则最大的弦为直径，即a n ＝5，当圆心到弦的距离为32，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32为垂足时，弦长最小为4，即a 1＝4，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得d ＝a n －a 1n －1＝5－4n －1＝1n －1，∵16≤d ≤13，∴16≤1n －1≤13，即3≤n －1≤6，∴4≤n ≤7，即n ＝4,5,6,7，选A.15．[2016·衡水二中期末]已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点M 的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．解 (1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r ＝2， 当过点M 的直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心(1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当过点M 的直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34. ∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过点M 的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋(－1)2＝2，解得a ＝0或a ＝43. (3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 16. [2016·武邑中学猜题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a的值．解(1)曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)，故可设圆的圆心坐标为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t ＝1，则圆的半径为32＋(t－1)2＝3.所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a2>0.由根与系数的关系可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.所以y1y2＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2，即2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②可得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.。
圆的标准方程数学教案及反思
圆的标准方程数学教案及反思教学目标1.知识与技能：探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。
2.过程与方法：通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。
教学重点难点以及措施教学重点：圆的标准方程理解及运用教学难点：根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。
根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循直观认知――操作体会――感悟知识特征――应用知识的认知过程，设计出包括：观察、操作、思考、交流等内容的教学流程。
并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。
以此使学生获取知识，给学生独立操作、合作交流的机会。
学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。
学习者分析高一年级的学生从知识层面上已经掌握了圆的相关性质;从能力层面具备了一定的观察、分析和数据处理能力，对数学问题有自己个人的看法;从情感层面上学生思维活跃积极性高，但他们数学应用意识和语言表达的能力还有待加强。
教法设计问题情境引入法启发式教学法讲授法学法指导自主学习法讨论交流法练习巩固法教学准备ppt课件导学案教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情景引入回顾复习(2分钟)1.观赏生活中有关圆的图片2.回顾复习圆的定义，并观看圆的生成flah动画。
提问：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗教师创设情景，引领学生感受圆。
教师提出问题。
引导学生思考，引出本节主旨。
学生观赏圆的图片和动画，思考如何表示圆的方程。
生活中的图片展示，调动学生学习的积极性，让学生体会到园在日常生活中的广泛应用自主学习(5分钟)1.介绍动点轨迹方程的求解步骤：(1)建系：在图形中建立适当的坐标系;(2)设点：用有序实数对(某,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(3)列式：用坐标表示条件P(M)的方程;(4)化简：对P(M)方程化简到最简形式;2.学生自主学习圆的方程推导，并完成相应学案内容，教师介绍求轨迹方程的步骤后，引导学生自学圆的标准方程自主学习课本中圆的标准方程的推导过程，并完成导学案的内容，并当堂展示。
圆的方程复习教案
圆的方程复习教案 知识梳理 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.3、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：(1）点在圆上 ； (2）点在圆外 d ＞ｒ； (3)点在圆内 d ＜r ．２.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ﻫ3.涉及最值：(１)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+(2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+4、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .MM当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,半径2422F E D r -+=． 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：(１）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A５、直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1)相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>(２)相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=(3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔< ﻫ相离 相切 相交(其中:22B A C Bb Aa d +++=)还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断:（１）当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点）,直线与圆相交；(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点）,直线与圆相切；（３）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；ﻫ即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心Ｃ到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：(1) 相切⇔⇔Δ＝0（2)相交⇔d<r ⇔Δ>0； （3)相离⇔d>r ⇔Δ<0。
圆的标准方程教案
圆的标准方程教案圆的标准方程教案1教学目标(一)知识目标1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论________于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
教学重、难点(一)教学重点圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点圆的标准方程的应用。
教学方法选用引导?探究式的教学方法。
教学手段借助多媒体进行辅助教学。
教学过程Ⅰ.复习提问、引入课题师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。
请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ?p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。
⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。
［多媒体演示］师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。
用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。
［给出标题］师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。
即，亦即x2+y2=r2.师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，由两点间的距离公式得即：（x-a）2+(y-b)2= r2Ⅱ.讲授新课、尝试练习师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
圆与方程教案
高三数学问题导学教学案例——圆与方程课题：圆与方程 课时安排： 2 课时一、复习目标：圆与方程了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化.能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点：圆的标准方程和一般方程四、知识回顾： 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 2、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<. 五、课堂教学：问题导学一：我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点？例1、基础训练：求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.探究1：过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101122=++k k ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31=. 探究2：已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .练习巩固：求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+r ba b a r b a 5252)5(222， 解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===55155r b a ，∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x .问题导学二：直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质？例2、基础训练：求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.探究1：直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .探究2：设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为32，则=a .解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得22222)3()11(=+++a a ，解得0=a .练习巩固：已知圆6)2()1(:22=-++y x C ，直线01:=-+-m y mx l . （1）求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.解：（1）∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ，且65=<=r PC ，∴点P 在圆内，∴直线l 与圆C 恒交于两点.（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点P 的直线l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，此时21=-=PCl k k ，∴所求直线l 的方程为)1(21-=-x y 即012=--y x .问题导学三：如何判断直线与圆的位置关系？例3、基础训练：已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.探究1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 解：依题意有a a >-21，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .探究2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 解：依题意有11122<+-k k ，解得340<<k ，∴k 的取值范围是)34,0(. 练习巩固：若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例4、基础训练：判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，并画出图形.探究1：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为)0,1(1O ，半径11=r ，圆4)2(22=++y x 的圆心为)2,0(2-O ，半径22=r ，∴1,3,5122121=-=+=r r r r O O .∵212112r r O O r r +<<-，∴两圆相交.探究2：若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .解：∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25-=m ，∴实数m 的取值集合是}2,0,25,512{--. 练习巩固：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.解：设所求圆的圆心为),(1b a O ，则所求圆的方程为20)()(22=-+-b y a x .∵两圆外切于点P ，∴131OO OP =，∴),(31)2,1(b a =-，∴6,3=-=b a ，∴所求圆的方程为20)6()3(22=-++y x .问题导学五：和圆相关的最值有哪些解决途径，体现那些思想方法？例5、基础训练：已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.探究1：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .探究2：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .解：设),(y x P ，则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ，则325min=-=-=r OC OP，∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.练习巩固：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值. 解：（1）设k x y =--21，则k 表示点),(y x P 与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值.由1122=+k k ，解得33±=k ，∴21--x y 的最大值为33，最小值为33-. （2）设m y x =+2，则m 表示直线m y x =+2在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值.由151=-m ，解得51±=m ，∴y x +2的最大值为51+，最小值为51-.问题导学六：如何利用已知条件挖掘求圆的方程的重要信息？ 例6、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.探究1：已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.探究2：由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PBPA ，得a yc x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac为半径的圆；当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.问题导学七：圆中动点的变化，带来求其轨迹方程的方法是什么？例7、基础训练：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.探究1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 探究2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 练习巩固：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(y x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .问题导学八：实际生活中我们又该如何利用所学的圆知识进行“数学化”，来解决问题？例8、基础训练：某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m .现有一船宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？探究1：某圆拱桥的水面跨度是20m ，拱高为4m .现有一船宽9m ，在水面以上部分高3m ，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m ，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 m 时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01m ） 解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为222)(r b y x =-+.∵圆经过点（10，0），（0，4），∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2222)4(100rb rb ，解得⎩⎨⎧=-=5.145.10r b . ∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ，得)(28.3m y ≈.故当水位暴涨1.5m 后，船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--，船才能通过桥洞.探究2：据气象台预报：在A 城正东方300km 的海面B 处有一台风中心，正以每小时40km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250km 以内的地区将受其影响.从现在起经过约 h ，台风将影响A 城，持续时间约为 h .（结果精确到0.1h ）解：以B 为原点，正东方向所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是x y -=，受台风影响的区域边界的曲线方程是222250)()(=++-a y a x .依题意有222250)300(≤+--a a ，解得14251501425150+-≤≤--a .∴6.64014502402,0.240142515024021211≈⨯=-=∆≈+-==a a t a t .∴从现在起经过约2.0h ，台风将影响A 城，持续时间约为6.6h .练习巩固：有一种商品，A 、B 两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费A 地是B 地的3倍.已知A 、B 两地的距离是10km ，顾客购买这种商品选择A 地或B 地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.解：以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则)0,5(-A ，)0,5(B .设),(y x P 是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为a 元km /，则PB a PA a =3，∴2222)5()5(3y x a y x a +-=++，化简得222)415()425(=++y x .∴A 、B 两地售货区域的分界线是以)0,425(-为圆心，415为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去A 地购货，在曲线外的居民选择去B 地购货，在曲线上的居民去A 、B 两地购货均可.六、反思总结：1、圆的标准方程和一般方程2、直线与圆、圆与圆的位置关系的要点3、复习、学到哪些解决问题策略，掌握了哪些数学思想方法七、作业安排：配套专题练习 八、教学反馈：问题导学法通过创设特定的问题情景，引导学生在解决面临的问题中，主动获取和运用知识、技能；激发其学习主动性、自主学习能力和创造性解决问题的能力的课堂教学方式.本教学方式的三个基本特征是：①以问题的提出和解决为中心.即教学过程不是简单的知识传递讲解过程，而是根据课本知识要求和学生的知识经验，把教学问题问题化.问题的提出和解决贯穿教学过程.②以发展学生运用知识综合解决问题能力和创新意识及学习能力为重点.③教师引导学生自主合作探索学习为关键.即教师是教学过程中问题情境的创设者，解决问题过程的指导者，学生学习的鼓励者.在新课程的高三复习中我们数学教师要把握好《新课程标准》、《教学要求》和《考试说明》中的重要信息，从学生实际出发，在复习内容上要进一步创新，要以问题为纽带，编制教案和学案，促进学生加深对复习内容的理解和学习负担的减轻，从被动接受向主动探求转变从而促进高三课堂复习效益的提高.使“双案制”教学成为问题导学的载体、提高学习质量的抓手.。
圆与方程教案及练习题
圆与方程一、圆的标准方程 1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．(2)根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组； (3)解此方程组，求出a ，b ，r 的值； .(4)将所得的a ，b ，r 的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程．3. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a ，b ，r 的方程组，然后解出a ，b ，r ，再代入标准方程. 二、圆的一般方程1.方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆，只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程.2. 对于方程022=++++F Ey Dx y x .(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D，-2E）; （3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形3.圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D ，E ，F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 例1．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
4.1.2圆的一般方程 教案(人教A版必修2)
4.1.2圆的一般方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点．(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径．(3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．(4)能用坐标法求动点的轨迹方程．2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)培养学生勇于思考、探究问题的精神．●重点难点重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程．难点：用坐标法求动点的轨迹方程．重点突破：以教材的思考为切入点，采取由特殊到一般、由具体到抽象的方法，结合圆的标准方程，突破“二元二次方程同圆的关系”这一重难点，通过学生探究合作与交流，结合题组训练，引导学生进一步掌握用“待定系数法”求解圆的一般方程；借助多媒体演示及学生的直观感知突破“求动点的轨迹方程”这一难点．●教学建议本节课是上节课的拓展和延伸，可采用开门见山、单刀直入的引入方法，让学生通过对一组二元二次方程的观察比较，分析讨论，得出圆的一般方程的形式，并指明“二元二次方程”同“圆”的关系，培养学生分类讨论的思想意识．考虑到“用相关点法求动点的轨迹方程”的难度，教学时可结合一些具体例子，让学生分组协作，通过组内讨论的方式找出动点的轨迹与已知曲线的关系，教师适时点拨，这样学生既掌握了用相关点法求动点轨迹的问题，又对一般的轨迹问题有了了解，为今后进一步学习轨迹问题奠定基础．●教学流程创设问题情境，引出问题：二元二次方程同圆什么关系？⇒引导学生结合配方法及圆的标准方程得出圆的一般方程形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解二元二次方程同圆的关系及表示圆的条件.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的求法.⇒通过例3及其变式训练，初步培养学生解决与圆相关的轨迹问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开可得到一个什么式子？ 【提示】 x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 2．观察以下三个方程： (1)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0； (2)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0； (3)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.先将它们分别配方，分析它们分别表示什么图形？【提示】 (1)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝－6，不表示任何图形． (2)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝0，表示点(－1，－1)． (3)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，表示圆． 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)表示的图形(1)变形：(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4.(2)图形：①当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，且圆心为(－D 2，－E2)，半径为12D 2＋E 2－4F ，方程(*)称为圆的一般方程； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程(*)表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程(*)不表示任何图形.下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径．(1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.【思路探究】 分析每个方程是否具有圆的一般方程的特征，也可以把方程配方观察求解．【自主解答】 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同， ∴它不能表示圆．(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项， ∴它不能表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为(x －54)2＋y 2＝(54)2，∴它表示以(54，0)为圆心，54为半径长的圆．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________． 【解析】 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.【答案】 (－∞，54)并求这个圆的半径长和圆心坐标．【思路探究】 设圆的一般式方程――→过点O 、M 、N 求圆的一般式方程――→公式法求圆心坐标、半径【自主解答】 设圆的一般式方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意可知点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)满足圆的方程，即 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以，所求圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0化为标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. ∴圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r ＝5.1．一般地，所求的圆经过几点且不易得知圆心和半径，常选用一般式． 2．圆的一般式方程中也含有三个未知参数，求解时也需要三个独立的条件．已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． 【解】 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.【思路探究】 本题考查动点轨迹方程的求法，关键是寻找动点M 的横、纵坐标之间的关系．【自主解答】 设M (x ，y )，由于M 是AP 的中点， ∴P 点的坐标是(2x －4,2y )．∵P 是圆x 2＋y 2＝1上的点， ∴(2x －4)2＋(2y )2＝1.即动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝14.本题是运用代入法求轨迹方程．用动点坐标表示相关坐标，再根据相关点所满足的方程即可求动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法．经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点M 的轨迹方程为________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，故x 20＋y 20＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以，所求轨迹方程为x 2＋4y 2＝4. 【答案】x 2＋4y 2＝4忽略圆的一般方程中D 2＋E 2－4F >0致误已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围． 【错解】 因为点A (a,2)在圆的外部， 所以a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0， 解得a >2.故所求a 的范围为(2，＋∞)．【错因分析】 上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件”． 【防范措施】 对于二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0只有在D 2＋E 2－4F >0的前提下，它才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D 2＋E 2－4F >0.【正解】 因为点A 在圆的外部，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0，(－2a )2＋(－3)2－4(a 2＋a )>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <94，即2<a <94.所以a 的取值范围为(2，94)．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．2．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．1．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是( ) A ．(2，－1)，3 B ．(－2,1)，3 C ．(－2，－1)，3 D ．(2，－1)，9【解析】 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. 【答案】 A2．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ， 又P (x 0，y 0)在圆上， ∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 【答案】 x 2＋y 2＝43．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 由(－4)2＋22－4×5k >0，得k <1. 【答案】 (－∞，1)4．已知圆C 过点O (0,0)，A (1,0)，B (0，－1)，求圆C 的方程．【解】 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将O ，A ，B 三点坐标依次代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋D ＋F ＝0，(－1)2－E ＋F ＝0，解之得D ＝－1，E ＝1，F ＝0. 所以圆C的方程为x 2＋y 2－x＋y＝0.一、选择题1．(2013·聊城高二检测)方程x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示一个圆，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ＝2 C ．a ＝－2 D ．a ＝1【解析】 由题意可知a ＋2＝1，∴a ＝－1. 【答案】 A2．(2013·浏阳高一检测)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F【解析】 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点(－D 2，－E2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.【答案】 A3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )【解析】 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 【答案】 D4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0【解析】 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C.【答案】 C5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 设点P 的坐标为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2 即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π. 【答案】 B 二、填空题6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________. 【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－D2＝2，－E2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得D ＝－4，E ＝8，F ＝4. 【答案】 47．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于________． 【解析】 圆的半径r ＝12(－2)2＋62－4×8＝2，故圆的周长为22π. 【答案】 22π8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M 的坐标为(x ，y )，由题意可知圆心A 为(2，－1)，P (2x －2,2y ＋1)在圆上， 故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 【答案】 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 三、解答题9．(2013·济宁高一检测)设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．【解】 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ，∴k CP ·k ＝－1. 又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.10．(2013·黄冈高一检测)已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线． 【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|P A |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2， 整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程可化为2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝[3λ(λ－1)]2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1，0)为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆．11．(思维拓展题)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由． 【解】 (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，∴⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0.(2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3. ∴圆M 过定点(0，－3).等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【思路探究】 用直接法求轨迹方程，但必须考虑点C 是三角形的另一顶点，即A ，B ，C 三点不能共线，这一点容易被忽略，应注意．【自主解答】 设另一端点C 的坐标为(x ，y )． 依题意得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得：(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系．把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．如图所示，自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．【解】 ∵P 为BC 中点，O 为圆心，∴OP ⊥BC .设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0(0<x <1)．① 当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(0≤x ＜1).。
高中数学圆的方程教案
高中数学圆的方程教案教学目标：1. 理解圆的定义及其性质。
2. 掌握圆的标准方程及一般方程的推导方法。
3. 能够利用圆的方程解决实际问题。
教学重点：1. 圆的方程的推导方法。
2. 圆的标准方程和一般方程的使用。
教学难点：1. 圆的方程的建立。
2. 圆的方程在解决问题中的应用。
教学过程：一、引入：教师出示一个圆形物体，引导学生讨论圆的定义及性质，引出圆的方程这一概念。
二、讲解：1. 圆的方程：a. 圆的标准方程：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
b. 圆的一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
2. 推导：教师引导学生通过几何解题和代数推导，探讨圆的标准方程和一般方程的建立过程。
三、练习：1. 让学生练习根据已知条件写出圆的方程。
2. 给学生几道实际问题，让他们利用圆的方程解题。
四、总结：1. 通过讲解和练习，总结圆的方程的建立方法和应用。
2. 强调圆的方程在解决几何问题中的重要性。
五、拓展：教师可以引导学生研究其他类型的圆的方程，如与坐标轴平行、与坐标轴不平行的圆等。
六、作业：1. 完成练习题目。
2. 思考如何利用圆的方程解决更复杂的几何问题。
教学反思：本节课注重培养学生对圆的方程的理解和应用能力，通过引导学生探讨和推导，使他们更加深入地理解圆的性质和方程的推导方法。
同时，通过实际问题的应用，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的综合解决问题的能力。
圆的方程 教案
圆的方程教案教案标题：圆的方程教案目标：1. 理解圆的定义和性质。
2. 掌握圆的方程的基本形式。
3. 能够根据给定条件写出圆的方程。
教学重点：1. 圆的定义和性质。
2. 圆的方程的基本形式。
教学难点：1. 根据给定条件写出圆的方程。
教学准备：1. 教学投影仪或白板。
2. 圆的模型或图片。
3. 圆的方程的示例题目和练习题。
教学过程：Step 1: 引入1. 通过展示圆的模型或图片，引导学生对圆的定义进行回顾和讨论。
2. 引导学生思考圆的性质，例如半径、直径、圆心等。
Step 2: 圆的方程的基本形式1. 介绍圆的标准方程：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
2. 解释方程中各个部分的含义和作用。
Step 3: 根据给定条件写出圆的方程1. 给出一些具体的条件，例如圆心坐标和半径长度，要求学生写出对应的圆的方程。
2. 逐步引导学生进行思考和解答，帮助他们理解如何根据给定条件写出圆的方程。
Step 4: 实例练习1. 给学生提供一些实例题目，要求他们根据给定条件写出圆的方程。
2. 让学生在小组或个人中解答，并进行讨论和分享。
3. 随机抽查学生的答案，并给予评价和指导。
Step 5: 拓展练习1. 提供一些较为复杂的问题，要求学生运用所学知识解决。
2. 引导学生思考和分析问题的步骤和方法，帮助他们提高解决问题的能力。
Step 6: 总结1. 回顾本节课所学内容，强调圆的定义、性质和方程的基本形式。
2. 鼓励学生总结和归纳学习要点，加深对知识的理解和记忆。
教学延伸：1. 鼓励学生自主探究圆的方程的其他形式，例如一般式方程。
2. 引导学生应用圆的方程解决实际问题，例如几何问题或物理问题。
教学评估：1. 在课堂上观察学生的参与和表现。
2. 批改学生的练习题和作业，给予及时的反馈和指导。
3. 通过小组讨论和个人答题，评估学生对圆的方程的掌握程度。
教学资源：1. 圆的模型或图片。
圆的标准方程 优秀教案
圆的标准方程【教学目标】（1）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题。
（2）通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力。
（3）通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育。
【教学重难点】教学重点：（1）圆的标准方程的推导步骤；（2）根据具体条件正确写出圆的标准方程。
教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
【教学过程】一、情景导入、展示目标前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？1．具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（教师在黑板上画一个圆）。
2．图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。
二、检查预习、交流展示求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）|}，简称写点集；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0，简称列方程；（4）化方程f（x，y）=0为最简形式，简称化简方程；（5）证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明。
其中步骤（1）（3）（4）必不可少。
三、合作探究、精讲精练探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法。
教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导。
因为C是定点，可设C（a，b）、半径r，且设圆上任一点M坐标为（x，y）。
圆与圆的标准方程-教案
2.1 圆的标准方程江西省南康中学吴铭教学目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教材分析：教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．(解决办法：(1)通过设问，突破难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)活动设计：问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结．教学方法：启发引导式教学手段：多媒体教学教学过程：Ⅰ、创设情境：生活中有很多圆形建筑，如赣南客家围屋、赵州桥等。
什么是圆？圆有哪些特征？华罗庚先生说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.并且在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？自主学习5分钟，阅读教材78页内容，回答问题：<1>已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？<2>圆的方程具有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？Ⅱ、探索研究：一. 圆的标准方程的推导确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22()()x a y b r -+-= ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生理解：若点M （x ，y ）在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适合方程(2)；反之，若点M （x ，y ）的坐标适合方程（1），这说明点M 与圆心的距离是r ，即点M 在圆心为A 的圆上.方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
圆的方程教案
合用学科合用地区知识点教课目的高中数学合用年级高二人教版地区课不时长（分钟） 2 课时1.圆的标准方程及其求法2.圆的一般方程及其特色3.圆的一般方程的求法4.点与圆的地点关系1.掌握确立圆的几何因素,掌握圆的标准方程与圆的一般方程.2.会依据条件求圆的标准方程和一般方程.教课要点教课难点圆的标准方程与圆的一般方程的理解;依据条件求圆的标准方程和一般方程.依据条件求圆的标准方程和一般方程.【教课建议】在初中，学生们就学过圆及它的一些性质和定理的应用，高中则进一步学习圆的方程。
是学生系统学习直线方程后的平面分析几何基础部分的第二个知识点，为下一步学习平面解析几何其余部分确立基础.对于圆的方程，学生的学习困难主要在解题思想方面：第一将几何问题代数化，用代数的语言描绘几何因素及其关系，从而将几何问题转变为代数问题 ;办理代数问题；剖析代数问题的几何含义，最后解决几何问题。
这类思想贯串平面分析几何解题教课的一直，而代数法和几何法大多会同时出此刻一道题的解法中，开始学惯用代数法和几何法解决问题，这样的转变对高一的学生是比较困难的；帮助学生不停地体会“数形联合”的思想方法.【知识导图】教课过程一、导入【教课建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生赶快进入学习状态。
导入的方法好多，仅举两种方法：①情境导入，比方讲一个和本讲内容有关的生活现象；②温故知新，在知识系统中，从学生已有知识下手，揭露本节知识与旧知识的关系，帮学生成立知识网络。
供给一个教课方案供讲课老师参照：1、复习预习（1）初中圆的定义（2）两点间的距离公式两点 p1(x1, y1), p2 ( x2 , y2 ) 间距离公式：2、察看引入同学们 , 我们知道直线能够用一个方程表示, 那么 , 圆能够用一个方程表示吗?圆的方程如何来求呢 ?这就是本堂课的主要内容.设计企图：由初中知识自然过分到今日要学的知识，对初中知识进行深入，激起学生新的认知矛盾，从而调换学生踊跃性.3、步步深入问题1：已知两点 A 2,-5 ,B 6,9 ,如何求它们之间的距离?若已知C 3,-8 , D x, y , 又如何求它们之间的距离?问题 2：拥有什么性质的点的轨迹称为圆?问题 3：图中哪个点是定点？哪个点是动点?动点拥有什么性质?圆心和半径都反应了圆的什么特色 ?设计企图：经过启迪式发问, 实现学生从图形语言到文字语言到符号语言多方面研究圆, 实现“形”到“数”的变换, 从而会用方程形式来描绘圆.二、知识解说【考教点学建1议】圆通的过方前途面的指引，获得圆的标准方程；获得标准方程后，能够让学生自己来推出经过配方和拆方将一般方程和标准方程互相转变：(1)标准方程： x2y2r 2 a b此中圆心为 (a, b)，半径为r.特别地，以原点为圆心，半径为r r0的圆的标准方程为 x2y2r 2.(2)一般方程： x 2y2Dx Ey F0 .此中圆心为 (D , E) , 半径为 r1 D2 E 2 4F . 222DE22E24F2y 2Dx Ey F 0 可变形为 ( x2D, 故有：方程 x2 )y42当 D 2 E 24F 0 时，方程表示以D ,E 为圆心， r D 2 E 24F 为半径的2 22 圆；当 D 2 E 2 4F 0 时，方程表示一个点；当 D 2E 24F0 时，方程不表示任何图形．考点 2点与圆的地点关系P x 0 , y 0 与圆 xa 2y2br 2 r 0 的地点关系(1) 若 x 02y 0 b22 , 则点 P 在圆外； ar若 x 02y 0 b 22 ，则点 P 在圆上；(2) ar若 x 0 2y 0 b22 ，则点 P 在圆内．(3) a r 三 、例题精析种类一 圆的标准方程例题 1依据以下条件，求圆的方程：(1) 经过 A 6,5 , B 0,1 两点，并且圆心在直线 3x 10 y 9 0 上；(2) 经过 P 2,4 ,Q 3, 1 两点，并且在x 轴上截得的弦长等于 6.【分析】 (1)∵ AB 的中垂线方程为3x 2y 15 0 ，由 3x2 y 15 0 ， 3x 10y 9 0 ，解得 x7, y3∴圆心为 C 7,3 ,又CB65 ，x 72265,故所求圆的方程为 y 3(2) 设圆的方程为 x 2y 2 Dx Ey F 0 ，将 P 、Q 点的坐标分别代入，得2D 4E F 20 3D EF①②又令 y0 ，得 x 2Dx F 0 . ③设 x1、x2是方程③的两根，由 x1 x26有D24F36.④由①、②、④解得D2, E4, F8 或 D6, E8, F0故所求圆的方程为x2y 22x 4 y8 0 或 x2y26x 8y0 .【总结与反省】求圆的方程时，应依据条件采用适合的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，经过研究圆的性质从而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解种类二圆的一般方程例题 1已知平面上三个定点A1,0，B3,0，C1,4．求经过 A 、 B 、C三点的圆的方程．已知三点A 1,3 , B4,2,C1,7 ，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）【答案】 D【分析】设圆的方程为x2y2Dx Ey F0(D 2 E 24F 0),圆M过三点10d3e f0A 1,3, B4,2 ,C 1, 7, 可得204d2e f0 解方程可得50d7e f0D2, E4,F20 ，即圆的方程为x2y22x4y0 ，即为x 12225,圆心1,2 5 .y 2到原点的距离为应选 D.【总结与反省】确立圆的方程主要方法是待定系数法, 大概步骤为：(1)依据题意，选择标准方程或一般方程；(2)依据条件列出对于 a,b, r 或 D , E, F 的方程组；(3)解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程．种类三圆的几何性质例题 122假如实数 x, y 知足方程 x 3y 36,求：( 1)y的最大值与最小值 ;(2)xy 的最大值与最小值．x【分析】 (1) 设方程2y 2x 3 36 所表示的圆 C 上的随意一点 P x, y ．y的几何意义就是直线 OP 的斜率 ,x设yk , 则直线 OP 的方程为 y kx .x由图①可知，当直线 OP 与圆相切时，斜率取最值．所以点 C 到直线 ykx 的距离 d3k 36 ,k 2 =1即 k 32 2 时，直线 OP 与圆相切．所以 y的最大值与最小值分别是3 2 2 与 3 2 2 .x(2) 设 xy b , 则 y x b , 由图②知 , 当直线与圆 C 相切时 , 截距 b 取最值 . 而圆心 C 到直线 yx b 的距离为 d 6 b.26 b6 ，即 b6 2 3 时，直线 yx b 与圆 C 相切 , 所以 x y 的最因为当2大值与最小值分别为6 23与6 2 3.【总结与反省 】与圆有关的最值问题, 常有的有以下几种种类:(1 ) 形如 u y bx a 形式的最值问题 , 可转变为动直线斜率的最值问题； (2) 形如 tax by 形式的最值问题 , 可转变为动直线截距的最值问题；22(3) 形如 x a y b 形式的最值问 题，可转变为动点到定点的距离的平方的最值问题．种类四 点与圆的地点关系例题 2求过两点 A 1,4 ,B3,2 且圆心在直线y0 上的圆的标准方程 , 并判断点 P 2,4 与圆的关系 .【分析】设圆的标准方程为 2y22 ,x abr y 0b 022r2. .∴ 圆的方程为x ay∵该圆过 A 1,4 , B 3,2两点，∴解之得 a1,r 220 .∴所求圆的方程为x 1 2y220.将P 2,4代入圆方程得 2 1 2422520P在圆外【总结与反省】合理的使用待定系数法例题 22点 P 5a1,12a 在圆 x 1 1 的内部，则a的取值范围是()y2【答案】Ｄ【分析】∵P在圆的内部，∴P到圆心的距离小于半径.∴(5a)2(12a)21,1a11313【总结与反省】 P x0 , y0与圆 x2y2r 2r0a b的地点关系(1) 若x02y0b22, 则点P在圆外；a r(2) 若x02y0b22，则点 P 在圆上；a r(3) 若x02y0b22，则点 P 在圆内．a r例题 32y k 2k (k0) 相切,则k的取值范围若过点3,1 总能够作两条直线和圆x 2k 是（）.【答案】 D3,1x2k 2y k2【分析】若过点总能够作两条直线和圆k(k 0) 相切，3,12y k20) 外.则点在圆x 2k k (k所以圆 321k20) ,解得k 1 或 k 2 . 2k k( k又 k0, 所以 k的取值范围是0,1 U 2,.应选 D.【总结与反省】这个题目观察的是点和圆的地点关系的应用:点在圆上能作圆的一条切线，点在圆外能够作圆的两条切线;点在圆外，则将点坐标代入方程大于O 即可；点在圆内，则将点坐标代入方程，小于O即可.种类五轨迹方程例题 1方程 (x y2 2 y 8) x y 0 表示的曲线为（）A. 一条直线和一个圆B.一条线段与半圆C .一条射线与一段劣弧D .一条线段与一段劣弧【答案】 D【分析】∵ (x y22y 8) x y 0,∴ x y22y 8 或x y 0 2 y 4 ,∴ x2y 1 29 x 0 或x y 2 y 4 ．应选 D ．【总结与反省】曲线与方程. “数形联合”的思想要逐渐转变.长为例题 2的线段AB的两个端点 A 和 B 分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹2 a方程．【答案】 x2y2a2【分析】点M 运动时，到原点的距离为定长，即Rt△ AOB 斜边上的中线长．因为 AB 2 a ，即点M M | OM a ，所以点 M 的轨迹是以O为圆心，a为半径长的圆．依据圆的标准方程，点M 的轨迹方程为x2y2a2．【总结与反省】曲线与方程. 该题观察的是圆的定义.【教课建议】曲线和方程方面，可加入一些简单的求轨迹方程的方法，如有关点法，为下一步学习平面分析几何做准备 .四、讲堂运用基础1.在平面直角坐标系中,经过三点0,0 ,1,1, 2,0的圆的方程为__________．2.已知圆 x2 y2 4x my 4 0 有两点对于直线l :2 x 2 y m 0对称，则圆的半径是__________．223. P 1,1到圆x 4y 51 上的随意点的最大距离是__________．4.求圆心在直线3x y 50上 , 并且经过原点和点3,1 的圆的方程．答案与分析1.【答案】 x2y22x0【分析】设圆的方程为x2y2Dx Ey F 0,圆经过三点0,0 , 1,1 , 2,0 ,则：F0D21 1 D E F0,解得E0402DF0F0则圆的方程为 x2y 2 2 x0 .【总结与反省】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：详细过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在随意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：依据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出有关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，不然，选择一般式．无论是哪一种形式，都要确立三个独立参数，所以应当有三个独立等式．2.【答案】 3【分析】圆 x2y24x my 4 0 的圆心坐标为2,m2∵圆 x2y24x my40有两点对于直线 l : 2x2y m0 对称∴将 2, m代入直线 l : 2x 2 y m 0可得 4 m m0 ,m 2 . 2∴圆 x2y24x my 40 为 ( x 2) 2( y 1)29∴圆的半径是33.【答案】 6【分析】设圆心为O,O4,5,∴ P 到圆的最大距离为OP r 5164. 【答案】( x 1)2( y2) 25【分析】设所求圆的方程为( x a) 2( y b) 2r 2．a2b2r 2由已知 ,得a32b2r 213a b 5 0解此方程组，得a1,b2, r 2 5 ．所以 , 经过原点和点3,1，并且圆心在直线 3x y50上的圆的方程是 ( x 1)2( y2) 25稳固1. 直线x y20分别与 x 轴，y轴交于A, B两点，点P在圆 (x 2)2y22上，则ABP 面积的取值范围是（）2. 已知圆的方程为x2y26x8 y 16 0，设该圆过点3,5的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD，则四边形 ABCD的面积为（）3.已知A3,0 ,B0,4,点C在圆2y2 1 上运动，若ABC 的面积的最小值x m为5, 实数m的值为（）24. P为圆x2y2 1 上的动点，则点 P 到直线3x4y100的距离是最小值为（）．5. 已知椭圆x2y21 的左右焦点分别为F1、F2，过 F1的直线 l1与过 F2的直线 l 2交于点32P ，设 P 点的坐标x0 , y 0，若 l1l2，则以下结论中不正确的选项是（）答案与分析1. 【答案】A.【分析】直线 x y20分别与 x 轴，y轴交于A, B两点A 2,0 ,B 0,2,则AB22Q 点 P 在圆 x22y2 2 上2,02022圆心为,则圆心到直线距离d122故点 P 到直线x y20的距离d2的范围为2，22 3则 SABP 1AB d2d22,6 22故答案选 A.2. 【答案】A.x 223，4, 半径是 3, 圆心到点【分析】圆的方程可化为3y 49 ,故该圆圆心是3，5的距离为 1, 依据题意 , 知最短弦BD和最长弦 ( 即圆的直径 )AC垂直 ,且BD23214 2 ,AC6, 所以四边形 ABCD 的面积为1AC BD1642122,22应选 A.3.【答案】 D.【分析】直线 AB : xy1，即 4x 3 y120 34若ABC 的面积最小，则点 C 到直线AB的距离 d 最短，dmin 4m12ABC 的面积的最小值为 5 ，1,又52∴ 154m 125即 4m12101252应选： D.【总结与反省】当直线与圆相离时，常常波及圆上点到直线的距离的最值问题，方法为：过圆心向直线作垂线，与圆交于两点，这两点到直线的距离即最大值与最小值.4.【答案】 C.【分析】由已知得圆的圆心为0,0 ，半径为1，圆心到直线3x4y100 的距离d10211 ．2 1，直线与圆相离，故圆上的点到直线的最小距离为3242应选 C.5.【答案】 A.【分析】Q l1l2 ,x0 , y0在以F1F2为直径的圆上，圆心坐标为0,0，半径为 c 1 ，Q c 23,x0, y0x02y02x02y02在椭圆内，必定有 1 ，故31不正确，322应选 A.拔高1. 在长方体ABCD A B C D中,已知底面 ABCD 为正方形,P为 A D的中点，AD 2, AA1 3 ,点 Q 是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC2QP ,则线段 BQ 的长度的最大值为___.2. 已知圆O : x2y 225 ,圆 O1的圆心为O1m,0,圆O与圆O1交于点P 3,4，过点P 3,4且斜率为 k k 0的直线 l 分别交圆 O 、圆 O1于点A, B．（1）若k1且BP7 2 ，求圆O1的方程；（2）过点P作垂直于l的直线l1分别交圆O、圆O1于点C, D，当m为常数时，试判断22AB CD 能否为定值？假如，求出这个定值；若不是，请说明原因．3. 已知z C , z2 1 ，则 z 2 5i的最大值和最小值分别是（）A.411和411B.3和1C.5 2和34 D .39和34. 已知正ABC的边长为2 3 ，在平面ABC中，动点 P,M 知足 AP 1,M是 PC的中点，则线段 BM 的最小值为（）答案与分析1. 【答案】 6【分析】如图（ 1）所示，取AD的中点为D，连结SQ，则 PS平面 ABCD，因 SQ平面 ABCD，所以 PS SQ，所以PQ2PS 2SQ2，也就是1QC23SQ2，如图（2）所示，把正方形ABCD搁置在平面直角坐标系中，2S 0,1，C2,2，设 Q x, y x 22y262x22，则2 2 y 1，整理得 x2y24x0 ，也就是圆x2y2 4 ，故BQ的最大值为 6 . 2图（ 1）图（ 2）【总结与反省】QC2QP 是空间中的两条线段之间的关系，经过AD 的中点S能够转变到同一平面上QS与 QC 的关系，再把正方形ABCD搁置在平面直角坐标系中，经过研究 Q的轨迹(是圆)获得 BQ的最大值.2. 【答案】（ 1）x2y2137 ；（2）定值为 4m2. 14【分析】（ 1） k1 时，直线 l 的方程为 x y 1 0 ，m 22由 BP7 2 ，得17 22 2 ，解得 m 14或m2m342因为 m 0 ，所以 m 14即圆 O 1 的方程为 x 142137y 2 （2）直线 l 的方程为 y 4 k x3x 2 y 225消去 y 得： 1 k2x28k 6k 2 x 9k2k 9 0由4 k x3 y1 替代上式中的24m 24m 2 k 2因为直线 l 1 垂直于 l ，所以用k ，得 CD21 k 2k11k2CD 2所以 AB=4m 2 。
圆的标准方程教案
学生：（通过板书讲解），
圆的半径r=|AB|=
圆心B的坐标（3,2），根据圆的标准方程得所求圆的方程：
第四组问题：例2求以直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点为圆心, 半径为的圆的方程.
学生：由方程组
解得：
即所求圆心坐标为（0,1），半径
r= 。
根据圆的标准方程得所求圆的
方程为：
x 2 + ( y - 1)2 = 3
教师：本组两
题主要是对
例题的巩固
和加强，在多
媒体上出示
答案：
1、(x
- 1)2 + ( y +
2)2 = 8
2、
(x- )2 +
( y-)2 =
八、板书设计
一课题和教学目标
二的标准方程推导
例1求过点A(6，0),且圆心B的坐标为（3,2）的圆的方程。
例2求以直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点为圆心, 半径为的圆的方程.
本节总结。
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2（圆心（a,b）,半径r）。
圆心在原点时a=b=0，圆的标准方程为x2 + y2 = r2 。
九．教学反思。
〖2021年整理〗《圆的标准方程》优秀教案
圆的方程圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程 （二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程 （三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程 （四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程 二、教学设计 （一）课前设计 1预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空： 确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=2预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（ ） A 22(1)(2)5x y +++= B 22(1)(2)25x y +++= C 22(1)(2)5x y -+-= D 22(1)(2)25x y -+-= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-= 【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义 【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（ ）A 1B 1±C 2 D【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =± 【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=； （2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<； （3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A 221x y +=B 22x y +=C 222x y +=D 224x y += 【知识点】圆的标准方程【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径r ，所以圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径 【答案】C （二）课堂设计 1知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等 （2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间的距离2问题探究 探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了因此，确定一个圆的最基本的要素就是圆心和半径【设计意图】通过和直线的类比，引导学生分析出圆的基本要素，为后面圆的定义打基础•活动② 当圆心位置C 和半径r 的大小确定后，如何定义一个圆？平面上到定点C 的距离等于半径r 的点M 的集合，叫做以C 为圆心，为半r 径的圆 【设计意图】从理性分析到感性认识，得出圆的定义 探究二 圆的标准方程•活动① 如果圆心C 的坐标为a,b ，半径大小为r ，那么圆的方程是什么？设圆上任意一点M,，则M 到圆心C 的距离等于半径r ，圆心为C 的集合就是{}P M MC r ==， 由两点间的距离公式，点M 适合的条件可以表示为 22()()x a y b r -+-=两边平方，得：222()()x a y b r -+-=……………………⑴若点M,在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适合方程1；反之，若点M,的坐标适合方程1，这说明点M 到圆心C 的距离等于半径r ，即点M 在圆心为C 的圆上我们就把方程1称为圆心为Ca,b ，半径为r 的圆的标准方程【设计意图】利用两点间的距离公式和圆的定义推导出圆的标准方程，实现从几何到代数的转化 探究三 点和圆的位置关系•活动① 由探究二我们知道，如果点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=上，则满足22200()()x a y b r -+-=那么点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=内又要满足什么条件呢？在圆222()()x a y b r -+-=外呢？点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=； （2）点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<； （3）点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->；【设计意图】掌握点与圆的位置关系和刻化方法 巩固基础，检查反馈例1 圆22(2)(3)2x y ++-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A (2,3),- B (2,3),2- C (2,3),- D (2,3),2-【知识点】圆的圆心坐标和半径【解题过程】由圆的标准方程可知圆心坐标为(2,3)-，半径r =【思路点拨】比较该方程与圆的标准方程即可 【答案】A同类训练 圆22(1)(2)5x y -++=的圆心到直线y x =的距离为（ ）A BCD 5 【知识点】由圆的方程得圆的圆心坐标以及点到直线距离公式的使用【解题过程】由圆的方程可知该圆的圆心为(1,2)-，由点到直线的距离公式得所求距离为【思路点拨】比较方程和圆的标准方程得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式即可求解 【答案】C0,-1，B 2,1，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A 22(1)1x y -+=B 221)1x y ++=（C 221)2x y -+=（D 22(1)2x y ++= 【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程【解题过程】因为线段AB 为直径，所以圆心坐标为1,0，半径r221)2x y -+=（【思路点拨】找圆心坐标和半径大小是求得方程的关键 【答案】C同类训练 圆心在直线:230l x y --=上，且过点(5,2)(3,2)A B -和的圆的标准方程为（ ）A 22(2)(1)10x y -+-=B 22(2)(1)x y -+-=C 22(2)(1)10x y +++=D 22(2)(1)x y +++=【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程【解题过程】∵圆过点(5,2)(3,2)A B -和，所以圆心必在线段AB 的垂直平分线上，即在直线:24l x y '+=上 由条件圆心必为l 与l '的交点，所以由23022401x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以圆心为(2,1)C ，半径r ，所以所求圆的方程为22(2)(1)10x y -+-=【思路点拨】如果圆过两个点，那么圆心一定在过这两点的弦的中垂线上 【答案】A强化提升、灵活应用例3、已知圆与轴相切，圆心在直线=2上，且被直线-3=0平分周长，求该圆的标准方程 【知识点】由条件确定圆心坐标和半径大小，进而确定圆的方程【解题过程】∵圆被直线平分周长，∴圆心必在直线-3=0上，所以由条件可知圆心为直线=2和-3=0的交点，即圆心C 1,2；又圆与轴相切，所以半径即为圆心纵坐标，即r =2，故圆的标准方程为22(1)(2)4x y -+-=【思路点拨】直线平分圆周长，则圆心必在该直线上 【答案】22(1)(2)4x y -+-=例4 已知点1)A +在圆22()(1)15x m y m ++-=-的外部，则实数m 的取值范围是A 32m -<<-B 23m <<C 32m m <->-或D 1325m m <--<<或 【知识点】圆的标准方程以及点与圆的位置关系【解题过程】条件等价于2150715m m m->⎧⎨+>-⎩，解得：1325m m <--<<或【思路点拨】要注意圆的标准方程中等号后面是半径的平方（容易遗漏） 【答案】D同类练习 已知过点(1,2)A 的直线始终与圆222()()2C x a y a a -++=：相交，则实数a 的取值范围是___________【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】条件等价于点A 在圆C 的内部，所以有222(1)(2)2a a a -++<，解得52a -≤ 【思路点拨】过定点的直线始终与圆相交等价于定点必在圆内部【答案】52a -≤3课堂总结 知识梳理（1）确定圆的基本要素是圆心和半径；（2）圆心为Ca,b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-= （3）点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=； 点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<； 点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->重难点归纳（1）圆的标准方程的推导思想和过程；（2）在各种条件下会求圆的圆心坐标和半径大小，进而求出圆的方程 （三）课后作业 基础性 自主突破1经过点(5,1)P ，圆心为(8,3)C -的圆的方程为（ ）A 22(8)(3)25x y +++=B 22(8)(3)25x y -++=C 22(8)(3)25x y -+-=D 22(8)(3)25x y ++-= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】有条件知，圆的半径为5r PC ==，所以圆的方程为22(8)(3)25x y -++= 【思路点拨】圆上一点到圆心的距离即为半径 【答案】B2已知圆22(1)(2)5x y -++=，则点(1,0)M 与该圆的位置关系是（ ） A M 在圆内 B M 在圆上 C M 在圆外 D 以上都不对 【知识点】点和圆的位置关系【解题过程】由于22(11)(02)45-++=<，所以M 在圆内【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定 【答案】A3圆22(3)(2)5x y -+-=关于原点(0,0)对称的圆的方程为（ ） A 22(3)(2)5x y -+-= B 22(3)(2)5x y ++-= C 22(3)(2)5x y +++= D 22(3)(2)5x y -++= 【知识点】圆关于点的对称圆【解题过程】圆22(3)(2)5x y -+-=的圆心(3,2)关于原点(0,0)的对称点(3,2)--即为所求圆的圆22(3)(2)5x y +++= 【思路点拨】圆关于点的对称圆只是圆心对称，半径不变 【答案】C4已知点(51,12)A a a +在圆22(1)1x y -+=的内部，则（ ） A 1a < B 113a <C 15a <D 113a < 【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】由点与圆的位置关系可知221(5)(12)113a a a +<⇒<【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定 【答案】D5已知圆C 的圆心在直线270x y --=上，且圆C 与y 轴交于两点(04)(02)A B --，、，，则圆C 的标准方程为（ ）A 22(2)(3)5x y -++=B 22(2)(3)25x y -++=C 22(3)(2)5x y ++-=D 22(3)(2)25x y ++-= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】∵线段AB 为圆的弦，∴圆心C 在线段AB 的中垂线3y =-上，又圆心C 在直线270x y --=上，∴圆心为(2,3)C -，半径，∴圆C 的标准方程为22(2)(3)5x y -++= 【思路点拨】求圆的方程就是想办法确定圆心坐标和半径大小 【答案】A6已知ABC ∆的三个顶点分别为(05),(12),(34)A B C ---，，，，则ABC ∆的外接圆的方程为（ ） A 22(3)(1)25x y -++= B 22(3)(1)5x y -++= C 22(3)(1)25x y ++-= D 22(3)(1)5x y ++-= 【知识点】线段的垂直平分线和圆的标准方程【解题过程】∵线段AB BC 、为所求圆的两条弦，∴圆心在AB BC 、的垂直平分线的交点，即在直线7100x y -+=和250x y ++=的交点(3,1)M -，半径5r AM ==，所以所求圆的方程为22(3)(1)25x y ++-=【思路点拨】圆的圆心必在弦的垂直平分线上 【答案】C 能力型 师生共研7与圆22(2)(3)16x y -++=有相同的圆心，且过点(11)P -，的圆的标准方程为（ ） A 22(2)(3)25x y ++-= B 22(2)(3)25x y -++= C 22(2)(3)16x y ++-= D 22(2)(3)16x y -++= 【知识点】同心圆问题【解题过程】由条件知所求圆的圆心为(2,3)C -，半径为5r PC ==另解：由条件设圆的方程为222(2)(3)x y r -++=，将点(11)P -，代入可求得225r = 【思路点拨】同心圆问题可以直接找圆心和半径求解，也可以用同心圆系方程222(2)(3)x y r -++=解决 【答案】B8圆22:(3)(1)10M x y -++=关于直线20x y -=的对称圆的方程为（ ） A 22(1)(3)10x y -+-=B 22(1)(3)x y -+-=C 22(1)(3)10x y -++=D 22(1)(3)x y -++= 【知识点】圆关于直线的对称圆问题【解题过程】设对称圆的圆心为(,)a b ，则由条件有31201221323a b a b b a +-⎧-=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪-⎩【思路点拨】圆关于直线的对称圆，只需将圆心对称，半径不变 【答案】A 探究型 多维突破9已知圆C 过点(12)P ，和(23)Q -，，且圆C 在两坐标轴上的截得的弦长相等，则圆C 的方程为（ ） A 22(1)(1)5x y ++-= B 22(2)(2)25x y +++=C 22(1)(1)5x y ++-=或22(2)(2)25x y +++=D 22(1)(1)25x y ++-=或22(2)(2)25x y +++= 【知识点】圆的标准方程和弦长问题【解题过程】如图，由于截得的弦长相等，即AD EG =，所以它们的一半也相等，即AB GF =，又AC GC =，所以直角ABC GFC ∆∆≌，BC FC =∴，设圆心(,)C a b ，则a b =……①，又圆心(,)C a b 在线段PQ 的垂直平分线34y x =+上，所以34b a =+……②，联立①②解得：11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩，半径r =或5【思路点拨】根据几何关系，用待定系数法求圆心坐标是关键【答案】C10已知四点(20),(100),(113),(61)M N P Q ，，，，，那么这四点共圆吗？如果共圆，求出圆的方程；如果不共圆，说明理由【知识点】圆的方程和点共圆问题【解题过程】设MNP ∆的外接圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，把点,,M N P 的坐标代入得到：222222222(2)()6(10)()3(11)(3)5a b r a a b r b a b r r ⎧-+-==⎧⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪-+-==⎩⎩，即外接圆为22(6)(3)25x y -+-=，将(6,1)Q 代入圆的方程得22(66)(13)425-+-=≠，即点Q 不在圆上，故,,,M N P Q 四点不共圆【思路点拨】多点共圆问题可以先求三点所共的圆的方程，在用点与圆的位置关系判断其他的点在不在圆上 【答案】不共圆 自助餐1已知点(32),(54)A B --，，，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ） A 22(1)(1)25x y -++= B 22(1)(1)25x y ++-= C 22(1)(1)100x y -++= D 22(1)(1)100x y ++-= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】由于线段AB 为直径，所以圆心为(32),(54)A B --，，的中点即(1,1)-，半径152r AB ==，所以圆的方程为22(1)(1)25x y ++-= 【思路点拨】 【答案】B2过点(11),(11)A B --，，，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为（ ） A 22(3)(1)4x y -++= B 22(3)(1)4x y ++-= C 22(1)(1)4x y -+-= D 22(1)(1)4x y +++= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】线段AB 的垂直平分线y x =与直线20x y +-=的交点(1,1)M 即为所求圆的圆心，半径2r AM ==，所以圆的方程为22(1)(1)4x y -+-=【思路点拨】圆的弦的垂直平分线必过圆心【答案】C3若点(2,2)在圆22()()16x a y a ++-=的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A 22a -<<B 02a <<C 2a <-或2a >D 2a =±【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】由条件有22(2)(2)1622a a a ++-<⇒-<<【思路点拨】点在圆内即点到圆心的距离小于半径【答案】A4已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） A 22(2)(2)1x y ++-= B 22(2)(2)1x y -++= C 22(2)(2)1x y +++= D 22(2)(2)1x y -+-=【知识点】圆关于直线的对称圆【解题过程】设圆2C 的圆心为(,)a b ，则依题意有11102221211a b a b b a -+⎧--=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=-⎪+⎩，对称圆的半径保持不变任为1，故圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=【思路点拨】圆关于直线的对称圆，即为圆心的对称，半径不变【答案】B5设点(00),(11),(42)A B C ，，，，若线段AD 为ABC ∆外接圆的直径，则点D 的坐标为（ ） A (8,6)- B (8,6)- C (4,6)- D (4,3)-【知识点】圆的标准方程和点与圆的位置关系【数学思想】【解题过程】线段AB 的垂直平分线10x y +-=与线段AC 的垂直平分线250x y +-=的交点即为圆心(4,3)-，直径为10，易得点D 的坐标为(8,6)-【思路点拨】圆的弦的垂直平分线一定过圆心【答案】B6若圆22()()8x a y a -+-=，则实数a 的取值范围是（ ）A (3,1)(1,3)--B (3,3)-C [1,1]-D (3,1][1,3)--【知识点】圆的定义【解题过程】若0a ≥，由条件可知圆上距原点最近点d <，最远点d <<，∴最近点(2,2)a a --，最远点(2,2)a a ++，<，<<得13a <<；同理当0a <时有31a -<<-【思路点拨】根据圆的定义把存在为题转化为距离问题【答案】A。
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圆与圆的方程1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.注：①圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔ ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔ 5. 直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ；圆心),(b a C 到直线l 的距离22BA C Bb Aa d +++=.①r d =时，l 与C 相切； ②r d 时，l 与C 相交；. ③r d 时，l 与C 相离.由代数特征判断：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-0)()(222C Bx Ax r b y a x 用代入法，得关于x （或y ）的一元二次方程，其判别式为∆，则：l ⇔=∆0与C 相切； l ⇔∆0 与C 相交； l ⇔∆0 与C 相离.[例1]（1）直线x ＋y=1与圆x 2＋y 2－2ay=0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 （ ）A ．（0， 2 －1）B ．（ 2 －1， 2 ＋1）C ．（－ 2 －1， 2 －1）D ．（0， 2 ＋1（2）圆（x －1)2＋(y ＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是 （ ） A ．x －y=0 B ．x ＋y=0 C ．x=0 D ．y=0（4）已知直线5x ＋12y ＋a=0与圆x 2＋y 2－2x=0相切，则a 的值为 ．[例2] 设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．例1 （1）A ．提示：用点到直线的距离公式． （2）C ．提示：依据圆心和半径判断．4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况． 例2、设圆的方程为（x －a)2＋(y －b)2=r 2, 点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y=0上，a ＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r 2,而圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，，故r 2－)2=2,依据上述方程解得：｛b 1=－3a 1=6r 12=52或｛b 2=－7a 2=14r 22=244∴所求圆的方程为（x －6)2＋(y ＋3)2=52，或（x －14)2＋(y ＋7)2=224【课内练习】1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52 =0相切的直线的方程为 （ ）A ．y=－3x 或y=13 xB ．y=3x 或y=－13 xC ．y=－3x 或y=－13 xD ．y=3x 或y=13x2．圆(x －2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋y 2=5B ．x 2 ＋(y －2)2=5 C ． (x －2)2＋(y －2)2=5 D ．x 2 ＋(y ＋2)2=5 5．若直线y=kx ＋2与圆（x －2)2＋(y －3)2=1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 7．直线l 1：y=－2x ＋4关于点M （2，3）的对称直线方程是 ． 8．求直线l 1：x ＋y －4=0关于直线l ：4y ＋3x －1=0对称的直线l 2的方程． 1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． 2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点． 4．A ．提示：圆心在直线l 2上．5．0＜k ＜43．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．已知直线上．7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在 写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称 点时注意，一是垂直，二是平分．8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为 （ ） A ．±2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±45．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为 2 3 ，则a 等于 ．1．B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法． 5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．A ．x 2=2y ＋1B ．x 2=－2y ＋1C ．x 2=2y －1D ．x 2=2|y|＋1 2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ）4．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分 线方程是 .2．D ．提示：设圆心（x,y)||1y =+ 4．0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心． （3）若实数x 、y 满足等式(x -2)２＋ｙ２＝３，那么xy的最大值为( ) A.21Ｂ.33 Ｃ.23 Ｄ.3 （4）过点M )23,3(--且被圆2522=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 ．[例2] 若直线l ：2x －y －1=0和圆C ：x 2＋y 2－2y －1=0相交与A 、B 两点，求弦长∣AB ∣. [例3] 圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2=4,圆O 2的圆心坐标为（2，1）．（1）若圆O 1与圆O 2相外切，求圆O 2的方程；（2）若圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，且∣AB ∣=2 2 ，求圆O 2的方程． （3）D ．提示：从纯代数角度看，设t=xy,则y=tx ，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可 解得t 的范围。
从数形结合角度看，xy是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界． （4）0301543=+=++x y x 或．提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率．例2、解法一 已知圆的方程可化为标准式x 2＋（y －1）2=2，圆心是（0，1），半径r= 2 ,设圆心到直线l 的距离为d ，则=弦长AB ==解法二 由方程组22210210x y x y y --=⎧⎨+--=⎩消去y 得：5x 2－8x ＋2=0 （※）设A （x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1、x 2是方程（※）的两根∴12128525x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴∣x 1－x 2∣∣AB ∣=1＋k 2 ∣x 1－x2∣=例3、（1）∵圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2=4，∴圆心O 1（0，－1），半径r 1=2．设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知∣O 1O 2∣= r 1＋r 2而∣O 1O 2∣∴r 2= ∣O 1O 2∣－r 1=2 2 －2圆O 2的方程为（x －2)2＋(y －1)2=12－8 2（2）设圆O 2的方程为（x －2)2＋(y －1)2=r 22,又圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2=4，两方程的二次相系数相同，两式相减得两圆公共弦AB 所在的直线方程为：4x ＋4y ＋r 22－8=0,作O 1H ⊥AB 于H ，则∣AH ∣=12 ∣AB ∣= 2∵r 1=2,∴∣O 1H∣又∣O 1H ∣r 22=4或r 22=20圆O 2的方程为（x －2)2＋(y －1)2=4或（x －2)2＋(y －1)2=201．两圆226430x y x y ++--=和01912622=-+--+y x y x 的位置关系是 ( ） A.外切Ｂ.内切Ｃ.相交Ｄ.外离2．直线x －2y －2k=0与2x －3y －k=0的交点在圆x 2＋y 2=9的外部，则k 的取值范围是（ ）A ．（－∞，－35 ）∪（35 ，＋∞）B ．（－35 ，35 ）C ．（－∞，－35 ]∪[35 ，＋∞）D ．[－35 ，35]3．已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A.25)7()5(22=++-y xＢ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x Ｃ. 9)7()5(22=++-y xＤ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x9．求与圆0222=-+x y x 外切且与直线03=+y x 相切于点M （3，3-）的圆方程． 1．D ．提示：将圆心之距与半径的和、差比大小． 2．A ．提示：求出交点坐标（x 0,y 0)，令x 02＋y 02＜9． 3．B ．提示：注意内且与外切均有可能．9．设所求圆的方程为222()()(0),x a y b r r -+-=>由题知所求圆与圆0222=-+x y x 1r +① 又所求圆过点M 的切线为直线03=+y x ，故 333-=-+a b ②r b a =+2|3| ③解由①②③组成的方程组得6,34,02,0,4=-=====r b a r b a 或． 故所求圆的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或．1．两圆222r y x =+与r r y x ()1()3(222=++-＞0)外切，则r 的值是( )10Ｂ.5 ＣＤ.2102．过点（－2，0）的直线与圆x 2+y 2=1相切，则该直线的斜率是 （ ）A ．±1B ．±12C ．D ．±35．圆1)1()3(22=++-y x 关于直线x +2y -3=0对称的圆的方程是 ． 1．D ．提示：圆心之距等于半径之和．2．C ．提示：数形结合或用点到直线的距离公式． 5．1)53()519(22=-+-y x ．提示：求圆心关于直线的对称点，半径不变． 1．若两圆x 2＋y 2=m ，与 x 2＋y 2＋6x －8y －11=0有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜1B ．m ＞121C ．1≤m≤121D ．1＜m ＜1214．过点P （3，0）作圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12=0的弦，其中最短的弦长为 ． 5．直线x=2被圆（x －a)2＋y 2=4所截得的弦长等于2 3 ，则a 的值为 ． 1．C ．提示：圆心之距不大于半径之和，同时不小于半径之差的绝对值． 4．2 3 ．提示：弦长最短时，点P 是弦的中点．5．1或3．提示：用圆心到直线的距离的平方等于半径的平方减弦长一半的平方．1.从点P (1，－2)引圆(x +1)2+(y －1)2=4的切线，则切线长是( ) A.4 B.3 C.2 D.12.以M (－4,3)为圆心的圆与直线2x +y －5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( ) A ．0＜r ＜2 B ．0＜r ＜5 C ．0＜r ＜25D ．0＜r ＜107.已知圆x 2+y 2=r 2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r 的范围是（ ） A.0<r<22 B.0<r<2 C.0<r<2 D.0<r<411.圆x 2+y 2－2x +4y －20=0截直线5x －12y +c =0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68 12.过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( )A.(x －1)2+(y －1)2=1B.(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=5C.(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=25D.(x －5)2+(y －5)2=5 1.B 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.C 1.解析:勾股定理.答案B2.解析:圆心到直线的距离d >r .答案C7. 解析:曲线|x|+|y|=4是顶点为（±4，0）、（0，±4）的正方形，其中一条边的方程为x+y-4=0(0≤x ≤4).∵圆在正方形的内部，∴2|400|-+>r.即0<r<22.答案A11. 解析:∵弦长为8，圆半径为5，∴弦心距为2245-=3，∵圆心坐标为(1，－2)，∴13|)2(1215|c +-⨯-⨯=3，∴c =10或c =－68.答案B12. 解析:设圆的方程是(x －a )2+(y －b )2=r 2(r ＞0),∵圆过第一象限的点(2，1)并与两坐标轴都相切，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-==>>.)1()2(,||||,0,0222r b a r b a b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===.555111r b a r b a 或因此，所求圆的方程是(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=25.(此题也可画图排除A 、B 、D) .答案C14.已知M={(x,y)|x 2+y 2=1,0<y ≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b ∈R}，并且M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是 .15.圆(x －3)2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是___ __.16.直线x －2y －2k =0与2x －3y －k =0的交点在圆x 2+y 2=25上，则k 的值是_____14. 解析:集合M 为单位圆的上半圆，集合N 为直线，M ∩N ≠∅，是指直线与半圆有公共点.画出图形，易知-1<b ≤2.15. 解析:已知圆的圆心(3，－1)关于直线x +2y －3=0的对称点的坐标是(53,519)，所以圆(x －3)2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是1)53()519(22=-+-y x . 16. 解析:由⎩⎨⎧=--=--032022k y x k y x ,得⎩⎨⎧-=-=ky k x 34,∵交点(－4k ,－3k )在圆x 2+y 2=25上，∴(－4k )2+(－3k )2=25,∴k =±1.17.求过A (1，2)与B (3，4)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．17. 解 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=++++=++++.6404316902412F D F E D F E D 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-==,272212F E D ,或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.728F E D ∴所求圆的方程为x 2+y 2+12x －22y +27=0或x 2+y 2－8x －2y +7=0.。