地面观测值归算至椭球面算法
地面观测元素归算至椭球面2
5.5.地面观测元素归算至椭球面
一、归算的意义和要求 二、水平观测方向归算至椭球面 三、观测天顶距的归算 四、地面观测长度归算至椭球面 五、天文经纬度与大地经纬度的关系 六、天文方位角与大地方位角的关系
五、天文经纬度与大地经纬度的关系
Formula of deflection of the vertical
90 q
90 λ L
5.5.地面观测元素归算至椭球面
一、归算的意义和要求 二、水平观测方向归算至椭球面 三、观测天顶距的归算 四、地面观测长度归算至椭球面 五、天文经纬度与大地经纬度的关系 六、天文方位角与大地方位角的关系
六、天文方位角与大地方位角的关系
水平坐标
大地坐标 （L，B）
5.5.地面观测元素归算至椭球面
一、归算的意义和要求 二、水平观测方向归算至椭球面 三、观测天顶距的归算 四、地面观测长度归算至椭球面 五、天文经纬度与大地经纬度的关系 六、天文方位角与大地方位角的关系
三、观测天顶距的归算
[定义]
Reduction of zenith distance
(1 ) ( L) sin
α A ( L) sin A α ( L) sin A α tan
三、观测天顶距的归算
会用公式计算
四、地面观测长度归算至椭 球面
会用公式计算
五、天文经纬度与大地经纬 度的关系
画图推导垂线偏差公式
[计算公式]
若球面三角形的一边a远较其它两
边b、c小，因而角A也很小，这样
c
b
z 的球面三角形叫窄球面三角形。 z'
εu cos A θ CC'垂直于边AB，BCC' 作大圆弧 u cos θ cos A u sin θ sin A ξ cos A η sin A BC a cos B, CC a sin B, c b a cos B z z ' cos A sin A
第19讲 地面观测值归算到参考椭球面
2.水平观测(guāncè)方向归算到椭球 面
三差改正(gǎizhèng)：水平方向归 算到椭球面上，需进行垂线偏差改正 (gǎizhèng)、标高差改正 (gǎizhèng)和截面差改正 (gǎizhèng)，通常把这三项改正 (gǎizhèng)简称为三差改正 (gǎizhèng)
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2.水平观测方向归算到椭球面
精品PPT
5.垂线(chuí x前ià提条n)件偏：差公式
1) 椭球短轴与地球 (dìqiú)自转轴平 行 2) 起始大地子午面 与起始天文子午面平 行
精品PPT
5.垂线(chuí xiàn)偏差公式
在球面(qiúmiàn)直角三角形 PZ’Z1中：
co Bsco sLco s sinsinLco s
精品PPT
① 垂线(chuí xiàn)
偏差改正
1siA ncoAsct1 gz siA ncoAstg1
结论：垂线偏差改正，不仅与测站的垂线偏差有 关，而且(ér qiě)与观测方向的方位角和垂直角 有关。
精品PPT
① 垂线偏差(piānchā) 1siA ncoAsct1 gz
改正
垂线偏差改正为零：
几秒，一二等三角测量应加此项改正，如果垂线偏差和 垂直角都较大，三四等三角测量亦应顾及
精品PPT
2、水平观测(guāncè)方向归算到 椭球面
② 标高差改正
定义：地面水平方向观测 (guāncè)值，沿法线方向 归算至参考椭球面上时，顾 及照准点标高，所加的改正 称为标高差改正，以δ2表示
原因：由于A、B两点的法线
用ε表示 zz'
在球面直角三角形ZZ1M中：
zz'co q sz'
7观测数据的改化计算
影与参考椭球面的高斯正形投影任意带平面直角坐标
系统；②投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3°带平 面直角坐标系统；③投影于抵偿高程面上的高斯正形 投影任意带平面直角坐标系统。 （3）面积小于25km2的小测区工程项目，可不经投影 采用平面直角系统在平面上直接计算。
二、投影变形的处理方法
（1）只通过改变Hm从而选择合适的高程参考面，将抵 偿分带投影变形，这种方法通常称为抵偿高程面的高
一、工程测量中选择投影面和投影带的原因
1、有关投影变形的基本概念
平面控制测量投影面和投影带的选择，主要是 解决长度变形问题。 一是实地测得的真实长度归化到国家统一的 参考椭球面上时的变形影响：
H
Hm sH RA
RA——实测长度所在方向的椭球法截弧的曲率半径； Hm——实测长度所在高程面相对于参考椭球面的高差； sH——实地测量的长度。
二、参考椭球面上的角度化算到高斯投影平面上
1．曲率改正的意义 观测方向的化算：将椭球面上两点之间的大地线方向， 化算为高斯投影平面上两点之间的直线方向。 将椭球面上两点之间的大地线方向，化算为平面上两点 之面的直线方向，必须加入一项改正数，此项改正数称为方 向改正或曲率改正。
2．曲率改正的计算公式
斯正形投影；
（2）只通过改变ym ，从而对中央子午线作适当移动，
来抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变
形，这就是通常所说的任意带高斯正形投影； （3）通过既改变Hm （选择高程参考面），又改变ym （移动中央子午线），来共同抵偿两项归算改正变形， 这就是所谓的抵偿高程面的任意带高斯正形投影。
1. 垂线偏差改正δ1 地面上观测的方向值，是以铅垂线为依据进行的， 而参考椭球面上的方向值应以椭球面上的法线为准。 铅垂线与法线间的夹角称为垂线偏差。将以铅垂线为 准的方向值化算为以法线为准的方向值，称为垂线偏 差改正。 1 ( sin A12 cos A12 ) tan12
第五章第5节地面观测值归算至椭球面
g 1e2 2S2(2)1 2co2B s1si2 nA1 测站点大地纬度
( 2 )1
N1
与测站点的纬度B1对应的
卯酉圈曲率半径
K2 1e22S2(2)12co2sB1
g
K2sin 2A1
截面差改正主要与测站点至照准点 间的距离S有关。
4
4）三差改正的计算
向上的分量
差总和
基线端点1 和2处的大 地高
此项改正数值一般比较小，是否需要应结合测区及计算 精度要求的实际情况进行具体分析。
6
2）高程对长度归算的影响：
S0 RHm1Hm
SR
R
S
S0(1
Hm)1 R
基线两端点平 均大地高程
基线方向法截 线曲率半径
将上式展开级数，取至二次项
SS0(1HRm H Rm 22 )
前面已得出结论：不在同一子午面或不
在同一平行圈上的两点的法线是不共面
的。因此，当进行水平方向观测时，如
果照准点高出椭球面某一高度，则照准
面就不能通过照准点的法线同椭球面的
交点，由此引起的方向偏差的改正称标
高差改正，以 h 表示。
e22H2(1)2co2B s2si2 nA1
测站点至照准点的大地方位角
8
SD1h2DHm D3 2 D RA 2R 4A 2
由于控制点 之高差引起 的倾斜改正 的主项，经 过此项改正， 测线已变成 平距。
由于平均测 线高出参考 椭球面而引 起的投影改 正，经过此 项改正后， 测线已变为 弦线。
是由弦长改 化为弧长的 改正项。
9
把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线 为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正。
4.6-地面边角元素归算到椭球面
[量级]
δ1 = −u sin ( A − θ ) cot z1
Z
A
法 线
ξ uθ
η
Z1
P
= − (ξ sin A − η cos A ) tan α1
为0情况：
1）铅垂线与法线重合， ⇔ u = 0, δ1 = 0
2、水平观测方向归算到椭球面
Reduction of horizontal directional observations to the ellipsoid
【量级】
B2＝35°
H2(米) 米 100 300 0.022
B2＝28°，H2＝8848m （珠峰），δh＝0.750" ）
700 1000 2000 3000 6000
[实际计算说明]
Z
垂线偏差分量ξ、
A
法
ξ uθ
η
Z1
P
η：查图内插
M
线
大地方位角A：概 略计算 照准目标的垂直 角α1： 野外观测
R '1
u
O1
m
α1
A
R1 − δ 1 R
O
O'
大地水平面
2、水平观测方向归算到椭球面
Reduction of horizontal directional observations to the ellipsoid
δh(秒) 0.007 秒
0.051 0.073
0.146 0.219 0.437
【使用范围】一、二等三角测量；三、四等三
角测量中当海拔高于700m时
大地测量学基础(将地面观测值归算至椭球面)
（3）任意投影
ab 1 ab
2. 按经纬网投影形状分类 方位投影；圆锥投影
3. 圆柱(椭圆柱)投影 正轴投影；斜轴投影；横轴投影
四、高斯投影 分带、以中央子午线为基准，横轴椭圆柱面等角投影 高斯—克吕格投影。
小结： （1）概念：长度比、主方向、变形椭圆、长度变形； （2）掌握：长度、方向、角度、面积变形的计算公式
目的：经过u，h ， g 三差改正，地面的水平方向观测值 椭
A
球面上相应大地线的方向值。
D
说明：⑴ u h g
B C
⑵ 三差改正 意义（目的） 主要关系量
数值
一等 二等 三四等
垂线偏差 化为法线为基准 ，
的方向观测值
0.05 ~ 0.1 加 加 酌情
标高差 化为椭球面上法 截线的方向值
F1，F2就是“一定的数学法则 ”
二、地图投影的变形
1. 长度比 m lim P1' P2 ' P P P1P2 0 1 2
N X
P2
P1
p'2 p'1
m ds
O
dS
S
Y
一般情况下，长度比是一个变量，随点位、方向而变化。
2. 主方向和变形椭圆 主方向：投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最
(
dnA dS n
)
1
Sn n!
(
dA dS
)1
S
(
d2A dS 2
)1
S2 2!
(
d3A dS 2
)1
S3 3!
一阶导数推导大地线微分方程
dB dS
1 M
c os A
V3 c
c os A
地面观测元素归算至椭球面
05
案例分析
案例一：某地区地面观测元素的归算
总结词
复杂地形下的归算方法
详细描述
在某山区或丘陵地带，由于地形起伏较大，直接在地面测量的数据需要进行归算至椭球面。这需要采用特定的数 学模型和算法，如高程异常模型，对每个观测点的经纬度和高程进行计算，确保数据的准确性和可比性。
案例三：地形测量数据的归算应用
总结词
地形数据的整合与利用
详细描述
在地形测量中，直接在地表测量的数据需要进行归算至椭球面，以便与其他地理信息数 据进行整合和利用。这需要采用精确的数学模型和算法，如高程模型和数字高程模型 （DEM），对每个测量点的数据进行处理和转换，确保地形数据的准确性和可比性， 为地理信息系统（GIS）和其他应用提供基础数据支持。
计算
利用归算公式和参数，对地面观测元素进 行归算。
确定参数
根据选择的椭球模型，确定所需的参数， 如地球赤道半径、地球极半径、地球赤道 曲率半径等。
归算过程中的注意事项
数据精度
确保地面观测数据的精度，避免因数据误差 导致归算结果的不准确。
参数选择
根据实际情况选择合适的椭球模型和参数， 以确保归算结果的可靠性。
GIS中，通过将地面观测数据归算至椭球面，可以实现地图的精确配准、地理特 征的提取和空间分析，为城市规划、资源管理、环境保护等领域提供决策支持。
在气象和气候研究中的应用
气象和气候研究需要长期、连续和高精度的观测数据。地面 观测元素归算至椭球面能够提供更为准确的经纬度坐标，有 助于气象观测数据的处理和分析。
任务2-9 地球椭球与高斯投影计算
度S。
电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为：
S = D1 Dh2 Hm D3 -D (H1+ H2 )
Dh=H2-H 1
①计算公式中右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项， 经过此项改正，测线已变成平距； ②第三项是由平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经此项改正 后，测线已变成弦线； ③第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。 利用大地测量观测成果（角度、距离），计算点在椭球上的大地坐 标，或者根据两点的大地坐标，计算他们之间的大地线长和大地方位角， 这类问题通常叫做大地问题解算，或称大地坐标解算。因为在球面上解 算复杂，实际应用比较少，一般过程都由平差软件完成，故在此我们不 做过多说明。
中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一
定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面， 如图2-52所示，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。
图 251
横轴椭圆柱等角投影
图 252 高斯投影平面
在高斯投影平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线。若以中央 子午线与赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴， 即x轴，以赤道的投影为横坐标轴，即y轴，这样就形成了高斯平面直角 坐标系。椭球面上任意一点A，其大地坐标为（B，L），投影后在平面
截面差改正。
在一般情况下，一等三角测量应加三差改正，二等三角测量应加垂 线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可 不加三差改正。但当x =h >10 时或者H>2000m时，则应分别考虑加垂 线偏差改正和标高差改正。在特殊情况下，应该根据测区的实际情况作 具体分析，然后再做出加还是不加改正的规定。如下表2-27所示：
地面观测值归算至椭球面算法
§6.4 将地面观测值归算至椭球面6.4.1 概述参考椭球面是测量计算的基准面。
在野外的各种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。
因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。
在归算中有两条基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。
6.4.2 将地面观测的水平方向归算至椭球面 1．垂线偏差改正u δ地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。
把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正，以u δ表示。
如图所示，以测站A 为中心作出单位半径的辅助球，u 是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以ηξ,表示，M 是地面观测目标m 在球面上的投影。
垂线偏差改正的计算公式是：1cot )cos sin (Z A A m m uηξδ''-''-='' 1tan )cos sin (αηξm m A A ''-''-=式中：ηξ,为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；m A 为测站点至照准点的大地方位角；1Z 为照准点的天顶距；1α为照准点的垂直角。
垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。
2.标高差改正h δ 标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。
不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。
当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正，以h δ表示。
如图所示，A 为测站点，如果测站点观测值已加垂线偏差改正，则可认为垂线同法线一致。
7观测数据的改化计算汇总
H0
H
y
2 m
2R2
3、任意带高斯正形投影平面直角坐标系
在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算到参 考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家统一 的3°带的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度 变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。
ym 2RHm
即选择与测区相距ym处的子午线作为中央子午线。
4、高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系
1 ( sin A12 cos A12 )tan12
2．标高差改正δ2
照准点
标高差改正是由于测站点的法
线与照准点的法线不在同一平
面内所引起的 。
测站点
3．截面差改正δ3
经过前面两项改正，已将地面观测的水平方向 化为椭球面上相应的法截线方向。还须将法截线方 向化为大地线方向，这项改正叫截面差改正。
其中R为当地椭球面平均曲率半径；H0为所选的高程投影面。 （3）计算各点第2套地方坐标
P0点的第2套地方坐标（x02，y02）可以取P0的第一套地方
坐标（x01，y01） ，也可人为假定其它坐标。其它各点的第2套
地方坐标为：
xi2 x02 (xi1 x01 ) k
yi2
y02
( yi1
y01 ) k
2、抵偿投影面的3°带高斯正形投影平面直角坐标系 在这种坐标系中，依然采用国家3°带高斯投影，
但投影的高程面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投 影长度变形而选择的高程参考面。在这个高程参考面 上，长度变形为零：
s
ym2 2R2
Hm RA
s
y
2 m
2R2
H H0 RA
l
H
0
H
H0
y
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式椭球面坐标是地球表面上的一种坐标系统, 它将地球视为一个近似椭球体, 提供了一种测量和计算地球上点的方法。
在实际的测量和定位任务中, 经常需要将椭球面坐标转换为其他坐标系统, 或者反过来。
这就需要使用一些转换方法和公式。
一、椭球面坐标系统椭球面坐标系统是大地测量学中常用的一种坐标系统。
它使用经度、纬度和高程来描述地球上的点。
其中，经度表示点在东西方向上的位置，纬度表示点在南北方向上的位置，而高程表示点相对于基准面的高度。
在椭球面坐标系统中，常用的参考椭球体包括WGS84、CGCS2000等。
二、椭球面坐标与地心坐标的转换将椭球面坐标转换为地心坐标是大地测量中常见的任务。
地心坐标是以地球质心为原点的坐标系统，它与椭球体的长短轴、扁率等参数有关。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括勒让德多项式展开法、球面三角法等。
三、椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换将椭球面坐标转换为笛卡尔坐标是另一个常见的任务。
笛卡尔坐标是三维坐标系，它使用直角坐标系来表示地球上的点。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括克里金插值法、最小二乘法等。
四、大地测量中的应用椭球面坐标与大地测量的转换方法和公式在实际测量和定位任务中发挥着重要的作用。
它们被广泛应用于地理信息系统、导航定位、地质勘探等领域。
例如，在导航定位中，利用椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换，可以实现卫星导航系统的精确定位。
在地质勘探中，利用椭球面坐标与地心坐标的转换，可以确定地下矿藏的位置和分布。
总结：椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式是地球科学中的重要内容。
通过了解和掌握这些方法和公式，我们可以更好地进行地球测量和定位任务。
椭球面坐标系统提供了一种描述地球表面上点的方式，而转换方法和公式则是实现不同坐标系统之间转换的关键。
在实际应用中，我们需要根据具体任务的要求选择适当的转换方法和公式，以保证测量和定位的精度和准确性。
地面观测值归算至椭球面
MdB dS cos A cos A dB dS M N cos BdL ds sin A sin A dL dS N cos B
25
三、大地线的微分方程和克莱劳方程
大地线微分方程
cos A dB dS M sin A dL dS N cos B sin A dA tan BdS N
为Ａ。当大地线增加dＳ到P1点时，
则上述各量相应变化dL，dB及dA。 所谓大地线微分方程，即表示dL、 dB和dA与dS的关系。
dS在子午圈上的分量
dS在平行圈上的分量
p2 p1 MdB
p p2 rdL N cos BdL
24
三、大地线的微分方程和克莱劳方程
三角形PP2P1是一微分直角三角形
推出这个球面的曲率半径－平均曲率半径：
R MN
或
b c N a R 2 2 2 (1 e 2 ) W V V W
13
六、M、N、R之间的关系
一般情况下 N>R>M 在极点上都等于极曲率半径ｃ
N 90 R90 M 90 c
曲率半径 N
c V1
a 1 e2 W1
大地测量学基础
第四章 地面观测值归算至椭球面
1
第四章
4.1 4.2 4.3
地面观测值归算至椭球面
地球椭球的基本性质 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算概述
本章重点：地球椭球几何性质、地面观测值归算 本章难点：地面观测值归算至椭球面、大地主题解算
2
4.1 地球椭球的基本性质
4.1.1 椭球面上的几种法截线的曲率半径
法截面和法截线：
过椭球面上任意一点可
第四章 4将地面观测值归算至椭球面
r ⋅ sin A = C
在旋转椭球面上， 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径 与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积 等于常数。式中常数C也叫大地线常数 也叫大地线常数。 等于常数。式中常数 也叫大地线常数。
克莱劳方程的应用
r ⋅ sin A = C
对于同一条大地线上的各点因要保持同一个c 对于同一条大地线上的各点因要保持同一个c值，而使点 上的大地线方位角与平行圈半径两者间的变动互为制约。 上的大地线方位角与平行圈半径两者间的变动互为制约。 •当大地线穿越赤道时 当大地线穿越赤道时 C = a sin A0 赤道是大地线 c = a •当大地线达极小平行圈时 当大地线达极小平行圈时 子午圈是大地线 c = 0
1 h2 由: S = D − 2D
S 得:d h = − d S h
计算取值精度分析
R2 d S dR = Hm S
若： dS/S=10-6, Hm=1km, R=6370km， 得： dR=40.6km。
由此可见， 概略值6370km上下各 上下各40km的范围内，即使 的范围内， 由此可见，在R概略值 概略值 上下各 的范围内 测距边高出于投影面1000m，仍能保证边长归化高达百万 测距边高出于投影面 ， 分之一精度。在我国任何地方、 分之一精度。在我国任何地方、任何方位的椭球面的曲率 半径均在6370km±40km以内，都可以按圆球半径 以内， 半径均在 ± 以内 R=6370km归算测距边长。 归算测距边长。 归算测距边长
S dh = − dS h
若： S=2km, h=500m, 得： dh=4mm。
dS=1mm
可见，高差的准确求定对测距边的改平至为重要， 可见，高差的准确求定对测距边的改平至为重要，尤其是 在短边和高差较大的情况下。 在短边和高差较大的情况下。
椭球面上大地坐标的计算
1 S2 2 2 l L2 L1 S sin Am 1 sin A t m m 2 N m cos Bm 24 N m
2 2 2 cos2 Am 1 m 9t m m
3
tm S2 2 2 2 a A2 A1 S sin Am 1 sin A 2 t 2 m m m 2 Nm 24 N m
椭球面上的弧长为：
3 3 d d d d d S 2 RA sin 1 2 RA 3 2 2 RA 24RA 2 RA 48RA
D
H1 P1
S d
H2
P2
D H 2 H 1
2
2
H m D H 2 H 1 2 1 R 24 R A A
1 Am A1 A2 2
1 1 其中： Bm B1 B2 , Lm L1 L2 , 2 2 dB 将 展开成级数，得： dS M
dB dB dB dB Bm BM Am AM A dS m dS M dS m B dS m
由大地线的微分公式，得其一阶导数为：
dB cos A dS M dL sin A dS N cos B dA tan B sin A dS N
2.3.3 大地主题解算
二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：
d 2 B dB dB dB dA 2 dS B dS dS A dS dS d 3 B d 2 B dB d 2 B dA 3 2 2 dS B dS dS A dS dS
外业观测的距离转换至椭球概论
外业观测的距离转换至椭球概论外业观测是地理测量学中的一种重要方法，通过在现场实地测量观测，获取地理数据，为地理信息系统(GIS)构建提供基础数据。
在外业观测中，距离的测量是一项基础性工作，准确的距离观测是保证数据质量和精度的关键之一在外业观测中，距离可以通过激光测距仪、全站仪、测距仪等设备进行测量。
然而，由于地球本身是一个椭球体，我们必须将所测量的平面距离转换为在椭球上的距离，以便准确地表达地理数据。
这就涉及到椭球概论，即将平面坐标转换为大地坐标的一种方法。
椭球体是一个近似于地球形状的基本模型，它比球体更符合地球真实形状。
椭球体通常由一个旋转的椭球曲面定义，由两个轴确定，一个较短的极轴和一个较长的赤道轴。
在椭球体上，我们可以通过指定所测距离的经纬度坐标来计算两点之间的距离。
经度是指由一个点到地球赤道的角度，以东西方向为正负。
纬度是指由一个点到地球极点的角度，以南北方向为正负。
在椭球概论中，经度和纬度都是以弧度为单位来进行计算。
经度和纬度的坐标可以通过全球定位系统(GPS)或其他测量仪器来获取。
在外业观测中，我们通常使用大地坐标来表示已观测距离之间的关系。
大地坐标系统将地球视为一个椭球体，并使用经度和纬度来表示位置。
大地坐标系统具有以下优点：1.直观理解：经度和纬度的坐标使得位置表示更加直观和易于理解。
2.精度高：大地坐标系统可以确保测量结果的精度，并提供高精度的坐标表示。
3.通用性：大地坐标系统是全球通用的，可以用于表示任何地理位置。
为了将外业观测的距离转换为椭球上的距离，我们需要进行以下步骤：1.测量距离：使用适当的测距仪器进行距离测量，通常采用直接测量或间接测量的方法。
2.转换为大地坐标：将测量到的距离转换为大地坐标，这需要使用椭球概论中的相关公式和计算方法。
3.校正误差：由于测量过程中存在误差，需要进行误差校正，以提高数据的准确性。
在椭球概论中，有许多转换公式和计算方法可用于将平面距离转换为大地坐标。
大地测量计算
地面观测值归算至椭球面的计算
一、计算目的：经过大地测量学基础课程的学习，在掌握了大地测量有关基本理
论、基本知识、基本方法的基础上，通过计算掌握野外地面观测的水平角归算至椭球面大地线上相应的水平角以及野外地面观测的距离归算至椭球面上大地线的长度的计算方法。
二、计算内容：
（一）地面水平角观测值归算至椭球面的计算
1、计算垂线偏差改正；
2、计算标高差改正；
3、计算截面差改正；
4、水平角归算；
（二）地面观测距离归算至椭球面的计算
如图所示三角网：
（一）地面水平角观测值归算至椭球面的计算
三差改正计算（小数取到0.0001位）
(二) 地面观测距离归算至椭球面大地线的计算。
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§6.4 将地面观测值归算至椭球面
6.4.1 概述
参考椭球面是测量计算的基准面。
在野外的各种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。
因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。
在归算中有两条基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。
6.4.2 将地面观测的水平方向归算至椭球面 1．垂线偏差改正u δ
地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。
把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正，以u δ表示。
如图所示，以测站A 为中心作出单位半径的辅助球，u 是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以ηξ,表示，M 是地面观测目标m 在球面上的投影。
垂线偏差改正的计算公式是：
1cot )cos sin (Z A A m m u
ηξδ''-''-='' 1tan )cos sin (αηξm m A A ''-''-=
式中：ηξ,为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；m A 为测站点至照准点的大地方位角；1Z 为照准点的天顶距；1α为照准点的垂直角。
垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。
2.标高差改正h δ 标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。
不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。
当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，
由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正，以h δ表示。
如图所示，A 为测站点，如果测站点观测值已加垂线偏差改正，则可认为垂线同法线一致。
这时测站点在椭球面上或者高出椭球面某一高度，对水平方向是没有影响的。
这是因为测站点法线不变，则通过某一照准点只能有一个法截面。
设照准点高出椭球面的高程为a An H ,2和b Bn 分别为A 点及B 点的法线，B 点法线与椭球面的交点为b 。
因为通常a An 和b Bn 不在同一平面内，所以在A 点照准B 点得出的法截线是b A '而不是Ab ，因而产生了Ab 同b A '方向的差异。
按归算的要求，地面各点都应沿自己法线方向投影到椭球面上，即需要的是Ab 方向值而不是b A '方向值，因此需加入标高差改正数h δ，以便将b A '方向改到Ab 方向。
标高差改正的计算公式是
1222222sin cos )1(2
A B H e h =''δ
式中：2B 为照准点大地纬度；1A 为测站点至照准点的大地方位角；2H 为照准点高出椭球
面的高程，它由三部分组成：
a H H ++=ζ常2
其中常H 为照准点标石中心的正常高，ζ为高程异常，a 为照准点的觇标高。
22/)1(M ρ''=，
2M 是与照准点纬度2B 相应的子午圈曲率半径。
标高差改正主要与照准点的高程有关。
经过此项改正后，便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。
3.截面差改正g δ
在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线代替相对法截弧。
这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正，用g δ表示。
如图所示，AaB 是A 至B 的法截弧，它在A 点处的大地方位角为1A '，ASB 是AB 间的大地线，它在A 点的大地方位角是1A ，1A 与1A '之差g δ就是截面差改正。
截面差改正的计算公式为
1122
1222sin cos )2(12A B S e g ρδ'
'-=''
式中S 为AB 间大地线长度，1
1)2(N ρ'
'=
，1N 为测站点纬度1B 相对
应的卯酉圈曲率半径。
现令
在一般情况下，一等三角测量应加三差改正，二等三角测量应加垂线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可不加三差改正。
但当01''>=ηξ时或者H >2 000m 时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。
在特殊情况下，应该根据测区的实际情况作具体分析，然后再做出加还是不加改正的规定。
如下表所示：
6.4.3 电磁波测距边长归算椭球面
电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。
如图，大地点
1Q 和2Q 的大地高分别为1H 和2H 。
其间用电磁波测距仪测得的斜距为D ，现要求大地点在椭球面上沿法线
的投影点1Q '和2
Q '间的大地线的长度S 。
在工程测量中边长一般都是几公里，最长也不过十几公里，
因此，所求的大地线的长度可以认为是半径
1
212
2
cos cos 1A B e N
R A '+=
相应的圆弧长。
电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为：
2
3
22421A
A m R D R H D D h D S +-∆-= 式中)(2
1
21H H H m +=。
电磁波测距边长归算的几何意义为：
（1）计算公式中右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项，经过此项改正，测线已变成平距；
（2）第三项是由平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经此项改正后，测线已变成弦线；
（3）第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。
电磁波测距边长归算至椭球面上的计算公式还可用下式表达：
232
2
241A
A m R D R H h D S +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆-= 显然第一项即为经高差改正后的平距。