南京大学计算机科学与技术系数值计算方法第3章2矩阵的三角分解法矩阵求逆
3.2矩阵三角分解,平方根
2014-12-29
北京信息科技大学
4
2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 例如A= 4 1 2 1 0 5 2 3 0 5 / 3
这里有A的两种不同的三角分解，类似可举出很多，一般， 若A=LU是一个三角分解，任取与A同阶的非奇异对角矩阵D， 则
xn yn / unn xi ( yi i n 1,
k i 1
u
n
ik
xk ) / uii
, 2,1
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北京信息科技大学
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例 用杜利特尔分解法求解方程组
2 x1 2 x2 3 x3 3 4 x1 7 x2 7 x3 1 2 x 4 x 5 x 7 1 2 3
， 则矩 , n 1 ）
U 为上三角阵。 其中 L 为单位下三角阵，
其中
A LU
1 l21 1 L l31 l32 l n1 ln 2
1 ln ,n 1
u11 u12 u22 ，U 1
u1n u2 n unn
矩阵三角分解法
矩阵直接三角分解法是高斯消去法的变形方法。 高斯消去法 有多种变形，有的是高斯消去法的改进，有的是用于某种特殊系 数矩阵的化简。 分解原理 1．概述 高斯消去法解线性方程组先消元，然后再回代。当用矩阵描 述时，是对系数矩阵分解为一个上三角阵和一个下三角阵的乘 积，即 LU 分解。因此，高斯消去法与矩阵的 LU 分解是一致的。
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紧凑格式
2 2 3 A 4 7 7 5 2 4 (2) 2 (4) 2 (-2) -1 (2) 2 (7) 3 (4) 2 (3) 3 (7) 1 (5) 6
《数值分析》课程教学大纲
《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054352课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：学科基础课程要求：必修学时/学分：48/3 （讲课学时：40 上机学时：8）适用专业：计算机科学与技术；软件工程一、课程性质与任务“数值分析”是计算机科学与技术、软件工程等相关专业学生的学科基础课，也是其它理、工科专业本科生及研究生的必修或选修课。
数值分析是研究各种数学问题在计算机上通过数值运算，得到数值解答的方法和理论。
随着计算机系统能力的提高和新型数值软件的不断开发，无论在高科技领域还是在传统学科领域，数值分析的理论和方法的作用和影响巨大，是科学工作者和工程技术人员必备的基础知识和工具。
课程的任务是使学生能了解数值分析的基本概念，熟悉常用数值方法的构造原理，了解数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法，了解重要数值算法的软件实现过程，使学生系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为掌握更复杂的现代计算方法打好基础。
内容包括数值计算的基本方法、线性和非线性方程组解法、插值法、数值积分法及微分方程的数值解法。
二、课程与其他课程的联系先修课程：高等数学，线性代数，C语言程序设计，计算基础。
后续课程：人工智能，数字图像处理技术，大数据分析及应用。
三、课程教学目标1．学习使用计算机进行数值计算的基础知识和基本理论知识，能够分辨、选用合适的数值方法解决工程问题。
（支撑毕业能力要求1和2）2. 能掌握常用数值计算方法的构造原理，根据问题设计和综合运用算法设计问题解决方案。
（支撑毕业能力要求1和2）3. 能运用数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法初步进行算法分析。
4. 能用计算机语言实现典型的数值计算算法，得到实验技能的基本训练，并具有利用计算机解决常见数学问题的能力；（支撑毕业能力要求4）5．能通过查询阅读文献资料，了解数值分析的前沿和新发展动向，了解数值分析算法原理应用的典型工程领域。
数值计算方法(第3章)2
15
对称矩阵的Cholesky分解
• A对称：AT=A 对称： 对称 A正定：A的各阶顺序主子式均大于零。即 正定： 的各阶顺序主子式均大于零 的各阶顺序主子式均大于零。 正定
a11 ... a1k A = ... ... ... >0 (k =1,2,... ) n k ak1 ... akk
16
1 0 0 2 5 − 6 a11 2 1 0 3 − 7 = a 21 − 3 4 1 u33 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
k = 3 时确定U矩阵中第3行的元素，L矩阵中第3列的元素
1 0 = 2 1 − 3 l32
0 u11 u12 0 u22 1
0 2 5 0 u22 1
u13 u 23 u33
− 6 a11 u23 = a21 u33 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
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对称矩阵的Cholesky分解
推论：设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解
A= LL
T
其中L为具有主对角元素为正数的下三角矩阵。
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Cholesky分解的求法
设A对称正定, 则A = LLT l11 l 21 l22 令L = ... ... O ln1 ln 2 ... lnn 如何求lij ?以n = 3为例。 a11 a 21 a31 a12 a22 a32 a13 l11 = l a23 21 l22 a33 l31 l32 l11 l12 l22 l33 l13 l23 l33
南京大学《数值分析》课件-第2章
有限元方法的适用性
有限元方法适用于各种复杂的几何形状和边界 条件，具有较高的灵活性和通用性。
有限元方法的应用
有限元方法广泛应用于各种工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁场等。
04
数值分析的应用案例
线性方程组的求解
线性方程组在科学计算、工程 技术和经济领域有广泛的应用 ，如物理、化学、生物、金融
数值分析的发展历程
1
数值分析的发展可以追溯到古代数学的发展，如 古代中国的算术和代数、古希腊的几何学等。
2
17世纪微积分的出现为数值分析的发展奠定了基 础，而计算机的出现则为数值分析的发展提供了 重要的工具和平台。
3
现代数值分析的研究领域不断扩大，涉及的领域 也越来越广泛，如数值优化、数值逼近、数值线 性代数等。
数值分析的重要性
01 数值分析是解决实际问题的重要工具，如科学计 算、工程设计、金融分析等领域都需要使用数值 分析的方法。
02 数值分析提供了许多实用的数值计算方法和算法 ，这些算法可以快速、准确地求解各种数学问题 和实际问题。
02 数值分析的发展推动了计算机科学技术的发展， 为计算机科学技术的广泛应用提供了重要的支撑 。
数值分析与其他学科的交叉研究
数学物理反问题
数值分析与数学物理反问题相结 合，将为解决实际问题提供更精 确、更可靠的数值方法。
数据科学
数值分析将与数据科学相结合， 为大数据分析和机器学习等领域 提供更有效的算法和工具。
工程应用
数值分析将与各种工程领域相结 合，如流体动力学、电磁学、生 物学等，为解决实际问题提供更 精确的数值模型和算法。
05
数值分析的未来展望
数值分析的发展趋势
高效算法
随着计算机技术的进步，数值分析将不断探索更高效、更精确的算 法，以解决大规模、高维度的数值计算问题。
南京师范大学《计算方法》考研复习笔记
取前面 5 位
定义
1 n * 如果近似值 x 的绝对误差界为 10 ，那么称 x 准确到小数点后第 n 位，并从第 2
*
3
1
个非零数字到这一位所有数字称为有效数字。
例
2
1.414
准确到小数点后第 3 位，有 4 位有效数字。
3.1416 准确到小数点后第 4 位，有 5 位有效数字。
由于
x 往往未知，故
x x* 一般不能求出。 r x
也称其为相对误差。
称为
x* 的相对误差。
x x* 由于 x 往往未知，因此 x*
2
假定
x 为某一实数的准确值， x* 为其近似值，可对 x* 的绝对误差作估计
x x* ( x* )
( x* ) 称为 x* 的绝对误差界，或称误差界。相应于 ( x* )
1
1
0
n 1 1 5x xn dx dx 0 x5 x5
0
1 x n 1 ( x 5) 1 dx x n 1dx 0 x5 n
由此得
In
I0
1 0
1 5 I n 1 n
0.18232156
取
1 dx ln( x 5) 1 0 ln 6 ln 5 ln1.2 x5
2
1
sin x dx 不能用解析方法求得。 x
很多需要数字结果的科学与工程问题，得到数学模型后，必须采用数值方法来求解。数值分析则是
研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科，主要是构造适合于不同类型问题的数值方法，分析方法 的精度、稳定性、收敛性等一系列理论与实际问题。改进计算方法，创造新的数值方法是数值分析很重 要的任务。
《数值计算方法》课后题答案(湖南大学曾金平)
习题一1．设x >0相对误差为2%，4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =； （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
南京大学计算机科学与技术系 数值计算方法(第3章)3 向量和矩阵的范数 病态方程组 解线性方程组的迭代法
x
x Ax A
x
由于x 0，故有
A
由的任意性，有 ( A) max{ } A 。
(2) 因为AT A ，故 || A || 2 | max ( A) | ( A)。 2 1 显然 A , ( A) 3 3 , || A || 2 5, || A || 6, 2 4 || A || 2 4.844 , || A || F 5，所以 ( A) || A || p 。 定理3.3.5 设A R nn , 为任意指定的小正数， 则必存在算子范数 *，满足 A * ( A)
法则对应于一非负实数 ||
n
Байду номын сангаас
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
x
(k )
( ( * * * {x1( k ) , x2k ) ,..., xnk ) }T , 如果存在x* ( x1 , x2 ,..., xn )T R n满足
lim xik xi*
k k *
则称向量序列{ x ( k ) }依次收敛到x* , 记作
x x 如果有 lim || x x || 0 则称向量序列{ x }依范数 || || 收敛到x
对称矩阵范数
证明：由AT A知 || A || max ( A A) max ( A ) | max ( A) |
《数值计算方法》课程教学大纲
《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。
通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。
其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析(05)矩阵的三角分解
一、初等变换阵 二、矩阵的三角分解
三、矩阵的正交分解
一、初等变换阵 1、初等变换阵的一般定义
定义 设U ,V R , R是实常数,
n
I 是n阶单位阵, 形如 E (U ,V ; ) I UV T 称为初等变换阵(初等矩阵).
（单位阵和一个秩1的矩阵之差 ）
2 1 2 w1 2 w2 w1 H 2 wn w1
2 w1 w2 2 w1 w n 2 1 2 w2 2 w2 w n 2 2 wn w2 1 2 wn
(1)三角阵A R nn 当i j 时, aij 0, A为上三角阵; 当i j 时, aij 0, A为下三角阵. 若A为 上(下)三 角 阵 则A1是 上(下)三 角 阵 ;
反 证 法 ： 若 奇 异 ， 则 0有 非 零 解 A Ax 设 为x ( x1 , x2 ,..., xn )T 0 不 妨 设 i 0， 且xi 1, x j 1, j 1,...n, x
则aii aij x j 0
0 0 1 解：L2 0 2 0 3 1 0 0 1 L2 x 0 2 0 3 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 3 3 0 6 0 1 9 0
数值分析
（3）初等反射阵(Householder变换阵) 是初等变换阵
定义 设非零向量W R n ,W ( w1 , w2 , , wn )T , 且满足条件 W 2 1, 形如 H E (W ,W , 2) I 2WW T 的n阶方阵称为初等反射阵, 或称为Householder 变换阵.
《计算方法》期末复习
《计算方法》期末复习计算方法是计算机科学与技术专业的一门基础课程，它主要涉及计算机中的常用数值计算方法及其应用。
期末复习是为了帮助学生巩固课程知识、理解和掌握具体的计算方法，以提高数学计算和算法实现的能力。
在期末复习中，需要复习的内容主要包括数值计算方法的原理、基本原则、具体的计算方法及其常见应用等。
下面是计算方法期末复习的一个大纲，可供参考：一、计算方法基础知识回顾1.数值计算及其应用的概念和基本原理2.计算机中数的表示形式及其精度3.计算机中常用的数学运算法则4.误差的类型和度量方法二、线性方程组的数值解法1.线性方程组的矩阵表示、高斯消元法和矩阵消去法2.矩阵LU分解法和逆矩阵法3.迭代法解线性方程组（雅可比方法、高斯-赛德尔方法、逐次超松弛方法）4.带主元的高斯消元法5.矩阵的特征值和特征向量的计算（幂法、反幂法、QR分解法）三、非线性方程的求根方法1.非线性方程求根的基本概念和定理2.二分法、简单迭代法和牛顿法的原理和应用3.割线法和弦截法四、插值与逼近1.插值与逼近的基本概念和分类2.拉格朗日插值多项式及其误差估计3.牛顿插值多项式及其差商表示4.埃尔米特插值多项式与三次样条插值5.最小二乘法曲线拟合及其应用五、数值积分与数值微分1.数值积分的基本概念和定义2.梯形公式、辛普森公式和复化求积公式3.数值积分的误差估计和自适应积分方法4.复化求积公式的收敛性和数值稳定性5.数值微分的基本概念和定义6.差商和差商表及其应用六、常微分方程的数值解法1.常微分方程（ODE）的基本概念和分类2.欧拉法和改进欧拉法3.龙格-库塔法（RK4法）4.多步法（Adams-Bashforth法、Milne法）5.预测-校正法（Adams-Moulton法）6.刚体现象方程的数值解法七、矩阵特征值与特征向量的计算1.矩阵特征值与特征向量的原理和定义2.幂法和反幂法的原理和应用3.QR分解法与带位移的QR分解法4.雅可比迭代法和带位移的雅可比迭代法八、常见数值计算问题的MATLAB实现1.线性方程组的解法2.非线性方程求根的方法3.插值与逼近的应用4.数值积分与数值微分的计算5.常微分方程的数值解法6.矩阵特征值与特征向量的计算以上是《计算方法》期末复习的一个大纲。
使用奇异值分解进行矩阵求逆的技巧
矩阵求逆是线性代数中一个重要的问题，解决了矩阵求逆的问题，就能够解决线性方程组的求解问题，以及在工程、科学和计算机领域中的各种应用。
奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种非常重要的矩阵分解方法，可以有效地求解矩阵的逆，因此在实际应用中有着广泛的应用。
首先，让我们来了解一下奇异值分解的基本原理。
给定一个矩阵A，它的奇异值分解可以表示为A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
有了这个分解，我们就可以比较容易地求出矩阵A的逆了。
在使用奇异值分解进行矩阵求逆时，我们可以利用矩阵的奇异值和奇异向量的性质，将原始矩阵A分解为U、Σ和V^T三个矩阵的乘积。
然后，我们可以通过对角矩阵Σ进行取倒数，然后再对U和V进行转置，最后再将它们相乘，就可以得到原始矩阵A的逆矩阵。
奇异值分解求逆的方法虽然相对来说比较复杂，但是由于奇异值分解的性质，使得它在实际应用中具有很大的优势。
首先，奇异值分解可以很好地处理病态矩阵，即条件数很大的矩阵。
对于这种矩阵，直接进行求逆可能会导致数值不稳定，而奇异值分解可以有效地克服这个问题。
其次，奇异值分解可以将矩阵A分解为三个矩阵的乘积，这样就可以更加清晰地理解矩阵的结构和性质。
最后，奇异值分解在实际计算中也有很好的稳定性和精度，可以有效地应用到各种科学计算和工程问题中。
不过，需要注意的是，奇异值分解求逆方法在实际应用中也存在一些局限性。
首先，奇异值分解求逆的计算复杂度比较高，对于大型矩阵来说，计算量会很大，不太适合实时计算和大规模数据处理。
其次，奇异值分解求逆方法也不太适合处理稠密矩阵，如果矩阵A非常稠密，那么奇异值分解求逆的效率可能会比较低。
总的来说，奇异值分解是一种非常重要的矩阵分解方法，可以很好地应用到矩阵求逆的问题中。
在实际应用中，需要根据具体的问题和需求来选择合适的方法，综合考虑计算复杂度、精度和稳定性等因素。
现代科学工程计算基础课后答案
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。
使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。
基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。
其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
科学计算和数值分析的基础算法
科学计算和数值分析的基础算法科学计算和数值分析是现代科学和工程领域的重要组成部分，涉及到许多基础算法。
这些算法在解决实际问题、优化设计和预测未来趋势等方面起着重要作用。
本文将详细介绍科学计算和数值分析的基础算法，并分点列出步骤。
1. 线性方程组求解算法- 高斯消元法是最常用的线性方程组求解算法之一。
步骤如下：1) 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2) 利用初等行变换将矩阵化为上三角矩阵。
3) 利用回代法求解上三角矩阵得到方程组的解。
2. 插值和拟合算法- 插值算法通过一组已知数据点构建一个函数，使得这个函数能够通过这些数据点并具有某些性质。
常用的插值算法有拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拟合算法通过一组已知数据点构建一个函数，使得这个函数能够最好地逼近这些数据点。
最小二乘拟合是常用的拟合算法之一。
3. 数值积分算法- 数值积分算法可以用于计算函数的定积分近似值。
常用的数值积分算法有梯形法则和辛普森法则。
- 梯形法则通过将函数的积分区间分割成多个小梯形，并计算这些小梯形的面积之和来近似计算定积分。
- 辛普森法则通过将函数的积分区间分割成多个小抛物线，并计算这些小抛物线的面积之和来近似计算定积分。
4. 非线性方程求解算法- 牛顿迭代法是常用的非线性方程求解算法之一。
步骤如下：1) 初始化一个初始解。
2) 计算函数在初始解处的导数值。
3) 根据导数值和函数值的比例来调整解的值。
4) 重复上述步骤，直到解收敛于方程的解。
5. 奇异值分解算法- 奇异值分解是一种矩阵分解技术，用于降低矩阵的维度和提取矩阵的重要特征。
步骤如下：1) 将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵为正交矩阵，一个矩阵为对角矩阵。
2) 对对角矩阵进行奇异值修剪，只保留最重要的奇异值。
3) 通过乘积重构原始矩阵的近似值。
以上是科学计算与数值分析中一些基础算法的简要介绍和步骤列举。
在实际应用中，还有许多其他的算法和技术可以用于不同的问题。
掌握这些基础算法对于进行科学计算和数值分析是非常重要的，它们可以帮助我们解决实际问题并做出准确的预测。
数值分析(06)矩阵分解法
(1) a11
( i k 1, , n) ( i k 1, , n;
(1) a12 ( 2) a 22 (1) a13 ( 2) a 23 ( 3) a 33
数值分析
LU分解的MATLAB程序 function A=lud(A) i k 1, , n %功能：对方阵A作三角分解A=LU,其中， (k ) (k ) % L为单位下三角阵， （1）m / akk U为上三角阵， ik aik %输入：方阵 A 。 (k 1) (k ) (k ) （ 2）aij aij mik akj ，j k 1, % 输出：紧凑存储 A=[L\U]. [n,n]=size(A); % 确定A的维数 for k=1:n-1 if A(k,k) ==0 break; end for i=k+1:n A(i,k) =A(i,k)/ A(k,k); A(i,k+1:n)= A(i,k+1:n)- A(i,k) *A(k,k+1:n); end end
1
(1) (1) a a 11 12 0 a ( 2) 22 0 a ( 2) n2 1 (1) a1, n ( 2) a2, n ( 3) a3,n A( 3) mi 2 ( 3) an ,n
(2)
... ... ...
其中分别是单位下上三角阵是对角定理矩阵分解定理数值分析数值分析非奇异知均非奇异而左边是单位下三角阵同时右边是对角阵故只能是单位阵而左边是下三角阵同时右边是单位上三角阵故只能是单位阵数值分析数值分析为对称正定阵则可唯一地分定理其中称正定分解三角阵
三角形分解法 计算机数值
初等置换阵的性质：左行右列。 初等置换阵的性质：左行右列。 置换阵：初等置换阵的乘积。 置换阵：初等置换阵的乘积。 特点：每行每列均只有一个非零元素 。 特点：每行每列均只有一个非零元素1。 定理2.4 若A非奇，则存在置换阵 使QA能作 定理 非奇， 能作Doolitte 非奇 则存在置换阵Q使 能作 分解。 分解。即 QA=LU ~~ A非奇 对A进行列 非奇,对 进行列 非奇 P P PQ3Q2Q A =U 3 2 1 1 以4阶矩阵为例说明 主元 阶矩阵为例说明 主元Gauss消去 消去 − P Q3 P Q2 P Q1 A =U 3 2 1 L1 Q = =
2、保带状结构的三角分解 、 （1）保带宽的 ）保带宽的Doolitte分解 分解
1 l 1 21 M O O L= O O lr+1,1 O O O ln,n−r L ln,n−1 1
lik = (aiຫໍສະໝຸດ −∑l u ) / ulik = (aik − ∑litutk ) / ukk
t=1 k− 1
k− 1 t= 1
u kk = akk − ∑ lkt utk ,
t =1
k −1
lik = (aik − ∑litutk ) / ukk ukj = akj − ∑lktutj ,
t= 1
k− 1
k−1 t= 1
例：将矩阵
, A的第一列 ai1 = li1u11,i = 2,L n 的第一列: 的第一列
u1 j = a1 j , j =1 2,L, n ,
A的第二行 的第二行: 的第二行
li1 = ai1 / u11,i = 2,L n , a2 j = l21u1 j + u2 j , j = 2,L, n
计算方法9
2、用杜利特尔分解求解线性方程组 设A非奇异，并有三角分解A=LU，则方程 组Ax=b 就化为
LUx=b 令Ux=y
只须求解两个简单的三角形方程组：
（1）解Ly=b 顺代求出 y
（2）解Ux=y ，回代求出x.
求得L、U后再求解方程组Ly=b, Ux=y
b1 y1 l y y b2 21 1 2 ............... l y l y l y y b i i 1 i 1 i i i1 1 i 2 2 ............... ln1 y1 ln 2 y2 ln n 1 yn 1 yn bn
u11 u12 l u22 21 l31 l32 ln1 ln 2
② ④
u13 u1n ① a11 u23 u2 n ③ a21 u33 u3n ⑤ an1 ln 3 unn
k 1 k 1
ari
min( r ,i )
k 1
lrk uki
令i=r,r+1,…,n，即 i大于等于r
a11 a12 a22 ari air an1 a1n 1 u11 u12 l 1 a2n ＝ 21 u22 ann ln1 ln 2 1
n
aij bi1c1 j bi 2c2 j bi 3c3 j bin cnj bik ckj
k 1
1、杜利特尔分解步骤 A=LU
a11 a12 a a22 21 an1 an 2
n
a1n a2 n ＝ ann
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．1.2.3典型举例已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知?1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．1.3.2典型例题设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A 是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A 的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。
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a01(11)
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
... ...
a (1) 1n
a(2) 2n
左乘A( 2 )，即有: L2 A( 2 )
0
...
0
a(3) 33
...
a(3) 3n
A(3)
... ... ... ...
0
0
a(3) n3
...
a(3) nn
以此类推可得
...
...
1n
(1) a 2n
11
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
a (1) n2
...
...
a
(1)
nn
A(1)
a(1) ... ... a(1)
12
a(2) 22
...
...
1n
(2) a 2n
... ... ... ...
lik (aik litutk ) / ukk
t 1
k 1,2,...,n
a01(11)
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
... ...
a (1) 1n
a(2) 2n
Ln1Ln2...L2 L1 A
0
...
0
a (3) 33
...
a (3) 3n
U
... ... ... ...
0
0
0 ... an(nn)
因为
1
1
L11
l21 ...
u2n
an1
an 2
...
ann
ln1
ln2
... 1
u
nn
用比较等式两边元素的方法逐行逐列求解L,U各元素
Doolittle分解
k 1时 : 由a1 j 1 u1 j
得 u1 j a1 j ( j 1,2,...n)；
再由ai1 u11li1 k 2时：
得 li1
ai1 u11
u22
u23
a31 a32 a33 l31 l32 1
u23
k 1时：a1 j u1 j u1 j a1 j ( j 1,2,3)
由a21 u11l21
得 l21
a21 ； u11
由a31 u11l31
得 l31
a31 u11
k 2时：a22 l21u12 u22 得 u22 a22 l21u12；
3.2 矩阵的三角分解法
• 我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来 的矩阵。因此我们这个观点来考察Gauss消元法用矩阵乘法来表示，即可得 到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。
3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式
第1步等价于:
a (1) 11
0时，将a（211）, a（311）,...,a（n11）消零, 令li1
1
ln1 ... ... 1
L21
1 l32 1 ... ln2
1
所以 A (Ln1Ln2...L2 L1)1U L11L21...Ln12 Ln11U
1
l21 1
l.3.1.
l32 ...
1 ...
U LU
ln1 ln2 ... lnn1 1
其中L为单位下三角阵，U为上三角阵
(i 2,3,...,n)。
由a2 j l21u1 j 1 u2 j 得u2 j a2 j l2iu1 j ( j 2,3,...,n)；
再由ai2 li1u12 li2u22
得li 2
ai 2
li1u12 u22
(i 3,4,...,n)。
Doolittle分解
第k步时：计算ukk , ukk1,n j k
... ... ... ...
a(2) n2
...
...
a
(2
nn
)
A(2)
同理第2步等价于：若a2(22) 0时，用矩阵
1 0 0 ... 0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
0 ... 0
L2
0 ...
l32 ...
1 ... ...
0
0 ln2 0 ... 1
li 2
a(2) i2
a(2) 22
(i 3,4,...,n)
• A的各阶顺序主子式均不为零，即
a11 ... a1k Ak ... ... ... 0
ak1 ... akk
(k 1,2,...n)
Doolittle分解
令
a11 a12 ... a1n 1
a21
a22
...
a2n
l21
1
u11 u12 ... u1n
u22
...
u1 j
u2
j
akj
[lk1lk 2...lkk110...0]u jj
k 1
lktutj
ukj
0 t1
0
k 1
有 ukj akj lktutj （j k, k 1,...n） t 1
Doolittle分解
计算lk 1k ,...,lnk 由于i k，于是由
u1k
aik
[li1...,lik
1 ,1,0. . .0]u0k k
k 1
lit utk
t 1
lik ukk
0
k 1
得 lik (aik litutk ) / ukk （i k 1,...n） t 1
Doolittle分解
即
ukj
akj
k 1
lktutj
t 1 k 1
( j k,...,n;i k 1,...,n)
由此解线性方程组Ax b就等价于解两
个三角方程：
L(Ux)
b
Ly Ux
b y
因此，关键问题在于能否对矩阵A直接进
行LU分解。
3.2.2 Doolittle分解
此分解在于如何算出L,U的各元素，以n 3为例
a11 a12 a13 1
a21 a22
a23
l21
1
u11 u12 u13
a (1) i1
a (1) 11
则 (1)行 (-li1) (i)行 i 2，3，...,n，其矩阵形式为
1 l21 .l.3.1 ln1
1
a a
(1)
11
(1)
21
01
...
......
...
0
0
......
1
a
(1)
n1
L1
a(1) ... ... a(1) a(1)
12
a (1) 22
由a23 l21u13 u23 得 u23 a23 l21u13；
由a32 l31u12 l32u23
得 l32
a32
l31u12 u22
k 3时：由a33 l31u13 l32u23 u33
得 u33 a33 (l31u13 l32u23 )
Doolittle分解
• 若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该分解 为Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺序主子式均不为零时，Doolittle分 解可以实现并且唯一。