南京大学计算机科学与技术系数值计算方法第3章2矩阵的三角分解法矩阵求逆

• A的各阶顺序主子式均不为零，即
a11 ... a1k Ak ... ... ... 0
ak1 ... akk
(k 1,2,...n)
Doolittle分解
令
a11 a12 ... a1n 1
a21
a22
...
a2n
l21
1
u11 u12 ... u1n
u22
...
...
...
1n
(1) a 2n
11
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
a (1) n2
...
...
a
(1)
nn
A(1)
a(1) ... ... a(1)
12
a(2) 22
...
...
1n
(2) a 2n
... ... ... ...
aik
[li1...,lik
1 ,1,0. . .0]u0k k
k 1
lit utk
t 1
lik ukk
0
k 1
得 lik (aik litutk ) / ukk （i k 1,...n） t 1
Doolittle分解
即
ukj
akj
k 1
lktutj
t 1 k 1
( j k,...,n;i k 1,...,n)
lik (aik litutk ) / ukk
t 1
k 1,2,...,n
... ... ... ...
a(2) n2
...
...
a
(2
nn
)
A(2)
同理第2步等价于：若a2(22) 0时，用矩阵
1 0 0 ... 0
0
1
0 ... 0
L2
0 ...
l32 ...
1 ... ...
0
0 ln2 0 ... 1
li 2
a(2) i2
a(2) 22
(i 3,4,...,n)
a (1) i1
a (1) 11
则 (1)行 (-li1) (i)行 i 2，3，...,n，其矩阵形式为
1 l21 .l.3.1 ln1
1
a a
Fra Baidu bibliotek
(1)
11
(1)
21
01
...
......
...
0
0
......
1
a
(1)
n1
L1
a(1) ... ... a(1) a(1)
12
a (1) 22
u22
u23
a31 a32 a33 l31 l32 1
u23
k 1时：a1 j u1 j u1 j a1 j ( j 1,2,3)
由a21 u11l21
得 l21
a21 ； u11
由a31 u11l31
得 l31
a31 u11
k 2时：a22 l21u12 u22 得 u22 a22 l21u12；
a01(11)
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
... ...
a (1) 1n
a(2) 2n
Ln1Ln2...L2 L1 A
0
...
0
a (3) 33
...
a (3) 3n
U
... ... ... ...
0
0
0 ... an(nn)
因为
1
1
L11
l21 ...
由此解线性方程组Ax b就等价于解两
个三角方程：
L(Ux)
b
Ly Ux
b y
因此，关键问题在于能否对矩阵A直接进
行LU分解。
3.2.2 Doolittle分解
此分解在于如何算出L,U的各元素，以n 3为例
a11 a12 a13 1
a21 a22
a23
l21
1
u11 u12 u13
1
ln1 ... ... 1
L21
1 l32 1 ... ln2
1
所以 A (Ln1Ln2...L2 L1)1U L11L21...Ln12 Ln11U
1
l21 1
l.3.1.
l32 ...
1 ...
U LU
ln1 ln2 ... lnn1 1
其中L为单位下三角阵，U为上三角阵
u1 j
u2
j
akj
[lk1lk 2...lkk110...0]u jj
k 1
lktutj
ukj
0 t1
0
k 1
有 ukj akj lktutj （j k, k 1,...n） t 1
Doolittle分解
计算lk 1k ,...,lnk 由于i k，于是由
u1k
由a23 l21u13 u23 得 u23 a23 l21u13；
由a32 l31u12 l32u23
得 l32
a32
l31u12 u22
k 3时：由a33 l31u13 l32u23 u33
得 u33 a33 (l31u13 l32u23 )
Doolittle分解
• 若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该分解 为Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺序主子式均不为零时，Doolittle分 解可以实现并且唯一。
(i 2,3,...,n)。
由a2 j l21u1 j 1 u2 j 得u2 j a2 j l2iu1 j ( j 2,3,...,n)；
再由ai2 li1u12 li2u22
得li 2
ai 2
li1u12 u22
(i 3,4,...,n)。
Doolittle分解
第k步时：计算ukk , ukk1,...ukn j k
a01(11)
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
... ...
a (1) 1n
a(2) 2n
左乘A( 2 )，即有: L2 A( 2 )
0
...
0
a(3) 33
...
a(3) 3n
A(3)
... ... ... ...
0
0
a(3) n3
...
a(3) nn
以此类推可得
3.2 矩阵的三角分解法
• 我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来 的矩阵。因此我们这个观点来考察Gauss消元法用矩阵乘法来表示，即可得 到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。
3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式
第1步等价于:
a (1) 11
0时，将a（211）, a（311）,...,a（n11）消零, 令li1
u2n
an1
an 2
...
ann
ln1
ln2
... 1
u
nn
用比较等式两边元素的方法逐行逐列求解L,U各元素
Doolittle分解
k 1时 : 由a1 j 1 u1 j
得 u1 j a1 j ( j 1,2,...n)；
再由ai1 u11li1 k 2时：
得 li1
ai1 u11